मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग: Difference between revisions

Latest revision as of 17:08, 7 November 2023

अमूर्त बीजगणित में, प्रत्यक्ष योग एक निर्माण है जो कई मापांकों को एक नए, बड़े मापांक में जोड़ता है। मापांकों का प्रत्यक्ष योग सबसे छोटा मापांक होता है जिसमें दिए गए मापांकों को बिना किसी अनावश्यक बाधा के उप-मापांकों के रूप में सम्मिलित किया जाता है, जो इसे सह-गुणन का एक उदाहरण बनाता है। प्रत्यक्ष गुणन के साथ तुलना करें, जो दोहरी धारणा है।

इस निर्माण के सबसे परिचित उदाहरण तब मिलते हैं जब सदिश समष्टियों (एक क्षेत्र पर मापांक) और अबेलियन समूहों (पूर्णांक के वलय Z पर मापांक) पर विचार करते हैं। निर्माण को बानाख समष्टियों और हिल्बर्ट समष्टियों को समाविष्ट करने के लिए भी बढ़ाया जा सकता है।

किसी मापांक को उप-मापांक के प्रत्यक्ष योग के रूप में लिखने के तरीके के लिए मापांक का अपघटन लेख देखें।

सदिश समष्टियों और अबेलियन समूहों के लिए निर्माण

हम इन दो स्थितियों में पहले निर्माण देते हैं, इस धारणा के अंतर्गत कि हमारे पास केवल दो वस्तुएं हैं। फिर हम यादृच्छिक मापांक के एक यादृच्छिक वर्ग का सामान्यीकरण करते हैं। इन दो स्थितियों पर गहनता से विचार करने पर सामान्य निर्माण के प्रमुख तत्वों को अधिक स्पष्ट रूप से पहचाना जाता है।

दो सदिश समष्टियों का निर्माण

मान लीजिए कि V और W, क्षेत्र K के ऊपर सदिश समष्टि हैं। कार्तीय गुणन V × W को संचालन को घटकवार परिभाषित करके, K (हल्मोस 1974, §18) के ऊपर एक सदिश समष्टि की संरचना दी जा सकती है।

(v₁, w₁) + (v₂, w₂) = (v₁ + v₂, w₁ + w₂)

α (v, w) = (α v, α w)

v, v₁, v₂ ∈ V, w, w₁, w₂ ∈ W, और α ∈ K के लिएː

परिणामी सदिश समष्टि को V और W का प्रत्यक्ष योग कहा जाता है और इसे सामान्यतः एक वृत्त के भीतर धन चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है:

V\oplus W

किसी क्रमित योग के तत्वों को क्रमित युग्म (v, w) के रूप में नहीं, बल्कि योग v + w के रूप में लिखने की प्रथा है।

V ⊕ W की उपसमष्टि V × {0}, V की समरूपी है और इसी प्रकार {0} × W और W के लिए, प्रायः इसे V से पहचाना जाता है (नीचे आंतरिक प्रत्यक्ष योग देखें)। इस पहचान के साथ, V ⊕ W के प्रत्येक तत्व को V के एक तत्व और W के एक तत्व के योग के रूप में एक और केवल एक ही तरीके से लिखा जा सकता है। V ⊕ W के सदिश समष्टि का आयाम V और W के आयामों के योग के बराबर है। एक प्राथमिक उपयोग किसी भी उपसमष्टि W और उसके लंबकोणीय पूरक से एक परिमित सदिश समष्टि का पुनर्निर्माण है:

\mathbb {R} ^{n}=W\oplus W^{\perp }

यह निर्माण सदिश समष्टियों की किसी भी सीमित संख्या को सरलता से सामान्यीकृत करता है।

दो अबेलियन समूहों के लिए निर्माण

अबेलियन समूहों G और H के लिए जो योगात्मक रूप से लिखे गए हैं, G और H के प्रत्यक्ष गुणन को प्रत्यक्ष योग (मैक लेन और बिरखॉफ 1999, §वी.6) भी कहा जाता है। इस प्रकार कार्तीय गुणन G × H संचालन को घटकवार परिभाषित करके एक अबेलियन समूह की संरचना से सुसज्जित है:

(g₁, h₁) + (g₂, h₂) = (g₁ + g₂, h₁ + h₂)

G में g₁, g₂ और H में h1, h2 के लिएː

समाकल गुणकों को समान रूप से घटकवार परिभाषित किया जाता हैː

n(g, h) = (ng, nh)

G में g, H में h और n एक पूर्णांक है। यह सदिश समष्टियों के अदिश गुणनफल के विस्तार को उपरोक्त प्रत्यक्ष योग के समानांतर करता है।

परिणामी अबेलियन समूह को G और H का प्रत्यक्ष योग कहा जाता है और इसे सामान्यतः एक वृत्त के भीतर धन चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है:

G\oplus H

किसी क्रमित योग के तत्वों को क्रमित युग्म (g, h) के रूप में नहीं, बल्कि योग g + h के रूप में लिखने की प्रथा है।

G ⊕ H का उपसमूह G × {0}, G के समरूपी है और इसी प्रकार {0} × H और H के लिए, प्रायः इसे G के साथ पहचाना जाता है (नीचे आंतरिक प्रत्यक्ष योग देखें)। इस पहचान के साथ, यह सत्य है कि G ⊕ H के प्रत्येक तत्व को G और H का एक तत्व के एक तत्व के योग के रूप में एक और केवल एक ही तरीके से लिखा जा सकता है। G ⊕ H के अबेलियन समूह की श्रेणी G और H की श्रेणी के योग के बराबर है।

यह निर्माण अबेलियन समूहों की किसी भी सीमित संख्या को सरलता से सामान्यीकृत करता है।

मापांक के एक यादृच्छिक वर्ग के लिए निर्माण

किसी को दो सदिश समष्टियों और दो अबेलियन समूहों के प्रत्यक्ष योग की परिभाषाओं के मध्य स्पष्ट समानता पर ध्यान देना चाहिए। वास्तव में, प्रत्येक दो मापांकों के प्रत्यक्ष योग के निर्माण की एक विशेष स्थिति है। इसके अतिरिक्त, परिभाषा को संशोधित करके कोई मापांकों के अनंत वर्ग के प्रत्यक्ष योग को समायोजित कर सकता है। सटीक परिभाषा इस प्रकार है (बोरबाकी 1989, §II.1.6)।

मान लीजिए कि R एक वलय और {M_i: i ∈ I} समुच्चय द्वारा अनुक्रमित बाएं R-मापांकों का एक वर्ग है। फिर {M_i} के प्रत्यक्ष योगों को सभी अनुक्रमों $(\alpha _{i})$ के समुच्चय के रूप में, जहाँ $\alpha _{i}\in M_{i}$ और $\alpha _{i}=0$ असीम रूप से अनेक सूचकांकों i के लिए परिभाषित किया गया है I प्रत्यक्ष गुणन अनुरूप है परन्तु सूचकांकों को निश्चित रूप से लुप्त होने की आवश्यकता नहीं है।

इसे I से मापांक M_i के असंयुक्त संघ तक फलन α के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है जैसे कि सभी i ∈ I के लिए α(i)∈M_i और असीम रूप से अनेक सूचकांकों i के लिए α(i) = 0 है। इन फलनों को समान रूप से सूचकांक समुच्चय I पर, फाइबर $i\in I$ में उपस्थित $M_{i}$ के साथ फाइबर समूह के अंतिम रूप से समर्थित अनुभागों के रूप में माना जा सकता है।

यह समुच्चय घटक-वार जोड़ और अदिश गुणन के माध्यम से मापांक संरचना प्राप्त करता है। स्पष्ट रूप से, ऐसे दो अनुक्रम (या फलन) α और β को $(\alpha +\beta )_{i}=\alpha _{i}+\beta _{i}$ लिखकर जोड़ा जा सकता है, सभी i के लिए (ध्यान दें कि यह फिर से सभी परन्तु सीमित रूप से कई सूचकांकों के लिए शून्य है) और ऐसे फलनों $r(\alpha )_{i}=(r\alpha )_{i}$ को परिभाषित करके R से एक तत्व r के साथ गुणा किया जा सकता है। इस प्रकार, प्रत्यक्ष योग बाएँ R-मापांक बन जाता है और इसे दर्शाया जाता हैː

\bigoplus _{i\in I}M_{i}.

एक योग

\sum \alpha _{i}

के रूप में, क्रम

(\alpha _{i})

लिखने की प्रथा है। कभी-कभी एक प्रारंभिक सारांश

\sum '\alpha _{i}

का उपयोग यह इंगित करने के लिए किया जाता है कि निश्चित रूप से कई पद शून्य हैं।

गुणधर्म

प्रत्यक्ष योग मापांक M_i (बोरबाकी 1989, §II.1.7) के प्रत्यक्ष गुणन का एक उप-मापांक है। प्रत्यक्ष गुणन I से लेकर α(i)∈M_i के साथ मापांक M_i के असंयुक्त संघ तक सभी फलनों α का समुच्चय है, परन्तु आवश्यक नहीं कि सभी के लिए लुप्त हो जाए, परन्तु सीमित रूप से कई i लुप्त हो जाए। यदि सूचकांक समुच्चय I परिमित है, तो प्रत्यक्ष योग और प्रत्यक्ष गुणन बराबर हैं।
प्रत्येक मापांक M_i को प्रत्यक्ष योग के उप-मापांकों के साथ पहचाना जा सकता है जिसमें वे फलन सम्मिलित होते है जो i से भिन्न सभी सूचकांकों पर लुप्त हो जाते हैं। इन पहचानों के साथ, प्रत्यक्ष योग के प्रत्येक तत्व x को मापांक M_i से सीमित कई तत्वों के योग के रूप में एक और केवल एक ही तरीके से लिखा जा सकता है।
यदि M_i वास्तव में सदिश समष्टि हैं, तो प्रत्यक्ष योग का आयाम M_i के आयामों के योग के बराबर है। अबेलियन समूहों की श्रेणी और मापांकों की लंबाई के लिए भी यही सत्य है।
क्षेत्र K के ऊपर प्रत्येक सदिश समष्टि K की पर्याप्त संख्या में प्रतियों के प्रत्यक्ष योग के समरूपी है, इसलिए एक अर्थ में केवल इन प्रत्यक्ष योगों पर ही विचार करना होगा। यह यादृच्छिक वलयों से अधिक मापांकों के लिए सत्य नहीं है।
प्रदिश गुणन निम्नलिखित अर्थों में प्रत्यक्ष योगों पर वितरित होता है: यदि N कुछ दाएं R-मापांक है, तो M_i (जो अबेलियन समूह हैं) के साथ N के प्रदिश गुणनों का प्रत्यक्ष योग स्वाभाविक रूप से M_i के प्रत्यक्ष योग के साथ N के प्रदिश गुणन के लिए समरूपी है।
प्रत्यक्ष योग क्रमविनिमेय और साहचर्य (समरूपता तक) होते हैं, जिसका अर्थ है कि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कोई किस क्रम में प्रत्यक्ष योग बनाता है।
R-रैखिक समरूपता का अबेलियन समूह प्रत्यक्ष योग से कुछ बाएं R-मापांक L तक, M_i से R-रैखिक समरूपता के अबेलियन समूहों के प्रत्यक्ष गुणन के लिए स्वाभाविक रूप से समरूपी है। $\operatorname {Hom} _{R}{\biggl (}\bigoplus _{i\in I}M_{i},L{\biggr )}\cong \prod _{i\in I}\operatorname {Hom} _{R}\left(M_{i},L\right).$ वास्तव में, बाईं ओर से दाईं ओर स्पष्ट रूप से एक समरूपता τ है, जहां τ(θ)(i) R-रैखिक समरूपता है जो x∈M_i को θ(x) पर (M_i के प्राकृतिक समावेशन का उपयोग करके प्रत्यक्ष योग में) भेजती है। समरूपता का व्युत्क्रम τ द्वारा परिभाषित किया गया हैː $\tau ^{-1}(\beta )(\alpha )=\sum _{i\in I}\beta (i)(\alpha (i))$ मापांक M_i के प्रत्यक्ष योग में किसी भी α के लिए है। मुख्य बिंदु यह है कि τ⁻¹ की परिभाषा समझ में आती है क्योंकि α(i) सीमित रूप से अनेक i को छोड़कर सभी के लिए शून्य है और इसलिए योग परिमित है।
विशेष रूप से, सदिश समष्टियों के प्रत्यक्ष योग की दोहरी समष्टि उन समष्टियों के दोहरे के प्रत्यक्ष गुणन के लिए समरूपी है।
मापांकों का परिमित प्रत्यक्ष योग एक द्विगुणन है: यदि $p_{k}:A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{n}\to A_{k}$ विहित प्रक्षेपण प्रतिचित्रिण और हैं $i_{k}:A_{k}\mapsto A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{n}$ फिर, समावेशन प्रतिचित्रिण हैं, $i_{1}\circ p_{1}+\cdots +i_{n}\circ p_{n}$ A₁ ⊕ ⋯ ⊕ A_n, और की पहचान रूपवाद के बराबर है। $p_{k}\circ i_{l}$ l = k स्थिति में A_k की पहचान रूपवाद है, और अन्यथा शून्य मानचित्र है।

आंतरिक प्रत्यक्ष योग

मान लीजिए M कुछ R-मापांक है और M_i, I में प्रत्येक i के लिए M का एक उप-मापांक है। यदि M में प्रत्येक x को M_i के सीमित कई तत्वों के योग के रूप में एक और केवल एक ही तरीके से लिखा जा सकता है, तो हम कहते हैं कि M उप-मापांक M_i (हेल्मोस 1974, §18) का आंतरिक प्रत्यक्ष योग है। इस स्थिति में, जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, M स्वाभाविक रूप से M_i के (बाहरी) प्रत्यक्ष योग के समरूपी है (एडम्सन 1972, पृष्ठ 61)।

M का एक उप-मापांक N, M का 'प्रत्यक्ष योग' है यदि M का कोई अन्य उप-मापांक N' उपस्थित है जैसे कि M, N और N' का आंतरिक प्रत्यक्ष योग है। इस स्थिति में, N और N′ 'पूरक उप-मापांक' हैं।

सार्वभौमिक गुणधर्म

श्रेणी सिद्धांत की भाषा में, प्रत्यक्ष योग एक सह-उत्पाद है और इसलिए बाएं R-मापांकों की श्रेणी में एक सह-सीमा है, जिसका अर्थ है कि यह निम्नलिखित सार्वभौमिक गुणधर्मों की विशेषता है। I में प्रत्येक i के लिए, प्राकृतिक अंतःस्थापन पर विचार करेंː

j_{i}:M_{i}\rightarrow \bigoplus _{i\in I}M_{i}

जो M_i के तत्वों को उन फलनों में भेजता है जो i को छोड़कर सभी तर्कों के लिए शून्य हैं। अब मान लीजिए कि M एक यादृच्छिक R-मापांक है और f_i : M_i → M प्रत्येक i के लिए यादृच्छिक R-रेखीय मानचित्र है, तो वास्तव में एक R-रेखीय मानचित्र उपस्थित है।

f:\bigoplus _{i\in I}M_{i}\rightarrow M

इस प्रकार कि f o j_i = f_i सभी i है।

ग्रोथेंडिक समूह

प्रत्यक्ष योग वस्तुओं के संग्रह को एक क्रमविनिमेय एकाभ की संरचना देता है, जिसमें वस्तुओं का जोड़ परिभाषित होता है, परन्तु घटाव नहीं। वास्तव में, घटाव को परिभाषित किया जा सकता है और प्रत्येक क्रमविनिमेय एकाभ को अबेलियन समूह तक बढ़ाया जा सकता है। इस विस्तार को ग्रोथेंडिक समूह के नाम से जाना जाता है। विस्तार वस्तुओं के युग्मों के समतुल्य वर्गों को परिभाषित करके किया जाता है, जो कुछ युग्मों को व्युत्क्रम के रूप में मानने की अनुमति देता है। ग्रोथेंडिक समूह पर लेख में विस्तृत निर्माण, सार्वभौमिक है, इसमें अद्वितीय होने के सार्वभौमिक गुणधर्म है और अबेलियन समूहों में एक विनिमेय एकाभ के किसी भी अन्य अंतःस्थापन के लिए समरूप है।

अतिरिक्त संरचना के साथ मापांकों का प्रत्यक्ष योग

यदि जिन मापांकों पर हम विचार कर रहे हैं उनमें कुछ अतिरिक्त संरचना (उदाहरण के लिए, एक मानक या एक आंतरिक आंतरिक गुणन) सम्मिलित है, तो मापांकों का प्रत्यक्ष योग प्रायः इस अतिरिक्त संरचना को ले जाने के लिए भी बनाया जा सकता है। इस स्थिति में, हम अतिरिक्त संरचना वाले सभी वस्तुओं के उपयुक्त श्रेणी में सह-उत्पाद प्राप्त करते हैं। बानाख समष्टि और हिल्बर्ट समष्टि के दो प्रमुख उदाहरण मिलते हैं।

कुछ शास्त्रीय ग्रंथों में, किसी क्षेत्र पर बीजगणित का प्रत्यक्ष योग वाक्यांश भी बीजगणितीय संरचना को दर्शाने के लिए प्रस्तुत किया गया है जिसे वर्तमान में सामान्यतः बीजगणित का प्रत्यक्ष गुणन कहा जाता है; अर्थात्, घटकवार संचालन के साथ अंतर्निहित समुच्चय का कार्तीय गुणन हैं। हालाँकि, यह निर्माण बीजगणित की श्रेणी में एक सह-उत्पाद प्रदान नहीं करता है, बल्कि एक प्रत्यक्ष गुणन प्रदान करता है (नीचे टिप्पणी देखें और वलयों के प्रत्यक्ष योग पर टिप्पणी देखें)।

बीजगणित का प्रत्यक्ष योग

बीजगणित का प्रत्यक्ष योग $X$ और $Y$ गुणन के साथ सदिश समष्टियों के रूप में प्रत्यक्ष योग हैː

(x_{1}+y_{1})(x_{2}+y_{2})=(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}).

इन शास्त्रीय उदाहरणों पर विचार करें:

\mathbf {R} \oplus \mathbf {R}

विभाजित-जटिल संख्याओं के लिए वलय समरूपता है, जिसका उपयोग अंतराल विश्लेषण में भी किया जाता है।

\mathbf {C} \oplus \mathbf {C}

1848 में जेम्स कॉकल द्वारा प्रस्तुत टेसरीन का बीजगणित है।

\mathbf {H} \oplus \mathbf {H} ,

जिसे विभाजित -द्विभाजन कहा जाता है, 1873 में विलियम किंग्डन क्लिफोर्ड द्वारा प्रस्तुत किया गया था।

जोसेफ वेडरबर्न ने अतिमिश्र संख्याओं के अपने वर्गीकरण में बीजगणित के प्रत्यक्ष योग की अवधारणा का उपयोग किया। उनके लेक्चर्स ऑन मैट्रिसेस (1934), पृष्ठ 151 देखें। वेडरबर्न प्रत्यक्ष योग और बीजगणित के प्रत्यक्ष गुणन के मध्य अंतर को स्पष्ट करता है: प्रत्यक्ष योग के लिए अदिश का क्षेत्र दोनों भागों: $\lambda (x\oplus y)=\lambda x\oplus \lambda y$ पर संयुक्त रूप से कार्य करता है जबकि प्रत्यक्ष गुणन के लिए एक अदिश कारक को भागों के साथ वैकल्पिक रूप से एकत्र किया जा सकता है, परन्तु दोनों: $\lambda (x,y)=(\lambda x,y)=(x,\lambda y)\!$ को नहीं। क्लिफ़ोर्ड बीजगणित और शास्त्रीय समूहों (1995) के अपने विश्लेषण में अदिश वलयों के रूप में, इयान आर. पोर्टियस उपरोक्त तीन प्रत्यक्ष योगों, $^{2}R,\ ^{2}C,\ ^{2}H,$ को दर्शाते हुए उनका उपयोग करते हैं।

ऊपर वर्णित निर्माण, साथ ही वेडरबर्न द्वारा प्रत्यक्ष योग और प्रत्यक्ष गुणन शब्दों का उपयोग श्रेणी सिद्धांत की तुलना में एक भिन्न परंपरा का पालन करता है। श्रेणीबद्ध शब्दों में, वेडरबर्न का प्रत्यक्ष योग एक श्रेणीबद्ध गुणनफल है, जबकि वेडरबर्न का प्रत्यक्ष गुणनफल एक सह-गुणनफल (या श्रेणीबद्ध योग) है, जो (क्रमविनिमेय बीजगणित के लिए) वास्तव में बीजगणित के प्रदिश गुणन से मेल खाता है।

बानाख समष्टि का प्रत्यक्ष योग

दो बानाख समष्टियों $X$ और $Y$ का प्रत्यक्ष योग है और सभी $x\in X$ और $y\in Y$ के लिए, $X$ और $Y$ मानकों के साथ सदिश समष्टि $\|(x,y)\|=\|x\|_{X}+\|y\|_{Y}$ के रूप में माना जाता है।

सामान्यतः, यदि $X_{i}$ बानाख समष्टियों का एक संग्रह है, जहां $i$ सूचकांक समुच्चय $I$ का पता लगाता है तब प्रत्यक्ष योग $\bigoplus _{i\in I}X_{i}$ एक मापांक है जिसमें सभी $i\in I$ के लिए और $I$ पर, जैसे कि $x(i)\in X_{i}$ , सभी फलनों को $x$ पर परिभाषित किया गया है।

\sum _{i\in I}\|x(i)\|_{X_{i}}<\infty .

मानदंड उपरोक्त योग द्वारा दिया गया है। इस मानदंड के साथ प्रत्यक्ष योग पुनः एक बानाख समष्टि है।

उदाहरण के लिए, यदि हम सूचकांक समुच्चय $I=\mathbb {N}$ और $X_{i}=\mathbb {R}$ लेते हैं तब प्रत्यक्ष योग $\bigoplus _{i\in \mathbb {N} }X_{i}$ समष्टि $\ell _{1}$ है, जिसमें सभी अनुक्रम $\left(a_{i}\right)$ और वास्तविक मानदंडों ${\textstyle \|a\|=\sum _{i}\left|a_{i}\right|}$ के साथ सम्मिलित हैं।

एक संवृत्त उपसमष्टि $A$ एक बानाख समष्टि का $X$ , यदि कोई अन्य संवृत्त उप-समष्टि है तो पूरक उप-समष्टि $B$ का $X$ है जैसे कि $X$ आंतरिक प्रत्यक्ष योग $A\oplus B$ के बराबर है। ध्यान दें कि प्रत्येक संवृत्त उपसमष्टि पूरक नहीं है; जैसे $c_{0}$ में पूरक $\ell ^{\infty }$ नहीं है।

द्विरेखीय रूपों के साथ मापांकों का प्रत्यक्ष योग

मान लीजिए कि $\left\{\left(M_{i},b_{i}\right):i\in I\right\}$ द्वारा अनुक्रमित एक अनुक्रमित वर्ग है। $I$ का मापांक द्विरेखीय रूपों से सुसज्जित है। $B$ द्वारा परिभाषित लंबकोणीय प्रत्यक्ष योग द्विरेखीय रूपों के साथ मापांक प्रत्यक्ष योग है।^[1]

B\left({\left({x_{i}}\right),\left({y_{i}}\right)}\right)=\sum _{i\in I}b_{i}\left({x_{i},y_{i}}\right)

जिसमें अनंत सूचकांक समुच्चयों

I

के लिए भी योग समझ में आता है, क्योंकि केवल सीमित रूप से बहुत से पद गैर-शून्य हैं।

हिल्बर्ट समष्टि का प्रत्यक्ष योग

यदि बहुत सारे हिल्बर्ट समष्टि $H_{1},\ldots ,H_{n}$ दिए गए हैं, कोई उनके लंबकोणीय प्रत्यक्ष योग को उपरोक्त के रूप में बना सकता है (क्योंकि वे सदिश समष्टि हैं), आंतरिक गुणनफल को इस प्रकार परिभाषित करते हैं:

\left\langle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right),\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)\right\rangle =\langle x_{1},y_{1}\rangle +\cdots +\langle x_{n},y_{n}\rangle .

परिणामी प्रत्यक्ष योग एक हिल्बर्ट समष्टि है जिसमें दिए गए हिल्बर्ट समष्टि को पारस्परिक रूप से लंबकोणीय उप-समष्टियों के रूप में सम्मिलित किया गया है।

यदि अपरिमित रूप से अनेक हिल्बर्ट समष्टि $H_{i}$ के लिए $i\in I$ दिए गए हैं, हम वही निर्माण कार्य कर सकते हैं; ध्यान दें कि आंतरिक गुणनफल को परिभाषित करते समय, केवल सीमित रूप से कई सारांश गैर-शून्य होंगे। हालाँकि, परिणाम केवल एक आंतरिक गुणन समष्टि होगा और यह आवश्यक रूप से बानाख समष्टि नहीं होगा। फिर हम इस आंतरिक गुणन समष्टि को पूर्ण करने के लिए, हिल्बर्ट समष्टि के प्रत्यक्ष योग $H_{i}$ को परिभाषित करते हैं।

वैकल्पिक रूप से और समकक्ष रूप से, कोई हिल्बर्ट समष्टि $H_{i}$ के प्रत्यक्ष योग को परिभाषित कर सकता है। कार्यक्षेत्र $I$ के साथ सभी फलनों α के समष्टि के रूप में, ऐसा है कि $\alpha (i)$ का एक तत्व है प्रत्येक $H_{i}$ के लिए $i\in I$ है और:

\sum _{i}\left\|\alpha _{(i)}\right\|^{2}<\infty .

ऐसे दो फलन α और β के आंतरिक गुणनफल को तब परिभाषित किया गया है:

\langle \alpha ,\beta \rangle =\sum _{i}\langle \alpha _{i},\beta _{i}\rangle .

यह समष्टि पूर्ण हो गयी है और हमें हिल्बर्ट समष्टि प्राप्त होती है।

उदाहरण के लिए, यदि हम सूचकांक समुच्चय $I=\mathbb {N}$ और $X_{i}=\mathbb {R}$ लेते हैं फिर प्रत्यक्ष योग $\oplus _{i\in \mathbb {N} }X_{i}$ समष्टि $\ell _{2}$ है जिसमें सभी अनुक्रम $\left(a_{i}\right)$ और वास्तविक मानदंडों ${\textstyle \|a\|={\sqrt {\sum _{i}\left\|a_{i}\right\|^{2}}}}$ के साथ सम्मिलित हैं। इसकी तुलना बानाख समष्टि के उदाहरण से करने पर, हम देखते हैं कि बानाख समष्टि प्रत्यक्ष योग और हिल्बर्ट समष्टि प्रत्यक्ष योग आवश्यक रूप से समान नहीं हैं। परन्तु यदि केवल सीमित रूप से कई सारांश हैं, तो बानाख समष्टि प्रत्यक्ष योग हिल्बर्ट समष्टि प्रत्यक्ष योग के समरूपी है, हालांकि मानक भिन्न होगा।

प्रत्येक हिल्बर्ट समष्टि आधार क्षेत्र की पर्याप्त रूप से कई प्रतियों के प्रत्यक्ष योग के बराबर है, जो कि या तो $\mathbb {R} {\text{ or }}\mathbb {C}$ है। यह इस अभिकथन के समतुल्य है कि प्रत्येक हिल्बर्ट समष्टि का एक लंबात्मक आधार होता है। अधिक सामान्यतः, हिल्बर्ट समष्टि का प्रत्येक संवृत्त उप-समष्टि पूरक उप-समष्टि है क्योंकि यह एक लंबकोणीय पूरक को स्वीकार करता है। इसके विपरीत, लिंडेनस्ट्रॉस-तज़ाफरीरी प्रमेय का अभिकथन है कि यदि बानाख समष्टि के प्रत्येक संवृत्त उप-समष्टि को पूरक किया जाता है, तो बानाख समष्टि हिल्बर्ट समष्टि के लिए समरूपी है।

यह भी देखें

संदर्भ

↑ Milnor, J.; Husemoller, D. (1973). सममित द्विरेखीय रूप. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Vol. 73. Springer-Verlag. pp. 4–5. ISBN 3-540-06009-X. Zbl 0292.10016.

Adamson, Iain T. (1972), Elementary rings and modules, University Mathematical Texts, Oliver and Boyd, ISBN 0-05-002192-3.
Bourbaki, Nicolas (1989), Elements of mathematics, Algebra I, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9.
Dummit, David S.; Foote, Richard M. (1991), Abstract algebra, Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, Inc., ISBN 0-13-004771-6.
Halmos, Paul (1974), Finite dimensional vector spaces, Springer, ISBN 0-387-90093-4
Mac Lane, S.; Birkhoff, G. (1999), Algebra, AMS Chelsea, ISBN 0-8218-1646-2.

[1] Milnor, J.; Husemoller, D. (1973). सममित द्विरेखीय रूप. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Vol. 73. Springer-Verlag. pp. 4–5. ISBN 3-540-06009-X. Zbl 0292.10016.

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-{{Short description|Operation in abstract algebra}}
+[[अमूर्त बीजगणित]] में, '''प्रत्यक्ष योग''' एक निर्माण है जो कई [[मॉड्यूल (गणित)|मापांकों]] को एक नए, बड़े मापांक में जोड़ता है। मापांकों का प्रत्यक्ष योग सबसे छोटा मापांक होता है जिसमें दिए गए मापांकों को बिना किसी अनावश्यक बाधा के उप-मापांकों के रूप में सम्मिलित किया जाता है, जो इसे सह-गुणन का एक उदाहरण बनाता है। [[प्रत्यक्ष उत्पाद|प्रत्यक्ष गुणन]] के साथ तुलना करें, जो [[द्वैत (श्रेणी सिद्धांत)|दोहरी]] धारणा है।
-{{for|the broader use of the term in mathematics|Direct sum}}
-[[अमूर्त बीजगणित]] में, प्रत्यक्ष योग एक निर्माण है जो कई [[मॉड्यूल (गणित)]] को एक नए, बड़े मॉड्यूल में जोड़ता है। मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग सबसे छोटा मॉड्यूल है जिसमें दिए गए मॉड्यूल को बिना किसी अनावश्यक बाधा के सबमॉड्यूल के रूप में शामिल किया जाता है, जो इसे सह-उत्पाद का एक उदाहरण बनाता है। [[प्रत्यक्ष उत्पाद]] के साथ तुलना करें, जो [[द्वैत (श्रेणी सिद्धांत)]] धारणा है।
-इस निर्माण के सबसे परिचित उदाहरण तब मिलते हैं जब वेक्टर रिक्त स्थान (एक क्षेत्र (गणित) पर मॉड्यूल) और [[एबेलियन समूह]] ([[पूर्णांक]] के रिंग जेड पर मॉड्यूल) पर विचार करते हैं। निर्माण को बानाच स्थानों और [[हिल्बर्ट स्थान]]ों को कवर करने के लिए भी बढ़ाया जा सकता है।
+इस निर्माण के सबसे परिचित उदाहरण तब मिलते हैं जब सदिश समष्टियों (एक क्षेत्र पर मापांक) और [[एबेलियन समूह|अबेलियन समूहों]] ([[पूर्णांक]] के वलय '''Z''' पर मापांक) पर विचार करते हैं। निर्माण को बानाख समष्टियों और [[हिल्बर्ट स्थान|हिल्बर्ट]] समष्टियों को समाविष्ट करने के लिए भी बढ़ाया जा सकता है।
-किसी मॉड्यूल को सबमॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग के रूप में लिखने के तरीके के लिए मॉड्यूल का अपघटन लेख देखें।
+किसी मापांक को उप-मापांक के प्रत्यक्ष योग के रूप में लिखने के तरीके के लिए मापांक का अपघटन लेख देखें।
-== सदिश स्थानों और एबेलियन समूहों के लिए निर्माण ==
+== सदिश समष्टियों और अबेलियन समूहों के लिए निर्माण ==
-हम इन दो मामलों में पहले निर्माण देते हैं, इस धारणा के तहत कि हमारे पास केवल दो वस्तुएं हैं। फिर हम मनमाने मॉड्यूल के एक मनमाने परिवार का सामान्यीकरण करते हैं। इन दो मामलों पर गहराई से विचार करने पर सामान्य निर्माण के प्रमुख तत्वों को अधिक स्पष्ट रूप से पहचाना जाता है।
+हम इन दो स्थितियों में पहले निर्माण देते हैं, इस धारणा के अंतर्गत कि हमारे पास केवल दो वस्तुएं हैं। फिर हम यादृच्छिक मापांक के एक यादृच्छिक वर्ग का सामान्यीकरण करते हैं। इन दो स्थितियों पर गहनता से विचार करने पर सामान्य निर्माण के प्रमुख तत्वों को अधिक स्पष्ट रूप से पहचाना जाता है।
-=== दो सदिश स्थानों का निर्माण ===
+=== दो सदिश समष्टियों का निर्माण ===
-मान लीजिए V और W क्षेत्र (गणित) K के ऊपर सदिश स्थान हैं। [[कार्तीय गुणन]] V × W को K के ऊपर एक सदिश स्थान की संरचना दी जा सकती है। {{harv|Halmos|1974|loc=§18}} संचालन को घटकवार परिभाषित करके:
+मान लीजिए कि V और W, क्षेत्र K के ऊपर सदिश समष्टि हैं। [[कार्तीय गुणन]] V × W को संचालन को घटकवार परिभाषित करके, K (हल्मोस 1974, §18) के ऊपर एक सदिश समष्टि की संरचना दी जा सकती है।
+* (''v''<sub>1</sub>, ''w''<sub>1</sub>) + (''v''<sub>2</sub>, ''w''<sub>2</sub>) = (''v''<sub>1</sub> + ''v''<sub>2</sub>, ''w''<sub>1</sub> + ''w''<sub>2</sub>)
-* (वि<sub>1</sub>, में<sub>1</sub>) + (वी<sub>2</sub>, में<sub>2</sub>) = (वी<sub>1</sub> + वी<sub>2</sub>, में<sub>1</sub> + डब्ल्यू<sub>2</sub>)
 * α (v, w) = (α v, α w)
-वी के लिए, वी<sub>1</sub>, में<sub>2</sub> ∈ वी, डब्ल्यू, डब्ल्यू<sub>1</sub>, में<sub>2</sub> ∈ डब्ल्यू, और α ∈ के.
+''v'', ''v''<sub>1</sub>, ''v''<sub>2</sub> ∈ ''V'', ''w'', ''w''<sub>1</sub>, ''w''<sub>2</sub> ∈ ''W'', और ''α'' ∈ ''K'' के लिएː
-परिणामी सदिश समष्टि को V और W का प्रत्यक्ष योग कहा जाता है और इसे आमतौर पर एक वृत्त के अंदर प्लस चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है:
+परिणामी सदिश समष्टि को V और W का प्रत्यक्ष योग कहा जाता है और इसे सामान्यतः एक वृत्त के भीतर धन चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है:
-<math display=block>V \oplus W</math>
+<math display="block">V \oplus W</math>
-किसी क्रमित योग के तत्वों को क्रमित जोड़े (v, w) के रूप में नहीं, बल्कि योग v + w के रूप में लिखने की प्रथा है।
+किसी क्रमित योग के तत्वों को क्रमित युग्म (v, w) के रूप में नहीं, बल्कि योग v + w के रूप में लिखने की प्रथा है।
-V ⊕ W का उपस्थान V × {0}, V का समरूपी है और अक्सर इसे V से पहचाना जाता है; इसी प्रकार {0} × W और W के लिए। (नीचे आंतरिक प्रत्यक्ष योग देखें।) इस पहचान के साथ, V ⊕ W के प्रत्येक तत्व को V के एक तत्व और W के एक तत्व के योग के रूप में एक और केवल एक ही तरीके से लिखा जा सकता है। . V ⊕ W के सदिश समष्टि का आयाम V और W के आयामों के योग के बराबर है। एक प्राथमिक उपयोग पुनर्निर्माण है
+V ⊕ W की उपसमष्टि V × {0}, V की समरूपी है और इसी प्रकार {0} × W और W के लिए, प्रायः इसे V से पहचाना जाता है (नीचे आंतरिक प्रत्यक्ष योग देखें)। इस पहचान के साथ, V ⊕ W के प्रत्येक तत्व को V के एक तत्व और W के एक तत्व के योग के रूप में एक और केवल एक ही तरीके से लिखा जा सकता है। V ⊕ W के सदिश समष्टि का आयाम V और W के आयामों के योग के बराबर है। एक प्राथमिक उपयोग किसी भी उपसमष्टि W और उसके लंबकोणीय पूरक से एक परिमित सदिश समष्टि का पुनर्निर्माण है:
-किसी भी उपसमष्टि W और उसके ऑर्थोगोनल पूरक से एक परिमित सदिश समष्टि का:
+<math display=block>\mathbb{R}^n = W \oplus W^{\perp}</math>
-  <math display=block>\mathbb{R}^n = W \oplus W^{\perp}</math>
+यह निर्माण सदिश समष्टियों की किसी भी सीमित संख्या को सरलता से सामान्यीकृत करता है।
-यह निर्माण वेक्टर स्थानों की किसी भी सीमित निर्धारित संख्या को आसानी से सामान्यीकृत करता है।
-=== दो एबेलियन समूहों के लिए निर्माण ===
+=== दो अबेलियन समूहों के लिए निर्माण ===
-एबेलियन समूहों जी और एच के लिए जो योगात्मक रूप से लिखे गए हैं, जी और एच के प्रत्यक्ष उत्पाद को प्रत्यक्ष योग भी कहा जाता है {{harv|Mac Lane|Birkhoff|1999|loc=§V.6}}. इस प्रकार कार्टेशियन उत्पाद G × H संचालन को घटकवार परिभाषित करके एक एबेलियन समूह की संरचना से सुसज्जित है:
+अबेलियन समूहों G और H के लिए जो योगात्मक रूप से लिखे गए हैं, G और H के प्रत्यक्ष गुणन को प्रत्यक्ष योग (मैक लेन और बिरखॉफ 1999, §वी.6) भी कहा जाता है। इस प्रकार कार्तीय गुणन G × H संचालन को घटकवार परिभाषित करके एक अबेलियन समूह की संरचना से सुसज्जित है:
-: (जी<sub>1</sub>, एच<sub>1</sub>) + (जी<sub>2</sub>, एच<sub>2</sub>) = (जी<sub>1</sub> + जी<sub>2</sub>, एच<sub>1</sub> + एच<sub>2</sub>)
+: (''g''<sub>1</sub>, ''h''<sub>1</sub>) + (''g''<sub>2</sub>, ''h''<sub>2</sub>) = (''g''<sub>1</sub> + ''g''<sub>2</sub>, ''h''<sub>1</sub> + ''h''<sub>2</sub>)
-जी के लिए<sub>1</sub>, जी<sub>2</sub> जी में, और एच<sub>1</sub>, एच<sub>2</sub> एच में।
+''G'' में ''g''<sub>1</sub>, ''g''<sub>2</sub> और ''H'' में ''h1, h2'' के लिएː
-इंटीग्रल गुणकों को समान रूप से घटकवार परिभाषित किया जाता है
+समाकल गुणकों को समान रूप से घटकवार परिभाषित किया जाता हैː
-: एन(जी, एच) = (एनजी, एनएच)
+: n(g, h) = (ng, nh)
-G में g, H में h, और n एक पूर्णांक है। यह सदिश स्थानों के अदिश गुणनफल के विस्तार को उपरोक्त प्रत्यक्ष योग के समानांतर करता है।
+G में g, H में h और n एक पूर्णांक है। यह सदिश समष्टियों के अदिश गुणनफल के विस्तार को उपरोक्त प्रत्यक्ष योग के समानांतर करता है।
-परिणामी एबेलियन समूह को जी और एच का सीधा योग कहा जाता है और इसे आमतौर पर एक सर्कल के अंदर प्लस प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है:
+परिणामी अबेलियन समूह को G और H का प्रत्यक्ष योग कहा जाता है और इसे सामान्यतः एक वृत्त के भीतर धन चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है:
 <math display=block>G \oplus H</math>
-किसी क्रमित योग के तत्वों को क्रमित जोड़े (g, h) के रूप में नहीं, बल्कि योग g + h के रूप में लिखने की प्रथा है।
+किसी क्रमित योग के तत्वों को क्रमित युग्म (g, h) के रूप में नहीं, बल्कि योग g + h के रूप में लिखने की प्रथा है।
-G ⊕ H का [[उपसमूह]] G × {0}, G के समरूपी है और अक्सर इसे G के साथ पहचाना जाता है; इसी प्रकार {0} × H और H के लिए। (नीचे Direct_sum_of_modules#Internal_direct_sum देखें।) इस पहचान के साथ, यह सच है कि G ⊕ H के प्रत्येक तत्व को G और के एक तत्व के योग के रूप में एक और केवल एक ही तरीके से लिखा जा सकता है। H का एक तत्व। G ⊕ H के [[एबेलियन समूह की रैंक]] G और H की रैंक के योग के बराबर है।
+G ⊕ H का [[उपसमूह]] G × {0}, G के समरूपी है और इसी प्रकार {0} × H और H के लिए, प्रायः इसे G के साथ पहचाना जाता है (नीचे आंतरिक प्रत्यक्ष योग देखें)। इस पहचान के साथ, यह सत्य है कि G ⊕ H के प्रत्येक तत्व को G और H का एक तत्व के एक तत्व के योग के रूप में एक और केवल एक ही तरीके से लिखा जा सकता है। G ⊕ H के [[एबेलियन समूह की रैंक|अबेलियन समूह की श्रेणी]] G और H की श्रेणी के योग के बराबर है।
-यह निर्माण एबेलियन समूहों की किसी भी सीमित निर्धारित संख्या को आसानी से सामान्यीकृत करता है।
+यह निर्माण अबेलियन समूहों की किसी भी सीमित संख्या को सरलता से सामान्यीकृत करता है।
-== मॉड्यूल के एक मनमाने परिवार के लिए निर्माण ==
+== मापांक के एक यादृच्छिक वर्ग के लिए निर्माण ==
-किसी को दो सदिश स्थानों और दो एबेलियन समूहों के प्रत्यक्ष योग की परिभाषाओं के बीच स्पष्ट समानता पर ध्यान देना चाहिए। वास्तव में, प्रत्येक दो मॉड्यूल (गणित) के प्रत्यक्ष योग के निर्माण का एक विशेष मामला है। इसके अतिरिक्त, परिभाषा को संशोधित करके कोई मॉड्यूल के अनंत परिवार के प्रत्यक्ष योग को समायोजित कर सकता है। सटीक परिभाषा इस प्रकार है {{harv|Bourbaki|1989|loc=§II.1.6}}.
+किसी को दो सदिश समष्टियों और दो अबेलियन समूहों के प्रत्यक्ष योग की परिभाषाओं के मध्य स्पष्ट समानता पर ध्यान देना चाहिए। वास्तव में, प्रत्येक दो मापांकों के प्रत्यक्ष योग के निर्माण की एक विशेष स्थिति है। इसके अतिरिक्त, परिभाषा को संशोधित करके कोई मापांकों के अनंत वर्ग के प्रत्यक्ष योग को समायोजित कर सकता है। सटीक परिभाषा इस प्रकार है (बोरबाकी 1989, §II.1.6)।
-मान लीजिए R एक वलय है, और {M<sub>''i''</sub>: i ∈ I} [[सेट (गणित)]] I द्वारा अनुक्रमित बाएं आर-मॉड्यूल का एक [[अनुक्रमित परिवार]]। {एम का सीधा योग<sub>''i''</sub>} को फिर सभी अनुक्रमों के सेट के रूप में परिभाषित किया गया है <math>(\alpha_i)</math> कहाँ <math>\alpha_i \in M_i</math> और <math>\alpha_i = 0</math> निश्चित रूप से अनेक सूचकांकों के लिए I. (प्रत्यक्ष उत्पाद अनुरूप है लेकिन सूचकांकों को निश्चित रूप से गायब होने की आवश्यकता नहीं है।)
+मान लीजिए कि R एक वलय और {M<sub>''i''</sub>: i ∈ I} [[सेट (गणित)|समुच्चय]] द्वारा अनुक्रमित बाएं R-मापांकों का एक [[अनुक्रमित परिवार|वर्ग]] है। फिर {''M<sub>i</sub>''} के प्रत्यक्ष योगों को सभी अनुक्रमों <math>(\alpha_i)</math> के समुच्चय के रूप में, जहाँ <math>\alpha_i \in M_i</math> और <math>\alpha_i = 0</math> असीम रूप से अनेक सूचकांकों ''i'' के लिए परिभाषित किया गया है I प्रत्यक्ष गुणन अनुरूप है परन्तु सूचकांकों को निश्चित रूप से लुप्त होने की आवश्यकता नहीं है।
-इसे I से मॉड्यूल M के [[असंयुक्त संघ]] तक [[फ़ंक्शन (गणित)]] α के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है<sub>''i''</sub> ऐसा कि α(i)∈M<sub>''i''</sub> सभी i ∈ I और α(i) = 0 के लिए, निश्चित रूप से कई सूचकांकों के लिए। इन कार्यों को समान रूप से फाइबर ओवर के साथ इंडेक्स सेट I पर [[फाइबर बंडल]] के [[ कॉम्पैक्ट समर्थन ]] सेक्शन के रूप में माना जा सकता है <math>i \in I</math> प्राणी <math>M_i</math>.
+इसे ''I'' से मापांक ''M<sub>i</sub>'' के [[असंयुक्त संघ]] तक [[फ़ंक्शन (गणित)|फलन]] α के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है जैसे कि सभी i ∈ I के लिए α(i)∈M<sub>''i''</sub> और असीम रूप से अनेक सूचकांकों ''i'' के लिए α(i) = 0 है। इन फलनों को समान रूप से सूचकांक समुच्चय ''I'' पर, फाइबर <math>i \in I</math> में उपस्थित <math>M_i</math> के साथ [[फाइबर बंडल|फाइबर समूह]] के अंतिम रूप से समर्थित अनुभागों के रूप में माना जा सकता है।
-यह सेट घटक-वार जोड़ और स्केलर गुणन के माध्यम से मॉड्यूल संरचना प्राप्त करता है। स्पष्ट रूप से, ऐसे दो अनुक्रम (या फ़ंक्शन) α और β को लिखकर जोड़ा जा सकता है <math>(\alpha + \beta)_i = \alpha_i + \beta_i</math> सभी i के लिए (ध्यान दें कि यह फिर से सभी लेकिन सीमित रूप से कई सूचकांकों के लिए शून्य है), और ऐसे फ़ंक्शन को परिभाषित करके R से एक तत्व r के साथ गुणा किया जा सकता है <math>r(\alpha)_i = (r\alpha)_i</math> सबके लिए मैं इस प्रकार, प्रत्यक्ष योग बाएँ R-मॉड्यूल बन जाता है, और इसे दर्शाया जाता है
+यह समुच्चय घटक-वार जोड़ और अदिश गुणन के माध्यम से मापांक संरचना प्राप्त करता है। स्पष्ट रूप से, ऐसे दो अनुक्रम (या फलन) α और β को <math>(\alpha + \beta)_i = \alpha_i + \beta_i</math> लिखकर जोड़ा जा सकता है, सभी i के लिए (ध्यान दें कि यह फिर से सभी परन्तु सीमित रूप से कई सूचकांकों के लिए शून्य है) और ऐसे फलनों <math>r(\alpha)_i = (r\alpha)_i</math>को परिभाषित करके R से एक तत्व r के साथ गुणा किया जा सकता है। इस प्रकार, प्रत्यक्ष योग बाएँ R-मापांक बन जाता है और इसे दर्शाया जाता हैː
 <math display=block>\bigoplus_{i \in I} M_i.</math>
-क्रम लिखने की प्रथा है <math>(\alpha_i)</math> एक राशि के रूप में <math> \sum \alpha_i</math>. कभी-कभी एक प्रारंभिक सारांश <math> \sum ' \alpha_i</math> इसका उपयोग यह इंगित करने के लिए किया जाता है कि निश्चित रूप से कई पद शून्य हैं।
+एक योग <math> \sum \alpha_i</math> के रूप में, क्रम <math>(\alpha_i)</math>लिखने की प्रथा है। कभी-कभी एक प्रारंभिक सारांश <math> \sum ' \alpha_i</math> का उपयोग यह इंगित करने के लिए किया जाता है कि निश्चित रूप से कई पद शून्य हैं।
-== गुण ==
+== गुणधर्म ==
-* प्रत्यक्ष योग मॉड्यूल एम के प्रत्यक्ष उत्पाद का एक [[सबमॉड्यूल]] है<sub>''i''</sub> {{harv|Bourbaki|1989|loc=§II.1.7}}. प्रत्यक्ष उत्पाद I से मॉड्यूल M के असंयुक्त संघ तक सभी कार्यों α का सेट है<sub>''i''</sub> α(i)∈M के साथ<sub>''i''</sub>, लेकिन जरूरी नहीं कि सभी के लिए गायब हो जाए, लेकिन सीमित रूप से कई लोगों के लिए मैं गायब हो जाऊं। यदि सूचकांक सेट I परिमित है, तो प्रत्यक्ष योग और प्रत्यक्ष उत्पाद बराबर हैं।
+* प्रत्यक्ष योग मापांक ''M<sub>i</sub>'' (बोरबाकी 1989, §II.1.7) के प्रत्यक्ष गुणन का एक [[सबमॉड्यूल|उप-मापांक]] है। प्रत्यक्ष गुणन ''I'' से लेकर ''α''(''i'')∈''M<sub>i</sub>''  के साथ मापांक ''M<sub>i</sub>'' के असंयुक्त संघ तक सभी फलनों α का समुच्चय है, परन्तु आवश्यक नहीं कि सभी के लिए लुप्त हो जाए, परन्तु सीमित रूप से कई ''i'' लुप्त हो जाए। यदि सूचकांक समुच्चय ''I'' परिमित है, तो प्रत्यक्ष योग और प्रत्यक्ष गुणन बराबर हैं।
-* प्रत्येक मॉड्यूल एम<sub>''i''</sub> उन कार्यों से युक्त प्रत्यक्ष योग के सबमॉड्यूल के साथ पहचाना जा सकता है जो i से भिन्न सभी सूचकांकों पर गायब हो जाते हैं। इन पहचानों के साथ, प्रत्यक्ष योग के प्रत्येक तत्व x को मॉड्यूल एम से सीमित कई तत्वों के योग के रूप में एक और केवल एक ही तरीके से लिखा जा सकता है।<sub>''i''</sub>.
+* प्रत्येक मापांक ''M<sub>i</sub>'' को प्रत्यक्ष योग के उप-मापांकों के साथ पहचाना जा सकता है जिसमें वे फलन सम्मिलित होते है जो ''i'' से भिन्न सभी सूचकांकों पर लुप्त हो जाते हैं। इन पहचानों के साथ, प्रत्यक्ष योग के प्रत्येक तत्व x को मापांक ''M<sub>i</sub>'' से सीमित कई तत्वों के योग के रूप में एक और केवल एक ही तरीके से लिखा जा सकता है।
-* यदि एम<sub>''i''</sub> वास्तव में सदिश स्थान हैं, तो प्रत्यक्ष योग का आयाम एम के आयामों के योग के बराबर है<sub>''i''</sub>. एबेलियन समूह की रैंक और मॉड्यूल की लंबाई के लिए भी यही सच है।
+* यदि ''M<sub>i</sub>'' वास्तव में सदिश समष्टि हैं, तो प्रत्यक्ष योग का आयाम ''M<sub>i</sub>'' के आयामों के योग के बराबर है। अबेलियन समूहों की श्रेणी और मापांकों की लंबाई के लिए भी यही सत्य है।
-* फ़ील्ड K के ऊपर प्रत्येक सदिश समष्टि K की पर्याप्त संख्या में प्रतियों के प्रत्यक्ष योग के समरूपी है, इसलिए एक अर्थ में केवल इन प्रत्यक्ष योगों पर ही विचार करना होगा। यह मनमाने रिंगों से अधिक मॉड्यूल के लिए सच नहीं है।
+* क्षेत्र K के ऊपर प्रत्येक सदिश समष्टि K की पर्याप्त संख्या में प्रतियों के प्रत्यक्ष योग के समरूपी है, इसलिए एक अर्थ में केवल इन प्रत्यक्ष योगों पर ही विचार करना होगा। यह यादृच्छिक वलयों से अधिक मापांकों के लिए सत्य नहीं है।
-* [[टेंसर उत्पाद]] निम्नलिखित अर्थों में प्रत्यक्ष योगों पर वितरित होता है: यदि एन कुछ सही आर-मॉड्यूल है, तो एम के साथ एन के टेंसर उत्पादों का प्रत्यक्ष योग<sub>''i''</sub> (जो एबेलियन समूह हैं) एम के प्रत्यक्ष योग के साथ एन के टेंसर उत्पाद के लिए स्वाभाविक रूप से आइसोमोर्फिक है<sub>''i''</sub>.
+* [[टेंसर उत्पाद|प्रदिश गुणन]] निम्नलिखित अर्थों में प्रत्यक्ष योगों पर वितरित होता है: यदि N कुछ दाएं R-मापांक है, तो ''M<sub>i</sub>'' (जो अबेलियन समूह हैं) के साथ N के प्रदिश गुणनों का प्रत्यक्ष योग स्वाभाविक रूप से ''M<sub>i</sub>'' के प्रत्यक्ष योग के साथ N के प्रदिश गुणन के लिए समरूपी है।
 * प्रत्यक्ष योग क्रम[[विनिमेय]] और साहचर्य (समरूपता तक) होते हैं, जिसका अर्थ है कि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कोई किस क्रम में प्रत्यक्ष योग बनाता है।
-* आर-रैखिक मानचित्र का एबेलियन समूह सीधे योग से कुछ बाएं आर-मॉड्यूल एल तक, एम से आर-रैखिक समरूपता के एबेलियन समूहों के प्रत्यक्ष उत्पाद के लिए स्वाभाविक रूप से आइसोमोर्फिक है।<sub>''i''</sub> एल से: <math display="block">\operatorname{Hom}_R\biggl( \bigoplus_{i \in I} M_i,L\biggr) \cong \prod_{i \in I}\operatorname{Hom}_R\left(M_i,L\right).</math> वास्तव में, बाईं ओर से दाईं ओर स्पष्ट रूप से एक [[समरूपता]] τ है, जहां τ(θ)(i) आर-रैखिक समरूपता है जो x∈M भेज रही है<sub>''i''</sub> से θ(x) (एम के प्राकृतिक समावेशन का उपयोग करके<sub>''i''</sub> सीधे योग में)। समरूपता का व्युत्क्रम τ द्वारा परिभाषित किया गया है <math display="block"> \tau^{-1}(\beta)(\alpha) = \sum_{i\in I} \beta(i)(\alpha(i))</math> मॉड्यूल एम के प्रत्यक्ष योग में किसी भी α के लिए<sub>''i''</sub>. मुख्य बात यह है कि τ की परिभाषा<sup>−1</sup>समझ में आता है क्योंकि α(i) सीमित रूप से अनेक i को छोड़कर सभी के लिए शून्य है, और इसलिए योग परिमित है।{{pb}}विशेष रूप से, सदिश स्थानों के प्रत्यक्ष योग का दोहरा स्थान उन स्थानों के दोहरे के प्रत्यक्ष उत्पाद के लिए समरूपी है।
+* R-रैखिक समरूपता का अबेलियन समूह प्रत्यक्ष योग से कुछ बाएं R-मापांक L तक, ''M<sub>i</sub>'' से R-रैखिक समरूपता के अबेलियन समूहों के प्रत्यक्ष गुणन के लिए स्वाभाविक रूप से समरूपी है।<math display="block">\operatorname{Hom}_R\biggl( \bigoplus_{i \in I} M_i,L\biggr) \cong \prod_{i \in I}\operatorname{Hom}_R\left(M_i,L\right).</math>वास्तव में, बाईं ओर से दाईं ओर स्पष्ट रूप से एक [[समरूपता]] τ है, जहां τ(θ)(i) R-रैखिक समरूपता है जो x∈M<sub>''i''</sub> को θ(x) पर (''M<sub>i</sub>'' के प्राकृतिक समावेशन का उपयोग करके प्रत्यक्ष योग में) भेजती है। समरूपता का व्युत्क्रम τ द्वारा परिभाषित किया गया हैː <math display="block"> \tau^{-1}(\beta)(\alpha) = \sum_{i\in I} \beta(i)(\alpha(i))</math> मापांक ''M<sub>i</sub>'' के प्रत्यक्ष योग में किसी भी α के लिए है। मुख्य बिंदु यह है कि τ<sup>−1</sup> की परिभाषा समझ में आती है क्योंकि α(i) सीमित रूप से अनेक ''i'' को छोड़कर सभी के लिए शून्य है और इसलिए योग परिमित है।{{pb}}विशेष रूप से, सदिश समष्टियों के प्रत्यक्ष योग की दोहरी समष्टि उन समष्टियों के दोहरे के प्रत्यक्ष गुणन के लिए समरूपी है।
-*मॉड्यूल का परिमित प्रत्यक्ष योग एक [[द्विउत्पाद]] है: यदि <math display="block">p_k: A_1 \oplus \cdots \oplus A_n \to A_k</math> कैनोनिकल प्रोजेक्शन मैपिंग और हैं <math display="block">i_k: A_k \mapsto A_1 \oplus \cdots \oplus A_n </math> फिर, समावेशन मैपिंग हैं <math display="block">i_1 \circ p_1 + \cdots + i_n \circ p_n</math> ए की पहचान रूपवाद के बराबर है<sub>1</sub> ⊕ ⋯ ⊕ ए<sub>''n''</sub>, और <math display="block">p_k \circ i_l</math> ए की पहचान रूपवाद है<sub>''k''</sub> मामले में एल = के, और अन्यथा शून्य मानचित्र है।
+*मापांकों का परिमित प्रत्यक्ष योग एक [[द्विउत्पाद|द्विगुणन]] है: यदि <math display="block">p_k: A_1 \oplus \cdots \oplus A_n \to A_k</math> विहित प्रक्षेपण प्रतिचित्रिण और हैं <math display="block">i_k: A_k \mapsto A_1 \oplus \cdots \oplus A_n </math> फिर, समावेशन प्रतिचित्रिण हैं,<math display="block">i_1 \circ p_1 + \cdots + i_n \circ p_n</math> ''A''<sub>1</sub> ⊕ ⋯ ⊕ ''A<sub>n</sub>'', और की पहचान रूपवाद के बराबर है।<math display="block">p_k \circ i_l</math>''l'' = ''k'' स्थिति में ''A<sub>k</sub>'' की पहचान रूपवाद है, और अन्यथा शून्य मानचित्र है।
 == आंतरिक प्रत्यक्ष योग ==
 <!-- linked from redirects [[Complementary subspace]] and [[Complementary subspaces]] -->
-{{see also|Internal direct product}}
+{{see also|आंतरिक प्रत्यक्ष गुणन}}
-मान लीजिए एम कुछ आर-मॉड्यूल है, और एम<sub>''i''</sub> I में प्रत्येक i के लिए M का एक उपमॉड्यूल है। यदि M में प्रत्येक x को M के सीमित कई तत्वों के योग के रूप में एक और केवल एक ही तरीके से लिखा जा सकता है<sub>''i''</sub>, तो हम कहते हैं कि एम सबमॉड्यूल एम का 'आंतरिक प्रत्यक्ष योग' है<sub>''i''</sub> {{harv|Halmos|1974|loc=§18}}. इस मामले में, एम स्वाभाविक रूप से एम के (बाहरी) प्रत्यक्ष योग के समरूपी है<sub>''i''</sub> जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है {{harv|Adamson|1972|loc=p.61}}.
-M का एक सबमॉड्यूल N, M का 'प्रत्यक्ष योग' है यदि M का कोई अन्य सबमॉड्यूल N' मौजूद है जैसे कि M, N और N' का आंतरिक प्रत्यक्ष योग है। इस मामले में, N और N′ 'पूरक सबमॉड्यूल' हैं।
+मान लीजिए M कुछ R-मापांक है और M<sub>''i,''</sub> ''I'' में प्रत्येक i के लिए M का एक उप-मापांक है। यदि M में प्रत्येक x को ''M<sub>i</sub>'' के सीमित कई तत्वों के योग के रूप में एक और केवल एक ही तरीके से लिखा जा सकता है, तो हम कहते हैं कि M उप-मापांक M<sub>''i''</sub> (हेल्मोस 1974, §18) का आंतरिक प्रत्यक्ष योग है। इस स्थिति में, जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, M स्वाभाविक रूप से ''M<sub>i</sub>'' के (बाहरी) प्रत्यक्ष योग के समरूपी है (एडम्सन 1972, पृष्ठ 61)।
-== सार्वभौम संपत्ति ==
+M का एक उप-मापांक N, M का 'प्रत्यक्ष योग' है यदि M का कोई अन्य उप-मापांक N' उपस्थित है जैसे कि M, N और N' का आंतरिक प्रत्यक्ष योग है। इस स्थिति में, N और N′ 'पूरक उप-मापांक' हैं।
-[[श्रेणी सिद्धांत]] की भाषा में, प्रत्यक्ष योग एक सहउत्पाद है और इसलिए बाएं आर-मॉड्यूल की श्रेणी में एक [[सीमा (श्रेणी सिद्धांत)]] है, जिसका अर्थ है कि यह निम्नलिखित [[सार्वभौमिक संपत्ति]] की विशेषता है। I में प्रत्येक i के लिए, प्राकृतिक एम्बेडिंग पर विचार करें
+== सार्वभौमिक गुणधर्म ==
+[[श्रेणी सिद्धांत]] की भाषा में, प्रत्यक्ष योग एक सह-उत्पाद है और इसलिए बाएं R-मापांकों की श्रेणी में एक सह-[[सीमा (श्रेणी सिद्धांत)|सीमा]] है, जिसका अर्थ है कि यह निम्नलिखित [[सार्वभौमिक संपत्ति|सार्वभौमिक गुणधर्मों]] की विशेषता है। ''I'' में प्रत्येक ''i'' के लिए, प्राकृतिक अंतःस्थापन पर विचार करेंː
 :<math>j_i : M_i \rightarrow \bigoplus_{i \in I} M_i</math>
-जो एम के तत्वों को भेजता है<sub>''i''</sub> उन कार्यों के लिए जो सभी तर्कों के लिए शून्य हैं लेकिन i. अब मान लीजिए कि M एक मनमाना R-मॉड्यूल है और f<sub>''i''</sub> : एम<sub>''i''</sub> → M प्रत्येक i के लिए मनमाना R-रेखीय मानचित्र हो, तो ठीक एक R-रेखीय मानचित्र मौजूद होता है
+जो ''M<sub>i</sub>'' के तत्वों को उन फलनों में भेजता है जो ''i'' को छोड़कर सभी तर्कों के लिए शून्य हैं। अब मान लीजिए कि M एक यादृच्छिक R-मापांक है और f<sub>''i''</sub> : ''M<sub>i</sub>'' → M प्रत्येक ''i'' के लिए यादृच्छिक R-रेखीय मानचित्र है, तो वास्तव में एक R-रेखीय मानचित्र उपस्थित है।
 :<math>f : \bigoplus_{i \in I} M_i \rightarrow M</math>
-ऐसा कि एफ ओ जे<sub>i</sub>= एफ<sub>''i''</sub> सबके लिए मैं
+इस प्रकार कि ''f'' o ''j<sub>i</sub>'' = ''f<sub>i</sub>'' सभी ''i'' है।
-== [[ग्रोथेंडिक समूह]] ==
+== ग्रोथेंडिक समूह ==
-प्रत्यक्ष योग वस्तुओं के संग्रह को एक Monoid#Commutative_monoid [[मोनोइड]] की संरचना देता है, जिसमें वस्तुओं का जोड़ परिभाषित होता है, लेकिन घटाव नहीं। वास्तव में, घटाव को परिभाषित किया जा सकता है, और प्रत्येक क्रमविनिमेय मोनोइड को एबेलियन समूह तक बढ़ाया जा सकता है। इस विस्तार को ग्रोथेंडिक समूह के नाम से जाना जाता है। विस्तार वस्तुओं के युग्मों के समतुल्य वर्गों को परिभाषित करके किया जाता है, जो कुछ युग्मों को व्युत्क्रम के रूप में मानने की अनुमति देता है। ग्रोथेंडिक समूह पर लेख में विस्तृत निर्माण, सार्वभौमिक है, इसमें अद्वितीय होने की सार्वभौमिक संपत्ति है, और एबेलियन समूह में एक कम्यूटेटिव मोनॉइड के किसी भी अन्य एम्बेडिंग के लिए समरूप है।
+प्रत्यक्ष योग वस्तुओं के संग्रह को एक क्रमविनिमेय एकाभ की संरचना देता है, जिसमें वस्तुओं का जोड़ परिभाषित होता है, परन्तु घटाव नहीं। वास्तव में, घटाव को परिभाषित किया जा सकता है और प्रत्येक क्रमविनिमेय एकाभ को अबेलियन समूह तक बढ़ाया जा सकता है। इस विस्तार को ग्रोथेंडिक समूह के नाम से जाना जाता है। विस्तार वस्तुओं के युग्मों के समतुल्य वर्गों को परिभाषित करके किया जाता है, जो कुछ युग्मों को व्युत्क्रम के रूप में मानने की अनुमति देता है। ग्रोथेंडिक समूह पर लेख में विस्तृत निर्माण, सार्वभौमिक है, इसमें अद्वितीय होने के सार्वभौमिक गुणधर्म है और अबेलियन समूहों में एक विनिमेय एकाभ के किसी भी अन्य अंतःस्थापन के लिए समरूप है।
-== अतिरिक्त संरचना के साथ मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग ==
+== अतिरिक्त संरचना के साथ मापांकों का प्रत्यक्ष योग ==
-यदि जिन मॉड्यूलों पर हम विचार कर रहे हैं उनमें कुछ अतिरिक्त संरचना (उदाहरण के लिए, एक नॉर्म (गणित) या एक आंतरिक उत्पाद) शामिल है, तो मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग अक्सर इस अतिरिक्त संरचना को ले जाने के लिए भी बनाया जा सकता है। इस मामले में, हम अतिरिक्त संरचना वाले सभी वस्तुओं के उपयुक्त [[श्रेणी (श्रेणी सिद्धांत)]] में सह-उत्पाद प्राप्त करते हैं। बानाच स्पेस और हिल्बर्ट स्पेस के दो प्रमुख उदाहरण मिलते हैं।
+यदि जिन मापांकों पर हम विचार कर रहे हैं उनमें कुछ अतिरिक्त संरचना (उदाहरण के लिए, एक मानक या एक आंतरिक आंतरिक गुणन) सम्मिलित है, तो मापांकों का प्रत्यक्ष योग प्रायः इस अतिरिक्त संरचना को ले जाने के लिए भी बनाया जा सकता है। इस स्थिति में, हम अतिरिक्त संरचना वाले सभी वस्तुओं के उपयुक्त [[श्रेणी (श्रेणी सिद्धांत)|श्रेणी]] में सह-उत्पाद प्राप्त करते हैं। बानाख समष्टि और हिल्बर्ट समष्टि के दो प्रमुख उदाहरण मिलते हैं।
-कुछ शास्त्रीय ग्रंथों में, किसी क्षेत्र पर बीजगणित का प्रत्यक्ष योग वाक्यांश भी [[बीजगणितीय संरचना]] को दर्शाने के लिए पेश किया गया है जिसे वर्तमान में आमतौर पर बीजगणित का प्रत्यक्ष उत्पाद कहा जाता है; अर्थात्, [[घटकवार संचालन]] के साथ [[अंतर्निहित सेट]] का कार्टेशियन उत्पाद। हालाँकि, यह निर्माण बीजगणित की श्रेणी में एक सहउत्पाद प्रदान नहीं करता है, बल्कि एक प्रत्यक्ष उत्पाद प्रदान करता है (नीचे नोट देखें और प्रत्यक्ष योग#छल्लों का प्रत्यक्ष योग पर टिप्पणी देखें)।
+कुछ शास्त्रीय ग्रंथों में, किसी क्षेत्र पर बीजगणित का प्रत्यक्ष योग वाक्यांश भी [[बीजगणितीय संरचना]] को दर्शाने के लिए प्रस्तुत किया गया है जिसे वर्तमान में सामान्यतः बीजगणित का प्रत्यक्ष गुणन कहा जाता है; अर्थात्, [[घटकवार संचालन]] के साथ [[अंतर्निहित सेट|अंतर्निहित समुच्चय]] का कार्तीय गुणन हैं। हालाँकि, यह निर्माण बीजगणित की श्रेणी में एक सह-उत्पाद प्रदान नहीं करता है, बल्कि एक प्रत्यक्ष गुणन प्रदान करता है (नीचे टिप्पणी देखें और वलयों के प्रत्यक्ष योग पर टिप्पणी देखें)।
-===बीजगणित का सीधा योग===
+===बीजगणित का प्रत्यक्ष योग===
-किसी क्षेत्र पर बीजगणित का सीधा योग <math>X</math> और <math>Y</math> उत्पाद के साथ सदिश स्थानों के रूप में सीधा योग है
+बीजगणित का प्रत्यक्ष योग <math>X</math> और <math>Y</math> गुणन के साथ सदिश समष्टियों के रूप में प्रत्यक्ष योग हैː
 :<math>(x_1 + y_1) (x_2 + y_2) = (x_1 x_2 + y_1 y_2).</math>
 इन शास्त्रीय उदाहरणों पर विचार करें:
-:<math>\mathbf{R} \oplus \mathbf{R}</math> [[विभाजित-जटिल संख्या]]ओं के लिए रिंग समरूपता है, जिसका उपयोग [[अंतराल विश्लेषण]] में भी किया जाता है।
+:<math>\mathbf{R} \oplus \mathbf{R}</math> [[विभाजित-जटिल संख्या|विभाजित-जटिल संख्याओं]] के लिए वलय समरूपता है, जिसका उपयोग [[अंतराल विश्लेषण]] में भी किया जाता है।
-:<math>\mathbf{C} \oplus \mathbf{C}</math> 1848 में [[जेम्स कॉकल (वकील)]] द्वारा प्रस्तुत [[टेसरीन]] का बीजगणित है।
+:<math>\mathbf{C} \oplus \mathbf{C}</math> 1848 में [[जेम्स कॉकल (वकील)|जेम्स कॉकल]] द्वारा प्रस्तुत [[टेसरीन]] का बीजगणित है।
-:<math>\mathbf{H} \oplus \mathbf{H},</math> जिसे [[स्प्लिट-बाइक्वाटर्नियन]]्स कहा जाता है, 1873 में [[विलियम किंग्डन क्लिफोर्ड]] द्वारा पेश किया गया था।
+:<math>\mathbf{H} \oplus \mathbf{H},</math> जिसे [[स्प्लिट-बाइक्वाटर्नियन|विभाजित]][[स्प्लिट-बाइक्वाटर्नियन|-द्विभाजन]] कहा जाता है, 1873 में [[विलियम किंग्डन क्लिफोर्ड]] द्वारा प्रस्तुत किया गया था।
-[[जोसेफ वेडरबर्न]] ने [[हाइपरकॉम्प्लेक्स संख्या]]ओं के अपने वर्गीकरण में बीजगणित के प्रत्यक्ष योग की अवधारणा का उपयोग किया। मैट्रिसेस पर उनका व्याख्यान (1934), पृष्ठ 151 देखें।
+[[जोसेफ वेडरबर्न]] ने [[हाइपरकॉम्प्लेक्स संख्या|अतिमिश्र संख्याओं]] के अपने वर्गीकरण में बीजगणित के प्रत्यक्ष योग की अवधारणा का उपयोग किया। उनके लेक्चर्स ऑन मैट्रिसेस (1934), पृष्ठ 151 देखें। वेडरबर्न प्रत्यक्ष योग और बीजगणित के प्रत्यक्ष गुणन के मध्य अंतर को स्पष्ट करता है: प्रत्यक्ष योग के लिए अदिश का क्षेत्र दोनों भागों: <math>\lambda (x \oplus y) = \lambda x \oplus \lambda y</math> पर संयुक्त रूप से कार्य करता है जबकि प्रत्यक्ष गुणन के लिए एक अदिश कारक को भागों के साथ वैकल्पिक रूप से एकत्र किया जा सकता है, परन्तु दोनों: <math>\lambda (x,y) = (\lambda x, y) = (x, \lambda y) \!</math>  को नहीं। क्लिफ़ोर्ड बीजगणित और शास्त्रीय समूहों (1995) के अपने विश्लेषण में अदिश वलयों के रूप में, इयान आर. पोर्टियस उपरोक्त तीन प्रत्यक्ष योगों, <math>^2 R,\ ^2 C,\ ^2 H,</math> को दर्शाते हुए उनका उपयोग करते हैं।
-वेडरबर्न प्रत्यक्ष योग और बीजगणित के प्रत्यक्ष उत्पाद के बीच अंतर को स्पष्ट करता है: प्रत्यक्ष योग के लिए अदिश का क्षेत्र दोनों भागों पर संयुक्त रूप से कार्य करता है: <math>\lambda (x \oplus y) = \lambda x \oplus \lambda y</math> जबकि प्रत्यक्ष उत्पाद के लिए एक अदिश कारक को भागों के साथ वैकल्पिक रूप से एकत्र किया जा सकता है, लेकिन दोनों को नहीं: <math>\lambda (x,y) = (\lambda x, y) = (x, \lambda y). \!</math>
-इयान आर. पोर्टियस उपरोक्त तीन प्रत्यक्ष योगों को दर्शाते हुए उनका उपयोग करते हैं <math>^2 R,\ ^2 C,\ ^2 H,</math> क्लिफ़ोर्ड बीजगणित और शास्त्रीय समूह (1995) के अपने विश्लेषण में अदिश छल्लों के रूप में।
-ऊपर वर्णित निर्माण, साथ ही वेडरबर्न द्वारा शब्दों का उपयोग {{em|direct sum}} और {{em|direct product}} श्रेणी सिद्धांत से भिन्न परंपरा का पालन करें। स्पष्ट शब्दों में, वेडरबर्न का {{em|direct sum}} एक [[उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत)]] है, जबकि वेडरबर्न का {{em|direct product}} एक सहउत्पाद|सहउत्पाद (या श्रेणीबद्ध योग) है, जो (क्रमविनिमेय बीजगणित के लिए) वास्तव में बीजगणित के टेंसर उत्पाद से मेल खाता है।
+ऊपर वर्णित निर्माण, साथ ही वेडरबर्न द्वारा प्रत्यक्ष योग और प्रत्यक्ष गुणन शब्दों का उपयोग श्रेणी सिद्धांत की तुलना में एक भिन्न परंपरा का पालन करता है। श्रेणीबद्ध शब्दों में, वेडरबर्न का प्रत्यक्ष योग एक श्रेणीबद्ध [[उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत)|गुणनफल]] है, जबकि वेडरबर्न का प्रत्यक्ष गुणनफल एक सह-गुणनफल (या श्रेणीबद्ध योग) है, जो (क्रमविनिमेय बीजगणित के लिए) वास्तव में बीजगणित के प्रदिश गुणन से मेल खाता है।
-=== बनच रिक्त स्थान का प्रत्यक्ष योग ===
+=== बानाख समष्टि का प्रत्यक्ष योग ===
 {{anchor|Banachspaces}}
-दो बानाच स्थानों का सीधा योग <math>X</math> और <math>Y</math> का सीधा योग है <math>X</math> और <math>Y</math> मानक के साथ सदिश स्थान के रूप में माना जाता है <math>\|(x, y)\| = \|x\|_X + \|y\|_Y</math> सभी के लिए <math>x \in X</math> और <math>y \in Y.</math>
+दो बानाख समष्टियों <math>X</math> और <math>Y</math> का प्रत्यक्ष योग है और सभी <math>x \in X</math> और <math>y \in Y</math> के लिए, <math>X</math> और <math>Y</math> मानकों के साथ सदिश समष्टि <math>\|(x, y)\| = \|x\|_X + \|y\|_Y</math> के रूप में माना जाता है।
-आम तौर पर, अगर <math>X_i</math> बानाच स्थानों का एक संग्रह है, जहां <math>i</math> [[सूचकांक सेट]] को पार करता है <math>I,</math> फिर सीधा योग <math>\bigoplus_{i \in I} X_i</math> एक मॉड्यूल है जिसमें सभी फ़ंक्शन शामिल हैं <math>x</math> [[किसी फ़ंक्शन का डोमेन]] <math>I</math> ऐसा है कि <math>x(i) \in X_i</math> सभी के लिए <math>i \in I</math> और
-<math display=block>\sum_{i \in I} \|x(i)\|_{X_i} < \infty.</math>
+सामान्यतः, यदि <math>X_i</math> बानाख समष्टियों का एक संग्रह है, जहां <math>i</math> [[सूचकांक सेट|सूचकांक समुच्चय]] <math>I</math> का पता लगाता है तब प्रत्यक्ष योग <math>\bigoplus_{i \in I} X_i</math> एक मापांक है जिसमें सभी <math>i \in I</math> के लिए और <math>I</math> पर, जैसे कि <math>x(i) \in X_i</math>, सभी फलनों को <math>x</math> पर परिभाषित किया गया है।<math display="block">\sum_{i \in I} \|x(i)\|_{X_i} < \infty.</math>
-मानदंड उपरोक्त योग द्वारा दिया गया है। इस मानदंड के साथ सीधा योग फिर से एक बानाच स्थान है।
+मानदंड उपरोक्त योग द्वारा दिया गया है। इस मानदंड के साथ प्रत्यक्ष योग पुनः एक बानाख समष्टि है।
+उदाहरण के लिए, यदि हम सूचकांक समुच्चय <math>I = \N</math> और <math>X_i = \R</math> लेते हैं तब प्रत्यक्ष योग <math>\bigoplus_{i \in \N} X_i</math> समष्टि <math>\ell_1</math>है, जिसमें सभी अनुक्रम <math>\left(a_i\right)</math> और वास्तविक मानदंडों <math display="inline">\|a\| = \sum_i \left|a_i\right|</math> के साथ सम्मिलित हैं।
-उदाहरण के लिए, यदि हम इंडेक्स सेट लेते हैं <math>I = \N</math> और <math>X_i = \R,</math> फिर सीधा योग <math>\bigoplus_{i \in \N} X_i</math> स्थान है <math>\ell_1,</math> जिसमें सभी अनुक्रम शामिल हैं <math>\left(a_i\right)</math> परिमित मानदंड के साथ वास्तविकताओं का <math display="inline">\|a\| = \sum_i \left|a_i\right|.</math>
+एक संवृत्त उपसमष्टि <math>A</math> एक बानाख समष्टि का <math>X</math>, यदि कोई अन्य संवृत्त उप-समष्टि है तो पूरक उप-समष्टि <math>B</math> का <math>X</math> है जैसे कि <math>X</math> आंतरिक प्रत्यक्ष योग <math>A \oplus B</math> के बराबर है। ध्यान दें कि प्रत्येक संवृत्त उपसमष्टि पूरक नहीं है; जैसे <math>c_0</math> में पूरक <math>\ell^\infty</math> नहीं है।
-एक बंद उपस्थान <math>A</math> एक बानाच स्थान का <math>X</math> यदि कोई अन्य बंद उप-स्थान है तो पूरक उप-स्थान है <math>B</math> का <math>X</math> ऐसा है कि <math>X</math> आंतरिक प्रत्यक्ष योग के बराबर है <math>A \oplus B.</math> ध्यान दें कि प्रत्येक बंद उपस्थान पूरक नहीं है; जैसे सी0 स्पेस|<math>c_0</math>में पूरक नहीं है <math>\ell^\infty.</math>
-===द्विरेखीय रूपों के साथ मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग===
-होने देना <math>\left\{ \left(M_i, b_i\right) : i \in I \right\}</math> द्वारा अनुक्रमित एक अनुक्रमित परिवार बनें <math>I</math> [[द्विरेखीय रूप]]ों से सुसज्जित मॉड्यूल की। ऑर्थोगोनल प्रत्यक्ष योग द्विरेखीय रूप के साथ मॉड्यूल प्रत्यक्ष योग है <math>B</math> द्वारा परिभाषित<ref>{{cite book|first1=J.|last1=Milnor|author1-link=John Milnor|first2=D.|last2=Husemoller|title=सममित द्विरेखीय रूप|series=[[Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete]]|volume=73|publisher=[[Springer-Verlag]]|year=1973|isbn=3-540-06009-X|zbl=0292.10016|pages=4–5}}</ref>
+===द्विरेखीय रूपों के साथ मापांकों का प्रत्यक्ष योग===
+मान लीजिए कि <math>\left\{ \left(M_i, b_i\right) : i \in I \right\}</math> द्वारा अनुक्रमित एक अनुक्रमित वर्ग है। <math>I</math> का मापांक [[द्विरेखीय रूप|द्विरेखीय रूपों]] से सुसज्जित है। <math>B</math> द्वारा परिभाषित लंबकोणीय प्रत्यक्ष योग द्विरेखीय रूपों के साथ मापांक प्रत्यक्ष योग है।<ref>{{cite book|first1=J.|last1=Milnor|author1-link=John Milnor|first2=D.|last2=Husemoller|title=सममित द्विरेखीय रूप|series=[[Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete]]|volume=73|publisher=[[Springer-Verlag]]|year=1973|isbn=3-540-06009-X|zbl=0292.10016|pages=4–5}}</ref>
 <math display=block>B\left({\left({x_i}\right),\left({y_i}\right)}\right) = \sum_{i\in I} b_i\left({x_i,y_i}\right)</math>
-जिसमें अनंत सूचकांक सेटों के लिए भी योग समझ में आता है <math>I</math> क्योंकि केवल सीमित रूप से बहुत से पद गैर-शून्य हैं।
+जिसमें अनंत सूचकांक समुच्चयों <math>I</math> के लिए भी योग समझ में आता है, क्योंकि केवल सीमित रूप से बहुत से पद गैर-शून्य हैं।
-===<span id= हिल्बर्टस्पेस ></span> हिल्बर्ट स्पेस का सीधा योग===
+===हिल्बर्ट समष्टि का प्रत्यक्ष योग===
-{{further|Positive-definite kernel#Connection with reproducing kernel Hilbert spaces and feature maps}}
+{{further|धनात्मक-निश्चित कर्नेल#कर्नेल हिल्बर्ट समष्टि और रूपक मानचित्रों को पुन: प्रस्तुत करने के साथ संयोजन}}
-यदि बहुत सारे हिल्बर्ट स्थान हैं <math>H_1, \ldots, H_n</math> दिए गए हैं, कोई उनके ऑर्थोगोनल प्रत्यक्ष योग को उपरोक्त के रूप में बना सकता है (क्योंकि वे वेक्टर स्थान हैं), आंतरिक उत्पाद को इस प्रकार परिभाषित करते हैं:
+यदि बहुत सारे हिल्बर्ट समष्टि <math>H_1, \ldots, H_n</math> दिए गए हैं, कोई उनके लंबकोणीय प्रत्यक्ष योग को उपरोक्त के रूप में बना सकता है (क्योंकि वे सदिश समष्टि हैं), आंतरिक गुणनफल को इस प्रकार परिभाषित करते हैं:
 <math display=block>\left\langle \left(x_1, \ldots, x_n\right), \left(y_1, \ldots, y_n\right) \right\rangle = \langle x_1, y_1 \rangle + \cdots + \langle x_n, y_n \rangle.</math>
-परिणामी प्रत्यक्ष योग एक हिल्बर्ट स्पेस है जिसमें दिए गए हिल्बर्ट स्पेस को पारस्परिक रूप से [[ ओर्थोगोनल ]] उप-स्पेस के रूप में शामिल किया गया है।
+परिणामी प्रत्यक्ष योग एक हिल्बर्ट समष्टि है जिसमें दिए गए हिल्बर्ट समष्टि को पारस्परिक रूप से [[ ओर्थोगोनल |लंबकोणीय]] उप-समष्टियों के रूप में सम्मिलित किया गया है।
-यदि अपरिमित रूप से अनेक हिल्बर्ट स्थान हों <math>H_i</math> के लिए <math>i \in I</math> दिए गए हैं, हम वही निर्माण कार्य कर सकते हैं; ध्यान दें कि आंतरिक उत्पाद को परिभाषित करते समय, केवल सीमित रूप से कई सारांश गैर-शून्य होंगे। हालाँकि, परिणाम केवल एक [[आंतरिक उत्पाद स्थान]] होगा और यह आवश्यक रूप से बनच स्थान नहीं होगा। फिर हम हिल्बर्ट रिक्त स्थान के प्रत्यक्ष योग को परिभाषित करते हैं <math>H_i</math> इस आंतरिक उत्पाद स्थान का पूरा होना।
+यदि अपरिमित रूप से अनेक हिल्बर्ट समष्टि <math>H_i</math>के लिए <math>i \in I</math> दिए गए हैं, हम वही निर्माण कार्य कर सकते हैं; ध्यान दें कि आंतरिक गुणनफल को परिभाषित करते समय, केवल सीमित रूप से कई सारांश गैर-शून्य होंगे। हालाँकि, परिणाम केवल एक [[आंतरिक उत्पाद स्थान|आंतरिक गुणन समष्टि]] होगा और यह आवश्यक रूप से बानाख समष्टि नहीं होगा। फिर हम इस आंतरिक गुणन समष्टि को पूर्ण करने के लिए, हिल्बर्ट समष्टि के प्रत्यक्ष योग <math>H_i</math> को परिभाषित करते हैं।
-वैकल्पिक रूप से और समकक्ष रूप से, कोई हिल्बर्ट रिक्त स्थान के प्रत्यक्ष योग को परिभाषित कर सकता है <math>H_i</math> डोमेन के साथ सभी कार्यों के स्थान के रूप में α <math>I,</math> ऐसा है कि <math>\alpha(i)</math> का एक तत्व है <math>H_i</math> हरएक के लिए <math>i \in I</math> और:
+वैकल्पिक रूप से और समकक्ष रूप से, कोई हिल्बर्ट समष्टि <math>H_i</math> के प्रत्यक्ष योग को परिभाषित कर सकता है। कार्यक्षेत्र <math>I</math> के साथ सभी फलनों α के समष्टि के रूप में, ऐसा है कि <math>\alpha(i)</math> का एक तत्व है प्रत्येक <math>H_i</math> के लिए <math>i \in I</math> है और:
 <math display=block>\sum_i \left\|\alpha_{(i)}\right\|^2 < \infty.</math>
-ऐसे दो फ़ंक्शन α और β के आंतरिक उत्पाद को तब परिभाषित किया गया है:
+ऐसे दो फलन α और β के आंतरिक गुणनफल को तब परिभाषित किया गया है:
 <math display=block>\langle\alpha,\beta\rangle=\sum_i \langle \alpha_i,\beta_i \rangle.</math>
-यह स्थान पूरा हो गया है और हमें हिल्बर्ट स्थान मिलता है।
+यह समष्टि पूर्ण हो गयी है और हमें हिल्बर्ट समष्टि प्राप्त होती है।
-उदाहरण के लिए, यदि हम इंडेक्स सेट लेते हैं <math>I = \N</math> और <math>X_i = \R,</math> फिर सीधा योग <math>\oplus_{i \in \N} X_i</math> स्थान है <math>\ell_2,</math> जिसमें सभी अनुक्रम शामिल हैं <math>\left(a_i\right)</math> परिमित मानदंड के साथ वास्तविकताओं का <math display="inline">\|a\| = \sqrt{\sum_i \left\|a_i\right\|^2}.</math> इसकी तुलना बानाच स्पेस के उदाहरण से करने पर, हम देखते हैं कि बानाच स्पेस डायरेक्ट योग और हिल्बर्ट स्पेस डायरेक्ट योग आवश्यक रूप से समान नहीं हैं। लेकिन अगर केवल सीमित रूप से कई सारांश हैं, तो बानाच अंतरिक्ष प्रत्यक्ष योग हिल्बर्ट अंतरिक्ष प्रत्यक्ष योग के समरूपी है, हालांकि मानक अलग होगा।
+उदाहरण के लिए, यदि हम सूचकांक समुच्चय <math>I = \N</math> और <math>X_i = \R</math> लेते हैं फिर प्रत्यक्ष योग <math>\oplus_{i \in \N} X_i</math> समष्टि <math>\ell_2</math> है जिसमें सभी अनुक्रम <math>\left(a_i\right)</math> और वास्तविक मानदंडों <math display="inline">\|a\| = \sqrt{\sum_i \left\|a_i\right\|^2}</math>  के साथ सम्मिलित हैं। इसकी तुलना बानाख समष्टि के उदाहरण से करने पर, हम देखते हैं कि बानाख समष्टि प्रत्यक्ष योग और हिल्बर्ट समष्टि प्रत्यक्ष योग आवश्यक रूप से समान नहीं हैं। परन्तु यदि केवल सीमित रूप से कई सारांश हैं, तो बानाख समष्टि प्रत्यक्ष योग हिल्बर्ट समष्टि प्रत्यक्ष योग के समरूपी है, हालांकि मानक भिन्न होगा।
-प्रत्येक हिल्बर्ट स्थान आधार क्षेत्र की पर्याप्त रूप से कई प्रतियों के प्रत्यक्ष योग के बराबर है, जो कि या तो है <math>\R \text{ or } \Complex.</math> यह इस दावे के समतुल्य है कि प्रत्येक हिल्बर्ट स्थान का एक लंबात्मक आधार होता है। अधिक सामान्यतः, हिल्बर्ट स्पेस का प्रत्येक बंद उप-स्थान पूरक उप-स्थान है क्योंकि यह एक [[ऑर्थोगोनल पूरक]] को स्वीकार करता है। इसके विपरीत, लिंडेनस्ट्रॉस-तज़ाफरीरी प्रमेय का दावा है कि यदि बानाच स्थान के प्रत्येक बंद उप-स्थान को पूरक किया जाता है, तो बानाच स्थान हिल्बर्ट स्थान के लिए आइसोमोर्फिक (टोपोलॉजिकल रूप से) है।
+प्रत्येक हिल्बर्ट समष्टि आधार क्षेत्र की पर्याप्त रूप से कई प्रतियों के प्रत्यक्ष योग के बराबर है, जो कि या तो <math>\R \text{ or } \Complex</math> है। यह इस अभिकथन के समतुल्य है कि प्रत्येक हिल्बर्ट समष्टि का एक लंबात्मक आधार होता है। अधिक सामान्यतः, हिल्बर्ट समष्टि का प्रत्येक संवृत्त उप-समष्टि पूरक उप-समष्टि है क्योंकि यह एक [[ऑर्थोगोनल पूरक|लंबकोणीय पूरक]] को स्वीकार करता है। इसके विपरीत, लिंडेनस्ट्रॉस-तज़ाफरीरी प्रमेय का अभिकथन है कि यदि बानाख समष्टि के प्रत्येक संवृत्त उप-समष्टि को पूरक किया जाता है, तो बानाख समष्टि हिल्बर्ट समष्टि के लिए समरूपी है।
 == यह भी देखें ==
-* {{annotated link|Biproduct}}
+* {{annotated link|द्विउत्पाद}}
-* {{annotated link|Indecomposable module}}
+* {{annotated link|अविभाज्य मापांक}}
-* {{annotated link|Jordan–Hölder theorem}}
+* {{annotated link|जॉर्डन-होल्डर प्रमेय}}
-* {{annotated link|Krull–Schmidt theorem}}
+* {{annotated link|क्रुल-श्मिट प्रमेय}}
-* {{annotated link|Split exact sequence}}
+* {{annotated link|सटीक क्रम विभाजन}}
 == संदर्भ ==
@@ Line 166: / Line 167: @@
 * {{citation|last1=Mac Lane|first1=S.|author-link1=Saunders Mac Lane|author-link2=Garrett Birkhoff|last2=Birkhoff|first2=G.|title=Algebra|publisher=AMS Chelsea|year=1999|isbn=0-8218-1646-2}}.
-{{DEFAULTSORT:Direct Sum Of Modules}}[[Category: लीनियर अलजेब्रा]] [[Category: मॉड्यूल सिद्धांत]]
+{{DEFAULTSORT:Direct Sum Of Modules}}
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page|Direct Sum Of Modules]]
-[[Category:Created On 08/07/2023]]
+[[Category:Created On 08/07/2023|Direct Sum Of Modules]]
+[[Category:Lua-based templates|Direct Sum Of Modules]]
+[[Category:Machine Translated Page|Direct Sum Of Modules]]
+[[Category:Pages with script errors|Direct Sum Of Modules]]
+[[Category:Templates Vigyan Ready|Direct Sum Of Modules]]
+[[Category:Templates that add a tracking category|Direct Sum Of Modules]]
+[[Category:Templates that generate short descriptions|Direct Sum Of Modules]]
+[[Category:Templates using TemplateData|Direct Sum Of Modules]]
+[[Category:मॉड्यूल सिद्धांत|Direct Sum Of Modules]]
+[[Category:लीनियर अलजेब्रा|Direct Sum Of Modules]]

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सदिश समष्टियों और अबेलियन समूहों के लिए निर्माण

दो सदिश समष्टियों का निर्माण

दो अबेलियन समूहों के लिए निर्माण

मापांक के एक यादृच्छिक वर्ग के लिए निर्माण

गुणधर्म

आंतरिक प्रत्यक्ष योग

सार्वभौमिक गुणधर्म

ग्रोथेंडिक समूह

अतिरिक्त संरचना के साथ मापांकों का प्रत्यक्ष योग

बीजगणित का प्रत्यक्ष योग

बानाख समष्टि का प्रत्यक्ष योग

द्विरेखीय रूपों के साथ मापांकों का प्रत्यक्ष योग

हिल्बर्ट समष्टि का प्रत्यक्ष योग

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गुणधर्म

आंतरिक प्रत्यक्ष योग

सार्वभौमिक गुणधर्म

ग्रोथेंडिक समूह

अतिरिक्त संरचना के साथ मापांकों का प्रत्यक्ष योग

बीजगणित का प्रत्यक्ष योग

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