ग्रिफ़िथ असमानता

सांख्यिकीय यांत्रिकी में, ग्रिफ़िथ असमानता, यह ग्रिफ़िथ-केली-शेरमन असमानता या जीकेएस असमानता नाम से भी विख्यात है तथा यह नाम रॉबर्ट बी ग्रिफ़िथ के नाम पर रखा गया है, लौहचुंबकीय चक्रण (स्पिन) प्रणालियों के लिए एक सहसंबंध असमानता है। अनौपचारिक रूप से, यह कहता है कि लौह-चुंबकीय चक्रण प्रणालियों में, यदि चक्रण फ्लिपिंग के अंतर्गत चक्रण का 'एक -प्राथमिक बटन' अपरिवर्तनीय होता है, तो चक्रण के किसी भी एकपद (मोनोमियल) का सहसंबंध अऋणात्मक होता है; तथा चक्रण के दो एकपद का दो बिंदु सहसंबंध अऋणात्मक होते है।

असमानता को ग्रिफिथ्स द्वारा आइसिंग लौहचुम्बकों के लिए द्वि निकाय पारस्परिक क्रिया (टू-बॉडी इंटरैक्शन) के साथ प्रमाणित किया गया था, फिर केली तथा शर्मन द्वारा यादृच्छिक रूप से चक्रण की संख्या से जुड़े अन्तःक्रिया के लिए सामान्यीकृत किया गया, तथा फिर ग्रिफिथ्स द्वारा यादृच्छिक रूप से चक्रण वाले निकाय के लिए। गिनीब्रे द्वारा एक अधिक सामान्य सूत्रीकरण दिया गया था, तथा अब इसे गिनीब्रे असमानता कहा जाता है।

परिभाषाएँ

मान लीजिए कि $\textstyle \sigma =\{\sigma _{j}\}_{j\in \Lambda }$ एक जालक Λ पर (सतत या असतत) चक्रण का एक विन्यास है। यदि A ⊂ Λ जालक स्थल की एक सूची है, संभवतः समरूप के साथ, तो $\textstyle \sigma _{A}=\prod _{j\in A}\sigma _{j}$ को A में चक्रण का उत्पाद होने दें।

चक्रण पर एक प्राथमिक माप dμ(σ) निर्दिष्ट करें; मान लीजिए कि H रूप का एक ऊर्जा फलन रूप है

$H(\sigma )=-\sum _{A}J_{A}\sigma _{A}~,$

जहां योग साइट A तथा मान लीजिए की सूचियों से अधिक है

$Z=\int d\mu (\sigma )e^{-H(\sigma )}$

विभाजन फलन बनें। सामान्य रूप से,

$\langle \cdot \rangle ={\frac {1}{Z}}\sum _{\sigma }\cdot (\sigma )e^{-H(\sigma )}$

एन्सेम्बल औसत का प्रतिनिधित्व करता है।

यदि साइट A, J_A ≥ 0 की किसी भी सूची के लिए निकाय को लौहचुंबकीय कहा जाता है। निकाय को चक्रण फ़्लिपिंग के अंतर्गत अपरिवर्तनीय कहा जाता है, यदि Λ में किसी भी जे के लिए, माप μ को साइन फ़्लिपिंग मैप σ → τ के अंतर्गत संरक्षित किया जाता है, जहां

$\tau _{k}={\begin{cases}\sigma _{k},&k\neq j,\\-\sigma _{k},&k=j.\end{cases}}$

असमानताओं का विवरण

प्रथम ग्रिफ़िथ असमानता

लौहचुंबकीय चक्रण प्रणाली में जो चक्रण फ़्लिपिंग के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है,

$\langle \sigma _{A}\rangle \geq 0$

चक्रण A की किसी भी सूची के लिए।

द्वितीय ग्रिफ़िथ असमानता

लौहचुंबकीय चक्रण प्रणाली में जो चक्रण फ़्लिपिंग के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है,

$\langle \sigma _{A}\sigma _{B}\rangle \geq \langle \sigma _{A}\rangle \langle \sigma _{B}\rangle$

चक्रण A तथा B की किसी भी सूची के लिए।

प्रथम असमानता द्वितीय असमानता की एक विशेष स्थिति है, जो B = ∅ के अनुरूप है।

प्रमाण

ध्यान दें कि विभाजन फलन परिभाषा के अनुसार अऋणात्मक है।

प्रथम असमानता का प्रमाण: विस्तार

$e^{-H(\sigma )}=\prod _{B}\sum _{k\geq 0}{\frac {J_{B}^{k}\sigma _{B}^{k}}{k!}}=\sum _{\{k_{C}\}_{C}}\prod _{B}{\frac {J_{B}^{k_{B}}\sigma _{B}^{k_{B}}}{k_{B}!}}~,$

तब

${\begin{aligned}Z\langle \sigma _{A}\rangle &=\int d\mu (\sigma )\sigma _{A}e^{-H(\sigma )}=\sum _{\{k_{C}\}_{C}}\prod _{B}{\frac {J_{B}^{k_{B}}}{k_{B}!}}\int d\mu (\sigma )\sigma _{A}\sigma _{B}^{k_{B}}\\&=\sum _{\{k_{C}\}_{C}}\prod _{B}{\frac {J_{B}^{k_{B}}}{k_{B}!}}\int d\mu (\sigma )\prod _{j\in \Lambda }\sigma _{j}^{n_{A}(j)+k_{B}n_{B}(j)}~,\end{aligned}}$

जहां n_A(j) उस संख्या को दर्शाता है जो j, A में प्रकट होता है। अब, चक्रण फ़्लिपिंग के अंतर्गत अपरिवर्तनीयता द्वारा,

$\int d\mu (\sigma )\prod _{j}\sigma _{j}^{n(j)}=0$

यदि कम से कम एक n(j) विषम है, तथा n के सम मानों के लिए समान अभिव्यक्ति स्पष्ट रूप से अऋणात्मक है। इसलिए, Z<σ_A>≥0, इसलिए <σ_A>≥0 भी।

द्वितीय असमानता का प्रमाण। द्वितीय ग्रिफ़िथ असमानता के लिए, यादृच्छिक चर को दोगुना करें, अर्थात $\sigma$ के समान बटन के साथ, चक्रण की द्वितीय प्रति, $\sigma '$ पर विचार करें। फिर

$\langle \sigma _{A}\sigma _{B}\rangle -\langle \sigma _{A}\rangle \langle \sigma _{B}\rangle =\langle \langle \sigma _{A}(\sigma _{B}-\sigma '_{B})\rangle \rangle ~.$

नवीन चरों का परिचय

$\sigma _{j}=\tau _{j}+\tau _{j}'~,\qquad \sigma '_{j}=\tau _{j}-\tau _{j}'~.$

दोगुनी प्रणाली $\langle \langle \;\cdot \;\rangle \rangle$, $\tau ,\tau '$ में लौहचुंबकीय है क्योंकि $-H(\sigma )-H(\sigma ')$ धनात्मक गुणांक के साथ $\tau ,\tau '$ में एक बहुपद है

${\begin{aligned}\sum _{A}J_{A}(\sigma _{A}+\sigma '_{A})&=\sum _{A}J_{A}\sum _{X\subset A}\left[1+(-1)^{|X|}\right]\tau _{A\setminus X}\tau '_{X}\end{aligned}}$

इसके अतिरिक्त चक्रण फ़्लिपिंग के अंतर्गत $\tau ,\tau '$ पर माप अपरिवर्तनीय है क्योंकि $d\mu (\sigma )d\mu (\sigma ')$ है। अंततः एकपदी $\sigma _{A}$, $\sigma _{B}-\sigma '_{B}$धनात्मक गुणांक वाले $\tau ,\tau '$ में बहुपद हैं

${\begin{aligned}\sigma _{A}&=\sum _{X\subset A}\tau _{A\setminus X}\tau '_{X}~,\\\sigma _{B}-\sigma '_{B}&=\sum _{X\subset B}\left[1-(-1)^{|X|}\right]\tau _{B\setminus X}\tau '_{X}~.\end{aligned}}$

$\langle \langle \sigma _{A}(\sigma _{B}-\sigma '_{B})\rangle \rangle$ पर लागू की गई प्रथम ग्रिफ़िथ असमानता परिणाम देती है।

अधिक विवरण तथा में हैं।

विस्तारण: गिनिब्रे असमानता

गिनिब्रे असमानता, जीन गिनिब्रे द्वारा प्राप्त हुआ, ग्रिफिथ्स असमानता का एक विस्तारण है।

सूत्रीकरण

मान लीजिए (Γ, μ) एक प्रायिकता समष्टि है। Γ पर फलन f, h के लिए, निरूपित करें

$\langle f\rangle _{h}=\int f(x)e^{-h(x)}\,d\mu (x){\Big /}\int e^{-h(x)}\,d\mu (x).$

मान लीजिए कि A, Γ पर वास्तविक फलनों का एक समुच्चय है जैसे कि A में प्रत्येक f₁,f₂,...,f_n के लिए, तथा ± संकेतों के किसी भी विकल्प के लिए,

$\iint d\mu (x)\,d\mu (y)\prod _{j=1}^{n}(f_{j}(x)\pm f_{j}(y))\geq 0.$

फिर, A द्वारा उत्पन्न अवमुखशंकु में किसी भी f,g,−h के लिए,

$\langle fg\rangle _{h}-\langle f\rangle _{h}\langle g\rangle _{h}\geq 0.$

प्रमाण

मान लीजिए

$Z_{h}=\int e^{-h(x)}\,d\mu (x).$

तब

${\begin{aligned}&Z_{h}^{2}\left(\langle fg\rangle _{h}-\langle f\rangle _{h}\langle g\rangle _{h}\right)\\&\qquad =\iint d\mu (x)\,d\mu (y)f(x)(g(x)-g(y))e^{-h(x)-h(y)}\\&\qquad =\sum _{k=0}^{\infty }\iint d\mu (x)\,d\mu (y)f(x)(g(x)-g(y)){\frac {(-h(x)-h(y))^{k}}{k!}}.\end{aligned}}$

अब असमानता धारणा से तथा पहचान से उत्पन्न होती है

$f(x)={\frac {1}{2}}(f(x)+f(y))+{\frac {1}{2}}(f(x)-f(y)).$

उदाहरण

• (द्वितीय) ग्रिफ़िथ असमानता को पुनर्प्राप्त करने के लिए, Γ = {−1, +1}^Λ लीजिए, जहां Λ एक जालक है, तथा μ को Γ पर एक माप दें जो साइन फ़्लिपिंग के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है। धनात्मक गुणांक वाले बहुपदों का शंकु A गिनिब्रे असमानता की मान्यताओं को संतुष्ट करता है।
• (Γ, μ) हार माप के साथ एक क्रमविनिमेय सघन समूह है, A, Γ पर वास्तविक धनात्मक निश्चित फलनों का शंकु है।
• Γ एक पूरी तरह से व्यवस्थित समुच्चय है, A, Γ पर वास्तविक धनात्मक गैर-घटते कार्यों का शंकु है। इससे चेबीशेव की कुल असमानता प्राप्त होती है। आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए समुच्चयों के विस्तार के लिए, एफकेजी असमानता देखें।

अनुप्रयोग

• लौहचुंबकीय आइसिंग मॉडल के सहसंबंधों की ऊष्मागतिक सीमा (अऋणात्मक बाहरी क्षेत्र h तथा मुक्त सीमा स्थितियों के साथ) विद्यमान है। ऐसा इसलिए है क्योंकि वॉल्यूम बढ़ाना एक निश्चित उपसमुच्चय B के लिए नए कपलिंग J_B पर स्विच करने के समान है। द्वितीय ग्रिफ़िथ असमानता के अनुसार

${\frac {\partial }{\partial J_{B}}}\langle \sigma _{A}\rangle =\langle \sigma _{A}\sigma _{B}\rangle -\langle \sigma _{A}\rangle \langle \sigma _{B}\rangle \geq 0$

अत: $\langle \sigma _{A}\rangle$ आयतन के साथ नीरस रूप से बढ़ रहा है; तब यह अभिसरित हो जाता है क्योंकि यह 1 से घिरा होता है।

• इंटरैक्शन $J_{x,y}\sim |x-y|^{-\alpha }$ के साथ एक-विमीय, लौहचुंबकीय आइसिंग मॉडल $1<\alpha <2$ यदि एक चरण संक्रमण प्रदर्शित करता है।

इस संपत्ति को एक पदानुक्रमित सन्निकटन में दिखाया जा सकता है, जो कुछ इंटरैक्शन की अनुपस्थिति के कारण पूर्ण मॉडल से भिन्न होता है: द्वितीय ग्रिफ़िथ असमानता के साथ ऊपर तर्क करते हुए, परिणाम पूर्ण मॉडल पर चलते हैं।

• गिनीब्रे असमानता द्वि-विमीय चिरसम्मत XY मॉडल के लिए मुक्त ऊर्जा तथा चक्रण सहसंबंधों के लिए ऊष्मागतिक सीमा के अस्तित्व को प्रदान करती है। इसके अतिरिक्त, गिनिब्रे असमानता के माध्यम से, कुंज तथा फिस्टर ने लौहचुंबकीय XY मॉडल के लिए $J_{x,y}\sim |x-y|^{-\alpha }$ यदि $2<\alpha <4$ के साथ इंटरैक्शन के साथ एक चरण संक्रमण की उपस्थिति को प्रमाणित किया।
• ऐजेनमैन तथा साइमन ने जिनिब्रे असमता का उपयोग करके सिद्ध किया कि लौहचुंबकीय चिरसम्मत XY मॉडल के $D$ विमा, $J>0$ कपल तथा $\beta$ व्युत्क्रम तापमान में दो बिंदु चक्रण सहसम्बंध को (अर्थात उसका अपर बाउंड दिया गया है) लौहचुंबकीय आइसिंग मॉडल के $D$ विमा, $J>0$ कपल तथा $\beta /2$ व्युत्क्रम तापमान के दो बिंदु सहसम्बंध द्वारा नियंत्रित है।

$\langle \mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\rangle _{J,2\beta }\leq \langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle _{J,\beta }$

इसलिए XY मॉडल का क्रिटिकल $\beta$ आइसिंग मॉडल के क्रिटिकल तापमान के दोगुने से छोटा नहीं हो सकता है

$\beta _{c}^{XY}\geq 2\beta _{c}^{\rm {Is}}~;$

विमा D = 2 तथा युग्मन J = 1 में, यह प्राप्त होता है

$\beta _{c}^{XY}\geq \ln(1+{\sqrt {2}})\approx 0.88~.$

• कूलम्ब गैस के लिए गिनीब्रे असमानता का एक संस्करण विद्यमान है जो सहसंबंधों की ऊष्मागतिक सीमा के अस्तित्व को दर्शाता है।
• अन्य अनुप्रयोगों (चक्रण निकाय, XY मॉडल, XYZ क्वांटम श्रृंखला में चरण परिवर्तन) की समीक्षा की गई है।