विग्नर-वेइल ट्रांसफॉर्म

"Weyl transform" redirects here. For the transformation in general relativity, see Weyl transformation.

क्वांटम यांत्रिकी में, विग्नर-वेइल ट्रांसफॉर्म या वेइल-विग्नर ट्रांसफॉर्म (हरमन वेइल और यूजीन विग्नर के बाद) श्रोडिंगर चित्र में क्वांटम चरण स्थान सूत्रीकरण और हिल्बर्ट स्थान ऑपरेटर (गणित) में कार्यों के बीच उलटा मैपिंग है।

अक्सर चरण स्थान पर कार्यों से लेकर ऑपरेटरों तक की मैपिंग को वेइल ट्रांसफॉर्म या वेइल क्वांटाइजेशन कहा जाता है, जबकि चरण स्थान पर ऑपरेटरों से कार्यों तक व्युत्क्रम मैपिंग को विग्नर ट्रांसफॉर्म कहा जाता है। यह मैपिंग मूल रूप से 1927 में हरमन वेइल द्वारा ऑपरेटरों के लिए सममित शास्त्रीय चरण अंतरिक्ष कार्यों को मैप करने के प्रयास में तैयार की गई थी, एक प्रक्रिया जिसे वेइल क्वांटाइजेशन के रूप में जाना जाता है। अब यह समझा जाता है कि वेइल परिमाणीकरण उन सभी गुणों को संतुष्ट नहीं करता है जिनकी लगातार परिमाणीकरण के लिए आवश्यकता होती है और इसलिए कभी-कभी अभौतिक उत्तर मिलते हैं। दूसरी ओर, नीचे वर्णित कुछ अच्छे गुणों से पता चलता है कि यदि कोई ऑपरेटरों के लिए शास्त्रीय चरण स्थान पर एकल सुसंगत प्रक्रिया मैपिंग फ़ंक्शन की तलाश करता है, तो वेइल परिमाणीकरण सबसे अच्छा विकल्प है: ऐसे मानचित्रों के सामान्य निर्देशांक का एक प्रकार। (ग्रोएनवॉल्ड का प्रमेय दावा करता है कि ऐसे किसी भी मानचित्र में वे सभी आदर्श गुण नहीं हो सकते जो कोई चाहता है।)

भले ही, वेइल-विग्नर परिवर्तन चरण-स्थान और ऑपरेटर प्रतिनिधित्व के बीच एक अच्छी तरह से परिभाषित अभिन्न परिवर्तन है, और क्वांटम यांत्रिकी के कामकाज में अंतर्दृष्टि प्रदान करता है। सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि विग्नर अर्ध-संभाव्यता वितरण क्वांटम घनत्व मैट्रिक्स का विग्नर रूपांतरण है, और, इसके विपरीत, घनत्व मैट्रिक्स विग्नर फ़ंक्शन का वेइल रूपांतरण है।

एक सुसंगत परिमाणीकरण योजना की तलाश में वेइल के मूल इरादों के विपरीत, यह मानचित्र केवल क्वांटम यांत्रिकी के भीतर प्रतिनिधित्व में बदलाव के बराबर है; इसे शास्त्रीय को क्वांटम मात्राओं से जोड़ने की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए, चरण-स्थान फ़ंक्शन स्पष्ट रूप से प्लैंक के स्थिरांक ħ पर निर्भर हो सकता है, जैसा कि कोणीय गति से जुड़े कुछ परिचित मामलों में होता है। यह उलटा प्रतिनिधित्व परिवर्तन तब किसी को चरणबद्ध रूप से अंतरिक्ष निर्माण की अनुमति देता है, जैसा कि 1940 के दशक में हिलब्रांड जे. ग्रोएनवॉल्ड द्वारा सराहा गया था। और जोस एनरिक मोयल।

एक सामान्य अवलोकन योग्य के वेइल परिमाणीकरण की परिभाषा

निम्नलिखित सरलतम, द्वि-आयामी यूक्लिडियन चरण स्थान पर वेइल परिवर्तन की व्याख्या करता है। चरण स्थान पर निर्देशांक होने दें (q,p), और जाने f चरण स्थान पर हर जगह परिभाषित एक फ़ंक्शन बनें। निम्नलिखित में, हम विहित कम्यूटेशन संबंधों को संतुष्ट करने वाले ऑपरेटरों पी और क्यू को ठीक करते हैं, जैसे कि श्रोडिंगर प्रतिनिधित्व में सामान्य स्थिति और गति ऑपरेटर। हम मानते हैं कि घातांक ऑपरेटर $e^{iaQ}$ और $e^{ibP}$ स्टोन-वॉन न्यूमैन प्रमेय का एक अघुलनशील प्रतिनिधित्व का गठन करें, ताकि स्टोन-वॉन न्यूमैन प्रमेय (विहित कम्यूटेशन संबंधों की विशिष्टता की गारंटी) कायम रहे।

मूल सूत्र

फ़ंक्शन का वेइल रूपांतरण (या वेइल परिमाणीकरण)। f हिल्बर्ट स्पेस में निम्नलिखित ऑपरेटर द्वारा दिया गया है,

$\Phi [f]={\frac {1}{(2\pi )^{2}}}\iint \!\!\!\iint f(q,p)\left(e^{i(a(Q-q)+b(P-p))}\right){\text{d}}q\,{\text{d}}p\,{\text{d}}a\,{\text{d}}b.$

कुल मिलाकर, ħ घटा हुआ प्लैंक स्थिरांक है।

का पालन करना शिक्षाप्रद है p और q उपरोक्त सूत्र में पहले इंटीग्रल, जिसमें सामान्य फूरियर रूपांतरण की गणना का प्रभाव होता है ${\tilde {f}}$ समारोह का f, ऑपरेटर को छोड़ते समय $e^{i(aQ+bP)}$. उस स्थिति में, वेइल ट्रांसफॉर्म को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$\Phi [f]={\frac {1}{(2\pi )^{2}}}\iint {\tilde {f}}(a,b)e^{iaQ+ibP}\,da\,db$.

इसलिए हम वेइल मानचित्र के बारे में इस प्रकार सोच सकते हैं: हम फ़ंक्शन का सामान्य फूरियर रूपांतरण लेते हैं $f(p,q)$, लेकिन फिर फूरियर उलटा फॉर्मूला लागू करते समय, हम क्वांटम ऑपरेटरों को प्रतिस्थापित करते हैं $P$ और $Q$ मूल शास्त्रीय चर के लिए p और q, इस प्रकार एक क्वांटम संस्करण प्राप्त होता है f.

एक कम सममित लेकिन अनुप्रयोगों के लिए उपयोगी रूप निम्नलिखित है,

$\Phi [f]={\frac {2}{(2\pi \hbar )^{3/2}}}\iint \!\!\!\iint \!\!dq\,dp\,d{\tilde {x}}\,d{\tilde {p}}\ e^{{\frac {i}{\hbar }}({\tilde {x}}{\tilde {p}}-2({\tilde {p}}-p)({\tilde {x}}-q))}~f(q,p)~|{\tilde {x}}\rangle \langle {\tilde {p}}|.$

स्थिति में प्रतिनिधित्व

वेइल मानचित्र को इस ऑपरेटर के अभिन्न कर्नेल मैट्रिक्स तत्वों के संदर्भ में भी व्यक्त किया जा सकता है,

$\langle x|\Phi [f]|y\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }{{\text{d}}p \over h}~e^{ip(x-y)/\hbar }~f\left({x+y \over 2},p\right).$

उलटा नक्शा

उपरोक्त वेइल मानचित्र का उलटा विग्नर मानचित्र है, जो ऑपरेटर लेता है Φ मूल चरण-स्पेस कर्नेल फ़ंक्शन पर वापस जाएं f,

$f(q,p)=2\int _{-\infty }^{\infty }{\text{d}}y~e^{-2ipy/\hbar }~\langle q+y|\Phi [f]|q-y\rangle .$

उदाहरण के लिए, ऑसिलेटर थर्मल डिस्ट्रीब्यूशन ऑपरेटर का विग्नर मैप $\exp(-\beta (P^{2}+Q^{2})/2)$ है

$\exp _{\star }\left(-\beta (p^{2}+q^{2})/2\right)=\left(\cosh({\frac {\beta \hbar }{2}})\right)^{-1}\exp \left({\frac {-2}{\hbar }}\tanh({\frac {\beta \hbar }{2}})(p^{2}+q^{2})/2\right).$

यदि कोई प्रतिस्थापित करता है $\Phi [f]$ उपरोक्त अभिव्यक्ति में एक मनमाना ऑपरेटर के साथ, परिणामी फ़ंक्शन f प्लैंक स्थिरांक पर निर्भर हो सकता है ħ, और क्वांटम-मैकेनिकल प्रक्रियाओं का अच्छी तरह से वर्णन कर सकता है, बशर्ते कि यह नीचे दिए गए मोयल उत्पाद के माध्यम से ठीक से बना हो। बदले में, विग्नर मानचित्र के वेइल मानचित्र को ग्रोएनवॉल्ड के सूत्र द्वारा संक्षेपित किया गया है,:$\Phi [f]=h\iint \,da\,db~e^{iaQ+ibP}\operatorname {Tr} (e^{-iaQ-ibP}\Phi ).$

बहुपद वेधशालाओं का वेइल परिमाणीकरण

जबकि उपरोक्त सूत्र चरण स्थान पर एक बहुत ही सामान्य अवलोकन योग्य वेइल परिमाणीकरण की अच्छी समझ देते हैं, वे सरल अवलोकनों पर गणना के लिए बहुत सुविधाजनक नहीं हैं, जैसे कि वे जो बहुपद हैं $q$ और $p$. बाद के अनुभागों में, हम देखेंगे कि ऐसे बहुपदों पर, वेइल परिमाणीकरण गैर-कम्यूटिंग ऑपरेटरों के पूरी तरह से सममित क्रम का प्रतिनिधित्व करता है $Q$ और $P$. उदाहरण के लिए, क्वांटम कोणीय-गति-वर्ग ऑपरेटर एल का विग्नर मानचित्र² न केवल शास्त्रीय कोणीय गति का वर्ग है, बल्कि इसमें एक ऑफसेट शब्द भी शामिल है −3ħ²/2, जो ग्राउंड-स्टेट बोह्र मॉडल के गैर-लुप्त होने वाले कोणीय गति के लिए जिम्मेदार है।

गुण

बहुपदों का वेइल परिमाणीकरण

के बहुपद फलनों पर वेइल परिमाणीकरण की क्रिया $q$ और $p$ निम्नलिखित सममित सूत्र द्वारा पूरी तरह से निर्धारित किया जाता है:

$(aq+bp)^{n}\longmapsto (aQ+bP)^{n}$

सभी सम्मिश्र संख्याओं के लिए $a$ और $b$. इस सूत्र से, यह दिखाना कठिन नहीं है कि प्रपत्र के किसी फ़ंक्शन पर वेइल परिमाणीकरण होता है $q^{k}p^{l}$ के सभी संभावित ऑर्डरों का औसत देता है $k$ के कारक $Q$ और $l$ के कारक $P$. उदाहरण के लिए, हमारे पास है

$6p^{2}q^{2}~~\longmapsto ~~P^{2}Q^{2}+Q^{2}P^{2}+PQPQ+PQ^{2}P+QPQP+QP^{2}Q.$

हालाँकि यह परिणाम वैचारिक रूप से स्वाभाविक है, लेकिन यह गणना के लिए सुविधाजनक नहीं है $k$ और $l$ बड़े हैं. ऐसे मामलों में, हम इसके स्थान पर मैककॉय के सूत्र का उपयोग कर सकते हैं

$p^{m}q^{n}~~\longmapsto ~~{1 \over 2^{n}}\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}Q^{r}P^{m}Q^{n-r}={1 \over 2^{m}}\sum _{s=0}^{m}{m \choose s}P^{s}Q^{n}P^{m-s}.$

यह अभिव्यक्ति इस मामले के लिए एक स्पष्ट रूप से भिन्न उत्तर देती है $p^{2}q^{2}$ उपरोक्त पूरी तरह से सममित अभिव्यक्ति से। हालाँकि, इसमें कोई विरोधाभास नहीं है, क्योंकि विहित रूपान्तरण संबंध एक ही ऑपरेटर के लिए एक से अधिक अभिव्यक्ति की अनुमति देते हैं। (पाठक को इस मामले के लिए पूरी तरह से सममित सूत्र को फिर से लिखने के लिए कम्यूटेशन संबंधों का उपयोग करना शिक्षाप्रद लग सकता है $p^{2}q^{2}$ ऑपरेटरों के संदर्भ में $P^{2}Q^{2}$, $QP^{2}Q$, और $Q^{2}P^{2}$ और मैककॉय के सूत्र में पहली अभिव्यक्ति को सत्यापित करें $m=n=2$.)

यह व्यापक रूप से माना जाता है कि वेइल परिमाणीकरण, सभी परिमाणीकरण योजनाओं के बीच, क्वांटम पक्ष पर कम्यूटेटर के शास्त्रीय पक्ष पर पॉइसन ब्रैकेट को मैप करने के जितना संभव हो उतना करीब आता है। (कैनोनिकल_क्वांटाइज़ेशन#इश्यूज़_एंड_लिमिटेशन्स|ग्रोएनवॉल्ड के प्रमेय के प्रकाश में, एक सटीक पत्राचार असंभव है।) उदाहरण के लिए, मोयल ने दिखाया

प्रमेय: यदि $f(q,p)$ अधिकतम 2 और घात वाला एक बहुपद है $g(q,p)$ एक मनमाना बहुपद है, तो हमारे पास है $\Phi (\{f,g\})={\frac {1}{i\hbar }}[\Phi (f),\Phi (g)]$.

सामान्य कार्यों का वेइल परिमाणीकरण

• अगर f एक वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन है, फिर इसकी वेइल-मैप छवि Φ[f] स्व-सहायक है।
• अगर f तो श्वार्ट्ज स्थान का एक तत्व है Φ[f] ट्रेस-वर्ग है।
• आम तौर पर अधिक, Φ[f] एक सघन रूप से परिभाषित अनबाउंड ऑपरेटर है।
• वो नक्शा Φ[f] श्वार्ट्ज स्पेस पर एक-से-एक है (वर्ग-अभिन्न कार्यों के उप-स्थान के रूप में)।

विरूपण परिमाणीकरण

सहज रूप से, गणितीय वस्तु का विरूपण सिद्धांत एक ही प्रकार की वस्तुओं का एक परिवार है जो कुछ मापदंडों पर निर्भर करता है। यहां, यह नियम प्रदान करता है कि वेधशालाओं के शास्त्रीय क्रमविनिमेय बीजगणित को वेधशालाओं के क्वांटम गैर-कम्यूटेटिव बीजगणित में कैसे विकृत किया जाए।

विरूपण सिद्धांत में मूल सेटअप एक बीजगणितीय संरचना (एक झूठ बीजगणित कहें) से शुरू करना है और पूछना है: क्या समान संरचनाओं का एक या अधिक पैरामीटर परिवार मौजूद है, जैसे कि पैरामीटर के प्रारंभिक मूल्य के लिए किसी की संरचना वही है (झूठ बीजगणित) जिसके साथ शुरुआत हुई थी? (इसका सबसे पुराना उदाहरण प्राचीन दुनिया में एराटोस्थनीज की यह अनुभूति हो सकती है कि एक चपटी पृथ्वी एक गोलाकार पृथ्वी के रूप में विकृत हो सकती है, विरूपण पैरामीटर 1/आर के साथ_⊕.) उदाहरण के लिए, कोई एक गैर-अनुवांशिक ज्यामिति को एक विरूपण परिमाणीकरण के रूप में परिभाषित कर सकता है ★-उत्पाद सभी अभिसरण सूक्ष्मताओं को स्पष्ट रूप से संबोधित करने के लिए (आमतौर पर औपचारिक विरूपण परिमाणीकरण में संबोधित नहीं किया जाता है)। जहाँ तक किसी स्थान पर कार्यों का बीजगणित उस स्थान की ज्यामिति को निर्धारित करता है, तारा उत्पाद के अध्ययन से उस स्थान के गैर-कम्यूटेटिव ज्यामिति विरूपण का अध्ययन होता है।

उपरोक्त फ्लैट चरण-स्थान उदाहरण के संदर्भ में, स्टार उत्पाद (मोयल उत्पाद, वास्तव में ग्रोएनवॉल्ड द्वारा 1946 में पेश किया गया था), ★_ħ, कार्यों की एक जोड़ी में f₁, f₂ ∈ C^∞(ℜ²), द्वारा निर्दिष्ट किया गया है

$\Phi [f_{1}\star f_{2}]=\Phi [f_{1}]\Phi [f_{2}].\,$

तारा उत्पाद सामान्य रूप से क्रमविनिमेय नहीं है, बल्कि की सीमा में कार्यों के सामान्य क्रमविनिमेय उत्पाद तक चला जाता है ħ → 0. इस प्रकार, यह क्रमविनिमेय बीजगणित के विरूपण सिद्धांत को परिभाषित करने के लिए कहा जाता है C^∞(ℜ²).

उपरोक्त वेइल-मैप उदाहरण के लिए, ★-उत्पाद को पॉइसन ब्रैकेट के संदर्भ में लिखा जा सकता है

$f_{1}\star f_{2}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({\frac {i\hbar }{2}}\right)^{n}\Pi ^{n}(f_{1},f_{2}).$

यहां, Π पॉइसन मैनिफोल्ड है#द पॉइसन बाइवेक्टर, एक ऑपरेटर को इस तरह परिभाषित किया गया है कि इसकी शक्तियां हैं

$\Pi ^{0}(f_{1},f_{2})=f_{1}f_{2}$

और

$\Pi ^{1}(f_{1},f_{2})=\{f_{1},f_{2}\}={\frac {\partial f_{1}}{\partial q}}{\frac {\partial f_{2}}{\partial p}}-{\frac {\partial f_{1}}{\partial p}}{\frac {\partial f_{2}}{\partial q}}~,$

कहां {एफ₁, एफ₂} पॉइसन ब्रैकेट है। आम तौर पर अधिक,

$\Pi ^{n}(f_{1},f_{2})=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}\left({\frac {\partial ^{k}}{\partial p^{k}}}{\frac {\partial ^{n-k}}{\partial q^{n-k}}}f_{1}\right)\times \left({\frac {\partial ^{n-k}}{\partial p^{n-k}}}{\frac {\partial ^{k}}{\partial q^{k}}}f_{2}\right)$

कहाँ ${n \choose k}$ द्विपद गुणांक है.

इस प्रकार, उदा., गॉसियन हाइपरबोलिक फ़ंक्शन की रचना करते हैं#वृत्ताकार त्रिकोणमितीय कार्यों के साथ तुलना,

$\exp \left(-{a}(q^{2}+p^{2})\right)~\star ~\exp \left(-{b}(q^{2}+p^{2})\right)={1 \over 1+\hbar ^{2}ab}\exp \left(-{a+b \over 1+\hbar ^{2}ab}(q^{2}+p^{2})\right),$

या

$\delta (q)~\star ~\delta (p)={2 \over h}\exp \left(2i{qp \over \hbar }\right),$

वगैरह। ये सूत्र उन निर्देशांकों पर आधारित हैं जिनमें पॉइसन बायवेक्टर स्थिर है (सादा सपाट पॉइसन कोष्ठक)। मनमाने ढंग से पॉइसन मैनिफ़ोल्ड पर सामान्य सूत्र के लिए, सीएफ। कोंटसेविच परिमाणीकरण सूत्र।

इसका प्रतिसममितिकरण ★-उत्पाद मोयल ब्रैकेट, पॉइसन ब्रैकेट का उचित क्वांटम विरूपण, और क्वांटम यांत्रिकी के अधिक सामान्य हिल्बर्ट-स्पेस फॉर्मूलेशन में क्वांटम कम्यूटेटर के चरण-स्पेस आइसोमोर्फ (विग्नर ट्रांसफॉर्म) उत्पन्न करता है। इस प्रकार, यह इस चरण-स्थान सूत्रीकरण में अवलोकन योग्य वस्तुओं के गतिशील समीकरणों की आधारशिला प्रदान करता है।

इसके परिणामस्वरूप क्वांटम यांत्रिकी का एक पूर्ण चरण स्थान सूत्रीकरण होता है, पूरी तरह से हिल्बर्ट-स्पेस ऑपरेटर प्रतिनिधित्व के बराबर, जिसमें स्टार-गुणन ऑपरेटर गुणन को आइसोमोर्फिक रूप से समानांतर करता है।

चरण-अंतरिक्ष परिमाणीकरण में प्रत्याशा मान ऑपरेटर अवलोकनों का पता लगाने के लिए आइसोमोर्फिक रूप से प्राप्त किए जाते हैं Φ हिल्बर्ट अंतरिक्ष में घनत्व मैट्रिक्स के साथ: वे उपरोक्त जैसे अवलोकन योग्य वस्तुओं के चरण-अंतरिक्ष अभिन्न अंग द्वारा प्राप्त किए जाते हैं f विग्नर अर्ध-संभाव्यता वितरण प्रभावी ढंग से एक उपाय के रूप में कार्य कर रहा है।

इस प्रकार, क्वांटम यांत्रिकी को चरण स्थान (शास्त्रीय यांत्रिकी के समान दायरे) में व्यक्त करके, उपरोक्त वेइल मानचित्र विरूपण पैरामीटर के साथ शास्त्रीय यांत्रिकी के विरूपण सिद्धांत (सामान्यीकरण, सीएफ. पत्राचार सिद्धांत) के रूप में क्वांटम यांत्रिकी की पहचान की सुविधा प्रदान करता है। ħ/S. (भौतिकी में अन्य परिचित विकृतियों में विरूपण पैरामीटर वी/सी के साथ सापेक्षतावादी यांत्रिकी में शास्त्रीय न्यूटोनियन का विरूपण शामिल है; या विरूपण पैरामीटर श्वार्ज़स्चिल्ड-त्रिज्या/विशेषता-आयाम के साथ न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण का सामान्य सापेक्षता में विरूपण शामिल है। इसके विपरीत, समूह संकुचन की ओर जाता है लुप्त-पैरामीटर अपरिवर्तित सिद्धांत-शास्त्रीय सीमाएं।)

शास्त्रीय अभिव्यक्तियाँ, अवलोकन और संचालन (जैसे पॉइसन कोष्ठक) द्वारा संशोधित किए जाते हैं ħ-निर्भर क्वांटम सुधार, जैसा कि शास्त्रीय यांत्रिकी में लागू होने वाले पारंपरिक कम्यूटेटिव गुणन को क्वांटम यांत्रिकी की विशेषता वाले गैर-अनुवांशिक स्टार-गुणन के लिए सामान्यीकृत किया जाता है और इसके अनिश्चितता सिद्धांत को अंतर्निहित किया जाता है।

इसके नाम के बावजूद, आमतौर पर विरूपण क्वांटाइजेशन एक सफल क्वांटाइजेशन_(भौतिकी) का गठन नहीं करता है, अर्थात् शास्त्रीय से क्वांटम सिद्धांत उत्पन्न करने की एक विधि। आजकल, यह हिल्बर्ट स्पेस से चरण स्पेस में मात्र प्रतिनिधित्व परिवर्तन के बराबर है।

Main article: Phase space formulation

सामान्यीकरण

अधिक व्यापकता में, वेइल परिमाणीकरण का अध्ययन उन मामलों में किया जाता है जहां चरण स्थान एक सिंपलेक्टिक मैनिफ़ोल्ड है, या संभवतः एक पॉइसन मैनिफोल्ड है। संबंधित संरचनाओं में पॉइसन-लाई समूह और केएसी-मूडी बीजगणित शामिल हैं।

यह भी देखें

• विहित रूपान्तरण संबंध
• हाइजेनबर्ग समूह
• मोयल ब्रैकेट
• वेइल बीजगणित
• फनकार
• छद्म-विभेदक संचालिका
• विग्नर अर्ध-संभाव्यता वितरण
• स्टोन-वॉन न्यूमैन प्रमेय
• क्वांटम यांत्रिकी का चरण अंतरिक्ष सूत्रीकरण
• कोंटसेविच परिमाणीकरण सूत्र
• गैबोर-विग्नर परिवर्तन
• थरथरानवाला प्रतिनिधित्व

संदर्भ

• Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, Graduate Texts in Mathematics, vol. 267, Springer, Bibcode:2013qtm..book.....H, ISBN 978-1461471158

अग्रिम पठन

• Case, William B. (October 2008). "Wigner functions and Weyl transforms for pedestrians". American Journal of Physics. 76 (10): 937–946. Bibcode:2008AmJPh..76..937C. doi:10.1119/1.2957889. (Sections I to IV of this article provide an overview over the Wigner–Weyl transform, the Wigner quasiprobability distribution, the phase space formulation of quantum mechanics and the example of the quantum harmonic oscillator.)
• "Weyl quantization", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Terence Tao's 2012 notes on Weyl ordering