एकांकी समाधान

एकांकी समाधान y_s(x) एक साधारण अंतर समीकरण का समाधान है जो गणितीय समाधानता है या जिसके लिए प्रारंभिक मान समस्या (जिसे कुछ लेखकों द्वारा कॉची समस्या भी कहा जाता है) समाधान पर किसी बिंदु पर अनूठा समाधान करने में विफल रहता है। वह समुच्चय जिस पर हल एकांकी है, बिंदु जितना छोटा या पूर्ण वास्तविक रेखा जितना बड़ा हो सकता है। समाधान जो इस अर्थ में एकांकी हैं कि प्रारंभिक मान समस्या अद्वितीय समाधान होने में विफल रहती है, गणितीय समाधानता नहीं होनी चाहिए।

कुछ स्तिथियों में, एकांकी समाधान शब्द का उपयोग उस समाधान के लिए किया जाता है जिसमें वक्र पर प्रत्येक बिंदु पर प्रारंभिक मान समस्या की विशिष्टता की विफलता होती है। इस शक्तिशाली अर्थ में अकेला समाधान अधिकांशतः समाधानों के वर्ग से प्रत्येक समाधान के लिए स्पर्शरेखा के रूप में दिया जाता है। स्पर्शरेखा से हमारा मतलब है कि बिंदु x है जहाँ y_s(x) = y_c(x) and y'_s(x) = y'_c(x) जहां y_c द्वारा पैरामीटर किए गए समाधानों के वर्ग में समाधान है। इसका मतलब यह है कि एकांकी समाधान, समाधान के वर्ग का एन्वेलप (गणित) है।

सामान्यतः, एकांकी समाधान अंतर समीकरणों में दिखाई देते हैं, जब शब्द में विभाजित करने की आवश्यकता होती है जो 0 (संख्या) के सामान्य हो सकती है। इसलिए, जब कोई अंतर समीकरण को हल कर रहा है और विभाजन का उपयोग कर रहा है, तो उसे यह जांचना चाहिए कि क्या होता है यदि शब्द शून्य के सामान्य है, और क्या यह एकांकी समाधान की ओर जाता है। पिकार्ड-लिंडेलोफ प्रमेय, जो अद्वितीय समाधानों के अस्तित्व के लिए पर्याप्त नियम देता है, इसका उपयोग एकांकी समाधानों के अस्तित्व को रद्द करने के लिए किया जा सकता है। अन्य प्रमेय, जैसे कि पीआनो अस्तित्व प्रमेय, आवश्यक रूप से अद्वितीय होने के बिना समाधानों के अस्तित्व के लिए पर्याप्त नियम प्रदान करते हैं, जो एकांकी समाधानों के अस्तित्व की अनुमति दे सकते हैं।

लिए पर्याप्त नियम प्रदान करते हैं

विभिन्न समाधान

सजातीय रैखिक साधारण अंतर समीकरण पर विचार करें

$xy'(x)+2y(x)=0,\,\!$

जहां प्राइम्स x के संबंध में व्युत्पन्न को दर्शाता है। इस समीकरण का सामान्य हल है

$y(x)=Cx^{-2}.\,\!$

किसी प्रदत्त के लिए $C$ को छोड़कर यह घोल चिकना है $x=0$ जहां समाधान भिन्न है। इसके अलावा, $x\not =0$ दिए गए के लिए , यह एक अनूठा समाधान है जिससे $(x,y(x))$ गुजर रहा है .

विशिष्टता की विफलता

अंतर समीकरण पर विचार करें

$y'(x)^{2}=4y(x).\,\!$

इस समीकरण के समाधान का एक-पैरामीटर वर्ग द्वारा दिया गया है

$y_{c}(x)=(x-c)^{2}.\,\!$

द्वारा एक और समाधान दिया गया है

$y_{s}(x)=0.\,\!$

चूँकि अध्ययन किया जा रहा समीकरण एक प्रथम-क्रम समीकरण है, प्रारंभिक स्थितियाँ प्रारंभिक x और y मान हैं। उपरोक्त समाधानों के दो समुच्चय पर विचार करके, कोई यह देख सकता है कि समाधान अद्वितीय होने में विफल रहता है $y=0$. (यह दिखाया जा सकता है कि के लिए $y>0$ यदि वर्गमूल की शाखा को चुना जाता है, तो एक स्थानीय समाधान होता है जो पिकार्ड-लिंडेलोफ प्रमेय का उपयोग करके अद्वितीय होता है।) इस प्रकार, उपरोक्त समाधान सभी एकांकी समाधान हैं, इस अर्थ में कि समाधान पड़ोस में अद्वितीय होने में विफल रहता है। एक या अधिक बिंदुओं का। (सामान्यतः, हम कहते हैं कि विशिष्टता इन बिंदुओं पर विफल हो जाती है।) समाधानों के पहले समुच्चय के लिए, विशिष्टता एक बिंदु पर विफल हो जाती है, $x=c$, और दूसरे समाधान के लिए, अद्वितीयता के प्रत्येक मान पर विफल हो जाती है $x$. इस प्रकार, समाधान $y_{s}$ शक्तिशाली अर्थ में एकमात्र समाधान है कि x के प्रत्येक मान पर अद्वितीयता विफल हो जाती है। चूंकि, यह गणितीय समाधानता नहीं है क्योंकि यह और इसके सभी व्युत्पन्न निरंतर हैं।

इस उदाहरण में समाधान $y_{s}(x)=0$ समाधान के वर्ग का एन्वेलप है $y_{c}(x)=(x-c)^{2}$. समाधान $y_{s}$ प्रत्येक वक्र के लिए स्पर्शरेखा $y_{c}(x)$ है $(c,0)$ बिंदु पर .

विशिष्टता की विफलता का उपयोग अधिक समाधान बनाने के लिए किया जा सकता है। इन्हें दो स्थिरांक लेकर पाया जा सकता है $c_{1}<c_{2}$ और एक समाधान परिभाषित करना $y(x)$ होना $(x-c_{1})^{2}$ जब $x<c_{1}$, होना $0$ जब $c_{1}\leq x\leq c_{2}$, और होना $(x-c_{2})^{2}$ जब $x>c_{2}$. प्रत्यक्ष गणना से पता चलता है कि यह हर बिंदु पर अंतर समीकरण का समाधान है, जिसमें सम्मिलित है $x=c_{1}$ और $x=c_{2}$. अंतराल $c_{1}\leq x\leq c_{2}$ पर इन समाधानों के लिए विशिष्टता विफल हो जाती है, और समाधान एकांकी हैं, इस अर्थ में कि दूसरा व्युत्पन्न $x=c_{1}$ और $x=c_{2}$ सम्मिलित नही रहता है।

अद्वितीयता की विफलता का एक और उदाहरण

पिछला उदाहरण गलत धारणा दे सकता है कि अद्वितीयता की विफलता का सीधा संबंध है $y(x)=0$. क्लेराट के समीकरण के निम्नलिखित उदाहरण में विशिष्टता की विफलता भी देखी जा सकती है:

$y(x)=x\cdot y'+(y')^{2}\,\!$

हम y' = p और फिर लिखते हैं

$y(x)=x\cdot p+(p)^{2}.$

जब, हम x के अनुसार अवकलन लेंगे:

$p=y'=p+xp'+2pp'$

जो साधारण बीजगणित द्वारा प्राप्त होता है

$0=(2p+x)p'.$

यदि 2p+x=0 या p′=0 हो तो यह स्थिति हल हो जाती है।

यदि p' = 0 इसका अर्थ है कि y' = p = c = अचर, और इस नए समीकरण का व्यापक हल है:

$y_{c}(x)=c\cdot x+c^{2}$

जहाँ c प्रारंभिक मान द्वारा निर्धारित किया जाता है।

यदि x + 2p = 0 तो हम पाते हैं कि p = −½x और ODE में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है

$y_{s}(x)=-{\tfrac {1}{2}}x^{2}+(-{\tfrac {1}{2}}x)^{2}=-{\tfrac {1}{4}}x^{2}.$

अब हम जाँच करेंगे कि ये विलयन जब एकांकी हल हैं। यदि दो समाधान एक-दूसरे को काटते हैं, अर्थात, वे दोनों एक ही बिंदु (x, y) से गुजरते हैं, तो पहले क्रम के साधारण अंतर समीकरण के लिए अद्वितीयता की विफलता होती है। इस प्रकार, यदि पहले रूप का समाधान दूसरे समाधान को प्रतिच्छेद करता है तो अद्वितीयता की विफलता होगी।

प्रतिच्छेदन की स्थिति है : y_s(x) = y_c(x)। हमने सलुझाया

$c\cdot x+c^{2}=y_{c}(x)=y_{s}(x)=-{\tfrac {1}{4}}x^{2}$

प्रतिच्छेदन बिंदु खोजने के लिए, जो $(-2c,-c^{2})$ है .

हम सत्यापित कर सकते हैं कि वक्र इस बिंदु y' पर स्पर्शरेखा y'_s(x) = y'_c(x) हैं। हम यौगिक की गणना करते हैं:

$y_{c}'(-2c)=c\,\!$

$y_{s}'(-2c)=-{\tfrac {1}{2}}x|_{x=-2c}=c.\,\!$

इस तरह,

$y_{s}(x)=-{\tfrac {1}{4}}\cdot x^{2}\,\!$

समाधान के एक-पैरामीटर वर्ग के प्रत्येक सदस्य के लिए स्पर्शरेखा है

$y_{c}(x)=c\cdot x+c^{2}\,\!$

इस क्लेराट समीकरण का:

$y(x)=x\cdot y'+(y')^{2}.\,\!$

यह भी देखें

• चंद्रशेखर समीकरण
• क्रिस्टल का समीकरण
• कास्टिक (गणित)
• एन्वेलप (गणित)
• प्रारंभिक मान समस्या
• पिकार्ड-लिंडेलोफ प्रमेय

ग्रन्थसूची

• Rozov, N.Kh. (2001) [1994], "Singular solution", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press