केंद्रीय सीमा प्रमेय: Difference between revisions

Latest revision as of 15:34, 6 November 2023

प्रायिकता सिद्धांत में, केंद्रीय सीमा प्रमेय (सीएलटी) स्थापित करता है, और कई स्थितियों में, समान रूप से वितरित स्वतंत्र प्रतिरूपो के लिए, मानकीकृत प्रतिरूप माध्य मानक सामान्य वितरण की ओर जाता है, भले ही मूल चर स्वयं सामान्य रूप से वितरित न हों।

प्रायिकता सिद्धांत में प्रमेय एक महत्वपूर्ण अवधारणा है क्योंकि इसका तात्पर्य है कि प्रायिकता और सांख्यिकी विधियां जो सामान्य वितरण के लिए कार्य करती हैं, और अन्य प्रकार के वितरणों से जुड़ी कई समस्याओं पर अनुप्रयोज्य हो सकती हैं।

प्रायिकता सिद्धांत के औपचारिक विकास के पर्यन्त इस प्रमेय में कई परिवर्तन देखे गए हैं। प्रमेय के पूर्व संस्करण 1811 से पूर्व के हैं, परन्तु अपने आधुनिक सामान्य रूप में, प्रायिकता सिद्धांत में इस मौलिक परिणाम को 1920 के अंत तक सटीक रूप से कहा गया था,^[1] इस प्रकार लौकिक और आधुनिक प्रायिकता सिद्धांत के मध्य एक सेतु के रूप में कार्य करना है।

यदि ${\textstyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n},\dots }$ समग्र अपेक्षित मान वाली समष्टि से लिए गए यादृच्छिक प्रतिरूप ${\textstyle \mu }$ है, परिमित विचरण ${\textstyle \sigma ^{2}}$ , यदि ${\textstyle {\bar {X}}_{n}}$ प्रथम का प्रतिरूप माध्य ${\textstyle n}$ है, और फिर वितरण का सीमित रूप, ${\textstyle Z=\lim _{n\to \infty }{\left({\frac {{\bar {X}}_{n}-\mu }{\sigma _{\bar {X}}}}\right)}}$ , के साथ $\sigma _{\bar {X}}=\sigma /{\sqrt {n}}$ , एक मानक सामान्य वितरण है।^[2]

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि एक प्रतिरूप प्राप्त किया जाता है जिसमें कई यादृच्छिक चर होते हैं, प्रत्येक अवलोकन यादृच्छिक रूप से इस तरह से उत्पन्न होता है जो अन्य अवलोकनों के मानों पर निर्भर नहीं होता है, और अवलोकन किए गए मानों के अंकगणितीय माध्य की गणना की जाती है। यदि यह प्रक्रिया कई बार की जाती है, तो केंद्रीय सीमा प्रमेय का तात्पर्य है कि औसत की प्रायिकता वितरण एक सामान्य वितरण के अंतअ होगा।

केंद्रीय सीमा प्रमेय के कई रूप हैं। अपने सामान्य रूप में, यादृच्छिक चर स्वतंत्र और समान रूप से वितरित (i.i.d.) होना चाहिए। भिन्नताओं में, सामान्य वितरण के माध्य का अभिसरण गैर-समान वितरणों के लिए या गैर-स्वतंत्र प्रेक्षणों के लिए भी होता है, यदि वे कुछ प्रतिबंधों का अनुपालन करते हैं।

इस प्रमेय का प्रारंभिक संस्करण, कि सामान्य वितरण को द्विपद वितरण के सन्निकटन के रूप में उपयोग किया जा सकता है, तथा द्विपद वितरण, डी मोइवर-लाप्लास प्रमेय है।

स्वतंत्र क्रम

जनसंख्या वितरण का जो भी रूप हो, प्रतिरूपकरण वितरण गॉसियन की ओर जाता है, और इसका परिक्षेपण केंद्रीय सीमा प्रमेय द्वारा दिया जाता है।^[3]

लौकिक सीएलटी

माना ${\textstyle \{X_{1},\ldots ,X_{n}}\}$ यादृच्छिक प्रतिरूप का एक क्रम हो - अर्थात, आई.आई.डी. के एक क्रम द्वारा दिए गए अपेक्षित मान के वितरण से निर्मित किए गए यादृच्छिक चर ${\textstyle \mu }$ और परिमित विचरण ${\textstyle \sigma ^{2}}$ द्वारा दिया गया है, मान लीजिए हम प्रथम ${\textstyle n}$ प्रतिरूप माध्य में रुचि रखते हैं।

{\bar {X}}_{n}\equiv {\frac {X_{1}+\cdots +X_{n}}{n}}

बड़ी संख्या के नियम के अनुसार, प्रतिरूप औसत अनुमानित मान के लगभग निश्चित रूप से (और इसलिए प्रायिकता में भी अभिसरित) अपेक्षित मान ${\textstyle \mu }$ जब ${\textstyle n\to \infty }$ पर अभिसरित होता है।

लौकिक केंद्रीय सीमा प्रमेय नियतात्मक संख्या ${\textstyle \mu }$ इस अभिसरण के पर्यन्त आसपास प्रसंभाव्य अस्थिरता के आकार और वितरण रूप का वर्णन करता है। अधिक सटीक रूप से, यह बताता है कि जैसे ${\textstyle n}$ बड़ा हो जाता है, प्रतिरूप औसत के मध्य अंतर का वितरण ${\textstyle {\bar {X}}_{n}}$ और इसकी सीमा ${\textstyle \mu }$ , जब कारक ${\textstyle {\sqrt {n}}}$ (अर्थात ${\textstyle {\sqrt {n}}({\bar {X}}_{n}-\mu )}$ ) द्वारा गुणा किया जाता है। माध्य 0 और विचरण के साथ सामान्य वितरण ${\textstyle \sigma ^{2}}$ का अनुमान लगाता है। काफी बड़े $n$ के लिए, ${\textstyle {\bar {X}}_{n}}$ का वितरण माध्य के साथ अव्यवस्थिततः सामान्य वितरण ${\textstyle \mu }$ और विचरण ${\textstyle \sigma ^{2}/n}$ के अंतअ हो जाता है।

प्रमेय की उपयोगिता यह है कि ${\textstyle {\sqrt {n}}({\bar {X}}_{n}-\mu )}$ का वितरण विशिष्ट ${\textstyle X_{i}}$ के वितरण के आकार की उपेक्षा किए बिना सामान्यता तक पहुँचता है। औपचारिक रूप से, प्रमेय को निम्नानुसार कहा जा सकता है:

Lindeberg–Lévy CLT — मान लीजिए ${\textstyle \{X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots \}}$ i.i.d. का क्रम है, यादृच्छिक चर ${\textstyle \mathbb {E} [X_{i}]=\mu }$ और ${\textstyle \operatorname {Var} [X_{i}]=\sigma ^{2}<\infty }$ के साथ, तब ऐसे ${\textstyle n}$ अनंत तक पहुंचता है, यादृच्छिक चर ${\textstyle {\sqrt {n}}({\bar {X}}_{n}-\mu )}$ वितरण में अभिसरण एक के लिए सामान्य ${\textstyle {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})}$ है:^[4]

{\sqrt {n}}\left({\bar {X}}_{n}-\mu \right)\ \xrightarrow {d} \ {\mathcal {N}}\left(0,\sigma ^{2}\right).

यदि ${\textstyle \sigma >0}$ , वितरण में अभिसरण का अर्थ है कि संचयी वितरण ${\textstyle {\sqrt {n}}({\bar {X}}_{n}-\mu )}$ कार्य करता है, ${\textstyle {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})}$ वितरण के बिंदुवार को सीडीएफ में अभिसरण करें: प्रत्येक वास्तविक संख्या ${\textstyle z}$ के लिए,

\lim _{n\to \infty }\mathbb {P} \left[{\sqrt {n}}({\bar {X}}_{n}-\mu )\leq z\right]=\lim _{n\to \infty }\mathbb {P} \left[{\frac {{\sqrt {n}}({\bar {X}}_{n}-\mu )}{\sigma }}\leq {\frac {z}{\sigma }}\right]=\Phi \left({\frac {z}{\sigma }}\right),

जहाँ

{\textstyle \Phi (z)}

मानक सामान्य सीडीएफ है, जिसका

{\textstyle z}

पर मूल्यांकन किया जाता है और अभिसरण

{\textstyle z}

एक समान है, इस अर्थ में कि

\lim _{n\to \infty }\;\sup _{z\in \mathbb {R} }\;\left|\mathbb {P} \left[{\sqrt {n}}({\bar {X}}_{n}-\mu )\leq z\right]-\Phi \left({\frac {z}{\sigma }}\right)\right|=0~,

जहाँ

{\textstyle \sup }

समुच्चय के न्यूनतम ऊपरी सीमा (या सर्वोच्च) को दर्शाता है।^[5]

लायपुनोव सीएलटी

प्रमेय का नाम रूसी गणितज्ञ अलेक्जेंडर लायपुनोव के नाम पर रखा गया है। केंद्रीय सीमा प्रमेय के इस संस्करण में यादृच्छिक चर ${\textstyle X_{i}}$ स्वतंत्र होना चाहिए, परन्तु आवश्यक नहीं कि समान रूप से वितरित किया जाए। प्रमेय को भी यादृच्छिक चर ${\textstyle \left|X_{i}\right|}$ की आवश्यकता होती है, कुछ क्रम ${\textstyle (2+\delta )}$ के क्षण है और यह कि इन क्षणो के वृद्धि की दर नीचे दी गई लायपुनोव स्थिति द्वारा सीमित है।

Lyapunov CLT^[6] — मान लीजिए कि ${\textstyle \{X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots \}}$ स्वतंत्र यादृच्छिक चर का एक क्रम है, प्रत्येक परिमित अपेक्षित मान ${\textstyle \mu _{i}}$ और विचरण ${\textstyle \sigma _{i}^{2}}$ के साथ परिभाषित

s_{n}^{2}=\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}.

यदि कुछ के लिए ${\textstyle \delta >0}$ , लायपुनोव स्थिति

\lim _{n\to \infty }\;{\frac {1}{s_{n}^{2+\delta }}}\,\sum _{i=1}^{n}\mathbb {E} \left[\left|X_{i}-\mu _{i}\right|^{2+\delta }\right]=0

संतुष्ट है, तब

{\textstyle {\frac {X_{i}-\mu _{i}}{s_{n}}}}

के योग वितरण में एक मानक सामान्य यादृच्छिक चर के रूप में परिवर्तित होता है,

{\textstyle n}

अनंत तक जाता है:

{\frac {1}{s_{n}}}\,\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu _{i}\right)\ \xrightarrow {d} \ {\mathcal {N}}(0,1).

व्यवहार में सामान्यतः लायपुनोव की स्थिति ${\textstyle \delta =1}$ की जांच करना सबसे सरल होता है।

यदि यादृच्छिक चर का एक क्रम लायपुनोव की स्थिति को संतुष्ट करता है, तो यह लिंडबर्ग की स्थिति को भी संतुष्ट करता है। हालांकि, विपरीत निहितार्थ पकड़ में नहीं आता है।

लिंडबर्ग सीएलटी

उसी समुच्चयन में और उपरोक्त के समान संकेतन के साथ, लायपुनोव की स्थिति को निम्नलिखित दुर्बल (1920 में जारल वाल्डेमर लिंडेबर्ग से) के साथ परिवर्तित किया जा सकता है।

मान लीजिए कि प्रत्येक ${\textstyle \varepsilon >0}$ के लिए

\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{s_{n}^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\mathbb {E} \left[(X_{i}-\mu _{i})^{2}\cdot \mathbf {1} _{\left\{X_{i}:\left|X_{i}-\mu _{i}\right|>\varepsilon s_{n}\right\}}\right]=0

जहाँ

{\textstyle \mathbf {1} _{\{\ldots \}}}

सूचक कार्य है। फिर मानकीकृत योग का वितरण

{\frac {1}{s_{n}}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu _{i}\right)

मानक सामान्य वितरण

{\textstyle {\mathcal {N}}(0,1)}

की ओर अभिसरण करता है।

बहुआयामी सीएलटी

विशिष्ट फलनों का उपयोग करने वाले प्रमाणों को उन स्थितियों तक बढ़ाया जा सकता है जहां प्रत्येक विशिष्ट ${\textstyle \mathbf {X} _{i}}$ में एक यादृच्छिक सदिश ${\textstyle \mathbb {R} ^{k}}$ है, ${\textstyle {\boldsymbol {\mu }}=\mathbb {E} [\mathbf {X} _{i}]}$ अभिप्राय सदिश के साथ और सहप्रसरण आव्यूह ${\textstyle \mathbf {\Sigma } }$ (सदिश के घटकों के मध्य), और ये यादृच्छिक सदिश स्वतंत्र और समान रूप से वितरित हैं। बहुआयामी केंद्रीय सीमा प्रमेय में वर्णित है कि जब माप क्रमित किया जाता है, तो योग एक बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण में परिवर्तित हो जाते हैं।^[7]

माना

\mathbf {X} _{i}={\begin{bmatrix}X_{i(1)}\\\vdots \\X_{i(k)}\end{bmatrix}}

k

-सदिश है। माप क्रमित

{\textstyle \mathbf {X} _{i}}

का अर्थ है कि यह एक यादृच्छिक सदिश है, न कि एक यादृच्छिक (अविभाजित) चर है। तब यादृच्छिक सदिशों का योग होगा;

{\begin{bmatrix}X_{1(1)}\\\vdots \\X_{1(k)}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}X_{2(1)}\\\vdots \\X_{2(k)}\end{bmatrix}}+\cdots +{\begin{bmatrix}X_{n(1)}\\\vdots \\X_{n(k)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sum _{i=1}^{n}\left[X_{i(1)}\right]\\\vdots \\\sum _{i=1}^{n}\left[X_{i(k)}\right]\end{bmatrix}}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {X} _{i}

और औसत है

{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {X} _{i}={\frac {1}{n}}{\begin{bmatrix}\sum _{i=1}^{n}X_{i(1)}\\\vdots \\\sum _{i=1}^{n}X_{i(k)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\bar {X}}_{i(1)}\\\vdots \\{\bar {X}}_{i(k)}\end{bmatrix}}=\mathbf {{\bar {X}}_{n}}

और इसलिए

{\frac {1}{\sqrt {n}}}\sum _{i=1}^{n}\left[\mathbf {X} _{i}-\mathbb {E} \left(X_{i}\right)\right]={\frac {1}{\sqrt {n}}}\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {X} _{i}-{\boldsymbol {\mu }})={\sqrt {n}}\left({\overline {\mathbf {X} }}_{n}-{\boldsymbol {\mu }}\right)~.

बहुभिन्नरूपी केंद्रीय सीमा प्रमेय कहता है कि

{\sqrt {n}}\left({\overline {\mathbf {X} }}_{n}-{\boldsymbol {\mu }}\right)\,\xrightarrow {D} \ {\mathcal {N}}_{k}(0,{\boldsymbol {\Sigma }})

जहां सहप्रसरण आव्यूह

{\boldsymbol {\Sigma }}

के समान है

X_{1},\dots ,X_{n},\dots

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-{{Short description|Fundamental theorem in probability theory and statistics}}
+प्रायिकता सिद्धांत में, '''केंद्रीय सीमा प्रमेय''' ('''सीएलटी''') स्थापित करता है, और कई स्थितियों में, समान रूप से वितरित स्वतंत्र प्रतिरूपो के लिए, मानकीकृत प्रतिरूप माध्य मानक सामान्य वितरण की ओर जाता है, भले ही मूल चर स्वयं सामान्य रूप से वितरित न हों।
-प्रायिकता सिद्धांत में, केंद्रीय सीमा प्रमेय (CLT) स्थापित करता है, कई स्थितियों में, समान रूप से वितरित स्वतंत्र प्रतिरूपो के लिए, मानकीकृत प्रतिरूप माध्य मानक सामान्य वितरण की ओर जाता है, भले ही मूल चर स्वयं सामान्य रूप से वितरित न हों।
+प्रायिकता सिद्धांत में प्रमेय एक महत्वपूर्ण अवधारणा है क्योंकि इसका तात्पर्य है कि प्रायिकता और सांख्यिकी विधियां जो सामान्य वितरण के लिए कार्य करती हैं, और अन्य प्रकार के वितरणों से जुड़ी कई समस्याओं पर अनुप्रयोज्य हो सकती हैं।
-प्रायिकता सिद्धांत में प्रमेय एक महत्वपूर्ण अवधारणा है क्योंकि इसका तात्पर्य है कि प्रायिकता और सांख्यिकी विधियां जो सामान्य वितरण के लिए कार्य करती हैं, अन्य प्रकार के वितरणों से जुड़ी कई समस्याओं पर अनुप्रयोज्य हो सकती हैं।
 प्रायिकता सिद्धांत के औपचारिक विकास के पर्यन्त इस प्रमेय में कई परिवर्तन देखे गए हैं। प्रमेय के पूर्व संस्करण 1811 से पूर्व के हैं, परन्तु अपने आधुनिक सामान्य रूप में, प्रायिकता सिद्धांत में इस मौलिक परिणाम को 1920 के अंत तक सटीक रूप से कहा गया था,<ref>{{cite web |last1=Fischer |first1=Hans |title=केंद्रीय सीमा प्रमेय का इतिहास|url=http://www.medicine.mcgill.ca/epidemiology/hanley/bios601/GaussianModel/HistoryCentralLimitTheorem.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20171031171033/http://www.medicine.mcgill.ca/epidemiology/hanley/bios601/GaussianModel/HistoryCentralLimitTheorem.pdf |archive-date=2017-10-31 |url-status=live |publisher=Springer New York Dordrecht Heidelberg London |access-date=29 April 2021}}</ref> इस प्रकार लौकिक और आधुनिक प्रायिकता सिद्धांत के मध्य एक सेतु के रूप में कार्य करना है।
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 == स्वतंत्र क्रम ==
-[[File:IllustrationCentralTheorem.png|400px|thumb|right|जनसंख्या वितरण का जो भी रूप हो, प्रतिरूपकरण वितरण गॉसियन की ओर जाता है, और इसका फैलाव केंद्रीय सीमा प्रमेय द्वारा दिया जाता है।<ref>{{cite book |last=Rouaud |first=Mathieu |title=संभाव्यता, सांख्यिकी और अनुमान|year=2013 |page=10 |url=http://www.incertitudes.fr/book.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/http://www.incertitudes.fr/book.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=live }}</ref>]]
+[[File:IllustrationCentralTheorem.png|400px|thumb|right|जनसंख्या वितरण का जो भी रूप हो, प्रतिरूपकरण वितरण गॉसियन की ओर जाता है, और इसका परिक्षेपण केंद्रीय सीमा प्रमेय द्वारा दिया जाता है।<ref>{{cite book |last=Rouaud |first=Mathieu |title=संभाव्यता, सांख्यिकी और अनुमान|year=2013 |page=10 |url=http://www.incertitudes.fr/book.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/http://www.incertitudes.fr/book.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=live }}</ref>]]
 === लौकिक सीएलटी ===
 माना <math display="inline">\{X_1, \ldots, X_n}\</math> [[ यादृच्छिक नमूना |यादृच्छिक प्रतिरूप]] का एक क्रम हो - अर्थात, आई.आई.डी. के एक क्रम द्वारा दिए गए अपेक्षित मान के वितरण से निर्मित किए गए यादृच्छिक चर <math display="inline">\mu</math> और परिमित विचरण {{nowrap|<math display="inline">\sigma^2</math>}} द्वारा दिया गया है, मान लीजिए हम प्रथम <math display="inline">n</math> प्रतिरूप माध्य में रुचि रखते हैं।
 <math display="block">\bar{X}_n \equiv \frac{X_1 + \cdots + X_n}{n}</math>
 बड़ी संख्या के नियम के अनुसार, प्रतिरूप औसत अनुमानित मान के [[लगभग सुनिश्चित अभिसरण|लगभग निश्चित रूप से]] (और इसलिए प्रायिकता में भी अभिसरित) अपेक्षित मान <math display="inline">\mu</math> जब {{nowrap|<math display="inline">n\to\infty</math>}} पर अभिसरित होता है।
-लौकिक केंद्रीय सीमा प्रमेय नियतात्मक संख्या <math display="inline">\mu</math> इस अभिसरण के पर्यन्त आसपास प्रसंभाव्य अस्थिरता के आकार और वितरण रूप का वर्णन करता है। अधिक सटीक रूप से, यह बताता है कि जैसा <math display="inline">n</math> बड़ा हो जाता है, प्रतिरूप औसत के मध्य अंतर का वितरण <math display="inline">\bar{X}_n</math> और इसकी सीमा {{nowrap|<math display="inline">\mu</math>,}} जब कारक <math display="inline">\sqrt{n}</math> {{nowrap|<big>(</big>अर्थात <math display="inline">\sqrt{n}(\bar{X}_n - \mu)</math><big>)</big>}} द्वारा गुणा किया जाता है। माध्य 0 और विचरण के साथ सामान्य वितरण {{nowrap|<math display="inline">\sigma^2</math>}}का अनुमान लगाता है। काफी बड़े {{mvar|n}} के लिए,  <math display="inline">\bar{X}_n</math> का वितरण माध्य के साथ अव्यवस्थिततः सामान्य वितरण <math display="inline">\mu</math> और विचरण {{nowrap|<math display="inline">\sigma^2/n</math>}} के अंतअ हो जाता है।
+लौकिक केंद्रीय सीमा प्रमेय नियतात्मक संख्या <math display="inline">\mu</math> इस अभिसरण के पर्यन्त आसपास प्रसंभाव्य अस्थिरता के आकार और वितरण रूप का वर्णन करता है। अधिक सटीक रूप से, यह बताता है कि जैसे <math display="inline">n</math> बड़ा हो जाता है, प्रतिरूप औसत के मध्य अंतर का वितरण <math display="inline">\bar{X}_n</math> और इसकी सीमा {{nowrap|<math display="inline">\mu</math>,}} जब कारक <math display="inline">\sqrt{n}</math> {{nowrap|<big>(</big>अर्थात <math display="inline">\sqrt{n}(\bar{X}_n - \mu)</math><big>)</big>}} द्वारा गुणा किया जाता है। माध्य 0 और विचरण के साथ सामान्य वितरण {{nowrap|<math display="inline">\sigma^2</math>}} का अनुमान लगाता है। काफी बड़े {{mvar|n}} के लिए,  <math display="inline">\bar{X}_n</math> का वितरण माध्य के साथ अव्यवस्थिततः सामान्य वितरण <math display="inline">\mu</math> और विचरण {{nowrap|<math display="inline">\sigma^2/n</math>}} के अंतअ हो जाता है।
 प्रमेय की उपयोगिता यह है कि <math display="inline">\sqrt{n}(\bar{X}_n - \mu)</math> का वितरण विशिष्ट {{nowrap|<math display="inline">X_i</math>}} के वितरण के आकार की उपेक्षा किए बिना सामान्यता तक पहुँचता है। औपचारिक रूप से, प्रमेय को निम्नानुसार कहा जा सकता है:
 {{math theorem | name = Lindeberg–Lévy CLT | math_statement =
-मान लीजिए <math display="inline">\{X_1, \ldots, X_n, \ldots\}</math>  [[independent and identically distributed|i.i.d.]] का क्रम है। एक यादृच्छिक चर के साथ <math display="inline">\mathbb{E}[X_i] = \mu</math> और {{nowrap|<math display="inline">\operatorname{Var}[X_i] = \sigma^2 < \infty</math>।}} फिर ऐसे <math display="inline">n</math> अनंत तक पहुंचता है, यादृच्छिक चर <math display="inline">\sqrt{n}(\bar{X}_n - \mu)</math> [[वितरण में अभिसरण|वितरण में अभिसरण]] एक के लिए [[सामान्य वितरण|सामान्य]] {{nowrap|<math display="inline">\mathcal{N}(0, \sigma^2)</math> है:}}<ref>Billingsley (1995, p.&nbsp;357)</ref>
+मान लीजिए <math display="inline">\{X_1, \ldots, X_n, \ldots\}</math>  [[independent and identically distributed|i.i.d.]] का क्रम है, यादृच्छिक चर <math display="inline">\mathbb{E}[X_i] = \mu</math> और {{nowrap|<math display="inline">\operatorname{Var}[X_i] = \sigma^2 < \infty</math>}} के साथ, तब ऐसे <math display="inline">n</math> अनंत तक पहुंचता है, यादृच्छिक चर <math display="inline">\sqrt{n}(\bar{X}_n - \mu)</math> [[वितरण में अभिसरण|वितरण में अभिसरण]] एक के लिए [[सामान्य वितरण|सामान्य]] {{nowrap|<math display="inline">\mathcal{N}(0, \sigma^2)</math> है:}}<ref>Billingsley (1995, p.&nbsp;357)</ref>
 <math display="block">\sqrt{n}\left(\bar{X}_n - \mu\right)\ \xrightarrow{d}\ \mathcal{N}\left(0,\sigma^2\right) .</math>}}
 यदि {{nowrap|<math display="inline">\sigma > 0</math>,}} वितरण में अभिसरण का अर्थ है कि [[संचयी वितरण कार्य|संचयी वितरण]] <math display="inline">\sqrt{n}(\bar{X}_n - \mu)</math> कार्य करता है, <math display="inline">\mathcal{N}(0, \sigma^2)</math> वितरण के बिंदुवार को सीडीएफ में अभिसरण करें: प्रत्येक वास्तविक {{nowrap|संख्या <math display="inline">z</math>}} के लिए,
 <math display="block">\lim_{n\to\infty} \mathbb{P}\left[\sqrt{n}(\bar{X}_n-\mu) \le z\right] = \lim_{n\to\infty} \mathbb{P}\left[\frac{\sqrt{n}(\bar{X}_n-\mu)}{\sigma } \le \frac{z}{\sigma}\right]= \Phi\left(\frac{z}{\sigma}\right) ,</math>
-जहाँ <math display="inline">\Phi(z)</math> मानक सामान्य सीडीएफ है, जिसका <math display="inline">z</math> पर मूल्यांकन किया जाता है, अभिसरण <math display="inline">z</math> एक समान है इस अर्थ में कि
+जहाँ <math display="inline">\Phi(z)</math> मानक सामान्य सीडीएफ है, जिसका <math display="inline">z</math> पर मूल्यांकन किया जाता है और अभिसरण <math display="inline">z</math> एक समान है, इस अर्थ में कि
 <math display="block">\lim_{n\to\infty}\;\sup_{z\in\R}\;\left|\mathbb{P}\left[\sqrt{n}(\bar{X}_n-\mu) \le z\right] - \Phi\left(\frac{z}{\sigma}\right)\right| = 0~,</math>
 जहाँ <math display="inline">\sup</math> समुच्चय के न्यूनतम ऊपरी सीमा (या सर्वोच्च) को दर्शाता है।<ref>Bauer (2001, Theorem 30.13, p.199)</ref>
@@ Line 44: / Line 43: @@
 {{math theorem | name = Lyapunov CLT<ref>Billingsley (1995, p.362)</ref> | math_statement =
-मान लीजिए कि <math display="inline">\{X_1, \ldots, X_n, \ldots\}</math> स्वतंत्र यादृच्छिक चर का एक क्रम है, प्रत्येक परिमित अपेक्षित मान के साथ <math display="inline">\mu_i</math> और विचरण {{nowrap|<math display="inline">\sigma_i^2</math>.}} परिभाषित
+मान लीजिए कि <math display="inline">\{X_1, \ldots, X_n, \ldots\}</math> स्वतंत्र यादृच्छिक चर का एक क्रम है, प्रत्येक परिमित अपेक्षित मान <math display="inline">\mu_i</math> और विचरण {{nowrap|<math display="inline">\sigma_i^2</math>}} के साथ परिभाषित
 <math display="block">s_n^2 = \sum_{i=1}^n \sigma_i^2 .</math>
 यदि कुछ के लिए {{nowrap|<math display="inline">\delta > 0</math>,}} लायपुनोव स्थिति
 <math display="block">\lim_{n\to\infty} \; \frac{1}{s_{n}^{2+\delta}} \, \sum_{i=1}^{n} \mathbb{E}\left[\left|X_{i} - \mu_{i}\right|^{2+\delta}\right] = 0</math>
-संतुष्ट है, तो की योग <math display="inline">\frac{X_i - \mu_i}{s_n}</math> वितरण में एक मानक सामान्य यादृच्छिक चर के रूप में अभिसरण करता है <math display="inline">n</math> अनंत तक जाता है:
+संतुष्ट है, तब <math display="inline">\frac{X_i - \mu_i}{s_n}</math> के योग वितरण में एक मानक सामान्य यादृच्छिक चर के रूप में परिवर्तित होता है, <math display="inline">n</math> अनंत तक जाता है:
 <math display="block">\frac{1}{s_n}\,\sum_{i=1}^{n} \left(X_i - \mu_i\right) \ \xrightarrow{d}\ \mathcal{N}(0,1) .</math>}}
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 === बहुआयामी सीएलटी ===
-विशिष्ट फलनों का उपयोग करने वाले प्रमाणों को उन स्थितियों तक बढ़ाया जा सकता है जहां प्रत्येक विशिष्ट <math display="inline">\mathbf{X}_i</math> में एक यादृच्छिक सदिश {{nowrap|<math display="inline">\R^k</math>}} है, <math display="inline">\boldsymbol\mu = \mathbb{E}[\mathbf{X}_i]</math> अभिप्राय सदिश के साथ और सहप्रसरण आव्यूह <math display="inline">\mathbf{\Sigma}</math> (सदिश के घटकों के मध्य), और ये यादृच्छिक सदिश स्वतंत्र और समान रूप से वितरित हैं। बहुआयामी केंद्रीय सीमा प्रमेय में कहा गया है कि जब माप क्रमित किया जाता है, तो योग एक [[बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण]] में परिवर्तित हो जाते हैं।<ref>{{Cite book |last=van der Vaart |first=A.W. |title=स्पर्शोन्मुख आँकड़े|year=1998 |publisher=Cambridge University Press |location=New York, NY |isbn=978-0-521-49603-2 |lccn=98015176 |ref=CITEREFvan_der_Vaart1998}}</ref>
+विशिष्ट फलनों का उपयोग करने वाले प्रमाणों को उन स्थितियों तक बढ़ाया जा सकता है जहां प्रत्येक विशिष्ट <math display="inline">\mathbf{X}_i</math> में एक यादृच्छिक सदिश {{nowrap|<math display="inline">\R^k</math>}} है, <math display="inline">\boldsymbol\mu = \mathbb{E}[\mathbf{X}_i]</math> अभिप्राय सदिश के साथ और सहप्रसरण आव्यूह <math display="inline">\mathbf{\Sigma}</math> (सदिश के घटकों के मध्य), और ये यादृच्छिक सदिश स्वतंत्र और समान रूप से वितरित हैं। बहुआयामी केंद्रीय सीमा प्रमेय में वर्णित है कि जब माप क्रमित किया जाता है, तो योग एक [[बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण]] में परिवर्तित हो जाते हैं।<ref>{{Cite book |last=van der Vaart |first=A.W. |title=स्पर्शोन्मुख आँकड़े|year=1998 |publisher=Cambridge University Press |location=New York, NY |isbn=978-0-521-49603-2 |lccn=98015176 |ref=CITEREFvan_der_Vaart1998}}</ref>
 माना
 <math display="block">\mathbf{X}_i = \begin{bmatrix} X_{i(1)} \\ \vdots \\ X_{i(k)} \end{bmatrix}</math>
-{{mvar|k}}-सदिश है। माप क्रमित <math display="inline">\mathbf{X}_i</math> इसका अर्थ है कि यह एक यादृच्छिक सदिश है, न कि एक यादृच्छिक (अविभाजित) चर। तब यादृच्छिक सदिशों का [[योग]] होगा
+{{mvar|k}}-सदिश है। माप क्रमित <math display="inline">\mathbf{X}_i</math> का अर्थ है कि यह एक यादृच्छिक सदिश है, न कि एक यादृच्छिक (अविभाजित) चर है। तब यादृच्छिक सदिशों का [[योग]] होगा;
 <math display="block">\begin{bmatrix} X_{1(1)} \\ \vdots \\ X_{1(k)} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} X_{2(1)} \\ \vdots \\ X_{2(k)} \end{bmatrix} + \cdots + \begin{bmatrix} X_{n(1)} \\ \vdots \\ X_{n(k)} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sum_{i=1}^{n} \left [ X_{i(1)} \right ] \\ \vdots \\ \sum_{i=1}^{n} \left [ X_{i(k)} \right ] \end{bmatrix} = \sum_{i=1}^{n} \mathbf{X}_i</math>
 और औसत है
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 {{math theorem | name = Theorem<ref>{{cite web |first=Ryan |last=O’Donnell |year=2014 |title=Theorem&nbsp;5.38 |url=http://www.contrib.andrew.cmu.edu/~ryanod/?p=866 |access-date=2017-10-18 |archive-date=2019-04-08 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190408054104/http://www.contrib.andrew.cmu.edu/~ryanod/?p=866 |url-status=dead }}</ref> | math_statement =
-माना <math>X_1, \dots, X_n, \dots</math> स्वतंत्र रहें <math>\R^d</math>-मूल्यवान यादृच्छिक सदिश, प्रत्येक का अभिप्राय शून्य है। लेखन <math>S =\sum^n_{i=1}X_i</math> और मान लो <math>\Sigma = \operatorname{Cov}[S]</math> प्रतीप्य है। माना <math>Z \sim \mathcal{N}(0,\Sigma)</math> एक हो <math>d</math>-समान माध्य और समान सहप्रसरण आव्यूह के साथ आयामी गॉसियन <math>S</math>। फिर सभी उत्तल समुच्चयों के लिए {{nowrap|<math>U \subseteq \R^d</math>,}}
+माना <math>X_1, \dots, X_n, \dots</math> स्वतंत्र है, <math>\R^d</math>-मूल्यवान यादृच्छिक सदिश के प्रत्येक का औसत शून्य है। लेखन <math>S =\sum^n_{i=1}X_i</math> और मान लो <math>\Sigma = \operatorname{Cov}[S]</math> प्रतीप्य है। माना <math>Z \sim \mathcal{N}(0,\Sigma)</math> एक <math>d</math>-समान माध्य और समान सहप्रसरण आव्यूह के साथ आयामी गॉसियन <math>S</math> है। फिर सभी अवमुख समुच्चयों के लिए {{nowrap|<math>U \subseteq \R^d</math> है,}}
 <math display="block">\left|\mathbb{P}[S \in U] - \mathbb{P}[Z \in U]\right| \le C \, d^{1/4} \gamma~,</math>
-जहां <math>C</math> एक सार्वभौमिक स्थिरांक है, {{nowrap|<math>\gamma = \sum^n_{i=1} \mathbb{E} \left[\left\| \Sigma^{-1/2}X_i\right\|^3_2\right]</math>,}} और <math>\|\cdot\|_2</math> यूक्लिडियन मानदंड को दर्शाता है {{nowrap|<math>\R^d</math>।}}
+जहां <math>C</math> एक सार्वभौमिक स्थिरांक है, {{nowrap|<math>\gamma = \sum^n_{i=1} \mathbb{E} \left[\left\| \Sigma^{-1/2}X_i\right\|^3_2\right]</math>,}} और <math>\|\cdot\|_2</math> यूक्लिडियन मानदंड  {{nowrap|<math>\R^d</math> को दर्शाता है।}}
 }}
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 {{Main|स्थिर वितरण#एक सामान्यीकृत केंद्रीय सीमा प्रमेय}}
-केंद्रीय सीमा प्रमेय में कहा गया है कि परिमित भिन्नताओं के साथ कई स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर का योग एक सामान्य वितरण की ओर अग्रसर होगा क्योंकि चर की संख्या बढ़ती है। [[बोरिस व्लादिमीरोविच गेदेंको]] और [[एंड्री निकोलाइविच कोलमोगोरोव]] के कारण एक सामान्यीकरण बताता है कि पावर-लॉ टेल (पारेतो वितरण) वितरण के साथ कई यादृच्छिक चर <math display="inline">{|x|}^{-\alpha-1}</math> का योग घटता है, जहाँ <math display="inline">0 < \alpha < 2</math> (और इसलिए अनंत विचरण) एक स्थिर वितरण  <math display="inline">f(x; \alpha, 0, c, 0)</math> की ओर प्रवृत्त होगा, जैसे-जैसे योगों की संख्या बढ़ती है।<ref name=Voit2003a>{{cite book |first=Johannes |last=Voit |year=2003 |title=वित्तीय बाजारों के सांख्यिकीय यांत्रिकी|series=Texts and Monographs in Physics |publisher=Springer-Verlag |isbn=3-540-00978-7 |chapter=Section&nbsp;f5.4.3 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=6zUlh_TkWSwC }}</ref><ref>{{cite book |first1=B.V. |last1=Gnedenko |first2=A.N. |last2=Kolmogorov |title=स्वतंत्र यादृच्छिक चर के योग के लिए वितरण सीमित करें|location=Cambridge |publisher=Addison-Wesley |year=1954 |url=https://archive.org/details/limitdistributio00gned_0 |url-access=registration }}</ref> यदि <math display="inline">\alpha > 2</math> तो योग 2 के समान स्थिरता मापदंड के साथ एक [[स्थिर वितरण]] में परिवर्तित हो जाता है, अर्थात गॉसियन वितरण।<ref name=Uchaikin>{{cite book |first1=Vladimir V. |last1=Uchaikin |first2=V.M. |last2=Zolotarev |year=1999 |title=Chance and Stability: Stable distributions and their applications |publisher=VSP |isbn=90-6764-301-7 |pages=61–62}}</ref>
+केंद्रीय सीमा प्रमेय में वर्णित है कि परिमित भिन्नताओं के साथ कई स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर का योग एक सामान्य वितरण की ओर अग्रसर होगा क्योंकि चर की संख्या बढ़ती है। [[बोरिस व्लादिमीरोविच गेदेंको]] और [[एंड्री निकोलाइविच कोलमोगोरोव]] के कारण एक सामान्यीकरण बताता है कि पावर-लॉ टेल (पारेतो वितरण) वितरण के साथ कई यादृच्छिक चर <math display="inline">{|x|}^{-\alpha-1}</math> का योग घटता है, जहाँ <math display="inline">0 < \alpha < 2</math> (और इसलिए अनंत विचरण) एक स्थिर वितरण  <math display="inline">f(x; \alpha, 0, c, 0)</math> की ओर प्रवृत्त होगा, जैसे-जैसे योगों की संख्या बढ़ती है।<ref name=Voit2003a>{{cite book |first=Johannes |last=Voit |year=2003 |title=वित्तीय बाजारों के सांख्यिकीय यांत्रिकी|series=Texts and Monographs in Physics |publisher=Springer-Verlag |isbn=3-540-00978-7 |chapter=Section&nbsp;f5.4.3 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=6zUlh_TkWSwC }}</ref><ref>{{cite book |first1=B.V. |last1=Gnedenko |first2=A.N. |last2=Kolmogorov |title=स्वतंत्र यादृच्छिक चर के योग के लिए वितरण सीमित करें|location=Cambridge |publisher=Addison-Wesley |year=1954 |url=https://archive.org/details/limitdistributio00gned_0 |url-access=registration }}</ref> यदि <math display="inline">\alpha > 2</math> तो योग 2 के समान स्थिरता मापदंड के साथ एक [[स्थिर वितरण]] में परिवर्तित हो जाता है, अर्थात गॉसियन वितरण।<ref name=Uchaikin>{{cite book |first1=Vladimir V. |last1=Uchaikin |first2=V.M. |last2=Zolotarev |year=1999 |title=Chance and Stability: Stable distributions and their applications |publisher=VSP |isbn=90-6764-301-7 |pages=61–62}}</ref>
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 प्रबल मिश्रण के अंतर्गत केंद्रीय सीमा प्रमेय का एक सरल सूत्रीकरण है:<ref>Billingsley (1995, Theorem 27.4)</ref>
-{{math theorem | math_statement = मान लीजिए कि <math display="inline">\{X_1, \ldots, X_n, \ldots\}</math> स्थिर है और <math>\alpha</math>-के साथ मिश्रित <math display="inline">\alpha_n = O\left(n^{-5}\right) </math> और वह <math display="inline">\mathbb{E}[X_n] = 0</math> और {{nowrap|<math display="inline">\mathbb{E}[{X_n}^{12}] < \infty</math>.}} निरूपित {{nowrap|<math display="inline">S_n = X_1 + \cdots + X_n</math>,}} फिर सीमा
+{{math theorem | math_statement = मान लीजिए कि <math display="inline">\{X_1, \ldots, X_n, \ldots\}</math> स्थिर है और <math>\alpha</math>-के साथ <math display="inline">\alpha_n = O\left(n^{-5}\right) </math> और जो <math display="inline">\mathbb{E}[X_n] = 0</math> और {{nowrap|<math display="inline">\mathbb{E}[{X_n}^{12}] < \infty</math> के साथ मिश्रित है।}} निरूपित {{nowrap|<math display="inline">S_n = X_1 + \cdots + X_n</math>,}} फिर सीमा
 <math display="block"> \sigma^2 = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\mathbb{E}\left(S_n^2\right)}{n} </math>
-उपस्थित है, और यदि <math display="inline">\sigma \ne 0</math> तब <math display="inline">\frac{S_n}{\sigma\sqrt{n}}</math> वितरण में अभिसरण करता है <math display="inline"> \mathcal{N}(0, 1)</math>.}}
+पर उपस्थित है, और यदि <math display="inline">\sigma \ne 0</math> तब <math display="inline">\frac{S_n}{\sigma\sqrt{n}}</math> वितरण <math display="inline"> \mathcal{N}(0, 1)</math> में अभिसरण करता है।}}
 वास्तव में,
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 जहां श्रृंखला पूर्णतया से अभिसरण करती है।
-कल्पना <math display="inline">\sigma \ne 0</math> छोड़ा नहीं जा सकता, क्योंकि स्पर्शोन्मुख सामान्यता <math display="inline">X_n = Y_n - Y_{n-1}</math> विफल हो जाती है, जहाँ <math display="inline">Y_n</math> एक अन्य स्थिर क्रम हैं।
+पुर्वानुमान <math display="inline">\sigma \ne 0</math> छोड़ा नहीं जा सकता, क्योंकि स्पर्शोन्मुख सामान्यता <math display="inline">X_n = Y_n - Y_{n-1}</math> विफल हो जाता है, जहाँ <math display="inline">Y_n</math> एक अन्य स्थिर क्रम हैं।
-प्रमेय का एक प्रबल संस्करण है:<ref>Durrett (2004, Sect. 7.7(c), Theorem 7.8)</ref> कल्पना <math display="inline">\mathbb{E}\left[{X_n}^{12}\right] < \infty</math> को  {{nowrap|<math display="inline">\mathbb{E}\left[{\left|X_n\right|}^{2+\delta}\right] < \infty</math>,}} से और धारणा <math display="inline">\alpha_n = O\left(n^{-5}\right) </math> से प्रतिस्थापित किया जाता है
+प्रमेय का एक प्रबल संस्करण है:<ref>Durrett (2004, Sect. 7.7(c), Theorem 7.8)</ref> पुर्वानुमान <math display="inline">\mathbb{E}\left[{X_n}^{12}\right] < \infty</math> को  {{nowrap|<math display="inline">\mathbb{E}\left[{\left|X_n\right|}^{2+\delta}\right] < \infty</math>,}} से और धारणा <math display="inline">\alpha_n = O\left(n^{-5}\right) </math> से प्रतिस्थापित किया जाता है
 <math display="block">\sum_n \alpha_n^{\frac\delta{2(2+\delta)}} < \infty.</math>
-ऐसे का अस्तित्व <math display="inline">\delta > 0</math> निष्कर्ष सुनिश्चित करता है। मिश्रित स्थितियों के अंतर्गत सीमा प्रमेय के विश्वकोषीय विवेचन के लिए {{harv|ब्राडली|2007}} देखें।
+ऐसे  <math display="inline">\delta > 0</math> का अस्तित्व निष्कर्ष सुनिश्चित करता है। मिश्रित स्थितियों के अंतर्गत सीमा प्रमेय के विश्वकोषीय विवेचन के लिए {{harv|ब्राडली|2007}} देखें।
-=== ज़रेबंद अंतर CLT ===
+=== मार्टिंगेल अंतर सीएलटी ===
 {{Main|मार्टिंगेल केंद्रीय सीमा प्रमेय}}
-{{math theorem | math_statement = माना [[मार्टिंगेल (संभाव्यता सिद्धांत)|मार्टिंगेल]] <math display="inline">M_n</math> संतुष्ट करता है
+{{math theorem | math_statement = माना [[मार्टिंगेल (संभाव्यता सिद्धांत)|मार्टिंगेल]] <math display="inline">M_n</math> संतुष्ट करता हैː
 * <math> \frac1n \sum_{k=1}^n \mathbb{E}\left[\left(M_k-M_{k-1}\right)^2 | M_1,\dots,M_{k-1}\right] \to 1 </math> संभाव्यता के रूप में {{math|''n'' → ∞}},
-* प्रत्येक के लिए {{math|''ε'' > 0}}, <math> \frac1n \sum_{k=1}^n{\mathbb{E}\left[\left(M_k-M_{k-1}\right)^2\mathbf{1}\left[|M_k-M_{k-1}|>\varepsilon\sqrt{n}\right]\right]} \to 0 </math> जैसे {{math|''n'' → ∞}},
+* प्रत्येक {{math|''ε'' > 0}} के लिए, <math> \frac1n \sum_{k=1}^n{\mathbb{E}\left[\left(M_k-M_{k-1}\right)^2\mathbf{1}\left[|M_k-M_{k-1}|>\varepsilon\sqrt{n}\right]\right]} \to 0 </math> जैसे {{math|''n'' → ∞}},
-तब <math display="inline">\frac{M_n}{\sqrt{n}}</math> वितरण में अभिसरण करता है <math display="inline">\mathcal{N}(0, 1)</math> as <math display="inline">n \to \infty</math>.<ref>Durrett (2004, Sect. 7.7, Theorem 7.4)</ref><ref>Billingsley (1995, Theorem 35.12)</ref>}}
+तब <math display="inline">\frac{M_n}{\sqrt{n}}</math> वितरण <math display="inline">\mathcal{N}(0, 1)</math> जैसे <math display="inline">n \to \infty</math> <ref>Durrett (2004, Sect. 7.7, Theorem 7.4)</ref><ref>Billingsley (1995, Theorem 35.12)</ref>में परिवर्तित करता है।}}
 == टिप्पणी ==
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 मान लीजिए <math display="inline">\{X_1, \ldots, X_n, \ldots \}</math> स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर हैं, प्रत्येक का अर्थ <math display="inline">\mu</math>, और परिमित विचरण {{nowrap|<math display="inline">\sigma^2</math>}} है। योग <math display="inline">X_1 + \cdots + X_n</math> का अर्थ <math display="inline">n\mu</math>, और प्रसरण {{nowrap|<math display="inline">n\sigma^2</math>}} है। यादृच्छिक चर पर विचार करें,
 <math display="block">Z_n = \frac{X_1+\cdots+X_n - n \mu}{\sqrt{n \sigma^2}} = \sum_{i=1}^n \frac{X_i - \mu}{\sqrt{n \sigma^2}} = \sum_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{n}} Y_i,</math>
-जहां अंतिम चरण में हमने नए यादृच्छिक चर {{nowrap|<math display="inline">Y_i = \frac{X_i - \mu}{\sigma} </math>,}} परिभाषित किए, प्रत्येक शून्य माध्य और इकाई विचरण के साथ {{nowrap|(<math display="inline">\operatorname{var}(Y) = 1</math>)}} का अभिलाक्षणिक फलन <math display="inline">Z_n</math> द्वारा दिया गया है।
+जहां अंतिम चरण में हमने नए यादृच्छिक चर {{nowrap|<math display="inline">Y_i = \frac{X_i - \mu}{\sigma} </math>}} परिभाषित किए, प्रत्येक शून्य माध्य और इकाई विचरण के साथ {{nowrap|(<math display="inline">\operatorname{var}(Y) = 1</math>)}} का अभिलाक्षणिक फलन <math display="inline">Z_n</math> द्वारा दिया गया है।
 <math display="block">\varphi_{Z_n}\!(t) = \varphi_{\sum_{i=1}^n {\frac{1}{\sqrt{n}}Y_i}}\!(t) \ =\ \varphi_{Y_1}\!\!\left(\frac{t}{\sqrt{n}}\right) \varphi_{Y_2}\!\! \left(\frac{t}{\sqrt{n}}\right)\cdots \varphi_{Y_n}\!\! \left(\frac{t}{\sqrt{n}}\right) \ =\ \left[\varphi_{Y_1}\!\!\left(\frac{t}{\sqrt{n}}\right)\right]^n,
 </math>
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 जहाँ <math display="inline">o(t^2 / n)</math> के कुछ फलनो के लिए "छोटा o प्रतीकांकन" <math display="inline">t</math> है, जो शून्य से अधिक तीव्रता {{nowrap|<math display="inline">t^2 / n</math>}} से जाता है। चरघातांकी फलनो की सीमा से {{nowrap|(<math display="inline">e^x = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n</math>),}} का अभिलाक्षणिक फलन <math>Z_n</math> के समान होता है।
 <math display="block">\varphi_{Z_n}(t) = \left(1 - \frac{t^2}{2n} + o\left(\frac{t^2}{n}\right) \right)^n \rightarrow e^{-\frac{1}{2} t^2}, \quad n \to \infty.</math>
-उच्च आदेश की सभी पद सीमा {{nowrap|<math display="inline">n\to\infty</math>}} में लुप्त हो जाते है, दाहिने हाथ की ओर एक मानक सामान्य वितरण <math display="inline">\mathcal{N}(0, 1)</math> के अभिलाक्षणिक फलन के समान है। जिसका तात्पर्य लेवी की निरंतरता प्रमेय के माध्यम से है कि वितरण <math display="inline">Z_n</math>,  <math display="inline">\mathcal{N}(0,1)</math> से संपर्क करेगा, जैसा {{nowrap|<math display="inline">n\to\infty</math>.}} इसलिए, प्रतिरूप अभिप्राय
+उच्च आदेश की सभी पद सीमा {{nowrap|<math display="inline">n\to\infty</math>}} में लुप्त हो जाती है, दाहिने हाथ की ओर एक मानक सामान्य वितरण <math display="inline">\mathcal{N}(0, 1)</math> के अभिलाक्षणिक फलन के समान है। जिसका तात्पर्य लेवी की निरंतरता प्रमेय के माध्यम से है कि वितरण <math display="inline">Z_n</math>,  <math display="inline">\mathcal{N}(0,1)</math> से संपर्क करेगा, जैसा {{nowrap|<math display="inline">n\to\infty</math>.}} इसलिए, प्रतिरूप अभिप्राय
 <math display="block">\bar{X}_n = \frac{X_1+\cdots+X_n}{n}</math>
 इस प्रकार कि
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 === सीमा तक अभिसरण ===
-केंद्रीय सीमा प्रमेय केवल एक [[स्पर्शोन्मुख वितरण]] प्रदान करता है। प्रेक्षणों की परिमित संख्या के लिए सन्निकटन के रूप में, यह सामान्य वितरण के शीर्ष के अंतअ होने पर ही एक उचित सन्निकटन प्रदान करता है; अवशिष्ट में विस्तार के लिए इसे बहुत बड़ी संख्या में अवलोकन की आवश्यकता होती है।{{citation needed|reason=तुरंत स्पष्ट नहीं, मुझे गूगल के माध्यम से कोई स्रोत नहीं मिला|date=जुलाई 2016}}
+केंद्रीय सीमा प्रमेय केवल एक [[स्पर्शोन्मुख वितरण]] प्रदान करता है। प्रेक्षणों की परिमित संख्या के लिए सन्निकटन के रूप में, यह सामान्य वितरण के शीर्ष के अंतअ होने पर ही एक उचित सन्निकटन प्रदान करता है; अवशिष्ट में विस्तार के लिए इसे बहुत बड़ी संख्या में अवलोकन करने की आवश्यकता होती है।{{citation needed|reason=तुरंत स्पष्ट नहीं, मुझे गूगल के माध्यम से कोई स्रोत नहीं मिला|date=जुलाई 2016}}
-केंद्रीय सीमा प्रमेय में अभिसरण एक समान अभिसरण है क्योंकि सीमित संचयी वितरण कार्य निरंतर है। यदि तृतीय केंद्रीय क्षण <math display="inline">\operatorname{E}\left[(X_1 - \mu)^3\right]</math> उपस्थित है और परिमित है, तो अभिसरण की गति कम से कम के क्रम  <math display="inline">1 / \sqrt{n}</math> (बेरी-एसेन प्रमेय देखें) में है। स्टीन की विधि<ref name="stein1972">{{Cite journal| last = Stein |first=C. |author-link=Charles Stein (statistician)| title = आश्रित यादृच्छिक चर के योग के वितरण के लिए सामान्य सन्निकटन में त्रुटि के लिए बाध्य| journal = Proceedings of the Sixth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability| pages= 583–602| year = 1972|volume=6 |issue=2 | mr=402873 | zbl = 0278.60026| url=http://projecteuclid.org/euclid.bsmsp/1200514239 }}</ref>का उपयोग न केवल केंद्रीय सीमा प्रमेय को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है, बल्कि चयनित आव्यूह के लिए अभिसरण की दरों पर सीमा प्रदान करने के लिए भी किया जा सकता है।<ref>{{Cite book|  title = Normal approximation by Stein's method|  publisher = Springer| year = 2011|last1=Chen |first1=L. H. Y. |last2=Goldstein |first2=L. |last3=Shao |first3=Q. M. |isbn = 978-3-642-15006-7}}</ref>
+केंद्रीय सीमा प्रमेय में अभिसरण एक समान अभिसरण है क्योंकि सीमित संचयी वितरण फलन निरंतर है। यदि तृतीय केंद्रीय क्षण <math display="inline">\operatorname{E}\left[(X_1 - \mu)^3\right]</math> उपस्थित है और परिमित है, तो अभिसरण की गति कम से कम के क्रम  <math display="inline">1 / \sqrt{n}</math> (बेरी-एसेन प्रमेय देखें) में है। स्टीन की विधि<ref name="stein1972">{{Cite journal| last = Stein |first=C. |author-link=Charles Stein (statistician)| title = आश्रित यादृच्छिक चर के योग के वितरण के लिए सामान्य सन्निकटन में त्रुटि के लिए बाध्य| journal = Proceedings of the Sixth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability| pages= 583–602| year = 1972|volume=6 |issue=2 | mr=402873 | zbl = 0278.60026| url=http://projecteuclid.org/euclid.bsmsp/1200514239 }}</ref>का उपयोग न केवल केंद्रीय सीमा प्रमेय को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है, बल्कि चयनित आव्यूह के लिए अभिसरण की दरों पर सीमा प्रदान करने के लिए भी किया जा सकता है।<ref>{{Cite book|  title = Normal approximation by Stein's method|  publisher = Springer| year = 2011|last1=Chen |first1=L. H. Y. |last2=Goldstein |first2=L. |last3=Shao |first3=Q. M. |isbn = 978-3-642-15006-7}}</ref>
-सामान्य वितरण का अभिसरण एकदिष्ट है, इस अर्थ में कि एन्ट्रापी <math display="inline">Z_n</math> सामान्य वितरण के [[मोनोटोनिक फ़ंक्शन|एकदिष्ट फलन]] को बढ़ाता है।<ref name="ABBN" />
+सामान्य वितरण का अभिसरण एकदिष्ट है, इस अर्थ में कि एन्ट्रापी <math display="inline">Z_n</math> सामान्य वितरण के [[मोनोटोनिक फ़ंक्शन|एकदिष्ट फलन]] को बढ़ाती है।<ref name="ABBN" />
-केंद्रीय सीमा प्रमेय विशेष रूप से स्वतंत्र और समान रूप से वितरित [[असतत यादृच्छिक चर]] के योग पर अनुप्रयोज्य होता है। असतत यादृच्छिक चर का योग अभी भी एक असतत यादृच्छिक चर है, ताकि हम असतत यादृच्छिक चर के एक अनुक्रम के साथ सामना कर सकें, जिसका संचयी प्रायिकता वितरण फलन एक सतत चर (अर्थात् सामान्य वितरण का) के अनुरूप संचयी प्रायिकता वितरण फलन की ओर अभिसरण करता है। . इसका अभिप्राय यह है कि यदि हम {{mvar|n}} स्वतंत्र समान असतत चर के योग की प्राप्ति का एक [[हिस्टोग्राम|आयतचित्र]] बनाते हैं, वह वक्र जो आयतचित्र बनाने वाले आयतों के ऊपरी फलको के केंद्रों से जुड़ता है, आयतचित्र एक गॉसियन वक्र की ओर अभिसरण करता है क्योंकि {{mvar|n}} अनंत तक पहुंचता है, इस संबंध को डी मोइवर-लाप्लास प्रमेय के रूप में जाना जाता है। द्विपद वितरण लेख केवल दो संभावित मान लेने वाले असतत चर की साधारण स्थितियों में केंद्रीय सीमा प्रमेय के ऐसे अनुप्रयोगो का विवरण देता है।
+केंद्रीय सीमा प्रमेय विशेष रूप से स्वतंत्र और समान रूप से वितरित [[असतत यादृच्छिक चर]] के योग पर अनुप्रयोज्य होता है। असतत यादृच्छिक चर का योग अभी भी एक असतत यादृच्छिक चर है, ताकि हम असतत यादृच्छिक चर के एक अनुक्रम के साथ सामना कर सकें, जिसका संचयी प्रायिकता वितरण फलन एक सतत चर (अर्थात् सामान्य वितरण का) के अनुरूप संचयी प्रायिकता वितरण फलन की ओर अभिसरण करता है। . इसका अभिप्राय यह है कि यदि हम {{mvar|n}} स्वतंत्र समान असतत चर के योग की प्राप्ति का एक [[हिस्टोग्राम|आयतचित्र]] बनाते हैं, वह वक्र जो आयतचित्र बनाने वाले आयतों के ऊपरी फलको के केंद्रों से जुड़ता है, और आयतचित्र एक गॉसियन वक्र की ओर अभिसरण करता है क्योंकि {{mvar|n}} अनंत तक पहुंचता है, इस संबंध को डी मोइवर-लाप्लास प्रमेय के रूप में जाना जाता है। द्विपद वितरण लेख केवल दो संभावित मान लेने वाले असतत चर की साधारण स्थितियों में केंद्रीय सीमा प्रमेय के ऐसे अनुप्रयोगो का विवरण देता है।
 ===बड़ी संख्या के नियम से संबंध===
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 मान लीजिए कि हमारे पास एक स्पर्शोन्मुख विस्तार <math display="inline">f(n)</math> है:
 <math display="block">f(n)= a_1 \varphi_{1}(n)+a_2 \varphi_{2}(n)+O\big(\varphi_{3}(n)\big) \qquad  (n \to \infty).</math>
-दोनों भागों को {{math|''φ''<sub>1</sub>(''n'')}} विभाजित करने और सीमा लेने से {{math|''a''<sub>1</sub>}} उत्पादन होगा, विस्तार में उच्चतम-क्रम अवधि का गुणांक, जो उस दर का प्रतिनिधित्व करता है जिस पर {{math|''f''(''n'')}} इसके अग्रग पद में परिवर्तन करता है।
+दोनों भागों को {{math|''φ''<sub>1</sub>(''n'')}} से विभाजित करने और सीमा ग्रहण करने से {{math|''a''<sub>1</sub>}} उत्पादन होगा, विस्तार में उच्चतम-क्रम अवधि का गुणांक, जो उस दर का प्रतिनिधित्व करता है जिस पर {{math|''f''(''n'')}} इसके अग्रग पद में परिवर्तन करता है।
 <math display="block">\lim_{n\to\infty} \frac{f(n)}{\varphi_{1}(n)} = a_1.</math>
-अनौपचारिक रूप से, कोई कह सकता है: {{math|''f''(''n'')}} लगभग  {{math|''a''<sub>1</sub>''φ''<sub>1</sub>(''n'')}} बढ़ता है,  {{math|''f''(''n'')}} और इसके सन्निकटन के मध्य के अंतर को लेते हुए और फिर विस्तार में अगले पद से विभाजित करने पर, हम {{math|''f''(''n'')}} के विषय में अधिक परिष्कृत कथन पर पहुँचते हैंː
+अनौपचारिक रूप से, कोई कह सकता है: {{math|''f''(''n'')}} लगभग {{math|''a''<sub>1</sub>''φ''<sub>1</sub>(''n'')}} के रूप में बढ़ता है,  {{math|''f''(''n'')}} और इसके सन्निकटन के मध्य के अंतर को लेते हुए और फिर विस्तार में अगले पद से विभाजित करने पर, हम {{math|''f''(''n'')}} के विषय में अधिक परिष्कृत कथन पर पहुँचते हैंː
 <math display="block">\lim_{n\to\infty} \frac{f(n)-a_1 \varphi_{1}(n)}{\varphi_{2}(n)} = a_2 .</math>
-यहाँ कोई कह सकता है कि फलन और उसके सन्निकटन के मध्य का अंतर लगभग  {{math|''a''<sub>2</sub>''φ''<sub>2</sub>(''n'')}} के रूप में बढ़ता है। विचार यह है कि फलन को उपयुक्त सामान्यीकृत फलनो द्वारा विभाजित करना, और परिणाम के सीमित व्यवहार को देखते हुए, हमें मूल फलन के सीमित व्यवहार के विषय में बहुत कुछ बता सकता है।
+यहाँ कोई कह सकता है कि फलन और उसके सन्निकटन के मध्य का अंतर लगभग {{math|''a''<sub>2</sub>''φ''<sub>2</sub>(''n'')}} के रूप में बढ़ता है। विचार यह है कि फलन को उपयुक्त सामान्यीकृत फलनो द्वारा विभाजित करना, और परिणाम के सीमित व्यवहार को देखते हुए, हमें मूल फलन के सीमित व्यवहार के विषय में बहुत कुछ बता सकता है।
 अनौपचारिक रूप से,  इन पंक्तियों के साथ कुछ तब होता है जब स्वतंत्र समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर के, {{math|''X''<sub>1</sub>, ..., ''X<sub>n</sub>''}} का योग, {{mvar|S<sub>n</sub>}}, लौकिक प्रायिकता सिद्धांत में अध्ययन किया जाता है।{{Citation needed|date=अप्रैल 2012}} यदि प्रत्येक {{mvar|X<sub>i</sub>}} का परिमित माध्य {{mvar|μ}} हो, तो बड़ी संख्या के नियम द्वारा, {{math|{{sfrac|''S<sub>n</sub>''|''n''}} → ''μ''}} होगा।<ref>{{cite book|last=Rosenthal |first=Jeffrey Seth |date=2000 |title=कठोर संभाव्यता सिद्धांत पर पहली नज़र|publisher=World Scientific |isbn=981-02-4322-7 |at=Theorem 5.3.4, p. 47}}</ref> यदि इसके अतिरिक्त प्रत्येक {{mvar|X<sub>i</sub>}} परिमित विचरण {{math|''σ''<sup>2</sup>}} है, तो केंद्रीय सीमा प्रमेय द्वारा,
 <math display="block"> \frac{S_n-n\mu}{\sqrt{n}} \to \xi ,</math>
-जहाँ {{mvar|ξ}} को {{math|''N''(0,''σ''<sup>2</sup>)}} के रूप में वितरित किया जाता है। यह अनौपचारिक विस्तार में प्रथम दो स्थिरांकों के मान प्रदान करता है।
+जहाँ {{mvar|ξ}} को {{math|''N''(0,''σ''<sup>2</sup>)}} के रूप में वितरित किया जाता है। यह अनौपचारिक विस्तार में प्रथम दो स्थिरांकों का मान प्रदान करता है।
 <math display="block">S_n \approx \mu n+\xi \sqrt{n}. </math>
 ऐसी स्थितियों में जहां {{mvar|X<sub>i</sub>}} के पास परिमित माध्य या प्रसरण नहीं है, स्थानांतरित और पुनः पैमाने योग का अभिसरण भी विभिन्न केंद्रित और माप क्रम गणक कारकों के साथ हो सकता है:
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 ==== घनत्व फलन ====
-दो या दो से अधिक स्वतंत्र चरों के योग का प्रायिकता घनत्व फलन उनके घनत्वों का [[कनवल्शन|संवलन]] है (यदि ये घनत्व उपस्थित हैं)। इस प्रकार केंद्रीय सीमा प्रमेय को संवलन के अंतर्गत घनत्व कार्यों के गुणों के विषय में एक विवरण के रूप में व्याख्या की जा सकती है: कई घनत्व कार्यों का संवलन सामान्य घनत्व की ओर जाता है क्योंकि घनत्व कार्यों की संख्या बिना बाध्यता के बढ़ जाती है। इन प्रमेयों को ऊपर दिए गए केंद्रीय सीमा प्रमेय के रूपों की तुलना में प्रबल परिकल्पनाओं की आवश्यकता होती है। इस प्रकार के प्रमेयों को प्रायः स्थानीय सीमा प्रमेय कहा जाता है। पेट्रोव<ref>{{Cite book|last=Petrov|first=V. V. |title=स्वतंत्र यादृच्छिक चर का योग|year=1976|publisher=Springer-Verlag|location=New York-Heidelberg | isbn=9783642658099 | at=ch. 7|url=https://books.google.com/books?id=zSDqCAAAQBAJ}}</ref> [[स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर]] के योग के लिए एक विशेष स्थानीय सीमा प्रमेय के लिए देखें।
+दो या दो से अधिक स्वतंत्र चरों के योग का प्रायिकता घनत्व फलन उनके घनत्वों का [[कनवल्शन|संवलन]] है (यदि ये घनत्व उपस्थित हैं)। इस प्रकार केंद्रीय सीमा प्रमेय को संवलन के अंतर्गत घनत्व फलनों के गुणों के विषय में एक विवरण के रूप में व्याख्या की जा सकती है: कई घनत्व फलनों का संवलन सामान्य घनत्व की ओर जाता है क्योंकि घनत्व फलनों की संख्या बिना बाध्यता के बढ़ जाती है। इन प्रमेयों को ऊपर दिए गए केंद्रीय सीमा प्रमेय के रूपों की तुलना में प्रबल परिपुर्वानुमानओं की आवश्यकता होती है। इस प्रकार के प्रमेयों को प्रायः स्थानीय सीमा प्रमेय कहा जाता है। पेट्रोव<ref>{{Cite book|last=Petrov|first=V. V. |title=स्वतंत्र यादृच्छिक चर का योग|year=1976|publisher=Springer-Verlag|location=New York-Heidelberg | isbn=9783642658099 | at=ch. 7|url=https://books.google.com/books?id=zSDqCAAAQBAJ}}</ref> [[स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर]] के योग के लिए एक विशेष स्थानीय सीमा प्रमेय के लिए देखें।
 ==== विशेषता फलन ====
-चूंकि संवलन का अभिलाक्षणिक फलन (प्रायिकता सिद्धांत) सम्मिलित घनत्वों के अभिलाक्षणिक कार्यों का गुणनफल है, केंद्रीय सीमा प्रमेय का एक और पुनर्कथन है: कई घनत्व फलनों के अभिलाक्षणिक कार्यों का गुणनफल अभिलक्षणिक फलन के अंतअ हो जाता है सामान्य घनत्व के रूप में घनत्व कार्यों की संख्या बिना बाध्यता के बढ़ जाती है, ऊपर बताई गई प्रतिबंधों के अंतर्गत। विशेष रूप से, विशेषता फलन के तर्क पर उचित माप क्रम गणक कारक अनुप्रयोज्यकरने की आवश्यकता है।
+चूंकि संवलन का अभिलाक्षणिक फलन (प्रायिकता सिद्धांत) सम्मिलित घनत्वों के अभिलाक्षणिक फलनों का गुणनफल होता है, केंद्रीय सीमा प्रमेय का एक और पुनर्कथन होता है: कई घनत्व फलनों के अभिलाक्षणिक फलनों का गुणनफल अभिलक्षणिक फलन के अंतअ हो जाता है। जैसा कि ऊपर बताये गए प्रतिबंधों के अंतर्गत घनत्व फलनों की संख्या बिना बाध्यता के बढ़ जाती है। विशेष रूप से, विशेषता फलन के तर्क पर उचित माप क्रम गणक कारक को अनुप्रयोज्य करने की आवश्यकता है।
-[[फूरियर रूपांतरण]] के विषय में एक समान विवरण दिया जा सकता है, क्योंकि विशिष्ट कार्य अनिवार्य रूप से फूरियर रूपांतरण है।
+[[फूरियर रूपांतरण]] के विषय में एक समान विवरण दिया जा सकता है, क्योंकि विशिष्ट फलन अनिवार्य रूप से फूरियर रूपांतरण है।
 === विचरण की गणना ===
-माना {{mvar|S<sub>n</sub>}} का योग हो {{mvar|n}} यादृच्छिक चर। कई केंद्रीय सीमा प्रमेय ऐसी स्थितियाँ प्रदान करते हैं {{math|{{mvar|S<sub>n</sub>}}/{{sqrt|Var({{mvar|S<sub>n</sub>}})}}}} वितरण में अभिसरण करता है {{math|''N''(0,1)}} (अभिप्राय 0, विचरण 1 के साथ सामान्य वितरण) के रूप में {{math|{{mvar|n}} → ∞}}. कुछ स्थितियों में, एक स्थिरांक खोजना संभव है {{math|''σ''<sup>2</sup>}} और कार्य {{mvar|f(n)}} ऐसा है कि {{math|{{mvar|S<sub>n</sub>}}/(σ{{sqrt|{{mvar|n⋅f}}({{mvar|n}})}})}} वितरण में अभिसरण करता है {{math|''N''(0,1)}} जैसा {{math|{{mvar|n}}→ ∞}}.
+माना कि {{mvar|S<sub>n</sub>}} यादृच्छिक चर {{mvar|n}} का योग है। कई केंद्रीय सीमा प्रमेय ऐसी स्थितियाँ प्रदान करते हैं, जैसे कि {{math|{{mvar|S<sub>n</sub>}}/{{sqrt|Var({{mvar|S<sub>n</sub>}})}}}} वितरण में {{math|''N''(0,1)}} (अभिप्राय 0, विचरण 1 के साथ सामान्य वितरण) को {{math|{{mvar|n}} → ∞}} के रूप में परिवर्तित करता है। कुछ स्थितियों में, एक स्थिरांक {{math|''σ''<sup>2</sup>}} और फलन {{mvar|f(n)}} को खोजना संभव है जैसे कि {{math|{{mvar|S<sub>n</sub>}}/(σ{{sqrt|{{mvar|n⋅f}}({{mvar|n}})}})}},  {{math|''N''(0,1)}} के वितरण में {{math|{{mvar|n}}→ ∞}} के रूप में परिवर्तित हो जाता है।
-{{math theorem | name = Lemma<ref>{{cite journal|last1=Hew|first1=Patrick Chisan|title=Asymptotic distribution of rewards accumulated by alternating renewal processes|journal=Statistics and Probability Letters|date=2017|volume=129 |pages=355–359 |doi=10.1016/j.spl.2017.06.027}}</ref> | math_statement = मान लीजिए <math>X_1, X_2, \dots</math> के साथ वास्तविक-मूल्यांकन और दृढता से स्थिर यादृच्छिक चर का एक क्रम है <math>\mathbb{E}(X_i) = 0</math>सभी के लिए {{nowrap|<math>i</math>,}} {{nowrap|<math>g : [0,1] \to \R</math>,}} और {{nowrap|<math>S_n = \sum_{i=1}^{n} g\left(\tfrac{i}{n}\right) X_i</math>.}} रचना
+{{math theorem | name = Lemma<ref>{{cite journal|last1=Hew|first1=Patrick Chisan|title=Asymptotic distribution of rewards accumulated by alternating renewal processes|journal=Statistics and Probability Letters|date=2017|volume=129 |pages=355–359 |doi=10.1016/j.spl.2017.06.027}}</ref> | math_statement = मान लीजिए <math>X_1, X_2, \dots</math> के साथ वास्तविक-मूल्यांकन और दृढता से स्थिर यादृच्छिक चर  <math>\mathbb{E}(X_i) = 0</math> का एक क्रम है, सभी  {{nowrap|<math>i</math>,}} {{nowrap|<math>g : [0,1] \to \R</math> के लिए,}} और {{nowrap|<math>S_n = \sum_{i=1}^{n} g\left(\tfrac{i}{n}\right) X_i</math>.}} रचना
 <math display="block">\sigma^2 = \mathbb{E}(X_1^2) + 2\sum_{i=1}^{\infty} \mathbb{E}(X_1 X_{1+i})</math>
-# यदि <math>\sum_{i=1}^{\infty} \mathbb{E}(X_1 X_{1+i})</math> पूर्णतः अभिसारी है, <math>\left| \int_0^1 g(x)g'(x) \, dx\right| < \infty</math>, और <math>0 < \int_0^1 (g(x))^2 dx < \infty</math> तब <math>\mathrm{Var}(S_n)/(n \gamma_n) \to \sigma^2</math> as <math>n \to \infty</math> जहां {{nowrap|<math>\gamma_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \left(g\left(\tfrac{i}{n}\right)\right)^2</math>.}}
+# यदि <math>\sum_{i=1}^{\infty} \mathbb{E}(X_1 X_{1+i})</math> पूर्णतः अभिसारी है, <math>\left| \int_0^1 g(x)g'(x) \, dx\right| < \infty</math>, और <math>0 < \int_0^1 (g(x))^2 dx < \infty</math> तब <math>\mathrm{Var}(S_n)/(n \gamma_n) \to \sigma^2</math> जैसे <math>n \to \infty</math> जहां {{nowrap|<math>\gamma_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \left(g\left(\tfrac{i}{n}\right)\right)^2</math> है,}}
-# यदि इसके अतिरिक्त <math>\sigma > 0</math> and <math>S_n/\sqrt{\mathrm{Var}(S_n)}</math> वितरण में अभिसरण करता है <math>\mathcal{N}(0,1)</math> as <math>n \to \infty</math> तब <math>S_n/(\sigma\sqrt{n \gamma_n})</math> वितरण में भी अभिसरित होता है <math>\mathcal{N}(0,1)</math> जैसे {{nowrap|<math>n \to \infty</math>.}}
+# यदि इसके अतिरिक्त <math>\sigma > 0</math> और <math>S_n/\sqrt{\mathrm{Var}(S_n)}</math> वितरण  <math>\mathcal{N}(0,1)</math> जैसे <math>n \to \infty</math> में अभिसरण करता है, तब <math>S_n/(\sigma\sqrt{n \gamma_n})</math> वितरण  <math>\mathcal{N}(0,1)</math> जैसे {{nowrap|<math>n \to \infty</math> में भी अभिसरित होता है।}}
 }}
-== एक्सटेंशन ==
+== विस्तारण ==
-=== सकारात्मक यादृच्छिक चर के उत्पाद ===
+=== धनात्मक यादृच्छिक चर के उत्पाद ===
-किसी उत्पाद का लघुगणक केवल कारकों के लघुगणक का योग है। इसलिए, जब यादृच्छिक चर के एक उत्पाद का लघुगणक जो केवल सकारात्मक मान लेता है, सामान्य वितरण तक पहुंचता है, उत्पाद स्वयं एक [[लॉग-सामान्य वितरण]] तक पहुंचता है। कई भौतिक मात्राएं (विशेष रूप से द्रव्यमान या लंबाई, जो पैमाने का विषय हैं और नकारात्मक नहीं हो सकती हैं) विभिन्न यादृच्छिक कारकों के उत्पाद हैं, इसलिए वे लॉग-सामान्य वितरण का पालन करते हैं। केंद्रीय सीमा प्रमेय के इस गुणात्मक संस्करण को कभी-कभी जिब्रत का नियम कहा जाता है।
+किसी उत्पाद का लघुगणक केवल कारकों के लघुगणक का योग है। इसलिए, जब यादृच्छिक चर के एक उत्पाद का लघुगणक जो केवल धनात्मक मान लेता है, और सामान्य वितरण तक पहुंचता है, उत्पाद स्वयं [[लॉग-सामान्य वितरण|अभिलेख-सामान्य वितरण]] तक पहुंचता है। कई भौतिक मात्राएं (विशेष रूप से द्रव्यमान या लंबाई, जो मापक्रम का विषय हैं और ऋणात्मक नहीं हो सकती हैं) विभिन्न यादृच्छिक कारकों के उत्पाद हैं, इसलिए वे अभिलेख-सामान्य वितरण का पालन करते हैं। केंद्रीय सीमा प्रमेय के इस गुणात्मक संस्करण को कभी-कभी जिब्रत का नियम कहा जाता है।
-जबकि यादृच्छिक चर के योग के लिए केंद्रीय सीमा प्रमेय को परिमित विचरण की स्थिति की आवश्यकता होती है, उत्पादों के लिए संबंधित प्रमेय को इसी स्थिति की आवश्यकता होती है कि घनत्व फलन वर्ग-पूर्णांक हो।<ref name=Rempala/>
+जबकि यादृच्छिक चर के योग के लिए केंद्रीय सीमा प्रमेय को परिमित विचरण की स्थिति की आवश्यकता होती है, और उत्पादों के लिए संबंधित प्रमेय को इसी स्थिति की आवश्यकता होती है कि घनत्व फलन वर्ग-पूर्णांक हो।<ref name=Rempala/>
 == लौकिक प्राधार के अतिरिक्त ==
-स्पर्शोन्मुख सामान्यता, अर्थात्, उचित परिवर्तन और पुनर्विक्रय के बाद सामान्य वितरण में [[वितरण में अभिसरण]], एक ऐसी घटना है जो ऊपर वर्णित लौकिक प्राधार की तुलना में कहीं अधिक सामान्य है, अर्थात् स्वतंत्र यादृच्छिक चर (या सदिश) की रकम। समय-समय पर नए प्राधार सामने आते हैं; अभी के लिए कोई एकल एकीकृत प्राधार उपलब्ध नहीं है।
+स्पर्शोन्मुख सामान्यता, अर्थात्, उचित परिवर्तन और पुनर्विक्रय के पश्चात सामान्य वितरण में [[वितरण में अभिसरण|अभिसरण]], एक ऐसी घटना है, अर्थात् स्वतंत्र यादृच्छिक चर (या सदिश) का योग जो ऊपर वर्णित लौकिक प्राधारो की तुलना में कहीं अधिक सामान्य है। समय-समय पर नए प्राधार सामने आते हैं; और अभी के लिए कोई एकल एकीकृत प्राधार उपलब्ध नहीं है।
 === अवमुख निकाय ===
-{{math theorem | math_statement = एक क्रम होता है {{math|''ε<sub>n</sub>'' ↓ 0}} जिसके लिए निम्नलिखित है। माना {{math|''n'' ≥ 1}}, और माना यादृच्छिक चर {{math|''X''<sub>1</sub>, ..., ''X<sub>n</sub>''}} लीजिये [[लघुगणकीय रूप से अवतल कार्य|लॉग-अवतल]] [[संयुक्त घनत्व कार्य|संयुक्त घनत्व]] {{mvar|f}} ऐसा है कि {{math|1=''f''(''x''<sub>1</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>'') = ''f''({{abs|''x''<sub>1</sub>}}, ..., {{abs|''x<sub>n</sub>''}})}} सभी के लिए {{math|''x''<sub>1</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>''}},  और {{math|1=E(''X''{{su|b=''k''|p=2}}) = 1}} सभी के लिए {{math|1=''k'' = 1, ..., ''n''}}. फिर का वितरण
+{{math theorem | math_statement = एक अनुक्रम {{math|''ε<sub>n</sub>'' ↓ 0}} उपस्थित है, जिसके लिए निम्नलिखित धारण करता है। माना {{math|''n'' ≥ 1}}, और माना यादृच्छिक चर {{math|''X''<sub>1</sub>, ..., ''X<sub>n</sub>''}} [[लघुगणकीय रूप से अवतल कार्य|में अभिलेख-उन्मुख]] [[संयुक्त घनत्व कार्य|संयुक्त घनत्व]] {{mvar|f }} है, जैसे {{math|1=''f''(''x''<sub>1</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>'') = ''f''({{abs|''x''<sub>1</sub>}}, ..., {{abs|''x<sub>n</sub>''}})}} सभी {{math|''x''<sub>1</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>''}} के लिए, और {{math|1=E(''X''{{su|b=''k''|p=2}}) = 1}} सभी  {{math|1=''k'' = 1, ..., ''n''}} के लिए, तब
 <math display="block"> \frac{X_1+\cdots+X_n}{\sqrt n} </math>
-है {{mvar|ε<sub>n</sub>}}-के अंतअ <math display="inline"> \mathcal{N}(0, 1)</math> में [[संभाव्यता उपायों की कुल भिन्नता दूरी|कुल भिन्नता दूरी]].<ref>Klartag (2007, Theorem 1.2)</ref>}}
+{{mvar|ε<sub>n</sub>}}-के अंतअ <math display="inline"> \mathcal{N}(0, 1)</math> में [[संभाव्यता उपायों की कुल भिन्नता दूरी|कुल भिन्नता दूरी का वितरण है।]]<ref>Klartag (2007, Theorem 1.2)</ref>}}
-ये दोनों {{mvar|ε<sub>n</sub>}}-निकट वितरण में घनत्व होता है (वास्तव में, लॉग-अवतल घनत्व), इस प्रकार, उनके मध्य कुल विचरण दूरी घनत्व के अंतर के निरपेक्ष मान का अभिन्न अंग है। कुल भिन्नता में अभिसरण दुर्बल अभिसरण से अधिक प्रबल होता है।
+इन दो {{mvar|ε<sub>n</sub>}}-अंतअ वितरणों में घनत्व होते है (वास्तव में, अभिलेख-उन्मुख घनत्व), इस प्रकार, उनके मध्य की कुल विचरण दूरी घनत्वों के मध्य के अंतर के निरपेक्ष मान का अभिन्न अंग है। कुल विचरण में अभिसरण दुर्बल अभिसरण से अधिक प्रबल होता है।
-लॉग-अवतल घनत्व का एक महत्वपूर्ण उदाहरण एक दिए गए अवमुख निकाय के भीतर स्थिर और बाहर लुप्त होने वाला कार्य है; यह अवमुख पिंड पर समान वितरण के अनुरुप  है, जो अवमुख पिंडों के लिए शब्द केंद्रीय सीमा प्रमेय की व्याख्या करता है।
+अभिलेख-उन्मुख घनत्व का एक महत्वपूर्ण उदाहरण एक दिए गए अवमुख निकाय के भीतर स्थिर और बाहर लुप्त होने वाला कार्य है; यह अवमुख पिंड पर समान वितरण के अनुरुप  है, जो अवमुख पिंडों के लिए पद केंद्रीय सीमा प्रमेय की व्याख्या करता है।
-एक और उदाहरण: {{math|1=''f''(''x''<sub>1</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>'') = const · exp(−({{abs|''x''<sub>1</sub>}}<sup>''α''</sup> + ⋯ + {{abs|''x<sub>n</sub>''}}<sup>''α''</sup>)<sup>''β''</sup>)}} जहाँ {{math|''α'' > 1}} और {{math|''αβ'' > 1}}. यदि {{math|1=''β'' = 1}} तब {{math|''f''(''x''<sub>1</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>'')}} में गुणनखंड करता है {{math|const · exp (−{{abs|''x''<sub>1</sub>}}<sup>''α''</sup>) … exp(−{{abs|''x<sub>n</sub>''}}<sup>''α''</sup>), }} अभिप्राय {{math|''X''<sub>1</sub>, ..., ''X<sub>n</sub>''}} स्वतंत्र हैं। हालांकि, सामान्यतः, वे निर्भर हैं।
+अन्य उदाहरण: {{math|1=''f''(''x''<sub>1</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>'') = const · exp(−({{abs|''x''<sub>1</sub>}}<sup>''α''</sup> + ⋯ + {{abs|''x<sub>n</sub>''}}<sup>''α''</sup>)<sup>''β''</sup>)}} जहाँ {{math|''α'' > 1}} और {{math|''αβ'' > 1}}. यदि {{math|1=''β'' = 1}} तब {{math|''f''(''x''<sub>1</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>'')}} में गुणनखंड {{math|const · exp (−{{abs|''x''<sub>1</sub>}}<sup>''α''</sup>) … exp(−{{abs|''x<sub>n</sub>''}}<sup>''α''</sup>)}} करता है, जिसका अर्थ  {{math|''X''<sub>1</sub>, ..., ''X<sub>n</sub>''}} स्वतंत्र हैं। हालांकि, सामान्यतः, वे निर्भर हैं।
-स्थिति {{math|1=''f''(''x''<sub>1</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>'') = ''f''({{abs|''x''<sub>1</sub>}}, ..., {{abs|''x<sub>n</sub>''}})}} निश्चित करता है की {{math|''X''<sub>1</sub>, ..., ''X<sub>n</sub>''}} शून्य माध्य और असंबद्ध हैं;{{Citation needed|date=June 2012}} अभी भी, उन्हें स्वतंत्र होने की आवश्यकता नहीं है, न ही [[जोड़ीदार स्वतंत्रता|युग्‍मानूसार स्वतंत्रता]] भी।{{Citation needed|date=June 2012}} वैसे, लौकिक केंद्रीय सीमा प्रमेय में युग्‍मानूसार स्वतंत्रता स्वतंत्रता को प्रतिस्थापित नहीं कर सकती है।<ref>Durrett (2004, Section 2.4, Example 4.5)</ref>
+स्थिति {{math|1=''f''(''x''<sub>1</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>'') = ''f''({{abs|''x''<sub>1</sub>}}, ..., {{abs|''x<sub>n</sub>''}})}} निश्चित करता है कि {{math|''X''<sub>1</sub>, ..., ''X<sub>n</sub>''}} शून्य माध्य और असंबद्ध हैं;{{Citation needed|date=जून 2012}} फिर भी, उन्हें स्वतंत्र होने की आवश्यकता नहीं है, और न ही [[जोड़ीदार स्वतंत्रता|युग्‍मानूसार स्वतंत्रता]] होने की आवश्यकता है।{{Citation needed|date=जून 2012}} वैसे, युग्‍मानूसार स्वतंत्रता लौकिक केंद्रीय सीमा प्रमेय में स्वतंत्रता को प्रतिस्थापित नहीं कर सकती है।<ref>Durrett (2004, Section 2.4, Example 4.5)</ref>
 यहाँ एक बेरी-एस्सेन प्रकार का परिणाम है।
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 {{math theorem | math_statement = माना {{math|''X''<sub>1</sub>, ..., ''X<sub>n</sub>''}} पूर्व प्रमेय की मान्यताओं को संतुष्ट करें, तब<ref>Klartag (2008, Theorem 1)</ref>
 <math display="block"> \left| \mathbb{P} \left( a \le \frac{ X_1+\cdots+X_n }{ \sqrt n } \le b \right) - \frac1{\sqrt{2\pi}} \int_a^b e^{-\frac{1}{2} t^2} \, dt \right| \le \frac{C}{n} </math>
-सभी के लिए {{math|''a'' < ''b''}}; यहाँ {{mvar|C}} एक है [[गणितीय स्थिरांक|सार्वभौमिक (पूर्ण) स्थिरांक]]। इसके अतिरिक्त, प्रत्येक के लिए {{math|''c''<sub>1</sub>, ..., ''c<sub>n</sub>'' ∈ '''R'''}} ऐसा है कि {{math|1=''c''{{su|b=1|p=2}} + ⋯ + ''c''{{su|b=''n''|p=2}} = 1}},
+सभी {{math|''a'' < ''b''}} के लिए; यहाँ {{mvar|C}} एक [[गणितीय स्थिरांक|सार्वभौमिक (पूर्ण) स्थिरांक]] है। इसके अतिरिक्त, प्रत्येक {{math|''c''<sub>1</sub>, ..., ''c<sub>n</sub>'' ∈ '''R'''}} के लिए ऐसा है कि {{math|1=''c''{{su|b=1|p=2}} + ⋯ + ''c''{{su|b=''n''|p=2}} = 1}},
 <math display="block"> \left| \mathbb{P} \left( a \le c_1 X_1+\cdots+c_n X_n \le b \right) - \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_a^b e^{-\frac{1}{2} t^2} \, dt \right| \le C \left( c_1^4+\dots+c_n^4 \right). </math>}}
-का वितरण {{math|{{sfrac|''X''<sub>1</sub> + ⋯ + ''X<sub>n</sub>''|{{sqrt|''n''}}}}}} लगभग सामान्य होने की आवश्यकता नहीं है (वास्तव में, यह एक समान हो सकता है)।<ref>Klartag (2007, Theorem 1.1)</ref> हालांकि, का वितरण {{math|''c''<sub>1</sub>''X''<sub>1</sub> + ⋯ + ''c<sub>n</sub>X<sub>n</sub>''}} इसके अंतअ है <math display="inline"> \mathcal{N}(0, 1)</math> (कुल भिन्नता दूरी में) अधिकांश सदिशों के लिए {{math|(''c''<sub>1</sub>, ..., ''c<sub>n</sub>'')}} गोले पर समान वितरण के अनुसार {{math|1=''c''{{su|b=1|p=2}} + ⋯ + ''c''{{su|b=''n''|p=2}} = 1}}.
+{{math|{{sfrac|''X''<sub>1</sub> + ⋯ + ''X<sub>n</sub>''|{{sqrt|''n''}}}}}} के वितरण को लगभग सामान्य होने की आवश्यकता नहीं है (वास्तव में, यह एक समान हो सकता है)।<ref>Klartag (2007, Theorem 1.1)</ref> हालांकि, {{math|''c''<sub>1</sub>''X''<sub>1</sub> + ⋯ + ''c<sub>n</sub>X<sub>n</sub>''}} का वितरण <math display="inline"> \mathcal{N}(0, 1)</math> के अंतअ है, (कुल भिन्नता दूरी में) अधिकांश सदिशों {{math|(''c''<sub>1</sub>, ..., ''c<sub>n</sub>'')}} के लिए गोले {{math|1=''c''{{su|b=1|p=2}} + ⋯ + ''c''{{su|b=''n''|p=2}} = 1}} पर समान वितरण के अनुसार है।
 === लैक्यूनरी त्रिकोणमितीय श्रृंखला ===
 {{math theorem | name = प्रमेय ([[राफेल सलेम|सलेम]]–[[एंटोनी ज़िगमंड|ज़िगमंड]]) | math_statement =
-माना {{mvar|U}} समान रूप से वितरित एक यादृच्छिक चर हो {{math|(0,2π)}}, और {{math|1=''X<sub>k</sub>'' = ''r<sub>k</sub>'' cos(''n<sub>k</sub>U'' + ''a<sub>k</sub>'')}}, जहां
+माना {{mvar|U}} समान रूप से वितरित एक यादृच्छिक चर  {{math|(0,2π)}}, और {{math|1=''X<sub>k</sub>'' = ''r<sub>k</sub>'' cos(''n<sub>k</sub> U'' + ''a<sub>k</sub>'')}} हो, जहां
-* {{mvar|n<sub>k</sub>}} अभाव की स्थिति को संतुष्ट करें: उपस्थित है {{math|''q'' > 1}} ऐसा है कि {{math|''n''<sub>''k'' + 1</sub> ≥ ''qn''<sub>''k''</sub>}} सभी के लिए {{mvar|k}},
+* {{mvar|n<sub>k</sub>}} अभाव की स्थिति को संतुष्ट करें: वहाँ {{math|''q'' > 1}} उपस्थित है ऐसा है कि {{math|''n''<sub>''k'' + 1</sub> ≥ ''qn''<sub>''k''</sub>}} सभी {{mvar|k}} के लिए,
-* {{mvar|r<sub>k</sub>}} ऐसे हैं <math display="block"> r_1^2 + r_2^2 + \cdots = \infty \quad\text{ और }\quad \frac{ r_k^2 }{ r_1^2+\cdots+r_k^2 } \to 0, </math>
+* {{mvar|r<sub>k</sub>}} ऐसा है कि <math display="block"> r_1^2 + r_2^2 + \cdots = \infty \quad\text{ और }\quad \frac{ r_k^2 }{ r_1^2+\cdots+r_k^2 } \to 0, </math>
 * {{math|0 ≤ ''a''<sub>''k''</sub> < 2π}}.
 तब <ref name=Zygmund/><ref>Gaposhkin (1966, Theorem 2.1.13)</ref>
 <math display="block"> \frac{ X_1+\cdots+X_k }{ \sqrt{r_1^2+\cdots+r_k^2} } </math>
-वितरण में अभिसरण करता है <math display="inline"> \mathcal{N}\big(0, \frac{1}{2}\big)</math>.}}
+वितरण <math display="inline"> \mathcal{N}\big(0, \frac{1}{2}\big)</math> में अभिसरण करता है।}}
 === गाऊसी बहुतलीय ===
 {{math theorem | math_statement =
-माना {{math|''A''<sub>1</sub>, ..., ''A''<sub>''n''</sub>}} समतलीय पर स्वतंत्र यादृच्छिक बिंदु बनें {{math|'''R'''<sup>2</sup>}} प्रत्येक में द्वि-आयामी मानक सामान्य वितरण है। माना {{mvar|K<sub>n</sub>}} हो [[अवमुख समावरक]] इन बिंदुओं में से, और {{mvar|X<sub>n</sub>}} का क्षेत्र {{mvar|K<sub>n</sub>}} तब <ref>Bárány & Vu (2007, Theorem 1.1)</ref>
+माना {{math|''A''<sub>1</sub>, ..., ''A''<sub>''n''</sub>}} में द्वि-आयामी मानक सामान्य वितरण वाले प्रत्येक समतलीय {{math|'''R'''<sup>2</sup>}} पर स्वतंत्र यादृच्छिक बिंदु हैं। माना {{mvar|K<sub>n</sub>}} इन बिंदुओं का [[अवमुख समावरक]] है, और {{mvar|X<sub>n</sub>}} , {{mvar|K<sub>n</sub>}} का क्षेत्रफल है, तब <ref>Bárány & Vu (2007, Theorem 1.1)</ref>
 <math display="block"> \frac{ X_n - \mathbb{E} (X_n) }{ \sqrt{\operatorname{Var} (X_n)} } </math>
-वितरण में अभिसरण करता है <math display="inline"> \mathcal{N}(0, 1)</math> जैसे {{mvar|n}} अनंत की ओर जाता है।}}
+वितरण <math display="inline"> \mathcal{N}(0, 1)</math> में अभिसरण करता है, जैसे {{mvar|n}} अनंत की ओर जाता है।}}
 यही 2 से बड़े सभी आयामों में भी अनुप्रयोज्य होता है।
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 [[उत्तल पॉलीटॉप|बहुतलीय]] {{mvar|K<sub>n</sub>}} को गॉसियन यादृच्छिक बहुतलीय कहा जाता है।
-एक समान परिणाम शीर्षों की संख्या (गाऊसी बहुतलीय के), किनारों की संख्या और वास्तव में, सभी आयामों के फलको के लिए होता है।<ref>Bárány & Vu (2007, Theorem 1.2)</ref>
+एक समान परिणाम शीर्षों की संख्या (गाऊसी बहुतलीय के), किनारों की संख्या और वास्तव में, सभी आयामों के फलको के लिए होती है।<ref>Bárány & Vu (2007, Theorem 1.2)</ref>
-===लांबिक आव्यूह के रैखिक कार्य ===
+===लांबिक आव्यूह के रैखिक फलन ===
-एक आव्यूह {{math|'''M'''}} का रैखिक कार्य इसके तत्वों का एक रैखिक संयोजन है (दिए गए गुणांकों के साथ), {{math|'''M''' ↦ tr('''AM''')}} जहाँ {{math|'''A'''}} गुणांकों का आव्यूह है; अनुरेख (रैखिक बीजगणित)#आंतरिक उत्पाद देखें।
+एक आव्यूह {{math|'''M'''}} का रैखिक फलन इसके तत्वों का एक रैखिक संयोजन है (दिए गए गुणांकों के साथ), {{math|'''M''' ↦ tr('''AM''')}} जहाँ {{math|'''A'''}} गुणांकों का आव्यूह है; अनुरेख (रैखिक बीजगणित)#आंतरिक उत्पाद देखें।
-एक यादृच्छिक [[ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स|लांबिक आव्यूह]] को समान रूप से वितरित किया जाता है, यदि इसका वितरण [[ऑर्थोगोनल समूह|लांबिक समूह]]  {{math|O(''n'','''R''')}} पर सामान्यीकृत हार माप है; चक्रानुक्रम आव्यूह#एकरूप यादृच्छिक चक्रानुक्रम आव्यूह देखें।
+एक यादृच्छिक [[ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स|लांबिक आव्यूह]] को समान रूप से वितरित किया जाता है, यदि इसका वितरण [[ऑर्थोगोनल समूह|लांबिक समूह]] {{math|O(''n'','''R''')}} पर सामान्यीकृत हार माप है; चक्रानुक्रम आव्यूह#एकरूप यादृच्छिक चक्रानुक्रम आव्यूह देखें।
 {{math theorem | math_statement = माना {{math|'''M'''}} एक यादृच्छिक लांबिक {{math|''n'' × ''n''}}
-आव्यूह समान रूप से वितरित, और {{math|'''A'''}} निश्चित {{math|''n'' × ''n''}} आव्यूह ऐसा है {{math|1=tr('''AA'''*) = ''n''}}, और माना {{math|1=''X'' = tr('''AM''')}}। तब <ref name=Meckes/> का वितरण {{mvar|X}} इसके अंतअ है <math display="inline"> \mathcal{N}(0, 1)</math>तक की कुल भिन्नता मापीय में{{स्पष्टीकरण|कारण=यहाँ अप का क्या अर्थ है|तिथि=जून 2012}} {{math|{{sfrac|2{{sqrt|3}}|''n'' − 1}}}}.}}
+आव्यूह समान रूप से वितरित किया जाता है, और {{math|'''A'''}} एक निश्चित {{math|''n'' × ''n''}} आव्यूह ऐसा है कि {{math|1=tr('''AA'''*) = ''n''}}, और {{math|1=''X'' = tr('''AM''')}} प्रदान करता है। तब <ref name=Meckes/>  {{mvar|X }} का वितरण <math display="inline"> \mathcal{N}(0, 1)</math> के अंतअ कुल भिन्नता मापीय में{{स्पष्टीकरण|कारण=यहाँ अप का क्या अर्थ है|तिथि=जून 2012}} {{math|{{sfrac|2{{sqrt|3}}|''n'' − 1}}}} तक है।}}
 === अनुवर्ती ===
-{{math theorem | math_statement = माना यादृच्छिक चर {{math|''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, ... ∈ ''L''<sub>2</sub>(Ω)}} ऐसा हो कि {{math|''X<sub>n</sub>'' → 0}} [[दुर्बल अभिसरण (हिल्बर्ट समष्टि)|अशक्त]] में {{math|''L''<sub>2</sub>(Ω)}} और {{math|''X''{{su|b=''n''|2}} → 1}} अशक्त रूप से {{math|''L''<sub>1</sub>(Ω)}}। फिर पूर्णांक उपस्थित हैं {{math|''n''<sub>1</sub> < ''n''<sub>2</sub> < ⋯}} ऐसा है कि
+{{math theorem | math_statement = माना यादृच्छिक चर {{math|''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, ... ∈ ''L''<sub>2</sub>(Ω)}} ऐसा हो कि {{math|''X<sub>n</sub>'' → 0}} [[दुर्बल अभिसरण (हिल्बर्ट समष्टि)|अशक्त]] में {{math|''L''<sub>2</sub>(Ω)}} और {{math|''X''{{su|b=''n''|2}} → 1}} अशक्त रूप से {{math|''L''<sub>1</sub>(Ω)}} हो। तब पूर्णांक में {{math|''n''<sub>1</sub> < ''n''<sub>2</sub> < ⋯}} उपस्थित हैं, ऐसा है कि
 <math display="block"> \frac{ X_{n_1}+\cdots+X_{n_k} }{ \sqrt k }</math>
-वितरण में अभिसरण करता है <math display="inline"> \mathcal{N}(0, 1)</math> as {{mvar|k}} अनंत की ओर जाता है। <ref>Gaposhkin (1966, Sect. 1.5)</ref>}}
+वितरण में <math display="inline"> \mathcal{N}(0, 1)</math>अभिसरण करता है, जैसा कि {{mvar|k}} अनंत की ओर जाता है। <ref>Gaposhkin (1966, Sect. 1.5)</ref>}}
 === एक क्रिस्टल जालक पर यादृच्छिक चलना ===
-केंद्रीय सीमा प्रमेय को एक क्रिस्टल जालक (एक परिमित आलेख पर आलेख को कवर करने वाला एक अनंत-गुना एबेलियन) पर सरल यादृच्छिक चलने के लिए स्थापित किया जा सकता है, और क्रिस्टल संरचनाओं के
+केंद्रीय सीमा प्रमेय को एक क्रिस्टल जालक (एक परिमित आलेख पर आलेख को समाविष्ट करने वाला एक अनंत-गुना एबेलियन) पर सरल यादृच्छिक चलने के लिए स्थापित किया जा सकता है, और क्रिस्टल संरचनाओं के
 के लिए उपयोग किया जाता है।<ref>{{cite book |last1=Kotani |first1=M. |last2=Sunada |first2=Toshikazu |author-link2=Toshikazu Sunada |date=2003 |title=क्रिस्टल लैटिस की स्पेक्ट्रल ज्यामिति|publisher=Contemporary Math |volume=338 |pages=271–305 |isbn=978-0-8218-4269-0}}</ref><ref>{{cite book |author-link=Toshikazu Sunada |last=Sunada |first=Toshikazu |date=2012 |title=Topological Crystallography – With a View Towards Discrete Geometric Analysis|series=Surveys and Tutorials in the Applied Mathematical Sciences |volume=6 |publisher=Springer |isbn=978-4-431-54177-6}}</ref>
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 == अनुप्रयोग और उदाहरण ==
-[[File:Empirical CLT - Figure - 040711.jpg|right|thumb|500px| ची-वर्ग मान एक से कम या लगभग समान है)। सामान्यीकृत गॉसियन फलन में इनपुट प्रतिरूप माध्य (~ 50) का अभिप्राय है और प्रतिरूप आकार के वर्गमूल से विभाजित माध्य प्रतिरूप मानक विचलन (~ 28.87/{{math|{{sqrt|''n''}}}}), जिसे माध्य का मानक विचलन कहा जाता है (चूंकि यह प्रतिरूप साधनों के प्रसार को संदर्भित करता है)।]]केंद्रीय सीमा प्रमेय का एक सरल उदाहरण कई समान, निष्पक्ष पासा फेंकना है। वेल्लित नंबरों के योग (या औसत) का वितरण सामान्य वितरण द्वारा अच्छी तरह अनुमानित होगा। चूँकि वास्तविक दुनिया की मात्राएँ प्रायः कई अलक्षित यादृच्छिक घटनाओं का संतुलित योग होती हैं, केंद्रीय सीमा प्रमेय भी सामान्य प्रायिकता वितरण की व्यापकता के लिए आंशिक स्पष्टीकरण प्रदान करता है। यह नियंत्रित प्रयोगों में सामान्य वितरण के लिए बड़े-प्रतिरूप आँकड़ों के सन्निकटन को भी सही ठहराता है।
+[[File:Empirical CLT - Figure - 040711.jpg|right|thumb|500px| यह आंकड़ा केंद्रीय सीमा प्रमेय को प्रदर्शित करता है। प्रतिरूप साधन एक यादृच्छिक संख्या जनक का उपयोग करके उत्पन्न होते हैं, जो एक समान प्रायिकता वितरण से 0 और 100 के बीच संख्याएँ खींचता है। यह दिखाता है कि 500 मापा प्रतिरूप में प्रतिरूप आकार बढ़ने का अर्थ जनसंख्या माध्य (इस स्थिति में 50) के बारे में अधिक घनिष्ठ रूप से वितरित किया जा रहा है। यह देखे गए वितरणों की तुलना उन वितरणों से भी करता है जो सामान्यीकृत गॉसियन वितरण के लिए अपेक्षित होंगे, और ची-वर्ग मान दर्शाता है जो आक्षेप  की अच्छाई को मापता (आक्षेप अच्छा है यदि कम ची-वर्ग मान से कम है या लगभग एक के समान) है। सामान्यीकृत गॉसियन फलन में इनपुट प्रतिरूप माध्य (~ 50) का अभिप्राय है और प्रतिरूप आकार के वर्गमूल से विभाजित माध्य प्रतिरूप मानक विचलन (~ 28.87/{{math|{{sqrt|''n''}}}}), जिसे माध्य का मानक विचलन (चूंकि यह प्रतिरूप साधनों के प्रसार को संदर्भित करता है) कहा जाता है।]]केंद्रीय सीमा प्रमेय का एक सरल उदाहरण कई समान, निष्पक्ष पासा फेंकना है। वेल्लित नंबरों के योग (या औसत) का वितरण सामान्य वितरण द्वारा अच्छी तरह अनुमानित होगा। चूँकि वास्तविक दुनिया की मात्राएँ प्रायः कई अलक्षित यादृच्छिक घटनाओं का संतुलित योग होती हैं, केंद्रीय सीमा प्रमेय भी सामान्य प्रायिकता वितरण की व्यापकता के लिए आंशिक स्पष्टीकरण प्रदान करता है। यह नियंत्रित प्रयोगों में सामान्य वितरण के लिए बड़े-प्रतिरूप आँकड़ों के सन्निकटन को भी सही ठहराता है।
-[[File:Dice sum central limit theorem.svg|left|thumb|250px|प्रायिकता घनत्व कार्यों की तुलना, {{math|**''p''(''k'')}} के योग के लिए {{mvar|n}} फेयर 6-साइडेड पासा बढ़ते हुए सामान्य वितरण में अपना अभिसरण दिखाने के लिए {{mvar|n}}, केंद्रीय सीमा प्रमेय के अनुसार। नीचे-दाएं आलेख़ में, पूर्व  आलेख़ के स्मूथ प्रोफाइल को सामान्य वितरण (ब्लैक कर्व) के साथ पुन: व्यवस्थित, आरोपित और तुलना की जाती है।]]
+[[File:Dice sum central limit theorem.svg|left|thumb|250px|प्रायिकता घनत्व कार्यों की तुलना, {{math|**''p''(''k'')}}, निष्पक्ष 6-पक्षीय पासा के योग {{mvar|n}} के लिए, केंद्रीय सीमा प्रमेय के अनुसार बढ़ते हुए n के साथ एक सामान्य वितरण में उनके अभिसरण को दिखाने के लिए है। नीचे-दाएं आलेख में, पूर्व आलेख के समकृत आँकड़े को सामान्य वितरण (काला वक्र) के साथ पुन: व्यवस्थित, आरोपित और तुलना की जाती है।]]
 {{clear left}}
-[[File:Central Limit Theorem.png|center|thumb|640px|द्विपद वितरण का उपयोग करते हुए एक और अनुकरण। यादृच्छिक 0s और 1s उत्पन्न किए गए थे, और फिर उनके साधनों की गणना 1 से 512 तक के प्रतिरूप आकार के लिए की गई थी। ध्यान दें कि जैसे ही प्रतिरूप आकार बढ़ता है, पूंछ पतली हो जाती है और वितरण माध्य के आसपास अधिक केंद्रित हो जाता है।]]
+[[File:Central Limit Theorem.png|center|thumb|640px|द्विपद वितरण का उपयोग करते हुए एक और अनुकरण, यादृच्छिक 0s और 1s उत्पन्न किए गए थे, और फिर उनके साधनों की गणना 1 से 512 तक के प्रतिरूप आकार के लिए की गई थी। ध्यान दें कि जैसे ही प्रतिरूप आकार बढ़ता है, पृष्ठभाग पतली हो जाता है और वितरण माध्य के आसपास अधिक केंद्रित हो जाता है।]]
 {{clear right}}
 == प्रतिगमन ==
-[[प्रतिगमन विश्लेषण]] और विशेष रूप से सामान्य न्यूनतम वर्ग निर्दिष्ट करते हैं कि एक आश्रित चर एक योगात्मक त्रुटि शब्द के साथ एक या अधिक [[स्वतंत्र चर]] पर कुछ फलनों के अनुसार निर्भर करता है। प्रतिगमन पर विभिन्न प्रकार के सांख्यिकीय निष्कर्ष मानते हैं कि त्रुटि शब्द सामान्य रूप से वितरित किया जाता है। इस धारणा को यह मानकर उचित ठहराया जा सकता है कि त्रुटि शब्द वास्तव में कई स्वतंत्र त्रुटि पदों का योग है; भले ही व्यक्तिगत त्रुटि पदों को सामान्य रूप से वितरित नहीं किया जाता है, केंद्रीय सीमा प्रमेय द्वारा उनके योग को सामान्य वितरण द्वारा अच्छी तरह से अनुमानित किया जा सकता है।
+[[प्रतिगमन विश्लेषण]] और विशेष रूप से सामान्य न्यूनतम वर्ग निर्दिष्ट करते हैं कि एक आश्रित चर एक योगात्मक त्रुटि पद के साथ एक या अधिक [[स्वतंत्र चर]] पर कुछ फलनों के अनुसार निर्भर करता है। प्रतिगमन पर विभिन्न प्रकार के सांख्यिकीय निष्कर्ष मानते हैं कि त्रुटि पद सामान्य रूप से वितरित किया जाता है। इस धारणा को यह मानकर उचित अभिगृहीत किया जा सकता है कि त्रुटि पद वास्तव में कई स्वतंत्र त्रुटि पदों का योग है; भले ही व्यक्तिगत त्रुटि पदों को सामान्य रूप से वितरित नहीं किया जाता है, केंद्रीय सीमा प्रमेय द्वारा उनके योग को सामान्य वितरण द्वारा अच्छी तरह से अनुमानित किया जा सकता है।
 === अन्य उदाहरण ===
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 {{quote|मैं कल्पना को प्रभावित करने के लिए सम्भवतः ही कुछ जानता हूं जो "त्रुटि के आवृत्ति के नियम" द्वारा व्यक्त किए गए लौकिक आदेश के अद्भुत रूप में कल्पना को प्रभावित करता है। यूनानियों द्वारा नियम को मूर्त रूप दिया गया होता और अगर वे इसके विषय में ज्ञात होता तो देवीकृत बन जाते। यह सबसे बड़े भ्रम के मध्य, शांति और पूर्ण आत्म-विस्मृति के साथ शासन करता है। भीड़ जितनी बड़ी होती है, और जितनी बड़ी स्पष्ट अराजकता होती है, उसका प्रभूत्व उतना ही उचित होता है। यह अकारण का सर्वोच्च नियम है। जब भी अराजक तत्वों का एक बड़ा प्रतिरूप हाथ में लिया जाता है और उनके परिमाण के क्रम में व्यवस्थित किया जाता है, तो नियमितता का एक असंभावित और सबसे सुंदर रूप सदैव के लिए अव्यक्त सिद्ध होता है।}}
-वास्तविक शब्द केंद्रीय सीमा प्रमेय (जर्मन में: जेंट्रालर ग्रेनज़वर्ट्सत्ज़) का प्रथम बार उपयोग जॉर्ज पोल्या ने 1920 में एक लेख के शीर्षक में किया था।<ref name=Polya1920>{{Cite journal|last=Pólya|first=George|author-link=George Pólya|year=1920|title=Über den zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung und das Momentenproblem|trans-title=On the central limit theorem of probability calculation and the problem of moments |journal=[[Mathematische Zeitschrift]]|volume=8|pages=171–181|language=de|url=http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN266833020_0008|doi=10.1007/BF01206525|issue=3–4|s2cid=123063388}}</ref><ref name=LC1986/>प्रायिकता सिद्धांत में इसके महत्व के कारण पोल्या ने प्रमेय को "केंद्रीय" कहा। ले कैम के अनुसार, प्रायिकता का फ्रांसीसी विद्यालय ने केंद्रीय शब्द की व्याख्या इस अर्थ में करता है कि यह वितरण के केंद्र के व्यवहार को उसके पृष्ठभाग के विपरीत बताता है।<ref name=LC1986/>1920 में पोल्या<ref name=Polya1920/>द्वारा प्रायिकता की गणना और क्षणों की समस्या की केंद्रीय सीमा प्रमेय पर लेख का सार इस प्रकार है।
+वास्तविक पद केंद्रीय सीमा प्रमेय (जर्मन में: जेंट्रालर ग्रेनज़वर्ट्सत्ज़) का प्रथम बार उपयोग जॉर्ज पोल्या ने 1920 में एक लेख के शीर्षक में किया था।<ref name=Polya1920>{{Cite journal|last=Pólya|first=George|author-link=George Pólya|year=1920|title=Über den zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung und das Momentenproblem|trans-title=On the central limit theorem of probability calculation and the problem of moments |journal=[[Mathematische Zeitschrift]]|volume=8|pages=171–181|language=de|url=http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN266833020_0008|doi=10.1007/BF01206525|issue=3–4|s2cid=123063388}}</ref><ref name=LC1986/>प्रायिकता सिद्धांत में इसके महत्व के कारण पोल्या ने प्रमेय को "केंद्रीय" कहा। ले कैम के अनुसार, प्रायिकता का फ्रांसीसी विद्यालय ने केंद्रीय पद की व्याख्या इस अर्थ में करता है कि यह वितरण के केंद्र के व्यवहार को उसके पृष्ठभाग के विपरीत बताता है।<ref name=LC1986/>1920 में पोल्या<ref name=Polya1920/>द्वारा प्रायिकता की गणना और क्षणों की समस्या की केंद्रीय सीमा प्रमेय पर लेख का सार इस प्रकार है।
 {{quote|text=गाऊसी संभाव्यता घनत्व की घटना {{math|1 {{=}} ''e''<sup>−''x''<sup>2</sup></sup>}} दोहराए गए प्रयोगों में, माप की त्रुटियों में, जिसके परिणामस्वरूप बहुत अधिक और बहुत छोटी प्राथमिक त्रुटियों का संयोजन होता है, प्रसार प्रक्रियाओं आदि में समझाया जा सकता है, जैसा कि सर्वविदित है , उसी सीमा प्रमेय द्वारा, जो प्रायिकता की गणना में केंद्रीय भूमिका निभाता है। इस सीमा प्रमेय के वास्तविक खोजकर्ता का नाम लाप्लास है; यह संभावना है कि इसका कठोर प्रमाण सर्वप्रथम चेबीशेफ द्वारा दिया गया था और जहां तक मुझे ज्ञात है, [[अलेक्जेंडर लायपुनोव|लियापौनॉफ़]] के एक लेख में इसका सबसे तीक्ष्ण सूत्रीकरण पाया जा सकता है। ... }}
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 ==बाहरी संबंध==
-{{Commons category}}
 * [https://www.khanacademy.org/math/probability/statistics-inferential/sampling_distribution/v/central-limit-theorem Central Limit Theorem] at Khan Academy
 *{{springer|title=Central limit theorem|id=p/c021180}}
 * {{MathWorld |title=Central Limit Theorem |urlname=CentralLimitTheorem}}
 * [https://www.mctague.org/carl/blog/2021/04/23/central-limit-theorem/ A music video demonstrating the central limit theorem with a Galton board] by Carl McTague
-{{statistics}}
 {{Authority control}}
-{{DEFAULTSORT:Central Limit Theorem}}[[Category: केंद्रीय सीमा प्रमेय | केंद्रीय सीमा प्रमेय ]] [[Category: संभाव्यता प्रमेय]] [[Category: सांख्यिकी में प्रमेय]] [[Category: प्रमाण युक्त लेख]] [[Category: स्पर्शोन्मुख सिद्धांत (सांख्यिकी)]]
+{{DEFAULTSORT:Central Limit Theorem}}
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:All articles with unsourced statements|Central Limit Theorem]]
-[[Category:Created On 21/03/2023]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page|Central Limit Theorem]]
+[[Category:Articles with invalid date parameter in template|Central Limit Theorem]]
+[[Category:Articles with unsourced statements from अप्रैल 2012|Central Limit Theorem]]
+[[Category:Articles with unsourced statements from जुलाई 2016|Central Limit Theorem]]
+[[Category:Articles with unsourced statements from जून 2012|Central Limit Theorem]]
+[[Category:CS1 Deutsch-language sources (de)]]
+[[Category:CS1 errors]]
+[[Category:CS1 maint]]
+[[Category:CS1 русский-language sources (ru)]]
+[[Category:Collapse templates|Central Limit Theorem]]
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+[[Category:Created On 21/03/2023|Central Limit Theorem]]
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केंद्रीय सीमा प्रमेय: Difference between revisions

Latest revision as of 15:34, 6 November 2023

स्वतंत्र क्रम

लौकिक सीएलटी

लायपुनोव सीएलटी

लिंडबर्ग सीएलटी

बहुआयामी सीएलटी

सामान्यीकृत प्रमेय

आश्रित प्रक्रियाएं

दुर्बल आश्रितता के अंतर्गत सीएलटी

मार्टिंगेल अंतर सीएलटी

टिप्पणी

लौकिक सीएलटी का प्रमाण

सीमा तक अभिसरण

बड़ी संख्या के नियम से संबंध

प्रमेय के वैकल्पिक कथन

घनत्व फलन

विशेषता फलन

विचरण की गणना

विस्तारण

धनात्मक यादृच्छिक चर के उत्पाद

लौकिक प्राधार के अतिरिक्त

अवमुख निकाय

लैक्यूनरी त्रिकोणमितीय श्रृंखला

गाऊसी बहुतलीय

लांबिक आव्यूह के रैखिक फलन

अनुवर्ती

एक क्रिस्टल जालक पर यादृच्छिक चलना

अनुप्रयोग और उदाहरण

प्रतिगमन

अन्य उदाहरण

इतिहास

यह भी देखें

टिप्पणियाँ

संदर्भ

बाहरी संबंध

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