कॉम्पटन तरंगदैर्घ्य

कॉम्पटन स्कैटेरिंग दैर्ध्य कण की क्वांटम यांत्रिकी संपत्ति है, जिसे फोटॉन की तरंग दैर्ध्य के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसकी फोटॉन ऊर्जा उस कण की बाकी ऊर्जा के समान है (द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता देखें)। इसे 1923 में आर्थर कॉम्पटन द्वारा इलेक्ट्रॉनों द्वारा फोटोन के प्रकीर्णन (प्रक्रिया जिसे कॉम्पटन प्रकीर्णन के रूप में जाना जाता है) की अपनी व्याख्या में प्रस्तुत किया गया था।

मानक कॉम्पटन तरंग दैर्ध्य λ उचित द्रव्यमान के कण का $m$ द्वारा दिया गया है

$$\lambda ={\frac {h}{mc}},$$

कहाँ h प्लैंक स्थिरांक है और c प्रकाश की गति है. संगत आवृत्ति f द्वारा दिया गया है

$$f={\frac {mc^{2}}{h}},$$

और कोणीय आवृत्ति ω द्वारा दिया गया है

$$\omega ={\frac {mc^{2}}{\hbar }}.$$

इलेक्ट्रॉन की कॉम्पटन तरंगदैर्घ्य के लिए CODATA 2018 मान है 2.42631023867(73)×10⁻¹² m. अन्य कणों की कॉम्पटन तरंगदैर्ध्य भिन्न होती है।

कम कॉम्पटन तरंगदैर्घ्य

कॉम्पटन तरंगदैर्घ्य कम हो गया ƛ (वर्जित लैम्ब्डा, नीचे दर्शाया गया है ${\bar {\lambda }}$) को कॉम्पटन तरंगदैर्घ्य से विभाजित करके परिभाषित किया गया है 2π:

${\bar {\lambda }}={\frac {\lambda }{2\pi }}={\frac {\hbar }{mc}},$

कहाँ ħ घटा हुआ प्लैंक स्थिरांक है।

विशाल कणों के समीकरणों में भूमिका

व्युत्क्रम कम कॉम्पटन तरंग दैर्ध्य क्वांटम क्षेत्र पर द्रव्यमान के लिए प्राकृतिक प्रतिनिधित्व है, और इस तरह, यह क्वांटम यांत्रिकी के कई मूलभूत समीकरणों में दिखाई देता है। कम कॉम्पटन तरंग दैर्ध्य मुक्त कण के लिए सापेक्षतावादी क्लेन-गॉर्डन समीकरण में दिखाई देता है:

$$\mathbf {\nabla } ^{2}\psi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi =\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\psi .$$

यह डिराक समीकरण में दिखाई देता है (निम्नलिखित स्पष्ट रूप से आइंस्टीन संकेतन को नियोजित करने वाले वैक्टरों का सहप्रसरण और विरोधाभास है):

$$-i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi +\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)\psi =0.$$

कम कॉम्पटन तरंग दैर्ध्य श्रोडिंगर के समीकरण में भी मौजूद है, हालांकि यह समीकरण के पारंपरिक प्रतिनिधित्व में आसानी से स्पष्ट नहीं है। हाइड्रोजन जैसे परमाणु में इलेक्ट्रॉन के लिए श्रोडिंगर के समीकरण का पारंपरिक प्रतिनिधित्व निम्नलिखित है:

$$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi -{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {Ze^{2}}{r}}\psi .$$

द्वारा विभाजित करना $\hbar c$ और सूक्ष्म-संरचना स्थिरांक के संदर्भ में पुनः लिखने पर, कोई प्राप्त करता है:

$${\frac {i}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {\bar {\lambda }}{2}}\nabla ^{2}\psi -{\frac {\alpha Z}{r}}\psi .$$

कम और गैर-कम के बीच अंतर

घटी हुई कॉम्पटन तरंग दैर्ध्य क्वांटम पैमाने पर द्रव्यमान का प्राकृतिक प्रतिनिधित्व है और इसका उपयोग उन समीकरणों में किया जाता है जो जड़त्वीय द्रव्यमान से संबंधित हैं, जैसे कि क्लेन-गॉर्डन और श्रोडिंगर के समीकरण।

द्रव्यमान के साथ परस्पर क्रिया करने वाले फोटॉन की तरंग दैर्ध्य से संबंधित समीकरण गैर-कम किए गए कॉम्पटन तरंग दैर्ध्य का उपयोग करते हैं। द्रव्यमान का कण m की विश्राम ऊर्जा है E = mc². इस कण के लिए कॉम्पटन तरंग दैर्ध्य उसी ऊर्जा के फोटॉन की तरंग दैर्ध्य है। आवृत्ति के फोटॉन के लिए f, ऊर्जा द्वारा दी जाती है

$$E=hf={\frac {hc}{\lambda }}=mc^{2},$$

जिसे हल करने पर कॉम्पटन तरंग दैर्ध्य सूत्र प्राप्त होता है λ.

माप पर सीमा

कॉम्पटन तरंग दैर्ध्य क्वांटम यांत्रिकी और विशेष सापेक्षता को ध्यान में रखते हुए, कण की स्थिति को मापने पर मौलिक सीमा व्यक्त करता है। यह सीमा द्रव्यमान पर निर्भर करती है m कण का. यह देखने के लिए कि कैसे, ध्यान दें कि हम प्रकाश को उछालकर किसी कण की स्थिति को माप सकते हैं - लेकिन स्थिति को सटीक रूप से मापने के लिए कम तरंग दैर्ध्य के प्रकाश की आवश्यकता होती है। छोटी तरंग दैर्ध्य वाले प्रकाश में उच्च ऊर्जा के फोटॉन होते हैं। यदि इन फोटॉनों की ऊर्जा अधिक हो जाती है mc², जब कोई उस कण से टकराता है जिसकी स्थिति मापी जा रही है तो टक्कर से उसी प्रकार का नया कण बनाने के लिए पर्याप्त ऊर्जा उत्पन्न हो सकती है। यह मूल कण के स्थान के प्रश्न को विवादास्पद बना देता है।

यह तर्क यह भी दर्शाता है कि कम कॉम्पटन तरंग दैर्ध्य वह कटऑफ है जिसके नीचे क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत - जो कण निर्माण और विनाश का वर्णन कर सकता है - महत्वपूर्ण हो जाता है। उपरोक्त तर्क को इस प्रकार थोड़ा और अधिक सटीक बनाया जा सकता है। मान लीजिए कि हम कण की स्थिति को सटीकता के भीतर मापना चाहते हैं Δx. फिर स्थिति और गति के लिए अनिश्चितता का संबंध यही कहता है

$$\Delta x\,\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}},$$

इसलिए कण की गति में अनिश्चितता संतुष्ट होती है

$$\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2\Delta x}}.$$

ऊर्जा-संवेग संबंध का उपयोग करना E² = (pc)² + (mc²)², कब Δp से अधिक है mc तो ऊर्जा में अनिश्चितता इससे भी अधिक है mc², जो विशेष सापेक्षता में उसी प्रकार का और कण बनाने के लिए पर्याप्त द्रव्यमान है। लेकिन हमें इस अधिक ऊर्जा अनिश्चितता को दूर करना होगा। भौतिक रूप से, प्रत्येक कण की गति अनिश्चितता को कम या कम रखने के लिए या अधिक अतिरिक्त कणों के निर्माण से इसे बाहर रखा जाता है mc. विशेष रूप से न्यूनतम अनिश्चितता तब होती है जब बिखरे हुए फोटॉन की सीमा ऊर्जा घटना की अवलोकन ऊर्जा के बराबर होती है। इसका तात्पर्य यह है कि इसके लिए मौलिक न्यूनतम है Δx:

$$\Delta x\geq {\frac {1}{2}}\left({\frac {\hbar }{mc}}\right).$$

इस प्रकार स्थिति में अनिश्चितता कम कॉम्पटन तरंग दैर्ध्य के आधे से अधिक होनी चाहिए ħ/mc.

अन्य स्थिरांकों से संबंध

भौतिकी में विशिष्ट परमाणु लंबाई, तरंग संख्या और क्षेत्र इलेक्ट्रॉन के लिए कम कॉम्पटन तरंग दैर्ध्य से संबंधित हो सकते हैं (${\textstyle {\bar {\lambda }}_{\text{e}}\equiv {\tfrac {\lambda _{\text{e}}}{2\pi }}\simeq 386~{\textrm {fm}}}$) और विद्युत चुम्बकीय सूक्ष्म संरचना स्थिरांक (${\textstyle \alpha \simeq {\tfrac {1}{137}}}$).

बोहर त्रिज्या कॉम्पटन तरंग दैर्ध्य से संबंधित है:

$$a_{0}={\frac {1}{\alpha }}\left({\frac {\lambda _{\text{e}}}{2\pi }}\right)={\frac {{\bar {\lambda }}_{\text{e}}}{\alpha }}\simeq 137\times {\bar {\lambda }}_{\text{e}}\simeq 5.29\times 10^{4}~{\textrm {fm}}$$

शास्त्रीय इलेक्ट्रॉन त्रिज्या प्रोटॉन त्रिज्या से लगभग 3 गुना बड़ा है, और लिखा गया है:

$$r_{\text{e}}=\alpha \left({\frac {\lambda _{\text{e}}}{2\pi }}\right)=\alpha {\bar {\lambda }}_{\text{e}}\simeq {\frac {{\bar {\lambda }}_{\text{e}}}{137}}\simeq 2.82~{\textrm {fm}}$$

Rydberg स्थिरांक, रैखिक तरंग संख्या के आयाम वाले, लिखा गया है:

$${\frac {1}{R_{\infty }}}={\frac {2\lambda _{\text{e}}}{\alpha ^{2}}}\simeq 91.1~{\textrm {nm}}$$

$${\frac {1}{2\pi R_{\infty }}}={\frac {2}{\alpha ^{2}}}\left({\frac {\lambda _{\text{e}}}{2\pi }}\right)=2{\frac {{\bar {\lambda }}_{\text{e}}}{\alpha ^{2}}}\simeq 14.5~{\textrm {nm}}$$

इससे अनुक्रम प्राप्त होता है:

$$r_{\text{e}}=\alpha {\bar {\lambda }}_{\text{e}}=\alpha ^{2}a_{0}=\alpha ^{3}{\frac {1}{4\pi R_{\infty }}}.$$

फरमिओन्स के लिए, कम कॉम्पटन तरंग दैर्ध्य इंटरैक्शन के क्रॉस-सेक्शन को सेट करता है। उदाहरण के लिए, इलेक्ट्रॉन से फोटॉन के थॉमसन प्रकीर्णन के लिए क्रॉस-सेक्शन बराबर है

$$\sigma _{\mathrm {T} }={\frac {8\pi }{3}}\alpha ^{2}{\bar {\lambda }}_{\text{e}}^{2}\simeq 66.5~{\textrm {fm}}^{2},$$

जो लगभग आयरन-56 नाभिक के क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र के समान है। गेज सिद्धांत बोसॉन के लिए, कॉम्पटन तरंग दैर्ध्य युकावा इंटर सी मिट्टी का तापमान की प्रभावी सीमा निर्धारित करता है: चूंकि फोटॉन का कोई द्रव्यमान नहीं है, विद्युत चुंबकत्व की अनंत सीमा होती है।

प्लैंक द्रव्यमान द्रव्यमान का वह क्रम है जिसके लिए कॉम्पटन तरंग दैर्ध्य और श्वार्ज़स्चिल्ड त्रिज्या $r_{\rm {S}}=2GM/c^{2}$ समान होते हैं, जब उनका मान प्लैंक लंबाई के करीब होता है ($l_{\rm {P}}$). श्वार्ज़स्चिल्ड त्रिज्या द्रव्यमान के समानुपाती होती है, जबकि कॉम्पटन तरंग दैर्ध्य द्रव्यमान के व्युत्क्रम के समानुपाती होती है। प्लैंक द्रव्यमान और लंबाई को निम्न द्वारा परिभाषित किया गया है:

$$m_{\rm {P}}={\sqrt {\hbar c/G}}$$

$$l_{\rm {P}}={\sqrt {\hbar G/c^{3}}}.$$

ज्यामितीय व्याख्या

वेवपैकेट की गति का वर्णन करने वाले अर्धशास्त्रीय समीकरणों का उपयोग करके कॉम्पटन तरंग दैर्ध्य की ज्यामितीय उत्पत्ति का प्रदर्शन किया गया है। इस मामले में, कॉम्पटन तरंग दैर्ध्य क्वांटम मीट्रिक के वर्गमूल के बराबर है, क्वांटम स्पेस का वर्णन करने वाला मीट्रिक: ${\sqrt {g_{kk}}}=\lambda _{\mathrm {C} }$

यह भी देखें

• डी ब्रोगली तरंग दैर्ध्य
• प्लैंक-आइंस्टीन संबंध

बाहरी संबंध

• Length Scales in Physics: the Compton Wavelength