मानक मॉडल का गणितीय सूत्रीकरण

For a less mathematical description and overview, see Standard Model.

कण भौतिकी का मानक मॉडल। आरेख मानक मॉडल (हिग्स बॉसन, क्वार्क और लेपटोन की तीन पीढ़ी (कण भौतिकी), और गेज बोसॉन) के प्राथमिक कणों को दिखाता है, जिसमें उनके नाम, द्रव्यमान, स्पिन, चार्ज, चिरैलिटी और स्ट्रॉन्ग के साथ बातचीत शामिल है। अंतःक्रिया, कमजोर अंतःक्रिया और विद्युत चुंबकत्व बल। यह इलेक्ट्रोवीक समरूपता तोड़ने में हिग्स बोसोन की महत्वपूर्ण भूमिका को भी दर्शाता है, और दिखाता है कि विभिन्न कणों के गुण (उच्च-ऊर्जा) सममिति चरण (शीर्ष) और (कम-ऊर्जा) टूटे-समरूपता चरण (नीचे) में कैसे भिन्न होते हैं ).

यह लेख कण भौतिकी के मानक मॉडल के गणित का वर्णन करता है, एक गेज सिद्धांत क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत जिसमें क्षेत्र (भौतिकी)#एकात्मक समूह के क्षेत्रों की समरूपता, समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद शामिल है। SU(3) × SU(2) × U(1). सिद्धांत को आमतौर पर कणों के मूल सेट - लेप्टान, क्वार्क, गेज बोसॉन और हिग्स बोसोन का वर्णन करने के रूप में देखा जाता है।

मानक मॉडल पुनर्सामान्यीकरण योग्य और गणितीय रूप से आत्मनिर्भर है, हालाँकि प्रायोगिक भविष्यवाणियाँ प्रदान करने में बड़ी और निरंतर सफलताएँ मिलने के बावजूद यह कुछ भौतिकी को मानक मॉडल से परे छोड़ देता है। विशेष रूप से, हालांकि विशेष सापेक्षता के भौतिकी को शामिल किया गया है, सामान्य सापेक्षता को शामिल नहीं किया गया है, और मानक मॉडल उन ऊर्जाओं या दूरी पर विफल हो जाएगा जहां गुरुत्वाकर्षण उभरने की उम्मीद है। इसलिए, आधुनिक क्षेत्र सिद्धांत संदर्भ में, इसे एक प्रभावी क्षेत्र सिद्धांत के रूप में देखा जाता है।

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत

Main article: Quantum Field Theory

कमजोर आइसोस्पिन का पैटर्न T₃, कमजोर हाइपरचार्ज Y_W, और सभी ज्ञात प्राथमिक कणों का रंग प्रभार, विद्युत चार्ज दिखाने के लिए कमजोर मिश्रण कोण द्वारा घुमाया गया Q, मोटे तौर पर ऊर्ध्वाधर के साथ। तटस्थ हिग्स क्षेत्र (ग्रे वर्ग) विद्युत कमजोर समरूपता को तोड़ता है और अन्य कणों के साथ बातचीत करके उन्हें द्रव्यमान देता है।

मानक मॉडल एक मात्रा क्षेत्र सिद्धांत है, जिसका अर्थ है कि इसकी मूलभूत वस्तुएं क्वांटम क्षेत्र हैं जिन्हें स्पेसटाइम में सभी बिंदुओं पर परिभाषित किया गया है। क्यूएफटी कणों को उनके अंतर्निहित क्वांटम क्षेत्र (भौतिकी) की उत्तेजित अवस्था (जिसे क्वांटम भी कहा जाता है) के रूप में मानता है, जो कणों की तुलना में अधिक मौलिक हैं। ये फ़ील्ड हैं

• फरमिओन्स क्षेत्र, ψ, जो पदार्थ के कणों का कारण बनता है;
• इलेक्ट्रोवीक इंटरेक्शन $W_{1},W_{2},W_{3}$, और B;
• ग्लूऑन क्षेत्र, G_a; और
• हिग्स बोसोन, φ.

ये शास्त्रीय क्षेत्रों के बजाय क्वांटम हैं, इसका गणितीय परिणाम यह है कि वे ऑपरेटर (भौतिकी)-मूल्यवान हैं। विशेष रूप से, फ़ील्ड के मान आम तौर पर परिवर्तित नहीं होते हैं। ऑपरेटरों के रूप में, वे क्वांटम अवस्था (केट वेक्टर) पर कार्य करते हैं।

क्षेत्रों की वैकल्पिक प्रस्तुतियाँ

जैसा कि क्वांटम सिद्धांत में आम है, चीजों को देखने का एक से अधिक तरीका है। पहले तो ऊपर दिए गए बुनियादी क्षेत्र ऊपर दिए गए चार्ट में मौलिक कणों के साथ अच्छी तरह से मेल नहीं खाते हैं, लेकिन कई वैकल्पिक प्रस्तुतियाँ हैं, जो विशेष संदर्भों में, ऊपर दिए गए की तुलना में अधिक उपयुक्त हो सकती हैं।

फर्मिअन्स

एक फर्मियन क्षेत्र होने के बजाय ψ, इसे प्रत्येक प्रकार के कण के लिए अलग-अलग घटकों में विभाजित किया जा सकता है। यह इलेक्ट्रॉन घटक के बाद से क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के ऐतिहासिक विकास को दर्शाता है ψ_e (इलेक्ट्रॉन और उसके प्रतिकण पोजीट्रान का वर्णन करना) तो मूल है ψक्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स का क्षेत्र, जिसे बाद में शामिल किया गया ψ_μ और ψ_τ क्रमशः म्यूऑन और टाऊन के लिए फ़ील्ड (और उनके एंटीपार्टिकल्स)। इलेक्ट्रोवीक सिद्धांत जोड़ा गया $\psi _{\nu _{\mathrm {e} }},\psi _{\nu _{\mu }}$, और $\psi _{\nu _{\tau }}$ संगत न्युट्रीनो के लिए। क्वार्क और भी घटक जोड़ते हैं। डायराक स्पिनर # कणों के लिए चार-स्पिनर | इलेक्ट्रॉन और अन्य लेप्टान घटकों की तरह चार-स्पिनर होने के लिए, फ्लेवर (कण भौतिकी) और रंग चार्ज के प्रत्येक संयोजन के लिए एक क्वार्क घटक होना चाहिए, जिससे कुल 24 (3) हो जाए आवेशित लेप्टान के लिए, 3 न्यूट्रिनो के लिए, और 2·3·3 = 18 क्वार्क के लिए)। इनमें से प्रत्येक फर्मियन क्षेत्र के लिए कुल 96 जटिल-मूल्यवान घटकों के लिए चार घटक वाला बिस्पिनोर है।

एक महत्वपूर्ण परिभाषा डिराक सहायक फर्मियन क्षेत्र है ${\bar {\psi }}$, जिसे परिभाषित किया गया है $\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$, कहाँ $\dagger$ के हर्मिटियन जोड़ को दर्शाता है ψ, और γ⁰ शून्यवाँ गामा मैट्रिक्स है। अगर ψ को एक माना जाता है n × 1 फिर मैट्रिक्स ${\bar {\psi }}$ एक पंक्ति सदिश के रूप में सोचा जाना चाहिए|1 × n आव्यूह।

एक चिरल सिद्धांत

का एक स्वतंत्र अपघटन ψ क्या यह चिरैलिटी (भौतिकी) घटकों में है:

• "Left" chirality:  $\psi ^{\rm {L}}={\frac {1}{2}}(1-\gamma _{5})\psi$
• "Right" chirality:  $\psi ^{\rm {R}}={\frac {1}{2}}(1+\gamma _{5})\psi$

कहाँ $\gamma _{5}$ गामा मैट्रिक्स है#पांचवां गामा मैट्रिक्स, γ5। मानक मॉडल में यह बहुत महत्वपूर्ण है क्योंकि बाएं और दाएं चिरैलिटी घटकों को गेज इंटरैक्शन द्वारा अलग-अलग व्यवहार किया जाता है।

विशेष रूप से, कमजोर आइसोस्पिन विशेष एकात्मक समूह|एसयू(2) परिवर्तनों के तहत बाएं हाथ के कण कमजोर-आइसोस्पिन दोहरे होते हैं, जबकि दाएं हाथ के कण एकल होते हैं - यानी कमजोर आइसोस्पिन ψ_Rशून्य है. अधिक सरल शब्दों में कहें तो कमजोर अंतःक्रिया घूम सकती है, उदाहरण के लिए एक बाएं हाथ के इलेक्ट्रॉन को बाएं हाथ के न्यूट्रिनो में (ए के उत्सर्जन के साथ)। W⁻), लेकिन समान दाएँ हाथ के कणों के साथ ऐसा नहीं कर सका। एक तरफ, दाएं हाथ के न्यूट्रिनो मूल रूप से मानक मॉडल में मौजूद नहीं थे - लेकिन न्यूट्रिनो दोलन की खोज से पता चलता है कि न्यूट्रिनो # द्रव्यमान, और चूंकि एक विशाल कण के प्रसार के दौरान चिरलिटी बदल सकती है, इसलिए दाएं हाथ के न्यूट्रिनो का अस्तित्व होना चाहिए वास्तविकता। हालाँकि, यह कमजोर अंतःक्रिया की (प्रयोगात्मक रूप से सिद्ध) चिरल प्रकृति को नहीं बदलता है।

आगे, U(1) पर अलग तरह से कार्य करता है $\psi _{\mathrm {e} }^{\rm {L}}$ और $\psi _{\mathrm {e} }^{\rm {R}}$ (क्योंकि उनके पास अलग-अलग कमजोर हाइपरचार्ज हैं)।

द्रव्यमान और अंतःक्रिया eigenstates

इस प्रकार, उदाहरण के लिए, न्यूट्रिनो के द्रव्यमान और अंतःक्रिया आइजनस्टेट्स के बीच अंतर किया जा सकता है। पूर्व वह अवस्था है जो मुक्त स्थान में फैलती है, जबकि बाद वाली वह भिन्न अवस्था है जो अंतःक्रिया में भाग लेती है। मूल कण कौन सा है? न्यूट्रिनो के लिए, स्वाद को परिभाषित करना पारंपरिक है (
ν
_e,
ν
_μ, या
ν
_τ) इंटरेक्शन ईजेनस्टेट द्वारा, जबकि क्वार्क के लिए हम द्रव्यमान अवस्था द्वारा स्वाद (ऊपर, नीचे, आदि) को परिभाषित करते हैं। हम क्वार्क के लिए सीकेएम मैट्रिक्स, या न्यूट्रिनो के लिए पीएमएनएस मैट्रिक्स का उपयोग करके इन राज्यों के बीच स्विच कर सकते हैं (दूसरी ओर चार्ज किए गए लेप्टान द्रव्यमान और स्वाद दोनों के स्वदेशी हैं)।

एक तरफ, यदि इनमें से किसी भी मैट्रिक्स के भीतर एक जटिल चरण शब्द मौजूद है, तो यह प्रत्यक्ष सीपी उल्लंघन को जन्म देगा, जो हमारे वर्तमान ब्रह्मांड में एंटीमैटर पर पदार्थ के प्रभुत्व को समझा सकता है। यह सीकेएम मैट्रिक्स के लिए सिद्ध हो चुका है, और पीएमएनएस मैट्रिक्स के लिए अपेक्षित है।

सकारात्मक और नकारात्मक ऊर्जा

अंत में, क्वांटम क्षेत्र कभी-कभी सकारात्मक और नकारात्मक ऊर्जा भागों में विघटित हो जाते हैं: ψ = ψ⁺ + ψ⁻. जब क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत स्थापित किया गया है तो यह इतना सामान्य नहीं है, लेकिन अक्सर क्षेत्र सिद्धांत को परिमाणित करने की प्रक्रिया में प्रमुखता से प्रदर्शित होता है।

बोसोन

वेनबर्ग कोण θ_W, और युग्मन स्थिरांक g, g', और e के बीच संबंध। टी डी ली की पुस्तक पार्टिकल फिजिक्स एंड इंट्रोडक्शन टू फील्ड थ्योरी (1981) से अनुकूलित।

हिग्स तंत्र के कारण, इलेक्ट्रोवीक बोसोन क्षेत्र $W_{1},W_{2},W_{3}$, और $B$ ऐसी अवस्थाएँ बनाने के लिए मिश्रण करें जो भौतिक रूप से देखने योग्य हों। गेज अपरिवर्तनीयता को बनाए रखने के लिए, अंतर्निहित फ़ील्ड द्रव्यमान रहित होना चाहिए, लेकिन अवलोकन योग्य राज्य इस प्रक्रिया में द्रव्यमान प्राप्त कर सकते हैं। ये राज्य हैं:

विशाल तटस्थ W और Z बोसॉन|(Z) बोसोन:

$$Z=\cos \theta _{\rm {W}}W_{3}-\sin \theta _{\rm {W}}B$$

द्रव्यमान रहित तटस्थ बोसॉन:

$$A=\sin \theta _{\rm {W}}W_{3}+\cos \theta _{\rm {W}}B$$

बड़े पैमाने पर आवेशित W और Z बोसॉन:

$$W^{\pm }={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(W_{1}\mp iW_{2}\right)$$

कहाँ θ_W वेनबर्ग कोण है। वह A क्षेत्र फोटॉन है, जो शास्त्रीय रूप से प्रसिद्ध विद्युत चुम्बकीय चार-क्षमता से मेल खाता है - यानी विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र। वह Z क्षेत्र वास्तव में फोटॉन द्वारा की जाने वाली प्रत्येक प्रक्रिया में योगदान देता है, लेकिन इसके बड़े द्रव्यमान के कारण, योगदान आमतौर पर नगण्य होता है।

विघ्नकारी QFT और अंतःक्रिया चित्र

कणों और बलों के संदर्भ में मानक मॉडल का अधिकांश गुणात्मक विवरण मॉडल के विक्षुब्ध क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत दृष्टिकोण से आता है। इसमें लैग्रेंजियन (क्षेत्र सिद्धांत) को इस प्रकार विघटित किया जाता है ${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{0}+{\mathcal {L}}_{\mathrm {I} }$ अलग-अलग मुक्त क्षेत्र और इंटरैक्शन लैग्रेन्जियन में। मुक्त क्षेत्र अलगाव में कणों की देखभाल करते हैं, जबकि कई कणों से जुड़ी प्रक्रियाएं परस्पर क्रिया के माध्यम से उत्पन्न होती हैं। विचार यह है कि राज्य वेक्टर केवल तभी बदलना चाहिए जब कण परस्पर क्रिया करते हैं, जिसका अर्थ है कि एक मुक्त कण वह है जिसकी क्वांटम स्थिति स्थिर है। यह क्वांटम यांत्रिकी में इंटरेक्शन चित्र से मेल खाता है।

अधिक सामान्य श्रोडिंगर चित्र में, समय के साथ मुक्त कणों की अवस्थाएँ भी बदलती हैं: आमतौर पर चरण उस दर से बदलता है जो उनकी ऊर्जा पर निर्भर करता है। वैकल्पिक हाइजेनबर्ग चित्र में, ऑपरेटरों (विशेष रूप से अवलोकन योग्य) को समय-निर्भर होने की कीमत पर, राज्य वैक्टर को स्थिर रखा जाता है। इंटरेक्शन चित्र दोनों के बीच एक मध्यवर्ती का गठन करता है, जहां कुछ समय निर्भरता ऑपरेटरों (क्वांटम फ़ील्ड) में और कुछ राज्य वेक्टर में रखी जाती है। क्यूएफटी में, पहले को मॉडल का मुक्त क्षेत्र भाग कहा जाता है, और बाद वाले को इंटरेक्शन भाग कहा जाता है। मुक्त क्षेत्र मॉडल को सटीक रूप से हल किया जा सकता है, और फिर पूर्ण मॉडल के समाधानों को मुक्त क्षेत्र समाधानों की गड़बड़ी के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, उदाहरण के लिए डायसन श्रृंखला का उपयोग करना।

यह देखा जाना चाहिए कि मुक्त क्षेत्रों और अंतःक्रियाओं में अपघटन सैद्धांतिक रूप से मनमाना है। उदाहरण के लिए, क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स में क्यूईडी में रेनॉर्मलाइजेशन#रेनॉर्मलाइजेशन मुक्त क्षेत्र इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान को एक भौतिक इलेक्ट्रॉन (विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के साथ) से मेल खाने के लिए संशोधित करता है, और ऐसा करने पर मुक्त क्षेत्र लैग्रेंजियन में एक शब्द जुड़ जाएगा जिसे रद्द किया जाना चाहिए। इंटरेक्शन लैग्रेंजियन में एक काउंटरटर्म द्वारा, जो तब फेनमैन आरेखों में दो-लाइन वर्टेक्स के रूप में दिखाई देता है। यह भी माना जाता है कि हिग्स क्षेत्र कणों को अपरिवर्तनीय द्रव्यमान देता है: इंटरेक्शन शब्द का वह हिस्सा जो हिग्स फील्ड के गैर-शून्य वैक्यूम अपेक्षा मूल्य से मेल खाता है, इंटरेक्शन से मुक्त क्षेत्र लैग्रेंजियन में ले जाया जाता है, जहां यह बिल्कुल एक जैसा दिखता है सामूहिक शब्द का हिग्स क्षेत्र से कोई लेना-देना नहीं है।

See also: Feynman diagram

मुक्त फ़ील्ड

सामान्य मुक्त/इंटरैक्शन अपघटन के तहत, जो कम ऊर्जा के लिए उपयुक्त है, मुक्त क्षेत्र निम्नलिखित समीकरणों का पालन करते हैं:

• फर्मियन क्षेत्र ψ डिराक समीकरण को संतुष्ट करता है; $(i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m_{\rm {f}}c)\psi _{\rm {f}}=0$ प्रत्येक प्रकार के लिए $f$ फर्मियन का.
• फोटॉन क्षेत्र A तरंग समीकरण को संतुष्ट करता है $\partial _{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }=0$.
• हिग्स फ़ील्ड φ क्लेन-गॉर्डन समीकरण को संतुष्ट करता है।
• कमज़ोर अंतःक्रिया क्षेत्र Z, W^± प्रोका समीकरण को संतुष्ट करें।

इन समीकरणों को बिल्कुल हल किया जा सकता है. कोई आमतौर पर पहले समाधानों पर विचार करके ऐसा करता है जो कुछ अवधि के साथ आवधिक होते हैं L प्रत्येक स्थानिक अक्ष के साथ; बाद में सीमा ले रहा हूँ: L → ∞ इस आवधिकता प्रतिबंध को हटा देगा।

आवधिक मामले में, एक क्षेत्र के लिए समाधान F (उपरोक्त में से कोई भी) फॉर्म की फूरियर श्रृंखला के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$$F(x)=\beta \sum _{\mathbf {p} }\sum _{r}E_{\mathbf {p} }^{-{\frac {1}{2}}}\left(a_{r}(\mathbf {p} )u_{r}(\mathbf {p} )e^{-{\frac {ipx}{\hbar }}}+b_{r}^{\dagger }(\mathbf {p} )v_{r}(\mathbf {p} )e^{\frac {ipx}{\hbar }}\right)$$

कहाँ:

• β एक सामान्यीकरण कारक है; फर्मियन क्षेत्र के लिए $\psi _{\rm {f}}$ यह है ${\textstyle {\sqrt {m_{\rm {f}}c^{2}/V}}}$, कहाँ $V=L^{3}$ मौलिक कोशिका का आयतन माना जाता है; फोटॉन क्षेत्र के लिए A^μ यह है $\hbar c/{\sqrt {2V}}$.
• योग ख़त्म p अवधि के अनुरूप संपूर्ण क्षण भर में है L, यानी, सभी वैक्टरों पर ${\frac {2\pi \hbar }{L}}(n_{1},n_{2},n_{3})$ कहाँ $n_{1},n_{2},n_{3}$ पूर्णांक हैं.
• योग ख़त्म r क्षेत्र के लिए विशिष्ट स्वतंत्रता की अन्य डिग्री को कवर करता है, जैसे ध्रुवीकरण या स्पिन; यह आमतौर पर एक योग के रूप में निकलता है 1 को 2 या से 1 को 3.
• E_p एक संवेग के लिए सापेक्ष ऊर्जा है p क्षेत्र की मात्रा, ${\textstyle ={\sqrt {m^{2}c^{4}+c^{2}\mathbf {p} ^{2}}}}$ जब शेष द्रव्यमान हो m.
• a_r(p) और $b_{r}^{\dagger }(\mathbf {p} )$ गति के क्रमशः ए-कणों और बी-कणों के लिए क्रमशः सृजन और विनाश संचालक संचालक हैं p; बी-कण ए-कणों के प्रतिकण हैं। विभिन्न क्षेत्रों में अलग-अलग ए- और बी-कण होते हैं। कुछ क्षेत्रों के लिए, a और b समान हैं।
• u_r(p) और v_r(p) गैर-ऑपरेटर हैं जो फ़ील्ड के वेक्टर या स्पिनर पहलुओं (जहां प्रासंगिक हो) को ले जाते हैं।
• $p=(E_{\mathbf {p} }/c,\mathbf {p} )$ संवेग के साथ एक क्वांटम के लिए चार-संवेग है p. $px=p_{\mu }x^{\mu }$ चार-वेक्टरों के आंतरिक उत्पाद को दर्शाता है।

सीमा में L → ∞, की सहायता से योग एक अभिन्न अंग में बदल जाएगा V अंदर छिपा हुआ β. का संख्यात्मक मान β इसके लिए चुने गए सामान्यीकरण पर भी निर्भर करता है $u_{r}(\mathbf {p} )$ और $v_{r}(\mathbf {p} )$.

तकनीकी रूप से, $a_{r}^{\dagger }(\mathbf {p} )$ ऑपरेटर का हर्मिटियन सहायक है a_r(p) केट वैक्टर के आंतरिक उत्पाद स्थान में। की पहचान $a_{r}^{\dagger }(\mathbf {p} )$ और a_r(p) क्योंकि सृजन और विनाश ऑपरेटर किसी राज्य के लिए संरक्षित मात्राओं की तुलना करने से पहले और बाद में इनमें से किसी एक पर कार्रवाई करने से आते हैं। $a_{r}^{\dagger }(\mathbf {p} )$ उदाहरण के लिए एक कण को ​​जोड़ते हुए देखा जा सकता है, क्योंकि यह जुड़ जाएगा 1ए-कण संख्या ऑपरेटर के eigenvalue के लिए, और उस कण की गति होनी चाहिए p चूंकि वेक्टर-वैल्यू पल ऑपरेटर का आइगेनवैल्यू उतना बढ़ जाता है। इन व्युत्पत्तियों के लिए, क्वांटम फ़ील्ड के संदर्भ में ऑपरेटरों के लिए अभिव्यक्तियों से शुरुआत की जाती है। वह ऑपरेटरों के साथ $\dagger$ सृजन संचालक हैं और विनाश संचालक के बिना एक सम्मेलन है, जो उनके लिए निर्धारित रूपान्तरण संबंधों के संकेत द्वारा लगाया गया है।

गड़बड़ी क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में गणना की तैयारी में एक महत्वपूर्ण कदम ऑपरेटर कारकों को अलग करना है a और b उनके संबंधित वेक्टर या स्पिनर कारकों से ऊपर u और v. फेनमैन ग्राफ़ के शीर्ष उसी रास्ते से आते हैं u और v इंटरैक्शन में विभिन्न कारकों से लैग्रेंजियन एक साथ फिट होते हैं, जबकि किनारे उस तरह से आते हैं aरेत {{mvar|b}डायसन श्रृंखला में शब्दों को सामान्य रूप में रखने के लिए } को इधर-उधर ले जाना होगा।

इंटरैक्शन शर्तें और पथ अभिन्न दृष्टिकोण

लैग्रेन्जियन को पथ अभिन्न सूत्रीकरण#क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत का उपयोग करके सृजन और विनाश ऑपरेटरों (कैनोनिकल औपचारिकता) का उपयोग किए बिना भी प्राप्त किया जा सकता है, जो डिराक के पहले के काम पर फेनमैन बिल्डिंग द्वारा अग्रणी है। फेनमैन आरेख अंतःक्रियात्मक शब्दों का सचित्र प्रतिनिधित्व हैं। फेनमैन आरेख पर लेख में वास्तव में एक त्वरित व्युत्पत्ति प्रस्तुत की गई है।

लैग्रेंजियन औपचारिकता

फ़ाइल:मानक मॉडल - All Feynman diagram vertices.svg|upright=1.5|thumb|right|मानक मॉडल में सहभागिता. मॉडल में सभी फेनमैन आरेख इन शीर्षों के संयोजन से बनाए गए हैं। q कोई क्वार्क है, g एक ग्लूऑन है,_B द्रव्यमान वाला कोई भी बोसोन है। एकाधिक कण लेबल वाले आरेखों में / एक कण लेबल को चुना जाता है। | द्वारा अलग किए गए कण लेबल वाले आरेखों में लेबलों को उसी क्रम में चुना जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, चार बोसॉन इलेक्ट्रोवीक मामले में वैध आरेख WWWW, WWZZ, WWγγ, WWZγ हैं। प्रत्येक सूचीबद्ध शीर्ष के संयुग्मन (तीरों की दिशा को उलटने) की भी अनुमति है।अब हम मानक मॉडल लैग्रेंजियन घनत्व में दिखाई देने वाले उपरोक्त मुक्त और इंटरैक्शन शब्दों के बारे में कुछ और विवरण दे सकते हैं। ऐसा कोई भी शब्द गेज और संदर्भ-फ़्रेम दोनों अपरिवर्तनीय होना चाहिए, अन्यथा भौतिकी के नियम किसी पर्यवेक्षक की मनमानी पसंद या फ़्रेम पर निर्भर होंगे। इसलिए, वैश्विक समरूपता पोंकारे समूह|पोंकारे समरूपता, जिसमें अनुवादात्मक समरूपता, घूर्णी समरूपता और विशेष सापेक्षता के सिद्धांत के केंद्र में जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम अपरिवर्तनीयता शामिल है, को लागू किया जाना चाहिए। स्थानीय समरूपता SU(3) × SU(2) × U(1) गेज समरूपता आंतरिक समरूपता है। जैसा कि हम देखेंगे, कुछ उपयुक्त संबंधों को परिभाषित करने के बाद, गेज समरूपता के तीन कारक मिलकर तीन मूलभूत अंतःक्रियाओं को जन्म देते हैं।

गतिज पद

एक मुक्त कण को ​​एक द्रव्यमान शब्द और एक गतिज शब्द द्वारा दर्शाया जा सकता है जो क्षेत्रों की गति से संबंधित है।

फर्मिअन फ़ील्ड

डिराक फर्मियन के लिए गतिज शब्द है

$$i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi$$

जहां लेख में पहले से नोटेशन दिए गए हैं। ψ मानक मॉडल में किसी भी, या सभी, डिराक फ़र्मियन का प्रतिनिधित्व कर सकता है। आम तौर पर, जैसा कि नीचे दिया गया है, इस शब्द को कपलिंग (एक समग्र गतिशील शब्द बनाते हुए) के भीतर शामिल किया गया है।

गेज फ़ील्ड

स्पिन-1 फ़ील्ड के लिए, पहले फ़ील्ड स्ट्रेंथ टेंसर को परिभाषित करें

$$F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+gf^{abc}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c}$$

किसी दिए गए गेज फ़ील्ड के लिए (यहां हम उपयोग करते हैं A), गेज युग्मन स्थिरांक के साथ g. मात्रा  f ^abc फ़ील्ड पर बीजगणित है#कम्यूटेटर द्वारा परिभाषित विशेष गेज समूह की संरचना गुणांक

$$[t_{a},t_{b}]=if^{abc}t_{c},$$

कहाँ t_i हैं झूठ बीजगणित#जनरेटर और समूह का आयाम। एबेलियन समूह में|एबेलियन (कम्यूटेटिव) समूह (जैसे कि U(1) हम यहां उपयोग करते हैं) जनरेटर के बाद से संरचना स्थिरांक गायब हो जाते हैं t_a सभी एक दूसरे के साथ आवागमन करते हैं। बेशक, यह सामान्य रूप से मामला नहीं है - मानक मॉडल में गैर-एबेलियन शामिल है SU(2) और SU(3) समूह (ऐसे समूह यांग-मिल्स सिद्धांत कहलाते हैं|यांग-मिल्स गेज सिद्धांत)।

हमें प्रत्येक उपसमूह के अनुरूप तीन गेज फ़ील्ड पेश करने की आवश्यकता है SU(3) × SU(2) × U(1).

• ग्लूऑन फ़ील्ड टेंसर को निरूपित किया जाएगा $G_{\mu \nu }^{a}$, जहां सूचकांक a के तत्वों को लेबल करता है 8रंग विशेष एकात्मक समूह का प्रतिनिधित्व|SU(3). मजबूत युग्मन स्थिरांक को पारंपरिक रूप से लेबल किया जाता है g_s (या केवल g जहां कोई अस्पष्टता नहीं है)। मानक मॉडल के इस भाग की खोज के लिए किए गए अवलोकनों पर क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स के लेख में चर्चा की गई है।
• संकेतन $W_{\mu \nu }^{a}$ के गेज फ़ील्ड टेंसर के लिए उपयोग किया जाएगा SU(2) कहाँ a के ऊपर चलता है 3 इस समूह के जनरेटर। युग्मन को निरूपित किया जा सकता है g_w या फिर बस g. गेज फ़ील्ड को इसके द्वारा दर्शाया जाएगा $W_{\mu }^{a}$.
• के लिए गेज फ़ील्ड टेंसर U(1) कमजोर हाइपरचार्ज द्वारा दर्शाया जाएगा B_μν, द्वारा युग्मन g′, और गेज फ़ील्ड द्वारा B_μ.

गतिज शब्द को अब इस प्रकार लिखा जा सकता है

$${\mathcal {L}}_{\rm {kin}}=-{1 \over 4}B_{\mu \nu }B^{\mu \nu }-{1 \over 2}\mathrm {tr} W_{\mu \nu }W^{\mu \nu }-{1 \over 2}\mathrm {tr} G_{\mu \nu }G^{\mu \nu }$$

जहां पर निशान हैं SU(2) और SU(3) सूचकांक छिपे हुए हैं W और G क्रमश। दो-सूचकांक ऑब्जेक्ट फ़ील्ड ताकत से प्राप्त होते हैं W और G वेक्टर फ़ील्ड. दो अतिरिक्त छिपे हुए पैरामीटर भी हैं: थीटा कोण SU(2) और SU(3).

युग्मन शर्तें

अगला कदम गेज फ़ील्ड को फ़र्मियन से जोड़ना है, जिससे परस्पर क्रिया की अनुमति मिलती है।

इलेक्ट्रोवीक सेक्टर

Main article: Electroweak interaction

इलेक्ट्रोवीक सेक्टर समरूपता समूह के साथ इंटरैक्ट करता है U(1) × SU(2)_L, जहां सबस्क्रिप्ट एल केवल बाएं हाथ के फर्मियन के लिए युग्मन को इंगित करता है।

$${\mathcal {L}}_{\mathrm {EW} }=\sum _{\psi }{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\left(i\partial _{\mu }-g^{\prime }{1 \over 2}Y_{\mathrm {W} }B_{\mu }-g{1 \over 2}{\boldsymbol {\tau }}\mathbf {W} _{\mu }\right)\psi$$

कहाँ B_μ है U(1) गेज फ़ील्ड; Y_W कमजोर हाइपरचार्ज (का जनरेटर) है U(1) समूह); W_μ तीन घटक है SU(2) गेज फ़ील्ड; और के घटक τ पॉल के मैट्रिक्स (के अनंतिम जनरेटर) हैं SU(2) समूह) जिनके eigenvalues ​​​​कमजोर आइसोस्पिन देते हैं। ध्यान दें कि हमें एक नए को फिर से परिभाषित करना होगा U(1) कमजोर हाइपरचार्ज की समरूपता, QED से भिन्न, कमजोर बल के साथ एकीकरण प्राप्त करने के लिए। विद्युत आवेश Q, कमजोर आइसोस्पिन का तीसरा घटक T₃ (यह भी कहा जाता है T_z, I₃ या I_z) और कमजोर हाइपरचार्ज Y_W से संबंधित हैं

$$Q=T_{3}+{\tfrac {1}{2}}Y_{\rm {W}},$$

(या वैकल्पिक सम्मलेन द्वारा Q = T₃ + Y_W). इस आलेख में प्रयुक्त पहला सम्मेलन, पहले के गेल-मान-निशिजिमा सूत्र के बराबर है। यह हाइपरचार्ज को किसी दिए गए आइसोमल्टीप्लेट के औसत चार्ज से दोगुना बनाता है।

फिर कोई कमजोर आइसोस्पिन के लिए संरक्षित धारा को इस प्रकार परिभाषित कर सकता है

$$\mathbf {j} _{\mu }={1 \over 2}{\bar {\psi }}_{\rm {L}}\gamma _{\mu }{\boldsymbol {\tau }}\psi _{\rm {L}}$$

और कमजोर हाइपरचार्ज के लिए

$$j_{\mu }^{Y}=2(j_{\mu }^{\rm {em}}-j_{\mu }^{3})~,$$

कहाँ $j_{\mu }^{\rm {em}}$ विद्युत धारा है और $j_{\mu }^{3}$ तीसरा कमजोर आइसोस्पिन करंट। जैसा कि #बोसॉन में समझाया गया है, ये धाराएँ भौतिक रूप से देखे गए बोसॉन बनाने के लिए मिश्रित होती हैं, जिससे युग्मन स्थिरांक के बीच परीक्षण योग्य संबंध भी बनते हैं।

इसे सरल तरीके से समझाने के लिए, हम लैग्रेंजियन से शब्दों को चुनकर इलेक्ट्रोवीक इंटरैक्शन के प्रभाव को देख सकते हैं। हम देखते हैं कि एसयू (2) समरूपता इसमें निहित प्रत्येक (बाएं हाथ के) फर्मियन डबलेट पर कार्य करती है ψ, उदाहरण के लिए

$$-{g \over 2}({\bar {\nu }}_{e}\;{\bar {e}})\tau ^{+}\gamma _{\mu }(W^{+})^{\mu }{\begin{pmatrix}{\nu _{e}}\\e\end{pmatrix}}=-{g \over 2}{\bar {\nu }}_{e}\gamma _{\mu }(W^{+})^{\mu }e$$

जहां कणों को बाएं हाथ का समझा जाता है, और कहां

$$\tau ^{+}\equiv {1 \over 2}(\tau ^{1}{+}i\tau ^{2})={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$$

यह कमजोर आइसोस्पिन स्थान में घूर्णन या दूसरे शब्दों में, के बीच एक परिवर्तन के अनुरूप एक इंटरैक्शन है e_L और ν_eLए के उत्सर्जन के माध्यम से W⁻ बोसोन. वह U(1) दूसरी ओर, समरूपता, विद्युत चुंबकत्व के समान है, लेकिन तटस्थ के माध्यम से सभी कमजोर हाइपरचार्ज फर्मियन (बाएं और दाएं दोनों) पर कार्य करती है Z⁰, साथ ही फोटॉन के माध्यम से आवेशित फर्मियन।

क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स क्षेत्र

Main article: Quantum chromodynamics

क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स (क्यूसीडी) क्षेत्र क्वार्क और ग्लूऑन के बीच बातचीत को परिभाषित करता है SU(3) समरूपता, द्वारा उत्पन्न T_a. चूँकि लेप्टान ग्लूऑन के साथ परस्पर क्रिया नहीं करते हैं, इसलिए वे इस क्षेत्र से प्रभावित नहीं होते हैं। ग्लूऑन क्षेत्रों से जुड़े क्वार्कों का डिराक लैग्रेन्जियन द्वारा दिया गया है

$${\mathcal {L}}_{\mathrm {QCD} }=i{\overline {U}}\left(\partial _{\mu }-ig_{s}G_{\mu }^{a}T^{a}\right)\gamma ^{\mu }U+i{\overline {D}}\left(\partial _{\mu }-ig_{s}G_{\mu }^{a}T^{a}\right)\gamma ^{\mu }D.$$

कहाँ U और D अप और डाउन-प्रकार के क्वार्क से जुड़े डायराक स्पिनर हैं, और अन्य नोटेशन पिछले अनुभाग से जारी हैं।

द्रव्यमान पद और हिग्स तंत्र

मास पद

डिराक लैग्रेंजियन (किसी भी फर्मियन के लिए) से उत्पन्न होने वाला द्रव्यमान शब्द ψ) है $-m{\bar {\psi }}\psi$ जो इलेक्ट्रोवीक समरूपता के तहत अपरिवर्तनीय नहीं है। इसे लिखकर देखा जा सकता है ψ बाएँ और दाएँ हाथ के घटकों के संदर्भ में (वास्तविक गणना को छोड़कर):

$$-m{\bar {\psi }}\psi =-m({\bar {\psi }}_{\rm {L}}\psi _{\rm {R}}+{\bar {\psi }}_{\rm {R}}\psi _{\rm {L}})$$

यानी योगदान से ${\bar {\psi }}_{\rm {L}}\psi _{\rm {L}}$ और ${\bar {\psi }}_{\rm {R}}\psi _{\rm {R}}$ शर्तें प्रकट नहीं होतीं. हम देखते हैं कि द्रव्यमान-उत्पादक अंतःक्रिया कण चिरलिटी के निरंतर फ़्लिपिंग द्वारा प्राप्त की जाती है। स्पिन-आधे कणों के साथ कोई दायां/बायां चिरैलिटी युग्म नहीं है SU(2) निरूपण और समान और विपरीत कमजोर हाइपरचार्ज, इसलिए यह मानते हुए कि ये गेज चार्ज निर्वात में संरक्षित हैं, स्पिन-आधा कणों में से कोई भी कभी भी चिरलिटी को स्वैप नहीं कर सकता है, और द्रव्यमान रहित रहना चाहिए। इसके अतिरिक्त, हम प्रयोगात्मक रूप से जानते हैं कि डब्ल्यू और जेड बोसॉन बड़े पैमाने पर हैं, लेकिन बोसॉन द्रव्यमान शब्द में संयोजन शामिल है जैसे। A^μA_μ, जो स्पष्ट रूप से गेज की पसंद पर निर्भर करता है। इसलिए, कोई भी मानक मॉडल फर्मियन या बोसॉन द्रव्यमान से शुरू नहीं हो सकता है, लेकिन इसे किसी अन्य तंत्र द्वारा प्राप्त करना होगा।

हिग्स तंत्र

Main article: Higgs mechanism

इन दोनों समस्याओं का समाधान हिग्स तंत्र से आता है, जिसमें अदिश क्षेत्र शामिल हैं (जिनकी संख्या हिग्स तंत्र के सटीक रूप पर निर्भर करती है) जो (संक्षिप्त रूप से संभव विवरण देने के लिए) बड़े पैमाने पर बोसॉन द्वारा स्वतंत्रता की डिग्री के रूप में अवशोषित होते हैं, और युकावा युग्मन के माध्यम से फर्मिऑन में कौन सा जोड़ा बड़े पैमाने पर शब्दों की तरह दिखता है।

मानक मॉडल में, हिग्स फ़ील्ड समूह का एक जटिल अदिश क्षेत्र है SU(2)_L:

$$\phi ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\phi ^{+}\\\phi ^{0}\end{pmatrix}},$$

जहां सुपरस्क्रिप्ट + और 0 विद्युत आवेश को इंगित करें (Q) घटकों का. कमजोर हाइपरचार्ज (Y_W) दोनों घटकों का है 1.

लैग्रेन्जियन का हिग्स भाग है

$${\mathcal {L}}_{\rm {H}}=\left[\left(\partial _{\mu }-igW_{\mu }^{a}t^{a}-ig'Y_{\phi }B_{\mu }\right)\phi \right]^{2}+\mu ^{2}\phi ^{\dagger }\phi -\lambda (\phi ^{\dagger }\phi )^{2},$$

कहाँ λ > 0 और μ² > 0, ताकि स्वतःस्फूर्त समरूपता टूटने की क्रियाविधि का उपयोग किया जा सके। यहां एक पैरामीटर है, सबसे पहले क्षमता के आकार के भीतर छिपा हुआ है, जो बहुत महत्वपूर्ण है। यूनिटेरिटी गेज में कोई भी सेट कर सकता है $\phi ^{+}=0$ और बनाओ $\phi ^{0}$ असली। तब $\langle \phi ^{0}\rangle =v$ हिग्स क्षेत्र का गैर-लुप्त होने वाला निर्वात प्रत्याशा मूल्य है। $v$ द्रव्यमान की इकाइयाँ हैं, और यह मानक मॉडल में एकमात्र पैरामीटर है जो आयामहीन नहीं है। यह प्लैंक स्केल से भी बहुत छोटा है और हिग्स द्रव्यमान का लगभग दोगुना है, जो मानक मॉडल में अन्य सभी कणों के द्रव्यमान के लिए पैमाना निर्धारित करता है। मानक मॉडल में छोटे गैर-शून्य मान के लिए यह एकमात्र वास्तविक फाइन-ट्यूनिंग है। द्विघात पदों में W_μ और B_μ उत्पन्न होते हैं, जो W और Z बोसॉन को द्रव्यमान देते हैं:

$${\begin{aligned}M_{\rm {W}}&={\tfrac {1}{2}}vg\\M_{\rm {Z}}&={\tfrac {1}{2}}v{\sqrt {g^{2}+{g'}^{2}}}\end{aligned}}$$

हिग्स बोसोन का द्रव्यमान स्वयं द्वारा दिया गया है ${\textstyle M_{\rm {H}}={\sqrt {2\mu ^{2}}}\equiv {\sqrt {2\lambda v^{2}}}.}$

युकावा इंटरेक्शन

युकावा इंटरेक्शन शर्तें हैं

$${\mathcal {L}}_{\text{Yukawa}}=(Y_{u})_{mn}({\bar {q}}_{L})_{m}{\tilde {\varphi }}(u_{R})_{n}+(Y_{d})_{mn}({\bar {q}}_{L})_{m}\varphi (d_{R})_{n}+(Y_{e})_{mn}({\bar {L}}_{L})_{m}{\tilde {\varphi }}(e_{R})_{n}+\mathrm {h.c.}$$

कहाँ $Y_{u}$, $Y_{d}$, और $Y_{e}$ हैं 3 × 3 युकावा कपलिंग के मैट्रिसेस, के साथ mn पीढ़ियों का युग्मन देने वाला शब्द m और n, और एच.सी. इसका अर्थ पूर्ववर्ती पदों का हर्मिटियन संयुग्म है। मैदान $q_{L}$ और $L_{L}$ बाएं हाथ के क्वार्क और लेप्टान युगल हैं। वैसे ही, $u_{R},d_{R}$ और $e_{R}$ दाएं हाथ के अप-प्रकार क्वार्क, डाउन-प्रकार क्वार्क और लेप्टान सिंगलेट हैं। अंत में $\varphi$ हिग्स डबलट है और ${\tilde {\varphi }}=i\tau _{2}\varphi ^{*}$

न्यूट्रिनो द्रव्यमान

जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, साक्ष्य से पता चलता है कि न्यूट्रिनो का द्रव्यमान होना चाहिए। लेकिन मानक मॉडल के भीतर, दाएं हाथ के न्यूट्रिनो मौजूद नहीं हैं, इसलिए युकावा युग्मन के साथ भी न्यूट्रिनो द्रव्यमान रहित रहते हैं। एक स्पष्ट समाधान बस दाएं हाथ के न्यूट्रिनो को जोड़ना है ν_R, जिसके लिए युकावा क्षेत्र में एक नया डिराक मास शब्द जोड़ने की आवश्यकता है:

$${\mathcal {L}}_{\nu }^{\text{Dir}}=(Y_{\nu })_{mn}({\bar {L}}_{L})_{m}\varphi (\nu _{R})_{n}+\mathrm {h.c.}$$

हालाँकि यह क्षेत्र एक बाँझ न्यूट्रिनो होना चाहिए, क्योंकि दाएँ हाथ से होने के कारण यह प्रयोगात्मक रूप से एक आइसोस्पिन सिंगलेट से संबंधित है (T₃ = 0) और चार्ज भी है Q = 0, तात्पर्य Y_W = 0 (देखें #इलेक्ट्रोवीक_सेक्टर) यानी यह कमजोर इंटरैक्शन में भी भाग नहीं लेता है। बाँझ न्यूट्रिनो के लिए प्रायोगिक साक्ष्य वर्तमान में अनिर्णायक हैं। विचार करने की एक और संभावना यह है कि न्यूट्रिनो मेजराना समीकरण को संतुष्ट करता है, जो पहली बार में इसके शून्य विद्युत आवेश के कारण संभव लगता है। इस मामले में युकावा सेक्टर में एक नया मेजराना मास शब्द जोड़ा गया है:

$${\mathcal {L}}_{\nu }^{\text{Maj}}=-{\frac {1}{2}}m\left({\overline {\nu }}^{C}\nu +{\overline {\nu }}\nu ^{C}\right)$$

कहाँ C एक आवेश संयुग्मित (अर्थात विरोधी) कण को ​​दर्शाता है, और $\nu$ शब्द लगातार सभी बाएं (या सभी दाएं) चिरैलिटी हैं (ध्यान दें कि एक एंटीपार्टिकल का बाएं-चिरालिटी प्रक्षेपण एक दाएं हाथ का क्षेत्र है; कभी-कभी उपयोग किए जाने वाले विभिन्न नोटेशन के कारण यहां सावधानी बरतनी चाहिए)। यहां हम अनिवार्य रूप से बाएं हाथ के न्यूट्रिनो और दाएं हाथ के एंटी-न्यूट्रिनो के बीच फ़्लिप कर रहे हैं (यह भी संभव है लेकिन आवश्यक नहीं है कि न्यूट्रिनो अपने स्वयं के एंटीपार्टिकल हैं, इसलिए ये कण समान हैं)। हालाँकि, बाएं-चिरैलिटी न्यूट्रिनो के लिए, यह शब्द कमजोर हाइपरचार्ज को 2 इकाइयों से बदल देता है - मानक हिग्स इंटरैक्शन के साथ संभव नहीं है, कमजोर हाइपरचार्ज के साथ एक अतिरिक्त ट्रिपलेट को शामिल करने के लिए हिग्स फ़ील्ड को विस्तारित करने की आवश्यकता होती है = 2- जबकि राइट-चिरैलिटी न्यूट्रिनो के लिए, कोई हिग्स एक्सटेंशन आवश्यक नहीं है। बाएँ और दाएँ चिरैलिटी दोनों मामलों के लिए, मेजराना शब्द लेप्टन संख्या का उल्लंघन करते हैं, लेकिन संभवतः ऐसे उल्लंघनों का पता लगाने के लिए प्रयोगों की वर्तमान संवेदनशीलता से परे एक स्तर पर।

डिराक और मेजराना दोनों द्रव्यमान शब्दों को एक ही सिद्धांत में शामिल करना संभव है, जो (डिराक-द्रव्यमान-केवल दृष्टिकोण के विपरीत) सही को जोड़कर, देखे गए न्यूट्रिनो द्रव्यमान की लघुता के लिए "प्राकृतिक" स्पष्टीकरण प्रदान कर सकता है। GUT पैमाने के आसपास न्यूट्रिनो को अभी तक अज्ञात भौतिकी को सौंप दिया (सीसॉ तंत्र देखें)।

चूँकि किसी भी स्थिति में प्रयोगात्मक परिणामों को समझाने के लिए नए क्षेत्रों को निर्धारित किया जाना चाहिए, न्यूट्रिनो मानक मॉडल से परे भौतिकी की खोज के लिए एक स्पष्ट प्रवेश द्वार है।

विस्तृत जानकारी

यह अनुभाग कुछ पहलुओं और कुछ संदर्भ सामग्री पर अधिक विवरण प्रदान करता है। स्पष्ट लैग्रेन्जियन शब्द भी इलेक्ट्रोवीक इंटरेक्शन # इलेक्ट्रोवीक समरूपता तोड़ने के बाद प्रदान किए जाते हैं।

फ़ील्ड सामग्री विस्तार से

मानक मॉडल में निम्नलिखित फ़ील्ड हैं। ये लेप्टान और क्वार्क की एक पीढ़ी का वर्णन करते हैं, और तीन पीढ़ियाँ हैं, इसलिए प्रत्येक फर्मिओनिक क्षेत्र की तीन प्रतियां हैं। सीपीटी समरूपता द्वारा, विपरीत समता और आवेशों के साथ फ़र्मियन और एंटीफ़र्मियन का एक सेट होता है। यदि बाएं हाथ का फर्मियन कुछ प्रतिनिधित्व को फैलाता है तो इसका एंटीपार्टिकल (दाएं हाथ का एंटीफर्मियन) दोहरे प्रतिनिधित्व को फैलाता है (ध्यान दें कि ${\bar {\mathbf {2} }}={\mathbf {2} }$ एसयू(2) के लिए, क्योंकि यह छद्म-वास्तविक है)। स्तंभ प्रतिनिधित्व इंगित करता है कि गेज समूहों के किस प्रतिनिधित्व सिद्धांत के तहत प्रत्येक क्षेत्र क्रम में बदलता है (एसयू (3), एसयू (2), यू (1)) और यू (1) समूह के लिए, कमजोर का मूल्य हाइपरचार्ज सूचीबद्ध है। प्रत्येक पीढ़ी में दाएं हाथ के लेप्टान क्षेत्र घटकों की तुलना में बाएं हाथ के लेप्टान क्षेत्र घटकों की संख्या दोगुनी है, लेकिन बाएं हाथ के क्वार्क और दाएं हाथ के क्वार्क क्षेत्र घटकों की संख्या बराबर है।

Field content of the standard model
Spin 1 – the gauge fields
Symbol	Associated charge	Group	Coupling	Representation
$B$	Weak hypercharge	U(1)Y	$g'$ or $g_{1}$	$(\mathbf {1} ,\mathbf {1} ,0)$
$W$	Weak isospin	SU(2)L	$g_{w}$ or $g_{2}$	$(\mathbf {1} ,\mathbf {3} ,0)$
$G$	colour	SU(3)C	$g_{s}$ or $g_{3}$	$(\mathbf {8} ,\mathbf {1} ,0)$
Spin 1⁄2 – the fermions
Symbol	Name	Baryon number	Lepton number	Representation
$q_{\rm {L}}$	Left-handed quark	$\textstyle {\frac {1}{3}}$	$0$	$(\mathbf {3} ,\mathbf {2} ,\textstyle {\frac {1}{3}})$
$u_{\rm {R}}$	Right-handed quark (up)	$\textstyle {\frac {1}{3}}$	$0$	$({\mathbf {3} },\mathbf {1} ,\textstyle {\frac {4}{3}})$
$d_{\rm {R}}$	Right-handed quark (down)	$\textstyle {\frac {1}{3}}$	$0$	$({\mathbf {3} },\mathbf {1} ,-\textstyle {\frac {2}{3}})$
$\ell _{\rm {L}}$	Left-handed lepton	$0$	$1$	$(\mathbf {1} ,\mathbf {2} ,-1)$
$\ell _{\rm {R}}$	Right-handed lepton	$0$	$1$	$(\mathbf {1} ,\mathbf {1} ,-2)$
Spin 0 – the scalar boson
Symbol	Name	Representation
$H$	Higgs boson	$(\mathbf {1} ,\mathbf {2} ,1)$

फर्मिअन सामग्री

यह तालिका आंशिक रूप से कण डेटा समूह द्वारा एकत्र किए गए डेटा पर आधारित है।

Left-handed fermions in the Standard Model
Generation 1
Fermion (left-handed)	Symbol	Electric charge	Weak isospin	Weak hypercharge	Color charge	Mass
Electron	e−	$-1$	$-{\tfrac {1}{2}}$	$-1$	$\mathbf {1}$	511 keV
Positron	e+	$+1$	$~\ 0$	$+2$	$\mathbf {1}$	511 keV
Electron neutrino	ν e	$~\ 0$	$+{\tfrac {1}{2}}$	$-1$	$\mathbf {1}$	< 0.28 eV
Electron antineutrino	ν e	$~\ 0$	$~\ 0$	$~\ 0$	$\mathbf {1}$	< 0.28 eV
Up quark	u	$+{\tfrac {2}{3}}$	$+{\tfrac {1}{2}}$	$+{\tfrac {1}{3}}$	$\mathbf {3}$	~ 3 MeV
Up antiquark	u	$-{\tfrac {2}{3}}$	$~\ 0$	$-{\tfrac {4}{3}}$	$\mathbf {\bar {3}}$	~ 3 MeV
Down quark	d	$-{\tfrac {1}{3}}$	$-{\tfrac {1}{2}}$	$+{\tfrac {1}{3}}$	$\mathbf {3}$	~ 6 MeV
Down antiquark	d	$+{\tfrac {1}{3}}$	$~\ 0$	$+{\tfrac {2}{3}}$	$\mathbf {\bar {3}}$	~ 6 MeV
Generation 2
Fermion (left-handed)	Symbol	Electric charge	Weak isospin	Weak hypercharge	Color charge	Mass
Muon	μ−	$-1$	$-{\tfrac {1}{2}}$	$-1$	$\mathbf {1}$	106 MeV
Antimuon	μ+	$+1$	$~\ 0$	$+2$	$\mathbf {1}$	106 MeV
Muon neutrino	ν μ	$~0$	$+{\tfrac {1}{2}}$	$-1$	$\mathbf {1}$	< 0.28 eV
Muon antineutrino	ν μ	$~\ 0$	$~\ 0$	$~\ 0$	$\mathbf {1}$	< 0.28 eV
Charm quark	c	$+{\tfrac {2}{3}}$	$+{\tfrac {1}{2}}$	$+{\tfrac {1}{3}}$	$\mathbf {3}$	~ 1.3 GeV
Charm antiquark	c	$-{\tfrac {2}{3}}$	$~\ 0$	$-{\tfrac {4}{3}}$	$\mathbf {\bar {3}}$	~ 1.3 GeV
Strange quark	s	$-{\tfrac {1}{3}}$	$-{\tfrac {1}{2}}$	$+{\tfrac {1}{3}}$	$\mathbf {3}$	~ 100 MeV
Strange antiquark	s	$+{\tfrac {1}{3}}$	$~\ 0$	$+{\tfrac {2}{3}}$	$\mathbf {\bar {3}}$	~ 100 MeV
Generation 3
Fermion (left-handed)	Symbol	Electric charge	Weak isospin	Weak hypercharge	Color charge	Mass
Tau	τ−	$-1$	$-{\tfrac {1}{2}}$	$-1$	$\mathbf {1}$	1.78 GeV
Antitau	τ+	$+1$	$~\ 0$	$+2$	$\mathbf {1}$	1.78 GeV
Tau neutrino	ν τ	$~\ 0$	$+{\tfrac {1}{2}}$	$-1$	$\mathbf {1}$	< 0.28 eV
Tau antineutrino	ν τ	$~\ 0$	$~\ 0$	$~\ 0$	$\mathbf {1}$	< 0.28 eV
Top quark	t	$+{\tfrac {2}{3}}$	$+{\tfrac {1}{2}}$	$+{\tfrac {1}{3}}$	$\mathbf {3}$	171 GeV
Top antiquark	t	$-{\tfrac {2}{3}}$	$~\ 0$	$-{\tfrac {4}{3}}$	$\mathbf {\bar {3}}$	171 GeV
Bottom quark	b	$-{\tfrac {1}{3}}$	$-{\tfrac {1}{2}}$	$+{\tfrac {1}{3}}$	$\mathbf {3}$	~ 4.2 GeV
Bottom antiquark	b	$+{\tfrac {1}{3}}$	$~\ 0$	$+{\tfrac {2}{3}}$	$\mathbf {\bar {3}}$	~ 4.2 GeV

निःशुल्क पैरामीटर

द्रव्यमान रहित न्यूट्रिनो के साथ सबसे सामान्य लैग्रेंजियन लिखने पर, कोई पाता है कि गतिशीलता 19 मापदंडों पर निर्भर करती है, जिनके संख्यात्मक मान प्रयोग द्वारा स्थापित किए जाते हैं। विशाल न्यूट्रिनो के साथ मानक मॉडल के सीधे विस्तार के लिए कुल 26 मापदंडों के लिए 7 और मापदंडों (3 द्रव्यमान और 4 पीएमएनएस मैट्रिक्स पैरामीटर) की आवश्यकता होती है। न्यूट्रिनो पैरामीटर मान अभी भी अनिश्चित हैं। 19 निश्चित मापदंडों को यहां संक्षेप में प्रस्तुत किया गया है।

Parameters of the Standard Model
Symbol	Description	Renormalization scheme (point)	Value	Experimental uncertainty
me	Electron mass		510.9989461 keV	±3.1 meV
mμ	Muon mass		105.6583745 MeV	±2.4 eV
mτ	Tau mass		1.77686 GeV	±0.12 MeV
mu	Up quark mass	μMS = 2 GeV	2.16 MeV	+0.49 −0.26 MeV
md	Down quark mass	μMS = 2 GeV	4.67 MeV	+0.48 −0.17 MeV
ms	Strange quark mass	μMS = 2 GeV	93.4 MeV	+8.6 −3.4 MeV
mc	Charm quark mass	μMS = mc	1.27 GeV	±0.02 GeV
mb	Bottom quark mass	μMS = mb	4.18 GeV	+0.03 −0.02 GeV
mt	Top quark mass	On-shell scheme	172.69 GeV	±0.30 GeV
θ12	CKM 12-mixing angle		13.1°
θ23	CKM 23-mixing angle		2.4°
θ13	CKM 13-mixing angle		0.2°
δ	CKM CP-violating Phase		0.995
g1 or g'	U(1) gauge coupling	μMS = mZ	0.357
g2 or g	SU(2) gauge coupling	μMS = mZ	0.652
g3 or gs	SU(3) gauge coupling	μMS = mZ	1.221
θQCD	QCD vacuum angle		~0
v	Higgs vacuum expectation value		246.2196 GeV	±0.2 MeV
mH	Higgs mass		125.18 GeV	±0.16 GeV

मुक्त मापदंडों का चुनाव कुछ हद तक मनमाना है। उपरोक्त तालिका में, गेज कपलिंग को मुफ़्त पैरामीटर के रूप में सूचीबद्ध किया गया है, इसलिए इस विकल्प के साथ वेनबर्ग कोण एक मुफ़्त पैरामीटर नहीं है - इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है $\tan \theta _{\rm {W}}={\frac {g_{1}}{g_{2}}}$. इसी प्रकार, QED की सूक्ष्म संरचना स्थिरांक है $\alpha ={\frac {1}{4\pi }}{\frac {(g_{1}g_{2})^{2}}{g_{1}^{2}+g_{2}^{2}}}$. फर्मियन द्रव्यमान के बजाय, आयाम रहित युकावा कपलिंग को मुक्त पैरामीटर के रूप में चुना जा सकता है। उदाहरण के लिए, इलेक्ट्रॉन द्रव्यमान हिग्स क्षेत्र में इलेक्ट्रॉन के युकावा युग्मन पर निर्भर करता है, और इसका मूल्य है $m_{\rm {e}}={\frac {y_{\rm {e}}}{\sqrt {2}}}v$. हिग्स द्रव्यमान के बजाय, हिग्स स्व-युग्मन शक्ति $\lambda ={\frac {m_{\rm {H}}^{2}}{2v^{2}}}$, जो लगभग 0.129 है, को एक निःशुल्क पैरामीटर के रूप में चुना जा सकता है। हिग्स वैक्यूम अपेक्षा मूल्य के बजाय, $\mu ^{2}$ हिग्स सेल्फ-इंटरैक्शन टर्म से सीधे पैरामीटर $\mu ^{2}\phi ^{\dagger }\phi -\lambda (\phi ^{\dagger }\phi )^{2}$ चुना जा सकता है. इसका मूल्य है $\mu ^{2}=\lambda v^{2}={\frac {m_{\rm {H}}^{2}}{2}}$, या लगभग $\mu =88.45$ GeV.

निर्वात ऊर्जा का मान (या अधिक सटीक रूप से, इस ऊर्जा की गणना करने के लिए उपयोग किया जाने वाला पुनर्सामान्यीकरण पैमाना) को एक अतिरिक्त मुक्त पैरामीटर के रूप में भी माना जा सकता है। पुनर्सामान्यीकरण पैमाने को प्लैंक स्केल से पहचाना जा सकता है या प्रेक्षित ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक से मेल खाने के लिए इसे ठीक किया जा सकता है। हालाँकि, दोनों विकल्प ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक समस्या हैं।

मानक मॉडल की अतिरिक्त समरूपता

सैद्धांतिक दृष्टिकोण से, मानक मॉडल चार अतिरिक्त वैश्विक समरूपता प्रदर्शित करता है, जो इसके निर्माण की शुरुआत में नहीं बताई गई है, सामूहिक रूप से आकस्मिक समरूपता को दर्शाया गया है, जो निरंतर यू (1) वैश्विक समरूपता है। लैग्रेन्जियन अपरिवर्तनीय को छोड़ने वाले परिवर्तन हैं:

$$\psi _{\text{q}}(x)\to e^{i\alpha /3}\psi _{\text{q}}$$

$$E_{\rm {L}}\to e^{i\beta }E_{\rm {L}}{\text{ and }}(e_{\rm {R}})^{c}\to e^{i\beta }(e_{\rm {R}})^{c}$$

$$M_{\rm {L}}\to e^{i\beta }M_{\rm {L}}{\text{ and }}(\mu _{\rm {R}})^{c}\to e^{i\beta }(\mu _{\rm {R}})^{c}$$

$$T_{\rm {L}}\to e^{i\beta }T_{\rm {L}}{\text{ and }}(\tau _{\rm {R}})^{c}\to e^{i\beta }(\tau _{\rm {R}})^{c}$$

पहला परिवर्तन नियम आशुलिपि है जिसका अर्थ है कि सभी पीढ़ियों के लिए सभी क्वार्क क्षेत्रों को एक समान चरण द्वारा एक साथ घुमाया जाना चाहिए। मैदान M_L, T_L और $(\mu _{\rm {R}})^{c},(\tau _{\rm {R}})^{c}$ की दूसरी (मुऑन) और तीसरी (ताऊ) पीढ़ी के एनालॉग हैं E_L और $(e_{\rm {R}})^{c}$ खेत।

नोएथर के प्रमेय के अनुसार, उपरोक्त प्रत्येक समरूपता से संबंधित संरक्षण कानून (भौतिकी) है: बेरिऑन संख्या का संरक्षण, लेप्टान संख्या, लेप्टान संख्या, और लेप्टान संख्या। प्रत्येक क्वार्क को एक बेरिऑन संख्या दी गई है ${\textstyle {\frac {1}{3}}}$, जबकि प्रत्येक एंटीक्वार्क को एक बेरिऑन संख्या दी गई है ${\textstyle -{\frac {1}{3}}}$. बेरिऑन संख्या के संरक्षण का अर्थ है कि क्वार्कों की संख्या घटाकर एंटीक्वार्कों की संख्या एक स्थिरांक है। प्रायोगिक सीमा के भीतर, इस संरक्षण कानून का कोई उल्लंघन नहीं पाया गया है।

इसी तरह, प्रत्येक इलेक्ट्रॉन और उससे जुड़े न्यूट्रिनो को +1 का इलेक्ट्रॉन नंबर दिया जाता है, जबकि पॉज़िट्रॉन|एंटी-इलेक्ट्रॉन और संबंधित एंटी-न्यूट्रिनो को -1 इलेक्ट्रॉन नंबर दिया जाता है। इसी प्रकार, म्यूऑन और उनके न्यूट्रिनो को +1 की म्यूऑन संख्या दी गई है और टाउ लेप्टान को +1 की ताउ लेप्टान संख्या दी गई है। मानक मॉडल भविष्यवाणी करता है कि इन तीन संख्याओं में से प्रत्येक को उसी तरह से अलग-अलग संरक्षित किया जाना चाहिए जिस तरह से बैरियन संख्या को संरक्षित किया जाता है। इन संख्याओं को सामूहिक रूप से लेप्टान परिवार संख्या (एलएफ) के रूप में जाना जाता है। (यह परिणाम मानक मॉडल में की गई धारणा पर निर्भर करता है कि न्यूट्रिनो द्रव्यमान रहित हैं। प्रयोगात्मक रूप से, न्यूट्रिनो दोलन दर्शाते हैं कि व्यक्तिगत इलेक्ट्रॉन, म्यूऑन और ताऊ संख्याएं संरक्षित नहीं हैं।) ऊपर वर्णित आकस्मिक (लेकिन सटीक) समरूपता के अलावा, मानक मॉडल कई कण भौतिकी और प्रतिनिधित्व सिद्धांत#अनुमानित समरूपता प्रदर्शित करता है। ये हैं SU(2) संरक्षक समरूपता और SU(2) या SU(3) क्वार्क स्वाद समरूपता।

Symmetries of the Standard Model and associated conservation laws
Symmetry	Lie group	Symmetry Type	Conservation law
Poincaré	Translations⋊SO(3,1)	Global symmetry	Energy, Momentum, Angular momentum
Gauge	SU(3)×SU(2)×U(1)	Local symmetry	Color charge, Weak isospin, Electric charge, Weak hypercharge
Baryon phase	U(1)	Accidental Global symmetry	Baryon number
Electron phase	U(1)	Accidental Global symmetry	Electron number
Muon phase	U(1)	Accidental Global symmetry	Muon number
Tau phase	U(1)	Accidental Global symmetry	Tau number

यू(1) समरूपता

लेप्टान के लिए गेज समूह लिखा जा सकता है SU(2)_l × U(1)_L × U(1)_R. दो U(1) कारकों को जोड़ा जा सकता है U(1)_Y × U(1)_l जहां एल लेप्टान संख्या है। लेप्टान संख्या की गेजिंग को प्रयोग द्वारा खारिज कर दिया जाता है, केवल संभावित गेज समूह को छोड़ दिया जाता है SU(2)_L × U(1)_Y. क्वार्क क्षेत्र में एक समान तर्क इलेक्ट्रोवीक सिद्धांत के लिए भी समान परिणाम देता है।

आवेशित और तटस्थ धारा कपलिंग और फर्मी सिद्धांत

आवेशित धाराएँ $j^{\mp }=j^{1}\pm ij^{2}$ हैं

$$j_{\mu }^{-}={\overline {U}}_{i\mathrm {L} }\gamma _{\mu }D_{i\mathrm {L} }+{\overline {\nu }}_{i\mathrm {L} }\gamma _{\mu }l_{i\mathrm {L} }.$$

ये आवेशित धाराएँ बिल्कुल वही हैं जो बीटा क्षय के फर्मी सिद्धांत में दर्ज हुई थीं। क्रिया में चार्ज करंट टुकड़ा शामिल है

$${\mathcal {L}}_{\rm {CC}}={\frac {g}{\sqrt {2}}}(j_{\mu }^{+}W^{-\mu }+j_{\mu }^{-}W^{+\mu }).$$

डब्ल्यू-बोसोन के द्रव्यमान से बहुत कम ऊर्जा के लिए, प्रभावी सिद्धांत फर्मी की अन्योन्यक्रिया की वर्तमान-वर्तमान संपर्क अंतःक्रिया बन जाता है, $2{\sqrt {2}}G_{\rm {F}}~~J_{\mu }^{+}J^{\mu ~~-}$.

हालाँकि, गेज इनवेरिएंस के लिए अब उस घटक की आवश्यकता है $W^{3}$ गेज क्षेत्र को भी एक धारा से जोड़ा जाना चाहिए जो SU(2) के त्रिक में निहित है। हालाँकि, यह यू(1) के साथ मिश्रित होता है, और उस क्षेत्र में एक और धारा की आवश्यकता होती है। आवेश को संरक्षित करने के लिए इन धाराओं को अनावेशित किया जाना चाहिए। अत: तटस्थ धाराओं की भी आवश्यकता है,

 
$$j_{\mu }^{3}={\frac {1}{2}}\left({\overline {U}}_{i\mathrm {L} }\gamma _{\mu }U_{i\mathrm {L} }-{\overline {D}}_{i\mathrm {L} }\gamma _{\mu }D_{i\mathrm {L} }+{\overline {\nu }}_{i\mathrm {L} }\gamma _{\mu }\nu _{i\mathrm {L} }-{\overline {l}}_{i\mathrm {L} }\gamma _{\mu }l_{i\mathrm {L} }\right)$$

$$j_{\mu }^{\rm {em}}={\frac {2}{3}}{\overline {U}}_{i}\gamma _{\mu }U_{i}-{\frac {1}{3}}{\overline {D}}_{i}\gamma _{\mu }D_{i}-{\overline {l}}_{i}\gamma _{\mu }l_{i}.$$

लैग्रेन्जियन में तटस्थ वर्तमान टुकड़ा तब है

$${\mathcal {L}}_{\rm {NC}}=ej_{\mu }^{\rm {em}}A^{\mu }+{\frac {g}{\cos \theta _{\rm {W}}}}(J_{\mu }^{3}-\sin ^{2}\theta _{\rm {W}}J_{\mu }^{\rm {em}})Z^{\mu }.$$

यह भी देखें

• कण भौतिकी के मानक मॉडल का अवलोकन
• मौलिक अंतःक्रिया
• गैर-अनुवांशिक मानक मॉडल
• खुले प्रश्न: सीपी उल्लंघन, न्यूट्रिनो, क्यूसीडी मामला
• मानक मॉडल से परे भौतिकी
• मजबूत बातचीत
  • स्वाद (कण भौतिकी)
  • क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स
  • क्वार्क मॉडल
• कमजोर बातचीत
  • इलेक्ट्रोवीक इंटरेक्शन
  • फर्मी की बातचीत
• वेनबर्ग कोण
• क्वांटम यांत्रिकी में समरूपता
• ए. ज़ी द्वारा संक्षेप में क्वांटम फ़ील्ड सिद्धांत

संदर्भ और बाहरी लिंक

• क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत का परिचय, एम.ई. पेस्किन और डी.वी. द्वारा। श्रोएडर (हार्पर कॉलिन्स, 1995) ISBN 0-201-50397-2.
• प्रारंभिक कण भौतिकी का गेज सिद्धांत, टी.पी. द्वारा। चेंग और एल.एफ. ली (ऑक्सफोर्ड यूनिवर्सिटी प्रेस, 1982) ISBN 0-19-851961-3.
• स्पष्ट हिग्स शर्तों के साथ मानक मॉडल लैग्रेंजियन (टी.डी. गुटिरेज़, सीए 1999) (पीडीएफ, पोस्टस्क्रिप्ट, और लाटेक्स संस्करण)
• फील्ड्स का क्वांटम सिद्धांत (खंड 2), एस. वेनबर्ग द्वारा (कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस, 1996) ISBN 0-521-55002-5.
• क्वांटम फील्ड थ्योरी संक्षेप में (दूसरा संस्करण), ए. ज़ी द्वारा (प्रिंसटन यूनिवर्सिटी प्रेस, 2010) ISBN 978-1-4008-3532-4.
• आर. मान द्वारा कण भौतिकी और मानक मॉडल का एक परिचय (सीआरसी प्रेस, 2010) ISBN 978-1420082982
• फिजिक्स फ्रॉम सिमिट्री जे. श्विटेनबर्ग द्वारा (स्प्रिंगर, 2015) ISBN 3319192000. विशेषकर पृष्ठ 86

श्रेणी:मानक मॉडल श्रेणी:इलेक्ट्रोवीक सिद्धांत