नम्य वस्तुओं का प्लवन

लोचदार वस्तुओं का प्लवन ऐसी घटना है जिसमें लोचदार वस्तुओं का झुकना किसी वस्तु को पूर्ण रूप से कठोर होने की तुलना में अधिक मात्रा में तरल पदार्थ को विस्थापित करने की अनुमति देता है। अधिक तरल पदार्थ को विस्थापित करने की यह क्षमता सीधे अधिक भार का समर्थन करने की क्षमता में परिवर्तित हो जाती है, जिससे लोचदार संरचना को समान रूप से कठोर संरचना पर लाभ मिलता है। लोच (भौतिकी) के प्रभावों का अध्ययन करने की प्रेरणा प्रकृति से ली गई है, इस प्रकार जहां ब्लैक पेपर जैसे पौधे और जल की पृष्ठ पर रहने वाले जानवर लोच द्वारा प्रदान किए जाने वाले लोड बियरिंग लाभों का लाभ उठाने के लिए विकसित हुए हैं।

इतिहास

इस प्रकार अपने कार्य ऑन फ्लोटिंग बॉडीज़ में, आर्किमिडीज़ प्रसिद्ध रूप से कहा गया है:

कोई भी वस्तु, पूर्ण रूप या आंशिक रूप से किसी तरल पदार्थ में डूबी हुई, वस्तु द्वारा विस्थापित तरल के भार के समान बल द्वारा ऊपर उठाई जाती है।

— आर्किमिडीज़ का सिराक्यूज़

जबकि इस मूल विचार में लोड बियरिंग है और यह समझने का आधार बन गया है कि वस्तुएं क्यों प्लावित हैं, इसे कैपिलरी लेंथ से अधिक विशेषता लंबाई मापदंड वाली वस्तुओं के लिए सबसे अच्छा प्रयुक्त किया जाता है। आर्किमिडीज़ पृष्ठ के तनाव के प्रभाव और छोटी लंबाई के मापदंड पर इसके प्रभाव की पूर्वानुमान करने में विफल रहे थे।

इस प्रकार वर्तमान कार्य, जैसे केलर के, आंशिक रूप से जलमग्न पिंडों पर पृष्ठ तनाव बलों की भूमिका पर विचार करके इन सिद्धांतों का विस्तार किया है। उदाहरण के लिए, केलर ने विश्लेषणात्मक रूप से प्रदर्शित किया कि मेनिस्कस (तरल) द्वारा विस्थापित जल का भार पृष्ठ तनाव बल के ऊर्ध्वाधर घटक के समान है।

सुप्रसिद्ध घटना जिसके द्वारा जल स्ट्राइडर पृष्ठ तनाव प्रभावों के माध्यम से खुद को सहारा देते हैं, जल रेखा पर कीट के लेग के अनुपालन और परिणामी विकृति पर विचार करके फिर से जांच की जा सकती है।

परन्तु, लचीलेपन की भूमिका और किसी वस्तु की लोड बियरिंग क्षमता पर इसके प्रभाव पर 2000 के दशक के मध्य और उसके पश्चात तक ध्यान दिया गया था। प्रारंभिक अध्ययन में, वेला पतली, कठोर पट्टियों से बने राफ्ट द्वारा समर्थित भार का अध्ययन किया था। विशेष रूप से, उन्होंने भिन्न-भिन्न पट्टियों को प्लवन के स्थिति की तुलना पट्टियों के एकत्रीकरण को प्लवन से की थी, इस प्रकार जिसमें समुच्चय संरचना के कारण मेनिस्कस के भाग (और इसलिए, परिणामी पृष्ठ तनाव बल) विलुप्त हो जाते हैं। कुछ सीमित झुकने वाली कठोरता की पतली पट्टियों से बनी समान प्रणाली पर विचार करने के लिए अपने विश्लेषण का विस्तार करके, उन्होंने पाया कि यह पश्चात के स्थिति वास्तव में अधिक भार का समर्थन करने में सक्षम था।

इस प्रकार पृष्ठ तनाव सहायता प्राप्त प्लवनशीलता के क्षेत्र में प्रसिद्ध कार्य जल की पृष्ठ के साथ वॉटर स्ट्रीडर लोकोमोशन का विश्लेषण था। लोचदार संरचनाओं के विचार का उपयोग करते हुए, जी एट अल. वॉटर स्ट्राइडर लेग की कठोरता पर विचार करके इस समस्या की दोबारा जांच की गई थी। लेग को सुसंगत संरचना के रूप में मॉडलिंग करके जो जल की पृष्ठ पर विकृत हो जाती है (इसे छिद्रित करने के अतिरिक्त), जी यह पता लगाने में सक्षम थी कि इस लचीलेपन का कीट को सहारा देने में क्या अतिरिक्त लाभ है। वॉटर स्ट्राइडर पर अन्य अध्ययनों ने उन विधियों की जांच की है जिनमें लचीलापन लेग के गीले गुणों को प्रभावित कर सकता है।

अनुसंधान का अन्य ट्रैक यह जांच करना है कि वास्तव में तरल और अनुवर्ती वस्तु के मध्य की इंटरैक्शन परिणामी विकृति की ओर कैसे ले जाती है। उदाहरण में, किसी तरल पदार्थ में बालों को डुबाने में होने वाली कठिनाई को समझाने के लिए इस प्रकार के विश्लेषण का विस्तार किया गया है। यह कार्य संपर्क रेखा के निकट व्यवहार पर ध्यान केंद्रित करते हैं, और विचार करते हैं कि फिसलन जैसे गैर-रेखीय प्रभाव क्या भूमिका निभाते हैं।

परिघटना की भौतिक व्याख्या

एक तरल घोल में, कोई भी तरल अणु निकट अणुओं से सशक्त सामंजस्य (रसायन) बलों का अनुभव करता है। जबकि यह बल विस्तृत रूप में संतुलित होते हैं, समाधान की पृष्ठ पर अणु एक पक्ष जल के अणुओं से और दूसरी पक्ष गैस के अणुओं से घिरे होते हैं। पृष्ठ पर संयोजी बलों के असंतुलन के परिणामस्वरूप विस्तृत की ओर नेट खिंचाव होता है, जिससे पृष्ठ तनाव की घटना को जन्म मिलता है।

जल रेखा के नीचे डूबी हुई कठोर प्लेट। यदि प्लेट लोचदार है, तो इसके विरूपण (धराशायी) के परिणामस्वरूप अतिरिक्त द्रव (नीला, विकर्ण) का विस्थापन होता है। चूंकि, ऐसा करने से उपरोक्त कॉलम (लाल, ऊर्ध्वाधर) के संकीर्ण होने के कारण साथ हानि होता है।

इस प्रकार जब भार की जल विरोधी वस्तु $w$ जल की पृष्ठ पर रखा जाता है, इसका भार जल की रेखा को विकृत करना प्रारंभ कर देता है। इस प्रकार वस्तु की हाइड्रोफोबिक प्रकृति का कारण है कि जल द्रव से जुड़े प्रतिकूल ऊर्जा कार्य के कारण संपर्क को कम करने का प्रयास करेगा। परिणामस्वरूप, हाइड्रोफोबिक वस्तु के साथ संपर्क को कम करने और न्यूनतम ऊर्जा स्थिति बनाए रखने के लिए पृष्ठ तनाव जल की रेखा को पुनः खींचने का प्रयास करता है। पृष्ठ द्वारा दबे हुए जल के इंटरफ़ेस को पुनः खींचने की यह क्रिया कैपिलरी बल का स्रोत है, जो संपर्क रेखा के साथ स्पर्शरेखीय रूप से कार्य करती है और इस प्रकार ऊर्ध्वाधर दिशा में घटक को जन्म देती है। इस प्रकार वस्तु को और अधिक दबाने के प्रयास का इस कैपिलरी बल द्वारा तब तक विरोध किया जाता है जब तक कि संपर्क रेखा निरंतर जल रेखा के नीचे लगभग दो कैपिलरी लेंथ में स्थित ऊर्ध्वाधर स्थिति तक नहीं पहुंच जाती है। एक बार ऐसा होने पर, मेनिस्कस गिर जाता है और वस्तु डूब जाती है।

इस प्रकार प्लावित हुई वस्तु जितना अधिक तरल पदार्थ विस्थापित करने में सक्षम होती है, वह उतना ही अधिक भार सहन करने में सक्षम होती है। परिणामस्वरूप, लचीलेपन का अंतिम लाभ यह निर्धारित करना है कि मुड़े हुए विन्यास के परिणामस्वरूप विस्थापित जल की मात्रा में वृद्धि होती है या नहीं। जैसे ही कोई लोचदार वस्तु झुकती है, वह जल में और अधिक प्रवेश कर जाती है और उसके ऊपर विस्थापित कुल तरल पदार्थ बढ़ जाता है। चूंकि, यह झुकने की क्रिया आवश्यक रूप से जल की रेखा पर क्रॉस-सेक्शन को कम करने के लिए विवश करती है, जिससे वस्तु के ऊपर विस्थापित जल का स्तंभ संकीर्ण हो जाता है। इस प्रकार, झुकना लाभप्रद है या नहीं, यह अंततः इन कारकों के क्रिया से पता चलता है।

गणितीय मॉडल: हिंग वाली प्लेटों का प्लवन

टॉर्सनल स्प्रिंग से जुड़ी दो कठोर प्लेटें

निम्नलिखित विश्लेषण अधिक सीमा तक बर्टन और बुश के कार्य से लिया गया है, और फ्लोटिंग ऑब्जेक्ट्स की लोड-बियरिंग विशेषताओं को बेहतर बनाने में लचीलेपन की भूमिका में कुछ गणितीय अंतर्दृष्टि प्रदान करता है।

अनंत चौड़ाई, मोटाई $t$ और लंबाई $b$ की दो प्लेटों पर विचार करें जो प्रति इकाई चौड़ाई $K_{s}$ के स्प्रिंग स्थिरांक के साथ एक टॉर्सनल स्प्रिंग से जुड़ी हुई हैं। इसके अतिरिक्त, मान लीजिए कि $\alpha$ एक प्लेट और क्षैतिज के बीच का कोण है, और $\phi$ वह है जहां से मेनिस्कस प्लेट से क्षैतिज तक मिलता है। इस प्रकार अबाधित जल रेखा से प्लेट के बाहरी किनारे तक की दूरी $h$ है। पानी का घनत्व $\rho$ है, वायु का घनत्व नगण्य माना जाता है, और प्लेट का घनत्व, $\rho _{s}$, भिन्न होगा। सभी प्रणालियाँ स्वाभाविक रूप से एक विन्यास ग्रहण करती हैं जो कुल ऊर्जा को न्यूनतम करती है। इस प्रकार, इस विश्लेषण का लक्ष्य विन्यास (यानी, $h$ और $\alpha$ के मान) की पहचान करना है जिसके परिणामस्वरूप $\rho _{s}$ के दिए गए मान के लिए एक स्थिर संतुलन होता है

$\Pi$ की कुल प्रणाली ऊर्जा के लिए उप-घटकों में अंतर करना स्वाभाविक है:

दो कठोर प्लेटें मरोड़ वाले झरने से जुड़ी हुई हैं और जल की रेखा के मध्य डूबी हुई हैं। चूँकि वस्तुओं को हाइड्रोफोबिक माना जाता है, जल विकृत हो जाता है, जिससे प्लेट के किनारे पर मेनिस्कस बन जाता है।

$\Pi =U-V$

$V$: प्रणाली पर किया गया कार्य

$U$: प्रणाली संभावित ऊर्जा

परिभाषित करने में $V$, विभिन्न संबंधित घटक हैं:

$V=W_{H,i}+W_{H,p}-W_{g,p}+W_{\sigma }$

$W_{H,i}$ हाइड्रोस्टैटिक दाब द्वारा इंटरफ़ेस पर किया गया कार्य है

$W_{H,p}$ हाइड्रोस्टैटिक दाब द्वारा प्लेटों पर किया गया कार्य है

$W_{g,p}$ गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा प्लेटों पर किया गया कार्य है

$W_{\sigma }$ पृष्ठ तनाव बलों द्वारा प्लेटों पर किया गया कार्य है

इसी प्रकार, प्रणाली संभावित ऊर्जा, $U$, को दो शब्दों से बना माना जाता है:

$U=S+E_{s}$

$S$ जल/वायु इंटरफ़ेस की पृष्ठ ऊर्जा है

$E_{s}$ टॉर्सनल स्प्रिंग में संग्रहीत ऊर्जा है और इसके $E_{s}=K_{s}(2\alpha )^{2}/2$ समान है

ऐसे दो विधि हैं जिनसे प्रणाली ऊर्जा वृद्धिशील मात्रा में परिवर्तित हो सकती है। पहला कुछ दूरी $\delta h$ तक प्लेटों के द्रव्यमान के केंद्र का अनुवाद है दूसरा एक वृद्धिशील परिवर्तन है, हिंज कोण में $\delta \alpha$ ऐसा परिवर्तन एक नये क्षण को प्रेरित करेगा।

जैसा कि उल्लेख किया गया है, प्रणाली उस अभिविन्यास की खोज करेगा जो स्थिर संतुलन के बिंदु को खोजने के लिए $\delta \Pi =\delta U-\delta V$ को न्यूनतम करता है। इन शब्दों को अधिक स्पष्ट रूप से लिखें:

$\delta V=\delta W_{H,i}+\delta W_{H,p}-\delta W_{g,p}+\delta W_{\sigma }$

$\delta W_{H,i}=\rho g\int \eta (x)dx\delta \epsilon$

$\delta W_{H,p}=\rho g\left(\left(2bh{\text{cos}}\alpha +b^{2}{\text{cos}}\alpha {\text{sin}}\alpha \right)\delta h+\left({\frac {b^{3}}{3}}{\text{sin}}\alpha +b^{2}h\right)\delta \alpha \right)$

$\delta W_{g,p}=\rho _{s}gt\left(2b\delta h+b^{2}{\text{cos}}\left(\alpha \right)\delta \alpha \right)$

$\delta W_{\sigma }=2\sigma \left({\text{sin}}\phi \delta h+b\left({\text{sin}}\left(\phi -\alpha \right)\delta \alpha \right)\right)$

$\delta U=\sigma \delta {\mathcal {L}}+4K_{s}\alpha \delta \alpha$

जहाँ, $\eta (x)$ समीकरण वायु/जल इंटरफ़ेस है, $\delta \epsilon$ इंटरफ़ेस का वृद्धिशील विस्थापन है, और $\sigma$ जल का पृष्ठ तनाव है.

$\rho _{s}$ के दिए गए मान के लिए, स्थिर संतुलन विन्यास को $h$ और $\alpha$ के उन मानों के रूप में पहचाना जाता है जो संतुष्ट करते हैं

${\frac {\delta \Pi }{\delta h}}=0$

${\frac {\delta \Pi }{\delta \alpha }}=0$

एक भिन्न प्रकाश में लेने पर, इन स्थितियों को $h$ और $\alpha$ की पहचान के रूप में देखा जा सकता है जिसके परिणामस्वरूप किसी दिए गए $\rho _{s}$ के लिए शून्य नेट बल और शून्य नेट टोक़ होता है।

अधिकतम भार के लिए विश्लेषणात्मक परिणाम

गैर-आयामी प्लेट की लंबाई $\beta ={\frac {b}{2l_{c}}}$, गैर-आयामी प्लेट किनारे की गहराई $H={\frac {h}{l_{c}}}$, और गैर-आयामी भार $D={\frac {\rho _{s}-\rho }{\rho }}{\frac {t}{l_{c}}}$ को परिभाषित करते हुए, बर्टन और बुश ने निम्नलिखित विश्लेषणात्मक परिणाम प्राप्त किए:

$H_{{\text{max}},D}={\frac {2\left({\sqrt {2}}+\beta \right)}{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}\beta +\beta ^{2}}}}$
$\alpha _{{\text{max}},D}={\text{arcos}}\left({\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {8+\beta ^{2}\left(-2+{\sqrt {2}}\beta \right)}{16+\beta ^{2}}}}}\right)$
$D_{\text{max}}={\frac {\beta }{4}}+{\sqrt {2}}+{\frac {1}{\beta }}$

$H$ और $\alpha$ के समीकरण विन्यास मापदंड देते हैं जो $D$ का अधिकतम मान देते हैं। इस प्रकार फायरे की जानकारी के लिए, गैर-आयामी प्लेट लंबाई $\beta$ के विभिन्न शासनों की जांच करना सहायक होता है।

केस 1: छोटे मापदंड पर β << H

इस प्रकार जब विशिष्ट प्लेट की लंबाई विशिष्ट प्लेट किनारे की गहराई से बहुत छोटी होती है, जिससे गुरुत्वाकर्षण, पृष्ठ तनाव और स्प्रिंग ऊर्जा के प्रभाव प्रभावी हो जाते हैं। इस सीमित स्थिति में, यह पता चलता है कि लचीलापन प्लेटों की लोड बियरिंग क्षमताओं में सुधार नहीं करता है; वास्तव में, इष्टतम विन्यास समतल प्लेट है। चूँकि प्लेट की लंबाई निरंतर जल रेखा से विस्थापन की तुलना में बहुत छोटी है, कठोर प्लेट को मोड़ने से विस्थापित अतिरिक्त तरल पदार्थ प्लेट के ऊपर के स्तंभ में तरल पदार्थ के हानि से अधिक हो जाता है।

केस 2: मध्य मापदंड पर β << H

इस व्यवस्था में, लचीलापन प्लेटों की लोड बियरिंग क्षमताओं में सुधार कर भी सकता है और नहीं भी। दोनों विशेषताओं की लंबाई तुलनीय आयाम की है, इसलिए प्रत्येक के लिए विशेष मान यह निर्धारित करते हैं कि झुकने के माध्यम से विस्थापित अतिरिक्त द्रव स्तंभ के संकुचन के माध्यम से खोए गए द्रव से अधिक है या नहीं है।

केस 3: बड़े मापदंड पर β >> H

इस व्यवस्था में लचीलेपन का लाभ सबसे अधिक स्पष्ट है। इस प्रकार विशिष्ट प्लेट की लंबाई उस विशिष्ट गहराई से अधिक अधिक है, जिस गहराई तक प्लेट जल की रेखा के नीचे डूबी हुई है। परिणामस्वरूप, प्लेट के ऊपर संकीर्ण स्तंभ नगण्य है, जिसमें झुकने के कारण जल का अतिरिक्त विस्थापन महत्वपूर्ण है।

निरंतर विकृत निकाय का विस्तार

इस गणितीय को भौतिक प्रणालियों से जोड़ने के लिए, उपरोक्त विश्लेषण को निरंतर विकृत होने वाले निकायों तक बढ़ाया जा सकता है। इस प्रकार दो प्लेट प्रणाली के समीकरणों को सामान्य बनाने से व्यक्ति को निरंतर विकृत होने वाली प्लेट के स्थिति में समीकरणों का संगत सेट लिखने की अनुमति मिलती है। यह निरंतर विकृत होने वाली प्लेट $n$ उप-प्लेटें किससे बनी होती है? , जहां पहले वर्णित समान बल और टोक़ संतुलन की स्थिति प्रत्येक उप-प्लेट के लिए संतुष्ट होनी चाहिए। इस प्रकार के विश्लेषण से पता चलता है कि कैपिलरी लेंथ की तुलना में बहुत अधिक विशेषता लंबाई वाली अत्यधिक अनुरूप 2डी संरचना के लिए, उच्चतम लोड बियरिंग करने वाली आकृति आदर्श अर्ध-वृत्त है। जैसे-जैसे कठोरता बढ़ती है, अर्धवृत्त कम वक्रता वाले आकार में विकृत हो जाता है।

इस प्रकार निरंतर विकृत होने वाले पिंडों पर यह प्रारंभिक द्रष्टि बहुत ही सम्मिश्र समस्या पर प्रारंभिक आक्रमण का प्रतिनिधित्व करती है। इस विश्लेषण में यहां दिए गए आधारभूत कार्य के साथ, यह संभावना है कि भविष्य के कार्य इस सामान्य विचारधारा को सीमित तत्व दृष्टिकोण में प्रयुक्त करेंगे। ऐसा करने से वास्तविक संसार की घटनाओं का बहुत निकट से अनुकरण किया जा सकेगा और यह निर्धारित करने में सहायता मिलेगी कि लोच के प्रभाव रोबोट, उपकरणों और जल की रेखा के साथ कार्य करने वाले अन्य उपकरणों के डिजाइन में कैसे सहायता कर सकते हैं।

प्रकृति में उदाहरण

फायर आंट

बाढ़ से बचने के लिए, फायर आंट की कॉलोनियाँ जीवित राफ्ट बनाने के लिए अपने अंगों को आपस में मिलाएँगी।

इस प्रकार ब्राज़ील के वर्षा वनों में, अचानक वर्षा से एक समय की सूचना पर बाढ़ आ सकती है। यह देखते हुए कि बाढ़ संभावित रूप से कॉलोनी को नष्ट कर सकती है और कीड़ों को डुबो सकती है, फायर आंट ने इस स्थिति के लिए अद्वितीय अनुकूलन विकसित किया है। जबकि व्यक्तिगत फायर आंट जल की पृष्ठ पर हाइड्रोफोबिक और फ़्लाउंडर होती हैं, इस प्रकार आंट के बड़े समूह जीवित राफ्ट बनाने के लिए साथ जुड़ सकते हैं। जैसे ही क्वीन और लार्वा को बाढ़ वाली कॉलोनी से निकाला जाता है, वह इस जीवित राफ्ट पर बैठते हैं, और कुछ ठोस भूमि तक पहुंचने तक जलरेखा के साथ प्लावित होते रहते हैं।

इस एकत्रित आंट राफ्ट में लचीलेपन का महत्व विभिन्न गुना है। इस प्रकार लचीलापन प्रदान करने वाला अतिरिक्त लोड बियरिंग करना महत्वपूर्ण है क्योंकि भूखी मछलियाँ राफ्ट के नीचे प्लावित हैं और विभिन्न सदस्यों को खा जाती हैं। इसके अतिरिक्त, जैसे ही लहरें जल की पृष्ठ के साथ चलती हैं, आंट राफ्ट का लचीलापन इसे प्रभावी विधि से लहर के साथ घूमने और अस्तव्यस्तता को कम करने की अनुमति देता है, अन्यथा यह समान किन्तु कठोर संरचना का कारण बनता है।

जलीय वनस्पति

अपनी प्रजनन वस्तुओं की सुरक्षा के लिए, डेज़ी की पंखुड़ियाँ बाढ़ के समय जल के प्रवाह को रोकने के लिए मुड़ जाती हैं।

इस प्रकार जलीय वनस्पतियों में, निम्फियासी संभवतः सबसे अधिक पहचानी जाने वाली प्रजाति है, जो सामान्यतः तालाबों और झीलों से जुड़ी होती है। उनका लचीलापन बढ़े हुए भार की अनुमति देता है, जिससे वह मेंढक जैसे जानवरों को अपने भार से विभिन्न गुना अधिक भार उठाने में सक्षम बनाते हैं।

कुछ जलीय फूल, जैसे बेलीस पेरेनिस , जीवित रहने के तंत्र के रूप में अनुपालन का उपयोग करते हैं। ऐसे फूलों की जड़ें नीचे की मिट्टी तक विस्तृत होती हैं, जो फूल को जल की पृष्ठ पर बांधे रखती हैं। जब बाढ़ आती है, तो पंखुड़ियाँ अंदर की ओर खिंचती हैं और जल की रेखा को विकृत कर देती हैं, जिससे कोर में आनुवंशिक वस्तु सुरक्षित हो जाती है। कुछ फूल इस प्रकार से पूर्ण रूप से खोल में बंद हो जाते हैं, जिससे वायु अंदर फंस जाती है।