गेल-मान मैट्रिसेस: Difference between revisions

Latest revision as of 22:24, 5 December 2023

मुर्रे गेल-मैन द्वारा विकसित गेल-मैन मैट्रिसेस, कण भौतिकी में प्रबल अन्योन्य क्रिया के अध्ययन में उपयोग किए जाने वाले आठ रेखीयस्वतंत्र 3×3 आव्यूह ट्रेस हर्मिटियन मैट्रिसेस का एक सेट है। वे परिभाषित प्रतिनिधित्व में SU(3) समूह के लाई बीजगणित का विस्तार करते हैं।

मैट्रिसेस

$\lambda _{1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$
$\lambda _{4}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{5}={\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}}$
$\lambda _{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}.$

गुण

ये आव्यूह ट्रेसलेस, हर्मिटियन आव्यूह हैं, और अतिरिक्त ट्रेस ऑर्थोनॉर्मलिटी रिलेशन का पालन करते हैं (जिससे कि वे घातांक के माध्यम से SU(3) के ऐकिक आव्यूह समूह तत्वों को उत्पन्न कर सकें)।^[1] इन गुणों को गेल-मैन द्वारा चुना गया था क्योंकि वे तब स्वाभाविक रूप से SU(2) से SU(3) के लिए पाउली आव्यूह को सामान्यीकृत करते थे, जिसने गेल-मैन के क्वार्क मॉडल का आधार बनाया था।^[2] गेल-मैन का सामान्यीकरण आगे सामान्य SU(n) तक फैला हुआ है। लाई बीजगणित के मानक आधार से उनके संबंध के लिए, वेइल-कार्टन आधार देखें।

ट्रेस ऑर्थोनोर्मैलिटी

गणित में, ऑर्थोनोर्मैलिटी का तात्पर्य सामान्यतः एक मानदंड से होता है जिसका मान इकाई (1) होता है। चूंकि, गेल-मैन मैट्रिसेस को 2 के मान पर सामान्यीकृत किया जाता है। इस प्रकार, युग्‍मानूसार उत्पाद के ट्रेस (रैखिक बीजगणित) के परिणामस्वरूप ऑर्थो-नॉर्मलाइज़ेशन की स्थिति होती है

\operatorname {tr} (\lambda _{i}\lambda _{j})=2\delta _{ij},

जहाँ $\delta _{ij}$ क्रोनकर डेल्टा है।

ऐसा इसलिए है कि SU(2) के तीन अंत:स्थापित उपबीजगणित के अनुरूप अंत:स्थापित पाउली मैट्रिसेस पारंपरिक रूप से सामान्यीकृत हैं। इस त्रि-आयामी आव्यूह प्रतिनिधित्व में, कार्टन उपबीजगणित दो आव्यूह के रैखिक संयोजन (वास्तविक गुणांक के साथ) का सेट है $\lambda _{3}$ और $\lambda _{8}$ , जो एक दूसरे के साथ आवागमन करते हैं।

तीन महत्वपूर्ण SU(2) उपबीजगणित हैं:

$\{\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\}$
$\{\lambda _{4},\lambda _{5},x\},$ और
$\{\lambda _{6},\lambda _{7},y\},$

जहां $x$ और $y$ , $\lambda _{3}$ और $\lambda _{8}$ के रैखिक संयोजन हैं। इन उपबीजगणित के SU(2) कासिमिर परस्पर विनिमय करते हैं।

चूंकि, इन उपबीजगणितों के किसी भी एकात्मक समानता परिवर्तन से SU(2) उपबीजगणित प्राप्त होंगे। ऐसे परिवर्तनों की संख्या अनगिनत है।

संपरिवर्तन संबंध

SU(3) के 8 जनरेटर कम्यूटेशन और एंटी-कम्यूटेशन संबंधों को पूर्ति करते हैं^[3]

{\begin{aligned}\left[\lambda _{a},\lambda _{b}\right]&=2i\sum _{c}f^{abc}\lambda _{c},\\\{\lambda _{a},\lambda _{b}\}&={\frac {4}{3}}\delta _{ab}I+2\sum _{c}d^{abc}\lambda _{c},\end{aligned}}

संरचना स्थिरांक के साथ

{\begin{aligned}f^{abc}&=-{\frac {1}{4}}i\operatorname {tr} (\lambda _{a}[\lambda _{b},\lambda _{c}]),\\d^{abc}&={\frac {1}{4}}\operatorname {tr} (\lambda _{a}\{\lambda _{b},\lambda _{c}\}).\end{aligned}}

संरचना स्थिरांक $f^{abc}$ तीन सूचकांकों में पूरी तरह से प्रतिसममित हैं, जो $SU (2)$ के लेवी-सिविटा प्रतीक $\epsilon _{jkl}$ की प्रतिसममित को सामान्य बनाते हैं। गेल-मैन मैट्रिसेस के वर्तमान क्रम के लिए वे मान लेते हैं

f^{123}=1\ ,\quad f^{147}=f^{165}=f^{246}=f^{257}=f^{345}=f^{376}={\frac {1}{2}}\ ,\quad f^{458}=f^{678}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\ .

सामान्य तौर पर, वे शून्य का मूल्यांकन करते हैं, जब तक कि उनमें प्रतिसममित (काल्पनिक) $λ$ s के अनुरूप सेट {2,5,7} से सूचकांकों की एक विषम गिनती न हो।

इन कम्यूटेशन संबंधों का उपयोग करते हुए, गेल-मैन मैट्रिसेस के उत्पाद को इस प्रकार लिखा जा सकता है

\lambda _{a}\lambda _{b}={\frac {1}{2}}([\lambda _{a},\lambda _{b}]+\{\lambda _{a},\lambda _{b}\})={\frac {2}{3}}\delta _{ab}I+\sum _{c}\left(d^{abc}+if^{abc}\right)\lambda _{c},

जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है.

फिर्ज़ पूर्णता संबंध

चूँकि आठ आव्यूह और तत्समक सभी 3×3 आव्यूहों में फैला हुआ पूर्ण ट्रेस-ऑर्थोगोनल सेट है, इसलिए दो फ़िएर्ज़ पूर्णता संबंध, (ली और चेंग, 4.134) प्राप्त करना आसान है, जो पाउली आव्यूहों के अनुरूप है। अर्थात्, आठ आव्यूहों का योग करने के लिए बिंदु का उपयोग करना और उनकी पंक्ति/स्तंभ सूचकांकों के लिए ग्रीक सूचकांकों का उपयोग करना, निम्नलिखित तत्समक रखता है,

\delta _{\beta }^{\alpha }\delta _{\delta }^{\gamma }={\frac {1}{3}}\delta _{\delta }^{\alpha }\delta _{\beta }^{\gamma }+{\frac {1}{2}}\lambda _{\delta }^{\alpha }\cdot \lambda _{\beta }^{\gamma }

और

\lambda _{\beta }^{\alpha }\cdot \lambda _{\delta }^{\gamma }={\frac {16}{9}}\delta _{\delta }^{\alpha }\delta _{\beta }^{\gamma }-{\frac {1}{3}}\lambda _{\delta }^{\alpha }\cdot \lambda _{\beta }^{\gamma }~.

उपरोक्त के रैखिक संयोजन से उत्पन्न पुनर्रचना संस्करण को कोई वरीयता दे सकता है,

\lambda _{\beta }^{\alpha }\cdot \lambda _{\delta }^{\gamma }=2\delta _{\delta }^{\alpha }\delta _{\beta }^{\gamma }-{\frac {2}{3}}\delta _{\beta }^{\alpha }\delta _{\delta }^{\gamma }~.

प्रतिनिधित्व सिद्धांत

आव्यूह की एक विशेष पसंद को समूह प्रतिनिधित्व कहा जाता है, क्योंकि SU(3) के किसी भी तत्व को आइंस्टीन संकेतन का उपयोग करके फॉर्म $\mathrm {exp} (i\theta ^{j}g_{j})$ में लिखा जा सकता है, जहां आठ $\theta ^{j}$ वास्तविक संख्याएँ हैं और सूचकांक $j$ पर एक योग निहित है। एक प्रतिनिधित्व को देखते हुए, समतुल्य एक यादृच्छिक एकात्मक समानता परिवर्तन द्वारा प्राप्त किया जा सकता है, क्योंकि इससे क्रमविनिमेयक अपरिवर्तित रहता है।

आव्यूहों को SU(3) नामक विशेष एकात्मक समूह के अतिसूक्ष्म जनरेटरों के प्रतिनिधित्व के रूप में सिद्ध किया जा सकता है। इस समूह के लाई बीजगणित (वास्तव में एक वास्तविक लाई बीजगणित) का आयाम आठ है और इसलिए इसमें आठ रेखीयस्वतंत्र जनरेटर के साथ कुछ सेट हैं, जिन्हें $g_{i}$ के रूप में लिखा जा सकता है, जिसमें i, 1 से 8 तक तक मान लेता है।^[1]

कैसिमिर ऑपरेटर और अपरिवर्तनीय

गेल-मैन आव्यूह का वर्ग योग द्विघात कासिमिर ऑपरेटर, एक समूह अपरिवर्तनीय देता है,

C=\sum _{i=1}^{8}\lambda _{i}\lambda _{i}={\frac {16}{3}}I

जहाँ $I\,$ 3×3 तत्समक आव्यूह है। एक अन्य, स्वतंत्र, क्यूबिक कासिमिर ऑपरेटर भी है।

क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स पर अनुप्रयोग

ये आव्यूह क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स (cf. ग्लूऑन के वर्ण) के वर्ण क्वार्क से जुड़े ग्लूऑन क्षेत्रों के आंतरिक (वर्ण) घूर्णन का अध्ययन करने के लिए काम करते हैं। गेज वर्ण घूर्णन एक अवकाशकालीन-निर्भर SU(3) समूह तत्व है

$\;U=\exp({\frac {\ i\ }{2}}\ \theta ^{k}({\mathbf {r} },t)\ \lambda _{k})\;,$ जहां आठ सूचकांकों का योग $k$ निहित है.

यह भी देखें

कासिमिर तत्व
SU(3) के लिए क्लेबश-गॉर्डन गुणांक
पाउली मैट्रिसेस का सामान्यीकरण
समूह प्रतिनिधित्व
किलिंग रूप
पाउली मैट्रिसेस
कुट्रिट
SU(3)

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 Stefan Scherer; Matthias R. Schindler (31 May 2005). "एक चिरल गड़बड़ी सिद्धांत प्राइमर". p. 1–2. arXiv:hep-ph/0505265.
↑ David Griffiths (2008). Introduction to Elementary Particles (2nd ed.). John Wiley & Sons. pp. 283–288, 366–369. ISBN 978-3-527-40601-2.
↑ Haber, Howard. "गेल-मैन मैट्रिसेस के गुण" (PDF). Physics 251 Group Theory and Modern Physics. U.C. Santa Cruz. Retrieved 1 April 2019.

Gell-Mann, Murray (1962-02-01). "Symmetries of Baryons and Mesons". Physical Review. American Physical Society (APS). 125 (3): 1067–1084. Bibcode:1962PhRv..125.1067G. doi:10.1103/physrev.125.1067. ISSN 0031-899X.
Cheng, T.-P.; Li, L.-F. (1983). Gauge Theory of Elementary Particle Physics. Oxford University Press. ISBN 0-19-851961-3.
Georgi, H. (1999). Lie Algebras in Particle Physics (2nd ed.). Westview Press. ISBN 978-0-7382-0233-4.
Arfken, G. B.; Weber, H. J.; Harris, F. E. (2000). Mathematical Methods for Physicists (7th ed.). Academic Press. ISBN 978-0-12-384654-9.
Kokkedee, J. J. J. (1969). The Quark Model. W. A. Benjamin. LCCN 69014391.

[Scherer-Schindler-1] 1.0 ^1.1 Stefan Scherer; Matthias R. Schindler (31 May 2005). "एक चिरल गड़बड़ी सिद्धांत प्राइमर". p. 1–2. arXiv:hep-ph/0505265.

[2] David Griffiths (2008). Introduction to Elementary Particles (2nd ed.). John Wiley & Sons. pp. 283–288, 366–369. ISBN 978-3-527-40601-2.

[gellmann17-3] Haber, Howard. "गेल-मैन मैट्रिसेस के गुण" (PDF). Physics 251 Group Theory and Modern Physics. U.C. Santa Cruz. Retrieved 1 April 2019.

[1]

[2]

[3]

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{short description|A basis for the SU(3) Lie algebra}}
-[[मरे गेल-मान]] द्वारा विकसित गेल-मैन मैट्रिसेस, [[कण भौतिकी]] में मजबूत इंटरैक्शन के अध्ययन में उपयोग किए जाने वाले आठ [[रैखिक स्वतंत्रता]] 3×3 [[मैट्रिक्स ट्रेस]] [[हर्मिटियन मैट्रिसेस]] का एक सेट है।
+[[मरे गेल-मान|मुर्रे गेल-मैन]] द्वारा विकसित '''गेल-मैन मैट्रिसेस''', [[कण भौतिकी]] में प्रबल अन्योन्य क्रिया के अध्ययन में उपयोग किए जाने वाले आठ [[रैखिक स्वतंत्रता|रेखीयस्वतंत्र]] 3×3 [[मैट्रिक्स ट्रेस|आव्यूह ट्रेस]] [[हर्मिटियन मैट्रिसेस]] का एक सेट है। वे परिभाषित प्रतिनिधित्व में SU(3) समूह के लाई बीजगणित का विस्तार करते हैं।
-वे परिभाषित प्रतिनिधित्व में विशेष एकात्मक समूह #समूह SU(3)|SU(3) समूह के एक झूठ समूह से जुड़े लाई समूह#द लाई बीजगणित का विस्तार करते हैं।
 ==मैट्रिसेस==
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 |<math>\lambda_8 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}  .</math>
 |}
+==गुण==
+{{main|पाउली मैट्रिसेस का सामान्यीकरण}}
+ये आव्यूह [[ लापता |ट्रेसलेस]], [[हर्मिटियन मैट्रिक्स|हर्मिटियन आव्यूह]] हैं, और अतिरिक्त ट्रेस ऑर्थोनॉर्मलिटी रिलेशन का पालन करते हैं (जिससे कि वे[[ मैट्रिक्स घातांक | घातांक]] के माध्यम से SU(3) के [[एकात्मक मैट्रिक्स|ऐकिक आव्यूह]] समूह तत्वों को उत्पन्न कर सकें)।<ref name="Scherer-Schindler">{{cite arXiv |author=Stefan Scherer |author2=Matthias R. Schindler |title=एक चिरल गड़बड़ी सिद्धांत प्राइमर|eprint=hep-ph/0505265|date=31 May 2005|page=1–2}}</ref> इन गुणों को गेल-मैन द्वारा चुना गया था क्योंकि वे तब स्वाभाविक रूप से SU(2) से SU(3) के लिए [[पॉल के मैट्रिक्स|पाउली आव्यूह]] को सामान्यीकृत करते थे, जिसने गेल-मैन के [[क्वार्क मॉडल]] का आधार बनाया था।<ref>{{cite book|author=David Griffiths|title=Introduction to Elementary Particles (2nd ed.)|publisher=[[John Wiley & Sons]]|isbn=978-3-527-40601-2|date=2008|pages=283–288,366–369}}</ref> गेल-मैन का सामान्यीकरण आगे सामान्य SU(n) तक फैला हुआ है। लाई बीजगणित के मानक आधार से उनके संबंध के लिए, वेइल-कार्टन आधार देखें।
-==गुण==
-{{main|Generalizations of Pauli matrices}}
-ये मैट्रिक्स [[ लापता ]], [[हर्मिटियन मैट्रिक्स]] हैं, और अतिरिक्त ट्रेस ऑर्थोनॉर्मलिटी रिलेशन का पालन करते हैं (इसलिए वे [[ मैट्रिक्स घातांक ]] के माध्यम से एसयू (3) के [[एकात्मक मैट्रिक्स]] समूह तत्व उत्पन्न कर सकते हैं)<ref name="Scherer-Schindler">{{cite arXiv |author=Stefan Scherer |author2=Matthias R. Schindler |title=एक चिरल गड़बड़ी सिद्धांत प्राइमर|eprint=hep-ph/0505265|date=31 May 2005|page=1–2}}</ref>). इन गुणों को गेल-मैन द्वारा चुना गया था क्योंकि वे तब स्वाभाविक रूप से एसयू (2) से एसयू (3) के लिए [[पॉल के मैट्रिक्स]] को सामान्यीकृत करते थे, जिसने गेल-मैन के [[क्वार्क मॉडल]] का आधार बनाया था।<ref>{{cite book|author=David Griffiths|title=Introduction to Elementary Particles (2nd ed.)|publisher=[[John Wiley & Sons]]|isbn=978-3-527-40601-2|date=2008|pages=283–288,366–369}}</ref> गेल-मैन का सामान्यीकरण आगे पॉली मैट्रिसेस का सामान्यीकरण#निर्माण|सामान्य एसयू(एन) तक फैला हुआ है। ली अलजेब्रा की जड़ प्रणाली से उनके संबंध के लिए, एसयू(3)#मानक आधार|वेइल-कार्टन आधार के लिए क्लेबश-गॉर्डन गुणांक देखें।
 ===ट्रेस ऑर्थोनोर्मैलिटी===
-गणित में, ऑर्थोनोर्मैलिटी का तात्पर्य आम तौर पर एक मानदंड से होता है जिसका मान एकता (1) होता है। हालाँकि, गेल-मैन मैट्रिसेस को 2 के मान पर सामान्यीकृत किया जाता है। इस प्रकार, जोड़ीवार उत्पाद के [[ट्रेस (रैखिक बीजगणित)]] के परिणामस्वरूप ऑर्थो-सामान्यीकरण स्थिति होती है
+गणित में, ऑर्थोनोर्मैलिटी का तात्पर्य सामान्यतः एक मानदंड से होता है जिसका मान इकाई (1) होता है। चूंकि, गेल-मैन मैट्रिसेस को 2 के मान पर सामान्यीकृत किया जाता है। इस प्रकार, युग्‍मानूसार उत्पाद के [[ट्रेस (रैखिक बीजगणित)]] के परिणामस्वरूप ऑर्थो-नॉर्मलाइज़ेशन की स्थिति होती है
 :<math>\operatorname{tr}(\lambda_i \lambda_j) = 2\delta_{ij},</math>
-कहाँ <math>\delta_{ij}</math> [[क्रोनकर डेल्टा]] है।
+जहाँ <math>\delta_{ij}</math> [[क्रोनकर डेल्टा]] है।
-ऐसा इसलिए है कि एसयू(2) के तीन एम्बेडेड सबलजेब्रा के अनुरूप एम्बेडेड पाउली मैट्रिसेस पारंपरिक रूप से सामान्यीकृत हैं। इस त्रि-आयामी मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व में, कार्टन उपबीजगणित दो मैट्रिक्स के रैखिक संयोजन (वास्तविक गुणांक के साथ) का सेट है <math>\lambda_3</math> और <math>\lambda_8</math>, जो एक दूसरे के साथ आवागमन करते हैं।
+ऐसा इसलिए है कि SU(2) के तीन अंत:स्थापित उपबीजगणित के अनुरूप अंत:स्थापित पाउली मैट्रिसेस पारंपरिक रूप से सामान्यीकृत हैं। इस त्रि-आयामी आव्यूह प्रतिनिधित्व में, कार्टन उपबीजगणित दो आव्यूह के रैखिक संयोजन (वास्तविक गुणांक के साथ) का सेट है <math>\lambda_3</math> और <math>\lambda_8</math>, जो एक दूसरे के साथ आवागमन करते हैं।
-तीन क्लेबश-गॉर्डन_गुणांक_for_SU(3)#Standard_basis SU(2) उपबीजगणित हैं:
+तीन महत्वपूर्ण SU(2) उपबीजगणित हैं:
 *<math>\{\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\}</math>
 *<math>\{\lambda_4, \lambda_5, x\},</math> और
 *<math>\{\lambda_6, \lambda_7, y\},</math>
-जहां {{mvar|x}} और {{mvar|y}} के रैखिक संयोजन हैं <math>\lambda_3</math> और <math>\lambda_8</math>. इन उपबीजगणित के एसयू(2) कासिमिर परस्पर विनिमय करते हैं।
+जहां {{mvar|x}} और {{mvar|y}}, <math>\lambda_3</math> और <math>\lambda_8</math>के रैखिक संयोजन हैं। इन उपबीजगणित के SU(2) कासिमिर परस्पर विनिमय करते हैं।
-हालाँकि, इन उपबीजगणितों के किसी भी एकात्मक समानता परिवर्तन से SU(2) उपबीजगणित प्राप्त होंगे। ऐसे परिवर्तनों की संख्या अनगिनत है।
+चूंकि, इन उपबीजगणितों के किसी भी एकात्मक समानता परिवर्तन से SU(2) उपबीजगणित प्राप्त होंगे। ऐसे परिवर्तनों की संख्या अनगिनत है।
 ===संपरिवर्तन संबंध===
-SU(3) के 8 जनरेटर [[कम्यूटेटर]]|कम्यूटेशन और एंटी-कम्यूटेशन संबंधों को संतुष्ट करते हैं<ref name="gellmann17">{{cite web |last1=Haber |first1=Howard |title=गेल-मैन मैट्रिसेस के गुण|url=http://scipp.ucsc.edu/~haber/ph251/gellmann17.pdf |website=Physics 251 Group Theory and Modern Physics |publisher=U.C. Santa Cruz |access-date=1 April 2019}}</ref>
+SU(3) के 8 जनरेटर [[कम्यूटेटर|कम्यूटेशन]] और एंटी-कम्यूटेशन संबंधों को पूर्ति करते हैं<ref name="gellmann17">{{cite web |last1=Haber |first1=Howard |title=गेल-मैन मैट्रिसेस के गुण|url=http://scipp.ucsc.edu/~haber/ph251/gellmann17.pdf |website=Physics 251 Group Theory and Modern Physics |publisher=U.C. Santa Cruz |access-date=1 April 2019}}</ref>
 : <math> \begin{align}
      \left[ \lambda_a, \lambda_b \right] &= 2 i \sum_c f^{abc} \lambda_c, \\
@@ Line 55: / Line 53: @@
      d^{abc} &= \frac{1}{4} \operatorname{tr}(\lambda_a \{ \lambda_b, \lambda_c \}).
 \end{align} </math>
-संरचना स्थिरांक <math>f^{abc}</math> तीन सूचकांकों में पूरी तरह से एंटीसिमेट्रिक हैं, जो [[लेवी-सिविटा प्रतीक]] की एंटीसिममेट्री को सामान्यीकृत करते हैं <math>\epsilon_{jkl}</math> का {{math|''SU''(2)}}. गेल-मैन मैट्रिसेस के वर्तमान क्रम के लिए वे मान लेते हैं
+संरचना स्थिरांक <math>f^{abc}</math> तीन सूचकांकों में पूरी तरह से प्रतिसममित हैं, जो {{math|''SU''(2)}} के [[लेवी-सिविटा प्रतीक]] <math>\epsilon_{jkl}</math> की प्रतिसममित को सामान्य बनाते हैं। गेल-मैन मैट्रिसेस के वर्तमान क्रम के लिए वे मान लेते हैं
 :<math>f^{123} = 1 \ , \quad f^{147} = f^{165} = f^{246} = f^{257} = f^{345} = f^{376} = \frac{1}{2} \ , \quad f^{458} = f^{678} = \frac{\sqrt{3}}{2} \ . </math>
-सामान्य तौर पर, वे शून्य का मूल्यांकन करते हैं, जब तक कि उनमें एंटीसिमेट्रिक (काल्पनिक) के अनुरूप सेट {2,5,7} से सूचकांकों की एक विषम गिनती न हो। {{mvar|λ}}एस।
+सामान्य तौर पर, वे शून्य का मूल्यांकन करते हैं, जब तक कि उनमें प्रतिसममित (काल्पनिक) {{mvar|λ}}s के अनुरूप सेट {2,5,7} से सूचकांकों की एक विषम गिनती न हो।
 इन कम्यूटेशन संबंधों का उपयोग करते हुए, गेल-मैन मैट्रिसेस के उत्पाद को इस प्रकार लिखा जा सकता है
@@ Line 65: / Line 63: @@
    = \frac{1}{2} ([\lambda_a,\lambda_b] + \{\lambda_a,\lambda_b\})
    = \frac{2}{3} \delta_{ab} I + \sum_c \left(d^{abc} + i f^{abc}\right) \lambda_c , </math>
-कहाँ {{mvar|I}} पहचान मैट्रिक्स है.
+जहाँ {{mvar|I}} तत्समक आव्यूह है.
 ===फिर्ज़ पूर्णता संबंध===
-चूँकि आठ आव्यूह और पहचान सभी 3×3 आव्यूहों में फैला हुआ एक पूर्ण ट्रेस-ऑर्थोगोनल सेट है, इसलिए दो फ़िएर्ज़ ''पूर्णता संबंध'', (ली और चेंग, 4.134) खोजना आसान है, जो कि पाउली आव्यूह#पूर्णता के अनुरूप है। संबंध 2. अर्थात्, आठ आव्यूहों का योग करने के लिए बिंदु का उपयोग करना और उनकी पंक्ति/स्तंभ सूचकांकों के लिए ग्रीक सूचकांकों का उपयोग करना, निम्नलिखित पहचान रखता है,
+चूँकि आठ आव्यूह और तत्समक सभी 3×3 आव्यूहों में फैला हुआ पूर्ण ट्रेस-ऑर्थोगोनल सेट है, इसलिए दो फ़िएर्ज़ '''''पूर्णता संबंध''''', (ली और चेंग, 4.134) प्राप्त करना आसान है, जो पाउली आव्यूहों के अनुरूप है। अर्थात्, आठ आव्यूहों का योग करने के लिए बिंदु का उपयोग करना और उनकी पंक्ति/स्तंभ सूचकांकों के लिए ग्रीक सूचकांकों का उपयोग करना, निम्नलिखित तत्समक रखता है,
 :<math>\delta^\alpha _\beta  \delta^\gamma  _\delta   = \frac{1}{3} \delta^\alpha_\delta  \delta^\gamma _\beta  +\frac{1}{2} \lambda^\alpha _\delta \cdot \lambda^\gamma _\beta </math>
 और
 :<math>\lambda^\alpha _\beta \cdot  \lambda^\gamma  _\delta   = \frac{16}{9} \delta^\alpha_\delta  \delta^\gamma _\beta  -\frac{1}{3} \lambda^\alpha _\delta \cdot \lambda^\gamma _\beta ~.</math>
-उपरोक्त के रैखिक संयोजन से उत्पन्न पुनर्रचना संस्करण को कोई पसंद कर सकता है,
+उपरोक्त के रैखिक संयोजन से उत्पन्न पुनर्रचना संस्करण को कोई वरीयता दे सकता है,
 :<math>\lambda^\alpha _\beta \cdot  \lambda^\gamma  _\delta   = 2 \delta^\alpha_\delta  \delta^\gamma _\beta  -\frac{2}{3}  \delta^\alpha_\beta  \delta^\gamma _\delta    ~.</math>
 ==प्रतिनिधित्व सिद्धांत==
-{{main|Clebsch–Gordan coefficients for SU(3)}}
+{{main|SU(3) के लिए क्लेबश-गॉर्डन गुणांक}}
-मैट्रिक्स की एक विशेष पसंद को [[समूह प्रतिनिधित्व]] कहा जाता है, क्योंकि SU(3) के किसी भी तत्व को फॉर्म में लिखा जा सकता है <math>\mathrm{exp}(i \theta^j  g_j)</math> [[आइंस्टीन संकेतन]] का उपयोग करते हुए, जहां आठ <math>\theta^j</math> वास्तविक संख्याएँ और सूचकांक पर एक योग हैं {{mvar|j}} निहित है. एक प्रतिनिधित्व को देखते हुए, एक समतुल्य एक मनमाना एकात्मक समानता परिवर्तन द्वारा प्राप्त किया जा सकता है, क्योंकि इससे कम्यूटेटर अपरिवर्तित रहता है।
+आव्यूह की एक विशेष पसंद को [[समूह प्रतिनिधित्व]] कहा जाता है, क्योंकि SU(3) के किसी भी तत्व को [[आइंस्टीन संकेतन]] का उपयोग करके फॉर्म <math>\mathrm{exp}(i \theta^j  g_j)</math> में लिखा जा सकता है, जहां आठ <math>\theta^j</math> वास्तविक संख्याएँ हैं और सूचकांक {{mvar|j}} पर एक योग निहित है। एक प्रतिनिधित्व को देखते हुए, समतुल्य एक यादृच्छिक एकात्मक समानता परिवर्तन द्वारा प्राप्त किया जा सकता है, क्योंकि इससे क्रमविनिमेयक अपरिवर्तित रहता है।
-मैट्रिक्स को लाई समूह के प्रतिनिधित्व के रूप में महसूस किया जा सकता है#स्पेशल_यूनिटरी_ग्रुप#द_ग्रुप_एसयू(3)|एसयू(3) नामक [[विशेष एकात्मक समूह]] के लाई समूहों से जुड़े लाई बीजगणित। इस समूह के लाई बीजगणित (वास्तव में एक वास्तविक लाई बीजगणित) का आयाम आठ है और इसलिए इसमें आठ रैखिक स्वतंत्रता जनरेटर के साथ कुछ सेट हैं, जिन्हें इस प्रकार लिखा जा सकता है <math>g_i</math>, मैं 1 से 8 तक मान ले रहा हूँ।<ref name="Scherer-Schindler"/>
+आव्यूहों को SU(3) नामक [[विशेष एकात्मक समूह]] के अतिसूक्ष्म जनरेटरों के प्रतिनिधित्व के रूप में सिद्ध किया जा सकता है। इस समूह के लाई बीजगणित (वास्तव में एक वास्तविक लाई बीजगणित) का आयाम आठ है और इसलिए इसमें आठ रेखीयस्वतंत्र जनरेटर के साथ कुछ सेट हैं, जिन्हें <math>g_i</math> के रूप में लिखा जा सकता है, जिसमें ''i,''  1 से 8 तक तक मान लेता है।<ref name="Scherer-Schindler"/>
+===कैसिमिर [[कासिमिर ऑपरेटर|ऑपरेटर]] और अपरिवर्तनीय===
+गेल-मैन आव्यूह का वर्ग योग द्विघात [[कासिमिर ऑपरेटर]], एक समूह अपरिवर्तनीय देता है,
-===कैसिमिर ऑपरेटर्स और इनवेरिएंट===
-गेल-मैन मैट्रिक्स का वर्ग योग द्विघात [[कासिमिर ऑपरेटर]], एक समूह अपरिवर्तनीय देता है,
 :<math> C = \sum_{i=1}^8 \lambda_i \lambda_i = \frac{16} 3 I </math>
-कहाँ <math> I\, </math>3×3 पहचान मैट्रिक्स है। SU(3)#Casimir ऑपरेटरों के लिए एक और, स्वतंत्र, क्लेबश-गॉर्डन गुणांक भी है।
+जहाँ <math> I\, </math>3×3 तत्समक आव्यूह है। एक अन्य, स्वतंत्र, क्यूबिक कासिमिर ऑपरेटर भी है।
 ==क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स पर अनुप्रयोग==
-{{main|Color charge|Quantum chromodynamics}}
+{{main|कलर चार्ज|क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स}}
-ये मैट्रिक्स [[क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स]] (cf. ग्लूऑन#आठ ग्लूऑन रंग) के रंगीन क्वार्क से जुड़े ग्लूऑन क्षेत्रों के आंतरिक (रंग) घुमावों का अध्ययन करने के लिए काम करते हैं। गेज रंग रोटेशन एक स्पेसटाइम-निर्भर एसयू (3) समूह तत्व है
+ये आव्यूह [[क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स]] (cf. ग्लूऑन के वर्ण) के वर्ण क्वार्क से जुड़े ग्लूऑन क्षेत्रों के आंतरिक (वर्ण) घूर्णन का अध्ययन करने के लिए काम करते हैं। गेज वर्ण घूर्णन एक अवकाशकालीन-निर्भर SU(3) समूह तत्व है
- <math>\; U = \exp (\frac{\ i\ }{2}\ \theta^k({\mathbf r},t)\ \lambda_k) \;,</math> जहां आठ सूचकांकों का योग है {{mvar|k}} निहित है.
-{{See also | Clebsch–Gordan coefficients for SU(3)}}
+<math>\; U = \exp (\frac{\ i\ }{2}\ \theta^k({\mathbf r},t)\ \lambda_k) \;,</math> जहां आठ सूचकांकों का योग {{mvar|k}} निहित है.
+{{See also |SU(3) के लिए क्लेबश-गॉर्डन गुणांक}}
 ==यह भी देखें==
 * [[कासिमिर तत्व]]
-* एसयू(3) के लिए क्लेबश-गॉर्डन गुणांक
+* SU(3) के लिए क्लेबश-गॉर्डन गुणांक
 * [[पाउली मैट्रिसेस का सामान्यीकरण]]
 * समूह प्रतिनिधित्व
-* [[संहार रूप]]
+* [[संहार रूप|किलिंग रूप]]
 * पाउली मैट्रिसेस
 * कुट्रिट
-*विशेष एकात्मक समूह#समूह SU(3)|SU(3)
+*SU(3)
 ==संदर्भ==
@@ Line 138: / Line 132: @@
   |lccn=69014391
 }}
-{{Matrix classes}}
 [[Category: मैट्रिसेस]] [[Category: क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स]] [[Category: गणितीय भौतिकी]] [[Category: सैद्धांतिक भौतिकी]] [[Category: झूठ बीजगणित]] [[Category: झूठ बीजगणित का प्रतिनिधित्व सिद्धांत]]
@@ Line 146: / Line 138: @@
 [[Category: Machine Translated Page]]
 [[Category:Created On 18/11/2023]]
+[[Category:Vigyan Ready]]

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