ग्रिफ़िथ असमानता

सांख्यिकीय यांत्रिकी में, ग्रिफ़िथ असमानता, जिसे कभी-कभी ग्रिफ़िथ-केली-शेरमन असमानता या जीकेएस असमानता भी कहा जाता है, जिसका नाम रॉबर्ट बी ग्रिफ़िथ के नाम पर रखा गया है, लौहचुंबकीय स्पिन प्रणालियों के लिए एक सहसंबंध असमानता है। अनौपचारिक रूप से, यह कहता है कि लौह-चुंबकीय स्पिन प्रणालियों में, यदि स्पिन फ्लिपिंग के तहत स्पिन का 'ए-प्राथमिक वितरण' अपरिवर्तनीय है, तो स्पिन के किसी भी मोनोमियल का सहसंबंध गैर-नकारात्मक है; और स्पिन के दो मोनोमियल का दो बिंदु सहसंबंध गैर-नकारात्मक है।

असमानता को ग्रिफिथ्स द्वारा आइसिंग फेरोमैग्नेट्स के लिए दो-बॉडी इंटरैक्शन के साथ साबित किया गया था, फिर केली और शर्मन द्वारा मनमाने ढंग से स्पिन की संख्या से जुड़े इंटरैक्शन के लिए सामान्यीकृत किया गया, और फिर ग्रिफिथ्स द्वारा मनमाने ढंग से स्पिन वाले सिस्टम के लिए। गिनीब्रे द्वारा एक अधिक सामान्य सूत्रीकरण दिया गया था, और अब इसे गिनीब्रे असमानता कहा जाता है।

परिभाषाएँ

मान लीजिए कि $\textstyle \sigma =\{\sigma _{j}\}_{j\in \Lambda }$ एक जाली Λ पर (निरंतर या असतत) स्पिन का एक विन्यास है। यदि A ⊂ Λ जाली साइटों की एक सूची है, संभवतः डुप्लिकेट के साथ, तो $\textstyle \sigma _{A}=\prod _{j\in A}\sigma _{j}$ को A में स्पिन का उत्पाद होने दें।

स्पिन पर एक प्राथमिक माप dμ(σ) निर्दिष्ट करें; मान लीजिए कि H रूप का एक ऊर्जा क्रियात्मक रूप है

$H(\sigma )=-\sum _{A}J_{A}\sigma _{A}~,$

जहां योग साइट ए और लेट की सूचियों से अधिक है

$Z=\int d\mu (\sigma )e^{-H(\sigma )}$

विभाजन फलन (सांख्यिकीय यांत्रिकी) बनें। हमेशा की तरह,

$\langle \cdot \rangle ={\frac {1}{Z}}\sum _{\sigma }\cdot (\sigma )e^{-H(\sigma )}$

संयोजन औसत के लिए खड़ा है।

यदि साइट A, J_A ≥ 0 की किसी भी सूची के लिए सिस्टम को फेरोमैग्नेटिक कहा जाता है। सिस्टम को स्पिन फ़्लिपिंग के तहत अपरिवर्तनीय कहा जाता है, यदि Λ में किसी भी जे के लिए, माप μ को साइन फ़्लिपिंग मैप σ → τ के तहत संरक्षित किया जाता है, जहां

$\tau _{k}={\begin{cases}\sigma _{k},&k\neq j,\\-\sigma _{k},&k=j.\end{cases}}$

असमानताओं का विवरण

पहली ग्रिफ़िथ असमानता

लौहचुंबकीय स्पिन प्रणाली में जो स्पिन फ़्लिपिंग के तहत अपरिवर्तनीय है,

$\langle \sigma _{A}\rangle \geq 0$

स्पिन ए की किसी भी सूची के लिए।

दूसरी ग्रिफ़िथ असमानता

लौहचुंबकीय स्पिन प्रणाली में जो स्पिन फ़्लिपिंग के तहत अपरिवर्तनीय है,

$\langle \sigma _{A}\sigma _{B}\rangle \geq \langle \sigma _{A}\rangle \langle \sigma _{B}\rangle$

स्पिन A और B की किसी भी सूची के लिए।

पहली असमानता दूसरी असमानता का एक विशेष मामला है, जो B = ∅ के अनुरूप है।

प्रमाण

ध्यान दें कि विभाजन फ़ंक्शन परिभाषा के अनुसार गैर-नकारात्मक है।

प्रथम असमानता का प्रमाण: विस्तार

$e^{-H(\sigma )}=\prod _{B}\sum _{k\geq 0}{\frac {J_{B}^{k}\sigma _{B}^{k}}{k!}}=\sum _{\{k_{C}\}_{C}}\prod _{B}{\frac {J_{B}^{k_{B}}\sigma _{B}^{k_{B}}}{k_{B}!}}~,$

तब

${\begin{aligned}Z\langle \sigma _{A}\rangle &=\int d\mu (\sigma )\sigma _{A}e^{-H(\sigma )}=\sum _{\{k_{C}\}_{C}}\prod _{B}{\frac {J_{B}^{k_{B}}}{k_{B}!}}\int d\mu (\sigma )\sigma _{A}\sigma _{B}^{k_{B}}\\&=\sum _{\{k_{C}\}_{C}}\prod _{B}{\frac {J_{B}^{k_{B}}}{k_{B}!}}\int d\mu (\sigma )\prod _{j\in \Lambda }\sigma _{j}^{n_{A}(j)+k_{B}n_{B}(j)}~,\end{aligned}}$

जहां n_A(j) उस संख्या को दर्शाता है जो j, A में प्रकट होता है। अब, स्पिन फ़्लिपिंग के तहत अपरिवर्तनीयता द्वारा,

$\int d\mu (\sigma )\prod _{j}\sigma _{j}^{n(j)}=0$

यदि कम से कम एक n(j) विषम है, और n के सम मानों के लिए समान अभिव्यक्ति स्पष्ट रूप से गैर-नकारात्मक है। इसलिए, Z<σA>≥0, इसलिए <σA>≥0 भी।

दूसरी असमानता का प्रमाण. दूसरी ग्रिफ़िथ असमानता के लिए, यादृच्छिक चर को दोगुना करें, यानी $\sigma$ के समान वितरण के साथ, स्पिन की दूसरी प्रति, $\sigma '$ पर विचार करें। फिर

$\langle \sigma _{A}\sigma _{B}\rangle -\langle \sigma _{A}\rangle \langle \sigma _{B}\rangle =\langle \langle \sigma _{A}(\sigma _{B}-\sigma '_{B})\rangle \rangle ~.$

नए वेरिएबल का परिचय दें

$\sigma _{j}=\tau _{j}+\tau _{j}'~,\qquad \sigma '_{j}=\tau _{j}-\tau _{j}'~.$

दोगुनी प्रणाली $\langle \langle \;\cdot \;\rangle \rangle$, $\tau ,\tau '$ में लौहचुंबकीय है क्योंकि $-H(\sigma )-H(\sigma ')$ सकारात्मक गुणांक के साथ $\tau ,\tau '$ में एक बहुपद है

${\begin{aligned}\sum _{A}J_{A}(\sigma _{A}+\sigma '_{A})&=\sum _{A}J_{A}\sum _{X\subset A}\left[1+(-1)^{|X|}\right]\tau _{A\setminus X}\tau '_{X}\end{aligned}}$

इसके अलावा स्पिन फ़्लिपिंग के तहत $\tau ,\tau '$ पर माप अपरिवर्तनीय है क्योंकि $d\mu (\sigma )d\mu (\sigma ')$ है। अंततः एकपदी $\sigma _{A}$, $\sigma _{B}-\sigma '_{B}$सकारात्मक गुणांक वाले $\tau ,\tau '$ में बहुपद हैं

${\begin{aligned}\sigma _{A}&=\sum _{X\subset A}\tau _{A\setminus X}\tau '_{X}~,\\\sigma _{B}-\sigma '_{B}&=\sum _{X\subset B}\left[1-(-1)^{|X|}\right]\tau _{B\setminus X}\tau '_{X}~.\end{aligned}}$

$\langle \langle \sigma _{A}(\sigma _{B}-\sigma '_{B})\rangle \rangle$ पर लागू की गई पहली ग्रिफ़िथ असमानता परिणाम देती है।

अधिक विवरण और में हैं।

विस्तार: गिनिब्रे असमानता

गिनिब्रे असमानता, जीन गिनिब्रे द्वारा पाया गया एक विस्तार है, ग्रिफिथ्स असमानता का।

सूत्रीकरण

मान लीजिए (Γ, μ) एक प्रायिकता स्थान है। Γ पर फ़ंक्शन f, h के लिए, निरूपित करें

$\langle f\rangle _{h}=\int f(x)e^{-h(x)}\,d\mu (x){\Big /}\int e^{-h(x)}\,d\mu (x).$

मान लीजिए कि A, Γ पर वास्तविक फलनों का एक समुच्चय है जैसे कि। A में प्रत्येक f1,f2,...,fn के लिए, और संकेतों के किसी भी विकल्प के लिए ±,

$\iint d\mu (x)\,d\mu (y)\prod _{j=1}^{n}(f_{j}(x)\pm f_{j}(y))\geq 0.$

फिर, A द्वारा उत्पन्न उत्तल शंकु में किसी भी f,g,−h के लिए,

$\langle fg\rangle _{h}-\langle f\rangle _{h}\langle g\rangle _{h}\geq 0.$

प्रमाण

मान लीजिए

$Z_{h}=\int e^{-h(x)}\,d\mu (x).$

तब

${\begin{aligned}&Z_{h}^{2}\left(\langle fg\rangle _{h}-\langle f\rangle _{h}\langle g\rangle _{h}\right)\\&\qquad =\iint d\mu (x)\,d\mu (y)f(x)(g(x)-g(y))e^{-h(x)-h(y)}\\&\qquad =\sum _{k=0}^{\infty }\iint d\mu (x)\,d\mu (y)f(x)(g(x)-g(y)){\frac {(-h(x)-h(y))^{k}}{k!}}.\end{aligned}}$

अब असमानता धारणा से और पहचान से उत्पन्न होती है

$f(x)={\frac {1}{2}}(f(x)+f(y))+{\frac {1}{2}}(f(x)-f(y)).$

उदाहरण

• (दूसरी) ग्रिफ़िथ असमानता को पुनर्प्राप्त करने के लिए, Γ = {−1, +1}Λ लें, जहां Λ एक जाली है, और μ को Γ पर एक माप दें जो साइन फ़्लिपिंग के तहत अपरिवर्तनीय है। धनात्मक गुणांक वाले बहुपदों का शंकु A गिनिब्रे असमानता की मान्यताओं को संतुष्ट करता है।
• (Γ, μ) Haar माप के साथ एक क्रमविनिमेय सघन समूह है, A, Γ पर वास्तविक सकारात्मक निश्चित फलनों का शंकु है।
• Γ एक पूरी तरह से व्यवस्थित सेट है, A, Γ पर वास्तविक सकारात्मक गैर-घटते कार्यों का शंकु है। इससे चेबीशेव की कुल असमानता प्राप्त होती है। आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेटों के विस्तार के लिए, FKG असमानता देखें।

अनुप्रयोग

• फेरोमैग्नेटिक आइसिंग मॉडल के सहसंबंधों की थर्मोडायनामिक सीमा (गैर-नकारात्मक बाहरी क्षेत्र एच और मुक्त सीमा स्थितियों के साथ) मौजूद है। ऐसा इसलिए है क्योंकि वॉल्यूम बढ़ाना एक निश्चित उपसमुच्चय बी के लिए नए कपलिंग जेबी पर स्विच करने के समान है। दूसरी ग्रिफ़िथ असमानता के अनुसार

${\frac {\partial }{\partial J_{B}}}\langle \sigma _{A}\rangle =\langle \sigma _{A}\sigma _{B}\rangle -\langle \sigma _{A}\rangle \langle \sigma _{B}\rangle \geq 0$

अत: $\langle \sigma _{A}\rangle$ आयतन के साथ नीरस रूप से बढ़ रहा है; तब यह अभिसरित हो जाता है क्योंकि यह 1 से घिरा होता है।

• इंटरैक्शन $J_{x,y}\sim |x-y|^{-\alpha }$ के साथ एक-आयामी, फेरोमैग्नेटिक आइसिंग मॉडल $1<\alpha <2$ यदि एक चरण संक्रमण प्रदर्शित करता है।

इस संपत्ति को एक पदानुक्रमित सन्निकटन में दिखाया जा सकता है, जो कुछ इंटरैक्शन की अनुपस्थिति के कारण पूर्ण मॉडल से भिन्न होता है: दूसरी ग्रिफ़िथ असमानता के साथ ऊपर तर्क करते हुए, परिणाम पूर्ण मॉडल पर चलते हैं।

• गिनीब्रे असमानता द्वि-आयामी शास्त्रीय XY मॉडल के लिए मुक्त ऊर्जा और स्पिन सहसंबंधों के लिए थर्मोडायनामिक सीमा के अस्तित्व को प्रदान करती है। इसके अलावा, गिनिब्रे असमानता के माध्यम से, कुंज और फिस्टर ने फेरोमैग्नेटिक XY मॉडल के लिए $J_{x,y}\sim |x-y|^{-\alpha }$ यदि $2<\alpha <4$ के साथ इंटरैक्शन के साथ एक चरण संक्रमण की उपस्थिति को साबित किया।
• ऐजेनमैन और साइमन ने जिनिब्रे असमता का उपयोग करके सिद्ध किया कि फेरोमैग्नेटिक क्लासिकल XY मॉडल के $D$ आयाम, $J>0$ कपल और $\beta$ उल्टी तापमान में दो बिंदु स्पिन सहसम्बंध को (अर्थात उसका अपर बाउंड दिया गया है) फेरोमैग्नेटिक आइसिंग मॉडल के $D$ आयाम, $J>0$ कपल और $\beta /2$ उल्टी तापमान के दो बिंदु सहसम्बंध द्वारा नियंत्रित है।

$\langle \mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\rangle _{J,2\beta }\leq \langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle _{J,\beta }$

इसलिए XY मॉडल का क्रिटिकल $\beta$ आइसिंग मॉडल के क्रिटिकल तापमान के दोगुने से छोटा नहीं हो सकता है

$\beta _{c}^{XY}\geq 2\beta _{c}^{\rm {Is}}~;$

आयाम D = 2 और युग्मन J = 1 में, यह प्राप्त होता है

$\beta _{c}^{XY}\geq \ln(1+{\sqrt {2}})\approx 0.88~.$

• कूलम्ब गैस के लिए गिनीब्रे असमानता का एक संस्करण मौजूद है जो सहसंबंधों की थर्मोडायनामिक सीमा के अस्तित्व को दर्शाता है।
• अन्य अनुप्रयोगों (स्पिन सिस्टम, XY मॉडल, XYZ क्वांटम श्रृंखला में चरण परिवर्तन) की समीक्षा की गई है।