कॉम्पटन तरंगदैर्घ्य

कॉम्पटन तरंगदैर्ध्य कण की क्वांटम यांत्रिकी प्रोपर्टी है, जिसे फोटॉन की तरंग दैर्ध्य के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसकी फोटॉन ऊर्जा उस कण की शेष ऊर्जा के समान है (द्रव्यमान-ऊर्जा समतुल्यता देखें)। इसे 1923 में आर्थर कॉम्पटन द्वारा इलेक्ट्रॉन द्वारा फोटोन के प्रकीर्णन (एक प्रक्रिया जिसे कॉम्पटन प्रकीर्णन के रूप में जाना जाता है) की अपनी व्याख्या में प्रस्तुत किया गया था।

इस प्रकार द्रव्यमान $m$ के एक कण का मानक कॉम्पटन तरंग दैर्ध्य λ द्वारा दिया गया है।

$$\lambda ={\frac {h}{mc}},$$

जहाँ h प्लैंक स्थिरांक है और c प्रकाश की गति है।इस प्रकार संगत आवृत्ति f द्वारा दिया गया है

$$f={\frac {mc^{2}}{h}},$$

और कोणीय आवृत्ति ω द्वारा दिया गया है

$$\omega ={\frac {mc^{2}}{\hbar }}.$$

इस प्रकार इलेक्ट्रॉन की कॉम्पटन तरंगदैर्घ्य के लिए कोडाटा 2018 का मान 2.42631023867(73)×10⁻¹² m है अन्य कणों की कॉम्पटन तरंगदैर्ध्य भिन्न होती है।

कॉम्पटन तरंग दैर्ध्य में कमी

इस प्रकार घटी हुई कॉम्पटन तरंगदैर्घ्य ƛ ˛ (बर्रेड लैम्ब्डा, जिसे नीचे ${\bar {\lambda }}$ द्वारा दर्शाया गया है) को कॉम्पटन तरंगदैर्घ्य को 2π से विभाजित करके परिभाषित किया गया है:

${\bar {\lambda }}={\frac {\lambda }{2\pi }}={\frac {\hbar }{mc}},$

जहाँ ħ कम हुआ प्लैंक स्थिरांक है।

विशाल कणों के समीकरणों में भूमिका

इस प्रकार व्युत्क्रम कम कॉम्पटन तरंग दैर्ध्य क्वांटम क्षेत्र पर द्रव्यमान के लिए प्राकृतिक प्रतिनिधित्व है, और इस तरह, यह क्वांटम यांत्रिकी के विभिन्न मूलभूत समीकरणों में दिखाई देता है। कम कॉम्पटन तरंग दैर्ध्य मुक्त कण के लिए सापेक्षतावादी क्लेन-गॉर्डन समीकरण में दिखाई देता है:

$$\mathbf {\nabla } ^{2}\psi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi =\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\psi .$$

यह डिराक समीकरण में दिखाई देता है (निम्नलिखित स्पष्ट रूप से आइंस्टीन संकेतन को नियोजित करने वाले वैक्टरों का सहप्रसरण और विरोधाभास है):

$$-i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi +\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)\psi =0.$$

इस प्रकार कम कॉम्पटन तरंग दैर्ध्य श्रोडिंगर के समीकरण में भी उपस्थित है, चूंकि यह समीकरण के पारंपरिक प्रतिनिधित्व में सरलता से स्पष्ट नहीं है। हाइड्रोजन जैसे परमाणु में इलेक्ट्रॉन के लिए श्रोडिंगर के समीकरण का पारंपरिक प्रतिनिधित्व निम्नलिखित है:

$$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi -{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {Ze^{2}}{r}}\psi .$$

इस प्रकार $\hbar c$ से विभाजित करने और सूक्ष्म संरचना स्थिरांक के संदर्भ में पुनः लिखने पर प्राप्त होता है:

$${\frac {i}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {\bar {\lambda }}{2}}\nabla ^{2}\psi -{\frac {\alpha Z}{r}}\psi .$$

कम और गैर-कम के मध्य अंतर

इस प्रकार घटी हुई कॉम्पटन तरंग दैर्ध्य क्वांटम मापदंड पर द्रव्यमान का प्राकृतिक प्रतिनिधित्व है और इसका उपयोग उन समीकरणों में किया जाता है जो जड़त्वीय द्रव्यमान से संबंधित हैं, जैसे कि क्लेन-गॉर्डन और श्रोडिंगर के समीकरण है।

इस प्रकार द्रव्यमान के साथ परस्पर क्रिया करने वाले फोटॉन की तरंग दैर्ध्य से संबंधित समीकरण गैर-कम किए गए कॉम्पटन तरंग दैर्ध्य का उपयोग करते हैं। m द्रव्यमान के एक कण की विश्राम ऊर्जा E = mc² है। इस कण के लिए कॉम्पटन तरंग दैर्ध्य उसी ऊर्जा के एक फोटॉन की तरंग दैर्ध्य है। आवृत्ति f के फोटॉनों के लिए, ऊर्जा दी जाती है।

$$E=hf={\frac {hc}{\lambda }}=mc^{2},$$

जो λ के लिए हल करने पर कॉम्पटन तरंग दैर्ध्य सूत्र प्राप्त करता है।

मापन पर सीमा

कॉम्पटन तरंग दैर्ध्य क्वांटम यांत्रिकी और विशेष सापेक्षता को ध्यान में रखते हुए, कण की स्थिति को मापने पर मौलिक सीमा व्यक्त करता है।

यह सीमा कण के द्रव्यमान m पर निर्भर करती है। यह देखने के लिए कि कैसे, ध्यान दें कि हम प्रकाश को टॉस करके किसी कण की स्थिति को माप सकते हैं - किन्तु स्थिति को स्पष्ट रूप से मापने के लिए कम तरंग दैर्ध्य के प्रकाश की आवश्यकता होती है। इस प्रकार छोटी तरंग दैर्ध्य वाले प्रकाश में उच्च ऊर्जा के फोटॉन होते हैं। यदि इन फोटॉनों की ऊर्जा mc² से अधिक है, तो जब कोई उस कण से टकराता है जिसकी स्थिति मापी जा रही है तो टक्कर से उसी प्रकार का एक नया कण बनाने के लिए पर्याप्त ऊर्जा उत्पन्न हो सकती है। यह मूल कण के स्थान के प्रश्न को विवादास्पद बना देता है।

यह तर्क यह भी दर्शाता है कि कम कॉम्पटन तरंग दैर्ध्य वह कटऑफ है जिसके नीचे क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत - जो कण निर्माण और विनाश का वर्णन कर सकता है -इस प्रकार यह महत्वपूर्ण हो जाता है। उपरोक्त नियम को इस प्रकार थोड़ा और अधिक स्पष्ट बनाया जा सकता है। मान लीजिए कि हम कण की स्थिति को स्पष्टता Δx के अन्दर मापना चाहते हैं पुनः स्थिति और गति के लिए अनिश्चितता का संबंध यही कहता है

$$\Delta x\,\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}},$$

इसलिए कण की गति में अनिश्चितता संतुष्ट होती है

$$\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2\Delta x}}.$$

इस प्रकार संवेग और ऊर्जा E² = (pc)² + (mc²)² के मध्य सापेक्षिक संबंध का उपयोग करते हुए, जब Δp mc से अधिक हो जाता है तो ऊर्जा में अनिश्चितता mc² से अधिक होती है, जो उसी प्रकार के दूसरे कण बनाने के लिए पर्याप्त ऊर्जा है। किन्तु हमें इस अधिक ऊर्जा अनिश्चितता को दूर करना होगा। भौतिक रूप से, प्रत्येक कण की गति को mc पर या उससे नीचे रखने के लिए एक या अधिक अतिरिक्त कणों के निर्माण से इसे बाहर रखा जाता है। विशेष रूप से न्यूनतम अनिश्चितता तब होती है जब विस्तृत फोटॉन की सीमा ऊर्जा घटना की अवलोकन ऊर्जा के समान होती है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि Δx के लिए एक मूलभूत न्यूनतम है:

$$\Delta x\geq {\frac {1}{2}}\left({\frac {\hbar }{mc}}\right).$$

इस प्रकार स्थिति में अनिश्चितता कम कॉम्पटन तरंग दैर्ध्य ħ/mc के अर्ध से अधिक होनी चाहिए .

अन्य स्थिरांकों से संबंध

इस प्रकार भौतिकी में विशिष्ट परमाणु लंबाई, तरंग संख्या और क्षेत्र इलेक्ट्रॉन के लिए कम कॉम्पटन तरंग दैर्ध्य (${\textstyle {\bar {\lambda }}_{\text{e}}\equiv {\tfrac {\lambda _{\text{e}}}{2\pi }}\simeq 386~{\textrm {fm}}}$) और विद्युत चुम्बकीय सूक्ष्म संरचना स्थिरांक (${\textstyle \alpha \simeq {\tfrac {1}{137}}}$). से संबंधित हो सकते हैं।

बोहर त्रिज्या कॉम्पटन तरंग दैर्ध्य से संबंधित है:

$$a_{0}={\frac {1}{\alpha }}\left({\frac {\lambda _{\text{e}}}{2\pi }}\right)={\frac {{\bar {\lambda }}_{\text{e}}}{\alpha }}\simeq 137\times {\bar {\lambda }}_{\text{e}}\simeq 5.29\times 10^{4}~{\textrm {fm}}$$

मौलिक इलेक्ट्रॉन त्रिज्या प्रोटॉन त्रिज्या से लगभग 3 गुना बड़ा है, और लिखा गया है:

$$r_{\text{e}}=\alpha \left({\frac {\lambda _{\text{e}}}{2\pi }}\right)=\alpha {\bar {\lambda }}_{\text{e}}\simeq {\frac {{\bar {\lambda }}_{\text{e}}}{137}}\simeq 2.82~{\textrm {fm}}$$

इस प्रकार रिडबर्ग स्थिरांक, रैखिक तरंग संख्या के आयाम वाले, लिखा गया है:

$${\frac {1}{R_{\infty }}}={\frac {2\lambda _{\text{e}}}{\alpha ^{2}}}\simeq 91.1~{\textrm {nm}}$$

$${\frac {1}{2\pi R_{\infty }}}={\frac {2}{\alpha ^{2}}}\left({\frac {\lambda _{\text{e}}}{2\pi }}\right)=2{\frac {{\bar {\lambda }}_{\text{e}}}{\alpha ^{2}}}\simeq 14.5~{\textrm {nm}}$$

इससे अनुक्रम प्राप्त होता है:

$$r_{\text{e}}=\alpha {\bar {\lambda }}_{\text{e}}=\alpha ^{2}a_{0}=\alpha ^{3}{\frac {1}{4\pi R_{\infty }}}.$$

इस प्रकार फरमिओन्स के लिए, कम कॉम्पटन तरंग दैर्ध्य इंटरैक्शन के क्रॉस-सेक्शन को सेट करता है। उदाहरण के लिए, इलेक्ट्रॉन से फोटॉन के थॉमसन प्रकीर्णन के लिए क्रॉस-सेक्शन समान है

$$\sigma _{\mathrm {T} }={\frac {8\pi }{3}}\alpha ^{2}{\bar {\lambda }}_{\text{e}}^{2}\simeq 66.5~{\textrm {fm}}^{2},$$

जो लगभग आयरन-56 नाभिक के क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र के समान है। गेज बोसॉन के लिए, कॉम्पटन तरंग दैर्ध्य युकावा इंटरैक्शन की प्रभावी सीमा निर्धारित करता है: चूंकि फोटॉन का कोई द्रव्यमान नहीं है, विद्युत चुंबकत्व की अनंत सीमा होती है।

इस प्रकार प्लैंक द्रव्यमान द्रव्यमान का वह क्रम है जिसके लिए कॉम्पटन तरंग दैर्ध्य और श्वार्ज़स्चिल्ड त्रिज्या $r_{\rm {S}}=2GM/c^{2}$ समान होते हैं, जब उनका मान प्लैंक लंबाई ($l_{\rm {P}}$) के निकट होता है। श्वार्ज़स्चिल्ड त्रिज्या द्रव्यमान के समानुपाती होती है, जबकि कॉम्पटन तरंग दैर्ध्य द्रव्यमान के व्युत्क्रम के समानुपाती होती है। प्लैंक द्रव्यमान और लंबाई को निम्न द्वारा परिभाषित किया गया है:

$$m_{\rm {P}}={\sqrt {\hbar c/G}}$$

$$l_{\rm {P}}={\sqrt {\hbar G/c^{3}}}.$$

ज्यामितीय व्याख्या

इस प्रकार वेवपैकेट की गति का वर्णन करने वाले अर्धमौलिक समीकरणों का उपयोग करके कॉम्पटन तरंग दैर्ध्य की ज्यामितीय उत्पत्ति का प्रदर्शन किया गया है। इस स्थिति में कॉम्पटन तरंग दैर्ध्य क्वांटम मीट्रिक के वर्गमूल के समान है, जो क्वांटम स्पेस का वर्णन करने वाला मीट्रिक है: ${\sqrt {g_{kk}}}=\lambda _{\mathrm {C} }$

यह भी देखें

• डी ब्रोगली तरंग दैर्ध्य
• प्लैंक-आइंस्टीन संबंध

बाहरी संबंध

• Length Scales in Physics: the Compton Wavelength