विवृत क्वांटम प्रणाली: Difference between revisions
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भौतिकी में, एक '''खुला क्वांटम''' प्रणाली एक [[क्वांटम यांत्रिकी]]-मैकेनिकल प्रणाली है जो बाहरी क्वांटम प्रणाली के साथ इंटरैक्ट करता है, जिसे ''पर्यावरण'' या बाथ के रूप में जाना जाता है। समान्य रूप से , ये अंत: क्रिया प्रणाली की गतिशीलता को महत्वपूर्ण रूप से बदल देते हैं और परिणामस्वरूप क्वांटम अपव्यय होता है, जिससे प्रणाली में उपस्थित जानकारी उसके पर्यावरण में खो जाती है। चूँकि कोई भी [[क्वांटम प्रणाली]] अपने परिवेश से पूर्णतया पृथक नहीं होती है,<ref>{{cite book |first1=H.-P. |last1=Breuer |first2=F. |last2=Petruccione |title=ओपन क्वांटम सिस्टम का सिद्धांत|publisher=Oxford University Press |date=2007 |page=vii |quote="Quantum mechanical systems must be considered as open systems"}}</ref> जिसमे क्वांटम प्रणाली की स्पष्ट समझ प्राप्त करने के लिए इन अंत: क्रिया के उपचार के लिए एक सैद्धांतिक फ्रेम वर्क विकसित करना महत्वपूर्ण है। | |||
भौतिकी में, एक खुला क्वांटम | |||
खुला क्वांटम प्रणाली के संदर्भ में विकसित तकनीकें [[ क्वांटम प्रकाशिकी ]], क्वांटम यांत्रिकी में माप, क्वांटम [[सांख्यिकीय यांत्रिकी]], क्वांटम सूचना विज्ञान, [[क्वांटम थर्मोडायनामिक्स]], क्वांटम ब्रह्मांड विज्ञान, [[क्वांटम जीव विज्ञान]] और अर्ध-मौलिक सन्निकटन जैसे क्षेत्रों में शक्तिशाली सिद्ध हुई हैं। | |||
==क्वांटम प्रणाली और पर्यावरण== | ==क्वांटम प्रणाली और पर्यावरण== | ||
क्वांटम प्रणाली के संपूर्ण विवरण में पर्यावरण को | क्वांटम प्रणाली के संपूर्ण विवरण में पर्यावरण को सम्मिलित करने की आवश्यकता होती है। परिणामी संयुक्त प्रणाली का पूरी तरह से वर्णन करने के लिए उसके पर्यावरण को सम्मिलित करने की आवश्यकता होती है, जिसके परिणामस्वरूप एक नई प्रणाली बनती है जिसे केवल तभी पूरी तरह से वर्णित किया जा सकता है जब उसका पर्यावरण सम्मिलित हो और इसी तरह। एम्बेडिंग की इस प्रक्रिया का अंतिम परिणाम एक तरंग फ़ंक्शन <math>\Psi</math> द्वारा वर्णित संपूर्ण ब्रह्मांड की स्थिति है। तथ्य यह है कि प्रत्येक क्वांटम प्रणाली में कुछ सीमा तक खुलापन होता है, इसका अर्थ यह भी है कि कोई भी क्वांटम प्रणाली कभी भी शुद्ध अवस्था में नहीं हो सकती है। एक शुद्ध अवस्था शून्य-तापमान वाली ज़मीनी अवस्था के समतुल्य एकात्मक होती है, जो थर्मोडायनामिक्स के तीसरे नियम द्वारा निषिद्ध है। | ||
[[File:System-bath.jpg|thumb| | [[File:System-bath.jpg|thumb|प्रणाली बाथ विभाजन]] | ||
तथापि संयुक्त प्रणाली शुद्ध अवस्था में हो और एक वेवफंक्शन <math> \Psi </math> द्वारा वर्णित किया जा सकता है, समान्य रूप से एक उप प्रणाली को एक वेवफंक्शन द्वारा वर्णित नहीं किया जा सकता है। इस अवलोकन ने 1927 में जॉन वॉन न्यूमैन<ref>{{Citation|last=von Neumann|first=John|title=Wahrscheinlichkeitstheoretischer Aufbau der Quantenmechanik|journal=Göttinger Nachrichten|volume=1|pages=245–272|year=1927|authorlink=John von Neumann}}</ref> द्वारा स्वतंत्र रूप से, किन्तु 1927 में लेव लैंडौ और 1946 में फेलिक्स बलोच द्वारा कम व्यवस्थित रूप से प्रस्तुत किए गए घनत्व आव्यूह , या घनत्व ऑपरेटरों की औपचारिकता को प्रेरित किया। समान्य रूप से , एक उपप्रणाली की स्थिति का वर्णन किया जाता है घनत्व ऑपरेटर <math> \rho </math> द्वारा और मापदंड उत्पाद <math> (\rho \cdot A) = \rm{tr}\{ \rho A \} </math> द्वारा अवलोकन योग्य A का अपेक्षित मान है। अकेले उपप्रणाली के अवलोकन के ज्ञान से यह जानने का कोई विधि नहीं है कि संयुक्त प्रणाली शुद्ध है या नहीं। विशेष रूप से, यदि संयुक्त प्रणाली में क्वांटम अस्पष्ट है, तो उपप्रणाली की स्थिति शुद्ध नहीं है। | |||
== गतिशीलता == | == गतिशीलता == | ||
समान्य रूप से , बंद क्वांटम प्रणाली के समय विकास का वर्णन प्रणाली पर कार्य करने वाले एकात्मक ऑपरेटरों द्वारा किया जाता है। चूँकि , खुले प्रणाली के लिए, प्रणाली और उसके वातावरण के मध्य की अंत: क्रिया इसे ऐसा बनाती है कि प्रणाली की गतिशीलता को अकेले एकात्मक ऑपरेटरों का उपयोग करके स्पष्ट रूप से वर्णित नहीं किया जा सकता है। | |||
क्वांटम प्रणालियों के समय के विकास को गति के प्रभावी समीकरणों को हल करके निर्धारित किया जा सकता है, जिन्हें [[मास्टर समीकरण]] के रूप में भी जाना जाता है, जो यह नियंत्रित करते हैं कि | क्वांटम प्रणालियों के समय के विकास को गति के प्रभावी समीकरणों को हल करके निर्धारित किया जा सकता है, जिन्हें [[मास्टर समीकरण]] के रूप में भी जाना जाता है, जो यह नियंत्रित करते हैं कि प्रणाली का वर्णन करने वाला घनत्व आव्यूह समय के साथ कैसे बदलता है और प्रणाली से जुड़े अवलोकनों की गतिशीलता है। चूँकि , समान्य रूप से , जिस वातावरण को हम अपने प्रणाली के एक भाग के रूप में मॉडल करना चाहते हैं वह बहुत बड़ा और सम्मिश्र है, जो मास्टर समीकरणों का स्पष्ट समाधान खोजना असंभव नहीं तो कठिन बना देता है। इस प्रकार, खुला क्वांटम प्रणाली का सिद्धांत प्रणाली की गतिशीलता और उसके अवलोकनों का लाभदायक उपचार चाहता है। रुचि के विशिष्ट अवलोकनों में ऊर्जा और [[क्वांटम सुसंगतता]] की शक्तिशाली (अथार्थ स्थिति की सुसंगतता का एक उपाय) जैसी चीजें सम्मिलित हैं। पर्यावरण में ऊर्जा की हानि को क्वांटम अपव्यय कहा जाता है, जबकि सुसंगतता की हानि को [[क्वांटम डीकोहेरेंस]] कहा जाता है। | ||
किसी विशेष प्रणाली और वातावरण के लिए मास्टर समीकरणों के समाधान निर्धारित करने की कठिनाई के कारण, विभिन्न प्रकार की तकनीकें और दृष्टिकोण विकसित किए गए हैं। एक सामान्य उद्देश्य एक संक्षिप्त विवरण प्राप्त करना है जिसमें | किसी विशेष प्रणाली और वातावरण के लिए मास्टर समीकरणों के समाधान निर्धारित करने की कठिनाई के कारण, विभिन्न प्रकार की तकनीकें और दृष्टिकोण विकसित किए गए हैं। एक सामान्य उद्देश्य एक संक्षिप्त विवरण प्राप्त करना है जिसमें प्रणाली की गतिशीलता को स्पष्ट रूप से माना जाता है और बाथ की गतिशीलता को अंतर्निहित रूप से वर्णित किया जाता है। मुख्य धारणा यह है कि संपूर्ण प्रणाली -पर्यावरण संयोजन एक बड़ी बंद प्रणाली है। इसलिए, इसका समय विकास वैश्विक [[हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी)]] द्वारा उत्पन्न [[एकात्मक परिवर्तन]] द्वारा नियंत्रित होता है। संयुक्त प्रणाली बाथ परिदृश्य के लिए वैश्विक हैमिल्टनियन को इसमें विघटित किया जा सकता है: | ||
:<math> H=H_{\rm S}+H_{\rm B}+H_{\rm SB} </math> | :<math> H=H_{\rm S}+H_{\rm B}+H_{\rm SB} </math> | ||
एक और | |||
जहां <math>H_{\rm S}</math> प्रणाली का हैमिल्टनियन है ,<math>H_{\rm B} </math>बाथ हैमिल्टनियन है और <math>H_{\rm SB}</math> प्रणाली -बाथ इंटरेक्शन है। प्रणाली की स्थिति को संयुक्त प्रणाली और बाथ <math>\rho_{\rm S} (t) =\rm{tr}_{\rm B} \{\rho_{SB} (t)\} </math> पर आंशिक ट्रेस से प्राप्त किया जा सकता है।<ref name="Kosloff20132">{{cite journal|last=Kosloff|first=Ronnie|year=2013|title=Quantum Thermodynamics: A Dynamical Viewpoint|journal=Entropy|volume=15|issue=6|pages=2100–2128|arxiv=1305.2268|bibcode=2013Entrp..15.2100K|doi=10.3390/e15062100|issn=1099-4300|doi-access=free}} [[File:CC-BY_icon.svg|50x50px]] This article contains quotations from this source, which is available under the [[creativecommons:by/4.0/|Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY 4.0)]] license.</ref> | |||
एक और सामान्य धारणा जिसका उपयोग प्रणाली को हल करना सरल बनाने के लिए किया जाता है वह यह धारणा है कि अगले क्षण प्रणाली की स्थिति केवल प्रणाली की वर्तमान स्थिति पर निर्भर करती है। दूसरे शब्दों में, प्रणाली के पास अपनी पिछली स्थितियों की स्मृति नहीं है। जिन प्रणालियों में यह गुण होता है उन्हें [[मार्कोवियन संपत्ति|मार्कोवियन]] गुण प्रणाली के रूप में जाना जाता है। यह अनुमान उचित है जब प्रश्न में प्रणाली के पास अपने पर्यावरण के साथ अंत: क्रिया से फिर से परेशान होने से पहले प्रणाली को संतुलन में विश्राम करने के लिए पर्याप्त समय होता है। उन प्रणालियों के लिए जिनके युग्मन से उनके वातावरण में बहुत तेज़ या बहुत बार-बार अस्पष्टता होती है, यह अनुमान बहुत कम स्पष्ट हो जाता है। | |||
=== मार्कोवियन समीकरण === | === मार्कोवियन समीकरण === | ||
जब | जब प्रणाली और पर्यावरण के मध्य अंत: क्रिया अशक्त होती है, तो प्रणाली के विकास के उपचार के लिए समय-निर्भर [[गड़बड़ी सिद्धांत|अस्पष्टता सिद्धांत]] उपयुक्त लगता है। दूसरे शब्दों में, यदि प्रणाली और उसके पर्यावरण के मध्य अंत: क्रिया अशक्त है, तो समय के साथ संयुक्त प्रणाली में कोई भी परिवर्तन केवल संबंधित प्रणाली से उत्पन्न होने वाला माना जा सकता है। एक और विशिष्ट धारणा यह है कि प्रणाली और बाथ प्रारंभ में असंबद्ध हैं <math> \rho(0)=\rho_{\rm S} \otimes \rho_{\rm B} </math>. यह विचार फेलिक्स बलोच के साथ उत्पन्न हुआ था और [[रेडफील्ड समीकरण]] की व्युत्पत्ति में अल्फ्रेड रेडफील्ड द्वारा इसका विस्तार किया गया था। रेडफील्ड समीकरण एक मार्कोवियन मास्टर समीकरण है जो संयुक्त प्रणाली के घनत्व आव्यूह के समय विकास का वर्णन करता है। रेडफील्ड समीकरण का दोष यह है कि यह घनत्व ऑपरेटर के [[सकारात्मक तत्व]] को संरक्षित नहीं करता है। | ||
मार्कोवियन गुण के साथ गति के स्थानीय समीकरण का औपचारिक निर्माण कम व्युत्पत्ति का एक विकल्प है। यह सिद्धांत स्वयंसिद्ध दृष्टिकोण पर आधारित है। मूल प्रारंभिक बिंदु [[पूरी तरह से सकारात्मक मानचित्र]] है। धारणा यह है कि प्रारंभिक प्रणाली -पर्यावरण स्थिति असंबंधित है यह <math> \rho(0)=\rho_{\rm S} \otimes \rho_{\rm B} </math> और संयुक्त गतिशीलता एक एकात्मक संचालक द्वारा उत्पन्न होती है। ऐसा मानचित्र [[क्रॉस ऑपरेटर]] की श्रेणी में आता है। मार्कोवियन गुण के साथ समय-सजातीय मास्टर समीकरण का सबसे सामान्य प्रकार जो घनत्व आव्यूह ρ के गैर-एकात्मक विकास का वर्णन करता है जो ट्रेस-संरक्षित है और किसी भी प्रारंभिक स्थिति के लिए पूरी तरह से सकारात्मक है, गोरिनी-कोसाकोव्स्की-सुदर्शन-लिंडब्लैड समीकरण या जीकेएसएल समीकरण है : | |||
:<math>\dot\rho_{\rm S}=-{i\over\hbar}[H_{\rm S},\rho_{\rm S}]+{\cal L}_{\rm D}(\rho_{\rm S}) </math> | :<math>\dot\rho_{\rm S}=-{i\over\hbar}[H_{\rm S},\rho_{\rm S}]+{\cal L}_{\rm D}(\rho_{\rm S}) </math> | ||
<math> H_{\rm S}</math> एक ([[हर्मिटियन]]) हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) भाग है और <math>{\cal L}_{\rm D}</math>: | <math> H_{\rm S}</math> एक ([[हर्मिटियन]]) हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) भाग है और <math>{\cal L}_{\rm D}</math>: | ||
:<math>{\cal L}_{\rm D}(\rho_{\rm S})=\sum_n \left(V_n\rho_{\rm S} V_n^\dagger-\frac{1}{2}\left(\rho_{\rm S} V_n^\dagger V_n + V_n^\dagger V_n\rho_{\rm S}\right)\right)</math> | :<math>{\cal L}_{\rm D}(\rho_{\rm S})=\sum_n \left(V_n\rho_{\rm S} V_n^\dagger-\frac{1}{2}\left(\rho_{\rm S} V_n^\dagger V_n + V_n^\dagger V_n\rho_{\rm S}\right)\right)</math> | ||
प्रणाली ऑपरेटरों <math> V_n </math> के माध्यम से प्रणाली पर बाथ के प्रभाव का स्पष्ट रूप से वर्णन करने वाला विघटनकारी भाग है। मार्कोव गुण यह लगाती है कि प्रणालीऔर बाथ हर समय असंबद्ध हैं <math> \rho_{\rm SB}=\rho_{\rm S} \otimes \rho_{\rm B} </math> जीकेएसएल समीकरण दिशाहीन है और किसी भी प्रारंभिक अवस्था <math> \rho_{\rm S}</math> को स्थिर अवस्था समाधान की ओर ले जाता है जो गति के समीकरण <math> \dot \rho_{\rm S}(t \rightarrow \infty ) = 0 </math> का एक अपरिवर्तनीय है। जीकेएसएल समीकरण द्वारा उत्पन्न मानचित्रों का परिवार एक क्वांटम गतिशील अर्धसमूह बनाता है। क्वांटम ऑप्टिक्स जैसे कुछ क्षेत्रों में, लिंडब्लैड सुपरऑपरेटर शब्द का उपयोग अधिकांशत: एक विघटनकारी प्रणाली के लिए क्वांटम मास्टर समीकरण को व्यक्त करने के लिए किया जाता है। ई.बी. डेविस ने मार्कोवियन गुण मास्टर समीकरणों के साथ जीकेएसएल को अस्पष्ट सिद्धांत और घूर्णन तरंग या धर्मनिरपेक्ष जैसे अतिरिक्त अनुमानों का उपयोग करके प्राप्त किया, इस प्रकार रेडफील्ड समीकरण की खामियों को ठीक किया गया। डेविस निर्माण थर्मल संतुलन अथार्थ केएमएस अवस्था के लिए कुबो-मार्टिन-श्विंगर स्थिरता मानदंड के अनुरूप है।<ref name=":0">{{cite book|first=Heinz-Peter|last=Breuer|author2=F. Petruccione|title=ओपन क्वांटम सिस्टम का सिद्धांत|publisher=Oxford University Press|year=2007|isbn=978-0-19-921390-0}}</ref> रेडफ़ील्ड को ठीक करने के लिए एक वैकल्पिक दृष्टिकोण जे. थिंगना, जे.-एस. द्वारा प्रस्तावित किया गया है। वांग, और पी. हैन्ग्गी<ref name=":0" /> जो प्रणाली -बाथ इंटरैक्शन को केएमएस अवस्था से भिन्न संतुलन में भूमिका निभाने की अनुमति देता है। | |||
जीकेएसएल समीकरण | |||
जीकेएसएल समीकरण द्वारा उत्पन्न मानचित्रों का परिवार एक | |||
1981 में, [[अमीर काल्डेरा]] और एंथोनी जे. लेगेट ने एक सरलीकृत धारणा का प्रस्ताव रखा जिसमें | 1981 में, [[अमीर काल्डेरा]] और एंथोनी जे. लेगेट ने एक सरलीकृत धारणा का प्रस्ताव रखा जिसमें बाथ को सामान्य मोड में विघटित किया जाता है जिसे प्रणाली से रैखिक रूप से जुड़े हार्मोनिक ऑसिलेटर के रूप में दर्शाया जाता है।<ref>A. Caldeira and A. J. Leggett, ''Influence of dissipation on quantum tunneling in macroscopic systems'', Physical Review Letters, vol. 46, p. 211, 1981.</ref> जो कि परिणामस्वरूप, बाथ के प्रभाव को बाथ वर्णक्रमीय कार्य द्वारा संक्षेपित किया जा सकता है। इस विधि को कैल्डेरा-लेगेट मॉडल या कैल्डेरा-लेगेट मॉडल, या हार्मोनिक बाथ मॉडल के रूप में जाना जाता है। आगे बढ़ने और स्पष्ट समाधान प्राप्त करने के लिए, क्वांटम यांत्रिकी के [[पथ अभिन्न सूत्रीकरण]] विवरण को समान्य रूप से नियोजित किया जाता है। इस पद्धति के पीछे की शक्ति का एक बड़ा भाग यह तथ्य है कि प्रणाली और बाथ के मध्य उपस्थित वास्तविक युग्मन की तुलना में हार्मोनिक ऑसिलेटर अपेक्षाकृत अच्छी तरह से समझे जाते हैं। दुर्भाग्य से, जबकि काल्डेरा-लेगेट मॉडल वह है जो क्वांटम अपव्यय की एक भौतिक रूप से सुसंगत तस्वीर की ओर ले जाता है, इसके [[एर्गोडिसिटी]] गुण बहुत अशक्त हैं और इसलिए मॉडल की गतिशीलता बाथ मोड के मध्य व्यापक मापदंड पर क्वांटम अस्पष्ट उत्पन्न नहीं करती है। | ||
एक वैकल्पिक | एक वैकल्पिक बाथ मॉडल स्पिन बाथ है।<ref>{{Cite journal|last1=Prokof'ev|first1=N. V.|last2=Stamp|first2=P. C. E.|date=2000|title=स्पिन स्नान का सिद्धांत|journal=Reports on Progress in Physics|language=en|volume=63|issue=4|pages=669|doi=10.1088/0034-4885/63/4/204 | arxiv=cond-mat/0001080|bibcode=2000RPPh...63..669P |s2cid=55075035|issn=0034-4885}}</ref> कम तापमान और अशक्त प्रणाली -बाथ युग्मन पर, कैल्डेरा-लेगेट और स्पिन बाथ मॉडल समकक्ष हैं। किन्तु उच्च तापमान या शसक्त प्रणाली -बाथ युग्मन के लिए, स्पिन बाथ मॉडल में शसक्त एर्गोडिक गुण होते हैं। एक बार जब प्रणाली युग्मित हो जाता है, तो सभी मोड के मध्य महत्वपूर्ण अस्पष्ट उत्पन्न हो जाता है। दूसरे शब्दों में, स्पिन बाथ मॉडल कैल्डेरा-लेगेट मॉडल का अनुकरण कर सकता है, किन्तु विपरीत सच नहीं है। | ||
स्पिन | स्पिन बाथ से जुड़े प्राकृतिक तंत्र का एक उदाहरण हीरे में [[एन-वी केंद्र]]|नाइट्रोजन-रिक्ति (एन-वी) केंद्र है। इस उदाहरण में, रंग केंद्र प्रणाली है और बाथ में [[कार्बन-13]] (<sup>13</sup>C) अशुद्धियाँ जो चुंबकीय द्विध्रुव-द्विध्रुव अंत: क्रिया के माध्यम से प्रणाली के साथ अंत: क्रिया करती हैं। | ||
खुली क्वांटम प्रणालियों के लिए जहां | खुली क्वांटम प्रणालियों के लिए जहां बाथ में दोलन होते हैं जो विशेष रूप से तेज़ होते हैं, समय में पर्याप्त बड़े बदलावों को देखकर उन्हें औसत करना संभव है। यह संभव है क्योंकि बड़े समय मापदंड पर तेज़ दोलनों का औसत आयाम केंद्रीय मान के समान होता है, जिसे ऊर्ध्वाधर अक्ष के साथ समान्य परिवर्तन के साथ सदैव शून्य चुना जा सकता है। समस्याओं को सरल बनाने की इस पद्धति को धर्मनिरपेक्ष सन्निकटन के रूप में जाना जाता है। | ||
=== गैर-मार्कोवियन समीकरण === | === गैर-मार्कोवियन समीकरण === | ||
खुली क्वांटम प्रणालियाँ जिनमें मार्कोवियन संपत्ति नहीं होती, उन्हें हल करना | खुली क्वांटम प्रणालियाँ जिनमें मार्कोवियन संपत्ति नहीं होती, उन्हें हल करना समान्य रूप से अधिक कठिन होता है। यह अधिक सीमा तक इस तथ्य के कारण है कि गैर-मार्कोवियन प्रणाली की अगली स्थिति उसके प्रत्येक पिछले अवस्था द्वारा निर्धारित होती है, जो प्रणाली के विकास की गणना करने के लिए मेमोरी आवश्यकताओं को तेजी से बढ़ाती है। वर्तमान में, इन प्रणालियों के उपचार के विधि को प्रक्षेपण ऑपरेटर तकनीकों के रूप में जाना जाता है। ये तकनीकें एक प्रक्षेपण ऑपरेटर <math>\mathcal{P}</math> को नियोजित करती हैं, जो पहले बताए अनुसार पर्यावरण पर प्रभावी रूप से ट्रेस प्रयुक्त करता है। <math>\rho</math> पर <math>\mathcal{P}</math> लगाने (अर्थात <math>\mathcal{P}\rho</math> की गणना करने) के परिणाम को <math>\rho</math> का प्रासंगिक भाग कहा जाता है। पूर्णता के लिए, एक अन्य ऑपरेटर <math>\mathcal{Q}</math> को परिभाषित किया गया है जिससे <math>\mathcal{P}+\mathcal{Q}=\mathcal{I}</math> जहां <math>\mathcal{I}</math> पहचान आव्यूह है। <math>\rho</math> पर <math>\mathcal{Q}</math> लगाने का परिणाम (अर्थात् गणना करने के लिए <math>\mathcal{Q}\rho</math>) को <math>\rho</math> का अप्रासंगिक भाग कहा जाता है। इन विधियों का प्राथमिक लक्ष्य एक मास्टर समीकरण प्राप्त करना है जो <math>\mathcal{P}\rho</math> के विकास को परिभाषित करता है। | ||
प्रक्षेपण ऑपरेटर तकनीक का उपयोग करके ऐसी एक व्युत्पत्ति का परिणाम नकाजिमा-ज़्वानज़िग समीकरण के रूप में जाना जाता है। यह व्युत्पत्ति समय में गैर-स्थानीय होने के कारण घटी हुई गतिशीलता की समस्या पर प्रकाश डालती है: | प्रक्षेपण ऑपरेटर तकनीक का उपयोग करके ऐसी एक व्युत्पत्ति का परिणाम नकाजिमा-ज़्वानज़िग समीकरण के रूप में जाना जाता है। यह व्युत्पत्ति समय में गैर-स्थानीय होने के कारण घटी हुई गतिशीलता की समस्या पर प्रकाश डालती है: | ||
: <math>\partial_t{\rho }_\mathrm{S}=\mathcal{P}{\cal L}{{\rho}_\mathrm{S}}+\int_{0}^{t}{dt'\mathcal{K}({t}'){{\rho }_\mathrm{S}}(t-{t}')}.</math> | : <math>\partial_t{\rho }_\mathrm{S}=\mathcal{P}{\cal L}{{\rho}_\mathrm{S}}+\int_{0}^{t}{dt'\mathcal{K}({t}'){{\rho }_\mathrm{S}}(t-{t}')}.</math> | ||
यहां | यहां प्रणाली के पूरे समय के विकास के समय स्नान का प्रभाव मेमोरी कर्नेल <math> \kappa (\tau)</math> में छिपा हुआ है। जबकि नाकाजिमा-ज़्वानज़िग समीकरण एक स्पष्ट समीकरण है जो लगभग सभी खुले क्वांटम प्रणाली और वातावरण के लिए प्रयुक्त होता है, इसे हल करना बहुत कठिन हो सकता है। इसका अर्थ यह है कि समस्या की जटिलता को कम करके अधिक प्रबंधनीय बनाने के लिए समान्य रूप से सन्निकटन की आवश्यकता होती है। उदाहरण के रूप से , समय स्थानीय समीकरण को जन्म देने के लिए तेजी से स्नान की धारणा आवश्यक है: <math> \partial_t \rho_S = {\cal L } \rho_S </math> वैध सन्निकटन के अन्य उदाहरणों में अशक्त -युग्मन सन्निकटन और एकल-युग्मन सन्निकटन सम्मिलित हैं। | ||
कुछ | कुछ स्थिति में, प्रक्षेपण ऑपरेटर तकनीक का उपयोग प्रणाली की अगली स्थिति की उसके सभी पिछले स्थिति पर निर्भरता को कम करने के लिए किया जा सकता है। खुले क्वांटम प्रणाली तक पहुंचने की इस पद्धति को समय-कन्वॉल्यूशन रहित प्रक्षेपण ऑपरेटर तकनीक के रूप में जाना जाता है, और इसका उपयोग मास्टर समीकरण उत्पन्न करने के लिए किया जाता है जो समय में स्वाभाविक रूप से स्थानीय होते हैं। चूँकि ये समीकरण प्रणाली के इतिहास की अधिक उपेक्षा कर सकते हैं, इसलिए इन्हें नकाजिमा-ज़्वानज़िग समीकरण जैसी चीज़ों की तुलना में हल करना अधिकांशत: सरल होता है। | ||
एक अन्य दृष्टिकोण [[ रोगो कुबो ]] और वाई. तनिमुरा द्वारा विकसित | एक अन्य दृष्टिकोण [[ रोगो कुबो ]] और वाई. तनिमुरा द्वारा विकसित मौलिक अपव्यय सिद्धांत के एक एनालॉग के रूप में उभरता है। यह दृष्टिकोण [[गति के पदानुक्रमित समीकरण]] से जुड़ा है जो घनत्व ऑपरेटर को सहायक ऑपरेटरों के एक बड़े स्थान में एम्बेड करता है जैसे कि पूरे सेट के लिए एक समय स्थानीय समीकरण प्राप्त होता है और उनकी मेमोरी सहायक ऑपरेटरों में समाहित होती है। | ||
==यह भी देखें== | ==यह भी देखें== | ||
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==संदर्भ== | ==संदर्भ == | ||
<references group=""></references> | <references group=""></references> | ||
Revision as of 10:00, 30 November 2023
भौतिकी में, एक खुला क्वांटम प्रणाली एक क्वांटम यांत्रिकी-मैकेनिकल प्रणाली है जो बाहरी क्वांटम प्रणाली के साथ इंटरैक्ट करता है, जिसे पर्यावरण या बाथ के रूप में जाना जाता है। समान्य रूप से , ये अंत: क्रिया प्रणाली की गतिशीलता को महत्वपूर्ण रूप से बदल देते हैं और परिणामस्वरूप क्वांटम अपव्यय होता है, जिससे प्रणाली में उपस्थित जानकारी उसके पर्यावरण में खो जाती है। चूँकि कोई भी क्वांटम प्रणाली अपने परिवेश से पूर्णतया पृथक नहीं होती है,[1] जिसमे क्वांटम प्रणाली की स्पष्ट समझ प्राप्त करने के लिए इन अंत: क्रिया के उपचार के लिए एक सैद्धांतिक फ्रेम वर्क विकसित करना महत्वपूर्ण है।
खुला क्वांटम प्रणाली के संदर्भ में विकसित तकनीकें क्वांटम प्रकाशिकी , क्वांटम यांत्रिकी में माप, क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी, क्वांटम सूचना विज्ञान, क्वांटम थर्मोडायनामिक्स, क्वांटम ब्रह्मांड विज्ञान, क्वांटम जीव विज्ञान और अर्ध-मौलिक सन्निकटन जैसे क्षेत्रों में शक्तिशाली सिद्ध हुई हैं।
क्वांटम प्रणाली और पर्यावरण
क्वांटम प्रणाली के संपूर्ण विवरण में पर्यावरण को सम्मिलित करने की आवश्यकता होती है। परिणामी संयुक्त प्रणाली का पूरी तरह से वर्णन करने के लिए उसके पर्यावरण को सम्मिलित करने की आवश्यकता होती है, जिसके परिणामस्वरूप एक नई प्रणाली बनती है जिसे केवल तभी पूरी तरह से वर्णित किया जा सकता है जब उसका पर्यावरण सम्मिलित हो और इसी तरह। एम्बेडिंग की इस प्रक्रिया का अंतिम परिणाम एक तरंग फ़ंक्शन द्वारा वर्णित संपूर्ण ब्रह्मांड की स्थिति है। तथ्य यह है कि प्रत्येक क्वांटम प्रणाली में कुछ सीमा तक खुलापन होता है, इसका अर्थ यह भी है कि कोई भी क्वांटम प्रणाली कभी भी शुद्ध अवस्था में नहीं हो सकती है। एक शुद्ध अवस्था शून्य-तापमान वाली ज़मीनी अवस्था के समतुल्य एकात्मक होती है, जो थर्मोडायनामिक्स के तीसरे नियम द्वारा निषिद्ध है।
तथापि संयुक्त प्रणाली शुद्ध अवस्था में हो और एक वेवफंक्शन द्वारा वर्णित किया जा सकता है, समान्य रूप से एक उप प्रणाली को एक वेवफंक्शन द्वारा वर्णित नहीं किया जा सकता है। इस अवलोकन ने 1927 में जॉन वॉन न्यूमैन[2] द्वारा स्वतंत्र रूप से, किन्तु 1927 में लेव लैंडौ और 1946 में फेलिक्स बलोच द्वारा कम व्यवस्थित रूप से प्रस्तुत किए गए घनत्व आव्यूह , या घनत्व ऑपरेटरों की औपचारिकता को प्रेरित किया। समान्य रूप से , एक उपप्रणाली की स्थिति का वर्णन किया जाता है घनत्व ऑपरेटर द्वारा और मापदंड उत्पाद द्वारा अवलोकन योग्य A का अपेक्षित मान है। अकेले उपप्रणाली के अवलोकन के ज्ञान से यह जानने का कोई विधि नहीं है कि संयुक्त प्रणाली शुद्ध है या नहीं। विशेष रूप से, यदि संयुक्त प्रणाली में क्वांटम अस्पष्ट है, तो उपप्रणाली की स्थिति शुद्ध नहीं है।
गतिशीलता
समान्य रूप से , बंद क्वांटम प्रणाली के समय विकास का वर्णन प्रणाली पर कार्य करने वाले एकात्मक ऑपरेटरों द्वारा किया जाता है। चूँकि , खुले प्रणाली के लिए, प्रणाली और उसके वातावरण के मध्य की अंत: क्रिया इसे ऐसा बनाती है कि प्रणाली की गतिशीलता को अकेले एकात्मक ऑपरेटरों का उपयोग करके स्पष्ट रूप से वर्णित नहीं किया जा सकता है।
क्वांटम प्रणालियों के समय के विकास को गति के प्रभावी समीकरणों को हल करके निर्धारित किया जा सकता है, जिन्हें मास्टर समीकरण के रूप में भी जाना जाता है, जो यह नियंत्रित करते हैं कि प्रणाली का वर्णन करने वाला घनत्व आव्यूह समय के साथ कैसे बदलता है और प्रणाली से जुड़े अवलोकनों की गतिशीलता है। चूँकि , समान्य रूप से , जिस वातावरण को हम अपने प्रणाली के एक भाग के रूप में मॉडल करना चाहते हैं वह बहुत बड़ा और सम्मिश्र है, जो मास्टर समीकरणों का स्पष्ट समाधान खोजना असंभव नहीं तो कठिन बना देता है। इस प्रकार, खुला क्वांटम प्रणाली का सिद्धांत प्रणाली की गतिशीलता और उसके अवलोकनों का लाभदायक उपचार चाहता है। रुचि के विशिष्ट अवलोकनों में ऊर्जा और क्वांटम सुसंगतता की शक्तिशाली (अथार्थ स्थिति की सुसंगतता का एक उपाय) जैसी चीजें सम्मिलित हैं। पर्यावरण में ऊर्जा की हानि को क्वांटम अपव्यय कहा जाता है, जबकि सुसंगतता की हानि को क्वांटम डीकोहेरेंस कहा जाता है।
किसी विशेष प्रणाली और वातावरण के लिए मास्टर समीकरणों के समाधान निर्धारित करने की कठिनाई के कारण, विभिन्न प्रकार की तकनीकें और दृष्टिकोण विकसित किए गए हैं। एक सामान्य उद्देश्य एक संक्षिप्त विवरण प्राप्त करना है जिसमें प्रणाली की गतिशीलता को स्पष्ट रूप से माना जाता है और बाथ की गतिशीलता को अंतर्निहित रूप से वर्णित किया जाता है। मुख्य धारणा यह है कि संपूर्ण प्रणाली -पर्यावरण संयोजन एक बड़ी बंद प्रणाली है। इसलिए, इसका समय विकास वैश्विक हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) द्वारा उत्पन्न एकात्मक परिवर्तन द्वारा नियंत्रित होता है। संयुक्त प्रणाली बाथ परिदृश्य के लिए वैश्विक हैमिल्टनियन को इसमें विघटित किया जा सकता है:
जहां प्रणाली का हैमिल्टनियन है ,बाथ हैमिल्टनियन है और प्रणाली -बाथ इंटरेक्शन है। प्रणाली की स्थिति को संयुक्त प्रणाली और बाथ पर आंशिक ट्रेस से प्राप्त किया जा सकता है।[3]
एक और सामान्य धारणा जिसका उपयोग प्रणाली को हल करना सरल बनाने के लिए किया जाता है वह यह धारणा है कि अगले क्षण प्रणाली की स्थिति केवल प्रणाली की वर्तमान स्थिति पर निर्भर करती है। दूसरे शब्दों में, प्रणाली के पास अपनी पिछली स्थितियों की स्मृति नहीं है। जिन प्रणालियों में यह गुण होता है उन्हें मार्कोवियन गुण प्रणाली के रूप में जाना जाता है। यह अनुमान उचित है जब प्रश्न में प्रणाली के पास अपने पर्यावरण के साथ अंत: क्रिया से फिर से परेशान होने से पहले प्रणाली को संतुलन में विश्राम करने के लिए पर्याप्त समय होता है। उन प्रणालियों के लिए जिनके युग्मन से उनके वातावरण में बहुत तेज़ या बहुत बार-बार अस्पष्टता होती है, यह अनुमान बहुत कम स्पष्ट हो जाता है।
मार्कोवियन समीकरण
जब प्रणाली और पर्यावरण के मध्य अंत: क्रिया अशक्त होती है, तो प्रणाली के विकास के उपचार के लिए समय-निर्भर अस्पष्टता सिद्धांत उपयुक्त लगता है। दूसरे शब्दों में, यदि प्रणाली और उसके पर्यावरण के मध्य अंत: क्रिया अशक्त है, तो समय के साथ संयुक्त प्रणाली में कोई भी परिवर्तन केवल संबंधित प्रणाली से उत्पन्न होने वाला माना जा सकता है। एक और विशिष्ट धारणा यह है कि प्रणाली और बाथ प्रारंभ में असंबद्ध हैं . यह विचार फेलिक्स बलोच के साथ उत्पन्न हुआ था और रेडफील्ड समीकरण की व्युत्पत्ति में अल्फ्रेड रेडफील्ड द्वारा इसका विस्तार किया गया था। रेडफील्ड समीकरण एक मार्कोवियन मास्टर समीकरण है जो संयुक्त प्रणाली के घनत्व आव्यूह के समय विकास का वर्णन करता है। रेडफील्ड समीकरण का दोष यह है कि यह घनत्व ऑपरेटर के सकारात्मक तत्व को संरक्षित नहीं करता है।
मार्कोवियन गुण के साथ गति के स्थानीय समीकरण का औपचारिक निर्माण कम व्युत्पत्ति का एक विकल्प है। यह सिद्धांत स्वयंसिद्ध दृष्टिकोण पर आधारित है। मूल प्रारंभिक बिंदु पूरी तरह से सकारात्मक मानचित्र है। धारणा यह है कि प्रारंभिक प्रणाली -पर्यावरण स्थिति असंबंधित है यह और संयुक्त गतिशीलता एक एकात्मक संचालक द्वारा उत्पन्न होती है। ऐसा मानचित्र क्रॉस ऑपरेटर की श्रेणी में आता है। मार्कोवियन गुण के साथ समय-सजातीय मास्टर समीकरण का सबसे सामान्य प्रकार जो घनत्व आव्यूह ρ के गैर-एकात्मक विकास का वर्णन करता है जो ट्रेस-संरक्षित है और किसी भी प्रारंभिक स्थिति के लिए पूरी तरह से सकारात्मक है, गोरिनी-कोसाकोव्स्की-सुदर्शन-लिंडब्लैड समीकरण या जीकेएसएल समीकरण है :
एक (हर्मिटियन) हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) भाग है और :
प्रणाली ऑपरेटरों के माध्यम से प्रणाली पर बाथ के प्रभाव का स्पष्ट रूप से वर्णन करने वाला विघटनकारी भाग है। मार्कोव गुण यह लगाती है कि प्रणालीऔर बाथ हर समय असंबद्ध हैं जीकेएसएल समीकरण दिशाहीन है और किसी भी प्रारंभिक अवस्था को स्थिर अवस्था समाधान की ओर ले जाता है जो गति के समीकरण का एक अपरिवर्तनीय है। जीकेएसएल समीकरण द्वारा उत्पन्न मानचित्रों का परिवार एक क्वांटम गतिशील अर्धसमूह बनाता है। क्वांटम ऑप्टिक्स जैसे कुछ क्षेत्रों में, लिंडब्लैड सुपरऑपरेटर शब्द का उपयोग अधिकांशत: एक विघटनकारी प्रणाली के लिए क्वांटम मास्टर समीकरण को व्यक्त करने के लिए किया जाता है। ई.बी. डेविस ने मार्कोवियन गुण मास्टर समीकरणों के साथ जीकेएसएल को अस्पष्ट सिद्धांत और घूर्णन तरंग या धर्मनिरपेक्ष जैसे अतिरिक्त अनुमानों का उपयोग करके प्राप्त किया, इस प्रकार रेडफील्ड समीकरण की खामियों को ठीक किया गया। डेविस निर्माण थर्मल संतुलन अथार्थ केएमएस अवस्था के लिए कुबो-मार्टिन-श्विंगर स्थिरता मानदंड के अनुरूप है।[4] रेडफ़ील्ड को ठीक करने के लिए एक वैकल्पिक दृष्टिकोण जे. थिंगना, जे.-एस. द्वारा प्रस्तावित किया गया है। वांग, और पी. हैन्ग्गी[4] जो प्रणाली -बाथ इंटरैक्शन को केएमएस अवस्था से भिन्न संतुलन में भूमिका निभाने की अनुमति देता है।
1981 में, अमीर काल्डेरा और एंथोनी जे. लेगेट ने एक सरलीकृत धारणा का प्रस्ताव रखा जिसमें बाथ को सामान्य मोड में विघटित किया जाता है जिसे प्रणाली से रैखिक रूप से जुड़े हार्मोनिक ऑसिलेटर के रूप में दर्शाया जाता है।[5] जो कि परिणामस्वरूप, बाथ के प्रभाव को बाथ वर्णक्रमीय कार्य द्वारा संक्षेपित किया जा सकता है। इस विधि को कैल्डेरा-लेगेट मॉडल या कैल्डेरा-लेगेट मॉडल, या हार्मोनिक बाथ मॉडल के रूप में जाना जाता है। आगे बढ़ने और स्पष्ट समाधान प्राप्त करने के लिए, क्वांटम यांत्रिकी के पथ अभिन्न सूत्रीकरण विवरण को समान्य रूप से नियोजित किया जाता है। इस पद्धति के पीछे की शक्ति का एक बड़ा भाग यह तथ्य है कि प्रणाली और बाथ के मध्य उपस्थित वास्तविक युग्मन की तुलना में हार्मोनिक ऑसिलेटर अपेक्षाकृत अच्छी तरह से समझे जाते हैं। दुर्भाग्य से, जबकि काल्डेरा-लेगेट मॉडल वह है जो क्वांटम अपव्यय की एक भौतिक रूप से सुसंगत तस्वीर की ओर ले जाता है, इसके एर्गोडिसिटी गुण बहुत अशक्त हैं और इसलिए मॉडल की गतिशीलता बाथ मोड के मध्य व्यापक मापदंड पर क्वांटम अस्पष्ट उत्पन्न नहीं करती है।
एक वैकल्पिक बाथ मॉडल स्पिन बाथ है।[6] कम तापमान और अशक्त प्रणाली -बाथ युग्मन पर, कैल्डेरा-लेगेट और स्पिन बाथ मॉडल समकक्ष हैं। किन्तु उच्च तापमान या शसक्त प्रणाली -बाथ युग्मन के लिए, स्पिन बाथ मॉडल में शसक्त एर्गोडिक गुण होते हैं। एक बार जब प्रणाली युग्मित हो जाता है, तो सभी मोड के मध्य महत्वपूर्ण अस्पष्ट उत्पन्न हो जाता है। दूसरे शब्दों में, स्पिन बाथ मॉडल कैल्डेरा-लेगेट मॉडल का अनुकरण कर सकता है, किन्तु विपरीत सच नहीं है।
स्पिन बाथ से जुड़े प्राकृतिक तंत्र का एक उदाहरण हीरे में एन-वी केंद्र|नाइट्रोजन-रिक्ति (एन-वी) केंद्र है। इस उदाहरण में, रंग केंद्र प्रणाली है और बाथ में कार्बन-13 (13C) अशुद्धियाँ जो चुंबकीय द्विध्रुव-द्विध्रुव अंत: क्रिया के माध्यम से प्रणाली के साथ अंत: क्रिया करती हैं।
खुली क्वांटम प्रणालियों के लिए जहां बाथ में दोलन होते हैं जो विशेष रूप से तेज़ होते हैं, समय में पर्याप्त बड़े बदलावों को देखकर उन्हें औसत करना संभव है। यह संभव है क्योंकि बड़े समय मापदंड पर तेज़ दोलनों का औसत आयाम केंद्रीय मान के समान होता है, जिसे ऊर्ध्वाधर अक्ष के साथ समान्य परिवर्तन के साथ सदैव शून्य चुना जा सकता है। समस्याओं को सरल बनाने की इस पद्धति को धर्मनिरपेक्ष सन्निकटन के रूप में जाना जाता है।
गैर-मार्कोवियन समीकरण
खुली क्वांटम प्रणालियाँ जिनमें मार्कोवियन संपत्ति नहीं होती, उन्हें हल करना समान्य रूप से अधिक कठिन होता है। यह अधिक सीमा तक इस तथ्य के कारण है कि गैर-मार्कोवियन प्रणाली की अगली स्थिति उसके प्रत्येक पिछले अवस्था द्वारा निर्धारित होती है, जो प्रणाली के विकास की गणना करने के लिए मेमोरी आवश्यकताओं को तेजी से बढ़ाती है। वर्तमान में, इन प्रणालियों के उपचार के विधि को प्रक्षेपण ऑपरेटर तकनीकों के रूप में जाना जाता है। ये तकनीकें एक प्रक्षेपण ऑपरेटर को नियोजित करती हैं, जो पहले बताए अनुसार पर्यावरण पर प्रभावी रूप से ट्रेस प्रयुक्त करता है। पर लगाने (अर्थात की गणना करने) के परिणाम को का प्रासंगिक भाग कहा जाता है। पूर्णता के लिए, एक अन्य ऑपरेटर को परिभाषित किया गया है जिससे जहां पहचान आव्यूह है। पर लगाने का परिणाम (अर्थात् गणना करने के लिए ) को का अप्रासंगिक भाग कहा जाता है। इन विधियों का प्राथमिक लक्ष्य एक मास्टर समीकरण प्राप्त करना है जो के विकास को परिभाषित करता है।
प्रक्षेपण ऑपरेटर तकनीक का उपयोग करके ऐसी एक व्युत्पत्ति का परिणाम नकाजिमा-ज़्वानज़िग समीकरण के रूप में जाना जाता है। यह व्युत्पत्ति समय में गैर-स्थानीय होने के कारण घटी हुई गतिशीलता की समस्या पर प्रकाश डालती है:
यहां प्रणाली के पूरे समय के विकास के समय स्नान का प्रभाव मेमोरी कर्नेल में छिपा हुआ है। जबकि नाकाजिमा-ज़्वानज़िग समीकरण एक स्पष्ट समीकरण है जो लगभग सभी खुले क्वांटम प्रणाली और वातावरण के लिए प्रयुक्त होता है, इसे हल करना बहुत कठिन हो सकता है। इसका अर्थ यह है कि समस्या की जटिलता को कम करके अधिक प्रबंधनीय बनाने के लिए समान्य रूप से सन्निकटन की आवश्यकता होती है। उदाहरण के रूप से , समय स्थानीय समीकरण को जन्म देने के लिए तेजी से स्नान की धारणा आवश्यक है: वैध सन्निकटन के अन्य उदाहरणों में अशक्त -युग्मन सन्निकटन और एकल-युग्मन सन्निकटन सम्मिलित हैं।
कुछ स्थिति में, प्रक्षेपण ऑपरेटर तकनीक का उपयोग प्रणाली की अगली स्थिति की उसके सभी पिछले स्थिति पर निर्भरता को कम करने के लिए किया जा सकता है। खुले क्वांटम प्रणाली तक पहुंचने की इस पद्धति को समय-कन्वॉल्यूशन रहित प्रक्षेपण ऑपरेटर तकनीक के रूप में जाना जाता है, और इसका उपयोग मास्टर समीकरण उत्पन्न करने के लिए किया जाता है जो समय में स्वाभाविक रूप से स्थानीय होते हैं। चूँकि ये समीकरण प्रणाली के इतिहास की अधिक उपेक्षा कर सकते हैं, इसलिए इन्हें नकाजिमा-ज़्वानज़िग समीकरण जैसी चीज़ों की तुलना में हल करना अधिकांशत: सरल होता है।
एक अन्य दृष्टिकोण रोगो कुबो और वाई. तनिमुरा द्वारा विकसित मौलिक अपव्यय सिद्धांत के एक एनालॉग के रूप में उभरता है। यह दृष्टिकोण गति के पदानुक्रमित समीकरण से जुड़ा है जो घनत्व ऑपरेटर को सहायक ऑपरेटरों के एक बड़े स्थान में एम्बेड करता है जैसे कि पूरे सेट के लिए एक समय स्थानीय समीकरण प्राप्त होता है और उनकी मेमोरी सहायक ऑपरेटरों में समाहित होती है।
यह भी देखें
- लिंडब्लाड समीकरण
- मार्कोव संपत्ति
- मास्टर समीकरण
- क्वांटम थर्मोडायनामिक्स
संदर्भ
- ↑ Breuer, H.-P.; Petruccione, F. (2007). ओपन क्वांटम सिस्टम का सिद्धांत. Oxford University Press. p. vii.
Quantum mechanical systems must be considered as open systems
- ↑ von Neumann, John (1927), "Wahrscheinlichkeitstheoretischer Aufbau der Quantenmechanik", Göttinger Nachrichten, 1: 245–272
- ↑ Kosloff, Ronnie (2013). "Quantum Thermodynamics: A Dynamical Viewpoint". Entropy. 15 (6): 2100–2128. arXiv:1305.2268. Bibcode:2013Entrp..15.2100K. doi:10.3390/e15062100. ISSN 1099-4300.
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- ↑ 4.0 4.1 Breuer, Heinz-Peter; F. Petruccione (2007). ओपन क्वांटम सिस्टम का सिद्धांत. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921390-0.
- ↑ A. Caldeira and A. J. Leggett, Influence of dissipation on quantum tunneling in macroscopic systems, Physical Review Letters, vol. 46, p. 211, 1981.
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अवर्गीकृत संदर्भ
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बाहरी संबंध
Learning materials related to Open Quantum Systems at Wikiversity
