द्वि प्रतिनिरूपण: Difference between revisions

Latest revision as of 10:00, 1 December 2023

गणित में, यदि $G$ एक समूह है और $ρ$ सदिश समष्टि $V$ पर इसका एक रैखिक प्रतिनिरूपण है, तो द्वि प्रतिनिरूपण $ρ*$ को द्वि सदिश समष्टि $V *$ पर इस प्रकार परिभाषित किया गया है: ^[1]^[2]

ρ*(g)

ρ(g -1)

का स्थानान्तरण है, अर्थात सभी

g \in G

के लिए

ρ*(g)

=

ρ(g -1) T

है।

इस प्रकार द्वि प्रतिनिरूपण को विरोधाभासी प्रतिनिरूपण के रूप में भी जाना जाता है।

यदि $g$ एक लाई बीजगणित है और π सदिश समष्टि $V$ पर इसका प्रतिनिरूपण करता है, तो द्वि प्रतिनिरूपण $π*$ को द्वि सदिश समष्टि $V *$ पर इस प्रकार परिभाषित किया गया है:^[3]

π*(X)

=

-π(X) T

सभी के लिए

X \in g

.

इस परिभाषा के लिए प्रेरणा यह है कि लाई समूह प्रतिनिरूपण के द्वि से जुड़े लाई बीजगणित प्रतिनिरूपण की गणना उपरोक्त सूत्र द्वारा की जाती है। किन्तु लाई बीजगणित प्रतिनिरूपण के द्वि की परिभाषा समझ में आती है, तथापि यह लाई समूह प्रतिनिरूपण से नहीं आती है।

दोनों स्थितियों में, दोहरा प्रतिनिरूपण सामान्य अर्थ में प्रतिनिरूपण है।

गुण

इरेड्यूसिबिलिटी और सेकंड ड्यूल

यदि (परिमित-आयामी) प्रतिनिरूपण अपरिवर्तनीय है, तो दोहरा प्रतिनिरूपण भी अपरिवर्तनीय है ^[4]-किन्तु आवश्यक नहीं कि यह मूल प्रतिनिरूपण के समरूपी होता है। दूसरी ओर, किसी भी प्रतिनिरूपण के द्वि का द्वैत मूल प्रतिनिरूपण के लिए समरूपी है।

एकात्मक प्रतिनिरूपण

इस प्रकार समूह $G$ के एकात्मक प्रतिनिरूपण $\rho$ पर विचार करें, और आइए हम ऑर्थोनॉर्मल आधार पर कार्य करें। इस प्रकार, $\rho$ $G$ को एकात्मक आव्यूहों के समूह में मैप करता है। फिर द्वि प्रतिनिरूपण की परिभाषा में अमूर्त ट्रांसपोज़ को सामान्य आव्यूह ट्रांसपोज़ के साथ पहचाना जा सकता है। चूँकि आव्यूह का जोड़ स्थानान्तरण का सम्मिश्र संयुग्म है, स्थानान्तरण आसन्न का संयुग्म है। इस प्रकार, $\rho ^{\ast }(g)$ $\rho (g)$ के व्युत्क्रम के जोड़ का सम्मिश्र संयुग्म है। किन्तु चूँकि $\rho (g)$ को एकात्मक माना जाता है, इसलिए $\rho (g)$ के व्युत्क्रम का जोड़ सिर्फ $\rho (g)$ है

इस विचार का निष्कर्ष यह है कि जब ऑर्थोनॉर्मल आधार पर एकात्मक प्रतिनिरूपण के साथ कार्य किया जाता है, तो $\rho ^{*}(g)$ $\rho (g)$ का सम्मिश्र संयुग्म होता है

SU(2) और SU(3) स्थिति

इस प्रकार SU(2) के प्रतिनिरूपण सिद्धांत में, प्रत्येक अपरिवर्तनीय प्रतिनिरूपण का दोहरा प्रतिनिरूपण के लिए समरूपी हो जाता है। किन्तु SU(3) के अभ्यावेदन के लिए, लेबल के साथ इरेड्यूसेबल प्रतिनिरूपण का दोहरा, लेबल $(m_{1},m_{2})$ के साथ इरेड्यूसेबल प्रतिनिरूपण का दोहरा है। ^[5] विशेष रूप से, SU(3) का मानक त्रि-आयामी प्रतिनिरूपण (उच्चतम वजन $(1,0)$ के साथ) इसके द्वि के लिए आइसोमोर्फिक नहीं है। इस प्रकार भौतिकी साहित्य में क्वार्क के सिद्धांत में, मानक प्रतिनिरूपण और इसके द्वि को $3$ और ${\bar {3}}$ कहा जाता है

उच्चतम भार (1,2) और (2,1) के साथ su(3) के दो गैर-समरूपी द्वि प्रतिनिरूपण

सामान्य अर्धसरल लाई बीजगणित

अधिक सामान्यतः, अर्धसरल लाई बीजगणित (या कॉम्पैक्ट लाई समूहों के निकट से संबंधित प्रतिनिरूपण सिद्धांत) के प्रतिनिरूपण सिद्धांत में, द्वि प्रतिनिरूपण के वजन मूल प्रतिनिरूपण के वजन के ऋणात्मक होते हैं। ^[6] (आंकड़ा देखें।) अब, किसी दिए गए बीजगणित के लिए, यदि ऐसा होना चाहिए कि ऑपरेटर $-I$ वेइल समूह का एक अवयव है, तो मानचित्र के अंतर्गत प्रत्येक प्रतिनिरूपण का भार स्वचालित रूप से अपरिवर्तनीय है। इस प्रकार $\mu \mapsto -\mu$ ऐसे लाई बीजगणित के लिए, प्रत्येक अघुलनशील प्रतिनिरूपण अपने द्वि के लिए समरूपी होगा। (यह su (2) के लिए स्थिति है, जहां वेइल समूह $\{I,-I\}$ है।) इस प्रोपर्टी के साथ लाई बीजगणित में विषम ऑर्थोगोनल लाई बीजगणित $\operatorname {so} (2n+1;\mathbb {C} )$ सम्मिलित हैं (प्रकार $B_{n}$ और सिम्प्लेक्टिक लाई बीजगणित $\operatorname {sp} (n;\mathbb {C} )$ (प्रकार $C_{n}$ ) है

यदि, किसी दिए गए बीजगणित के लिए, $-I$ वेइल समूह में नहीं है, तो एक अपरिवर्तनीय प्रतिनिरूपण का दोहरा मूल रूप से मूल प्रतिनिरूपण के लिए आइसोमोर्फिक नहीं होगा। यह समझने के लिए कि यह कैसे काम करता है, हम ध्यान दें कि सदैव एक अद्वितीय वेइल समूह अवयव $w_{0}$ होता है जो मौलिक वेइल कक्ष के नकारात्मक को मौलिक वेइल कक्ष में मैप करता है। फिर यदि हमारे पास उच्चतम वजन $-\mu$ के साथ एक अपरिवर्तनीय प्रतिनिरूपण है, तो द्वि प्रतिनिरूपण का सबसे कम वजन $-\mu$ होगा। इसके पश्चात् यह निष्कर्ष निकलता है कि द्वि प्रतिनिरूपण का उच्चतम भार होगा $w_{0}\cdot (-\mu )\,$ ^[7] चूँकि हम मान रहे हैं कि -I वेइल समूह में नहीं है, $\mu \mapsto w_{0}\cdot (-\mu )$ नहीं हो सकता है, जिसका अर्थ है कि मानचित्र $w_{0}\cdot (-\mu )\,$ पहचान नहीं है . निःसंदेह, यह अभी भी हो सकता है कि $-\mu$ के कुछ विशेष विकल्पों के लिए, हमारे पास $\mu =w_{0}\cdot (-\mu )$ हो सकता है। उदाहरण के लिए, आसन्न प्रतिनिरूपण सदैव अपने द्वि से समरूपी होता है।

इस प्रकार su (3) (या इसके सम्मिश्र बीजगणित, $\operatorname {sl} (3;\mathbb {C} )$ ) के स्थिति में, हम दो जड़ों से युक्त आधार चुन सकते हैं। $\{\alpha _{1},\alpha _{2}\}$ 120 डिग्री के कोण पर, जिससे तीसरा धनात्मक मूल हो 2}}. इस स्थिति में, अवयव $\alpha _{3}=\alpha _{1}+\alpha _{2}$ के लंबवत रेखा के बारे में प्रतिबिंब है। तब मानचित्र $\mu \mapsto w_{0}\cdot (-\mu )$ से होकर जाने वाली रेखा के बारे में प्रतिबिंब है।^[8] इस प्रकार तब स्व-द्वि प्रतिनिरूपण वे होते हैं जो $\alpha _{3}$ से होकर निकलने वाली रेखा के साथ स्थित होते हैं। यह $(m,m)$ फॉर्म के लेबल वाले प्रतिनिरूपण हैं, जो ऐसे प्रतिनिरूपण हैं जिनके वजन आरेख नियमित षट्भुज हैं।

प्रेरणा

इस प्रकार प्रतिनिरूपण सिद्धांत में, दोनों सदिश $V$ और रैखिक कार्यात्मकताएं $V *$ को कॉलम वैक्टर के रूप में माना जाता है जिससे प्रतिनिरूपण बाईं ओर से (आव्यूह गुणन द्वारा) कार्य कर सके। $V$ के लिए आधार दिया गया और $V *$ के लिए दोहरा आधार , रैखिक कार्यात्मक की कार्रवाई $φ$ पर $v$ , $φ(v)$ आव्यूह गुणन द्वारा व्यक्त किया जा सकता है,

\langle \varphi ,v\rangle \equiv \varphi (v)=\varphi ^{T}v

,

जहां सुपरस्क्रिप्ट $T$ आव्यूह ट्रांसपोज़ है। अनुरूपि की आवश्यकता है

\langle {\rho }^{*}(g)\varphi ,\rho (g)v\rangle =\langle \varphi ,v\rangle .

^[9]

दी गई परिभाषा के साथ,

\langle {\rho }^{*}(g)\varphi ,\rho (g)v\rangle =\langle \rho (g^{-1})^{T}\varphi ,\rho (g)v\rangle =(\rho (g^{-1})^{T}\varphi )^{T}\rho (g)v=\varphi ^{T}\rho (g^{-1})\rho (g)v=\varphi ^{T}v=\langle \varphi ,v\rangle .

इस प्रकार लाई बीजगणित प्रतिनिरूपण के लिए व्यक्ति संभावित समूह प्रतिनिरूपण के साथ एकरूपता चुनता है। सामान्यतः, यदि $Π$ एक लाई समूह का प्रतिनिरूपण है, तो $π$ द्वारा दिया जाता है

\pi (X)={\frac {d}{dt}}\Pi (e^{tX})|_{t=0}.

इसके लाई बीजगणित का प्रतिनिरूपण है। यदि $Π*$ , $Π$ से दोहरा है, तो इसका अनुरूप बीजगणित प्रतिनिरूपण $π*$ द्वारा दिया जाता है

\pi ^{*}(X)={\frac {d}{dt}}\Pi ^{*}(e^{tX})|_{t=0}={\frac {d}{dt}}\Pi (e^{-tX})^{T}|_{t=0}=-\pi (X)^{T}.

^[10]

उदाहरण

इस प्रकार निरपेक्ष मान $G=U(1)$ की सम्मिश्र संख्याओं के समूह पर विचार करें। शूर के लेम्मा के परिणामस्वरूप, अप्रासंगिक प्रतिनिरूपण सभी एक आयामी हैं। इस प्रकार इरेड्यूसिबल अभ्यावेदन को पूर्णांक $n$ द्वारा मानकीकृत किया जाता है और स्पष्ट रूप से दिया जाता है

\rho _{n}(e^{i\theta })=[e^{in\theta }].

इस प्रकार $\rho _{n}$ का दोहरा प्रतिनिरूपण इस वन बाई वन आव्यूह के स्थानान्तरण का व्युत्क्रम है, अर्थात,

\rho _{n}^{*}(e^{i\theta })=[e^{-in\theta }]=\rho _{-n}(e^{i\theta }).

तात्पर्य यह है कि, प्रतिनिरूपण $\rho _{-n}$ का द्वैत $\rho _{n}$ है

सामान्यीकरण

सामान्य रिंग मॉड्यूल (गणित) द्वि प्रतिनिरूपण को स्वीकार नहीं करता है। चूंकि, हॉपफ बीजगणित के मॉड्यूल ऐसा करते हैं।

यह भी देखें

संदर्भ

Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666.

↑ Lecture 1 of Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics (in British English). Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103.
↑ Hall 2015 Section 4.3.3
↑ Lecture 8 of Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics (in British English). Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103.
↑ Hall 2015 Exercise 6 of Chapter 4
↑ Hall 2015 Exercise 3 of Chapter 6
↑ Hall 2015 Exercise 10 of Chapter 10
↑ Hall 2015 Exercise 10 of Chapter 10
↑ Hall 2015 Exercise 3 of Chapter 6
↑ Lecture 1, page 4 of Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics (in British English). Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103.
↑ Lecture 8, page 111 of Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics (in British English). Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103.

[1] Lecture 1 of Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics (in British English). Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103.

[2] Hall 2015 Section 4.3.3

[3] Lecture 8 of Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics (in British English). Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103.

[4] Hall 2015 Exercise 6 of Chapter 4

[5] Hall 2015 Exercise 3 of Chapter 6

[6] Hall 2015 Exercise 10 of Chapter 10

[7] Hall 2015 Exercise 10 of Chapter 10

[8] Hall 2015 Exercise 3 of Chapter 6

[9] Lecture 1, page 4 of Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics (in British English). Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103.

[10] Lecture 8, page 111 of Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics (in British English). Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103.

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 {{Short description|Group representation}}
-{{about|a mathematical concept|the psychological concept|Dual representation (psychology)}}
+गणित में, यदि {{math|''G''}} एक समूह है और {{math|ρ}} सदिश समष्टि {{math|''V''}} पर इसका एक रैखिक प्रतिनिरूपण है, तो '''द्वि प्रतिनिरूपण''' {{math|ρ*}} को द्वि सदिश समष्टि {{math|''V''*}} पर इस प्रकार परिभाषित किया गया है: <ref>Lecture 1 of {{Fulton-Harris}}</ref><ref>{{harvnb|Hall|2015}} Section 4.3.3</ref>
-गणित में, यदि {{math|''G''}} समूह है (गणित) और {{math|ρ}} सदिश समष्टि पर इसका [[रैखिक प्रतिनिधित्व]] है {{math|''V''}}, फिर दोहरा प्रतिनिधित्व {{math|ρ*}} को दोहरे सदिश समष्टि पर परिभाषित किया गया है {{math|''V''*}} निम्नलिखित नुसार:<ref>Lecture 1 of {{Fulton-Harris}}</ref><ref>{{harvnb|Hall|2015}} Section 4.3.3</ref>
+:{{math|ρ*(''g'')}} {{math|ρ(''g''<sup>−1</sup>)}} का स्थानान्तरण है, अर्थात सभी {{math|''g'' ∈ ''G''}} के लिए {{math|ρ*(''g'')}} = {{math|ρ(''g''<sup>−1</sup>)<sup>T</sup>}} है।
-:{{math|ρ*(''g'')}} रेखीय मानचित्र का स्थानान्तरण है {{math|ρ(''g''<sup>−1</sup>)}}, वह है, {{math|ρ*(''g'')}} = {{math|ρ(''g''<sup>−1</sup>)<sup>T</sup>}} सभी के लिए {{math|''g'' ∈ ''G''}}.
+इस प्रकार द्वि प्रतिनिरूपण को विरोधाभासी प्रतिनिरूपण के रूप में भी जाना जाता है।
-दोहरे प्रतिनिधित्व को विरोधाभासी प्रतिनिधित्व के रूप में भी जाना जाता है।
-का {{math|'''g'''}} [[झूठ बीजगणित]] है और {{math|π}} सदिश समष्टि पर इसका प्रतिनिधित्व है {{math|''V''}}, फिर दोहरा प्रतिनिधित्व {{math|π*}} को दोहरे सदिश समष्टि पर परिभाषित किया गया है {{math|''V''*}} निम्नलिखित नुसार:<ref>Lecture 8 of {{Fulton-Harris}}</ref>
+यदि {{math|'''g'''}} एक लाई बीजगणित है और π सदिश समष्टि {{math|''V''}} पर इसका प्रतिनिरूपण करता है, तो द्वि प्रतिनिरूपण {{math|π*}} को द्वि सदिश समष्टि {{math|''V''*}} पर इस प्रकार परिभाषित किया गया है:<ref>Lecture 8 of {{Fulton-Harris}}</ref>
 :{{math|π*(''X'')}} = {{math|−π(''X'')<sup>''T''</sup>}} सभी के लिए {{math|''X'' ∈ '''g'''}}.
-इस परिभाषा के लिए प्रेरणा यह है कि लाई समूह प्रतिनिधित्व के दोहरे से जुड़े लाई बीजगणित प्रतिनिधित्व की गणना उपरोक्त सूत्र द्वारा की जाती है। लेकिन लाई बीजगणित प्रतिनिधित्व के दोहरे की परिभाषा समझ में आती है, भले ही यह लाई समूह प्रतिनिधित्व से नहीं आती है।
+इस परिभाषा के लिए प्रेरणा यह है कि लाई समूह प्रतिनिरूपण के द्वि से जुड़े लाई बीजगणित प्रतिनिरूपण की गणना उपरोक्त सूत्र द्वारा की जाती है। किन्तु लाई बीजगणित प्रतिनिरूपण के द्वि की परिभाषा समझ में आती है, तथापि यह लाई समूह प्रतिनिरूपण से नहीं आती है।
-दोनों मामलों में, दोहरा प्रतिनिधित्व सामान्य अर्थ में प्रतिनिधित्व है।
+दोनों स्थितियों में, दोहरा प्रतिनिरूपण सामान्य अर्थ में प्रतिनिरूपण है।
 ==गुण==
-===इरेड्यूसिबिलिटी और दूसरा द्वैत===
+===इरेड्यूसिबिलिटी और सेकंड ड्यूल===
-यदि (परिमित-आयामी) प्रतिनिधित्व अपरिवर्तनीय है, तो दोहरा प्रतिनिधित्व भी अपरिवर्तनीय है<ref>{{harvnb|Hall|2015}} Exercise 6 of Chapter 4</ref>-लेकिन जरूरी नहीं कि यह मूल प्रतिनिधित्व के समरूपी हो। दूसरी ओर, किसी भी प्रतिनिधित्व के दोहरे का द्वैत मूल प्रतिनिधित्व के लिए समरूपी है।
+यदि (परिमित-आयामी) प्रतिनिरूपण अपरिवर्तनीय है, तो दोहरा प्रतिनिरूपण भी अपरिवर्तनीय है <ref>{{harvnb|Hall|2015}} Exercise 6 of Chapter 4</ref>-किन्तु आवश्यक नहीं कि यह मूल प्रतिनिरूपण के समरूपी होता है। दूसरी ओर, किसी भी प्रतिनिरूपण के द्वि का द्वैत मूल प्रतिनिरूपण के लिए समरूपी है।
-===एकात्मक निरूपण===
+===एकात्मक प्रतिनिरूपण===
-एकात्मक प्रतिनिधित्व पर विचार करें <math>\rho</math> समूह का <math>G</math>, और आइए हम ऑर्थोनॉर्मल आधार पर काम करें। इस प्रकार, <math>\rho</math> एमएपीएस <math>G</math> एकात्मक आव्यूहों के समूह में। फिर दोहरे प्रतिनिधित्व की परिभाषा में अमूर्त ट्रांसपोज़ को सामान्य मैट्रिक्स ट्रांसपोज़ के साथ पहचाना जा सकता है। चूँकि मैट्रिक्स का जोड़ स्थानान्तरण का जटिल संयुग्म है, स्थानान्तरण आसन्न का संयुग्म है। इस प्रकार, <math>\rho^\ast(g)</math> के व्युत्क्रम के जोड़ का जटिल संयुग्म है <math>\rho(g)</math>. लेकिन फिर <math>\rho(g)</math> एकात्मक, व्युत्क्रम का जोड़ माना जाता है <math>\rho(g)</math> बस है <math>\rho(g)</math>.
+इस प्रकार समूह <math>G</math> के एकात्मक प्रतिनिरूपण <math>\rho</math> पर विचार करें, और आइए हम ऑर्थोनॉर्मल आधार पर कार्य करें। इस प्रकार, <math>\rho</math> <math>G</math> को एकात्मक आव्यूहों के समूह में मैप करता है। फिर द्वि प्रतिनिरूपण की परिभाषा में अमूर्त ट्रांसपोज़ को सामान्य आव्यूह ट्रांसपोज़ के साथ पहचाना जा सकता है। चूँकि आव्यूह का जोड़ स्थानान्तरण का सम्मिश्र संयुग्म है, स्थानान्तरण आसन्न का संयुग्म है। इस प्रकार, <math>\rho^\ast(g)</math> <math>\rho(g)</math> के व्युत्क्रम के जोड़ का सम्मिश्र संयुग्म है। किन्तु चूँकि <math>\rho(g)</math> को एकात्मक माना जाता है, इसलिए <math>\rho(g)</math> के व्युत्क्रम का जोड़ सिर्फ <math>\rho(g)</math> है
-इस चर्चा का निष्कर्ष यह है कि जब एकात्मक प्रतिनिधित्व के साथ ऑर्थोनॉर्मल आधार पर काम किया जाता है, <math>\rho^*(g)</math> का जटिल संयुग्म मात्र है <math>\rho(g)</math>.
+इस विचार का निष्कर्ष यह है कि जब ऑर्थोनॉर्मल आधार पर एकात्मक प्रतिनिरूपण के साथ कार्य किया जाता है, तो <math>\rho^*(g)</math> <math>\rho(g)</math> का सम्मिश्र संयुग्म होता है
-===एसयू(2) और एसयू(3) मामले===
+===SU(2) और SU(3) स्थिति===
-एसयू(2) के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में, प्रत्येक अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व का दोहरा प्रतिनिधित्व के लिए समरूपी हो जाता है। लेकिन Lie_algebra_repretation#The_case_of_sl(3,C)|SU(3) के अभ्यावेदन के लिए, लेबल के साथ अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व का दोहरा <math>(m_1,m_2)</math> लेबल के साथ अघुलनशील प्रतिनिधित्व है <math>(m_2,m_1)</math>.<ref>{{harvnb|Hall|2015}} Exercise 3 of Chapter 6</ref> विशेष रूप से, एसयू(3) का मानक त्रि-आयामी प्रतिनिधित्व (उच्चतम वजन के साथ)। <math>(1,0)</math>) अपने दोहरे से समरूपी नहीं है। भौतिकी साहित्य में क्वार्क_मॉडल#मेसन्स में, मानक प्रतिनिधित्व और उसके दोहरे को कहा जाता है<math>3</math>और<math>\bar 3</math>.
+इस प्रकार SU(2) के प्रतिनिरूपण सिद्धांत में, प्रत्येक अपरिवर्तनीय प्रतिनिरूपण का दोहरा प्रतिनिरूपण के लिए समरूपी हो जाता है। किन्तु SU(3) के अभ्यावेदन के लिए, लेबल के साथ इरेड्यूसेबल प्रतिनिरूपण का दोहरा, लेबल <math>(m_1,m_2)</math> के साथ इरेड्यूसेबल प्रतिनिरूपण का दोहरा है। <ref>{{harvnb|Hall|2015}} Exercise 3 of Chapter 6</ref> विशेष रूप से, SU(3) का मानक त्रि-आयामी प्रतिनिरूपण (उच्चतम वजन <math>(1,0)</math> के साथ) इसके द्वि के लिए आइसोमोर्फिक नहीं है। इस प्रकार भौतिकी साहित्य में क्वार्क के सिद्धांत में, मानक प्रतिनिरूपण और इसके द्वि को <math>3</math> और <math>\bar 3</math> कहा जाता है
-[[File:Dual_representations_of_SU(3).png|thumb|right|उच्चतम भार (1,2) और (2,1) के साथ एसयू(3) के दो गैर-समरूपी दोहरे प्रतिनिधित्व]]
+[[File:Dual_representations_of_SU(3).png|thumb|right|उच्चतम भार (1,2) और (2,1) के साथ su(3) के दो गैर-समरूपी द्वि प्रतिनिरूपण]]
-===सामान्य अर्धसरल झूठ बीजगणित===
+===सामान्य अर्धसरल लाई बीजगणित===
-अधिक आम तौर पर, Lie_algebra_repretation#Classifying_finite-dynamic_repretations_of_Lie_algebras (या निकट से संबंधित Compact_group#Repretation_theory_of_a_connected_compact_Lie_group) में, दोहरे प्रतिनिधित्व के वजन मूल प्रतिनिधित्व के वजन के नकारात्मक होते हैं।<ref>{{harvnb|Hall|2015}} Exercise 10 of Chapter 10</ref> (आंकड़ा देखें।) अब, किसी दिए गए बीजगणित के लिए, यदि यह ऑपरेटर होना चाहिए <math>-I</math> Semisimple_Lie_algebra#Weyl_group का तत्व है, तो प्रत्येक प्रतिनिधित्व का वजन स्वचालित रूप से मानचित्र के अंतर्गत अपरिवर्तनीय होता है <math>\mu\mapsto -\mu</math>. ऐसे झूठ बीजगणित के लिए, प्रत्येक अघुलनशील प्रतिनिधित्व अपने दोहरे के लिए समरूपी होगा। (यह स्थिति एसयू(2) के लिए है, जहां वेइल समूह है <math>\{I,-I\}</math>.) इस संपत्ति के साथ झूठ बीजगणित में विषम ऑर्थोगोनल झूठ बीजगणित शामिल हैं <math>\operatorname{so}(2n+1;\mathbb C)</math> (प्रकार <math>B_n</math>) और सिम्प्लेक्टिक लाई बीजगणित <math>\operatorname{sp}(n;\mathbb C)</math> (प्रकार <math>C_n</math>).
+अधिक सामान्यतः, अर्धसरल लाई बीजगणित (या कॉम्पैक्ट लाई समूहों के निकट से संबंधित प्रतिनिरूपण सिद्धांत) के प्रतिनिरूपण सिद्धांत में, द्वि प्रतिनिरूपण के वजन मूल प्रतिनिरूपण के वजन के ऋणात्मक होते हैं। <ref>{{harvnb|Hall|2015}} Exercise 10 of Chapter 10</ref> (आंकड़ा देखें।) अब, किसी दिए गए बीजगणित के लिए, यदि ऐसा होना चाहिए कि ऑपरेटर <math>-I</math> वेइल समूह का एक अवयव है, तो मानचित्र के अंतर्गत प्रत्येक प्रतिनिरूपण का भार स्वचालित रूप से अपरिवर्तनीय है। इस प्रकार <math>\mu\mapsto -\mu</math> ऐसे लाई बीजगणित के लिए, प्रत्येक अघुलनशील प्रतिनिरूपण अपने द्वि के लिए समरूपी होगा। (यह su (2) के लिए स्थिति है, जहां वेइल समूह <math>\{I,-I\}</math> है।) इस प्रोपर्टी के साथ लाई बीजगणित में विषम ऑर्थोगोनल लाई बीजगणित <math>\operatorname{so}(2n+1;\mathbb C)</math> सम्मिलित हैं (प्रकार <math>B_n</math> और सिम्प्लेक्टिक लाई बीजगणित <math>\operatorname{sp}(n;\mathbb C)</math> (प्रकार <math>C_n</math>) है
-यदि, किसी दिए गए बीजगणित के लिए, <math>-I</math> वेइल समूह में नहीं है, तो अप्रासंगिक प्रतिनिधित्व का द्वैत मूल रूप से मूल प्रतिनिधित्व के लिए आइसोमोर्फिक नहीं होगा। यह कैसे काम करता है यह समझने के लिए, हम ध्यान दें कि हमेशा Root_system#Weyl_chambers_and_the_Weyl_group होता है <math>w_0</math> मौलिक वेइल चैम्बर के नकारात्मक को मौलिक वेइल चैम्बर में मैप करना। फिर यदि हमारे पास उच्चतम भार वाला अघुलनशील प्रतिनिधित्व है <math>\mu</math>, दोहरे प्रतिनिधित्व का भार सबसे कम होगा <math>-\mu</math>. इसके बाद यह निष्कर्ष निकलता है कि दोहरे प्रतिनिधित्व का भार सबसे अधिक होगा <math>w_0\cdot(-\mu)\,</math>.<ref>{{harvnb|Hall|2015}} Exercise 10 of Chapter 10</ref> चूंकि हम मान रहे हैं <math>-I</math> वेइल समूह में नहीं है, <math>w_0</math> हो नहीं सकता <math>-I</math>, जिसका अर्थ है कि मानचित्र <math>\mu\mapsto w_0\cdot(-\mu)</math> पहचान नहीं है. बेशक, यह अभी भी हो सकता है कि कुछ विशेष विकल्पों के लिए <math>\mu</math>, हम कर सकते है <math>\mu=w_0\cdot(-\mu)</math>. उदाहरण के लिए, आसन्न निरूपण हमेशा अपने दोहरे से समरूपी होता है।
+यदि, किसी दिए गए बीजगणित के लिए, <math>-I</math> वेइल समूह में नहीं है, तो एक अपरिवर्तनीय प्रतिनिरूपण का दोहरा मूल रूप से मूल प्रतिनिरूपण के लिए आइसोमोर्फिक नहीं होगा। यह समझने के लिए कि यह कैसे काम करता है, हम ध्यान दें कि सदैव एक अद्वितीय वेइल समूह अवयव <math>w_0</math> होता है जो मौलिक वेइल कक्ष के नकारात्मक को मौलिक वेइल कक्ष में मैप करता है। फिर यदि हमारे पास उच्चतम वजन <math>-\mu</math> के साथ एक अपरिवर्तनीय प्रतिनिरूपण है, तो द्वि प्रतिनिरूपण का सबसे कम वजन <math>-\mu</math> होगा। इसके पश्चात् यह निष्कर्ष निकलता है कि द्वि प्रतिनिरूपण का उच्चतम भार होगा <math>w_0\cdot(-\mu)\,</math><ref>{{harvnb|Hall|2015}} Exercise 10 of Chapter 10</ref> चूँकि हम मान रहे हैं कि -I वेइल समूह में नहीं है, <math>\mu\mapsto w_0\cdot(-\mu)</math> नहीं हो सकता है, जिसका अर्थ है कि मानचित्र <math>w_0\cdot(-\mu)\,</math> पहचान नहीं है . निःसंदेह, यह अभी भी हो सकता है कि <math>-\mu</math> के कुछ विशेष विकल्पों के लिए, हमारे पास <math>\mu=w_0\cdot(-\mu)</math> हो सकता है। उदाहरण के लिए, आसन्न प्रतिनिरूपण सदैव अपने द्वि से समरूपी होता है।
-एसयू(3) (या इसके जटिल बीजगणित) के मामले में, <math>\operatorname{sl}(3;\mathbb C)</math>), हम दो जड़ों वाला आधार चुन सकते हैं <math>\{\alpha_1,\alpha_2\}</math> 120 डिग्री के कोण पर, ताकि तीसरा धनात्मक मूल हो <math>\alpha_3=\alpha_1+\alpha_2</math>. इस मामले में, तत्व <math>w_0</math> लंबवत रेखा के बारे में प्रतिबिंब है <math>\alpha_3</math>. फिर नक्शा <math>\mu\mapsto w_0\cdot(-\mu)</math> के माध्यम से लाइन के बारे में प्रतिबिंब है <math>\alpha_3</math>.<ref>{{harvnb|Hall|2015}} Exercise 3 of Chapter 6</ref> स्व-दोहरे अभ्यावेदन तब होते हैं जो लाइन के साथ-साथ होते हैं <math>\alpha_3</math>. ये प्रपत्र के लेबल वाले अभ्यावेदन हैं <math>(m,m)</math>, जो वे निरूपण हैं जिनके भार आरेख नियमित षट्कोण हैं।
+इस प्रकार su (3) (या इसके सम्मिश्र बीजगणित, <math>\operatorname{sl}(3;\mathbb C)</math>) के स्थिति में, हम दो जड़ों से युक्त आधार चुन सकते हैं। <math>\{\alpha_1,\alpha_2\}</math><nowiki> 120 डिग्री के कोण पर, जिससे तीसरा धनात्मक मूल हो 2}}. इस स्थिति में, अवयव </nowiki><math>\alpha_3=\alpha_1+\alpha_2</math> के लंबवत रेखा के बारे में प्रतिबिंब है। तब मानचित्र <math>\mu\mapsto w_0\cdot(-\mu)</math> से होकर जाने वाली रेखा के बारे में प्रतिबिंब है।<ref>{{harvnb|Hall|2015}} Exercise 3 of Chapter 6</ref> इस प्रकार तब स्व-द्वि प्रतिनिरूपण वे होते हैं जो <math>\alpha_3</math> से होकर निकलने वाली रेखा के साथ स्थित होते हैं। यह <math>(m,m)</math> फॉर्म के लेबल वाले प्रतिनिरूपण हैं, जो ऐसे प्रतिनिरूपण हैं जिनके वजन आरेख नियमित षट्भुज हैं।
 ==प्रेरणा==
-प्रतिनिधित्व सिद्धांत में, दोनों सदिश {{math|''V''}} और रैखिक कार्यात्मकताएं {{math|''V''*}} को कॉलम वैक्टर के रूप में माना जाता है ताकि प्रतिनिधित्व बाईं ओर से (मैट्रिक्स गुणन द्वारा) कार्य कर सके। के लिए आधार दिया गया {{math|''V''}} और के लिए दोहरा आधार {{math|''V''*}}, रैखिक कार्यात्मक की कार्रवाई {{math|φ}} पर {{math|''v''}}, {{math|φ(v)}} मैट्रिक्स गुणन द्वारा व्यक्त किया जा सकता है,
+इस प्रकार प्रतिनिरूपण सिद्धांत में, दोनों सदिश {{math|''V''}} और रैखिक कार्यात्मकताएं {{math|''V''*}} को कॉलम वैक्टर के रूप में माना जाता है जिससे प्रतिनिरूपण बाईं ओर से (आव्यूह गुणन द्वारा) कार्य कर सके। {{math|''V''}} के लिए आधार दिया गया और {{math|''V''*}} के लिए दोहरा आधार , रैखिक कार्यात्मक की कार्रवाई {{math|φ}} पर {{math|''v''}}, {{math|φ(v)}} आव्यूह गुणन द्वारा व्यक्त किया जा सकता है,
 :<math>\langle\varphi, v\rangle \equiv \varphi(v) = \varphi^Tv</math>,
-जहां सुपरस्क्रिप्ट {{math|''T''}} मैट्रिक्स ट्रांसपोज़ है। संगति की आवश्यकता है
+जहां सुपरस्क्रिप्ट {{math|''T''}} आव्यूह ट्रांसपोज़ है। अनुरूपि की आवश्यकता है
 :<math>\langle{\rho}^*(g)\varphi, \rho(g)v\rangle = \langle\varphi, v\rangle.</math><ref>Lecture 1, page 4 of {{Fulton-Harris}}</ref>
 दी गई परिभाषा के साथ,
 :<math>\langle{\rho}^*(g)\varphi, \rho(g)v\rangle = \langle\rho(g^{-1})^T\varphi, \rho(g)v\rangle = (\rho(g^{-1})^T\varphi)^T \rho(g)v = \varphi^T\rho(g^{-1})\rho(g)v = \varphi^Tv = \langle\varphi, v\rangle.</math>
-लाई बीजगणित प्रतिनिधित्व के लिए व्यक्ति संभावित समूह प्रतिनिधित्व के साथ एकरूपता चुनता है। आम तौर पर, अगर {{math|Π}} तो फिर लाई समूह का प्रतिनिधित्व है {{math|π}} द्वारा दिए गए
+इस प्रकार लाई बीजगणित प्रतिनिरूपण के लिए व्यक्ति संभावित समूह प्रतिनिरूपण के साथ एकरूपता चुनता है। सामान्यतः, यदि {{math|Π}} एक लाई समूह का प्रतिनिरूपण है, तो {{math|π}} द्वारा दिया जाता है
 :<math>\pi(X) = \frac{d}{dt}\Pi(e^{tX})|_{t = 0}.</math>
-इसके लाई बीजगणित का प्रतिनिधित्व है। अगर {{math|Π*}} से द्वैत है {{math|Π}}, तो इसके अनुरूप झूठ बीजगणित प्रतिनिधित्व {{math|π*}} द्वारा दिया गया है
+इसके लाई बीजगणित का प्रतिनिरूपण है। यदि {{math|Π*}}, {{math|Π}} से दोहरा है, तो इसका अनुरूप बीजगणित प्रतिनिरूपण {{math|π*}} द्वारा दिया जाता है
 :<math>\pi^*(X) = \frac{d}{dt}\Pi^*(e^{tX})|_{t = 0} = \frac{d}{dt}\Pi(e^{-tX})^T|_{t = 0} = -\pi(X)^T.</math>   <ref>Lecture 8, page 111 of {{Fulton-Harris}}</ref>
 ==उदाहरण==
-समूह पर विचार करें <math>G=U(1)</math> निरपेक्ष मान की जटिल संख्याओं का 1. शूर के लेम्मा के परिणामस्वरूप, अपरिवर्तनीय निरूपण सभी आयामी हैं। इरेड्यूसिबल अभ्यावेदन को पूर्णांकों द्वारा मानकीकृत किया जाता है <math>n</math> और स्पष्ट रूप से दिया गया है
+इस प्रकार निरपेक्ष मान <math>G=U(1)</math> की सम्मिश्र संख्याओं के समूह पर विचार करें। शूर के लेम्मा के परिणामस्वरूप, अप्रासंगिक प्रतिनिरूपण सभी एक आयामी हैं। इस प्रकार इरेड्यूसिबल अभ्यावेदन को पूर्णांक <math>n</math> द्वारा मानकीकृत किया जाता है और स्पष्ट रूप से दिया जाता है
 :<math>\rho_n(e^{i\theta})=[e^{in\theta}].</math>
-को दोहरा प्रतिनिधित्व <math>\rho_n</math> फिर इस वन बाई वन मैट्रिक्स के स्थानान्तरण का व्युत्क्रम है, अर्थात,
+इस प्रकार <math>\rho_n</math> का दोहरा प्रतिनिरूपण इस वन बाई वन आव्यूह के स्थानान्तरण का व्युत्क्रम है, अर्थात,
 :<math>\rho_n^*(e^{i\theta})=[e^{-in\theta}]=\rho_{-n}(e^{i\theta}).</math>
-अर्थात् प्रतिनिधित्व का द्वैत <math>\rho_n</math> है <math>\rho_{-n}</math>.
+तात्पर्य यह है कि, प्रतिनिरूपण <math>\rho_{-n}</math> का द्वैत <math>\rho_n</math> है
 ==सामान्यीकरण==
-सामान्य रिंग [[मॉड्यूल (गणित)]] दोहरे प्रतिनिधित्व को स्वीकार नहीं करता है। हालाँकि, [[हॉपफ बीजगणित]] के मॉड्यूल ऐसा करते हैं।
+सामान्य रिंग [[मॉड्यूल (गणित)]] द्वि प्रतिनिरूपण को स्वीकार नहीं करता है। चूंकि, [[हॉपफ बीजगणित]] के मॉड्यूल ऐसा करते हैं।
 ==यह भी देखें==
-* [[जटिल संयुग्म प्रतिनिधित्व]]
+* [[जटिल संयुग्म प्रतिनिधित्व|सम्मिश्र संयुग्म प्रतिनिरूपण]]
 *[[अभ्यावेदन का टेंसर उत्पाद]]
-* [[किरिलोव चरित्र सूत्र]]
+* [[किरिलोव चरित्र सूत्र|किरिलोव कैरेक्टर सूत्र]]
-==संदर्भ==
+==संदर्भ                                                                                                                                                ==
 * {{citation|first=Brian C.|last=Hall|title=Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction|edition= 2nd|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=222 |publisher=Springer|year=2015|isbn=978-3319134666}}.
 <references/>
@@ Line 71: / Line 71: @@
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 [[Category:Created On 17/11/2023]]
+[[Category:Vigyan Ready]]

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