स्थिर बिंदु: Difference between revisions

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कई वास्तविक चरों के अलग-अलग फ़ंक्शन के लिए, एक स्थिर बिंदु ग्राफ की [[सतह (गणित)]] पर एक बिंदु होता है जहां इसके सभी आंशिक डेरिवेटिव शून्य होते हैं (समतुल्य रूप से, [[ग्रेडियेंट]] शून्य होता है)।
कई वास्तविक चरों के अलग-अलग फलन के लिए, एक स्थिर बिंदु लेखाचित्र की [[सतह (गणित)]] पर एक बिंदु होता है जहां इसके सभी आंशिक व्युत्पन्न शून्य होते हैं (समतुल्य रूप से, [[ग्रेडियेंट|अनुप्रवण]] शून्य होता है)।


स्थिर बिंदुओं को एक चर के फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर देखना आसान होता है: वे ग्राफ़ पर उन बिंदुओं के अनुरूप होते हैं जहां [[स्पर्शरेखा]] क्षैतिज होती है (अर्थात, भुज के [[समानांतर (ज्यामिति)]]।{{math|''x''}}-एक्सिस)। दो चर के एक समारोह के लिए, वे ग्राफ पर उन बिंदुओं के अनुरूप होते हैं जहां स्पर्शरेखा विमान के समानांतर होती है {{math|''xy''}} विमान।
स्थिर बिंदुओं को एक चर के फलन के लेखाचित्र पर देखना आसान होता है: वे लेखाचित्र पर उन बिंदुओं के अनुरूप होते हैं जहां [[स्पर्शरेखा]] क्षैतिज होती है (अर्थात, भुज के [[समानांतर (ज्यामिति)]])। दो चर के एक फलन के लिए, वे लेखाचित्र पर उन बिंदुओं के अनुरूप हैं जहां स्पर्शरेखा तल xy तल के समानांतर है।


== टर्निंग पॉइंट्स ==
== वर्तन बिंदु ==
टर्निंग पॉइंट वह बिंदु होता है जिस पर डेरिवेटिव परिवर्तन का चिन्ह होता है।<ref name=Saddler>{{citation|title=Cambridge 2 Unit Mathematics Year 11|first1=David|last1=Saddler|first2=Julia|last2=Shea|first3=Derek|last3=Ward|publisher=Cambridge University Press|year=2011|isbn=9781107679573|contribution=12 B Stationary Points and Turning Points|page=318|contribution-url=https://books.google.com/books?id=wDKLXdzQL5AC&pg=PA318}}</ref> एक मोड़ बिंदु या तो सापेक्ष अधिकतम या सापेक्ष न्यूनतम (स्थानीय न्यूनतम और अधिकतम के रूप में भी जाना जाता है) हो सकता है। यदि फलन अवकलनीय है, तो एक मोड़ बिंदु एक स्थिर बिंदु है; हालाँकि सभी स्थिर बिंदु टर्निंग पॉइंट नहीं होते हैं। यदि फ़ंक्शन दो बार अलग-अलग होता है, तो स्थिर बिंदु जो मोड़ बिंदु नहीं हैं, वे क्षैतिज विभक्ति बिंदु हैं। उदाहरण के लिए, समारोह <math>x \mapsto x^3</math> पर एक स्थिर बिंदु है {{nowrap|1=''x'' = 0}}, जो एक विभक्ति बिंदु भी है, लेकिन एक महत्वपूर्ण मोड़ नहीं है।<ref name=TCS>{{cite web|title=Turning points and stationary points|url=http://www.teacherschoice.com.au/Maths_Library/Calculus/stationary_points.htm|work=TCS FREE high school mathematics 'How-to Library'|access-date=30 October 2011}}</ref>
वर्तन बिंदु वह बिंदु होता है जिस पर व्युत्पन्न परिवर्तन का चिन्ह होता है।<ref name=Saddler>{{citation|title=Cambridge 2 Unit Mathematics Year 11|first1=David|last1=Saddler|first2=Julia|last2=Shea|first3=Derek|last3=Ward|publisher=Cambridge University Press|year=2011|isbn=9781107679573|contribution=12 B Stationary Points and Turning Points|page=318|contribution-url=https://books.google.com/books?id=wDKLXdzQL5AC&pg=PA318}}</ref> एक वर्तन बिंदु या तो सापेक्ष अधिकतम या सापेक्ष न्यूनतम (स्थानीय न्यूनतम और अधिकतम के रूप में भी जाना जाता है) हो सकता है। यदि फलन अवकलनीय है, तो एक वर्तन बिंदु एक स्थिर बिंदु है; हालाँकि सभी स्थिर बिंदु वर्तन बिंदु नहीं होते हैं। यदि फलन दो बार अलग-अलग होता है, तो स्थिर बिंदु जो वर्तन बिंदु नहीं हैं, वे क्षैतिज विभक्ति बिंदु हैं। उदाहरण के लिए, फलन <math>x \mapsto x^3</math> पर एक स्थिर बिंदु {{nowrap|1=''x'' = 0}} है, जो एक विभक्ति बिंदु भी है, लेकिन एक महत्वपूर्ण वर्तन नहीं है।<ref name=TCS>{{cite web|title=Turning points and stationary points|url=http://www.teacherschoice.com.au/Maths_Library/Calculus/stationary_points.htm|work=TCS FREE high school mathematics 'How-to Library'|access-date=30 October 2011}}</ref>




== वर्गीकरण ==
== वर्गीकरण ==
[[File:Extrema example original.svg|thumb|250px|एक ग्राफ जिसमें स्थानीय एक्स्ट्रेमा और वैश्विक एक्स्ट्रेमा को लेबल किया गया है।]]
[[File:Extrema example original.svg|thumb|250px|एक लेखाचित्र जिसमें स्थानीय एक्स्ट्रेमा और वैश्विक एक्स्ट्रेमा को लेबल किया गया है।]]
{{See also|maxima and minima}}
{{See also|दीर्घतम और न्यूनतम}}
एक के पृथक स्थिर बिंदु <math>C^1</math> वास्तविक मूल्यवान समारोह <math>f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> पहले व्युत्पन्न परीक्षण द्वारा चार प्रकारों में वर्गीकृत किया गया है:
एक के पृथक स्थिर बिंदु <math>C^1</math> वास्तविक मूल्यवान फलन <math>f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> को पहले व्युत्पन्न परीक्षण द्वारा चार प्रकारों में वर्गीकृत किया गया है:


* एक स्थानीय न्यूनतम (न्यूनतम मोड़ बिंदु या सापेक्ष न्यूनतम) वह है जहां फ़ंक्शन का व्युत्पन्न नकारात्मक से सकारात्मक में बदल जाता है;
* एक स्थानीय न्यूनतम (न्यूनतम वर्तन बिंदु या सापेक्ष न्यूनतम) वह है जहां फलन का व्युत्पन्न नकारात्मक से सकारात्मक में बदल जाता है;
* एक स्थानीय अधिकतम (अधिकतम मोड़ बिंदु या सापेक्ष अधिकतम) वह है जहां फ़ंक्शन का व्युत्पन्न सकारात्मक से नकारात्मक में बदल जाता है;
* एक स्थानीय दीर्घतम (अधिकतम वर्तन बिंदु या सापेक्ष अधिकतम) वह है जहां फलन का व्युत्पन्न सकारात्मक से नकारात्मक में बदल जाता है;
[[Image:Stationary and inflection pts.gif|thumb|left|250px|सैडल बिंदु (स्थिर बिंदु जो न तो स्थानीय उच्चिष्ठ और न ही न्यूनतम हैं: वे विभक्ति बिंदु हैं। बायां विभक्ति का एक बढ़ता हुआ बिंदु है (व्युत्पन्न लाल बिंदु के दोनों किनारों पर धनात्मक है); दायां विभक्ति का एक गिरता हुआ बिंदु है (व्युत्पन्न है लाल बिंदु के दोनों ओर ऋणात्मक)।]]* एक बढ़ता हुआ मोड़ बिंदु (या मोड़) वह है जहां फ़ंक्शन का व्युत्पन्न स्थिर बिंदु के दोनों किनारों पर सकारात्मक होता है; ऐसा बिंदु अवतल कार्य में परिवर्तन को चिह्नित करता है;
[[Image:Stationary and inflection pts.gif|thumb|left|250px|सैडल बिंदु (स्थिर बिंदु जो न तो स्थानीय उच्चिष्ठ और न ही न्यूनतम हैं: वे विभक्ति बिंदु हैं। बायां विभक्ति का एक बढ़ता हुआ बिंदु है (व्युत्पन्न लाल बिंदु के दोनों किनारों पर धनात्मक है); दायां विभक्ति का एक गिरता हुआ बिंदु है (व्युत्पन्न है लाल बिंदु के दोनों ओर ऋणात्मक)।]]
* नति परिवर्तन (या नति परिवर्तन) का एक गिरता हुआ बिंदु वह होता है जहां स्थिर बिंदु के दोनों ओर फलन का अवकलज ऋणात्मक होता है; ऐसा बिंदु समतलता में परिवर्तन का प्रतीक है।
* एक बढ़ता हुआ वर्तन बिंदु (या वर्तन) वह है जहां फलन का व्युत्पन्न स्थिर बिंदु के दोनों किनारों पर सकारात्मक होता है; ऐसा बिंदु अवतल कार्य में परिवर्तन को चिह्नित करता है;
*नति परिवर्तन (या नति परिवर्तन) का एक गिरता हुआ बिंदु वह होता है जहां स्थिर बिंदु के दोनों ओर फलन का अवकलज ऋणात्मक होता है; ऐसा बिंदु समतलता में परिवर्तन का प्रतीक है।


पहले दो विकल्पों को सामूहिक रूप से [[मैक्सिमा और मिनिमा]] के रूप में जाना जाता है। इसी प्रकार एक बिंदु जो वैश्विक (या पूर्ण) अधिकतम या वैश्विक (या पूर्ण) न्यूनतम है, वैश्विक (या पूर्ण) चरम कहा जाता है। अंतिम दो विकल्प-स्थिर बिंदु जो स्थानीय चरम पर ''नहीं'' हैं- सैडल पॉइंट के रूप में जाने जाते हैं।
पहले दो विकल्पों को सामूहिक रूप से [[मैक्सिमा और मिनिमा|दीर्घतम और न्यूनतम]] के रूप में जाना जाता है। इसी प्रकार एक बिंदु जो वैश्विक (या पूर्ण) अधिकतम या वैश्विक (या पूर्ण) न्यूनतम है, वैश्विक (या पूर्ण) चरम कहा जाता है। अंतिम दो विकल्प-स्थिर बिंदु जो स्थानीय चरम पर ''नहीं'' हैं- पल्याण बिंदु के रूप में जाने जाते हैं।


फर्मेट के प्रमेय (स्थिर बिंदु) द्वारा | फर्मेट के प्रमेय, वैश्विक एक्स्ट्रेमा होना चाहिए (एक के लिए <math>C^1</math> समारोह) सीमा पर या स्थिर बिंदुओं पर।
फर्मेट के प्रमेय, सीमा पर या स्थिर बिंदुओं पर वैश्विक एक्स्ट्रेमा होना चाहिए (एक के लिए <math>C^1</math> फलन)।


== वक्र रेखाचित्र ==
== वक्र रेखाचित्र ==
{{Cubic graph special points.svg}}
{{Cubic graph special points.svg}}
अलग-अलग कार्यों के [[वक्र रेखाचित्र]] में स्थिर बिंदुओं की स्थिति और प्रकृति का निर्धारण। समीकरण f'(x) = 0 को हल करना सभी स्थिर बिंदुओं के x-निर्देशांक लौटाता है; y-निर्देशांक तुच्छ रूप से उन x-निर्देशांकों पर फ़ंक्शन मान हैं।
स्थिर बिंदुओं की स्थिति और प्रकृति का निर्धारण अलग-अलग कार्यों के [[वक्र रेखाचित्र]] में सहायता करता है। समीकरण f'(x) = 0 को हल करना सभी स्थिर बिंदुओं के x-निर्देशांक लौटाता है; y-निर्देशांक तुच्छ रूप से उन x-निर्देशांकों पर फलन मान हैं।
एक्स पर एक स्थिर बिंदु की विशिष्ट प्रकृति कुछ मामलों में दूसरे व्युत्पन्न एफ '' (एक्स) की जांच करके निर्धारित की जा सकती है:
* यदि f''(x) < 0, x पर स्थिर बिंदु अवतल है; एक अधिकतम चरम।
* यदि f''(x) > 0, x पर स्थिर बिंदु अवतल है; एक न्यूनतम चरम।
* यदि f''(x) = 0, स्थिर बिंदु की प्रकृति को अन्य तरीकों से निर्धारित किया जाना चाहिए, अक्सर उस बिंदु के चारों ओर एक संकेत परिवर्तन को ध्यान में रखते हुए।


एक स्थिर बिंदु की प्रकृति का निर्धारण करने का एक अधिक सरल तरीका स्थिर बिंदुओं के बीच फ़ंक्शन मानों की जांच करना है (यदि फ़ंक्शन परिभाषित है और उनके बीच निरंतर है)।
x पर एक स्थिर बिंदु की विशिष्ट प्रकृति कुछ मामलों में दूसरे व्युत्पन्न ''f<nowiki>''</nowiki>''(''x'')'' की जांच करके निर्धारित की जा सकती है:''
* यदि f''(x) < 0, x पर स्थिर बिंदु अवतल है; एक अधिकतम चरम।''
* यदि f''(x) > 0, x पर स्थिर बिंदु अवतल है; एक न्यूनतम चरम।''
* यदि f''(x) = 0, स्थिर बिंदु की प्रकृति को अन्य तरीकों से निर्धारित किया जाना चाहिए, प्रायः उस बिंदु के चारों ओर एक संकेत परिवर्तन को ध्यान में रखते हुए।''


मोड़ बिंदु का एक सरल उदाहरण फलन f(x) = x है<sup>3</उप>। बिंदु x = 0 के बारे में उत्तलता का स्पष्ट परिवर्तन है, और हम इसे कलन के माध्यम से सिद्ध कर सकते हैं। एफ का दूसरा व्युत्पन्न हर जगह-निरंतर 6x है, और x = 0, f'' = 0 पर, और इस बिंदु के बारे में संकेत बदलता है। अतः x = 0 एक विभक्ति बिंदु है।
एक स्थिर बिंदु की प्रकृति का निर्धारण करने का एक अधिक सरल तरीका स्थिर बिंदुओं के बीच फलन मानों की जांच करना है (यदि फलन परिभाषित है और उनके बीच निरंतर है)।


अधिक आम तौर पर, वास्तविक मूल्यवान फ़ंक्शन के स्थिर बिंदु <math>f\colon \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}</math> उन
वर्तन बिंदु का एक सरल उदाहरण फलन ''f''(''x'') = ''x''<sup>3</sup> है। बिंदु x = 0 के बारे में उत्तलता का स्पष्ट परिवर्तन है, और हम इसे कलन के माध्यम से सिद्ध कर सकते हैं। एफ का दूसरा व्युत्पन्न हर जगह-निरंतर 6x है, और x = 0, f<nowiki>''</nowiki> = 0 पर, और इस बिंदु के बारे में संकेत बदलता है। अतः x = 0 एक विभक्ति बिंदु है।
अंक एक्स<sub>0</sub> जहां हर दिशा में व्युत्पन्न शून्य के बराबर है, या समकक्ष, ग्रेडिएंट शून्य है।
 
अधिक सामान्यतः, वास्तविक मूल्यवान फलन के स्थिर बिंदु <math>f\colon \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}</math> उन अंक x<sub>0</sub> के बराबर है जहां हर दिशा में व्युत्पन्न शून्य के बराबर है, या समकक्ष, अनुप्रवण शून्य है।


=== उदाहरण ===
=== उदाहरण ===
फलन f(x) = x के लिए<sup>4</sup> हमारे पास f<nowiki>'</nowiki>(0) = 0 और f<nowiki></nowiki>(0) = 0 है। भले ही f<nowiki></nowiki>(0) = 0, यह बिंदु विभक्ति का बिंदु नहीं है। इसका कारण यह है कि f'(x) का चिह्न ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है।
फलन f(x) = x<sup>4</sup> के लिए हमारे पास f<nowiki>'</nowiki>(0) = 0 और f(0) = 0 है। भले ही f(0) = 0, यह बिंदु विभक्ति का बिंदु नहीं है। इसका कारण यह है कि f'(x) का चिह्न ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है।


फलन f(x) = sin(x) के लिए हमारे पास f<nowiki>'</nowiki>(0) ≠ 0 और f<nowiki></nowiki>(0) = 0 है। लेकिन यह एक स्थिर बिंदु नहीं है बल्कि यह विभक्ति का बिंदु है। ऐसा इसलिए है क्योंकि अवतल नीचे की ओर अवतल से ऊपर की ओर अवतल में बदलता है और f'(x) का चिन्ह नहीं बदलता है; यह सकारात्मक रहता है।
फलन f(x) = sin(x) के लिए हमारे पास f<nowiki>'</nowiki>(0) ≠ 0 और f<nowiki></nowiki>(0) = 0 है। लेकिन यह एक स्थिर बिंदु नहीं है बल्कि यह विभक्ति का बिंदु है। ऐसा इसलिए है क्योंकि अवतल नीचे की ओर अवतल से ऊपर की ओर अवतल में बदलता है और f'(x) का चिन्ह नहीं बदलता है; यह सकारात्मक रहता है।


फलन f(x) = x के लिए<sup>3</sup> हमारे पास f<nowiki>'</nowiki>(0) = 0 और f<nowiki></nowiki>(0) = 0 है। यह एक स्थिर बिंदु और मोड़ का बिंदु दोनों है। ऐसा इसलिए है क्योंकि अवतल नीचे की ओर अवतल से ऊपर की ओर अवतल में बदलता है और f<nowiki>'</nowiki>(x) का चिह्न नहीं बदलता है; यह सकारात्मक रहता है।
फलन f(x) = x<sup>3</sup> के लिए हमारे पास f<nowiki>'</nowiki>(0) = 0 और f(0) = 0 है। यह एक स्थिर बिंदु और वर्तन का बिंदु दोनों है। ऐसा इसलिए है क्योंकि अवतलता नीचे की ओर अवतल से ऊपर की ओर अवतल में बदलता है और f<nowiki>'</nowiki>(x) का चिह्न नहीं बदलता है; यह सकारात्मक रहता है।


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
* [[अनुकूलन (गणित)]]
* [[अनुकूलन (गणित)]]
* फर्मेट का प्रमेय (स्थिर बिंदु) | फर्मेट का प्रमेय
* फर्मेट का प्रमेय
* [[व्युत्पन्न परीक्षण]]
* [[व्युत्पन्न परीक्षण]]
* [[निश्चित बिंदु (गणित)]]
* [[निश्चित बिंदु (गणित)]]
* लादने की सीमा
* पल्याण बिन्दु


==संदर्भ==
==संदर्भ==
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* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Calculus/FourthDegree.shtml Inflection Points of Fourth Degree Polynomials — a surprising appearance of the golden ratio] at [[cut-the-knot]]
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Calculus/FourthDegree.shtml Inflection Points of Fourth Degree Polynomials — a surprising appearance of the golden ratio] at [[cut-the-knot]]


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Latest revision as of 15:11, 3 November 2023

स्थिर बिंदु लाल वृत्त हैं। इस लेखाचित्र में, वे सभी आपेक्षिक उच्चिष्ठ या सापेक्ष निम्निष्ठ हैं। नीले वर्ग विभक्ति बिंदु हैं।

गणित में, विशेष रूप से कलन में, एक चर के एक अलग-अलग कार्य का एक स्थिर बिंदु फलन के लेखाचित्र पर एक बिंदु होता है जहां फलन का व्युत्पन्न शून्य होता है।[1][2][3]अनौपचारिक रूप से, यह एक ऐसा बिंदु है जहां फलन बढ़ना या घटना बंद हो जाता है।

कई वास्तविक चरों के अलग-अलग फलन के लिए, एक स्थिर बिंदु लेखाचित्र की सतह (गणित) पर एक बिंदु होता है जहां इसके सभी आंशिक व्युत्पन्न शून्य होते हैं (समतुल्य रूप से, अनुप्रवण शून्य होता है)।

स्थिर बिंदुओं को एक चर के फलन के लेखाचित्र पर देखना आसान होता है: वे लेखाचित्र पर उन बिंदुओं के अनुरूप होते हैं जहां स्पर्शरेखा क्षैतिज होती है (अर्थात, भुज के समानांतर (ज्यामिति))। दो चर के एक फलन के लिए, वे लेखाचित्र पर उन बिंदुओं के अनुरूप हैं जहां स्पर्शरेखा तल xy तल के समानांतर है।

वर्तन बिंदु

वर्तन बिंदु वह बिंदु होता है जिस पर व्युत्पन्न परिवर्तन का चिन्ह होता है।[2] एक वर्तन बिंदु या तो सापेक्ष अधिकतम या सापेक्ष न्यूनतम (स्थानीय न्यूनतम और अधिकतम के रूप में भी जाना जाता है) हो सकता है। यदि फलन अवकलनीय है, तो एक वर्तन बिंदु एक स्थिर बिंदु है; हालाँकि सभी स्थिर बिंदु वर्तन बिंदु नहीं होते हैं। यदि फलन दो बार अलग-अलग होता है, तो स्थिर बिंदु जो वर्तन बिंदु नहीं हैं, वे क्षैतिज विभक्ति बिंदु हैं। उदाहरण के लिए, फलन पर एक स्थिर बिंदु x = 0 है, जो एक विभक्ति बिंदु भी है, लेकिन एक महत्वपूर्ण वर्तन नहीं है।[3]


वर्गीकरण

एक लेखाचित्र जिसमें स्थानीय एक्स्ट्रेमा और वैश्विक एक्स्ट्रेमा को लेबल किया गया है।
See also: दीर्घतम और न्यूनतम

एक के पृथक स्थिर बिंदु वास्तविक मूल्यवान फलन को पहले व्युत्पन्न परीक्षण द्वारा चार प्रकारों में वर्गीकृत किया गया है:

  • एक स्थानीय न्यूनतम (न्यूनतम वर्तन बिंदु या सापेक्ष न्यूनतम) वह है जहां फलन का व्युत्पन्न नकारात्मक से सकारात्मक में बदल जाता है;
  • एक स्थानीय दीर्घतम (अधिकतम वर्तन बिंदु या सापेक्ष अधिकतम) वह है जहां फलन का व्युत्पन्न सकारात्मक से नकारात्मक में बदल जाता है;
सैडल बिंदु (स्थिर बिंदु जो न तो स्थानीय उच्चिष्ठ और न ही न्यूनतम हैं: वे विभक्ति बिंदु हैं। बायां विभक्ति का एक बढ़ता हुआ बिंदु है (व्युत्पन्न लाल बिंदु के दोनों किनारों पर धनात्मक है); दायां विभक्ति का एक गिरता हुआ बिंदु है (व्युत्पन्न है लाल बिंदु के दोनों ओर ऋणात्मक)।
  • एक बढ़ता हुआ वर्तन बिंदु (या वर्तन) वह है जहां फलन का व्युत्पन्न स्थिर बिंदु के दोनों किनारों पर सकारात्मक होता है; ऐसा बिंदु अवतल कार्य में परिवर्तन को चिह्नित करता है;
  • नति परिवर्तन (या नति परिवर्तन) का एक गिरता हुआ बिंदु वह होता है जहां स्थिर बिंदु के दोनों ओर फलन का अवकलज ऋणात्मक होता है; ऐसा बिंदु समतलता में परिवर्तन का प्रतीक है।

पहले दो विकल्पों को सामूहिक रूप से दीर्घतम और न्यूनतम के रूप में जाना जाता है। इसी प्रकार एक बिंदु जो वैश्विक (या पूर्ण) अधिकतम या वैश्विक (या पूर्ण) न्यूनतम है, वैश्विक (या पूर्ण) चरम कहा जाता है। अंतिम दो विकल्प-स्थिर बिंदु जो स्थानीय चरम पर नहीं हैं- पल्याण बिंदु के रूप में जाने जाते हैं।

फर्मेट के प्रमेय, सीमा पर या स्थिर बिंदुओं पर वैश्विक एक्स्ट्रेमा होना चाहिए (एक के लिए फलन)।

वक्र रेखाचित्र

The roots, stationary points, inflection point and concavity of a cubic polynomial x3 − 3x2 − 144x + 432 (black line) and its first and second derivatives (red and blue).

स्थिर बिंदुओं की स्थिति और प्रकृति का निर्धारण अलग-अलग कार्यों के वक्र रेखाचित्र में सहायता करता है। समीकरण f'(x) = 0 को हल करना सभी स्थिर बिंदुओं के x-निर्देशांक लौटाता है; y-निर्देशांक तुच्छ रूप से उन x-निर्देशांकों पर फलन मान हैं।

x पर एक स्थिर बिंदु की विशिष्ट प्रकृति कुछ मामलों में दूसरे व्युत्पन्न f''(x) की जांच करके निर्धारित की जा सकती है:

  • यदि f(x) < 0, x पर स्थिर बिंदु अवतल है; एक अधिकतम चरम।
  • यदि f(x) > 0, x पर स्थिर बिंदु अवतल है; एक न्यूनतम चरम।
  • यदि f(x) = 0, स्थिर बिंदु की प्रकृति को अन्य तरीकों से निर्धारित किया जाना चाहिए, प्रायः उस बिंदु के चारों ओर एक संकेत परिवर्तन को ध्यान में रखते हुए।

एक स्थिर बिंदु की प्रकृति का निर्धारण करने का एक अधिक सरल तरीका स्थिर बिंदुओं के बीच फलन मानों की जांच करना है (यदि फलन परिभाषित है और उनके बीच निरंतर है)।

वर्तन बिंदु का एक सरल उदाहरण फलन f(x) = x3 है। बिंदु x = 0 के बारे में उत्तलता का स्पष्ट परिवर्तन है, और हम इसे कलन के माध्यम से सिद्ध कर सकते हैं। एफ का दूसरा व्युत्पन्न हर जगह-निरंतर 6x है, और x = 0, f'' = 0 पर, और इस बिंदु के बारे में संकेत बदलता है। अतः x = 0 एक विभक्ति बिंदु है।

अधिक सामान्यतः, वास्तविक मूल्यवान फलन के स्थिर बिंदु उन अंक x0 के बराबर है जहां हर दिशा में व्युत्पन्न शून्य के बराबर है, या समकक्ष, अनुप्रवण शून्य है।

उदाहरण

फलन f(x) = x4 के लिए हमारे पास f'(0) = 0 और f(0) = 0 है। भले ही f(0) = 0, यह बिंदु विभक्ति का बिंदु नहीं है। इसका कारण यह है कि f'(x) का चिह्न ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है।

फलन f(x) = sin(x) के लिए हमारे पास f'(0) ≠ 0 और f(0) = 0 है। लेकिन यह एक स्थिर बिंदु नहीं है बल्कि यह विभक्ति का बिंदु है। ऐसा इसलिए है क्योंकि अवतल नीचे की ओर अवतल से ऊपर की ओर अवतल में बदलता है और f'(x) का चिन्ह नहीं बदलता है; यह सकारात्मक रहता है।

फलन f(x) = x3 के लिए हमारे पास f'(0) = 0 और f(0) = 0 है। यह एक स्थिर बिंदु और वर्तन का बिंदु दोनों है। ऐसा इसलिए है क्योंकि अवतलता नीचे की ओर अवतल से ऊपर की ओर अवतल में बदलता है और f'(x) का चिह्न नहीं बदलता है; यह सकारात्मक रहता है।

यह भी देखें

संदर्भ

  1. ↑ Chiang, Alpha C. (1984). Fundamental Methods of Mathematical Economics (3rd ed.). New York: McGraw-Hill. p. 236. ISBN 0-07-010813-7.
  2. ↑ 2.0 2.1 Saddler, David; Shea, Julia; Ward, Derek (2011), "12 B Stationary Points and Turning Points", Cambridge 2 Unit Mathematics Year 11, Cambridge University Press, p. 318, ISBN 9781107679573
  3. ↑ 3.0 3.1 "Turning points and stationary points". TCS FREE high school mathematics 'How-to Library'. Retrieved 30 October 2011.


बाहरी संबंध

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