अतिमिश्र विश्लेषण: Difference between revisions

Latest revision as of 15:22, 8 November 2023

गणित में, अतिमिश्र विश्लेषण फलन (गणित) के अध्ययन के लिए वास्तविक विश्लेषण और जटिल विश्लेषण का मूल विस्तार है जहां एक फलन का तर्क एक अतिमिश्र संख्या है। पहला उदाहरण एक चतुष्कोणीय चर का कार्य है, जहां तर्क एक चतुर्धातुक है (इस स्तिथि में, अतिमिश्र विश्लेषण के उप-क्षेत्र को चतुष्कोणीय विश्लेषण कहा जाता है)। एक दूसरे उदाहरण में प्रेरक चर के कार्य सम्मिलित हैं जहाँ तर्क विभाजित-जटिल संख्याएँ हैं।

गणितीय भौतिकी में, क्लिफोर्ड बीजगणित नामक अतिमिश्र प्रणाली हैं। क्लिफर्ड बीजगणित से तर्कों के साथ कार्यों के अध्ययन को क्लिफर्ड विश्लेषण कहा जाता है।

एक आव्यूह (गणित) को अतिमिश्र संख्या माना जा सकता है। उदाहरण के लिए, 2 × 2 वास्तविक संख्या आव्यूह के कार्यों के अध्ययन से पता चलता है कि अतिमिश्र संख्याओं के स्थल (गणित) का स्थलीय स्थान फलन सिद्धांत को निर्धारित करता है। आव्यूह का वर्गमूल, आव्यूह घातीय और आव्यूह का लघुगणक जैसे कार्य अतिमिश्र विश्लेषण के मूल उदाहरण हैं।^[1] विकर्णीय आव्यूह का कार्य सिद्धांत विशेष रूप से पारदर्शी है क्योंकि उनके पास एजंडेकोम्पोसिशन हैं। ^[2] मान लीजिये $\textstyle T=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}E_{i}$ है जहां ई_i प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित) हैं। फिर किसी बहुपद के लिए $f$ , $f(T)=\sum _{i=1}^{N}f(\lambda _{i})E_{i}.$

अतिमिश्र संख्याओं की एक प्रणाली के लिए आधुनिक शब्दावली वास्तविक संख्याओं पर एक क्षेत्र पर एक बीजगणित है, और अनुप्रयोगों में उपयोग किए जाने वाले बीजगणित प्रायः बानाच बीजगणित होते हैं क्योंकि कॉची अनुक्रमों को अभिसरण अनुक्रम के रूप में लिया जा सकता है। तब कार्य सिद्धांत अनुक्रम और श्रृंखला (गणित) द्वारा समृद्ध होता है। इस संदर्भ में जटिल संख्या चर के पूर्णसममितिक फलन का विस्तार पूर्णसममितिक कार्यात्मक कलन के रूप में विकसित किया गया है। बनच बीजगणित पर अतिमिश्र विश्लेषण को कार्यात्मक विश्लेषण कहा जाता है।

यह भी देखें

जॉन बैपटिस्ट रिज़ा

संदर्भ

↑ Felix Gantmacher (1959) The Theory of Matrices, two volumes, translator: Kurt Hirsch, Chelsea Publishing, chapter 5: functions of matrices, chapter 8: roots and logarithms of matrices
↑ Shaw, Ronald (1982) Linear Algebra and Group Representations, v. 1, § 2.3, Diagonalizable linear operators, pages 78–81, Academic Press ISBN 0-12-639201-3.

स्रोत

डेनियल एल्पे (संपा.) (2006) वेवलेट्स, मल्टीस्केल प्रणाली्स और अतिमिश्र एनालिसिस, स्प्रिंगर, ISBN 9783764375881 .
एनरिक रामिरेज़ डी अरेलनॉन (1998) जटिल और अतिमिश्र विश्लेषण के लिए ऑपरेटर सिद्धांत, अमेरिकी गणितीय सोसायटी (दिसंबर 1994 में मेक्सिको सिटी में एक बैठक से सम्मेलन की कार्यवाही)।
जेए इमानुएलो (2015) स्प्लिट-कॉम्प्लेक्स, मल्टी-कॉम्प्लेक्स, और स्प्लिट-क्वाटरनियोनिक वेरिएबल्स और उनके संबंधित अनुरूप ज्यामिति के कार्यों का विश्लेषण, पीएच.डी. थीसिस, फ्लोरिडा स्टेट यूनिवर्सिटी
सोरिन डी. गल (2004) अतिमिश्र वेरिएबल्स के जियोमेट्रिक फंक्शन थ्योरी का परिचय, नोवा साइंस पब्लिशर्स, ISBN 1-59033-398-5.
आर. लविका और ए.जी. ओ'फारेल और आई. शॉर्ट (2007) रिवर्सिबल मैप्स इन द ग्रुप ऑफ क्वाटरनियोनिक मोबियस ट्रांसफॉर्मेशन, कैम्ब्रिज फिलोसोफिकल सोसायटी की गणितीय कार्यवाही 143:57-69।
मैकेरल दर्ज करें और फ्रांसिस्कस सोमेन (संपा.) (2011) अतिमिश्र विश्लेषण और अनुप्रयोग, बिरखौसर गणित।
आइरीन सबदिनी और माइकल वी. शापिरो और एफ. सोमेन (संपादक) (2009) अतिमिश्र विश्लेषण, बिरखौसर ISBN 978-3-7643-9892-7.
सबादिनी, सोमेन, स्ट्रुप्पा (संपा.) (2012) एडवांसेज़ इन अतिमिश्र एनालिसिस, स्प्रिंगर।

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[1] Felix Gantmacher (1959) The Theory of Matrices, two volumes, translator: Kurt Hirsch, Chelsea Publishing, chapter 5: functions of matrices, chapter 8: roots and logarithms of matrices

[2] Shaw, Ronald (1982) Linear Algebra and Group Representations, v. 1, § 2.3, Diagonalizable linear operators, pages 78–81, Academic Press ISBN 0-12-639201-3.

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+गणित में, अतिमिश्र विश्लेषण फलन (गणित) के अध्ययन के लिए [[वास्तविक विश्लेषण]] और [[जटिल विश्लेषण]] का मूल विस्तार है जहां एक फलन का तर्क एक [[हाइपरकॉम्प्लेक्स संख्या|अतिमिश्र संख्या]] है। पहला उदाहरण एक चतुष्कोणीय चर का कार्य है, जहां तर्क एक चतुर्धातुक है (इस स्तिथि में, अतिमिश्र विश्लेषण के उप-क्षेत्र को [[चतुष्कोणीय विश्लेषण]] कहा जाता है)। एक दूसरे उदाहरण में  [[मोटर चर|प्रेरक चर]] के कार्य सम्मिलित हैं जहाँ तर्क [[विभाजित-जटिल संख्या]]एँ हैं।
-गणित में, हाइपरकॉम्प्लेक्स विश्लेषण फ़ंक्शन (गणित) के अध्ययन के लिए [[वास्तविक विश्लेषण]] और [[जटिल विश्लेषण]] का मूल विस्तार है जहां एक फ़ंक्शन का तर्क एक [[हाइपरकॉम्प्लेक्स संख्या]] है। पहला उदाहरण एक चतुष्कोणीय चर का कार्य है, जहां तर्क एक चतुर्धातुक है (इस मामले में, हाइपरकॉम्प्लेक्स विश्लेषण के उप-क्षेत्र को [[चतुष्कोणीय विश्लेषण]] कहा जाता है)। एक दूसरे उदाहरण में एक [[मोटर चर]] के कार्य शामिल हैं जहाँ तर्क [[विभाजित-जटिल संख्या]]एँ हैं।
-[[गणितीय भौतिकी]] में, क्लिफोर्ड बीजगणित नामक हाइपरकॉम्प्लेक्स सिस्टम हैं। [[क्लिफर्ड बीजगणित]] से तर्कों के साथ कार्यों के अध्ययन को क्लिफर्ड विश्लेषण कहा जाता है।
+[[गणितीय भौतिकी]] में, क्लिफोर्ड बीजगणित नामक अतिमिश्र प्रणाली हैं। [[क्लिफर्ड बीजगणित]] से तर्कों के साथ कार्यों के अध्ययन को क्लिफर्ड विश्लेषण कहा जाता है।
-एक [[मैट्रिक्स (गणित)]] को हाइपरकॉम्प्लेक्स संख्या माना जा सकता है। उदाहरण के लिए, 2 × 2 [[वास्तविक संख्या]] मैट्रिक्स के कार्यों के अध्ययन से पता चलता है कि हाइपरकॉम्प्लेक्स संख्याओं के स्थान (गणित) का स्थलीय स्थान फ़ंक्शन सिद्धांत को निर्धारित करता है। मैट्रिक्स का वर्गमूल, [[ मैट्रिक्स घातीय ]] और मैट्रिक्स का लघुगणक जैसे कार्य हाइपरकॉम्प्लेक्स विश्लेषण के मूल उदाहरण हैं।<ref>[[Felix Gantmacher]] (1959) ''The Theory of Matrices'', two volumes, translator: [[Kurt Hirsch]], [[Chelsea Publishing]], chapter 5: functions of matrices, chapter 8: roots and logarithms of matrices</ref> विकर्णीय मेट्रिसेस का कार्य सिद्धांत विशेष रूप से पारदर्शी है क्योंकि उनके पास [[eigendecomposition]]s हैं।<ref>Shaw, Ronald (1982) ''Linear Algebra and Group Representations'', v. 1, § 2.3, Diagonalizable linear operators, pages 78–81, [[Academic Press]] {{ISBN|0-12-639201-3}}.</ref> कल्पना करना <math>\textstyle T = \sum _{i=1}^N \lambda_i E_i</math> जहां ई<sub>''i''</sub> [[प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित)]] हैं। फिर किसी [[बहुपद]] के लिए <math>f</math>, <math>f(T) = \sum_{i=1}^N  f(\lambda_i ) E_i.</math> हाइपरकॉम्प्लेक्स संख्याओं की एक प्रणाली के लिए आधुनिक शब्दावली वास्तविक संख्याओं पर एक क्षेत्र पर एक बीजगणित है, और अनुप्रयोगों में उपयोग किए जाने वाले बीजगणित अक्सर बानाच बीजगणित होते हैं क्योंकि कॉची [[अनुक्रम]]ों को [[अभिसरण अनुक्रम]] के रूप में लिया जा सकता है। तब कार्य सिद्धांत अनुक्रम और [[श्रृंखला (गणित)]] द्वारा समृद्ध होता है। इस संदर्भ में [[जटिल संख्या]] चर के [[होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन]] का विस्तार होलोमोर्फिक कार्यात्मक कलन के रूप में विकसित किया गया है। [[बनच बीजगणित]] पर हाइपरकॉम्प्लेक्स विश्लेषण को [[कार्यात्मक विश्लेषण]] कहा जाता है।
+एक [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह (गणित)]] को अतिमिश्र संख्या माना जा सकता है। उदाहरण के लिए, 2 × 2 [[वास्तविक संख्या]] आव्यूह के कार्यों के अध्ययन से पता चलता है कि अतिमिश्र संख्याओं के स्थल (गणित) का स्थलीय स्थान फलन सिद्धांत को निर्धारित करता है। आव्यूह का वर्गमूल, [[ मैट्रिक्स घातीय |आव्यूह घातीय]] और आव्यूह का लघुगणक जैसे कार्य अतिमिश्र विश्लेषण के मूल उदाहरण हैं।<ref>[[Felix Gantmacher]] (1959) ''The Theory of Matrices'', two volumes, translator: [[Kurt Hirsch]], [[Chelsea Publishing]], chapter 5: functions of matrices, chapter 8: roots and logarithms of matrices</ref> विकर्णीय आव्यूह का कार्य सिद्धांत विशेष रूप से पारदर्शी है क्योंकि उनके पास [[eigendecomposition|एजंडेकोम्पोसिशन]] हैं। <ref>Shaw, Ronald (1982) ''Linear Algebra and Group Representations'', v. 1, § 2.3, Diagonalizable linear operators, pages 78–81, [[Academic Press]] {{ISBN|0-12-639201-3}}.</ref> मान लीजिये <math>\textstyle T = \sum _{i=1}^N \lambda_i E_i</math> है जहां ई<sub>''i''</sub> [[प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित)]] हैं। फिर किसी [[बहुपद]] के लिए <math>f</math>, <math>f(T) = \sum_{i=1}^N  f(\lambda_i ) E_i.</math>
+अतिमिश्र संख्याओं की एक प्रणाली के लिए आधुनिक शब्दावली वास्तविक संख्याओं पर एक क्षेत्र पर एक बीजगणित है, और अनुप्रयोगों में उपयोग किए जाने वाले बीजगणित प्रायः बानाच बीजगणित होते हैं क्योंकि कॉची [[अनुक्रम]]ों को [[अभिसरण अनुक्रम]] के रूप में लिया जा सकता है। तब कार्य सिद्धांत अनुक्रम और [[श्रृंखला (गणित)]] द्वारा समृद्ध होता है। इस संदर्भ में [[जटिल संख्या]] चर के [[होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन|पूर्णसममितिक फलन]] का विस्तार पूर्णसममितिक कार्यात्मक कलन के रूप में विकसित किया गया है। [[बनच बीजगणित]] पर अतिमिश्र विश्लेषण को [[कार्यात्मक विश्लेषण]] कहा जाता है।
 == यह भी देखें ==
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 === स्रोत ===
-* डेनियल एल्पे (संपा.) (2006) वेवलेट्स, मल्टीस्केल सिस्टम्स और हाइपरकॉम्प्लेक्स एनालिसिस, स्प्रिंगर, {{ISBN|9783764375881}} .
+* डेनियल एल्पे (संपा.) (2006) वेवलेट्स, मल्टीस्केल प्रणाली्स और अतिमिश्र एनालिसिस, स्प्रिंगर, {{ISBN|9783764375881}} .
-* एनरिक रामिरेज़ डी अरेलनॉन (1998) जटिल और हाइपरकॉम्प्लेक्स विश्लेषण के लिए ऑपरेटर सिद्धांत, [[अमेरिकी गणितीय सोसायटी]] (दिसंबर 1994 में मेक्सिको सिटी में एक बैठक से सम्मेलन की कार्यवाही)।
+* एनरिक रामिरेज़ डी अरेलनॉन (1998) जटिल और अतिमिश्र विश्लेषण के लिए ऑपरेटर सिद्धांत, [[अमेरिकी गणितीय सोसायटी]] (दिसंबर 1994 में मेक्सिको सिटी में एक बैठक से सम्मेलन की कार्यवाही)।
 * जेए इमानुएलो (2015) [https://diginole.lib.fsu.edu/islandora/object/fsu%3A252949 स्प्लिट-कॉम्प्लेक्स, मल्टी-कॉम्प्लेक्स, और स्प्लिट-क्वाटरनियोनिक वेरिएबल्स और उनके संबंधित अनुरूप ज्यामिति के कार्यों का विश्लेषण], पीएच.डी. थीसिस, [[फ्लोरिडा स्टेट यूनिवर्सिटी]]
-* सोरिन डी. गल (2004) हाइपरकॉम्प्लेक्स वेरिएबल्स के जियोमेट्रिक फंक्शन थ्योरी का परिचय, नोवा साइंस पब्लिशर्स, {{ISBN|1-59033-398-5}}.
+* सोरिन डी. गल (2004) अतिमिश्र वेरिएबल्स के जियोमेट्रिक फंक्शन थ्योरी का परिचय, नोवा साइंस पब्लिशर्स, {{ISBN|1-59033-398-5}}.
 * आर. लविका और ए.जी. ओ'फारेल और आई. शॉर्ट (2007) रिवर्सिबल मैप्स इन द ग्रुप ऑफ क्वाटरनियोनिक मोबियस ट्रांसफॉर्मेशन, [[कैम्ब्रिज फिलोसोफिकल सोसायटी की गणितीय कार्यवाही]] 143:57-69।
-* [[मैकेरल दर्ज करें]] और फ्रांसिस्कस सोमेन (संपा.) (2011) हाइपरकॉम्प्लेक्स विश्लेषण और अनुप्रयोग, बिरखौसर गणित।
+* [[मैकेरल दर्ज करें]] और फ्रांसिस्कस सोमेन (संपा.) (2011) अतिमिश्र विश्लेषण और अनुप्रयोग, बिरखौसर गणित।
-* आइरीन सबदिनी और माइकल वी. शापिरो और एफ. सोमेन (संपादक) (2009) हाइपरकॉम्प्लेक्स विश्लेषण, बिरखौसर {{ISBN|978-3-7643-9892-7}}.
+* आइरीन सबदिनी और माइकल वी. शापिरो और एफ. सोमेन (संपादक) (2009) अतिमिश्र विश्लेषण, बिरखौसर {{ISBN|978-3-7643-9892-7}}.
-* सबादिनी, सोमेन, स्ट्रुप्पा (संपा.) (2012) एडवांसेज़ इन हाइपरकॉम्प्लेक्स एनालिसिस, स्प्रिंगर।
+* सबादिनी, सोमेन, स्ट्रुप्पा (संपा.) (2012) एडवांसेज़ इन अतिमिश्र एनालिसिस, स्प्रिंगर।
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