टेंट मैप: Difference between revisions
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[[File:Tent map.gif|300px|thumb|right|प्रारंभिक स्थिति x को पुनरावृत्त करने का उदाहरण<sub>0</sub>= μ = 1.9 के साथ तम्बू मानचित्र पर 0.4।]]गणित में, पैरामीटर μ वाला टेंट मैप [[वास्तविक संख्या]]-मूल्य वाला फ़ंक्शन है (गणित) ''f''<sub>μ</sub> द्वारा परिभाषित | [[File:Tent map.gif|300px|thumb|right|प्रारंभिक स्थिति x को पुनरावृत्त करने का उदाहरण<sub>0</sub>= μ = 1.9 के साथ तम्बू मानचित्र पर 0.4।]]गणित में, पैरामीटर μ वाला टेंट मैप [[वास्तविक संख्या]]-मूल्य वाला फ़ंक्शन है (गणित) ''f''<sub>μ</sub> द्वारा परिभाषित | ||
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जहां μ एक सकारात्मक वास्तविक स्थिरांक है। उदाहरण के लिए पैरामीटर μ = 2 चुनना, फ़ंक्शन f का प्रभाव<sub>μ</sub> इकाई अंतराल को दो भागों में मोड़ने, फिर परिणामी [[अंतराल (गणित)]] [0, 1/2] को फिर से अंतराल [0, 1] प्राप्त करने के लिए खींचने के संचालन के परिणाम के रूप में देखा जा सकता है। प्रक्रिया को दोहराते हुए, किसी भी बिंदु x<sub>0</sub> जैसा कि ऊपर वर्णित है, अंतराल नई अनुवर्ती स्थितियाँ ग्रहण करता है, जिससे एक अनुक्रम x उत्पन्न होता है<sub>''n''</sub> [0, 1] में। <math>\mu=2</math> h> टेंट मैप का मामला [[ बिट शिफ्ट मानचित्र ]] और [[ लॉजिस्टिक मानचित्र ]] के r = 4 केस दोनों का एक गैर-रेखीय परिवर्तन है। | जहां μ एक सकारात्मक वास्तविक स्थिरांक है। उदाहरण के लिए पैरामीटर μ = 2 चुनना, फ़ंक्शन f का प्रभाव<sub>μ</sub> इकाई अंतराल को दो भागों में मोड़ने, फिर परिणामी [[अंतराल (गणित)]] [0, 1/2] को फिर से अंतराल [0, 1] प्राप्त करने के लिए खींचने के संचालन के परिणाम के रूप में देखा जा सकता है। प्रक्रिया को दोहराते हुए, किसी भी बिंदु x<sub>0</sub> जैसा कि ऊपर वर्णित है, अंतराल नई अनुवर्ती स्थितियाँ ग्रहण करता है, जिससे एक अनुक्रम x उत्पन्न होता है<sub>''n''</sub> [0, 1] में। <math>\mu=2</math> h> टेंट मैप का मामला [[ बिट शिफ्ट मानचित्र |बिट शिफ्ट मानचित्र]] और [[ लॉजिस्टिक मानचित्र |लॉजिस्टिक मानचित्र]] के r = 4 केस दोनों का एक गैर-रेखीय परिवर्तन है। | ||
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::<math>\frac{\mu}{\mu^3+1} \to \frac{\mu^2}{\mu^3+1} \to \frac{\mu^3}{\mu^3+1} \to \frac{\mu}{\mu^3+1} \mbox{ appears at } \mu=\frac{1+\sqrt{5}}{2}</math> | ::<math>\frac{\mu}{\mu^3+1} \to \frac{\mu^2}{\mu^3+1} \to \frac{\mu^3}{\mu^3+1} \to \frac{\mu}{\mu^3+1} \mbox{ appears at } \mu=\frac{1+\sqrt{5}}{2}</math> | ||
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* यदि μ 2 के बराबर है तो सिस्टम अंतराल [0, 1] को स्वयं मैप करता है। अब इस अंतराल के भीतर प्रत्येक कक्षा की लंबाई के साथ-साथ गैर-आवधिक बिंदु भी हैं। आवधिक बिंदु [0, 1] में घने सेट हैं, इसलिए नक्शा [[अराजकता सिद्धांत]] बन गया है। वास्तव में, गतिशीलता गैर-आवधिक होगी यदि और केवल यदि <math>x_0</math> [[अपरिमेय संख्या]] है. इसे नोट करके देखा जा सकता है कि मानचित्र कब क्या करता है <math>x_n</math> [[ बाइनरी संख्या ]] नोटेशन में व्यक्त किया गया है: यह बाइनरी बिंदु को एक स्थान से दाईं ओर स्थानांतरित करता है; फिर, यदि बाइनरी बिंदु के बाईं ओर जो दिखाई देता है वह एक है तो यह सभी को शून्य में बदल देता है और इसके विपरीत (परिमित बाइनरी विस्तार के मामले में अंतिम बिट एक को छोड़कर); एक अपरिमेय संख्या से शुरू होकर यह प्रक्रिया बिना दोहराए हमेशा चलती रहती है। x के लिए अपरिवर्तनीय माप इकाई अंतराल पर एकसमान घनत्व है।<ref>Collett, Pierre, and [[Jean-Pierre Eckmann|Eckmann, Jean-Pierre]], ''Iterated Maps on the Interval as Dynamical Systems'', Boston: Birkhauser, 1980.</ref> पर्याप्त रूप से लंबे अनुक्रम के लिए स्वत:सहसंबंध फ़ंक्शन {<math>x_n</math>} सभी गैर-शून्य अंतरालों पर शून्य स्वत:सहसंबंध दिखाएगा।<ref name="Brock">Brock, W. A., "Distinguishing random and deterministic systems: Abridged version," ''Journal of Economic Theory'' 40, October 1986, 168-195.</ref> इस प्रकार <math>x_n</math> ऑटोसहसंबंध फ़ंक्शन का उपयोग करके इसे सफेद शोर से अलग नहीं किया जा सकता है। ध्यान दें कि लॉजिस्टिक मानचित्र का r = 4 मामला और <math>\mu = 2</math> तम्बू मानचित्र के मामले एक-दूसरे के समरूप हैं: तार्किक रूप से विकसित होने वाले चर को दर्शाते हुए <math>y_n</math>, होमोमोर्फिज्म है | * यदि μ 2 के बराबर है तो सिस्टम अंतराल [0, 1] को स्वयं मैप करता है। अब इस अंतराल के भीतर प्रत्येक कक्षा की लंबाई के साथ-साथ गैर-आवधिक बिंदु भी हैं। आवधिक बिंदु [0, 1] में घने सेट हैं, इसलिए नक्शा [[अराजकता सिद्धांत]] बन गया है। वास्तव में, गतिशीलता गैर-आवधिक होगी यदि और केवल यदि <math>x_0</math> [[अपरिमेय संख्या]] है. इसे नोट करके देखा जा सकता है कि मानचित्र कब क्या करता है <math>x_n</math> [[ बाइनरी संख्या |बाइनरी संख्या]] नोटेशन में व्यक्त किया गया है: यह बाइनरी बिंदु को एक स्थान से दाईं ओर स्थानांतरित करता है; फिर, यदि बाइनरी बिंदु के बाईं ओर जो दिखाई देता है वह एक है तो यह सभी को शून्य में बदल देता है और इसके विपरीत (परिमित बाइनरी विस्तार के मामले में अंतिम बिट एक को छोड़कर); एक अपरिमेय संख्या से शुरू होकर यह प्रक्रिया बिना दोहराए हमेशा चलती रहती है। x के लिए अपरिवर्तनीय माप इकाई अंतराल पर एकसमान घनत्व है।<ref>Collett, Pierre, and [[Jean-Pierre Eckmann|Eckmann, Jean-Pierre]], ''Iterated Maps on the Interval as Dynamical Systems'', Boston: Birkhauser, 1980.</ref> पर्याप्त रूप से लंबे अनुक्रम के लिए स्वत:सहसंबंध फ़ंक्शन {<math>x_n</math>} सभी गैर-शून्य अंतरालों पर शून्य स्वत:सहसंबंध दिखाएगा।<ref name="Brock">Brock, W. A., "Distinguishing random and deterministic systems: Abridged version," ''Journal of Economic Theory'' 40, October 1986, 168-195.</ref> इस प्रकार <math>x_n</math> ऑटोसहसंबंध फ़ंक्शन का उपयोग करके इसे सफेद शोर से अलग नहीं किया जा सकता है। ध्यान दें कि लॉजिस्टिक मानचित्र का r = 4 मामला और <math>\mu = 2</math> तम्बू मानचित्र के मामले एक-दूसरे के समरूप हैं: तार्किक रूप से विकसित होने वाले चर को दर्शाते हुए <math>y_n</math>, होमोमोर्फिज्म है | ||
::<math>x_n = \tfrac{2}{\pi}\sin^{-1}(y_{n}^{1/2}).</math> | ::<math>x_n = \tfrac{2}{\pi}\sin^{-1}(y_{n}^{1/2}).</math> | ||
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(1-v_n)/(1-a) &\mathrm{for}~~ v_n \in [a,1] | (1-v_n)/(1-a) &\mathrm{for}~~ v_n \in [a,1] | ||
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पैरामीटर के लिए <math>a \in [0,1]</math>. <math>\mu = 2</math> h> तम्बू मानचित्र का मामला वर्तमान मामला है <math>a= \tfrac{1}{2}</math>. एक क्रम {<math>v_n</math>} में समान स्वत:सहसंबंध फ़ंक्शन होगा<ref name="Brock" />जैसा कि प्रथम-क्रम ऑटोरेग्रेसिव प्रक्रिया से डेटा होगा | पैरामीटर के लिए <math>a \in [0,1]</math>. <math>\mu = 2</math> h> तम्बू मानचित्र का मामला वर्तमान मामला है <math>a= \tfrac{1}{2}</math>. एक क्रम {<math>v_n</math>} में समान स्वत:सहसंबंध फ़ंक्शन होगा<ref name="Brock" />जैसा कि प्रथम-क्रम ऑटोरेग्रेसिव प्रक्रिया से डेटा होगा <math>w_{n+1} = (2a-1)w_n + u_{n+1}</math> साथ {<math>u_n</math>} [[स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर]]। इस प्रकार एक असममित तम्बू मानचित्र के डेटा को, ऑटोसहसंबंध फ़ंक्शन का उपयोग करके, प्रथम-क्रम ऑटोरेग्रेसिव प्रक्रिया द्वारा उत्पन्न डेटा से अलग नहीं किया जा सकता है। | ||
== यह भी देखें == | == यह भी देखें == | ||
Revision as of 20:58, 22 November 2023
गणित में, पैरामीटर μ वाला टेंट मैप वास्तविक संख्या-मूल्य वाला फ़ंक्शन है (गणित) fμ द्वारा परिभाषित
यह नाम f के एक फ़ंक्शन के ग्राफ़ के तम्बू जैसे आकार के कारण हैμ. 0 और 2 के भीतर पैरामीटर μ के मानों के लिए, fμ छवि (गणित) इकाई अंतराल [0, 1] को अपने आप में, इस प्रकार उस पर एक अलग-समय गतिशील प्रणाली को परिभाषित करना (समकक्ष, एक पुनरावृत्ति संबंध)। विशेष रूप से, पुनरावृत्त फ़ंक्शन एक बिंदु x0 [0, 1] में एक अनुक्रम उत्पन्न होता है :
जहां μ एक सकारात्मक वास्तविक स्थिरांक है। उदाहरण के लिए पैरामीटर μ = 2 चुनना, फ़ंक्शन f का प्रभावμ इकाई अंतराल को दो भागों में मोड़ने, फिर परिणामी अंतराल (गणित) [0, 1/2] को फिर से अंतराल [0, 1] प्राप्त करने के लिए खींचने के संचालन के परिणाम के रूप में देखा जा सकता है। प्रक्रिया को दोहराते हुए, किसी भी बिंदु x0 जैसा कि ऊपर वर्णित है, अंतराल नई अनुवर्ती स्थितियाँ ग्रहण करता है, जिससे एक अनुक्रम x उत्पन्न होता हैn [0, 1] में। h> टेंट मैप का मामला बिट शिफ्ट मानचित्र और लॉजिस्टिक मानचित्र के r = 4 केस दोनों का एक गैर-रेखीय परिवर्तन है।
व्यवहार
पैरामीटर μ = 2 के साथ तम्बू मानचित्र और पैरामीटर r = 4 के साथ लॉजिस्टिक मानचित्र स्थलीय रूप से संयुग्मित हैं,[1] और इस प्रकार दो मानचित्रों का व्यवहार इस अर्थ में पुनरावृत्ति के तहत समान है।
μ के मूल्य के आधार पर, तम्बू मानचित्र पूर्वानुमानित से लेकर अराजक तक गतिशील व्यवहार की एक श्रृंखला प्रदर्शित करता है।
- यदि μ 1 से कम है तो बिंदु x = 0, x के सभी प्रारंभिक मानों के लिए सिस्टम का एक आकर्षक निश्चित बिंदु (गणित) है यानी सिस्टम x के किसी भी प्रारंभिक मान से x = 0 की ओर परिवर्तित हो जाएगा।
- यदि μ 1 है तो 1/2 से कम या उसके बराबर x के सभी मान सिस्टम के निश्चित बिंदु हैं।
- यदि μ 1 से अधिक है तो सिस्टम में दो निश्चित बिंदु हैं, एक 0 पर, और दूसरा μ/(μ + 1) पर। दोनों निश्चित बिंदु अस्थिर हैं, अर्थात किसी भी निश्चित बिंदु के करीब x का मान उसकी ओर जाने के बजाय उससे दूर चला जाएगा। उदाहरण के लिए, जब μ 1.5 है तो x = 0.6 पर एक निश्चित बिंदु है (चूंकि 1.5(1 − 0.6) = 0.6) लेकिन x = 0.61 से शुरू करने पर हमें मिलता है
- यदि μ 1 और 2 के वर्गमूल के बीच है तो सिस्टम μ - μ के बीच अंतराल का एक सेट मैप करता है2/2 और μ/2 स्वयं को। अंतरालों का यह सेट मानचित्र का जूलिया सेट है - अर्थात, यह इस मानचित्र के अंतर्गत वास्तविक रेखा का सबसे छोटा अपरिवर्तनीय उपसमुच्चय है। यदि μ 2 के वर्गमूल से अधिक है, तो ये अंतराल विलीन हो जाते हैं, और जूलिया सेट μ - μ से संपूर्ण अंतराल है2/2 से μ/2 (द्विभाजन आरेख देखें)।
- यदि μ 1 और 2 के बीच है तो अंतराल [μ − μ है2/2, μ/2] में आवधिक और गैर-आवधिक दोनों बिंदु शामिल हैं, हालांकि सभी कक्षा (गतिशीलता) अस्थिर हैं (यानी आस-पास के बिंदु कक्षाओं की ओर जाने के बजाय उनसे दूर जाते हैं)। μ बढ़ने पर लंबी लंबाई वाली कक्षाएँ दिखाई देती हैं। उदाहरण के लिए:
- यदि μ 2 के बराबर है तो सिस्टम अंतराल [0, 1] को स्वयं मैप करता है। अब इस अंतराल के भीतर प्रत्येक कक्षा की लंबाई के साथ-साथ गैर-आवधिक बिंदु भी हैं। आवधिक बिंदु [0, 1] में घने सेट हैं, इसलिए नक्शा अराजकता सिद्धांत बन गया है। वास्तव में, गतिशीलता गैर-आवधिक होगी यदि और केवल यदि अपरिमेय संख्या है. इसे नोट करके देखा जा सकता है कि मानचित्र कब क्या करता है बाइनरी संख्या नोटेशन में व्यक्त किया गया है: यह बाइनरी बिंदु को एक स्थान से दाईं ओर स्थानांतरित करता है; फिर, यदि बाइनरी बिंदु के बाईं ओर जो दिखाई देता है वह एक है तो यह सभी को शून्य में बदल देता है और इसके विपरीत (परिमित बाइनरी विस्तार के मामले में अंतिम बिट एक को छोड़कर); एक अपरिमेय संख्या से शुरू होकर यह प्रक्रिया बिना दोहराए हमेशा चलती रहती है। x के लिए अपरिवर्तनीय माप इकाई अंतराल पर एकसमान घनत्व है।[2] पर्याप्त रूप से लंबे अनुक्रम के लिए स्वत:सहसंबंध फ़ंक्शन {} सभी गैर-शून्य अंतरालों पर शून्य स्वत:सहसंबंध दिखाएगा।[3] इस प्रकार ऑटोसहसंबंध फ़ंक्शन का उपयोग करके इसे सफेद शोर से अलग नहीं किया जा सकता है। ध्यान दें कि लॉजिस्टिक मानचित्र का r = 4 मामला और तम्बू मानचित्र के मामले एक-दूसरे के समरूप हैं: तार्किक रूप से विकसित होने वाले चर को दर्शाते हुए , होमोमोर्फिज्म है
- यदि μ 2 से अधिक है तो मानचित्र का जूलिया सेट डिस्कनेक्ट हो जाता है, और अंतराल [0, 1] के भीतर एक कैंटर सेट में टूट जाता है। जूलिया सेट में अभी भी गैर-आवधिक और आवधिक दोनों बिंदुओं (किसी भी कक्षा की लंबाई के लिए कक्षाओं सहित) की अनंत संख्या शामिल है, लेकिन लगभग हर जगह [0, 1] के भीतर बिंदु अब अंततः अनंत की ओर विचलन करेगा। कैनोनिकल कैंटर सेट (यूनिट लाइन के सबसेट से मध्य तिहाई को क्रमिक रूप से हटाकर प्राप्त किया गया) μ = 3 के लिए टेंट मैप का जूलिया सेट है।
संख्यात्मक त्रुटियाँ
फ़ाइल: पैरामीटर m= के लिए टेंट मानचित्र की समय श्रृंखला2.0 which shows numerical error.svg|thumb|right|पैरामीटर m = 2.0 के लिए टेंट मैप की समय श्रृंखला जो संख्यात्मक त्रुटि दिखाती है: समय श्रृंखला का प्लॉट (पुनरावृत्तियों की संख्या के संबंध में x चर का प्लॉट) में उतार-चढ़ाव बंद हो जाता है और n = 50 के बाद कोई मान नहीं देखा जाता है। पैरामीटर एम = 2.0, प्रारंभिक बिंदु यादृच्छिक है।
कक्षा आरेख को आवर्धित करना
* कक्षा आरेख को करीब से देखने पर पता चलता है कि μ ≈ 1 पर 4 अलग-अलग क्षेत्र हैं। आगे आवर्धन के लिए, 2 संदर्भ रेखाएं (लाल) टिप से उपयुक्त x तक निश्चित μ पर खींची जाती हैं (उदाहरण के लिए, 1.10) जैसा कि दिखाया गया है।
* संबंधित संदर्भ रेखाओं से मापी गई दूरी के साथ, आगे का विवरण मानचित्र के ऊपरी और निचले हिस्से में दिखाई देता है। (कुछ μ पर कुल 8 अलग-अलग क्षेत्र)
असममित तम्बू मानचित्र
असममित तम्बू मानचित्र मूल रूप से एक विकृत, लेकिन फिर भी टुकड़े-टुकड़े रैखिक फ़ंक्शन का संस्करण है तम्बू मानचित्र का मामला. इसे परिभाषित किया गया है
पैरामीटर के लिए . h> तम्बू मानचित्र का मामला वर्तमान मामला है . एक क्रम {} में समान स्वत:सहसंबंध फ़ंक्शन होगा[3]जैसा कि प्रथम-क्रम ऑटोरेग्रेसिव प्रक्रिया से डेटा होगा साथ {} स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर। इस प्रकार एक असममित तम्बू मानचित्र के डेटा को, ऑटोसहसंबंध फ़ंक्शन का उपयोग करके, प्रथम-क्रम ऑटोरेग्रेसिव प्रक्रिया द्वारा उत्पन्न डेटा से अलग नहीं किया जा सकता है।
यह भी देखें
संदर्भ
- ↑ Conjugating the Tent and Logistic Maps, Jeffrey Rauch, University of Michigan
- ↑ Collett, Pierre, and Eckmann, Jean-Pierre, Iterated Maps on the Interval as Dynamical Systems, Boston: Birkhauser, 1980.
- ↑ 3.0 3.1 Brock, W. A., "Distinguishing random and deterministic systems: Abridged version," Journal of Economic Theory 40, October 1986, 168-195.
