अतिएकरूपता: Difference between revisions

Revision as of 20:57, 28 November 2023

हाइपरयूनिफ़ॉर्मिटी को त्रिज्या आर की डिस्क के भीतर मौजूद बिंदुओं की संख्या के विचरण के स्केलिंग द्वारा परिभाषित किया गया है। आदर्श गैस (बाएं) के लिए, यह विचरण डिस्क के क्षेत्र की तरह मापता है। हाइपरयूनिफ़ॉर्म सिस्टम (केंद्र) के लिए, यह डिस्क के क्षेत्र की तुलना में धीमा होता है।^[1]उदाहरण के लिए, क्रिस्टल (दाएं) के लिए, यह डिस्क की सीमा लंबाई की तरह मापता है; रेफरी के चित्र 1 के बाद अनुकूलित।^[2]

हाइपरयूनिफ़ॉर्म सामग्रियों की विशेषता बड़े पैमाने पर घनत्व में उतार-चढ़ाव का असामान्य दमन है। अधिक सटीक रूप से, लंबी-तरंग लंबाई सीमा (जैसे क्रिस्टल के लिए) में घनत्व के उतार-चढ़ाव का गायब होना विशिष्ट गैसों, तरल पदार्थों या अनाकार ठोस पदार्थों से हाइपरयूनिफॉर्म प्रणालियों को अलग करता है।^[1]^[2] अतिएकरूपता के उदाहरणों में सभी पूर्ण क्रिस्टल शामिल हैं,^[1]उत्तम quasicrystal,^[3]^[4] और पदार्थ की विदेशी अनाकार अवस्थाएँ।^[2]

मात्रात्मक रूप से, बहु-कण प्रणाली को हाइपरयूनिफ़ॉर्म कहा जाता है यदि गोलाकार अवलोकन विंडो के भीतर बिंदुओं की संख्या का अंतर अवलोकन विंडो की मात्रा की तुलना में अधिक धीरे-धीरे बढ़ता है। यह परिभाषा लंबी-तरंगदैर्घ्य सीमा में संरचना कारक के लुप्त होने के बराबर है,^[1]और इसे विषम सामग्रियों के साथ-साथ स्केलर, वेक्टर और टेंसर क्षेत्रों को शामिल करने के लिए विस्तारित किया गया है।^[5] अव्यवस्थित हाइपरयूनिफ़ॉर्म सिस्टम को उल्टे महत्वपूर्ण बिंदु पर खड़ा दिखाया गया।^[1]उन्हें थर्मोडायनामिक संतुलन या गैर-संतुलन थर्मोडायनामिक्स मार्गों के माध्यम से प्राप्त किया जा सकता है, और शास्त्रीय यांत्रिकी और क्वांटम यांत्रिकी | क्वांटम-मैकेनिकल सिस्टम दोनों में पाए जाते हैं।^[1]^[2]इसलिए, हाइपरयूनिफ़ॉर्मिटी की अवधारणा अब भौतिकी में विषयों की विस्तृत श्रृंखला को जोड़ती है,^[2]^[6]^[7]^[8]^[9]अंक शास्त्र,^[10]^[11]^[12]^[13]^[14]^[15] जीवविज्ञान,^[16]^[17]^[18] और सामग्री विज्ञान.^[19]^[20]^[21] हाइपरयूनिफ़ॉर्मिटी की अवधारणा लंबी दूरी के क्रम की पारंपरिक धारणा को सामान्यीकृत करती है और इस प्रकार पदार्थ की विदेशी स्थिति को परिभाषित करती है। अव्यवस्थित हाइपरयूनिफ़ॉर्म कई-कण प्रणाली तरल की तरह सांख्यिकीय रूप से आइसोट्रॉपी हो सकती है, जिसमें कोई ब्रैग चोटियां नहीं होती हैं और कोई पारंपरिक प्रकार की लंबी दूरी का क्रम नहीं होता है। फिर भी, बड़े पैमाने पर, हाइपरयूनिफ़ॉर्म सिस्टम बड़े पैमाने पर घनत्व में उतार-चढ़ाव के दमन में क्रिस्टल के समान होते हैं। यह अनोखा संयोजन अव्यवस्थित हाइपरयूनिफ़ॉर्म सामग्रियों को नवीन भौतिक गुणों से संपन्न करने के लिए जाना जाता है, जो कि, लगभग इष्टतम और दिशा स्वतंत्र दोनों हैं (अनीसोट्रोपिक क्रिस्टल के विपरीत)।^[2]

इतिहास

शब्द हाइपरयूनिफॉर्मिटी (ब्रह्मांड विज्ञान के संदर्भ में इसे स्वतंत्र रूप से सुपर-होमोजेनिटी भी कहा जाता है^[22]) को 2003 के पेपर में साल्वातोर टोरक्वेटो और फ्रैंक स्टिलिंगर द्वारा गढ़ा और अध्ययन किया गया था,^[1]जिसमें उन्होंने दिखाया कि, अन्य बातों के अलावा, हाइपरयूनिफॉर्मिटी क्रिस्टल, क्वासिक क्रिस्टल और विदेशी अव्यवस्थित किस्मों को वर्गीकृत और संरचनात्मक रूप से चिह्नित करने के लिए एकीकृत ढांचा प्रदान करती है। उस अर्थ में, हाइपरयूनिफॉर्मिटी लंबी दूरी की संपत्ति है जिसे विदेशी अव्यवस्थित प्रणालियों को भी शामिल करने के लिए लंबी दूरी के क्रम (उदाहरण के लिए, क्रिस्टल के अनुवादात्मक / ओरिएंटेशनल ऑर्डर या क्वासिक क्रिस्टल के ओरिएंटेशनल ऑर्डर) की पारंपरिक धारणा को सामान्य बनाने के रूप में देखा जा सकता है।^[2]

हाइपरयूनिफ़ॉर्मिटी को सबसे पहले बिंदु प्रक्रियाओं के लिए पेश किया गया था^[1]और बाद में दो-चरण सामग्री (या छिद्रपूर्ण माध्यम) के लिए सामान्यीकृत किया गया^[3] और यादृच्छिक फ़ील्ड.^[5]इसे सैद्धांतिक मॉडल, सिमुलेशन और प्रयोगों में देखा गया है, नीचे दिए गए उदाहरणों की सूची देखें।^[2]

परिभाषा

में बहु-कण प्रणाली $d$ -आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष $R^{d}$ त्रिज्या के साथ गोलाकार अवलोकन विंडो में बिंदुओं की संख्या को हाइपरयूनिफ़ॉर्म कहा जाता है $R$ भिन्नता है $\sigma _{N}^{2}(R)$ यह अवलोकन विंडो के आयतन से धीमा है:^[1]

\lim _{R\to \infty }{\frac {\sigma _{N}^{2}(R)}{R^{d}}}=0.

यह परिभाषा (अनिवार्य रूप से) मूल में संरचना कारक के लुप्त होने के बराबर है:^[1]

\lim _{\mathbf {k} \to 0}S(\mathbf {k} )=0

तरंग सदिश के लिए

\mathbf {k} \in \mathbb {R} ^{d}

.

इसी प्रकार, ठोस और शून्य चरण से युक्त दो चरण वाले माध्यम को हाइपरयूनिफ़ॉर्म कहा जाता है यदि गोलाकार अवलोकन विंडो के अंदर ठोस चरण की मात्रा में भिन्नता होती है जो अवलोकन विंडो की मात्रा से धीमी होती है। यह परिभाषा, बदले में, मूल पर वर्णक्रमीय घनत्व के लुप्त होने के बराबर है।^[3]

हाइपरयूनिफ़ॉर्म सिस्टम की अनिवार्य विशेषता संख्या विचरण की उनकी स्केलिंग है $\sigma _{N}^{2}(R)$ बड़ी त्रिज्या के लिए या, समकक्ष, संरचना कारक के लिए $S(k)$ छोटे वेवनंबर के लिए. यदि हम हाइपरयूनिफ़ॉर्म सिस्टम पर विचार करते हैं जो मूल के करीब संरचना कारक के शक्ति-कानून व्यवहार की विशेषता रखते हैं:^[2]

S(\mathbf {k} )\sim |\mathbf {k} |^{\alpha }{\text{ for }}\mathbf {k} \to 0

एक स्थिरांक के साथ

0<\alpha <\infty

, तो तीन अलग-अलग स्केलिंग व्यवहार हैं जो हाइपरयूनिफ़ॉर्मिटी के तीन वर्गों को परिभाषित करते हैं:

\sigma _{N}^{2}(R)\sim {\begin{cases}R^{d-1},&\alpha >1&({\text{CLASS I}})\\R^{d-1}\ln R,&\alpha =1&({\text{CLASS II}})\\R^{d-\alpha },&0<\alpha <1&({\text{CLASS III}})\\\end{cases}}

हाइपरयूनिफ़ॉर्मिटी के सभी तीन वर्गों के उदाहरण ज्ञात हैं।^[2]

उदाहरण

भौतिकी में अव्यवस्थित हाइपरयूनिफ़ॉर्म सिस्टम के उदाहरण अव्यवस्थित जमीनी अवस्थाएँ हैं,^[7] जाम अव्यवस्थित गोलाकार पैकिंग,^[6]^[23]^[24]^[25]^[26]^[27]^[28]^[29]^[30] अनाकार बर्फ,^[31] अनाकार धब्बेदार पैटर्न,^[32] कुछ फर्मिओनिक सिस्टम,^[33] यादृच्छिक स्व-संगठन,^[8]^[34] ^[35]^[36]^[37]^[38]^[9] अव्यवस्थित जाली,^[39]^[40]^[41]^[42] और एवियन फोटोरिसेप्टर कोशिकाएं।^[16]

गणित में, संभाव्यता सिद्धांत के संदर्भ में अव्यवस्थित अतिएकरूपता का अध्ययन किया गया है,^[10]^[43]^[11]ज्यामिति,^[13]^[14]और संख्या सिद्धांत,^[44]^[12]^[45] जहां अभाज्य संख्याएं निश्चित स्केलिंग सीमा में प्रभावी रूप से आवधिक और हाइपरयूनिफॉर्म को सीमित करती पाई गई हैं।^[12]आगे के उदाहरणों में कुछ यादृच्छिक सैर शामिल हैं^[46] और बिंदु प्रक्रियाओं की स्थिर विवाह समस्या।^[15]^[24]^[25]^[26]^[27]^[47]

अतिएकरूपता का आदेश दिया गया

आदेशित, हाइपरयूनिफ़ॉर्म सिस्टम के उदाहरणों में सभी क्रिस्टल शामिल हैं,^[1]सभी क्वासिक्रिस्टल,^[3]^[4]^[48] और सीमा-आवधिक सेट।^[49] जबकि कमजोर रूप से सहसंबद्ध शोर आम तौर पर हाइपरयूनिफ़ॉर्मिटी को संरक्षित करता है, सीमित तापमान पर सहसंबद्ध उत्तेजनाएं हाइपरयूनिफ़ॉर्मिटी को नष्ट कर देती हैं।^[50] क्रैमिंग के परिणामस्वरूप सहसंबद्ध इलेक्ट्रॉन प्रणालियों में फर्मिओनिक क्वांटम पदार्थ के लिए हाइपरयूनिफ़ॉर्मिटी की भी सूचना दी गई थी।^[51]

अव्यवस्थित अतिएकरूपता

साल्वाटोर टॉर्काटो (2014)^[52]मार्बल्स के हिले हुए बक्से में पाए गए छिपे हुए क्रम का उदाहरण देता है,^[52]जो व्यवस्था में आते हैं, जिसे अधिकतम यादृच्छिक जाम पैकिंग कहा जाता है।^[6]^[53] इस तरह के छिपे हुए क्रम का उपयोग अंततः स्वयं-संगठित कोलाइड्स या प्रकाशिकी के लिए किया जा सकता है, जिसमें क्रिस्टल जैसी दक्षता के साथ लेकिन अत्यधिक लचीले डिजाइन के साथ प्रकाश संचारित करने की क्षमता होती है।^[52] यह पाया गया है कि अव्यवस्थित हाइपरयूनिफ़ॉर्म सिस्टम में अद्वितीय ऑप्टिकल गुण होते हैं। उदाहरण के लिए, अव्यवस्थित पॉल स्टीनहार्ट#फोटोनिक्स और हाइपरयूनिफॉर्मिटी में पूर्ण फोटोनिक बैंड अंतराल प्रदर्शित होते पाए गए हैं जो आकार में फोटोनिक क्रिस्टल के बराबर हैं लेकिन आइसोट्रॉपी के अतिरिक्त लाभ के साथ, जो क्रिस्टल के साथ फ्री-फॉर्म वेवगाइड (प्रकाशिकी) को संभव नहीं बनाता है। संरचनाएँ।^[19]^[20]^[54]^[55] इसके अलावा, गुप्त हाइपरयूनिफ़ॉर्म सिस्टम में,^[7]सामग्री के लिए विशिष्ट मूल्य से अधिक लंबी किसी भी तरंग दैर्ध्य का प्रकाश उच्च कण घनत्व के लिए भी बिना नुकसान (सहसंबद्ध विकार के कारण) के आगे बढ़ने में सक्षम है।^[56]

इसके विपरीत, ऐसी स्थितियों में जहां प्रकाश ही घनत्व की असंबद्ध, अव्यवस्थित सामग्री के माध्यम से फैलता है, सामग्री एकाधिक बिखरने के कारण अपारदर्शी दिखाई देगी। "चुपके" हाइपरयूनिफ़ॉर्म सामग्रियों को सैद्धांतिक रूप से किसी भी तरंग दैर्ध्य के प्रकाश के लिए डिज़ाइन किया जा सकता है, और अवधारणा के अनुप्रयोग तरंग भौतिकी और सामग्री इंजीनियरिंग के विभिन्न प्रकार के क्षेत्रों को कवर करते हैं।^[56]^[57] मुर्गियों की आंखों में फोटोरिसेप्टर कोशिका पैटर्न में अव्यवस्थित हाइपरयूनिफॉर्मिटी पाई गई।^[16] ऐसा इसलिए माना जाता है क्योंकि चिकन या अन्य पक्षियों की आंखों में प्रकाश-संवेदनशील कोशिकाएं आसानी से इष्टतम क्रिस्टलीय व्यवस्था प्राप्त नहीं कर सकती हैं, बल्कि अव्यवस्थित विन्यास बनाती हैं जो यथासंभव समान होता है।^[16]^[58]^[59] वास्तव में, यह एवियन शंकु पैटर्न की मुलिथिपेरुनिफ़ॉर्मिटी की उल्लेखनीय संपत्ति है, जो पक्षियों को तीव्र रंग संवेदन प्राप्त करने में सक्षम बनाती है।^[16]

हाल ही में अनाकार 2‑D सामग्रियों में अव्यवस्थित हाइपरयूनिफ़ॉर्मिटी की खोज की गई थी, जिसे सामग्री में इलेक्ट्रॉनिक परिवहन को बढ़ाने के लिए दिखाया गया था।^[60] यह रहस्यमय जैविक पैटर्न में भी उभर सकता है जिसे फेयरी सर्कल (शुष्क घास निर्माण) के रूप में जाना जाता है - वृत्त और वृत्तों के पैटर्न जो शुष्क स्थानों में उभरते हैं।^[61]^[62]

अव्यवस्थित, लेकिन अत्यधिक समान सामग्री बनाना

अव्यवस्थित हाइपरयूनिफ़ॉर्म सामग्रियों को बनाने की चुनौती को आंशिक रूप से दोषों और थर्मल उतार-चढ़ाव जैसी खामियों की अपरिहार्य उपस्थिति के लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है। उदाहरण के लिए, संपीडनशीलता#ऊष्मप्रवैगिकी |उतार-चढ़ाव-संपीड़न संबंध यह निर्देश देता है कि थर्मल संतुलन में कोई भी संपीड़ित एक-घटक तरल पदार्थ परिमित तापमान पर सख्ती से हाइपरयूनिफॉर्म नहीं हो सकता है।^[2]

हाल ही में क्रेमोस और डगलस (2018) ने आणविक स्तर पर हाइपरयूनिफ़ॉर्म सामग्रियों के व्यावहारिक निर्माण के लिए डिज़ाइन नियम प्रस्तावित किया है।^[63]^[64] विशेष रूप से, हाइपरयूनिफ़ॉर्मिटी इंडेक्स द्वारा मापी गई प्रभावी हाइपरयूनिफ़ॉर्मिटी अणुओं के विशिष्ट भागों (उदाहरण के लिए, स्टार पॉलिमर के मूल या बॉटलब्रश पॉलिमर के मामले में बैकबोन चेन) द्वारा प्राप्त की जाती है।^[65]^[2]

इन विशेषताओं के संयोजन से आणविक पैकिंग होती है जो छोटे और बड़े दोनों लंबाई के पैमाने पर अत्यधिक समान होती है।^[63]^[64]

गैर-संतुलन हाइपरयूनिफ़ॉर्म तरल पदार्थ और लंबाई स्केल

अव्यवस्थित हाइपरयूनिफॉर्मिटी का तात्पर्य लंबी दूरी के ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण (ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण) से है।^[1]एक संतुलन कई-कण प्रणाली में, इसके लिए नाजुक रूप से डिजाइन किए गए प्रभावी ढंग से लंबी दूरी की बातचीत की आवश्यकता होती है, जो गैर-संतुलन हाइपरयूनिफॉर्म राज्यों की गतिशील स्व-संयोजन के लिए आवश्यक नहीं है। 2019 में, नी और सहकर्मियों ने सैद्धांतिक रूप से गैर-संतुलन दृढ़ता से हाइपरयूनिफ़ॉर्म द्रव चरण की भविष्यवाणी की, जो गोलाकार रूप से तैरने वाले सक्रिय कठोर क्षेत्रों की प्रणालियों में मौजूद है,^[34]जिसकी 2022 में प्रायोगिक तौर पर पुष्टि की गई।^[66] इस नए हाइपरयूनिफ़ॉर्म तरल पदार्थ में विशेष लंबाई का पैमाना होता है, यानी, सक्रिय कणों के गोलाकार प्रक्षेपवक्र का व्यास, जिसके नीचे बड़े घनत्व में उतार-चढ़ाव देखा जाता है। इसके अलावा, सामान्यीकृत यादृच्छिक आयोजन मॉडल के आधार पर, लेई और नी (2019)^[35]गैर-संतुलन हाइपरयूनिफ़ॉर्म तरल पदार्थों के लिए हाइड्रोडायनामिक सिद्धांत तैयार किया, और लंबाई का पैमाना जिसके ऊपर सिस्टम हाइपरयूनिफ़ॉर्म है, कणों की जड़ता द्वारा नियंत्रित किया जाता है। सिद्धांत स्टोकेस्टिक हार्मोनिक ऑसिलेटर के अवमंदन के रूप में द्रव अतिसमानता के तंत्र को सामान्यीकृत करता है, जो इंगित करता है कि दबा हुआ लंबी-तरंग दैर्ध्य घनत्व में उतार-चढ़ाव या तो ध्वनिक (अनुनाद) मोड या डिफ्यूसिव (ओवरडैम्प्ड) मोड के रूप में प्रदर्शित हो सकता है।^[35]

यह भी देखें

क्रिस्टल
क्वासिक्रिस्टल
अनाकार ठोस
वस्तुस्थिति

संदर्भ

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-{{use dmy dates|date=March 2021}}
-[[File:Number-variance.png|thumb|590x590px|हाइपरयूनिफ़ॉर्मिटी को त्रिज्या आर की डिस्क के भीतर मौजूद बिंदुओं की संख्या के विचरण के स्केलिंग द्वारा परिभाषित किया गया है। आदर्श गैस (बाएं) के लिए, यह विचरण डिस्क के क्षेत्र की तरह मापता है। हाइपरयूनिफ़ॉर्म सिस्टम (केंद्र) के लिए, यह डिस्क के क्षेत्र की तुलना में धीमा होता है।<ref name="PRE-68"/>उदाहरण के लिए, एक क्रिस्टल (दाएं) के लिए, यह डिस्क की सीमा लंबाई की तरह मापता है; रेफरी के चित्र 1 के बाद अनुकूलित।<ref name=":3"/>]]हाइपरयूनिफ़ॉर्म सामग्रियों की विशेषता बड़े पैमाने पर घनत्व में उतार-चढ़ाव का एक असामान्य दमन है। अधिक सटीक रूप से, लंबी-तरंग लंबाई सीमा (जैसे [[क्रिस्टल]] के लिए) में घनत्व के उतार-चढ़ाव का गायब होना विशिष्ट [[गैस]]ों, [[तरल]] पदार्थों या [[अनाकार ठोस]] पदार्थों से ''हाइपरयूनिफॉर्म'' प्रणालियों को अलग करता है।<ref name="PRE-68">{{cite journal |last1=Torquato |first1=Salvatore |last2=Stillinger |first2=Frank H. |date=Oct 29, 2003 |title=स्थानीय घनत्व में उतार-चढ़ाव, अतिसमानता और ऑर्डर मेट्रिक्स|journal=Physical Review E |volume=68 |issue=4 |page=041113 |arxiv=cond-mat/0311532 |bibcode=2003PhRvE..68d1113T |doi=10.1103/PhysRevE.68.041113 |pmid=14682929 |s2cid=9162488}}</ref><ref name=":3">{{cite journal |last=Torquato |first=Salvatore |year=2018 |title=पदार्थ की अतिसमान अवस्थाएँ|journal=Physics Reports |language=en |volume=745 |pages=1–95 |doi=10.1016/j.physrep.2018.03.001 |arxiv=1801.06924 |bibcode=2018PhR...745....1T |s2cid=119378373}}</ref> अतिएकरूपता के उदाहरणों में सभी पूर्ण क्रिस्टल शामिल हैं,<ref name="PRE-68"/>उत्तम [[quasicrystal]],<ref name=":15"/><ref name=":16">{{cite journal |last1=Oğuz |first1=Erdal C. |last2=Socolar |first2=Joshua E.S. |last3=Steinhardt |first3=Paul J. |last4=Torquato |first4=Salvatore |date=2017-02-23 |title=क्वासिक्रिस्टल की अतिएकरूपता|journal=Physical Review B |language=en |volume=95 |issue=5 |pages=054119 |doi=10.1103/PhysRevB.95.054119 |arxiv=1612.01975 |bibcode=2017PhRvB..95e4119O |s2cid=85522310 |issn=2469-9950}}</ref> और पदार्थ की विदेशी अनाकार अवस्थाएँ।<ref name=":3">{{cite journal |last=Torquato |first=Salvatore |year=2018 |title=पदार्थ की अतिसमान अवस्थाएँ|journal=Physics Reports |language=en |volume=745 |pages=1–95 |doi=10.1016/j.physrep.2018.03.001 |arxiv=1801.06924 |bibcode=2018PhR...745....1T |s2cid=119378373}}</ref>
-मात्रात्मक रूप से, एक बहु-कण प्रणाली को हाइपरयूनिफ़ॉर्म कहा जाता है यदि गोलाकार अवलोकन विंडो के भीतर बिंदुओं की संख्या का अंतर अवलोकन विंडो की मात्रा की तुलना में अधिक धीरे-धीरे बढ़ता है। यह परिभाषा लंबी-तरंगदैर्घ्य सीमा में [[संरचना कारक]] के लुप्त होने के बराबर है,<ref name="PRE-68"/>और इसे विषम सामग्रियों के साथ-साथ स्केलर, वेक्टर और टेंसर क्षेत्रों को शामिल करने के लिए विस्तारित किया गया है।<ref name=":17">{{Cite journal |last=Torquato |first=Salvatore |date=2016-08-15 |title=अतिएकरूपता और इसका सामान्यीकरण|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevE.94.022122 |journal=Physical Review E |language=en |volume=94 |issue=2 |pages=022122 |doi=10.1103/PhysRevE.94.022122 |pmid=27627261 |arxiv=1607.08814 |bibcode=2016PhRvE..94b2122T |s2cid=30459937 |issn=2470-0045}}</ref> अव्यवस्थित हाइपरयूनिफ़ॉर्म सिस्टम को एक उल्टे महत्वपूर्ण बिंदु पर खड़ा दिखाया गया।<ref name="PRE-68"/>उन्हें [[थर्मोडायनामिक संतुलन]] या गैर-संतुलन थर्मोडायनामिक्स मार्गों के माध्यम से प्राप्त किया जा सकता है, और [[शास्त्रीय यांत्रिकी]] और [[क्वांटम यांत्रिकी]] | क्वांटम-मैकेनिकल सिस्टम दोनों में पाए जाते हैं।<ref name="PRE-68"/><ref name=":3"/>इसलिए, हाइपरयूनिफ़ॉर्मिटी की अवधारणा अब भौतिकी में विषयों की एक विस्तृत श्रृंखला को जोड़ती है,<ref name=":3" /><ref name=":5" /><ref name=":4" /><ref name="auto10" /><ref name="auto4" />अंक शास्त्र,<ref name=":9">{{cite journal |last1=Ghosh |first1=Subhroshekhar |last2=Lebowitz |first2=Joel L. |year=2017 |title=Fluctuations, large deviations and rigidity in hyperuniform systems: A brief survey |journal=Indian Journal of Pure and Applied Mathematics |language=en |volume=48 |issue=4 |pages=609–631 |arxiv=1608.07496 |doi=10.1007/s13226-017-0248-1 |issn=0019-5588 |s2cid=8709357}}</ref><ref name=":10">{{cite journal |last1=Ghosh |first1=Subhroshekhar |last2=Lebowitz |first2=Joel L. |year=2018 |title=Generalized stealthy hyperuniform processes: Maximal rigidity and the bounded holes conjecture |journal=Communications in Mathematical Physics |language=en |volume=363 |issue=1 |pages=97–110 |arxiv=1707.04328 |bibcode=2018CMaPh.363...97G |doi=10.1007/s00220-018-3226-5 |issn=0010-3616 |s2cid=6243545}}</ref><ref name=":11">{{cite journal |last1=Torquato |first1=Salvatore |last2=Zhang |first2=Ge |last3=De Courcy-Ireland |first3=Matthew |date=2019-03-29 |title=अभाज्य संख्याओं में छिपा बहुस्तरीय क्रम|journal=Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical |volume=52 |issue=13 |pages=135002 |arxiv=1804.06279 |bibcode=2019JPhA...52m5002T |doi=10.1088/1751-8121/ab0588 |issn=1751-8113 |s2cid=85508362}}</ref><ref name=":12">{{Cite journal |last1=Brauchart |first1=Johann S. |last2=Grabner |first2=Peter J. |last3=Kusner |first3=Wöden |last4=Ziefle |first4=Jonas |year=2020 |title=Hyperuniform point sets on the sphere: probabilistic aspects |journal=Monatshefte für Mathematik |language=en |volume=192 |issue=4 |pages=763–781 |arxiv=1809.02645 |doi=10.1007/s00605-020-01439-y |issn=0026-9255 |s2cid=119179807}}</ref><ref name=":13">{{Cite journal |last1=Baake |first1=Michael |last2=Grimm |first2=Uwe |date=2020-09-01 |title=Inflation versus projection sets in aperiodic systems: The role of the window in averaging and diffraction |url=http://scripts.iucr.org/cgi-bin/paper?S2053273320007421 |journal=Acta Crystallographica Section A |volume=76 |issue=5 |pages=559–570 |arxiv=2004.03256 |doi=10.1107/S2053273320007421 |issn=2053-2733 |pmc=7459767 |pmid=32869753 |s2cid=220404667}}</ref><ref name=":14">{{Cite journal |last1=Klatt |first1=Michael Andreas |last2=Last |first2=Günter |last3=Yogeshwaran |first3=D. |year=2020 |title=हाइपरयूनिफ़ॉर्म और कठोर स्थिर मिलान|journal=Random Structures & Algorithms |language=en |volume=57 |issue=2 |pages=439–473 |arxiv=1810.00265 |doi=10.1002/rsa.20923 |issn=1098-2418 |s2cid=119678948}}</ref> जीवविज्ञान,<ref name=":0" /><ref>{{Cite journal |last1=Mayer |first1=Andreas |last2=Balasubramanian |first2=Vijay |last3=Mora |first3=Thierry |last4=Walczak |first4=Aleksandra M. |date=2015-05-12 |title=एक अच्छी तरह से अनुकूलित प्रतिरक्षा प्रणाली कैसे व्यवस्थित की जाती है|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences |language=en |volume=112 |issue=19 |pages=5950–5955 |arxiv=1407.6888 |bibcode=2015PNAS..112.5950M |doi=10.1073/pnas.1421827112 |issn=0027-8424 |pmc=4434741 |pmid=25918407 |doi-access=free}}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Huang |first1=Mingji |last2=Hu |first2=Wensi |last3=Yang |first3=Siyuan |last4=Liu |first4=Quan-Xing |last5=Zhang |first5=H. 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-हाइपरयूनिफ़ॉर्मिटी की अवधारणा लंबी दूरी के क्रम की पारंपरिक धारणा को सामान्यीकृत करती है और इस प्रकार पदार्थ की एक विदेशी स्थिति को परिभाषित करती है। एक अव्यवस्थित हाइपरयूनिफ़ॉर्म कई-कण प्रणाली एक तरल की तरह सांख्यिकीय रूप से [[आइसोट्रॉपी]] हो सकती है, जिसमें कोई ब्रैग चोटियां नहीं होती हैं और कोई पारंपरिक प्रकार की लंबी दूरी का क्रम नहीं होता है। फिर भी, बड़े पैमाने पर, हाइपरयूनिफ़ॉर्म सिस्टम बड़े पैमाने पर घनत्व में उतार-चढ़ाव के दमन में [[क्रिस्टल]] के समान होते हैं। यह अनोखा संयोजन अव्यवस्थित हाइपरयूनिफ़ॉर्म सामग्रियों को नवीन भौतिक गुणों से संपन्न करने के लिए जाना जाता है, जो कि, लगभग इष्टतम और दिशा स्वतंत्र दोनों हैं (अनीसोट्रोपिक क्रिस्टल के विपरीत)।<ref name=":3">{{cite journal |last=Torquato |first=Salvatore |year=2018 |title=पदार्थ की अतिसमान अवस्थाएँ|journal=Physics Reports |language=en |volume=745 |pages=1–95 |doi=10.1016/j.physrep.2018.03.001 |arxiv=1801.06924 |bibcode=2018PhR...745....1T |s2cid=119378373}}</ref>
+[[File:Number-variance.png|thumb|590x590px|हाइपरयूनिफ़ॉर्मिटी को त्रिज्या आर की डिस्क के भीतर मौजूद बिंदुओं की संख्या के विचरण के स्केलिंग द्वारा परिभाषित किया गया है। आदर्श गैस (बाएं) के लिए, यह विचरण डिस्क के क्षेत्र की तरह मापता है। हाइपरयूनिफ़ॉर्म सिस्टम (केंद्र) के लिए, यह डिस्क के क्षेत्र की तुलना में धीमा होता है।<ref name="PRE-68"/>उदाहरण के लिए, क्रिस्टल (दाएं) के लिए, यह डिस्क की सीमा लंबाई की तरह मापता है; रेफरी के चित्र 1 के बाद अनुकूलित।<ref name=":3"/>]]हाइपरयूनिफ़ॉर्म सामग्रियों की विशेषता बड़े पैमाने पर घनत्व में उतार-चढ़ाव का असामान्य दमन है। अधिक सटीक रूप से, लंबी-तरंग लंबाई सीमा (जैसे [[क्रिस्टल]] के लिए) में घनत्व के उतार-चढ़ाव का गायब होना विशिष्ट [[गैस]]ों, [[तरल]] पदार्थों या [[अनाकार ठोस]] पदार्थों से ''हाइपरयूनिफॉर्म'' प्रणालियों को अलग करता है।<ref name="PRE-68">{{cite journal |last1=Torquato |first1=Salvatore |last2=Stillinger |first2=Frank H. |date=Oct 29, 2003 |title=स्थानीय घनत्व में उतार-चढ़ाव, अतिसमानता और ऑर्डर मेट्रिक्स|journal=Physical Review E |volume=68 |issue=4 |page=041113 |arxiv=cond-mat/0311532 |bibcode=2003PhRvE..68d1113T |doi=10.1103/PhysRevE.68.041113 |pmid=14682929 |s2cid=9162488}}</ref><ref name=":3">{{cite journal |last=Torquato |first=Salvatore |year=2018 |title=पदार्थ की अतिसमान अवस्थाएँ|journal=Physics Reports |language=en |volume=745 |pages=1–95 |doi=10.1016/j.physrep.2018.03.001 |arxiv=1801.06924 |bibcode=2018PhR...745....1T |s2cid=119378373}}</ref> अतिएकरूपता के उदाहरणों में सभी पूर्ण क्रिस्टल शामिल हैं,<ref name="PRE-68"/>उत्तम [[quasicrystal]],<ref name=":15"/><ref name=":16">{{cite journal |last1=Oğuz |first1=Erdal C. |last2=Socolar |first2=Joshua E.S. |last3=Steinhardt |first3=Paul J. |last4=Torquato |first4=Salvatore |date=2017-02-23 |title=क्वासिक्रिस्टल की अतिएकरूपता|journal=Physical Review B |language=en |volume=95 |issue=5 |pages=054119 |doi=10.1103/PhysRevB.95.054119 |arxiv=1612.01975 |bibcode=2017PhRvB..95e4119O |s2cid=85522310 |issn=2469-9950}}</ref> और पदार्थ की विदेशी अनाकार अवस्थाएँ।<ref name=":3">{{cite journal |last=Torquato |first=Salvatore |year=2018 |title=पदार्थ की अतिसमान अवस्थाएँ|journal=Physics Reports |language=en |volume=745 |pages=1–95 |doi=10.1016/j.physrep.2018.03.001 |arxiv=1801.06924 |bibcode=2018PhR...745....1T |s2cid=119378373}}</ref>
+मात्रात्मक रूप से, बहु-कण प्रणाली को हाइपरयूनिफ़ॉर्म कहा जाता है यदि गोलाकार अवलोकन विंडो के भीतर बिंदुओं की संख्या का अंतर अवलोकन विंडो की मात्रा की तुलना में अधिक धीरे-धीरे बढ़ता है। यह परिभाषा लंबी-तरंगदैर्घ्य सीमा में [[संरचना कारक]] के लुप्त होने के बराबर है,<ref name="PRE-68"/>और इसे विषम सामग्रियों के साथ-साथ स्केलर, वेक्टर और टेंसर क्षेत्रों को शामिल करने के लिए विस्तारित किया गया है।<ref name=":17">{{Cite journal |last=Torquato |first=Salvatore |date=2016-08-15 |title=अतिएकरूपता और इसका सामान्यीकरण|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevE.94.022122 |journal=Physical Review E |language=en |volume=94 |issue=2 |pages=022122 |doi=10.1103/PhysRevE.94.022122 |pmid=27627261 |arxiv=1607.08814 |bibcode=2016PhRvE..94b2122T |s2cid=30459937 |issn=2470-0045}}</ref> अव्यवस्थित हाइपरयूनिफ़ॉर्म सिस्टम को उल्टे महत्वपूर्ण बिंदु पर खड़ा दिखाया गया।<ref name="PRE-68"/>उन्हें [[थर्मोडायनामिक संतुलन]] या गैर-संतुलन थर्मोडायनामिक्स मार्गों के माध्यम से प्राप्त किया जा सकता है, और [[शास्त्रीय यांत्रिकी]] और [[क्वांटम यांत्रिकी]] | क्वांटम-मैकेनिकल सिस्टम दोनों में पाए जाते हैं।<ref name="PRE-68"/><ref name=":3"/>इसलिए, हाइपरयूनिफ़ॉर्मिटी की अवधारणा अब भौतिकी में विषयों की विस्तृत श्रृंखला को जोड़ती है,<ref name=":3" /><ref name=":5" /><ref name=":4" /><ref name="auto10" /><ref name="auto4" />अंक शास्त्र,<ref name=":9">{{cite journal |last1=Ghosh |first1=Subhroshekhar |last2=Lebowitz |first2=Joel L. |year=2017 |title=Fluctuations, large deviations and rigidity in hyperuniform systems: A brief survey |journal=Indian Journal of Pure and Applied Mathematics |language=en |volume=48 |issue=4 |pages=609–631 |arxiv=1608.07496 |doi=10.1007/s13226-017-0248-1 |issn=0019-5588 |s2cid=8709357}}</ref><ref name=":10">{{cite journal |last1=Ghosh |first1=Subhroshekhar |last2=Lebowitz |first2=Joel L. |year=2018 |title=Generalized stealthy hyperuniform processes: Maximal rigidity and the bounded holes conjecture |journal=Communications in Mathematical Physics |language=en |volume=363 |issue=1 |pages=97–110 |arxiv=1707.04328 |bibcode=2018CMaPh.363...97G |doi=10.1007/s00220-018-3226-5 |issn=0010-3616 |s2cid=6243545}}</ref><ref name=":11">{{cite journal |last1=Torquato |first1=Salvatore |last2=Zhang |first2=Ge |last3=De Courcy-Ireland |first3=Matthew |date=2019-03-29 |title=अभाज्य संख्याओं में छिपा बहुस्तरीय क्रम|journal=Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical |volume=52 |issue=13 |pages=135002 |arxiv=1804.06279 |bibcode=2019JPhA...52m5002T |doi=10.1088/1751-8121/ab0588 |issn=1751-8113 |s2cid=85508362}}</ref><ref name=":12">{{Cite journal |last1=Brauchart |first1=Johann S. |last2=Grabner |first2=Peter J. |last3=Kusner |first3=Wöden |last4=Ziefle |first4=Jonas |year=2020 |title=Hyperuniform point sets on the sphere: probabilistic aspects |journal=Monatshefte für Mathematik |language=en |volume=192 |issue=4 |pages=763–781 |arxiv=1809.02645 |doi=10.1007/s00605-020-01439-y |issn=0026-9255 |s2cid=119179807}}</ref><ref name=":13">{{Cite journal |last1=Baake |first1=Michael |last2=Grimm |first2=Uwe |date=2020-09-01 |title=Inflation versus projection sets in aperiodic systems: The role of the window in averaging and diffraction |url=http://scripts.iucr.org/cgi-bin/paper?S2053273320007421 |journal=Acta Crystallographica Section A |volume=76 |issue=5 |pages=559–570 |arxiv=2004.03256 |doi=10.1107/S2053273320007421 |issn=2053-2733 |pmc=7459767 |pmid=32869753 |s2cid=220404667}}</ref><ref name=":14">{{Cite journal |last1=Klatt |first1=Michael Andreas |last2=Last |first2=Günter |last3=Yogeshwaran |first3=D. |year=2020 |title=हाइपरयूनिफ़ॉर्म और कठोर स्थिर मिलान|journal=Random Structures & Algorithms |language=en |volume=57 |issue=2 |pages=439–473 |arxiv=1810.00265 |doi=10.1002/rsa.20923 |issn=1098-2418 |s2cid=119678948}}</ref> जीवविज्ञान,<ref name=":0" /><ref>{{Cite journal |last1=Mayer |first1=Andreas |last2=Balasubramanian |first2=Vijay |last3=Mora |first3=Thierry |last4=Walczak |first4=Aleksandra M. |date=2015-05-12 |title=एक अच्छी तरह से अनुकूलित प्रतिरक्षा प्रणाली कैसे व्यवस्थित की जाती है|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences |language=en |volume=112 |issue=19 |pages=5950–5955 |arxiv=1407.6888 |bibcode=2015PNAS..112.5950M |doi=10.1073/pnas.1421827112 |issn=0027-8424 |pmc=4434741 |pmid=25918407 |doi-access=free}}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Huang |first1=Mingji |last2=Hu |first2=Wensi |last3=Yang |first3=Siyuan |last4=Liu |first4=Quan-Xing |last5=Zhang |first5=H. P. |date=2021-05-04 |title=शैवाल प्रणाली में वृत्ताकार तैराकी गतिशीलता और अव्यवस्थित हाइपरयूनिफ़ॉर्म अवस्था|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences |language=en |volume=118 |issue=18 |pages=e2100493118 |doi=10.1073/pnas.2100493118 |issn=0027-8424 |pmc=8106356 |pmid=33931505|bibcode=2021PNAS..11800493H |doi-access=free }}</ref> और सामग्री विज्ञान.<ref name=":1">{{Cite journal |last1=Florescu |first1=M. |last2=Torquato |first2=S. |last3=Steinhardt |first3=P.J. |date=2009-12-08 |title=बड़े, पूर्ण फोटोनिक बैंड अंतराल के साथ डिजाइनर अव्यवस्थित सामग्री|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences |language=en |volume=106 |issue=49 |pages=20658–20663 |arxiv=1007.3554 |bibcode=2009PNAS..10620658F |doi=10.1073/pnas.0907744106 |issn=0027-8424 |pmc=2777962 |pmid=19918087 |doi-access=free}}</ref><ref name=":2">{{Cite journal |last1=Muller |first1=Nicolas |last2=Haberko |first2=Jakub |last3=Marichy |first3=Catherine |last4=Scheffold |first4=Frank |year=2014 |title=शॉर्टवेव इन्फ्रारेड में स्पष्ट अंतराल के साथ सिलिकॉन हाइपरयूनिफ़ॉर्म अव्यवस्थित फोटोनिक सामग्री|url=http://doc.rero.ch/record/208811/files/sch_shd.pdf |journal=Advanced Optical Materials |language=en |volume=2 |issue=2 |pages=115–119 |doi=10.1002/adom.201300415 |doi-access=free}}</ref><ref>{{Cite journal |last=Yu |first=Sunkyu |date=2023-02-13 |title=इंजीनियरिंग विकार के लिए बिखरने वाले नेटवर्क का विकास|url=https://www.nature.com/articles/s43588-022-00395-x |journal=Nature Computational Science |volume=3 |issue=2 |pages=128–138 |language=en |doi=10.1038/s43588-022-00395-x |s2cid=256862885 |issn=2662-8457|doi-access=free }}</ref>
+हाइपरयूनिफ़ॉर्मिटी की अवधारणा लंबी दूरी के क्रम की पारंपरिक धारणा को सामान्यीकृत करती है और इस प्रकार पदार्थ की विदेशी स्थिति को परिभाषित करती है। अव्यवस्थित हाइपरयूनिफ़ॉर्म कई-कण प्रणाली तरल की तरह सांख्यिकीय रूप से [[आइसोट्रॉपी]] हो सकती है, जिसमें कोई ब्रैग चोटियां नहीं होती हैं और कोई पारंपरिक प्रकार की लंबी दूरी का क्रम नहीं होता है। फिर भी, बड़े पैमाने पर, हाइपरयूनिफ़ॉर्म सिस्टम बड़े पैमाने पर घनत्व में उतार-चढ़ाव के दमन में [[क्रिस्टल]] के समान होते हैं। यह अनोखा संयोजन अव्यवस्थित हाइपरयूनिफ़ॉर्म सामग्रियों को नवीन भौतिक गुणों से संपन्न करने के लिए जाना जाता है, जो कि, लगभग इष्टतम और दिशा स्वतंत्र दोनों हैं (अनीसोट्रोपिक क्रिस्टल के विपरीत)।<ref name=":3">{{cite journal |last=Torquato |first=Salvatore |year=2018 |title=पदार्थ की अतिसमान अवस्थाएँ|journal=Physics Reports |language=en |volume=745 |pages=1–95 |doi=10.1016/j.physrep.2018.03.001 |arxiv=1801.06924 |bibcode=2018PhR...745....1T |s2cid=119378373}}</ref>
 ==इतिहास==
-शब्द हाइपरयूनिफॉर्मिटी (ब्रह्मांड विज्ञान के संदर्भ में इसे स्वतंत्र रूप से सुपर-होमोजेनिटी भी कहा जाता है<ref name="PRD-65">{{cite journal |last1=Gabrielli |first1=Andrea |last2=Joyce |first2=Michael |last3=Sylos Labini |first3=Francesco |date=Apr 11, 2002 |title=Glass-like universe: Real-space correlation properties of standard cosmological models |journal=Physical Review D |volume=65 |issue=4 |page=083523 |doi=10.1103/PhysRevD.65.083523 |pmid=14682929 |s2cid=9162488 |arxiv=astro-ph/0110451|bibcode=2002PhRvD..65h3523G }}</ref>) को 2003 के एक पेपर में [[साल्वातोर टोरक्वेटो]] और [[फ्रैंक स्टिलिंगर]] द्वारा गढ़ा और अध्ययन किया गया था,<ref name="PRE-68"/>जिसमें उन्होंने दिखाया कि, अन्य बातों के अलावा, हाइपरयूनिफॉर्मिटी क्रिस्टल, क्वासिक क्रिस्टल और विदेशी अव्यवस्थित किस्मों को वर्गीकृत और संरचनात्मक रूप से चिह्नित करने के लिए एक एकीकृत ढांचा प्रदान करती है। उस अर्थ में, हाइपरयूनिफॉर्मिटी एक लंबी दूरी की संपत्ति है जिसे विदेशी अव्यवस्थित प्रणालियों को भी शामिल करने के लिए लंबी दूरी के क्रम (उदाहरण के लिए, क्रिस्टल के अनुवादात्मक / ओरिएंटेशनल ऑर्डर या क्वासिक क्रिस्टल के ओरिएंटेशनल ऑर्डर) की पारंपरिक धारणा को सामान्य बनाने के रूप में देखा जा सकता है।<ref name=":3"/>
+शब्द हाइपरयूनिफॉर्मिटी (ब्रह्मांड विज्ञान के संदर्भ में इसे स्वतंत्र रूप से सुपर-होमोजेनिटी भी कहा जाता है<ref name="PRD-65">{{cite journal |last1=Gabrielli |first1=Andrea |last2=Joyce |first2=Michael |last3=Sylos Labini |first3=Francesco |date=Apr 11, 2002 |title=Glass-like universe: Real-space correlation properties of standard cosmological models |journal=Physical Review D |volume=65 |issue=4 |page=083523 |doi=10.1103/PhysRevD.65.083523 |pmid=14682929 |s2cid=9162488 |arxiv=astro-ph/0110451|bibcode=2002PhRvD..65h3523G }}</ref>) को 2003 के पेपर में [[साल्वातोर टोरक्वेटो]] और [[फ्रैंक स्टिलिंगर]] द्वारा गढ़ा और अध्ययन किया गया था,<ref name="PRE-68"/>जिसमें उन्होंने दिखाया कि, अन्य बातों के अलावा, हाइपरयूनिफॉर्मिटी क्रिस्टल, क्वासिक क्रिस्टल और विदेशी अव्यवस्थित किस्मों को वर्गीकृत और संरचनात्मक रूप से चिह्नित करने के लिए एकीकृत ढांचा प्रदान करती है। उस अर्थ में, हाइपरयूनिफॉर्मिटी लंबी दूरी की संपत्ति है जिसे विदेशी अव्यवस्थित प्रणालियों को भी शामिल करने के लिए लंबी दूरी के क्रम (उदाहरण के लिए, क्रिस्टल के अनुवादात्मक / ओरिएंटेशनल ऑर्डर या क्वासिक क्रिस्टल के ओरिएंटेशनल ऑर्डर) की पारंपरिक धारणा को सामान्य बनाने के रूप में देखा जा सकता है।<ref name=":3"/>
 हाइपरयूनिफ़ॉर्मिटी को सबसे पहले [[बिंदु प्रक्रिया]]ओं के लिए पेश किया गया था<ref name="PRE-68" />और बाद में दो-चरण सामग्री (या छिद्रपूर्ण माध्यम) के लिए सामान्यीकृत किया गया<ref name=":15">{{Cite journal |last1=Zachary |first1=Chase E. |last2=Torquato |first2=Salvatore |date=2009-12-21 |title=बिंदु पैटर्न और दो-चरण यादृच्छिक विषम मीडिया में अतिसमानता|journal=Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment |volume=2009 |issue=12 |pages=P12015 |doi=10.1088/1742-5468/2009/12/P12015 |arxiv=0910.2172 |bibcode=2009JSMTE..12..015Z |s2cid=18838058 |issn=1742-5468}}</ref> और यादृच्छिक फ़ील्ड.<ref name=":17" />इसे सैद्धांतिक मॉडल, सिमुलेशन और प्रयोगों में देखा गया है, नीचे दिए गए उदाहरणों की सूची देखें।<ref name=":3">{{cite journal |last=Torquato |first=Salvatore |year=2018 |title=पदार्थ की अतिसमान अवस्थाएँ|journal=Physics Reports |language=en |volume=745 |pages=1–95 |doi=10.1016/j.physrep.2018.03.001 |arxiv=1801.06924 |bibcode=2018PhR...745....1T |s2cid=119378373}}</ref>
+==परिभाषा==
+में बहु-कण प्रणाली <math>d</math>-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष <math>R^d</math> त्रिज्या के साथ गोलाकार अवलोकन विंडो में बिंदुओं की संख्या को हाइपरयूनिफ़ॉर्म कहा जाता है <math>R</math> भिन्नता है <math>\sigma_N^2(R)</math> यह अवलोकन विंडो के आयतन से धीमा है:<ref name="PRE-68" /><math display="block">\lim_{R\to \infty} \frac{\sigma_N^2(R)}{R^d} = 0.</math>यह परिभाषा (अनिवार्य रूप से) मूल में संरचना कारक के लुप्त होने के बराबर है:<ref name="PRE-68" /><math display="block">\lim_{\mathbf{k}\to 0} S(\mathbf{k}) = 0</math>[[ तरंग सदिश | तरंग सदिश]] के लिए <math>\mathbf{k} \in \mathbb{R}^d</math>.
-==परिभाषा==
-में एक बहु-कण प्रणाली <math>d</math>-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष <math>R^d</math> त्रिज्या के साथ गोलाकार अवलोकन विंडो में बिंदुओं की संख्या को हाइपरयूनिफ़ॉर्म कहा जाता है <math>R</math> भिन्नता है <math>\sigma_N^2(R)</math> यह अवलोकन विंडो के आयतन से धीमा है:<ref name="PRE-68" /><math display="block">\lim_{R\to \infty} \frac{\sigma_N^2(R)}{R^d} = 0.</math>यह परिभाषा (अनिवार्य रूप से) मूल में संरचना कारक के लुप्त होने के बराबर है:<ref name="PRE-68" /><math display="block">\lim_{\mathbf{k}\to 0} S(\mathbf{k}) = 0</math>[[ तरंग सदिश ]] के लिए <math>\mathbf{k} \in \mathbb{R}^d</math>.
-इसी प्रकार, एक ठोस और एक शून्य चरण से युक्त दो चरण वाले माध्यम को हाइपरयूनिफ़ॉर्म कहा जाता है यदि गोलाकार अवलोकन विंडो के अंदर ठोस चरण की मात्रा में एक भिन्नता होती है जो अवलोकन विंडो की मात्रा से धीमी होती है। यह परिभाषा, बदले में, मूल पर [[वर्णक्रमीय घनत्व]] के लुप्त होने के बराबर है।<ref name=":15" />
+इसी प्रकार, ठोस और शून्य चरण से युक्त दो चरण वाले माध्यम को हाइपरयूनिफ़ॉर्म कहा जाता है यदि गोलाकार अवलोकन विंडो के अंदर ठोस चरण की मात्रा में भिन्नता होती है जो अवलोकन विंडो की मात्रा से धीमी होती है। यह परिभाषा, बदले में, मूल पर [[वर्णक्रमीय घनत्व]] के लुप्त होने के बराबर है।<ref name=":15" />
-हाइपरयूनिफ़ॉर्म सिस्टम की एक अनिवार्य विशेषता संख्या विचरण की उनकी स्केलिंग है <math>\sigma_N^2(R)</math> बड़ी त्रिज्या के लिए या, समकक्ष, संरचना कारक के लिए <math>S(k)</math> छोटे [[वेवनंबर]] के लिए. यदि हम हाइपरयूनिफ़ॉर्म सिस्टम पर विचार करते हैं जो मूल के करीब संरचना कारक के शक्ति-कानून व्यवहार की विशेषता रखते हैं:<ref name=":3" /><math display="block">S(\mathbf{k}) \sim |\mathbf{k}|^{\alpha} \text{ for } \mathbf{k}\to 0</math>एक स्थिरांक के साथ <math>0<\alpha<\infty</math>, तो तीन अलग-अलग स्केलिंग व्यवहार हैं जो हाइपरयूनिफ़ॉर्मिटी के तीन वर्गों को परिभाषित करते हैं:<math display="block">\sigma_N^2(R)\sim\begin{cases}
+हाइपरयूनिफ़ॉर्म सिस्टम की अनिवार्य विशेषता संख्या विचरण की उनकी स्केलिंग है <math>\sigma_N^2(R)</math> बड़ी त्रिज्या के लिए या, समकक्ष, संरचना कारक के लिए <math>S(k)</math> छोटे [[वेवनंबर]] के लिए. यदि हम हाइपरयूनिफ़ॉर्म सिस्टम पर विचार करते हैं जो मूल के करीब संरचना कारक के शक्ति-कानून व्यवहार की विशेषता रखते हैं:<ref name=":3" /><math display="block">S(\mathbf{k}) \sim |\mathbf{k}|^{\alpha} \text{ for } \mathbf{k}\to 0</math>एक स्थिरांक के साथ <math>0<\alpha<\infty</math>, तो तीन अलग-अलग स्केलिंग व्यवहार हैं जो हाइपरयूनिफ़ॉर्मिटी के तीन वर्गों को परिभाषित करते हैं:<math display="block">\sigma_N^2(R)\sim\begin{cases}
 R^{d-1}, &\alpha>1 & (\text{CLASS I})\\
 R^{d-1}\ln R, &\alpha=1 & (\text{CLASS II})\\
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 भौतिकी में अव्यवस्थित हाइपरयूनिफ़ॉर्म सिस्टम के उदाहरण अव्यवस्थित जमीनी अवस्थाएँ हैं,<ref name=":4">{{Cite journal |last1=Torquato |first1=S. |last2=Zhang |first2=G. |last3=Stillinger |first3=F.H. |date=2015-05-29 |title=गुढ़ हाइपरयूनिफ़ॉर्म अव्यवस्थित जमीनी अवस्थाओं के लिए संयोजन सिद्धांत|journal=Physical Review X |language=en |volume=5 |issue=2 |pages=021020 |doi=10.1103/PhysRevX.5.021020 |arxiv=1503.06436 |bibcode=2015PhRvX...5b1020T |s2cid=17275490 |issn=2160-3308}}</ref> जाम अव्यवस्थित गोलाकार पैकिंग,<ref name=":5">{{Cite journal |last1=Donev |first1=Aleksandar |last2=Stillinger |first2=Frank H. |last3=Torquato |first3=Salvatore |date=2005-08-26 |title=जाम अव्यवस्थित गोलाकार पैकिंग में अप्रत्याशित घनत्व में उतार-चढ़ाव|journal=Physical Review Letters |language=en |volume=95 |issue=9 |pages=090604 |doi=10.1103/PhysRevLett.95.090604 |pmid=16197201 |arxiv=cond-mat/0506406 |bibcode=2005PhRvL..95i0604D |s2cid=7887194 |issn=0031-9007}}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Zachary |first1=Chase E. |last2=Jiao |first2=Yang |last3=Torquato |first3=Salvatore |date=2011-04-29 |title=हाइपरयूनिफ़ॉर्म लंबी दूरी के सहसंबंध अव्यवस्थित जाम हार्ड-कण पैकिंग के हस्ताक्षर हैं|journal=Physical Review Letters |language=en |volume=106 |issue=17 |pages=178001 |doi=10.1103/PhysRevLett.106.178001 |pmid=21635063 |arxiv=1008.2548 |bibcode=2011PhRvL.106q8001Z |s2cid=15587068 |issn=0031-9007}}</ref><ref name="auto8">{{Cite journal |last1=Weijs |first1=Joost H. |last2=Jeanneret |first2=Raphaël |last3=Dreyfus |first3=Rémi |last4=Bartolo |first4=Denis |date=2015-09-03 |title=समय-समय पर संचालित इमल्शन में उभरती अतिसमानता|journal=Physical Review Letters |language=en |volume=115 |issue=10 |pages=108301 |doi=10.1103/PhysRevLett.115.108301 |pmid=26382706 |arxiv=1504.04638 |bibcode=2015PhRvL.115j8301W |s2cid=10340709 |issn=0031-9007}}</ref><ref name="auto2">{{Cite journal |last1=Jack |first1=Robert L. |last2=Thompson |first2=Ian R. |last3=Sollich |first3=Peter |date=2015-02-09 |title=डिफ्यूसिव सिस्टम के लिए प्रक्षेपवक्र के पक्षपाती समुच्चय में हाइपरयूनिफ़ॉर्मिटी और चरण पृथक्करण|journal=Physical Review Letters |language=en |volume=114 |issue=6 |pages=060601 |doi=10.1103/PhysRevLett.114.060601 |pmid=25723197 |arxiv=1409.3986 |bibcode=2015PhRvL.114f0601J |s2cid=3132460 |issn=0031-9007}}</ref><ref name="auto11">{{Cite journal |last1=Weijs |first1=Joost H. |last2=Bartolo |first2=Denis |date=2017-07-27 |title=Mixing by Unstirring: Hyperuniform Dispersion of Interacting Particles upon Chaotic Advection |journal=Physical Review Letters |language=en |volume=119 |issue=4 |pages=048002 |doi=10.1103/PhysRevLett.119.048002 |pmid=29341775 |arxiv=1702.02395 |bibcode=2017PhRvL.119d8002W |s2cid=12229553 |issn=0031-9007}}</ref><ref name="auto5">{{Cite journal |last1=Ricouvier |first1=Joshua |last2=Pierrat |first2=Romain |last3=Carminati |first3=Rémi |last4=Tabeling |first4=Patrick |last5=Yazhgur |first5=Pavel |date=2017-11-15 |title=सेल्फ-असेंबल बिडिस्पर्स इमल्शन में हाइपरयूनिफ़ॉर्मिटी का अनुकूलन|journal=Physical Review Letters |language=en |volume=119 |issue=20 |pages=208001 |doi=10.1103/PhysRevLett.119.208001 |pmid=29219379 |arxiv=1711.00719 |bibcode=2017PhRvL.119t8001R |s2cid=28177098 |issn=0031-9007}}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Chieco |first1=A. T. |last2=Zu |first2=M. |last3=Liu |first3=A. J. |last4=Xu |first4=N. |last5=Durian |first5=D. J. |date=2018-10-17 |title=जाम और बिना जाम वाली सॉफ्ट डिस्क के लिए संरचना का स्पेक्ट्रम|journal=Physical Review E |language=en |volume=98 |issue=4 |pages=042606 |doi=10.1103/PhysRevE.98.042606 |arxiv=1806.10118 |bibcode=2018PhRvE..98d2606C |s2cid=119448635 |issn=2470-0045 |author5-link=Douglas Durian}}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Wilken |first1=Sam |last2=Guerra |first2=Rodrigo E. |last3=Levine |first3=Dov |last4=Chaikin |first4=Paul M. |date=2021-07-12 |title=गतिशील चरण संक्रमण के रूप में रैंडम क्लोज पैकिंग|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.127.038002 |journal=Physical Review Letters |language=en |volume=127 |issue=3 |pages=038002 |doi=10.1103/PhysRevLett.127.038002 |pmid=34328779 |bibcode=2021PhRvL.127c8002W |osti=1850634 |s2cid=236531841 |issn=0031-9007}}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Rissone |first1=Paolo |last2=Corwin |first2=Eric I. |last3=Parisi |first3=Giorgio |date=2021-07-12 |title=जाम पैकिंग में सहसंबंध की लंबी दूरी की विसंगतिपूर्ण क्षय|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.127.038001 |journal=Physical Review Letters |language=en |volume=127 |issue=3 |pages=038001 |doi=10.1103/PhysRevLett.127.038001 |pmid=34328763 |arxiv=2012.10181 |bibcode=2021PhRvL.127c8001R |s2cid=229331981 |issn=0031-9007}}</ref> अनाकार बर्फ,<ref>{{Cite journal |last1=Martelli |first1=Fausto |last2=Torquato |first2=Salvatore |last3=Giovambattista |first3=Nicolas |last4=Car |first4=Roberto |date=2017-09-29 |title=बड़े पैमाने पर संरचना और अनाकार बर्फ की अतिएकरूपता|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.119.136002 |journal=Physical Review Letters |volume=119 |issue=13 |pages=136002 |doi=10.1103/PhysRevLett.119.136002|pmid=29341697 |arxiv=1705.09961 |bibcode=2017PhRvL.119m6002M |s2cid=44864111 }}</ref> अनाकार धब्बेदार पैटर्न,<ref name="auto6">{{Cite journal |last1=Di Battista |first1=Diego |last2=Ancora |first2=Daniele |last3=Zacharakis |first3=Giannis |last4=Ruocco |first4=Giancarlo |last5=Leonetti |first5=Marco |date=2018-06-11 |title=अनाकार धब्बेदार पैटर्न में अति एकरूपता|url=https://www.osapublishing.org/abstract.cfm?URI=oe-26-12-15594 |journal=Optics Express |language=en |volume=26 |issue=12 |pages=15594–15608 |doi=10.1364/OE.26.015594 |pmid=30114818 |arxiv=1803.09550 |bibcode=2018OExpr..2615594D |hdl=11311/1142259 |s2cid=52031100 |issn=1094-4087}}</ref> कुछ फर्मिओनिक सिस्टम,<ref>{{Cite journal |last1=Torquato |first1=Salvatore |last2=Scardicchio |first2=A |last3=Zachary |first3=Chase E |date=2008-11-27 |title=फर्मिओनिक गैसों, यादृच्छिक मैट्रिक्स सिद्धांत और संख्या सिद्धांत से मनमाने आयाम में बिंदु प्रक्रियाएं|journal=Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment |volume=2008 |issue=11 |pages=P11019 |doi=10.1088/1742-5468/2008/11/P11019 |arxiv=0809.0449 |bibcode=2008JSMTE..11..019T |s2cid=6252369 |issn=1742-5468}}</ref> यादृच्छिक स्व-संगठन,<ref name="auto10">{{Cite journal |last1=Hexner |first1=Daniel |last2=Levine |first2=Dov |date=2015-03-20 |title=क्रिटिकल एब्जॉर्बिंग स्टेट्स की अतिएकरूपता|journal=Physical Review Letters |language=en |volume=114 |issue=11 |pages=110602 |doi=10.1103/PhysRevLett.114.110602 |pmid=25839254 |arxiv=1407.0146 |bibcode=2015PhRvL.114k0602H |s2cid=23951607 |issn=0031-9007}}</ref><ref name="SA-19">{{cite journal |last1=Lei |first1=Qunli |last2=Pica Ciamarra |first2=Massimo |last3=Ni |first3=Ran |title=बड़े स्थानीय घनत्व के उतार-चढ़ाव के साथ सर्कल सक्रिय कणों के गैर-संतुलन दृढ़ता से हाइपरयूनिफॉर्म तरल पदार्थ|journal=Science Advances |date=Jan 25, 2019 |volume=5 |issue=1 |page=eaau7423 |doi=10.1126/sciadv.aau7423 |pmid=30746459 |pmc=6357732 |bibcode=2019SciA....5.7423L |arxiv=1802.03682}}</ref> <ref name="HUF-19">{{cite journal |last1=Lei |first1=Qunli |last2=Ni |first2=Ran |title=यादृच्छिक-संगठित हाइपरयूनिफ़ॉर्म तरल पदार्थों की हाइड्रोडायनामिक्स|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America |date=Nov 12, 2019 |volume=116 |issue=46 |pages=22983–22989 |doi=10.1073/pnas.1911596116 |pmid=31666326 |pmc=6859356 |arxiv=1904.07514 |bibcode=2019PNAS..11622983L|doi-access=free }}</ref><ref name="auto9">{{Cite journal |last1=Hexner |first1=Daniel |last2=Chaikin |first2=Paul M. |last3=Levine |first3=Dov |date=2017-04-25 |title=यादृच्छिक पुनर्गठन से बढ़ी हुई अतिएकरूपता|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences |language=en |volume=114 |issue=17 |pages=4294–4299 |doi=10.1073/pnas.1619260114 |issn=0027-8424 |pmc=5410804 |pmid=28396393 |bibcode=2017PNAS..114.4294H|doi-access=free }}</ref><ref name="auto">{{Cite journal |last1=Garcia-Millan |first1=R. |last2=Pruessner |first2=G. |last3=Pickering |first3=L. |last4=Christensen |first4=K. |date=2018-07-17 |title=ओस्लो मॉडल के हिमस्खलन आकार में सहसंबंध और अतिसमानता|journal=EPL (Europhysics Letters) |volume=122 |issue=5 |pages=50003 |doi=10.1209/0295-5075/122/50003 |arxiv=1710.00179 |bibcode=2018EL....12250003G |s2cid=52440880 |issn=1286-4854}}</ref><ref name="auto12">{{Cite journal |last1=Ness |first1=Christopher |last2=Cates |first2=Michael E. |date=2020-02-27 |title=जैमिंग के करीब दानेदार सामग्री में अवशोषण-अवस्था परिवर्तन|journal=Physical Review Letters |language=en |volume=124 |issue=8 |pages=088004 |doi=10.1103/PhysRevLett.124.088004 |pmid=32167320 |arxiv=2001.10228 |bibcode=2020PhRvL.124h8004N |s2cid=210932396 |issn=0031-9007}}</ref><ref name="auto4">{{cite journal |last1=Wilken |first1=Sam |last2=Guerra |first2=Rodrigo E. |last3=Pine |first3=David J. |last4=Chaikin |first4=Paul M. |date=2020-02-11 |title=शीयरिंग कोलाइडल सस्पेंशन द्वारा निर्मित हाइपरयूनिफ़ॉर्म संरचनाएँ|journal=Physical Review Letters |volume=125 |issue=14 |page=148001 |doi=10.1103/PhysRevLett.125.148001 |pmid=33064537 |arxiv=2002.04499|bibcode=2020PhRvL.125n8001W |s2cid=211075881 }}</ref> अव्यवस्थित जाली,<ref name="auto1">{{Cite journal |last1=Gabrielli |first1=Andrea |last2=Joyce |first2=Michael |last3=Sylos Labini |first3=Francesco |date=2002-04-11 |title=Glass-like universe: Real-space correlation properties of standard cosmological models |journal=Physical Review D |language=en |volume=65 |issue=8 |pages=083523 |doi=10.1103/PhysRevD.65.083523 |arxiv=astro-ph/0110451 |bibcode=2002PhRvD..65h3523G |s2cid=119442907 |issn=0556-2821}}</ref><ref name="auto7">{{Cite journal |last=Gabrielli |first=Andrea |year=2004 |title=बिंदु प्रक्रियाएं और स्टोकेस्टिक विस्थापन क्षेत्र|journal=Physical Review E |language=en |volume=70 |issue=6 |pages=066131 |doi=10.1103/PhysRevE.70.066131 |pmid=15697458 |arxiv=cond-mat/0409594 |bibcode=2004PhRvE..70f6131G |s2cid=33621420 |issn=1539-3755}}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Le Thien |first1=Q. |last2=McDermott |first2=D. |last3=Reichhardt |first3=C.J.O. |last4=Reichhardt |first4=C. |date=2017-09-15 |title=हाइपरयूनिफ़ॉर्म पिनिंग सरणियों में भंवरों के लिए उन्नत पिनिंग और बुझती विकार के साथ उभरती हाइपरयूनिफ़ॉर्म भंवर विन्यास|journal=Physical Review B |language=en |volume=96 |issue=9 |pages=094516 |doi=10.1103/PhysRevB.96.094516 |bibcode=2017PhRvB..96i4516L |s2cid=18031713 |issn=2469-9950 |doi-access=free}}</ref><ref name="auto3">{{Cite journal |last1=Klatt |first1=Michael A. |last2=Kim |first2=Jaeuk |last3=Torquato |first3=Salvatore |date=2020-03-13 |title=बेतरतीब ढंग से विकृत जाली के अंतर्निहित लंबी दूरी के क्रम को छिपाना|journal=Physical Review E |language=en |volume=101 |issue=3 |pages=032118 |doi=10.1103/PhysRevE.101.032118 |pmid=32289999 |arxiv=2001.08161 |bibcode=2020PhRvE.101c2118K |s2cid=210859161 |issn=2470-0045}}</ref> और एवियन फोटोरिसेप्टर कोशिकाएं।<ref name=":0"/>
-गणित में, संभाव्यता सिद्धांत के संदर्भ में अव्यवस्थित अतिएकरूपता का अध्ययन किया गया है,<ref name=":9" /><ref>{{Cite journal |last1=Ghosh |first1=Subhro |last2=Lebowitz |first2=Joel |year=2017 |title=अतिसजातीय यादृच्छिक बिंदु क्षेत्रों में संख्या कठोरता|journal=Journal of Statistical Physics |language=en |volume=166 |issue=3–4 |pages=1016–1027 |doi=10.1007/s10955-016-1633-6 |arxiv=1601.04216 |bibcode=2017JSP...166.1016G |s2cid=19675015 |issn=0022-4715}}</ref><ref name=":10" />ज्यामिति,<ref name=":12" /><ref name=":13"/>और संख्या सिद्धांत,<ref>{{Cite journal |last1=Zhang |first1=G |last2=Martelli |first2=F |last3=Torquato |first3=S |date=2018-03-16 |title=अभाज्य संख्याओं का संरचना कारक|url=https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1751-8121/aaa52a |journal=Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical |volume=51 |issue=11 |pages=115001 |doi=10.1088/1751-8121/aaa52a |arxiv=1801.01541 |bibcode=2018JPhA...51k5001Z |s2cid=67819480 |issn=1751-8113}}</ref><ref name=":11" /><ref>{{Cite journal |last1=Baake |first1=Michael |last2=Coons |first2=Michael |year=2021 |title=$k$ के विवर्तन माप की स्केलिंग - मूल के निकट मुक्त पूर्णांक|url=https://projecteuclid.org/euclid.mmj/1592877613 |journal=Michigan Mathematical Journal |volume=70 |pages=213–221 |language=en |doi=10.1307/mmj/1592877613 |issn=0026-2285 |arxiv=1904.00279|s2cid=90260746 }}</ref> जहां अभाज्य संख्याएं एक निश्चित स्केलिंग सीमा में प्रभावी रूप से आवधिक और हाइपरयूनिफॉर्म को सीमित करती पाई गई हैं।<ref name=":11"/>आगे के उदाहरणों में कुछ यादृच्छिक सैर शामिल हैं<ref>{{Cite journal |last1=Casini |first1=Emanuele |last2=Le Caër |first2=Gérard |last3=Martinelli |first3=Andrea |year=2015 |title=लघु हाइपरयूनिफ़ॉर्म रैंडम वॉक|journal=Journal of Statistical Physics |language=en |volume=160 |issue=1 |pages=254–273 |doi=10.1007/s10955-015-1244-7 |bibcode=2015JSP...160..254C |s2cid=45170541 |issn=0022-4715 |url=https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01139661/file/JSP-2015-%28GLC%29.pdf}}</ref> और बिंदु प्रक्रियाओं की स्थिर विवाह समस्या।<ref name=":14"/><ref name="auto8"/><ref name="auto2"/><ref name="auto11"/><ref name="auto5"/><ref>{{Cite journal |last1=Chieco |first1=A.T. |last2=Zu |first2=M. |last3=Liu |first3=A.J. |last4=Xu |first4=N. |last5=Durian |first5=D.J. |date=2018-10-17 |title=जाम और बिना जाम वाली सॉफ्ट डिस्क के लिए संरचना का स्पेक्ट्रम|journal=Physical Review E |language=en |volume=98 |issue=4 |pages=042606 |doi=10.1103/PhysRevE.98.042606 |arxiv=1806.10118 |bibcode=2018PhRvE..98d2606C |s2cid=119448635 |issn=2470-0045 |author5-link=Douglas Durian}}</ref>
+गणित में, संभाव्यता सिद्धांत के संदर्भ में अव्यवस्थित अतिएकरूपता का अध्ययन किया गया है,<ref name=":9" /><ref>{{Cite journal |last1=Ghosh |first1=Subhro |last2=Lebowitz |first2=Joel |year=2017 |title=अतिसजातीय यादृच्छिक बिंदु क्षेत्रों में संख्या कठोरता|journal=Journal of Statistical Physics |language=en |volume=166 |issue=3–4 |pages=1016–1027 |doi=10.1007/s10955-016-1633-6 |arxiv=1601.04216 |bibcode=2017JSP...166.1016G |s2cid=19675015 |issn=0022-4715}}</ref><ref name=":10" />ज्यामिति,<ref name=":12" /><ref name=":13"/>और संख्या सिद्धांत,<ref>{{Cite journal |last1=Zhang |first1=G |last2=Martelli |first2=F |last3=Torquato |first3=S |date=2018-03-16 |title=अभाज्य संख्याओं का संरचना कारक|url=https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1751-8121/aaa52a |journal=Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical |volume=51 |issue=11 |pages=115001 |doi=10.1088/1751-8121/aaa52a |arxiv=1801.01541 |bibcode=2018JPhA...51k5001Z |s2cid=67819480 |issn=1751-8113}}</ref><ref name=":11" /><ref>{{Cite journal |last1=Baake |first1=Michael |last2=Coons |first2=Michael |year=2021 |title=$k$ के विवर्तन माप की स्केलिंग - मूल के निकट मुक्त पूर्णांक|url=https://projecteuclid.org/euclid.mmj/1592877613 |journal=Michigan Mathematical Journal |volume=70 |pages=213–221 |language=en |doi=10.1307/mmj/1592877613 |issn=0026-2285 |arxiv=1904.00279|s2cid=90260746 }}</ref> जहां अभाज्य संख्याएं निश्चित स्केलिंग सीमा में प्रभावी रूप से आवधिक और हाइपरयूनिफॉर्म को सीमित करती पाई गई हैं।<ref name=":11"/>आगे के उदाहरणों में कुछ यादृच्छिक सैर शामिल हैं<ref>{{Cite journal |last1=Casini |first1=Emanuele |last2=Le Caër |first2=Gérard |last3=Martinelli |first3=Andrea |year=2015 |title=लघु हाइपरयूनिफ़ॉर्म रैंडम वॉक|journal=Journal of Statistical Physics |language=en |volume=160 |issue=1 |pages=254–273 |doi=10.1007/s10955-015-1244-7 |bibcode=2015JSP...160..254C |s2cid=45170541 |issn=0022-4715 |url=https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01139661/file/JSP-2015-%28GLC%29.pdf}}</ref> और बिंदु प्रक्रियाओं की स्थिर विवाह समस्या।<ref name=":14"/><ref name="auto8"/><ref name="auto2"/><ref name="auto11"/><ref name="auto5"/><ref>{{Cite journal |last1=Chieco |first1=A.T. |last2=Zu |first2=M. |last3=Liu |first3=A.J. |last4=Xu |first4=N. |last5=Durian |first5=D.J. |date=2018-10-17 |title=जाम और बिना जाम वाली सॉफ्ट डिस्क के लिए संरचना का स्पेक्ट्रम|journal=Physical Review E |language=en |volume=98 |issue=4 |pages=042606 |doi=10.1103/PhysRevE.98.042606 |arxiv=1806.10118 |bibcode=2018PhRvE..98d2606C |s2cid=119448635 |issn=2470-0045 |author5-link=Douglas Durian}}</ref>
 ===अतिएकरूपता का आदेश दिया गया===
 आदेशित, हाइपरयूनिफ़ॉर्म सिस्टम के उदाहरणों में सभी क्रिस्टल शामिल हैं,<ref name="PRE-68" />सभी क्वासिक्रिस्टल,<ref name=":15" /><ref name=":16" /><ref>{{cite journal |last1=Lin |first1=C. |last2=Steinhardt |first2=P.J. |last3=Torquato |first3=S. |date=2017-04-13 |title=क्वासिक्रिस्टल स्थानीय समरूपता वर्ग के साथ अतिएकरूपता भिन्नता|url=https://doi.org/10.1088/1361-648X/aa6944 |journal=Journal of Physics: Condensed Matter |volume=29 |issue=20 |pages=204003 |bibcode=2017JPCM...29t4003L |doi=10.1088/1361-648x/aa6944 |issn=0953-8984 |pmid=28345537 |s2cid=46764513}}</ref> और सीमा-आवधिक सेट।<ref>{{cite journal |last1=Baake |first1=Michael |last2=Grimm |first2=Uwe |date=2019-05-23 |title=Scaling of diffraction intensities near the origin: Some rigorous results |journal=Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment |volume=2019 |issue=5 |pages=054003 |arxiv=1905.04177 |bibcode=2019JSMTE..05.4003B |doi=10.1088/1742-5468/ab02f2 |issn=1742-5468 |doi-access=free}}</ref> जबकि कमजोर रूप से सहसंबद्ध शोर आम तौर पर हाइपरयूनिफ़ॉर्मिटी को संरक्षित करता है, सीमित तापमान पर सहसंबद्ध उत्तेजनाएं हाइपरयूनिफ़ॉर्मिटी को नष्ट कर देती हैं।<ref>{{cite journal |last1=Kim |first1=Jaeuk |last2=Torquato |first2=Salvatore |date=2018-02-12 |title=अनेक-शरीर प्रणालियों की अतिएकरूपता पर अपूर्णताओं का प्रभाव|journal=Physical Review&nbsp;B |language=en |volume=97 |issue=5 |pages=054105 |doi=10.1103/PhysRevB.97.054105 |bibcode=2018PhRvB..97e4105K |issn=2469-9950 |doi-access=free}}</ref> क्रैमिंग के परिणामस्वरूप सहसंबद्ध इलेक्ट्रॉन प्रणालियों में फर्मिओनिक क्वांटम पदार्थ के लिए हाइपरयूनिफ़ॉर्मिटी की भी सूचना दी गई थी।<ref>{{cite journal |last1=Gerasimenko |display-authors=etal |year=2019 |title=Quantum jamming transition to a correlated electron glass in 1T-TaS2 |journal=Nature Materials |volume=317 |issue=10 |pages=1078–1083 |doi=10.1038/s41563-019-0423-3 |pmid=31308513 |bibcode=2019NatMa..18.1078G |s2cid=196810837 |arxiv=1803.00255}}</ref>
 ===अव्यवस्थित अतिएकरूपता===
-साल्वाटोर टॉर्काटो (2014)<ref name=":6"/>मार्बल्स के एक हिले हुए बक्से में पाए गए छिपे हुए क्रम का एक उदाहरण देता है,<ref name=":6"/>जो एक व्यवस्था में आते हैं, जिसे अधिकतम यादृच्छिक जाम पैकिंग कहा जाता है।<ref name=":5"/><ref>{{Cite journal |last1=Atkinson |first1=Steven |last2=Stillinger |first2=Frank H. |last3=Torquato |first3=Salvatore |date=2014-12-30 |title=आइसोस्टैटिक, अधिकतम यादृच्छिक जाम मोनोडिस्पर्स हार्ड-डिस्क पैकिंग का अस्तित्व|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences |language=en |volume=111 |issue=52 |pages=18436–18441 |doi=10.1073/pnas.1408371112 |issn=0027-8424 |pmc=4284597 |pmid=25512529 |bibcode=2014PNAS..11118436A|doi-access=free }}</ref> इस तरह के छिपे हुए क्रम का उपयोग अंततः स्वयं-संगठित [[कोलाइड]]्स या [[प्रकाशिकी]] के लिए किया जा सकता है, जिसमें क्रिस्टल जैसी दक्षता के साथ लेकिन अत्यधिक लचीले डिजाइन के साथ प्रकाश संचारित करने की क्षमता होती है।<ref name=":6">{{cite press release |first=Morgan |last=Kelly |date=2014-02-24 |df=dmy-all |title=मुर्गे की आँख में पदार्थ की एक नई अवस्था सामने आती है|publisher=[[Princeton University]] |place=Princeton, NJ |url=https://www.princeton.edu/main/news/archive/S39/32/02E70/index.xml?section=topstories |access-date=2021-03-08}}</ref>
+साल्वाटोर टॉर्काटो (2014)<ref name=":6"/>मार्बल्स के हिले हुए बक्से में पाए गए छिपे हुए क्रम का उदाहरण देता है,<ref name=":6"/>जो व्यवस्था में आते हैं, जिसे अधिकतम यादृच्छिक जाम पैकिंग कहा जाता है।<ref name=":5"/><ref>{{Cite journal |last1=Atkinson |first1=Steven |last2=Stillinger |first2=Frank H. |last3=Torquato |first3=Salvatore |date=2014-12-30 |title=आइसोस्टैटिक, अधिकतम यादृच्छिक जाम मोनोडिस्पर्स हार्ड-डिस्क पैकिंग का अस्तित्व|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences |language=en |volume=111 |issue=52 |pages=18436–18441 |doi=10.1073/pnas.1408371112 |issn=0027-8424 |pmc=4284597 |pmid=25512529 |bibcode=2014PNAS..11118436A|doi-access=free }}</ref> इस तरह के छिपे हुए क्रम का उपयोग अंततः स्वयं-संगठित [[कोलाइड]]्स या [[प्रकाशिकी]] के लिए किया जा सकता है, जिसमें क्रिस्टल जैसी दक्षता के साथ लेकिन अत्यधिक लचीले डिजाइन के साथ प्रकाश संचारित करने की क्षमता होती है।<ref name=":6">{{cite press release |first=Morgan |last=Kelly |date=2014-02-24 |df=dmy-all |title=मुर्गे की आँख में पदार्थ की एक नई अवस्था सामने आती है|publisher=[[Princeton University]] |place=Princeton, NJ |url=https://www.princeton.edu/main/news/archive/S39/32/02E70/index.xml?section=topstories |access-date=2021-03-08}}</ref>
-यह पाया गया है कि अव्यवस्थित हाइपरयूनिफ़ॉर्म सिस्टम में अद्वितीय ऑप्टिकल गुण होते हैं। उदाहरण के लिए, अव्यवस्थित पॉल स्टीनहार्ट#फोटोनिक्स और हाइपरयूनिफॉर्मिटी में पूर्ण फोटोनिक बैंड अंतराल प्रदर्शित होते पाए गए हैं जो आकार में फोटोनिक क्रिस्टल के बराबर हैं लेकिन आइसोट्रॉपी के अतिरिक्त लाभ के साथ, जो क्रिस्टल के साथ फ्री-फॉर्म [[ वेवगाइड (प्रकाशिकी) ]] को संभव नहीं बनाता है। संरचनाएँ।<ref name=":1"/><ref name=":2"/><ref>{{cite journal |last1=Froufe-Pérez |first1=Luis S. |last2=Engel |first2=Michael |last3=Sáenz |first3=Juan José |last4=Scheffold |first4=Frank |date=2017-09-05 |title=संरचनात्मक सहसंबंधों के साथ अव्यवस्थित फोटोनिक सामग्रियों में बैंड गैप गठन और एंडरसन स्थानीयकरण|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences |language=en |volume=114 |issue=36 |pages=9570–9574 |doi=10.1073/pnas.1705130114 |issn=0027-8424 |pmc=5594660 |pmid=28831009 |arxiv=1702.03883 |bibcode=2017PNAS..114.9570F|doi-access=free }}</ref><ref>{{cite journal |last1=Milošević |first1=Milan M. |last2=Man |first2=Weining |last3=Nahal |first3=Geev |last4=Steinhardt |first4=Paul J. |last5=Torquato |first5=Salvatore |last6=Chaikin |first6=Paul M. |last7=Amoah |first7=Timothy |last8=Yu |first8=Bowen |last9=Mullen |first9=Ruth Ann |last10=Florescu |first10=Marian |year=2019 |title=निकट अवरक्त सिलिकॉन फोटोनिक्स के लिए हाइपरयूनिफ़ॉर्म अव्यवस्थित वेवगाइड और उपकरण|journal=Scientific Reports |language=en |volume=9 |issue=1 |pages=20338 |issn=2045-2322 |pmc=6937303 |doi=10.1038/s41598-019-56692-5 |bibcode=2019NatSR...920338M |pmid=31889165}}</ref> इसके अलावा, गुप्त हाइपरयूनिफ़ॉर्म सिस्टम में,<ref name=":4"/>सामग्री के लिए विशिष्ट मूल्य से अधिक लंबी किसी भी तरंग दैर्ध्य का प्रकाश उच्च कण घनत्व के लिए भी बिना नुकसान (सहसंबद्ध विकार के कारण) के आगे बढ़ने में सक्षम है।<ref name=":7"/>
+यह पाया गया है कि अव्यवस्थित हाइपरयूनिफ़ॉर्म सिस्टम में अद्वितीय ऑप्टिकल गुण होते हैं। उदाहरण के लिए, अव्यवस्थित पॉल स्टीनहार्ट#फोटोनिक्स और हाइपरयूनिफॉर्मिटी में पूर्ण फोटोनिक बैंड अंतराल प्रदर्शित होते पाए गए हैं जो आकार में फोटोनिक क्रिस्टल के बराबर हैं लेकिन आइसोट्रॉपी के अतिरिक्त लाभ के साथ, जो क्रिस्टल के साथ फ्री-फॉर्म [[ वेवगाइड (प्रकाशिकी) |वेवगाइड (प्रकाशिकी)]] को संभव नहीं बनाता है। संरचनाएँ।<ref name=":1"/><ref name=":2"/><ref>{{cite journal |last1=Froufe-Pérez |first1=Luis S. |last2=Engel |first2=Michael |last3=Sáenz |first3=Juan José |last4=Scheffold |first4=Frank |date=2017-09-05 |title=संरचनात्मक सहसंबंधों के साथ अव्यवस्थित फोटोनिक सामग्रियों में बैंड गैप गठन और एंडरसन स्थानीयकरण|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences |language=en |volume=114 |issue=36 |pages=9570–9574 |doi=10.1073/pnas.1705130114 |issn=0027-8424 |pmc=5594660 |pmid=28831009 |arxiv=1702.03883 |bibcode=2017PNAS..114.9570F|doi-access=free }}</ref><ref>{{cite journal |last1=Milošević |first1=Milan M. |last2=Man |first2=Weining |last3=Nahal |first3=Geev |last4=Steinhardt |first4=Paul J. |last5=Torquato |first5=Salvatore |last6=Chaikin |first6=Paul M. |last7=Amoah |first7=Timothy |last8=Yu |first8=Bowen |last9=Mullen |first9=Ruth Ann |last10=Florescu |first10=Marian |year=2019 |title=निकट अवरक्त सिलिकॉन फोटोनिक्स के लिए हाइपरयूनिफ़ॉर्म अव्यवस्थित वेवगाइड और उपकरण|journal=Scientific Reports |language=en |volume=9 |issue=1 |pages=20338 |issn=2045-2322 |pmc=6937303 |doi=10.1038/s41598-019-56692-5 |bibcode=2019NatSR...920338M |pmid=31889165}}</ref> इसके अलावा, गुप्त हाइपरयूनिफ़ॉर्म सिस्टम में,<ref name=":4"/>सामग्री के लिए विशिष्ट मूल्य से अधिक लंबी किसी भी तरंग दैर्ध्य का प्रकाश उच्च कण घनत्व के लिए भी बिना नुकसान (सहसंबद्ध विकार के कारण) के आगे बढ़ने में सक्षम है।<ref name=":7"/>
-इसके विपरीत, ऐसी स्थितियों में जहां प्रकाश एक ही घनत्व की असंबद्ध, अव्यवस्थित सामग्री के माध्यम से फैलता है, सामग्री एकाधिक बिखरने के कारण अपारदर्शी दिखाई देगी। "चुपके" हाइपरयूनिफ़ॉर्म सामग्रियों को सैद्धांतिक रूप से किसी भी तरंग दैर्ध्य के प्रकाश के लिए डिज़ाइन किया जा सकता है, और अवधारणा के अनुप्रयोग तरंग भौतिकी और सामग्री इंजीनियरिंग के विभिन्न प्रकार के क्षेत्रों को कवर करते हैं।<ref name=":7">{{cite journal |doi=10.1364/OPTICA.3.000763 |title=उच्च-घनत्व हाइपरयूनिफ़ॉर्म सामग्री पारदर्शी हो सकती है|journal=Optica |volume=3 |issue=7 |pages=763 |year=2016 |last1=Leseur |first1=O. |last2=Pierrat |first2=R. |last3=Carminati |first3=R. |arxiv=1510.05807 |bibcode=2016Optic...3..763L |s2cid=118443561}}</ref><ref>{{cite journal |last1=Gorsky |first1=S. |last2=Britton |first2=W. A. |last3=Chen |first3=Y. |last4=Montaner |first4=J. |last5=Lenef |first5=A. |last6=Raukas |first6=M. |last7=Dal Negro |first7=L. |date=2019-11-01 |title=दिशात्मक प्रकाश निष्कर्षण के लिए इंजीनियर्ड हाइपरयूनिफ़ॉर्मिटी|journal=APL Photonics |language=en |volume=4 |issue=11 |pages=110801 |doi=10.1063/1.5124302 |bibcode=2019APLP....4k0801G |issn=2378-0967 |doi-access=free}}</ref>
+इसके विपरीत, ऐसी स्थितियों में जहां प्रकाश ही घनत्व की असंबद्ध, अव्यवस्थित सामग्री के माध्यम से फैलता है, सामग्री एकाधिक बिखरने के कारण अपारदर्शी दिखाई देगी। "चुपके" हाइपरयूनिफ़ॉर्म सामग्रियों को सैद्धांतिक रूप से किसी भी तरंग दैर्ध्य के प्रकाश के लिए डिज़ाइन किया जा सकता है, और अवधारणा के अनुप्रयोग तरंग भौतिकी और सामग्री इंजीनियरिंग के विभिन्न प्रकार के क्षेत्रों को कवर करते हैं।<ref name=":7">{{cite journal |doi=10.1364/OPTICA.3.000763 |title=उच्च-घनत्व हाइपरयूनिफ़ॉर्म सामग्री पारदर्शी हो सकती है|journal=Optica |volume=3 |issue=7 |pages=763 |year=2016 |last1=Leseur |first1=O. |last2=Pierrat |first2=R. |last3=Carminati |first3=R. |arxiv=1510.05807 |bibcode=2016Optic...3..763L |s2cid=118443561}}</ref><ref>{{cite journal |last1=Gorsky |first1=S. |last2=Britton |first2=W. A. |last3=Chen |first3=Y. |last4=Montaner |first4=J. |last5=Lenef |first5=A. |last6=Raukas |first6=M. |last7=Dal Negro |first7=L. |date=2019-11-01 |title=दिशात्मक प्रकाश निष्कर्षण के लिए इंजीनियर्ड हाइपरयूनिफ़ॉर्मिटी|journal=APL Photonics |language=en |volume=4 |issue=11 |pages=110801 |doi=10.1063/1.5124302 |bibcode=2019APLP....4k0801G |issn=2378-0967 |doi-access=free}}</ref>
-मुर्गियों की आंखों में [[ फोटोरिसेप्टर कोशिका ]] पैटर्न में अव्यवस्थित हाइपरयूनिफॉर्मिटी पाई गई।<ref name=":0">{{cite journal |last1=Jiao |display-authors=etal |title=एवियन फोटोरिसेप्टर पैटर्न मल्टीस्केल पैकिंग समस्या के लिए एक अव्यवस्थित हाइपरयूनिफ़ॉर्म समाधान का प्रतिनिधित्व करते हैं|journal=Physical Review E |year=2014 |volume=89 |issue=2 |page=022721 |doi=10.1103/PhysRevE.89.022721 |pmid=25353522 |pmc=5836809 |arxiv=1402.6058 |bibcode=2014PhRvE..89b2721J}}</ref> ऐसा इसलिए माना जाता है क्योंकि चिकन या अन्य पक्षियों की आंखों में प्रकाश-संवेदनशील कोशिकाएं आसानी से एक इष्टतम क्रिस्टलीय व्यवस्था प्राप्त नहीं कर सकती हैं, बल्कि एक अव्यवस्थित विन्यास बनाती हैं जो यथासंभव एक समान होता है।<ref name=":0"/><ref>{{cite web |url=https://gizmodo.com/disordered-hyperuniformity-a-weird-new-state-of-matter-1548659862 |title=Disordered hyperuniformity: A weird new state of matter in chicken eyes |author=Melissa |website=TodayIFoundOut.com |date=March 21, 2014 |publisher=Gawker Media |via=Gizmodo}}</ref><ref>{{cite news |url=https://www.huffingtonpost.com/2014/02/26/chicken-eye-weird-state-of-matter_n_4854897.html |title=वैज्ञानिकों ने मुर्गे की आंख में देखा और पदार्थ की अजीब नई अवस्था की खोज की|author=David Freeman |date=26 February 2014 |work=The Huffington Post |access-date=20 December 2015}}</ref> वास्तव में, यह एवियन शंकु पैटर्न की मुलिथिपेरुनिफ़ॉर्मिटी की उल्लेखनीय संपत्ति है, जो पक्षियों को तीव्र रंग संवेदन प्राप्त करने में सक्षम बनाती है।<ref name=":0"/>
+मुर्गियों की आंखों में [[ फोटोरिसेप्टर कोशिका |फोटोरिसेप्टर कोशिका]] पैटर्न में अव्यवस्थित हाइपरयूनिफॉर्मिटी पाई गई।<ref name=":0">{{cite journal |last1=Jiao |display-authors=etal |title=एवियन फोटोरिसेप्टर पैटर्न मल्टीस्केल पैकिंग समस्या के लिए एक अव्यवस्थित हाइपरयूनिफ़ॉर्म समाधान का प्रतिनिधित्व करते हैं|journal=Physical Review E |year=2014 |volume=89 |issue=2 |page=022721 |doi=10.1103/PhysRevE.89.022721 |pmid=25353522 |pmc=5836809 |arxiv=1402.6058 |bibcode=2014PhRvE..89b2721J}}</ref> ऐसा इसलिए माना जाता है क्योंकि चिकन या अन्य पक्षियों की आंखों में प्रकाश-संवेदनशील कोशिकाएं आसानी से इष्टतम क्रिस्टलीय व्यवस्था प्राप्त नहीं कर सकती हैं, बल्कि अव्यवस्थित विन्यास बनाती हैं जो यथासंभव समान होता है।<ref name=":0"/><ref>{{cite web |url=https://gizmodo.com/disordered-hyperuniformity-a-weird-new-state-of-matter-1548659862 |title=Disordered hyperuniformity: A weird new state of matter in chicken eyes |author=Melissa |website=TodayIFoundOut.com |date=March 21, 2014 |publisher=Gawker Media |via=Gizmodo}}</ref><ref>{{cite news |url=https://www.huffingtonpost.com/2014/02/26/chicken-eye-weird-state-of-matter_n_4854897.html |title=वैज्ञानिकों ने मुर्गे की आंख में देखा और पदार्थ की अजीब नई अवस्था की खोज की|author=David Freeman |date=26 February 2014 |work=The Huffington Post |access-date=20 December 2015}}</ref> वास्तव में, यह एवियन शंकु पैटर्न की मुलिथिपेरुनिफ़ॉर्मिटी की उल्लेखनीय संपत्ति है, जो पक्षियों को तीव्र रंग संवेदन प्राप्त करने में सक्षम बनाती है।<ref name=":0"/>
 हाल ही में अनाकार 2‑D सामग्रियों में अव्यवस्थित हाइपरयूनिफ़ॉर्मिटी की खोज की गई थी, जिसे सामग्री में इलेक्ट्रॉनिक परिवहन को बढ़ाने के लिए दिखाया गया था।<ref>{{cite journal |last1=Yu |display-authors=etal |year=2020 |title=द्वि-आयामी अनाकार सिलिका में अव्यवस्थित अतिसमानता|journal=Science Advances |volume=6 |issue=16 |page=eaba0826 |doi=10.1126/sciadv.aba0826 |pmid=32494625 |pmc=7164937 |bibcode=2020SciA....6A.826Z |s2cid=218844271 |doi-access=free}}</ref> यह रहस्यमय जैविक पैटर्न में भी उभर सकता है जिसे फेयरी सर्कल (शुष्क घास निर्माण) के रूप में जाना जाता है - वृत्त और वृत्तों के पैटर्न जो शुष्क स्थानों में उभरते हैं।<ref>{{cite news |newspaper=[[The Washington Post]] |date=2017-01-18 |url=https://www.washingtonpost.com/news/speaking-of-science/wp/2017/01/18/the-astonishing-science-behind-namibias-mysterious-fairy-circles/ |title=Dragons, aliens, bugs? Scientists may have solved the mystery of the desert's 'fairy circles' |quote=The thing that immediately caught my eye about what they had was it seemed to fall into an exotic type of patterning I call ''‘hyperuniformity’''. — Salvatore Torquato}}</ref><ref>{{cite journal |last1=Getzin |first1=Stephan |display-authors=etal |year=2016 |title=ऑस्ट्रेलिया में परी मंडलों की खोज स्व-संगठन सिद्धांत1 का समर्थन करती है|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences |volume=113 |issue=13 |pages=3551–3556 |bibcode=2016PNAS..113.3551G |doi=10.1073/pnas.1522130113 |pmc=4822591 |pmid=26976567 |url=|via=researchgate.net|doi-access=free }}</ref>
 ==अव्यवस्थित, लेकिन अत्यधिक समान सामग्री बनाना==
 अव्यवस्थित हाइपरयूनिफ़ॉर्म सामग्रियों को बनाने की चुनौती को आंशिक रूप से दोषों और थर्मल उतार-चढ़ाव जैसी खामियों की अपरिहार्य उपस्थिति के लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है। उदाहरण के लिए, संपीडनशीलता#ऊष्मप्रवैगिकी |उतार-चढ़ाव-संपीड़न संबंध यह निर्देश देता है कि थर्मल संतुलन में कोई भी संपीड़ित एक-घटक तरल पदार्थ परिमित तापमान पर सख्ती से हाइपरयूनिफॉर्म नहीं हो सकता है।<ref name=":3"/>
-हाल ही में क्रेमोस और डगलस (2018) ने आणविक स्तर पर हाइपरयूनिफ़ॉर्म सामग्रियों के व्यावहारिक निर्माण के लिए एक डिज़ाइन नियम प्रस्तावित किया है।<ref name="PRL-18">{{cite journal |last1=Chremos |first1=Alexandros |last2=Douglas |first2=Douglas F. |title=नरम पॉलिमरिक सामग्रियों में छिपी अति एकरूपता|journal=Physical Review Letters |date=Dec 21, 2018 |volume=121 |issue=25 |page=258002 |doi=10.1103/PhysRevLett.121.258002 |pmid=30608782 |bibcode=2018PhRvL.121y8002C |doi-access=free}}</ref><ref name=":8">{{cite journal |last=Chremos |first=Alexandros |date=2020-08-07 |title=लगभग पूर्ण हाइपरयूनिफ़ॉर्म पॉलिमरिक सामग्रियों का डिज़ाइन|journal=The Journal of Chemical Physics |language=en |volume=153 |issue=5 |pages=054902 |doi=10.1063/5.0017861 |pmid=32770903 |bibcode=2020JChPh.153e4902C |issn=0021-9606|pmc=7530914 }}</ref> विशेष रूप से, हाइपरयूनिफ़ॉर्मिटी इंडेक्स द्वारा मापी गई प्रभावी हाइपरयूनिफ़ॉर्मिटी अणुओं के विशिष्ट भागों (उदाहरण के लिए, स्टार पॉलिमर के मूल या बॉटलब्रश पॉलिमर के मामले में बैकबोन चेन) द्वारा प्राप्त की जाती है।<ref>{{cite journal |last1=Atkinson |first1=Steven |last2=Zhang |first2=Ge |last3=Hopkins |first3=Adam B. |last4=Torquato |first4=Salvatore |date=2016-07-08 |title=जामिंग के प्रति दृष्टिकोण में गंभीर धीमापन और अत्यधिक एकरूपता|journal=Physical Review&nbsp;E |language=en |volume=94 |issue=1 |pages=012902 |doi=10.1103/PhysRevE.94.012902 |pmid=27575201 |arxiv=1606.05227 |bibcode=2016PhRvE..94a2902A |s2cid=12103288 |issn=2470-0045}}</ref><ref name=":3" />
+हाल ही में क्रेमोस और डगलस (2018) ने आणविक स्तर पर हाइपरयूनिफ़ॉर्म सामग्रियों के व्यावहारिक निर्माण के लिए डिज़ाइन नियम प्रस्तावित किया है।<ref name="PRL-18">{{cite journal |last1=Chremos |first1=Alexandros |last2=Douglas |first2=Douglas F. |title=नरम पॉलिमरिक सामग्रियों में छिपी अति एकरूपता|journal=Physical Review Letters |date=Dec 21, 2018 |volume=121 |issue=25 |page=258002 |doi=10.1103/PhysRevLett.121.258002 |pmid=30608782 |bibcode=2018PhRvL.121y8002C |doi-access=free}}</ref><ref name=":8">{{cite journal |last=Chremos |first=Alexandros |date=2020-08-07 |title=लगभग पूर्ण हाइपरयूनिफ़ॉर्म पॉलिमरिक सामग्रियों का डिज़ाइन|journal=The Journal of Chemical Physics |language=en |volume=153 |issue=5 |pages=054902 |doi=10.1063/5.0017861 |pmid=32770903 |bibcode=2020JChPh.153e4902C |issn=0021-9606|pmc=7530914 }}</ref> विशेष रूप से, हाइपरयूनिफ़ॉर्मिटी इंडेक्स द्वारा मापी गई प्रभावी हाइपरयूनिफ़ॉर्मिटी अणुओं के विशिष्ट भागों (उदाहरण के लिए, स्टार पॉलिमर के मूल या बॉटलब्रश पॉलिमर के मामले में बैकबोन चेन) द्वारा प्राप्त की जाती है।<ref>{{cite journal |last1=Atkinson |first1=Steven |last2=Zhang |first2=Ge |last3=Hopkins |first3=Adam B. |last4=Torquato |first4=Salvatore |date=2016-07-08 |title=जामिंग के प्रति दृष्टिकोण में गंभीर धीमापन और अत्यधिक एकरूपता|journal=Physical Review&nbsp;E |language=en |volume=94 |issue=1 |pages=012902 |doi=10.1103/PhysRevE.94.012902 |pmid=27575201 |arxiv=1606.05227 |bibcode=2016PhRvE..94a2902A |s2cid=12103288 |issn=2470-0045}}</ref><ref name=":3" />
 इन विशेषताओं के संयोजन से आणविक पैकिंग होती है जो छोटे और बड़े दोनों लंबाई के पैमाने पर अत्यधिक समान होती है।<ref name="PRL-18" /><ref name=":8"/>
 ==गैर-संतुलन हाइपरयूनिफ़ॉर्म तरल पदार्थ और लंबाई स्केल==
-अव्यवस्थित हाइपरयूनिफॉर्मिटी का तात्पर्य एक लंबी दूरी के ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण (ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण) से है।<ref name="PRE-68"/>एक संतुलन कई-कण प्रणाली में, इसके लिए नाजुक रूप से डिजाइन किए गए प्रभावी ढंग से लंबी दूरी की बातचीत की आवश्यकता होती है, जो गैर-संतुलन हाइपरयूनिफॉर्म राज्यों की गतिशील स्व-संयोजन के लिए आवश्यक नहीं है। 2019 में, नी और सहकर्मियों ने सैद्धांतिक रूप से एक गैर-संतुलन दृढ़ता से हाइपरयूनिफ़ॉर्म द्रव चरण की भविष्यवाणी की, जो गोलाकार रूप से तैरने वाले सक्रिय कठोर क्षेत्रों की प्रणालियों में मौजूद है,<ref name="SA-19"/>जिसकी 2022 में प्रायोगिक तौर पर पुष्टि की गई।<ref name="PRL-22">{{cite journal |last1=Zhang |first1=Bo |last2= Snezhko |first2= Alexey |title=ट्यून करने योग्य आंतरिक संरचना के साथ हाइपरयूनिफ़ॉर्म सक्रिय चिरल तरल पदार्थ|journal=Physical Review Letters |date=May 27, 2022 |volume=128 |issue=21 |page= 218002 |doi=10.1103/PhysRevLett.128.218002 |pmid=35687470 |arxiv=2205.12384 |bibcode=2022PhRvL.128u8002Z |s2cid=249063085 }}</ref>
+अव्यवस्थित हाइपरयूनिफॉर्मिटी का तात्पर्य लंबी दूरी के ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण (ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण) से है।<ref name="PRE-68"/>एक संतुलन कई-कण प्रणाली में, इसके लिए नाजुक रूप से डिजाइन किए गए प्रभावी ढंग से लंबी दूरी की बातचीत की आवश्यकता होती है, जो गैर-संतुलन हाइपरयूनिफॉर्म राज्यों की गतिशील स्व-संयोजन के लिए आवश्यक नहीं है। 2019 में, नी और सहकर्मियों ने सैद्धांतिक रूप से गैर-संतुलन दृढ़ता से हाइपरयूनिफ़ॉर्म द्रव चरण की भविष्यवाणी की, जो गोलाकार रूप से तैरने वाले सक्रिय कठोर क्षेत्रों की प्रणालियों में मौजूद है,<ref name="SA-19"/>जिसकी 2022 में प्रायोगिक तौर पर पुष्टि की गई।<ref name="PRL-22">{{cite journal |last1=Zhang |first1=Bo |last2= Snezhko |first2= Alexey |title=ट्यून करने योग्य आंतरिक संरचना के साथ हाइपरयूनिफ़ॉर्म सक्रिय चिरल तरल पदार्थ|journal=Physical Review Letters |date=May 27, 2022 |volume=128 |issue=21 |page= 218002 |doi=10.1103/PhysRevLett.128.218002 |pmid=35687470 |arxiv=2205.12384 |bibcode=2022PhRvL.128u8002Z |s2cid=249063085 }}</ref>
-इस नए हाइपरयूनिफ़ॉर्म तरल पदार्थ में एक विशेष लंबाई का पैमाना होता है, यानी, सक्रिय कणों के गोलाकार प्रक्षेपवक्र का व्यास, जिसके नीचे बड़े घनत्व में उतार-चढ़ाव देखा जाता है। इसके अलावा, एक सामान्यीकृत यादृच्छिक आयोजन मॉडल के आधार पर, लेई और नी (2019)<ref name="HUF-19"/>गैर-संतुलन हाइपरयूनिफ़ॉर्म तरल पदार्थों के लिए एक हाइड्रोडायनामिक सिद्धांत तैयार किया, और लंबाई का पैमाना जिसके ऊपर सिस्टम हाइपरयूनिफ़ॉर्म है, कणों की जड़ता द्वारा नियंत्रित किया जाता है। सिद्धांत स्टोकेस्टिक हार्मोनिक ऑसिलेटर के अवमंदन के रूप में द्रव अतिसमानता के तंत्र को सामान्यीकृत करता है, जो इंगित करता है कि दबा हुआ लंबी-तरंग दैर्ध्य घनत्व में उतार-चढ़ाव या तो ध्वनिक (अनुनाद) मोड या डिफ्यूसिव (ओवरडैम्प्ड) मोड के रूप में प्रदर्शित हो सकता है।<ref name="HUF-19"/>
+इस नए हाइपरयूनिफ़ॉर्म तरल पदार्थ में विशेष लंबाई का पैमाना होता है, यानी, सक्रिय कणों के गोलाकार प्रक्षेपवक्र का व्यास, जिसके नीचे बड़े घनत्व में उतार-चढ़ाव देखा जाता है। इसके अलावा, सामान्यीकृत यादृच्छिक आयोजन मॉडल के आधार पर, लेई और नी (2019)<ref name="HUF-19"/>गैर-संतुलन हाइपरयूनिफ़ॉर्म तरल पदार्थों के लिए हाइड्रोडायनामिक सिद्धांत तैयार किया, और लंबाई का पैमाना जिसके ऊपर सिस्टम हाइपरयूनिफ़ॉर्म है, कणों की जड़ता द्वारा नियंत्रित किया जाता है। सिद्धांत स्टोकेस्टिक हार्मोनिक ऑसिलेटर के अवमंदन के रूप में द्रव अतिसमानता के तंत्र को सामान्यीकृत करता है, जो इंगित करता है कि दबा हुआ लंबी-तरंग दैर्ध्य घनत्व में उतार-चढ़ाव या तो ध्वनिक (अनुनाद) मोड या डिफ्यूसिव (ओवरडैम्प्ड) मोड के रूप में प्रदर्शित हो सकता है।<ref name="HUF-19"/>
 == यह भी देखें ==
 * क्रिस्टल
@@ Line 65: / Line 52: @@
 ==संदर्भ==
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