महत्वपूर्ण आयाम: Difference between revisions

Revision as of 11:11, 29 November 2023

भौतिकी में चरण परिवर्तन के पुनर्सामान्यीकरण समूह विश्लेषण में, महत्वपूर्ण आयाम समष्टि की वह आयामीता है जिस पर चरण परिवर्तन का स्वरूप परिवर्तित होता है। निचले महत्वपूर्ण आयाम के नीचे कोई चरण परिवर्तन नहीं होता है। ऊपरी महत्वपूर्ण आयाम के ऊपर सिद्धांत के महत्वपूर्ण प्रतिपादक, मीन फील्ड थ्योरी के समान हो जाते हैं। मीन फील्ड थ्योरी के अंदर महत्वपूर्ण आयाम प्राप्त करने के लिए मानदंड विटाली गिन्ज़बर्ग कारण है।

चूंकि पुनर्सामान्यीकरण समूह चरण परिवर्तन और क्वांटम फील्ड थ्योरी के मध्य संबंध स्थापित करता है, इसका उत्तरार्द्ध और सामान्य रूप से पुनर्सामान्यीकरण की हमारी समझ पर प्रभाव पड़ता है। ऊपरी महत्वपूर्ण आयाम के ऊपर, क्वांटम फील्ड थ्योरी जो चरण परिवर्तन के मॉडल से संबंधित है, फ्री फील्ड थ्योरी है। निचले महत्वपूर्ण आयाम के नीचे, मॉडल के अनुरूप कोई फील्ड थ्योरी नहीं है।

स्ट्रिंग थ्योरी के संदर्भ में अर्थ अधिक प्रतिबंधित है: महत्वपूर्ण आयाम वह आयाम है जिस पर स्ट्रिंग थ्योरी पृष्ठभूमि विकिरण प्रभावों से अतिरिक्त भ्रमित क्रमपरिवर्तन के अभाव में स्थिर फैलाव पृष्ठभूमि मानकर सुसंगत है। त्रुटिहीन संख्या वर्ल्डशीट पर कन्फोरल एनोमली के आवश्यक रद्दीकरण द्वारा निर्धारित की जा सकती है; यह बोसोनिक स्ट्रिंग थ्योरी के लिए 26 और सुपरस्ट्रिंग थ्योरी के लिए 10 है।

फील्ड थ्योरी में ऊपरी महत्वपूर्ण आयाम

किसी फील्ड थ्योरी के ऊपरी महत्वपूर्ण आयाम का निर्धारण रैखिक बीजगणित का विषय है। प्रक्रिया को औपचारिक बनाना सार्थक है क्योंकि यह स्केलिंग के लिए निम्नतम-क्रम सन्निकटन और पुनर्सामान्यीकरण समूह के लिए आवश्यक इनपुट प्रदान करता है। यह सर्वप्रथम महत्वपूर्ण मॉडल रखने की स्थितियों को भी प्रदर्शित करता है।

क्रिटिकल लैग्रेंजियन के मोनोमियल्स के प्रतिपादक प्रतिपादक स्थान में हाइपरप्लेन को परिभाषित करते हैं। ऊपरी महत्वपूर्ण आयाम को यहां पढ़ा जा सकता है

E_{1}

-एक्सिस..

लैग्रेंजियन (फील्ड थ्योरी) को शब्दों के योग के रूप में लिखा जा सकता है, प्रत्येक में निर्देशांक $x_{i}$ और फ़ील्ड $\phi _{i}$ के एकपदी पर अभिन्न अंग होता है उदाहरण मानक $\phi ^{4}$ -मॉडल और लैग्रेंजियंस के साथ आइसोट्रोपिक बहुआलोचनात्मक बिंदु हैं।

\displaystyle S=\int d^{d}x\left\{{\frac {1}{2}}\left(\nabla \phi \right)^{2}+u\phi ^{4}\right\},

\displaystyle S_{L.T.P}=\int d^{d}x\left\{{\frac {1}{2}}\left(\nabla ^{2}\phi \right)^{2}+u\phi ^{3}\nabla ^{2}\phi +w\phi ^{6}\right\},

दाईं ओर का चित्र भी देखें। यह सरल संरचना कारक के साथ निर्देशांक और फील्ड $b$ के अनुसार पुनर्स्केलिंग के अंतर्गत स्केल इनवेरिएंस के साथ संगत हो सकती है,

\displaystyle x_{i}\rightarrow x_{i}b^{\left[x_{i}\right]},\phi _{i}\rightarrow \phi _{i}b^{\left[\phi _{i}\right]}.

यहां समय को भिन्न नहीं किया गया है - यह समन्वय है: यदि लैग्रेंजियन में समय चर होता है तो इस चर को इस प्रकार $t\rightarrow tb^{-z}$ को कुछ स्थिर घातांक के साथ $z=-[t]$ पुनः स्केल किया जाना चाहिए। लक्ष्य घातांक समुच्चय $N=\{[x_{i}],[\phi _{i}]\}$ निर्धारित करना है।

उदाहरण के लिए, प्रतिपादक $[x_{1}]$ का $[x_{1}]=-1$ के लिए ऐच्छिक रूप से चयन किया जाता है। आयामी विश्लेषण की भाषा में इसका अर्थ है कि घातांक $N$ तरंग सदिश कारकों (पारस्परिक लंबाई $k=1/L_{1}$ ) की गणना करें) इस प्रकार प्रतिपादकों के लिए $N$ लैग्रेंजियन का प्रत्येक एकपदी सजातीय रैखिक समीकरण $\sum E_{i,j}N_{j}=0$ की ओर ले जाता है। यदि वहाँ $M$ (असमान) लैग्रेंजियन में निर्देशांक और फ़ील्ड हैं, फिर $M$ ऐसे समीकरण वर्ग आव्यूह का निर्माण करते हैं। यदि यह आव्यूह विपरीत होता तो केवल महत्वहीन समाधान $N=0$ होता है।

स्थिति $\det(E_{i,j})=0$ गैर-लघु समाधान के लिए समष्टि आयामों के मध्य समीकरण मिलता है, और यह ऊपरी महत्वपूर्ण आयाम $d_{u}$ (बशर्ते $d$ लैग्रेंजियन में केवल एक परिवर्तनीय आयाम हो) निर्धारित करता है। निर्देशांक और फ़ील्ड की पुनर्परिभाषा अब स्केलिंग घातांक $N$ को निर्धारित करने को दर्शाती है वेवसदिश $k$ के संबंध में आयामी विश्लेषण के समान है, लैग्रेंजियन में होने वाले सभी युग्मन स्थिरांक को आयामरहित बना दिया गया है। आयाम रहित युग्मन स्थिरांक ऊपरी महत्वपूर्ण आयाम के लिए प्राविधिक पहचान हैं।

लैग्रेंजियन के स्तर पर अनुभवहीन स्केलिंग सीधे भौतिक स्केलिंग के समान नहीं है क्योंकि क्वांटम फील्ड थ्योरी और पथ अभिन्न सूत्रीकरण को अर्थ प्रदान करने के लिए के लिए कटऑफ (भौतिकी) की आवश्यकता होती है। लंबाई के स्तर को परिवर्तित करने से स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या भी परिवर्तित हो जाती है। इस समिष्टता को पुनर्सामान्यीकरण समूह द्वारा ध्यान में रखा जाता है। ऊपरी महत्वपूर्ण आयाम पर मुख्य परिणाम यह है कि बड़े कारकों $b$ के लिए, परन्तु अतिरिक्त $ln(b)$ कारक के साथ निर्देशांक और फ़ील्ड के स्केलिंग में स्केल इनवेरिएंस वैध रहता है।

नीचे या ऊपर $d_{u}$ क्या होता है, यह इस पर निर्भर करता है कि किसी की रुचि लंबी दूरी (स्टैटिस्टिकल फील्ड थ्योरी) में है या छोटी दूरी (क्वांटम फील्ड थ्योरी) में। क्वांटम फील्ड थ्योरी $d_{u}$ के नीचे लघु (अभिसरण) हैं और ऊपर पुनर्सामान्यीकरण योग्य $d_{u}$ नहीं है।^[1] उपरोक्त $d_{u}$ सांख्यिकीय क्षेत्र सिद्धांत लघु (अभिसारी) और नीचे पुनर्सामान्यीकरण योग्य $d_{u}$ हैं। पश्चात विषयों में अनुभवहीन स्केलिंग प्रतिपादकों $N$ में असामान्य योगदान उत्पन्न होता है। प्रभावी आलोचनात्मक प्रतिपादकों के लिए ये असामान्य योगदान ऊपरी महत्वपूर्ण आयाम पर विलुप्त हो जाते हैं।

यह देखना शिक्षाप्रद है कि ऊपरी महत्वपूर्ण आयाम पर स्केल इनवेरिएंस इस आयाम के नीचे स्केल इनवेरिएंस कैसे बन जाता है। छोटे बाह्य तरंग सदिशों के लिए शीर्ष कार्य करता है $\Gamma$ उदाहरण के लिए, अतिरिक्त घातांक प्राप्त करें $\Gamma _{2}(k)\thicksim k^{2-\eta (d)}$ . यदि इन घातांकों को आव्यूह में डाला जाता है $A(d)$ (जिसमें केवल पहले कॉलम में मान हैं) स्केल इनवेरिएंस की स्थिति बन जाती है $\det(E+A(d))=0$ . यह समीकरण तभी संतुष्ट हो सकता है जब शीर्ष फलनों के विषम घातांक किसी तरह से सहयोग करें। वास्तव में, शीर्ष फ़ंक्शन पदानुक्रमिक रूप से दूसरे पर निर्भर करते हैं। इस परस्पर निर्भरता को व्यक्त करने का तरीका डायसन-श्विंगर समीकरण हैं।

पर अनुभवहीन स्केलिंग $d_{u}$ इस प्रकार शून्यवें क्रम सन्निकटन के रूप में महत्वपूर्ण है। ऊपरी महत्वपूर्ण आयाम पर अनुभवहीन स्केलिंग भी लैग्रेंजियन की शर्तों को प्रासंगिक, अप्रासंगिक या सीमांत के रूप में वर्गीकृत करती है। लैग्रेंजियन स्केलिंग के साथ संगत है यदि $x_{i}$ - और $\phi _{i}$ -प्रतिपादक $E_{i,j}$ हाइपरप्लेन पर लेटें, उदाहरण के लिए ऊपर चित्र देखें। $N$ इस हाइपरप्लेन का सामान्य सदिश है।

निचला महत्वपूर्ण आयाम

निचला महत्वपूर्ण आयाम $d_{L}$ किसी दिए गए सार्वभौमिकता वर्ग के चरण परिवर्तन का अंतिम आयाम है जिसके लिए यह चरण परिवर्तन तब नहीं होता है जब आयाम को शुरू से बढ़ाया जाता है $d=1$ .

एक क्रमबद्ध चरण की थर्मोडायनामिक स्थिरता एन्ट्रापी और ऊर्जा पर निर्भर करती है। मात्रात्मक रूप से यह डोमेन दीवार (स्ट्रिंग थ्योरी) के प्रकार और उनके उतार-चढ़ाव मोड पर निर्भर करता है। ऐसा प्रतीत होता है कि फील्ड थ्योरी के निचले महत्वपूर्ण आयाम को प्राप्त करने का कोई सामान्य औपचारिक तरीका नहीं है। सांख्यिकीय यांत्रिकी तर्कों के साथ निचली सीमाएँ प्राप्त की जा सकती हैं।

पहले छोटी दूरी की अंतःक्रियाओं वाली एक-आयामी प्रणाली पर विचार करें। डोमेन वॉल बनाने के लिए निश्चित ऊर्जा मात्रा की आवश्यकता होती है $\epsilon$ . इस ऊर्जा को स्वतंत्रता की अन्य डिग्री से निकालने से एन्ट्रापी कम हो जाती है $\Delta S=-\epsilon /T$ . इस एन्ट्रापी परिवर्तन की तुलना डोमेन वॉल की एन्ट्रापी से ही की जानी चाहिए।^[2] लंबाई की प्रणाली में $L$ वहाँ हैं $L/a$ डोमेन वॉल के लिए स्थितियाँ, (बोल्ट्ज़मैन थ्योरी|बोल्ट्ज़मैन के थ्योरी के अनुसार) एन्ट्रापी लाभ की ओर ले जाती हैं $\Delta S=k_{B}\log(L/a)$ . शून्येतर तापमान के लिए $T$ और $L$ काफी बड़ा एन्ट्रापी लाभ हमेशा हावी रहता है, और इस प्रकार छोटी दूरी की अंतःक्रियाओं वाले एक-आयामी सिस्टम में कोई चरण परिवर्तन नहीं होता है $T>0$ . समष्टि आयाम $d_{1}=1$ इस प्रकार ऐसी प्रणालियों के निचले महत्वपूर्ण आयाम के लिए निचली सीमा है।

एक मजबूत निचली सीमा $d_{L}=2$ छोटी दूरी की अंतःक्रिया वाले सिस्टम और निरंतर समरूपता वाले ऑर्डर पैरामीटर के लिए समान तर्कों की सहायता से प्राप्त किया जा सकता है। इस विषयों में मर्मिन-वैगनर प्रमेय|मर्मिन-वैगनर प्रमेय बताता है कि ऑर्डर पैरामीटर अपेक्षा मान विलुप्त हो जाता है $d=2$ पर $T>0$ , और इस प्रकार सामान्य प्रकार का कोई चरण परिवर्तन नहीं होता है $d_{L}=2$ और नीचे।

शमन विकार वाली प्रणालियों के लिए इमरी और मा द्वारा दिया गया मानदंड^[3] प्रासंगिक हो सकता है. इन लेखकों ने यादृच्छिक फील्ड चुम्बकों के निचले महत्वपूर्ण आयाम को निर्धारित करने के लिए मानदंड का उपयोग किया।

संदर्भ

↑ Zinn-Justin, Jean (1996). क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत और महत्वपूर्ण घटनाएँ. Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-851882-X.
↑ Pitaevskii, L. P.; Landau, L. D.; Lifshitz, E. M.; Sykes, J. B.; Kearsley, M. W.; Lifshitz, E. M. (1991). सांख्यिकीय भौतिकी. Oxford: Butterworth-Heinemann. ISBN 0-7506-3372-7.
↑ Imry, Y.; S. K. Ma (1975). "सतत समरूपता की क्रमबद्ध स्थिति की यादृच्छिक-क्षेत्र अस्थिरता". Phys. Rev. Lett. 35 (21): 1399–1401. Bibcode:1975PhRvL..35.1399I. doi:10.1103/PhysRevLett.35.1399.

[1] Zinn-Justin, Jean (1996). क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत और महत्वपूर्ण घटनाएँ. Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-851882-X.

[2] Pitaevskii, L. P.; Landau, L. D.; Lifshitz, E. M.; Sykes, J. B.; Kearsley, M. W.; Lifshitz, E. M. (1991). सांख्यिकीय भौतिकी. Oxford: Butterworth-Heinemann. ISBN 0-7506-3372-7.

[3] Imry, Y.; S. K. Ma (1975). "सतत समरूपता की क्रमबद्ध स्थिति की यादृच्छिक-क्षेत्र अस्थिरता". Phys. Rev. Lett. 35 (21): 1399–1401. Bibcode:1975PhRvL..35.1399I. doi:10.1103/PhysRevLett.35.1399.

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 यहां समय को भिन्न नहीं किया गया है - यह समन्वय है: यदि लैग्रेंजियन में समय चर होता है तो इस चर को इस प्रकार <math>t\rarr tb^{-z}</math> को कुछ स्थिर घातांक के साथ <math>z=-[t]</math> पुनः स्केल किया जाना चाहिए। लक्ष्य घातांक समुच्चय <math>N=\{[x_i], [\phi_i]\}</math> निर्धारित करना है।
-एक प्रतिपादक, कहो <math>[x_1]</math>, उदाहरण के लिए, मनमाने ढंग से चुना जा सकता है <math>[x_1]=-1</math>. आयामी विश्लेषण की भाषा में इसका अर्थ है कि घातांक <math>N</math> तरंग वेक्टर कारकों (एक [[पारस्परिक लंबाई]]) की गणना करें <math>k=1/L_1</math>). इस प्रकार लैग्रेंजियन का प्रत्येक एकपदी सजातीय रैखिक समीकरण की ओर ले जाता है <math>\sum E_{i,j}N_j=0</math> प्रतिपादकों के लिए <math>N</math>. अगर वहाँ <math>M</math> (असमान) लैग्रेंजियन में निर्देशांक और फ़ील्ड, फिर <math>M</math> ऐसे समीकरण वर्ग मैट्रिक्स का निर्माण करते हैं। यदि यह मैट्रिक्स उलटा होता तो केवल तुच्छ समाधान होता <math>N=0</math>.
+उदाहरण के लिए, प्रतिपादक <math>[x_1]</math> का <math>[x_1]=-1</math> के लिए ऐच्छिक रूप से चयन किया जाता है। आयामी विश्लेषण की भाषा में इसका अर्थ है कि घातांक <math>N</math> तरंग सदिश कारकों ([[पारस्परिक लंबाई]] <math>k=1/L_1</math>) की गणना करें) इस प्रकार प्रतिपादकों के लिए <math>N</math> लैग्रेंजियन का प्रत्येक एकपदी सजातीय रैखिक समीकरण <math>\sum E_{i,j}N_j=0</math> की ओर ले जाता है। यदि वहाँ <math>M</math> (असमान) लैग्रेंजियन में निर्देशांक और फ़ील्ड हैं, फिर <math>M</math> ऐसे समीकरण वर्ग आव्यूह का निर्माण करते हैं। यदि यह आव्यूह विपरीत होता तो केवल महत्वहीन समाधान <math>N=0</math> होता है।
-स्थिति <math>\det(E_{i,j})=0</math> गैर-तुच्छ समाधान के लिए समष्टि आयामों के मध्य समीकरण मिलता है, और यह ऊपरी महत्वपूर्ण आयाम निर्धारित करता है <math>d_u</math> (बशर्ते केवल परिवर्तनीय आयाम हो <math>d</math> लैग्रेंजियन में)। निर्देशांक और फ़ील्ड की पुनर्परिभाषा अब स्केलिंग घातांक को निर्धारित करने को दर्शाती है <math>N</math> वेववेक्टर के संबंध में आयामी विश्लेषण के बराबर है <math>k</math>, लैग्रेंजियन में होने वाले सभी युग्मन स्थिरांक को आयामहीन बना दिया गया है। आयाम रहित युग्मन स्थिरांक ऊपरी महत्वपूर्ण आयाम के लिए तकनीकी पहचान हैं।
+स्थिति <math>\det(E_{i,j})=0</math> गैर-लघु समाधान के लिए समष्टि आयामों के मध्य समीकरण मिलता है, और यह ऊपरी महत्वपूर्ण आयाम <math>d_u</math> (बशर्ते <math>d</math> लैग्रेंजियन में केवल एक परिवर्तनीय आयाम हो) निर्धारित करता है। निर्देशांक और फ़ील्ड की पुनर्परिभाषा अब स्केलिंग घातांक <math>N</math> को निर्धारित करने को दर्शाती है  वेवसदिश <math>k</math> के संबंध में आयामी विश्लेषण के समान है, लैग्रेंजियन में होने वाले सभी युग्मन स्थिरांक को आयामरहित बना दिया गया है। आयाम रहित युग्मन स्थिरांक ऊपरी महत्वपूर्ण आयाम के लिए प्राविधिक पहचान हैं।
-लैग्रेंजियन के स्तर पर अनुभवहीन स्केलिंग सीधे तौर पर भौतिक स्केलिंग से मेल नहीं खाती है क्योंकि क्वांटम फील्ड थ्योरी और [[पथ अभिन्न सूत्रीकरण]] को अर्थ देने के लिए [[कटऑफ (भौतिकी)]] की आवश्यकता होती है। लंबाई के पैमाने को बदलने से स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या भी बदल जाती है।
+लैग्रेंजियन के स्तर पर अनुभवहीन स्केलिंग सीधे भौतिक स्केलिंग के समान नहीं है क्योंकि क्वांटम फील्ड थ्योरी और [[पथ अभिन्न सूत्रीकरण]] को अर्थ प्रदान करने के लिए के लिए [[कटऑफ (भौतिकी)]] की आवश्यकता होती है। लंबाई के स्तर को परिवर्तित करने से स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या भी परिवर्तित हो जाती है। इस समिष्टता को पुनर्सामान्यीकरण समूह द्वारा ध्यान में रखा जाता है। ऊपरी महत्वपूर्ण आयाम पर मुख्य परिणाम यह है कि बड़े कारकों <math>b</math> के लिए, परन्तु अतिरिक्त <math>ln(b)</math> कारक के साथ निर्देशांक और फ़ील्ड के स्केलिंग में स्केल इनवेरिएंस वैध रहता है।
-इस जटिलता को पुनर्सामान्यीकरण समूह द्वारा ध्यान में रखा जाता है। ऊपरी महत्वपूर्ण आयाम पर मुख्य परिणाम यह है कि बड़े कारकों के लिए स्केल इनवेरिएंस वैध रहता है <math>b</math>, लेकिन अतिरिक्त के साथ <math>ln(b)</math> निर्देशांक और फ़ील्ड के स्केलिंग में कारक।
-नीचे या ऊपर क्या होता है <math>d_u</math> यह इस पर निर्भर करता है कि किसी की रुचि लंबी दूरी ([[सांख्यिकीय क्षेत्र सिद्धांत|सांख्यिकीय फील्ड थ्योरी]]) में है या छोटी दूरी (क्वांटम फील्ड थ्योरी) में। क्वांटम फील्ड थ्योरी नीचे तुच्छ (अभिसरण) हैं <math>d_u</math> और ऊपर पुनर्सामान्यीकरण योग्य नहीं है <math>d_u</math>.<ref>{{Cite book|author=Zinn-Justin, Jean |title=क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत और महत्वपूर्ण घटनाएँ|publisher=[[Clarendon Press]] |location=Oxford |year=1996 |isbn=0-19-851882-X }}</ref> उपरोक्त सांख्यिकीय फील्ड थ्योरी तुच्छ (अभिसारी) हैं <math>d_u</math> और नीचे पुनर्सामान्यीकरण योग्य <math>d_u</math>. बाद के मामले में अनुभवहीन स्केलिंग प्रतिपादकों में असामान्य योगदान उत्पन्न होता है <math>N</math>. प्रभावी [[आलोचनात्मक प्रतिपादक]]ों के लिए ये असामान्य योगदान ऊपरी महत्वपूर्ण आयाम पर गायब हो जाते हैं।
+नीचे या ऊपर <math>d_u</math> क्या होता है, यह इस पर निर्भर करता है कि किसी की रुचि लंबी दूरी ([[सांख्यिकीय क्षेत्र सिद्धांत|स्टैटिस्टिकल फील्ड थ्योरी]]) में है या छोटी दूरी (क्वांटम फील्ड थ्योरी) में। क्वांटम फील्ड थ्योरी <math>d_u</math>के नीचे लघु (अभिसरण) हैं और ऊपर पुनर्सामान्यीकरण योग्य <math>d_u</math> नहीं है।<ref>{{Cite book|author=Zinn-Justin, Jean |title=क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत और महत्वपूर्ण घटनाएँ|publisher=[[Clarendon Press]] |location=Oxford |year=1996 |isbn=0-19-851882-X }}</ref> उपरोक्त <math>d_u</math> सांख्यिकीय क्षेत्र सिद्धांत लघु (अभिसारी) और नीचे पुनर्सामान्यीकरण योग्य <math>d_u</math>हैं। पश्चात विषयों में अनुभवहीन स्केलिंग प्रतिपादकों <math>N</math> में असामान्य योगदान उत्पन्न होता है। प्रभावी [[आलोचनात्मक प्रतिपादक|आलोचनात्मक प्रतिपादकों]] के लिए ये असामान्य योगदान ऊपरी महत्वपूर्ण आयाम पर विलुप्त हो जाते हैं।
-यह देखना शिक्षाप्रद है कि ऊपरी महत्वपूर्ण आयाम पर स्केल इनवेरिएंस इस आयाम के नीचे स्केल इनवेरिएंस कैसे बन जाता है। छोटे बाह्य तरंग सदिशों के लिए शीर्ष कार्य करता है <math>\Gamma</math> उदाहरण के लिए, अतिरिक्त घातांक प्राप्त करें <math>\Gamma_2(k)\thicksim k^{2-\eta(d)}</math>. यदि इन घातांकों को मैट्रिक्स में डाला जाता है <math>A(d)</math> (जिसमें केवल पहले कॉलम में मान हैं) स्केल इनवेरिएंस की स्थिति बन जाती है <math>\det(E+A(d))=0</math>. यह समीकरण तभी संतुष्ट हो सकता है जब शीर्ष फलनों के विषम घातांक किसी तरह से सहयोग करें। वास्तव में, शीर्ष फ़ंक्शन पदानुक्रमिक रूप से दूसरे पर निर्भर करते हैं। इस परस्पर निर्भरता को व्यक्त करने का तरीका डायसन-श्विंगर समीकरण हैं।
+यह देखना शिक्षाप्रद है कि ऊपरी महत्वपूर्ण आयाम पर स्केल इनवेरिएंस इस आयाम के नीचे स्केल इनवेरिएंस कैसे बन जाता है। छोटे बाह्य तरंग सदिशों के लिए शीर्ष कार्य करता है <math>\Gamma</math> उदाहरण के लिए, अतिरिक्त घातांक प्राप्त करें <math>\Gamma_2(k)\thicksim k^{2-\eta(d)}</math>. यदि इन घातांकों को आव्यूह में डाला जाता है <math>A(d)</math> (जिसमें केवल पहले कॉलम में मान हैं) स्केल इनवेरिएंस की स्थिति बन जाती है <math>\det(E+A(d))=0</math>. यह समीकरण तभी संतुष्ट हो सकता है जब शीर्ष फलनों के विषम घातांक किसी तरह से सहयोग करें। वास्तव में, शीर्ष फ़ंक्शन पदानुक्रमिक रूप से दूसरे पर निर्भर करते हैं। इस परस्पर निर्भरता को व्यक्त करने का तरीका डायसन-श्विंगर समीकरण हैं।
-पर अनुभवहीन स्केलिंग <math>d_u</math> इस प्रकार शून्यवें क्रम सन्निकटन के रूप में महत्वपूर्ण है। ऊपरी महत्वपूर्ण आयाम पर अनुभवहीन स्केलिंग भी लैग्रेंजियन की शर्तों को प्रासंगिक, अप्रासंगिक या सीमांत के रूप में वर्गीकृत करती है। लैग्रेंजियन स्केलिंग के साथ संगत है यदि <math>x_i</math>- और <math>\phi_i</math> -प्रतिपादक <math>E_{i,j}</math> हाइपरप्लेन पर लेटें, उदाहरण के लिए ऊपर चित्र देखें। <math>N</math> इस हाइपरप्लेन का सामान्य वेक्टर है।
+पर अनुभवहीन स्केलिंग <math>d_u</math> इस प्रकार शून्यवें क्रम सन्निकटन के रूप में महत्वपूर्ण है। ऊपरी महत्वपूर्ण आयाम पर अनुभवहीन स्केलिंग भी लैग्रेंजियन की शर्तों को प्रासंगिक, अप्रासंगिक या सीमांत के रूप में वर्गीकृत करती है। लैग्रेंजियन स्केलिंग के साथ संगत है यदि <math>x_i</math>- और <math>\phi_i</math> -प्रतिपादक <math>E_{i,j}</math> हाइपरप्लेन पर लेटें, उदाहरण के लिए ऊपर चित्र देखें। <math>N</math> इस हाइपरप्लेन का सामान्य सदिश है।
 ==निचला महत्वपूर्ण आयाम==
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 पहले छोटी दूरी की अंतःक्रियाओं वाली एक-आयामी प्रणाली पर विचार करें। डोमेन वॉल बनाने के लिए निश्चित ऊर्जा मात्रा की आवश्यकता होती है <math>\epsilon</math>. इस ऊर्जा को स्वतंत्रता की अन्य डिग्री से निकालने से एन्ट्रापी कम हो जाती है <math>\Delta S=-\epsilon/T</math>. इस एन्ट्रापी परिवर्तन की तुलना डोमेन वॉल की एन्ट्रापी से ही की जानी चाहिए।<ref>{{cite book |author1=Pitaevskii, L. P. |author2=Landau, L. D. |author3=Lifshitz, E. M. |author4=Sykes, J. B. |author5=Kearsley, M. W. |author6=Lifshitz, E. M. |title=सांख्यिकीय भौतिकी|publisher=[[Butterworth-Heinemann]] |location=Oxford |year=1991 |isbn=0-7506-3372-7 }}</ref> लंबाई की प्रणाली में <math>L</math> वहाँ हैं <math>L/a</math> डोमेन वॉल के लिए स्थितियाँ, (बोल्ट्ज़मैन थ्योरी|बोल्ट्ज़मैन के थ्योरी के अनुसार) एन्ट्रापी लाभ की ओर ले जाती हैं <math>\Delta S=k_B \log(L/a)</math>. शून्येतर तापमान के लिए <math>T</math> और <math>L</math> काफी बड़ा एन्ट्रापी लाभ हमेशा हावी रहता है, और इस प्रकार छोटी दूरी की अंतःक्रियाओं वाले एक-आयामी सिस्टम में कोई चरण परिवर्तन नहीं होता है <math>T > 0</math>. समष्टि आयाम <math>d_1=1</math> इस प्रकार ऐसी प्रणालियों के निचले महत्वपूर्ण आयाम के लिए निचली सीमा है।
-एक मजबूत निचली सीमा <math>d_L=2</math> छोटी दूरी की अंतःक्रिया वाले सिस्टम और निरंतर समरूपता वाले [[ऑर्डर पैरामीटर]] के लिए समान तर्कों की सहायता से प्राप्त किया जा सकता है। इस मामले में मर्मिन-वैगनर प्रमेय|मर्मिन-वैगनर प्रमेय बताता है कि ऑर्डर पैरामीटर अपेक्षा मान गायब हो जाता है <math>d=2</math> पर <math>T > 0</math>, और इस प्रकार सामान्य प्रकार का कोई चरण परिवर्तन नहीं होता है <math>d_L=2</math> और नीचे।
+एक मजबूत निचली सीमा <math>d_L=2</math> छोटी दूरी की अंतःक्रिया वाले सिस्टम और निरंतर समरूपता वाले [[ऑर्डर पैरामीटर]] के लिए समान तर्कों की सहायता से प्राप्त किया जा सकता है। इस विषयों में मर्मिन-वैगनर प्रमेय|मर्मिन-वैगनर प्रमेय बताता है कि ऑर्डर पैरामीटर अपेक्षा मान विलुप्त हो जाता है <math>d=2</math> पर <math>T > 0</math>, और इस प्रकार सामान्य प्रकार का कोई चरण परिवर्तन नहीं होता है <math>d_L=2</math> और नीचे।
 शमन विकार वाली प्रणालियों के लिए इमरी और मा द्वारा दिया गया मानदंड<ref>{{cite journal | title = सतत समरूपता की क्रमबद्ध स्थिति की यादृच्छिक-क्षेत्र अस्थिरता| journal = Phys. Rev. Lett. | year = 1975 | first = Y. | last = Imry |author2=S. K. Ma | volume = 35 | issue = 21 | pages = 1399–1401 |bibcode = 1975PhRvL..35.1399I |doi = 10.1103/PhysRevLett.35.1399 }}</ref> प्रासंगिक हो सकता है. इन लेखकों ने यादृच्छिक फील्ड चुम्बकों के निचले महत्वपूर्ण आयाम को निर्धारित करने के लिए मानदंड का उपयोग किया।

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