रम्ब रेखा: Difference between revisions

Latest revision as of 16:45, 6 November 2023

एकदिश नौपथ, या रम्ब रेखाओं की छवि, जो उत्तरी ध्रुव की ओर बढ़ती है।

मार्गनिर्देशन में, एक रम्ब रेखा, रम्ब (/rʌm/), या एकदिश नौपथ एक चाप है जो एक ही कोण पर देशांतर के सभी भूमध्य रेखाओं को पार करता है, जोकि वास्तविक उत्तर दिशा के सापेक्ष मापा गया स्थिर दिक्कोण वाला पथ है।

परिचय

भूमंडल की सतहों पर रम्ब रेखा पाठ्यक्रम का पालन करने के प्रभाव पर पहली बार 1537 में पुर्तगाली गणितज्ञ पेड्रो नून्स ने 1590 के दशक में थॉमस हैरियट द्वारा आगे के गणितीय विकास के साथ समुद्रीय रेखाचित्र की रक्षा में अपने ग्रंथ में चर्चा की थी।

रम्ब रेखाओं की तुलना एक बड़े वृत्त से की जा सकती है, जो वृत्त की सतह पर दो बिंदुओं के मध्य की सबसे छोटी दूरी का पथ है। एक बड़े वृत्त पर, गंतव्य बिंदु का दिक्कोण स्थिर नहीं रहता है। यदि किसी को बृहत् वृत के साथ एक मोटर गाड़ी चलानी होती है तो वह चालन चक्र को स्थिर रखता है, परन्तु रम्ब रेखाओं का पालन करने के लिए पहिये को घुमाना पड़ता है, जैसे-जैसे स्तंभ पास आते हैं, इसे और अधिक तीव्रता से घुमाते हैं। दूसरे शब्दों में, एक बड़ा वृत्त शून्य अल्पांतरी वक्रता के साथ स्थानीय रूप से "सीधा" होता है, जबकि रम्ब रेखाओं में गैर-शून्य अल्पांतरी वक्रता होती है।

देशांतर के याम्योत्तर और अक्षांश के समानांतर रम्ब रेखाओं की विशेष स्थितियां प्रदान करते हैं, जहां उनके प्रतिच्छेदन के कोण क्रमशः 0° और 90° होते हैं। उत्तर-दक्षिण पथ पर रम्ब रेखा पाठ्यक्रम बृहत् वृत्तों के अनुरूप है, जैसे कि यह भूमध्य रेखाओं के साथ पूर्व-पश्चिम पथ पर होता है।

मर्केटर प्रक्षेपण मानचित्र पर, कोई भी रम्ब रेखा एक सीधी रेखा है; इस प्रकार के मानचित्रों पर पृथ्वी पर किन्हीं दो बिंदुओं के मध्य बिना मानचित्र के किनारे से हटे रम्ब रेखा खींची जा सकती है। परन्तु सैद्धांतिक रूप से एकदिश नौपथ मानचित्र के दाहिने किनारे से आगे बढ़ सकता है, जहां यह फिर उसी प्रवणता के साथ बाएं किनारे पर जारी रहता है (यह मानते हुए कि प्रतिचित्र बिल्कुल 360 डिग्री देशांतर को आच्छादित करता है)।

रम्ब रेखाएं जो भूमध्य रेखाओं को तिर्यक् कोणों पर काटती हैं, वे एकदिश नौपथ वक्र हैं जो ध्रुवों की ओर कुंडलित होती हैं।^[1] मर्केटर प्रक्षेपण पर उत्तरी ध्रुव और दक्षिणी ध्रुव अनंत पर होते हैं और इसलिए इन्हें कभी दर्शाया नहीं जाता है। हालांकि असीमित उच्च मानचित्रों पर पूर्ण एकदिश नौपथ में दो किनारों के मध्य अनंततः कई रेखा खंड सम्मिलित होंगे। त्रिविम प्रक्षेपण मानचित्र पर, एकदिश नौपथ समकोणीय कुंडली है जिसका केंद्र उत्तर या दक्षिण ध्रुव है।

सभी एकदिश नौपथ एक ध्रुव से दूसरे ध्रुव की ओर कुंडलित होते हैं। ध्रुवों के पास, वे लागेरिथ्मीय कुंडली होने के निकट हैं (जो कि वे त्रिविम प्रक्षेपण पर हैं, नीचे देखें) इसलिए वे प्रत्येक ध्रुव के चारों ओर अनंत बार चक्कर लगाते हैं परन्तु एक सीमित दूरी में ध्रुव तक पहुंचते हैं। एकदिश नौपथ की ध्रुव-से-ध्रुव लंबाई (एक आदर्श क्षेत्र मानते हुए) वास्तविक उत्तर दिशा से दूर दिक्कोण के कोज्या द्वारा विभाजित भूमध्य रेखाओं की लंबाई है। एकदिश नौपथो को ध्रुवों पर परिभाषित नहीं किया गया है।

व्युत्पत्ति और ऐतिहासिक विवरण

एकदिश नौपथ शब्द प्राचीन यूनानी भाषा λοξός loxos से आया है: तिर्यक् + δρόμος drómos: संचालन (δραμεῖν drameîn से: चलाने के लिए) है। रम्ब शब्द स्पेनी भाषा या पुर्तगाली भाषा रम्बो/रंमो (पाठ्यक्रम या दिशा) और यूनानी ῥόμβος rhómbos^[2] से आया हो सकता है।

सार्वभौमिक सूचना के भूमंडलीय विश्वज्ञानकोष के 1878 संस्करण में एकदिश नौपथ रेखाओं का वर्णन इस प्रकार है:^[3]

एकदिश नौपथ रेखा एक वक्र है जो किसी दिए गए सतह की वक्रता की रेखाओं की प्रणाली के प्रत्येक भागो को एक ही कोण पर काटती है। दिक्सूचक के एक ही बिंदु की ओर जाने वाला पोत एक ऐसी रेखा का वर्णन करता है जो सभी याम्योत्तरों को एक ही कोण पर काटती है। मर्केटर के प्रक्षेपण (q.v.) में एकदिश नौपथ रेखाएँ स्पष्ट रूप से सीधी होती हैं।^[3]
एक असम्मति उत्पन्न हो सकती है क्योंकि शब्द "रम्ब" का प्रयोग में आने पर इसका कोई सटीक अर्थ नहीं था। यह पवन आरेख रेखाओं के लिए समान रूप से अच्छी तरह से अनुप्रयुक्त होता है क्योंकि यह एकदिश नौपथो के लिए किया जाता है क्योंकि यह शब्द केवल स्थानीय रूप से अनुप्रयुक्त होता है और इसका अर्थ है कि एक नौकाचालक ने स्थिर दिक्कोण के साथ नौकायन करने के लिए जो कुछ भी किया है, जोकि सभी अशुद्धियों के साथ होता है। इसलिए, रम्ब पत्तन दर्शिकाओं पर सीधी रेखाओं पर अनुप्रयुक्त होता था, जब पत्तन दर्शिका उपयोग में होते थे, साथ ही सदैव मर्केटर रेखाचित्र पर सीधी रेखाओं पर भी अनुप्रयुक्त होते थे। छोटी दूरी के लिए पत्तन दर्शिका "रम्ब" अर्थपूर्ण रूप से मर्केटर रम्ब से भिन्न नहीं होते हैं, लेकिन इन दिनों "रम्ब" गणितीय रूप से सटीक "एकदिश नौपथ" का पर्याय बन गया है क्योंकि इसे पूर्वव्यापी रूप से समानार्थी बना दिया गया है।
जैसा कि लियो बग्रो कहते हैं:^[4] शब्द "रम्ब रेखा" इस अवधि के समुद्रीय-रेखाचित्रों पर अनुचित तरीके से अनुप्रयुक्त किया गया है क्योंकि एकदिश नौपथ केवल एक सटीक पाठ्यक्रम देता है, जब रेखाचित्र एक उपयुक्त प्रक्षेपण पर खींचा जाता है। मानचित्रमितीय जांच से पता चला है कि प्रारम्भिक रेखाचित्रों में किसी प्रक्षेपण का उपयोग नहीं किया गया था, इसलिए हम "पत्तन दर्शिका" नाम रखते हैं।

गणितीय विवरण

त्रिज्या 1 के वृत्तों के लिए, दिगंशीय कोण $λ$ , ध्रुवीय कोण $−.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}π/2 ≤ φ ≤ π/2$ (अक्षांश के अनुरूप यहां परिभाषित) और कार्तीय इकाई सदिश $i$ , $j$ , और $k$ का उपयोग त्रिज्या सदिश $r$ को लिखने के लिए किया जा सकता है।

$\mathbf {r} (\lambda ,\varphi )=(\cos {\lambda }\cdot \cos {\varphi })\mathbf {i} +(\sin {\lambda }\cdot \cos {\varphi })\mathbf {j} +(\sin {\varphi })\mathbf {k} \,$

वृत्तों के दिगंशीय और ध्रुवीय दिशाओं में लंबकोणीय इकाई सदिश लिखे जा सकते हैं;

${\begin{aligned}{\boldsymbol {\hat {\lambda }}}(\lambda ,\varphi )&=\sec {\varphi }{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \lambda }}=(-\sin {\lambda })\mathbf {i} +(\cos {\lambda })\mathbf {j} \,\\[8pt]{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}(\lambda ,\varphi )&={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}=(-\cos {\lambda }\cdot \sin {\varphi })\mathbf {i} +(-\sin {\lambda }\cdot \sin {\varphi })\mathbf {j} +(\cos {\varphi })\mathbf {k} \,\end{aligned}}$

जिनके पास अदिश गुणनफल है

${\boldsymbol {\hat {\lambda }}}\cdot {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}={\boldsymbol {\hat {\lambda }}}\cdot \mathbf {r} ={\boldsymbol {\hat {\varphi }}}\cdot \mathbf {r} =0\,$

नियतांक $φ$ के लिए $λ̂$ अक्षांश के समानांतर का पता लगाता है, जबकि नियतांक $λ$ के लिए $φ̂$ देशांतर के भूमध्य रेखाओं का पता लगाता है और साथ में वे वृत्तों के लिए समतल स्पर्शरेखा उत्पन्न करते हैं।
इकाई सदिश

$\mathbf {\boldsymbol {\hat {\beta }}} (\lambda ,\varphi )=(\sin {\beta }){\boldsymbol {\hat {\lambda }}}+(\cos {\beta }){\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$

किसी भी $λ$ और $φ$ के लिए इकाई सदिश $φ̂$ के साथ एक स्थिर कोण $β$ है, क्योंकि उनका अदिश गुणनफल है।

${\boldsymbol {\hat {\beta }}}\cdot {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=\cos {\beta }\,$

एकदिश नौपथो को वृत्तों पर एक वक्र के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें देशांतर के सभी याम्योत्तरों के साथ एक स्थिर कोण $β$ होता है और इसलिए इकाई सदिश $β̂$ के समानांतर होना चाहिए। फलस्वरूप, एकदिश नौपथो के साथ अंतर लंबाई $ds$ एक अंतर विस्थापन का उत्पादन करेगा।

$\begin{aligned} d r & = \hat{β} d s \\ \frac{\partial r}{\partial λ} d λ + \frac{\partial r}{\partial φ} d φ & = ((\sin β) \hat{λ} + (\cos β) \hat{φ}) d s \\ (\cos φ) d λ \hat{λ} + d φ \hat{φ} & = (\sin β) d s \hat{λ} + (\cos β) d s \hat{φ} \\ d s & = \frac{\cos φ}{\sin β} d λ = \frac{d φ}{\cos β} \\ \frac{d λ}{d φ} & = \tan β \cdot \sec φ \\ λ (φ | β, λ_{0}, φ_{0}) & = \tan β \cdot ({gd}^{- 1} φ - {gd}^{- 1} φ_{0}) + λ_{0} \\ φ (λ | β, λ_{0}, φ_{0}) & = gd ((λ - λ_{0}) \cot β + {gd}^{} \end{aligned}$
जहाँ $\operatorname {gd}$ और $\operatorname {gd} ^{-1}$ गुडेरमैनियन फलन और इसके व्युत्क्रम, $\operatorname {gd} \psi =\arctan(\sinh \psi ),$ $\operatorname {gd} ^{-1}\varphi =\operatorname {arsinh} (\tan \varphi )$ हैं और $\operatorname {arsinh}$ व्युत्क्रम अतिपरवलीय द्विज्या है।
$λ$ और $φ$ के मध्य इस संबंध के साथ, त्रिज्या सदिश एक चर का प्राचलिक फलन बन जाता है, जो वृत्तों पर एकदिश नौपथो का पता लगाता है:

$\mathbf {r} (\lambda \,|\,\beta ,\lambda _{0},\varphi _{0})={\big (}\cos {\lambda }\cdot \operatorname {sech} \psi {\big )}\mathbf {i} +{\big (}\sin {\lambda }\cdot \operatorname {sech} \psi {\big )}\mathbf {j} +{\big (}\tanh \psi {\big )}\mathbf {k} \,$

जहाँ

$\psi \equiv (\lambda -\lambda _{0})\cot \beta +\operatorname {gd} ^{-1}\varphi _{0}=\operatorname {gd} ^{-1}\varphi$

सममितीय अक्षांश है।^[5]
रम्ब रेखाओं में, जैसे-जैसे अक्षांश ध्रुवों $φ \to \pm π / 2$ , $sin φ \to \pm1$ की ओर जाता है, सममितीय अक्षांश $arsinh(tan φ) \to \pm \infty$ और देशांतर $λ$ बिना किसी सीमा के बढ़ता है, ध्रुवों की ओर एक कुंडली में इतनी तीव्रता से वृत्त का चक्कर लगाता है, जबकि एक परिमित कुल चाप लंबाई Δs द्वारा दी जाती है।

$\Delta s=R\,{\big |}(\pm \pi /2-\varphi _{0})\cdot \sec \beta {\big |}$

मर्केटर प्रक्षेपण से सम्बन्ध

लिस्बन, पुर्तगाल और हवाना, क्यूबा के मध्य एक बृहत् वृत चाप (लाल) की तुलना में रम्ब रेखा (नीली) है। शीर्ष पर: लंबकोणीय प्रक्षेपण और नीचे: मर्केटर प्रक्षेपण है।
मान लीजिए $λ$ वृत्त पर एक बिंदु का देशांतर है और $φ$ इसका अक्षांश है। फिर, यदि हम मर्केटर प्रक्षेपण के मानचित्र निर्देशांकों को परिभाषित करते हैं;
${\begin{aligned}x&=\lambda -\lambda _{0}\,\\y&=\operatorname {gd} ^{-1}\varphi =\operatorname {arsinh} (\tan \varphi )\,\end{aligned}}$

वास्तविक उत्तर दिशा से स्थिर दिक्कोण $β$ एकदिश नौपथ एक सीधी रेखा होगी, क्योंकि (पिछले अनुभाग में अभिव्यक्ति का उपयोग करके)

$y=mx$

प्रवणता के साथ

$m=\cot \beta \,$

दो दिए गए बिंदुओं के मध्य एकदिश नौपथो का पता लगाना एक मर्केटर प्रतिचित्र पर सुचित्रित रूप से किया जा सकता है, या दो अज्ञात $m = cot β$ और $λ 0$ में दो समीकरणों की एक गैर-रैखिक प्रणाली को हल करके किया जा सकता है। अपरिमित रूप से अनेक हल हैं; सबसे छोटा वह है जो वास्तविक देशांतर अन्तरो को आच्छादित करता है, अर्थात अतिरिक्त चक्कर नहीं लगाता है और "अनुचित तरीके से नहीं" जाता है।
एकदिश नौपथो के साथ मापी गई दो बिंदुओं $Δ s$ के मध्य की दूरी, उत्तर-दक्षिण दूरी (अक्षांश के वृत्तों को छोड़कर जिसके लिए दूरी अनंत हो जाती है) के दिक्कोण (दिगंश) के छेदक का पूर्ण मान है:

$\Delta s=R\,{\big |}(\varphi -\varphi _{0})\cdot \sec \beta {\big |}$

जहाँ $R$ पृथ्वी की औसत त्रिज्याओं में से एक है।

अनुप्रयोग

मार्गनिर्देशन में इसका उपयोग सीधे शैली से जुड़ा हुआ है, या कुछ मार्गनिर्देशक मानचित्रों का प्रक्षेपण है। मर्केटर प्रक्षेपण प्रतिचित्रों पर एक रम्ब रेखा एक सीधी रेखा के रूप में दिखाई देती है।^[1]
यह नाम क्रमशः पुराने फ्रांसीसी या स्पेनी से लिया गया है: "रम्ब" या "रम्बो" रेखाचित्र पर एक रेखा जो एक ही कोण पर सभी मध्याह्न रेखाओं को काटती है।^[1]समतल सतहों पर यह दो बिंदुओं के मध्य की सबसे छोटी दूरी होगी। पृथ्वी की सतहों पर कम अक्षांशों पर या कम दूरी पर इसका उपयोग किसी वाहन, विमान या पोतो के पाठ्यक्रमों का आलेखन रचने के लिए किया जा सकता है।^[1]लंबी दूरी और/या उच्च अक्षांशों पर बृहत् वृत पथ समान दो बिंदुओं के मध्य की रेखाओं से काफी छोटा है। हालांकि, एक बृहत् वृत पथ का आवागमन करते समय दिक्कोणो को निरन्तर परिवर्तित करने की असुविधा कुछ उदाहरणों में रम्ब रेखा मार्गनिर्देशनो को आकर्षक बनाती है।^[1]
बिंदु को भूमध्य रेखाओं के साथ 90 डिग्री देशांतरों पर एक पूर्व-पश्चिम पंथ के साथ चित्रित किया जा सकता है, जिसके लिए 10,000 किलोमीटर (5,400 समुद्रीय मील) पर बृहत् वृत्तों और रम्ब रेखाओं की दूरी समान हैं, 20 डिग्री उत्तर में बृहत् वृत्तों की दूरी 9,254 किमी (4,997 एनएमआई) है, जबकि रम्ब रेखाओं की दूरी 9,397 किमी (5,074 एनएमआई) है, लगभग 1.5% आगे है। परन्तु 60 डिग्री उत्तर में बृहत् वृत्तों की दूरी 4,602 किमी (2,485 समुद्रीय मील) है, जबकि रम्ब रेखा 5,000 किमी (2,700 समुद्रीय मील) है, जो 8.5% का अंतर है। एक अधिक चरम परिस्थिति न्यूयॉर्क शहर और हांगकांग के मध्य का विमान मार्ग है, जिसके लिए रम्ब रेखा पथ 18,000 किमी (9,700 एनएमआई) है। उत्तरी ध्रुवों पर बृहत् वृत्त पंथ 13,000 किमी (7,000 एनएमआई) है, या सामान्य परिभ्रमण गति पर 5+1⁄2 घंटे कम उड़ान समय है।
मर्केटर प्रक्षेपण के कुछ पुराने मानचित्रों में अक्षांश और देशांतर की रेखाओं से बने संजाल होते हैं, परन्तु रम्ब रेखाएं भी दिखाई देती हैं, जो सीधे उत्तर की ओर, उत्तर से समकोण पर, या उत्तर से कुछ कोण पर होती हैं जोकि एक समकोण कुछ सरल तर्कसंगत अंश है। ये रम्ब रेखाएँ खींची जाएँगी ताकि वे मानचित्रों के कुछ बिंदुओं पर अभिसरित हों। प्रत्येक दिशाओं में जाने वाली रेखाएँ इनमें से प्रत्येक बिंदु पर अभिसरित होंगी। दिक्सूचकआरेख देखें। इस प्रकार के प्रतिचित्र आवश्यक रूप से मर्केटर प्रक्षेपण में रहे होंगे इसलिए सभी पुराने मानचित्र रम्ब रेखा चिह्नों को दर्शाने में सक्षम नहीं रहे होंगे।
दिक्सूचक आरेख पर त्रिज्यीय रेखाओं को रम्ब भी कहा जाता है। 16वीं-19वीं शताब्दी में एक विशेष दिक्सूचक शीर्षक को इंगित करने के लिए अनुसरण "रम्ब पर नौचालन" का उपयोग किया गया था।^[1]
समुद्रीय कालमापी के आविष्कार से पूर्व के प्रारम्भिक नौनिर्देशकों ने लंबे समुद्रीय मार्गों पर रम्ब रेखाओं पाठ्यक्रमों का उपयोग किया था, क्योंकि पोत का अक्षांश सूर्य या तारों को देखकर सटीक रूप से स्थापित किया जा सकता था परन्तु देशांतर निर्धारित करने का कोई सटीक तरीका नहीं था। गंतव्य के अक्षांश तक पहुंचने तक पोत उत्तर या दक्षिण की ओर जाएगा और पोत तब पूर्व या पश्चिम में रम्ब रेखाओं (वास्तव में एक समानांतर, जो कि एकदिश नौपथ की एक विशेष स्थिति है) के साथ एक स्थिर अक्षांश बनाए रखेगा और भूमि के साक्ष्य देखे जाने तक तय की गई दूरी के नियमित अनुमानों को अंकित करना है।^[6]

सामान्यीकरण

रीमैन क्षेत्र पर

Main article: मोबियस परिवर्तन

पृथ्वी की सतहों को गणितीय रूप से रीमैन क्षेत्र के रूप में समझा जा सकता है, अर्थात, वृत्तों के एक जटिल तल के प्रक्षेपण के रूप में समझा जा सकता है। इस स्थिति में, एकदिश नौपथो को मोबियस परिवर्तनों के कुछ वर्गों के रूप में समझा जा सकता है।

गोलाभ

उपरोक्त सूत्रीकरण को सरलता से गोलाभ तक बढ़ाया जा सकता है।^[7]^[8]^[9]^[10]^[11] रम्ब रेखाओं का पथ केवल दीर्घवृत्ताभ सममितीय अक्षांश का उपयोग करके पाया जाता है। इस पृष्ठ पर उपरोक्त सूत्रों में, वृत्तों पर अक्षांश के लिए दीर्घवृत्ताभ पर अनुरूप अक्षांश को प्रतिस्थापित किया जाता है। इसी तरह, दिगंश के छेदक द्वारा दीर्घवृत्ताकार याम्योत्तर चाप की लंबाई को गुणा करके दूरियां प्राप्त की जाती हैं।

यह भी देखें

बृहत् वृत

दीर्घवृत्ताभ पर अल्पांतरी

बृहत् दीर्घवृत्त

इसोआज़ीमुथल

एकदिश नौपथ संजाल

सीफ़र्ट की कुंडली

लघु वृत्त

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 ^1.4 ^1.5 Oxford University Press Rhumb Line. The Oxford Companion to Ships and the Sea, Oxford University Press, 2006. Retrieved from Encyclopedia.com 18 July 2009.

↑ Rhumb at TheFreeDictionary

↑ ^3.0 ^3.1 Ross, J.M. (editor) (1878). The Globe Encyclopaedia of Universal Information, Vol. IV, Edinburgh-Scotland, Thomas C. Jack, Grange Publishing Works, retrieved from Google Books 2009-03-18;

↑ Leo Bagrow (2010). कार्टोग्राफी का इतिहास. Transaction Publishers. p. 65. ISBN 978-1-4128-2518-4.

↑ James Alexander, Loxodromes: A Rhumb Way to Go, "Mathematics Magazine", Vol. 77. No. 5, Dec. 2004. [1]

↑ A Brief History of British Seapower, David Howarth, pub. Constable & Robinson, London, 2003, chapter 8.

↑ Smart, W. M. (1946). "On a Problem in Navigation". Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 106 (2): 124–127. Bibcode:1946MNRAS.106..124S. doi:10.1093/mnras/106.2.124.

↑ Williams, J. E. D. (1950). "Loxodromic Distances on the Terrestrial Spheroid". Journal of Navigation. 3 (2): 133–140. doi:10.1017/S0373463300045549. S2CID 128651304.

↑ Carlton-Wippern, K. C. (1992). "On Loxodromic Navigation". Journal of Navigation. 45 (2): 292–297. doi:10.1017/S0373463300010791. S2CID 140735736.

↑ Bennett, G. G. (1996). "Practical Rhumb Line Calculations on the Spheroid". Journal of Navigation. 49 (1): 112–119. Bibcode:1996JNav...49..112B. doi:10.1017/S0373463300013151. S2CID 128764133.

↑ Botnev, V.A; Ustinov, S.M. (2014). Методы решения прямой и обратной геодезических задач с высокой точностью [Methods for direct and inverse geodesic problems solving with high precision] (PDF). St. Petersburg State Polytechnical University Journal (in Russian). 3 (198): 49–58.{{cite journal}}: CS1 maint: unrecognized language (link)

अग्रिम पठन

Monmonier, Mark (2004). Rhumb lines and map wars. A social history of the Mercator projection. Chicago: University of Chicago Press. ISBN 9780226534329.

बाहरी संबंध

Constant Headings and Rhumb Lines at MathPages.

RhumbSolve(1), a utility for ellipsoidal rhumb line calculations (a component of GeographicLib); supplementary documentation.

An online version of RhumbSolve.

Navigational Algorithms Archived 16 October 2018 at the Wayback Machine Paper: The Sailings.

Chart Work - Navigational Algorithms Chart Work free software: Rhumb line, Great Circle, Composite sailing, Meridional parts. Lines of position Piloting - currents and coastal fix.

Mathworld Loxodrome.

[EOS-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 ^1.4 ^1.5 Oxford University Press Rhumb Line. The Oxford Companion to Ships and the Sea, Oxford University Press, 2006. Retrieved from Encyclopedia.com 18 July 2009.

[2] Rhumb at TheFreeDictionary

[Globe-3] 3.0 ^3.1 Ross, J.M. (editor) (1878). The Globe Encyclopaedia of Universal Information, Vol. IV, Edinburgh-Scotland, Thomas C. Jack, Grange Publishing Works, retrieved from Google Books 2009-03-18;

[Bagrow2010-4] Leo Bagrow (2010). कार्टोग्राफी का इतिहास. Transaction Publishers. p. 65. ISBN 978-1-4128-2518-4.

[5] James Alexander, Loxodromes: A Rhumb Way to Go, "Mathematics Magazine", Vol. 77. No. 5, Dec. 2004. [1]

[6] A Brief History of British Seapower, David Howarth, pub. Constable & Robinson, London, 2003, chapter 8.

[7] Smart, W. M. (1946). "On a Problem in Navigation". Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 106 (2): 124–127. Bibcode:1946MNRAS.106..124S. doi:10.1093/mnras/106.2.124.

[8] Williams, J. E. D. (1950). "Loxodromic Distances on the Terrestrial Spheroid". Journal of Navigation. 3 (2): 133–140. doi:10.1017/S0373463300045549. S2CID 128651304.

[9] Carlton-Wippern, K. C. (1992). "On Loxodromic Navigation". Journal of Navigation. 45 (2): 292–297. doi:10.1017/S0373463300010791. S2CID 140735736.

[10] Bennett, G. G. (1996). "Practical Rhumb Line Calculations on the Spheroid". Journal of Navigation. 49 (1): 112–119. Bibcode:1996JNav...49..112B. doi:10.1017/S0373463300013151. S2CID 128764133.

[11] Botnev, V.A; Ustinov, S.M. (2014). Методы решения прямой и обратной геодезических задач с высокой точностью [Methods for direct and inverse geodesic problems solving with high precision] (PDF). St. Petersburg State Polytechnical University Journal (in Russian). 3 (198): 49–58.{{cite journal}}: CS1 maint: unrecognized language (link)

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-{{short description|Arc crossing all meridians of longitude at the same angle}}
-{{Distinguish|रूम्ब संजाल}}
+[[File:Loxodrome.png|thumb|right|220px|एकदिश नौपथ, या रम्ब रेखाओं की छवि, जो [[उत्तरी ध्रुव]] की ओर बढ़ती है।]][[ मार्गदर्शन |मार्गनिर्देशन]] में, एक '''रम्ब रेखा''', रम्ब ({{IPAc-en|r|ʌ|m}}), या एकदिश नौपथ एक [[चाप (ज्यामिति)|चाप]] है जो एक ही [[कोण]] पर देशांतर के सभी [[मेरिडियन (भूगोल)|भूमध्य रेखाओं]] को पार करता है, जोकि वास्तविक उत्तर दिशा के सापेक्ष मापा गया स्थिर दिक्कोण वाला पथ है।
-{{for multi|चित्र संग्रह|रूम्ब रेखा|पट्ट खेल|रूम्ब लाइन (पट्ट खेल)}}
-{{More citations needed|date=अगस्त 2017}}
-{{Use dmy dates|date=October 2019}}
-[[File:Loxodrome.png|thumb|right|220px|लॉक्सोड्रोम, या रम्ब रेखा की छवि, जो [[उत्तरी ध्रुव]] की ओर बढ़ती है]][[ मार्गदर्शन ]]में, एक रूम्ब रेखा, रूम्ब ({{IPAc-en|r|ʌ|m}}), या लॉक्सोड्रोम एक [[चाप (ज्यामिति)]] है जो एक ही [[कोण]] पर देशांतर के सभी [[मेरिडियन (भूगोल)]] को पार करता है, अर्थात, वास्तविक उत्तर के सापेक्ष मापा गया निरंतर [[असर (नेविगेशन)|दिक्कोण (नेविगेशन)]] वाला पथ।
 == परिचय ==
-एक ग्लोब की सतह पर एक रूम्ब रेखा पाठ्यक्रम का पालन करने के प्रभाव पर प्रथम बार 1537 में [[पुर्तगाली लोग]] [[गणितज्ञ]] [[पेड्रो नून्स]] ने 1590 के दशक में [[थॉमस हैरियट]] द्वारा आगे के गणितीय विकास के साथ समुद्री लेखाचित्र की रक्षा में अपने ग्रंथ में चर्चा की थी।
+भूमंडल की सतहों पर रम्ब रेखा पाठ्यक्रम का पालन करने के प्रभाव पर पहली बार 1537 में पुर्तगाली [[गणितज्ञ]] [[पेड्रो नून्स]] ने 1590 के दशक में थॉमस हैरियट द्वारा आगे के गणितीय विकास के साथ समुद्रीय रेखाचित्र की रक्षा में अपने ग्रंथ में चर्चा की थी।
-एक रूम्ब रेखा की तुलना एक बड़े वृत्त से की जा सकती है, जो एक गोले की सतह पर दो बिंदुओं के मध्य की सबसे छोटी दूरी का मार्ग है। एक बड़े वृत्त पर, गंतव्य बिंदु का दिक्कोण स्थिर नहीं रहता है। अगर किसी को एक बृहत् वृत के साथ एक कार चलाना होता है तो वह चालन चक्र को स्थिर रखता है, परन्तु एक रूम्ब रेखा का पालन करने के लिए चक्र को घुमाना पड़ता है, जैसे-जैसे ध्रुव पास आते हैं, इसे और अधिक तीव्रता से घुमाते हैं। दूसरे शब्दों में, एक बड़ा वृत्त शून्य [[जियोडेसिक वक्रता]] के साथ स्थानीय रूप से सीधा होता है, जबकि एक रूम्ब रेखा में गैर-शून्य जियोडेसिक वक्रता होती है।
+रम्ब रेखाओं की तुलना एक बड़े वृत्त से की जा सकती है, जो वृत्त की सतह पर दो बिंदुओं के मध्य की सबसे छोटी दूरी का पथ है। एक बड़े वृत्त पर, गंतव्य बिंदु का दिक्कोण स्थिर नहीं रहता है। यदि किसी को बृहत् वृत के साथ एक मोटर गाड़ी चलानी होती है तो वह चालन चक्र को स्थिर रखता है, परन्तु रम्ब रेखाओं का पालन करने के लिए पहिये को घुमाना पड़ता है, जैसे-जैसे स्तंभ पास आते हैं, इसे और अधिक तीव्रता से घुमाते हैं। दूसरे शब्दों में, एक बड़ा वृत्त शून्य [[जियोडेसिक वक्रता|अल्पांतरी वक्रता]] के साथ स्थानीय रूप से "सीधा" होता है, जबकि रम्ब रेखाओं में गैर-शून्य अल्पांतरी वक्रता होती है।
-देशांतर के मेरिडियन और अक्षांश के समानांतर रूम्ब रेखा के विशेष मामले प्रदान करते हैं, जहां उनके चौराहे के कोण क्रमशः 0° और 90° होते हैं। एक उत्तर-दक्षिण मार्ग पर रूम्ब रेखा पाठ्यक्रम एक महान वृत्त के साथ मेल खाता है, जैसा कि यह [[भूमध्य रेखा]] के साथ पूर्व-पश्चिम मार्ग पर होता है।
+देशांतर के याम्योत्तर और अक्षांश के समानांतर रम्ब रेखाओं की विशेष स्थितियां प्रदान करते हैं, जहां उनके प्रतिच्छेदन के कोण क्रमशः 0° और 90° होते हैं। उत्तर-दक्षिण पथ पर रम्ब रेखा पाठ्यक्रम बृहत् वृत्तों के अनुरूप है, जैसे कि यह [[भूमध्य रेखा|भूमध्य रेखाओं]] के साथ पूर्व-पश्चिम पथ पर होता है।
-[[मर्केटर प्रोजेक्शन]] मैप पर, कोई भी रूम्ब रेखा एक सीधी रेखा है; इस तरह के नक्शे पर पृथ्वी पर किन्हीं दो बिंदुओं के मध्य बिना नक्शे के किनारे से हटे एक रूम्ब रेखा खींची जा सकती है। परन्तु सैद्धांतिक रूप से एक लॉक्सोड्रोम नक्शे के दाहिने किनारे से आगे बढ़ सकता है, जहां यह फिर उसी ढलान के साथ बाएं किनारे पर जारी रहता है (यह मानते हुए कि नक्शा बिल्कुल 360 डिग्री देशांतर को कवर करता है)।
+[[मर्केटर प्रोजेक्शन|मर्केटर]] प्रक्षेपण मानचित्र पर, कोई भी रम्ब रेखा एक सीधी रेखा है; इस प्रकार के मानचित्रों पर पृथ्वी पर किन्हीं दो बिंदुओं के मध्य बिना मानचित्र के किनारे से हटे रम्ब रेखा खींची जा सकती है। परन्तु सैद्धांतिक रूप से एकदिश नौपथ मानचित्र के दाहिने किनारे से आगे बढ़ सकता है, जहां यह फिर उसी प्रवणता के साथ बाएं किनारे पर जारी रहता है (यह मानते हुए कि प्रतिचित्र बिल्कुल 360 डिग्री देशांतर को आच्छादित करता है)।
-तिरछी कोणों पर मध्याह्न रेखाओं को काटने वाली रूंब लाइनें लॉक्सोड्रोमिक वक्र हैं जो ध्रुवों की ओर सर्पिल होती हैं।<ref name="EOS" />मर्केटर प्रोजेक्शन पर [[उत्तरी ध्रुव]] और [[दक्षिणी ध्रुव]] अनंत पर होते हैं और इसलिए इन्हें कभी नहीं दिखाया जाता है। हालांकि असीमित उच्च मानचित्र पर पूर्ण लॉक्सोड्रोम में दो किनारों के मध्य असीम रूप से कई रेखा खंड शामिल होंगे। स्टीरियोग्राफिक प्रोजेक्शन मैप पर, एक लॉक्सोड्रोम एक [[समकोणीय सर्पिल]] है जिसका केंद्र उत्तर या दक्षिण ध्रुव है।
+रम्ब रेखाएं जो [[भूमध्य रेखा|भूमध्य रेखाओं]] को तिर्यक् कोणों पर काटती हैं, वे एकदिश नौपथ वक्र हैं जो ध्रुवों की ओर कुंडलित होती हैं।<ref name="EOS" /> मर्केटर प्रक्षेपण पर [[उत्तरी ध्रुव]] और [[दक्षिणी ध्रुव]] अनंत पर होते हैं और इसलिए इन्हें कभी दर्शाया नहीं जाता है। हालांकि असीमित उच्च मानचित्रों पर पूर्ण एकदिश नौपथ में दो किनारों के मध्य अनंततः कई रेखा खंड सम्मिलित होंगे। त्रिविम प्रक्षेपण मानचित्र पर, एकदिश नौपथ समकोणीय कुंडली है जिसका केंद्र उत्तर या दक्षिण ध्रुव है।
-सभी लॉक्सोड्रोम एक [[भौगोलिक ध्रुव]] से दूसरे तक सर्पिल होते हैं। ध्रुवों के पास, वे लॉगरिदमिक सर्पिल होने के करीब हैं (जो कि वे एक [[त्रिविम प्रक्षेपण]] पर हैं, नीचे देखें), इसलिए वे प्रत्येक ध्रुव के चारों ओर अनंत बार चक्कर लगाते हैं परन्तु एक सीमित दूरी में ध्रुव तक पहुंचते हैं। एक लॉक्सोड्रोम की ध्रुव-से-ध्रुव लंबाई (एक आदर्श क्षेत्र मानते हुए) मेरिडियन (भूगोल) की लंबाई है जो वास्तविक उत्तर से दूर दिक्कोण के [[ कोज्या ]] से विभाजित होती है। लॉक्सोड्रोम को ध्रुवों पर परिभाषित नहीं किया गया है।
+सभी एकदिश नौपथ एक ध्रुव से दूसरे ध्रुव की ओर कुंडलित होते हैं। ध्रुवों के पास, वे लागेरिथ्मीय कुंडली होने के निकट हैं (जो कि वे त्रिविम प्रक्षेपण पर हैं, नीचे देखें) इसलिए वे प्रत्येक ध्रुव के चारों ओर अनंत बार चक्कर लगाते हैं परन्तु एक सीमित दूरी में ध्रुव तक पहुंचते हैं। एकदिश नौपथ की ध्रुव-से-ध्रुव लंबाई (एक आदर्श क्षेत्र मानते हुए) वास्तविक उत्तर दिशा से दूर दिक्कोण के कोज्या द्वारा विभाजित [[भूमध्य रेखा|भूमध्य रेखाओं]] की लंबाई है। एकदिश नौपथो को ध्रुवों पर परिभाषित नहीं किया गया है।
-<गैलरी कैप्शन = पोल-टू-पोल लॉक्सोड्रोम चौड़ाई के तीन दृश्य = 250 पीएक्स ऊंचाई = 250 पीएक्स पेरो = 3 >
-File:Loxodrome-1.gif
-File:Loxodrome-2.gif
-File:Loxodrome-3.gif</गैलरी>
 == व्युत्पत्ति और ऐतिहासिक विवरण ==
-लॉक्सोड्रोम शब्द प्राचीन ग्रीक भाषा λοξός loxos से आया है: तिरछा + δρόμος ड्रमोस: चल रहा है (δραμεῖν drameîn से: चलाने के लिए)। रूंब शब्द [[स्पेनिश भाषा]] या [[पुर्तगाली भाषा]] रूंबो/रुमो (पाठ्यक्रम या दिशा) और ग्रीक समचतुर्भुज | ῥόμβος rhómbos, से आया है।<ref>''[http://www.thefreedictionary.com/rhumb Rhumb]'' at TheFreeDictionary</ref> रेम्बिन से।
+एकदिश नौपथ शब्द प्राचीन यूनानी भाषा λοξός loxos से आया है: तिर्यक् + δρόμος ''drómos'': संचालन (δραμεῖν drameîn से: चलाने के लिए) है। रम्ब शब्द स्पेनी भाषा या [[पुर्तगाली भाषा]] रम्बो/रंमो (पाठ्यक्रम या दिशा) और यूनानी ῥόμβος rhómbos<ref>''[http://www.thefreedictionary.com/rhumb Rhumb]'' at TheFreeDictionary</ref> से आया हो सकता है।
-द ग्लोब एनसाइक्लोपीडिया ऑफ यूनिवर्सल इंफॉर्मेशन के 1878 संस्करण में लॉक्सोड्रोम रेखा का वर्णन इस प्रकार है:<ref name="Globe"/>
+सार्वभौमिक सूचना के भूमंडलीय विश्वज्ञानकोष के 1878 संस्करण में एकदिश नौपथ रेखाओं का वर्णन इस प्रकार है:<ref name="Globe"/>
-<blockquote>लोक्सोड्रोमिक रेखा एक वक्र है जो किसी दिए गए सतह की वक्रता की रेखाओं की प्रणाली के प्रत्येक सदस्य को एक ही कोण पर काटती है। कम्पास के एक ही बिंदु की ओर जाने वाला जहाज एक ऐसी रेखा का वर्णन करता है जो सभी याम्योत्तरों को एक ही कोण पर काटती है। मर्केटर के प्रोजेक्शन (q.v.) में लॉक्सोड्रोमिक रेखाएँ स्पष्ट रूप से सीधी होती हैं।<ref name="Globe">Ross, J.M. (editor) (1878). ''[https://archive.org/details/globeencyclopae01rossgoog The Globe Encyclopaedia of Universal Information]'', Vol. IV, Edinburgh-Scotland, Thomas C. Jack, Grange Publishing Works, retrieved from [[Google Books]] 2009-03-18;</ref></ब्लॉककोट>
+<blockquote>एकदिश नौपथ रेखा एक वक्र है जो किसी दिए गए सतह की वक्रता की रेखाओं की प्रणाली के प्रत्येक भागो को एक ही कोण पर काटती है। दिक्सूचक के एक ही बिंदु की ओर जाने वाला पोत एक ऐसी रेखा का वर्णन करता है जो सभी याम्योत्तरों को एक ही कोण पर काटती है। मर्केटर के प्रक्षेपण (q.v.) में एकदिश नौपथ रेखाएँ स्पष्ट रूप से सीधी होती हैं।<ref name="Globe">Ross, J.M. (editor) (1878). ''[https://archive.org/details/globeencyclopae01rossgoog The Globe Encyclopaedia of Universal Information]'', Vol. IV, Edinburgh-Scotland, Thomas C. Jack, Grange Publishing Works, retrieved from [[Google Books]] 2009-03-18;</ref>
-एक गलतफहमी उत्पन्न हो सकती है क्योंकि जब यह शब्द प्रयोग में आया तो इसका कोई सटीक अर्थ नहीं था। यह [[इन्द्रोंसे लाइन|इन्द्रोंसे रेखा]] के लिए समान रूप से अच्छी तरह से लागू होता है क्योंकि यह लॉक्सोड्रोम के लिए किया जाता है क्योंकि यह शब्द केवल स्थानीय रूप से लागू होता है और इसका मतलब केवल वही होता है जो एक नाविक ने निरंतर दिक्कोण (नेविगेशन) के साथ पालने के लिए किया था, जो कि सभी अशुद्धियों के साथ होता है। इसलिए, जब [[पोर्टोलन]] उपयोग में थे, तो रूम्ब पोर्टोलन्स पर सीधी रेखाओं पर लागू होता था, साथ ही मर्केटर चार्ट पर हमेशा सीधी रेखाओं के लिए भी लागू होता था। छोटी दूरी के लिए पोर्टोलन रूम्ब्स मर्केटर रूम्ब्स से सार्थक रूप से भिन्न नहीं होते हैं, परन्तु इन दिनों रूम्ब गणितीय रूप से सटीक लॉक्सोड्रोम का पर्याय बन गया है क्योंकि इसे पूर्वव्यापी रूप से पर्यायवाची बना दिया गया है।
+एक असम्मति उत्पन्न हो सकती है क्योंकि शब्द "रम्ब" का प्रयोग में आने पर इसका कोई सटीक अर्थ नहीं था। यह पवन आरेख रेखाओं के लिए समान रूप से अच्छी तरह से अनुप्रयुक्त होता है क्योंकि यह एकदिश नौपथो के लिए किया जाता है क्योंकि यह शब्द केवल स्थानीय रूप से अनुप्रयुक्त होता है और इसका अर्थ है कि एक नौकाचालक ने स्थिर दिक्कोण के साथ नौकायन करने के लिए जो कुछ भी किया है, जोकि सभी अशुद्धियों के साथ होता है। इसलिए, रम्ब [[पोर्टोलन|पत्तन दर्शिकाओं]] पर सीधी रेखाओं पर अनुप्रयुक्त होता था, जब पत्तन दर्शिका उपयोग में होते थे, साथ ही सदैव मर्केटर रेखाचित्र पर सीधी रेखाओं पर भी अनुप्रयुक्त होते थे। छोटी दूरी के लिए पत्तन दर्शिका "रम्ब" अर्थपूर्ण रूप से मर्केटर रम्ब से भिन्न नहीं होते हैं, लेकिन इन दिनों "रम्ब" गणितीय रूप से सटीक "एकदिश नौपथ" का पर्याय बन गया है क्योंकि इसे पूर्वव्यापी रूप से समानार्थी बना दिया गया है।
-जैसा कि लियो बग्रो कहते हैं:<ref name="Bagrow2010">{{cite book|author=Leo Bagrow|title=कार्टोग्राफी का इतिहास|url=https://books.google.com/books?id=OBeB4tDmJv8C&pg=PA65|year=2010|publisher=Transaction Publishers|isbn=978-1-4128-2518-4|page=65}}</ref> शब्द ('रंबलाइन') इस अवधि के समुद्र-चार्ट पर गलत तरीके से लागू किया गया है, क्योंकि एक लॉक्सोड्रोम एक सटीक पाठ्यक्रम देता है, जब चार्ट एक उपयुक्त प्रक्षेपण पर खींचा जाता है। कार्टोमेट्रिक जांच से पता चला है कि शुरुआती चार्ट में किसी प्रक्षेपण का उपयोग नहीं किया गया था, इसलिए हम 'पोर्टोलन' नाम रखते हैं।
+जैसा कि लियो बग्रो कहते हैं:<ref name="Bagrow2010">{{cite book|author=Leo Bagrow|title=कार्टोग्राफी का इतिहास|url=https://books.google.com/books?id=OBeB4tDmJv8C&pg=PA65|year=2010|publisher=Transaction Publishers|isbn=978-1-4128-2518-4|page=65}}</ref> शब्द "रम्ब रेखा" इस अवधि के समुद्रीय-रेखाचित्रों पर अनुचित तरीके से अनुप्रयुक्त किया गया है क्योंकि एकदिश नौपथ केवल एक सटीक पाठ्यक्रम देता है, जब रेखाचित्र एक उपयुक्त प्रक्षेपण पर खींचा जाता है। मानचित्रमितीय जांच से पता चला है कि प्रारम्भिक रेखाचित्रों में किसी प्रक्षेपण का उपयोग नहीं किया गया था, इसलिए हम "पत्तन दर्शिका" नाम रखते हैं।
 == गणितीय विवरण ==
-त्रिज्या 1 के गोले के लिए, अज़ीमुथल कोण {{mvar|λ}}, ध्रुवीय कोण {{math|−{{sfrac|π|2}} ≤ ''φ'' ≤ {{sfrac|π|2}}}} (अक्षांश के अनुरूप यहां परिभाषित), और कार्टेशियन समन्वय प्रणाली # मानक आधार में एक वेक्टर का प्रतिनिधित्व करना {{math|'''i'''}}, {{math|'''j'''}}, और {{math|'''k'''}} का उपयोग त्रिज्या वेक्टर लिखने के लिए किया जा सकता है {{math|'''r'''}} जैसा
+त्रिज्या 1 के वृत्तों के लिए, दिगंशीय कोण {{mvar|λ}}, ध्रुवीय कोण {{math|−{{sfrac|π|2}} ≤ ''φ'' ≤ {{sfrac|π|2}}}} (अक्षांश के अनुरूप यहां परिभाषित) और कार्तीय इकाई सदिश {{math|'''i'''}}, {{math|'''j'''}}, और {{math|'''k'''}} का उपयोग त्रिज्या सदिश {{math|'''r'''}} को लिखने के लिए किया जा सकता है।
-:<math>\mathbf{r}(\lambda,\varphi) = (\cos{\lambda} \cdot \cos{\varphi})  \mathbf{i} + (\sin{\lambda} \cdot \cos{\varphi})  \mathbf{j} + (\sin{\varphi}) \mathbf{k} \, .</math>
+:<math>\mathbf{r}(\lambda,\varphi) = (\cos{\lambda} \cdot \cos{\varphi})  \mathbf{i} + (\sin{\lambda} \cdot \cos{\varphi})  \mathbf{j} + (\sin{\varphi}) \mathbf{k} \, </math>
-ओर्थोगोनैलिटी#यूक्लिडियन वेक्टर रिक्त स्थान दिगंशीय और गोले के ध्रुवीय दिशाओं में लिखा जा सकता है
+वृत्तों के दिगंशीय और ध्रुवीय दिशाओं में लंबकोणीय इकाई सदिश लिखे जा सकते हैं;
 :<math>\begin{align}
-\boldsymbol{\hat\lambda}(\lambda,\varphi) &= \sec{\varphi} \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\lambda} = (-\sin{\lambda}) \mathbf{i} + (\cos{\lambda}) \mathbf{j} \, , \\[8pt]
+\boldsymbol{\hat\lambda}(\lambda,\varphi) &= \sec{\varphi} \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\lambda} = (-\sin{\lambda}) \mathbf{i} + (\cos{\lambda}) \mathbf{j} \,  \\[8pt]
-\boldsymbol{\hat\varphi}(\lambda,\varphi) &= \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\varphi} = (-\cos{\lambda} \cdot \sin{\varphi}) \mathbf{i} + (-\sin{\lambda} \cdot \sin{\varphi}) \mathbf{j} + (\cos{\varphi}) \mathbf{k} \, ,
+\boldsymbol{\hat\varphi}(\lambda,\varphi) &= \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\varphi} = (-\cos{\lambda} \cdot \sin{\varphi}) \mathbf{i} + (-\sin{\lambda} \cdot \sin{\varphi}) \mathbf{j} + (\cos{\varphi}) \mathbf{k} \,
 \end{align}</math>
-जिसकी डॉट उत्पाद#ज्यामितीय परिभाषा है
+जिनके पास अदिश गुणनफल है
-:<math>\boldsymbol{\hat\lambda} \cdot \boldsymbol{\hat\varphi} = \boldsymbol{\hat\lambda} \cdot \mathbf{r} = \boldsymbol{\hat\varphi} \cdot \mathbf{r} = 0 \, .</math>
+:<math>\boldsymbol{\hat\lambda} \cdot \boldsymbol{\hat\varphi} = \boldsymbol{\hat\lambda} \cdot \mathbf{r} = \boldsymbol{\hat\varphi} \cdot \mathbf{r} = 0 \, </math>
-{{math|'''λ̂'''}} निरंतर के लिए {{mvar|φ}} अक्षांश के समानांतर का पता लगाता है, जबकि {{math|'''φ̂'''}} निरंतर के लिए {{mvar|λ}} देशांतर के एक याम्योत्तर का पता लगाता है, और साथ में वे गोले के लिए एक तल स्पर्शरेखा उत्पन्न करते हैं।
+नियतांक {{mvar|φ}} के लिए {{math|'''λ̂'''}}  अक्षांश के समानांतर का पता लगाता है, जबकि नियतांक {{mvar|λ}} के लिए {{math|'''φ̂'''}}  देशांतर के भूमध्य रेखाओं का पता लगाता है और साथ में वे वृत्तों के लिए समतल स्पर्शरेखा उत्पन्न करते हैं।
-यूनिट वेक्टर
+इकाई सदिश
 :<math>\mathbf{\boldsymbol{\hat\beta}}(\lambda,\varphi) = (\sin{\beta}) \boldsymbol{\hat\lambda} + (\cos{\beta}) \boldsymbol{\hat\varphi}</math>
-एक स्थिर कोण है {{mvar|β}} इकाई वेक्टर के साथ {{math|'''φ̂'''}} किसी के लिए {{mvar|λ}} और {{mvar|φ}}, क्योंकि उनका अदिश गुणनफल है
+किसी भी {{mvar|λ}} और {{mvar|φ}} के लिए इकाई सदिश {{math|'''φ̂'''}}  के साथ एक स्थिर कोण {{mvar|β}} है, क्योंकि उनका अदिश गुणनफल है।
-:<math>\boldsymbol{\hat\beta} \cdot \boldsymbol{\hat\varphi} = \cos{\beta} \, .</math>
+:<math>\boldsymbol{\hat\beta} \cdot \boldsymbol{\hat\varphi} = \cos{\beta} \, </math>
-एक लॉक्सोड्रोम को गोले पर एक वक्र के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें एक स्थिर कोण होता है {{mvar|β}} देशांतर के सभी याम्योत्तरों के साथ, और इसलिए इकाई वेक्टर के समानांतर होना चाहिए {{math|'''β̂'''}}. नतीजतन, एक अंतर लंबाई {{mvar|ds}} लॉक्सोड्रोम के साथ एक अंतर विस्थापन उत्पन्न करेगा
+एकदिश नौपथो को वृत्तों पर एक वक्र के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें देशांतर के सभी याम्योत्तरों के साथ एक स्थिर कोण {{mvar|β}} होता है और इसलिए इकाई सदिश {{math|'''β̂'''}}  के समानांतर होना चाहिए। फलस्वरूप, एकदिश नौपथो के साथ अंतर लंबाई {{mvar|ds}} एक अंतर विस्थापन का उत्पादन करेगा।
 :<math>\begin{align}
@@ Line 67: / Line 58: @@
 \varphi(\lambda\,|\,\beta,\lambda_0,\varphi_0) &= \operatorname{gd} \big((\lambda - \lambda_0) \cot\beta + \operatorname{gd}^{-1}\varphi_0\big)
 \end{align}</math>
-कहाँ <math>\operatorname{gd}</math> और <math>\operatorname{gd}^{-1}</math> [[गुडरमैनियन समारोह]] और इसके व्युत्क्रम हैं, <math>\operatorname{gd}\psi = \arctan(\sinh\psi),</math> <math>\operatorname{gd}^{-1}\varphi = \operatorname{arsinh}(\tan\varphi),</math> और <math>\operatorname{arsinh}</math> [[उलटा अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य]] है।
+जहाँ <math>\operatorname{gd}</math> और <math>\operatorname{gd}^{-1}</math> गुडेरमैनियन फलन और इसके व्युत्क्रम, <math>\operatorname{gd}\psi = \arctan(\sinh\psi),</math> <math>\operatorname{gd}^{-1}\varphi = \operatorname{arsinh}(\tan\varphi)</math> हैं और <math>\operatorname{arsinh}</math> [[उलटा अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य|व्युत्क्रम अतिपरवलीय द्विज्या]] है।
-इस मध्य के रिश्ते के साथ {{mvar|λ}} और {{mvar|φ}}, त्रिज्या वेक्टर एक चर का पैरामीट्रिक फ़ंक्शन बन जाता है, जो गोले पर लॉक्सोड्रोम का पता लगाता है:
+{{mvar|λ}} और {{mvar|φ}} के मध्य इस संबंध के साथ, त्रिज्या सदिश एक चर का प्राचलिक फलन बन जाता है, जो वृत्तों पर एकदिश नौपथो का पता लगाता है:
 :<math>\mathbf{r}(\lambda\,|\,\beta,\lambda_0,\varphi_0) = \big(\cos{\lambda} \cdot \operatorname{sech} \psi \big) \mathbf{i} +
-\big(\sin{\lambda} \cdot \operatorname{sech}\psi\big) \mathbf{j} + \big(\tanh\psi\big) \mathbf{k} \, ,</math>
+\big(\sin{\lambda} \cdot \operatorname{sech}\psi\big) \mathbf{j} + \big(\tanh\psi\big) \mathbf{k} \, </math>
-कहाँ
+जहाँ
 :<math>\psi \equiv (\lambda - \lambda_0) \cot\beta + \operatorname{gd}^{-1}\varphi_0 = \operatorname{gd}^{-1}\varphi</math>
-अक्षांश#सममितीय अक्षांश है।<ref>James Alexander, Loxodromes: A Rhumb Way to Go, "Mathematics Magazine", Vol. 77. No. 5, Dec. 2004. [http://hans.fugal.net/src/lindbergh/mathmag349-356.pdf]</ref>
+सममितीय अक्षांश है।<ref>James Alexander, Loxodromes: A Rhumb Way to Go, "Mathematics Magazine", Vol. 77. No. 5, Dec. 2004. [http://hans.fugal.net/src/lindbergh/mathmag349-356.pdf]</ref>
-रूम्ब रेखा में, जैसे-जैसे अक्षांश ध्रुवों की ओर जाता है, {{math|''φ'' → ±{{sfrac|π|2}}}}, {{math|sin ''φ'' → ±1}}, सममितीय अक्षांश {{math|arsinh(tan ''φ'') → ± ∞}}, और देशांतर {{mvar|λ}} बिना किसी सीमा के बढ़ता है, ध्रुव की ओर एक सर्पिल में इतनी तेजी से गोले का चक्कर लगाता है, जबकि एक परिमित कुल चाप लंबाई Δ की ओर जाता है{{math|s}} द्वारा दिए गए
+रम्ब रेखाओं में, जैसे-जैसे अक्षांश ध्रुवों {{math|''φ'' → ±{{sfrac|π|2}}}}, {{math|sin ''φ'' → ±1}} की ओर जाता है, सममितीय अक्षांश {{math|arsinh(tan ''φ'') → ± ∞}} और देशांतर {{mvar|λ}} बिना किसी सीमा के बढ़ता है, ध्रुवों की ओर एक कुंडली में इतनी तीव्रता से वृत्त का चक्कर लगाता है, जबकि एक परिमित कुल चाप लंबाई Δs द्वारा दी जाती है।
 :<math>\Delta s = R \, \big|(\pm\pi/2 - \varphi_0) \cdot \sec \beta\big|</math>
-== मर्केटर प्रोजेक्शन से कनेक्शन ==
+== मर्केटर प्रक्षेपण से सम्बन्ध ==
-[[File:Rhumb line vs great-circle arc.png|thumb|upright=1.3|लिस्बन, पुर्तगाल और हवाना, क्यूबा के मध्य एक ग्रेट-सर्कल आर्क (लाल) की तुलना में एक रम्ब रेखा (नीला)। शीर्ष: लिखने का प्रक्षेपण। नीचे: मर्केटर प्रोजेक्शन।]]होने देना {{mvar|λ}} गोले पर एक बिंदु का देशांतर हो, और {{mvar|φ}} इसका अक्षांश। फिर, यदि हम मर्केटर प्रोजेक्शन के मानचित्र निर्देशांक को परिभाषित करते हैं
+[[File:Rhumb line vs great-circle arc.png|thumb|upright=1.3|लिस्बन, पुर्तगाल और हवाना, क्यूबा के मध्य एक बृहत् वृत चाप (लाल) की तुलना में रम्ब रेखा (नीली) है। शीर्ष पर: लंबकोणीय प्रक्षेपण और नीचे: मर्केटर प्रक्षेपण है।]]मान लीजिए {{mvar|λ}} वृत्त पर एक बिंदु का देशांतर है और {{mvar|φ}} इसका अक्षांश है। फिर, यदि हम मर्केटर प्रक्षेपण के मानचित्र निर्देशांकों को परिभाषित करते हैं;
 :<math>\begin{align}
-x &= \lambda - \lambda_0 \, , \\
+x &= \lambda - \lambda_0 \,  \\
-y &= \operatorname{gd}^{-1}\varphi = \operatorname{arsinh}(\tan\varphi)\, ,
+y &= \operatorname{gd}^{-1}\varphi = \operatorname{arsinh}(\tan\varphi)\,
 \end{align}</math>
-निरंतर दिक्कोण (नेविगेशन) के साथ एक लॉक्सोड्रोम {{mvar|β}} सही उत्तर से एक सीधी रेखा होगी, क्योंकि (पिछले अनुभाग में अभिव्यक्ति का उपयोग करके)
+वास्तविक उत्तर दिशा से स्थिर दिक्कोण {{mvar|β}} एकदिश नौपथ एक सीधी रेखा होगी, क्योंकि (पिछले अनुभाग में अभिव्यक्ति का उपयोग करके)
 :<math>y = m x</math>
-ढलान के साथ
+प्रवणता के साथ
-:<math>m=\cot\beta\,.</math>
+:<math>m=\cot\beta\,</math>
-दो दिए गए बिंदुओं के मध्य लॉक्सोड्रोम का पता लगाना एक मर्केटर मैप पर ग्राफिक रूप से किया जा सकता है, या दो अज्ञात में दो समीकरणों की एक गैर-रैखिक प्रणाली को हल करके किया जा सकता है। {{math|1=''m'' = cot ''β''}} और {{math|''λ''<sub>0</sub>}}. अपरिमित रूप से अनेक हल हैं; सबसे छोटा वह है जो वास्तविक देशांतर अंतर को कवर करता है, अर्थात अतिरिक्त चक्कर नहीं लगाता है, और गलत रास्ते पर नहीं जाता है।
+दो दिए गए बिंदुओं के मध्य एकदिश नौपथो का पता लगाना एक मर्केटर प्रतिचित्र पर सुचित्रित रूप से किया जा सकता है, या दो अज्ञात {{math|1=''m'' = cot ''β''}} और {{math|''λ''<sub>0</sub>}} में दो समीकरणों की एक गैर-रैखिक प्रणाली को हल करके किया जा सकता है। अपरिमित रूप से अनेक हल हैं; सबसे छोटा वह है जो वास्तविक देशांतर अन्तरो को आच्छादित करता है, अर्थात अतिरिक्त चक्कर नहीं लगाता है और "अनुचित तरीके से नहीं" जाता है।
-दो बिंदुओं के मध्य की दूरी {{math|Δ''s''}}, एक लॉक्सोड्रोम के साथ मापा जाता है, उत्तर-दक्षिण दूरी (अक्षांश के हलकों को छोड़कर जिसके लिए दूरी अनंत हो जाती है) के दिक्कोण (अज़िमथ) के [[छेदक (त्रिकोणमिति)]] का पूर्ण मान है:
+एकदिश नौपथो के साथ मापी गई दो बिंदुओं {{math|Δ''s''}} के मध्य की दूरी, उत्तर-दक्षिण दूरी (अक्षांश के वृत्तों को छोड़कर जिसके लिए दूरी अनंत हो जाती है) के दिक्कोण (दिगंश) के [[छेदक (त्रिकोणमिति)|छेदक]] का पूर्ण मान है:
 :<math>\Delta s = R \, \big|(\varphi - \varphi_0)\cdot \sec \beta \big|</math>
-कहाँ {{math|R}} पृथ्वी की त्रिज्या#वैश्विक औसत त्रिज्या में से एक है।
+जहाँ {{math|R}} पृथ्वी की औसत त्रिज्याओं में से एक है।
-== आवेदन ==
+== अनुप्रयोग ==
-नेविगेशन में इसका उपयोग सीधे शैली से जुड़ा हुआ है, या कुछ नेविगेशनल मानचित्रों के मानचित्र प्रक्षेपण से जुड़ा हुआ है। [[नक्शा प्रक्षेपण]] मैप पर एक रूंब रेखा एक सीधी रेखा के रूप में दिखाई देती है।<ref name="EOS">Oxford University Press [http://www.encyclopedia.com/doc/1O225-rhumbline.html Rhumb Line]. The Oxford Companion to Ships and the Sea, Oxford University Press, 2006. Retrieved from Encyclopedia.com 18 July 2009.</ref>
+मार्गनिर्देशन में इसका उपयोग सीधे शैली से जुड़ा हुआ है, या कुछ मार्गनिर्देशक मानचित्रों का प्रक्षेपण है। मर्केटर प्रक्षेपण प्रतिचित्रों पर एक रम्ब रेखा एक सीधी रेखा के रूप में दिखाई देती है।<ref name="EOS">Oxford University Press [http://www.encyclopedia.com/doc/1O225-rhumbline.html Rhumb Line]. The Oxford Companion to Ships and the Sea, Oxford University Press, 2006. Retrieved from Encyclopedia.com 18 July 2009.</ref>
-यह नाम क्रमशः पुराने फ्रांसीसी या स्पैनिश से लिया गया है: रूंब या रूंबो, चार्ट पर एक रेखा जो एक ही कोण पर सभी मध्याह्न रेखा को काटती है।<ref name="EOS" />समतल सतह पर यह दो बिंदुओं के मध्य की सबसे छोटी दूरी होगी। कम अक्षांशों पर या कम दूरी पर पृथ्वी की सतह पर इसका उपयोग किसी वाहन, विमान या जहाज के पाठ्यक्रम की साजिश रचने के लिए किया जा सकता है।<ref name="EOS" />लंबी दूरी और/या उच्च अक्षांशों पर महान वृत्त मार्ग समान दो बिंदुओं के मध्य की रेखा से काफी छोटा है। हालांकि, एक बड़े सर्कल मार्ग की यात्रा करते समय बियरिंग्स को लगातार बदलने की असुविधा कुछ उदाहरणों में रूम्ब रेखा नेविगेशन को आकर्षक बनाती है।<ref name="EOS" />
-बिंदु को भूमध्य रेखा के साथ [[90 डिग्री]] देशांतर पर एक पूर्व-पश्चिम मार्ग के साथ चित्रित किया जा सकता है, जिसके लिए महान वृत्त और रूम्ब रेखा की दूरी समान हैं, पर {{convert|5400|nmi|km|abbr=off|order=flip}}. 20 डिग्री उत्तर में महान वृत्त दूरी है {{convert|4997|nmi|km|abbr=on|order=flip}} जबकि समचतुर्भुज रेखा की दूरी है {{convert|5074|nmi|km|abbr=on|order=flip}}, लगभग 1.5% आगे। परन्तु 60 डिग्री उत्तर में महान वृत्त दूरी है {{convert|2485|nmi|km|abbr=on|order=flip}} जबकि रूम्ब रेखा है {{convert|2700|nmi|km|abbr=on|order=flip}}, 8.5% का अंतर। एक अधिक चरम मामला [[न्यूयॉर्क शहर]] और [[हांगकांग]] के मध्य का हवाई मार्ग है, जिसके लिए रूम्ब रेखा पथ है {{convert|9700|nmi|km|abbr=on|order=flip}}. उत्तरी ध्रुव के ऊपर वृहत वृत्त मार्ग है {{convert|7000|nmi|km|abbr=on|order=flip}}, या {{frac|5|1|2}} सामान्य [[क्रूज (उड़ान)]] पर घंटे कम उड़ान समय।
+यह नाम क्रमशः पुराने फ्रांसीसी या स्पेनी से लिया गया है: "रम्ब" या "रम्बो" रेखाचित्र पर एक रेखा जो एक ही कोण पर सभी मध्याह्न रेखाओं को काटती है।<ref name="EOS" />समतल सतहों पर यह दो बिंदुओं के मध्य की सबसे छोटी दूरी होगी। पृथ्वी की सतहों पर कम अक्षांशों पर या कम दूरी पर इसका उपयोग किसी वाहन, विमान या पोतो के पाठ्यक्रमों का आलेखन रचने के लिए किया जा सकता है।<ref name="EOS" />लंबी दूरी और/या उच्च अक्षांशों पर बृहत् वृत पथ समान दो बिंदुओं के मध्य की रेखाओं से काफी छोटा है। हालांकि, एक बृहत् वृत पथ का आवागमन करते समय दिक्कोणो को निरन्तर परिवर्तित करने की असुविधा कुछ उदाहरणों में रम्ब रेखा मार्गनिर्देशनो को आकर्षक बनाती है।<ref name="EOS" />
-मर्केटर प्रोजेक्शन के कुछ पुराने नक्शों में [[अक्षांश]] और देशांतर की रेखाओं से बने ग्रिड होते हैं, परन्तु रूंब लाइनें भी दिखाई देती हैं, जो सीधे उत्तर की ओर, उत्तर से समकोण पर, या उत्तर से कुछ कोण पर होती हैं, जो कि कुछ सरल तर्कसंगत अंश है। एक समकोण। ये रुम्ब रेखाएँ खींची जाएँगी ताकि वे मानचित्र के कुछ बिंदुओं पर अभिसरित हों: प्रत्येक दिशा में जाने वाली रेखाएँ इनमें से प्रत्येक बिंदु पर अभिसरित होंगी। [[कम्पास गुलाब]] देखें। इस तरह के नक्शे आवश्यक रूप से मर्केटर प्रोजेक्शन में रहे होंगे इसलिए सभी पुराने नक्शे रूंब रेखा चिह्नों को दिखाने में सक्षम नहीं रहे होंगे।
+बिंदु को भूमध्य रेखाओं के साथ 90 डिग्री देशांतरों पर एक पूर्व-पश्चिम पंथ के साथ चित्रित किया जा सकता है, जिसके लिए 10,000 किलोमीटर (5,400 समुद्रीय मील) पर बृहत् वृत्तों और रम्ब रेखाओं की दूरी समान हैं, 20 डिग्री उत्तर में बृहत् वृत्तों की दूरी 9,254 किमी (4,997 एनएमआई) है, जबकि रम्ब रेखाओं की दूरी 9,397 किमी (5,074 एनएमआई) है, लगभग 1.5% आगे है। परन्तु 60 डिग्री उत्तर में बृहत् वृत्तों की दूरी 4,602 किमी (2,485 समुद्रीय मील) है, जबकि रम्ब रेखा 5,000 किमी (2,700 समुद्रीय मील) है, जो 8.5% का अंतर है। एक अधिक चरम परिस्थिति [[न्यूयॉर्क शहर]] और हांगकांग के मध्य का विमान मार्ग है, जिसके लिए रम्ब रेखा पथ 18,000 किमी (9,700 एनएमआई) है। उत्तरी ध्रुवों पर बृहत् वृत्त पंथ 13,000 किमी (7,000 एनएमआई) है, या सामान्य परिभ्रमण गति पर {{frac|5|1|2}} घंटे कम उड़ान समय है।
-कम्पास गुलाब पर रेडियल लाइनों को रूम्ब्स भी कहा जाता है। 16वीं-19वीं शताब्दी में एक विशेष कंपास शीर्षक को इंगित करने के लिए एक छंद पर नौकायन अभिव्यक्ति का उपयोग किया गया था।<ref name="EOS" />
+मर्केटर प्रक्षेपण के कुछ पुराने मानचित्रों में [[अक्षांश]] और देशांतर की रेखाओं से बने संजाल होते हैं, परन्तु रम्ब रेखाएं भी दिखाई देती हैं, जो सीधे उत्तर की ओर, उत्तर से समकोण पर, या उत्तर से कुछ कोण पर होती हैं जोकि एक समकोण कुछ सरल तर्कसंगत अंश है। ये रम्ब रेखाएँ खींची जाएँगी ताकि वे मानचित्रों के कुछ बिंदुओं पर अभिसरित हों। प्रत्येक दिशाओं में जाने वाली रेखाएँ इनमें से प्रत्येक बिंदु पर अभिसरित होंगी। [[कम्पास गुलाब|दिक्सूचकआरेख]] देखें। इस प्रकार के प्रतिचित्र आवश्यक रूप से मर्केटर प्रक्षेपण में रहे होंगे इसलिए सभी पुराने मानचित्र रम्ब रेखा चिह्नों को दर्शाने में सक्षम नहीं रहे होंगे।
-[[समुद्री क्रोनोमीटर]] के आविष्कार से पहले के शुरुआती नाविकों ने लंबे समुद्री मार्गों पर रूम्ब रेखा कोर्स का इस्तेमाल किया था, क्योंकि जहाज का अक्षांश सूर्य या तारों को देखकर सटीक रूप से स्थापित किया जा सकता था परन्तु देशांतर निर्धारित करने का कोई सटीक तरीका नहीं था। गंतव्य के अक्षांश तक पहुंचने तक जहाज उत्तर या दक्षिण की ओर जाएगा, और जहाज तब पूर्व या पश्चिम में रूम्ब रेखा (वास्तव में अक्षांश का एक सर्कल, जो कि रूंब रेखा का एक विशेष मामला है) के साथ चलेगा, एक निरंतर बनाए रखेगा। अक्षांश और भूमि के साक्ष्य देखे जाने तक दूरी के नियमित अनुमानों को रिकॉर्ड करना।<ref>A Brief History of British Seapower, David Howarth, pub. Constable & Robinson, London, 2003, chapter 8.</ref>
+दिक्सूचक आरेख पर त्रिज्यीय रेखाओं को रम्ब भी कहा जाता है। 16वीं-19वीं शताब्दी में एक विशेष दिक्सूचक शीर्षक को इंगित करने के लिए अनुसरण "रम्ब पर नौचालन" का उपयोग किया गया था।<ref name="EOS" />
+समुद्रीय कालमापी के आविष्कार से पूर्व के प्रारम्भिक नौनिर्देशकों ने लंबे समुद्रीय मार्गों पर रम्ब रेखाओं पाठ्यक्रमों का उपयोग किया था, क्योंकि पोत का अक्षांश सूर्य या तारों को देखकर सटीक रूप से स्थापित किया जा सकता था परन्तु देशांतर निर्धारित करने का कोई सटीक तरीका नहीं था। गंतव्य के अक्षांश तक पहुंचने तक पोत उत्तर या दक्षिण की ओर जाएगा और पोत तब पूर्व या पश्चिम में रम्ब रेखाओं (वास्तव में एक समानांतर, जो कि एकदिश नौपथ की एक विशेष स्थिति है) के साथ एक स्थिर अक्षांश बनाए रखेगा और भूमि के साक्ष्य देखे जाने तक तय की गई दूरी के नियमित अनुमानों को अंकित करना है।<ref>A Brief History of British Seapower, David Howarth, pub. Constable & Robinson, London, 2003, chapter 8.</ref>
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 === रीमैन क्षेत्र पर ===
-{{main|Möbius transformation}}
+{{main|मोबियस परिवर्तन}}
-पृथ्वी की सतह को गणितीय रूप से [[रीमैन क्षेत्र]] के रूप में समझा जा सकता है, अर्थात, गोले के एक जटिल तल के प्रक्षेपण के रूप में। इस मामले में, लॉक्सोड्रोम को मोबियस परिवर्तनों के कुछ वर्गों के रूप में समझा जा सकता है।
+पृथ्वी की सतहों को गणितीय रूप से [[रीमैन क्षेत्र]] के रूप में समझा जा सकता है, अर्थात, वृत्तों के एक जटिल तल के प्रक्षेपण के रूप में समझा जा सकता है। इस स्थिति में, एकदिश नौपथो को मोबियस परिवर्तनों के कुछ वर्गों के रूप में समझा जा सकता है।
-=== गोलाकार ===
+=== गोलाभ ===
-उपरोक्त फॉर्मूलेशन को आसानी से गोलाकार तक बढ़ाया जा सकता है।<ref>
+उपरोक्त सूत्रीकरण को सरलता से गोलाभ तक बढ़ाया जा सकता है।<ref>
 {{Cite journal| doi = 10.1093/mnras/106.2.124| title = On a Problem in Navigation| journal = Monthly Notices of the Royal Astronomical Society| volume = 106| issue = 2| pages = 124&ndash;127| year = 1946| last1 = Smart | first1 = W. M.| bibcode = 1946MNRAS.106..124S| doi-access = free}}
 </ref><ref>
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 |url = http://ntv.spbstu.ru/fulltext/T3.198.2014_05.PDF
 }}
-</ref> रूम्ब रेखा का मार्ग केवल दीर्घवृत्ताभ [[सममितीय अक्षांश]] का उपयोग करके पाया जाता है। इस पृष्ठ पर उपरोक्त सूत्रों में, गोले पर अक्षांश के लिए दीर्घवृत्ताभ पर अक्षांश#अनुरूप अक्षांश को प्रतिस्थापित करें। इसी तरह, दिगंश के छेदक द्वारा दीर्घवृत्ताकार याम्योत्तर चाप की लंबाई को गुणा करके दूरियां पाई जाती हैं।
+</ref> रम्ब रेखाओं का पथ केवल दीर्घवृत्ताभ [[सममितीय अक्षांश]] का उपयोग करके पाया जाता है। इस पृष्ठ पर उपरोक्त सूत्रों में, वृत्तों पर अक्षांश के लिए दीर्घवृत्ताभ पर अनुरूप अक्षांश को प्रतिस्थापित किया जाता है। इसी तरह, दिगंश के छेदक द्वारा दीर्घवृत्ताकार याम्योत्तर चाप की लंबाई को गुणा करके दूरियां प्राप्त की जाती हैं।
 == यह भी देखें ==
-* महावृत्त
+* बृहत् वृत
-* एक दीर्घवृत्ताभ पर भूगणित
+* दीर्घवृत्ताभ पर अल्पांतरी
-* [[महान दीर्घवृत्त]]
+* [[महान दीर्घवृत्त|बृहत् दीर्घवृत्त]]
-* [[इसोआज़ीमुथल]]
+* इसोआज़ीमुथल
-* [[रंबलाइन नेटवर्क]]
+* एकदिश नौपथ संजाल
-* सीफ़र्ट का सर्पिल
+* सीफ़र्ट की कुंडली
-* [[छोटा घेरा]]
+* लघु वृत्त
 ==संदर्भ==
 {{reflist|30em}}
-'''''Note:''' this article incorporates text from the 1878 edition of '''The Globe Encyclopaedia of Universal Information''', a work in the public domain''
 ==अग्रिम पठन==
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 *{{cite book|last1=Monmonier|first1=Mark|title=Rhumb lines and map wars. A social history of the Mercator projection|url=https://archive.org/details/rhumblinesmapwar00monm|url-access=registration|date=2004|publisher=University of Chicago Press|location=Chicago|isbn=9780226534329}}
 {{Refend}}
 ==बाहरी संबंध==
-{{wiktionary|loxodrome|rhumb}}
 * [http://www.mathpages.com/home/kmath502/kmath502.htm Constant Headings and Rhumb Lines] at MathPages.
 * [https://geographiclib.sourceforge.io/C++/doc/RhumbSolve.1.html RhumbSolve(1)], a utility for ellipsoidal rhumb line calculations (a component of [https://geographiclib.sourceforge.io GeographicLib]); [https://geographiclib.sourceforge.io/C++/doc/rhumb.html supplementary documentation].
@@ Line 171: / Line 160: @@
 * [http://mathworld.wolfram.com/Loxodrome.html Mathworld] Loxodrome.
-{{DEFAULTSORT:Rhumb Line}}[[Category: नक्शानवीसी]] [[Category: सर्पिल]] [[Category: गोलाकार वक्र]] [[Category: मार्गदर्शन]] [[Category: भूमंडल नापने का शास्र]]
+{{DEFAULTSORT:Rhumb Line}}
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page|Rhumb Line]]
-[[Category:Created On 17/04/2023]]
+[[Category:CS1 maint]]
+[[Category:CS1 uses русский-language script (ru)]]
+[[Category:Created On 17/04/2023|Rhumb Line]]
+[[Category:Lua-based templates|Rhumb Line]]
+[[Category:Machine Translated Page|Rhumb Line]]
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परिचय

व्युत्पत्ति और ऐतिहासिक विवरण

गणितीय विवरण

मर्केटर प्रक्षेपण से सम्बन्ध

अनुप्रयोग

सामान्यीकरण

रीमैन क्षेत्र पर

गोलाभ

यह भी देखें

संदर्भ

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