अवस्था संक्रमण आव्यूह

नियंत्रण सिद्धांत में, अवस्था संक्रमण आव्यूह एक आव्यूह है जिसका गुणन फल अवस्था वेक्टर $x$ प्रारंभिक समय में $t_{0}$ देता है $x$ बाद के समय में $t$ के साथ होता है। अवस्था-संक्रमण आव्यूह का उपयोग रैखिक गतिशील प्रणालियों का सामान्य समाधान प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है।

रैखिक प्रणाली समाधान

अवस्था-संक्रमण आव्यूह का उपयोग निम्नलिखित रूप में एक रैखिक प्रणाली के सामान्य अवस्था-संक्रमण प्रतिनिधित्व का समाधान खोजने के लिए किया जाता है

${\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {B} (t)\mathbf {u} (t),\;\mathbf {x} (t_{0})=\mathbf {x} _{0}$,

जहाँ $\mathbf {x} (t)$ प्रणाली की स्थितियाँ हैं, $\mathbf {u} (t)$ निविष्ट संकेत है, $\mathbf {A} (t)$ और $\mathbf {B} (t)$ आव्यूह फलन हैं, और $\mathbf {x} _{0}$ पर $t_{0}$ प्रारंभिक स्थिति है। $\mathbf {\Phi } (t,\tau )$ अवस्था-संक्रमण आव्यूह का उपयोग करना , समाधान इस प्रकार दिया गया है:

$\mathbf {x} (t)=\mathbf {\Phi } (t,t_{0})\mathbf {x} (t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {\Phi } (t,\tau )\mathbf {B} (\tau )\mathbf {u} (\tau )d\tau$

पहले शब्द को शून्य-निविष्ट प्रतिक्रिया के रूप में जाना जाता है और यह दर्शाता है कि किसी भी निविष्ट के अभाव में प्रणाली की स्थिति कैसे विकसित होगी। दूसरे शब्द को शून्य-स्थिति प्रतिक्रिया के रूप में जाना जाता है और यह परिभाषित करता है कि निविष्ट प्रणाली को कैसे प्रभावित करते हैं।

पीनो-बेकर श्रृंखला

सबसे सामान्य संक्रमण आव्यूह पीनो-बेकर श्रृंखला द्वारा दिया गया है

$\mathbf {\Phi } (t,\tau )=\mathbf {I} +\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\,d\sigma _{1}+\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\int _{\tau }^{\sigma _{1}}\mathbf {A} (\sigma _{2})\,d\sigma _{2}\,d\sigma _{1}+\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\int _{\tau }^{\sigma _{1}}\mathbf {A} (\sigma _{2})\int _{\tau }^{\sigma _{2}}\mathbf {A} (\sigma _{3})\,d\sigma _{3}\,d\sigma _{2}\,d\sigma _{1}+...$

जहाँ $\mathbf {I}$ पहचान आव्यूह है. यह आव्यूह समान रूप से और पूरी तरह से एक ऐसे समाधान में परिवर्तित होता है जो उपस्थित है और अद्वितीय है।

अन्य गुण

अवस्था संक्रमण आव्यूह $\mathbf {\Phi }$ निम्नलिखित संबंध को संतुष्ट करता है:

1. यह सतत है और इसके निरंतर व्युत्पन्न हैं।

2, यह कभी विलक्षण नहीं होता; वास्तव में $\mathbf {\Phi } ^{-1}(t,\tau )=\mathbf {\Phi } (\tau ,t)$ और $\mathbf {\Phi } ^{-1}(t,\tau )\mathbf {\Phi } (t,\tau )=I$, जहाँ $I$ पहचान आव्यूह है।

3. सभी $t$ के लिए $\mathbf {\Phi } (t,t)=I$।

4. सभी $t_{0}\leq t_{1}\leq t_{2}$ के लिए $\mathbf {\Phi } (t_{2},t_{1})\mathbf {\Phi } (t_{1},t_{0})=\mathbf {\Phi } (t_{2},t_{0})$।

5. यह अवकल समीकरण को संतुष्ट करता है ${\frac {\partial \mathbf {\Phi } (t,t_{0})}{\partial t}}=\mathbf {A} (t)\mathbf {\Phi } (t,t_{0})$ प्रारंभिक उपबंध $\mathbf {\Phi } (t_{0},t_{0})=I$ के साथ।

6. अवस्था-संक्रमण आव्यूह $\mathbf {\Phi } (t,\tau )$, द्वारा दिए गए

$\mathbf {\Phi } (t,\tau )\equiv \mathbf {U} (t)\mathbf {U} ^{-1}(\tau )$

जहां $n\times n$ आव्यूह $\mathbf {U} (t)$ मौलिक आव्यूह (रैखिक अंतर समीकरण) है जो संतुष्ट करता है

${\dot {\mathbf {U} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {U} (t)$ प्रारंभिक उपबंध के साथ $\mathbf {U} (t_{0})=I$।

7. अवस्था को देखते हुए $\mathbf {x} (\tau )$ किसी भी समय $\tau$, किसी अन्य समय में अवस्था $t$ प्रतिचित्रण द्वारा दिया गया है

$\mathbf {x} (t)=\mathbf {\Phi } (t,\tau )\mathbf {x} (\tau )$

अवस्था-संक्रमण आव्यूह का अनुमान

समय-अपरिवर्तनीय सन्दर्भ में, हम आव्यूह घातांक का उपयोग करते हुए $\mathbf {\Phi }$ परिभाषित कर सकते हैं, जैसे $\mathbf {\Phi } (t,t_{0})=e^{\mathbf {A} (t-t_{0})}$।

समय-संस्करण सन्दर्भ में, अवस्था-संक्रमण आव्यूह $\mathbf {\Phi } (t,t_{0})$ अंतर समीकरण ${\dot {\mathbf {u} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {u} (t)$ के समाधान से अनुमान लगाया जा सकता है प्रारंभिक उपबंध के साथ $\mathbf {u} (t_{0})$ द्वारा दिए गए $[1,\ 0,\ \ldots ,\ 0]^{T}$, $[0,\ 1,\ \ldots ,\ 0]^{T}$, ..., $[0,\ 0,\ \ldots ,\ 1]^{T}$. संबंधित समाधान $n$ आव्यूह के कॉलम $\mathbf {\Phi } (t,t_{0})$ प्रदान करते हैं। अब, गुण 4 से,

$\mathbf {\Phi } (t,\tau )=\mathbf {\Phi } (t,t_{0})\mathbf {\Phi } (\tau ,t_{0})^{-1}$ सभी के लिए $t_{0}\leq \tau \leq t$. समय-भिन्न समाधान पर विश्लेषण जारी रखने से पहले अवस्था-संक्रमण आव्यूह निर्धारित किया जाना चाहिए।

यह भी देखें

• मैग्नस विस्तार
• लिउविले का सूत्र

अग्रिम पठन

• Baake, M.; Schlaegel, U. (2011). "The Peano Baker Series". Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 275: 155–159. doi:10.1134/S0081543811080098. S2CID 119133539.
• Brogan, W.L. (1991). Modern Control Theory. Prentice Hall. ISBN 0-13-589763-7.