स्केलिंग आयाम: Difference between revisions
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स्केल इनवेरिएंस क्वांटम फ़ील्ड सिद्धांत में, परिभाषा के अनुसार प्रत्येक ऑपरेटर O | स्केल इनवेरिएंस क्वांटम फ़ील्ड सिद्धांत में, परिभाषा के अनुसार प्रत्येक ऑपरेटर O फैलाव के तहत प्राप्त करता है <math>x\to \lambda x</math> कारक <math>\lambda^{-\Delta}</math>, कहाँ <math>\Delta</math> संख्या है जिसे O का स्केलिंग आयाम कहा जाता है। इसका तात्पर्य विशेष रूप से यह है कि दो बिंदु सहसंबंध कार्य करते हैं <math>\langle O(x) O(0)\rangle</math> की दूरी पर निर्भर करता है <math>(x^2)^{-\Delta}</math>. अधिक आम तौर पर, कई स्थानीय ऑपरेटरों के सहसंबंध कार्यों को इस तरह से दूरियों पर निर्भर होना चाहिए | ||
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मुक्त सिद्धांत सबसे सरल पैमाने-अपरिवर्तनीय क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत हैं। मुक्त सिद्धांतों में, प्राथमिक ऑपरेटरों के बीच अंतर किया जाता है, जो [[लैग्रेंजियन (क्षेत्र सिद्धांत)]] में दिखाई देने वाले क्षेत्र हैं, | मुक्त सिद्धांत सबसे सरल पैमाने-अपरिवर्तनीय क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत हैं। मुक्त सिद्धांतों में, प्राथमिक ऑपरेटरों के बीच अंतर किया जाता है, जो [[लैग्रेंजियन (क्षेत्र सिद्धांत)]] में दिखाई देने वाले क्षेत्र हैं, | ||
और मिश्रित ऑपरेटर जो प्राथमिक ऑपरेटरों के उत्पाद हैं। | और मिश्रित ऑपरेटर जो प्राथमिक ऑपरेटरों के उत्पाद हैं। प्राथमिक ऑपरेटर O का स्केलिंग आयाम [[लैग्रेंजियन यांत्रिकी]] से आयामी विश्लेषण द्वारा निर्धारित किया जाता है (चार स्पेसटाइम आयामों में, यह वेक्टर क्षमता सहित प्राथमिक बोसोनिक क्षेत्रों के लिए 1 है, प्राथमिक फर्मिओनिक क्षेत्रों आदि के लिए 3/2 है)। इस स्केलिंग आयाम को 'शास्त्रीय आयाम' कहा जाता है (शब्द 'कैनोनिकल आयाम' और 'इंजीनियरिंग आयाम' का भी उपयोग किया जाता है)। आयामों के दो ऑपरेटरों का उत्पाद लेकर प्राप्त मिश्रित ऑपरेटर <math>\Delta_1</math> और <math>\Delta_2</math> नया ऑपरेटर है जिसका आयाम योग है <math>\Delta_1+\Delta_2</math>. | ||
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ऐसे कई पैमाने के अपरिवर्तनीय क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत हैं जो स्वतंत्र सिद्धांत नहीं हैं; इन्हें अंतःक्रिया करना कहा जाता है। ऐसे सिद्धांतों में ऑपरेटरों के स्केलिंग आयामों को लैग्रेंजियन (क्षेत्र सिद्धांत) से अलग नहीं किया जा सकता है; वे आवश्यक रूप से (आधा)पूर्णांक भी नहीं हैं। उदाहरण के लिए, द्वि-आयामी [[आइसिंग मॉडल]] के महत्वपूर्ण बिंदुओं का वर्णन करने वाले पैमाने (और अनुरूप) अपरिवर्तनीय सिद्धांत में | ऐसे कई पैमाने के अपरिवर्तनीय क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत हैं जो स्वतंत्र सिद्धांत नहीं हैं; इन्हें अंतःक्रिया करना कहा जाता है। ऐसे सिद्धांतों में ऑपरेटरों के स्केलिंग आयामों को लैग्रेंजियन (क्षेत्र सिद्धांत) से अलग नहीं किया जा सकता है; वे आवश्यक रूप से (आधा)पूर्णांक भी नहीं हैं। उदाहरण के लिए, द्वि-आयामी [[आइसिंग मॉडल]] के महत्वपूर्ण बिंदुओं का वर्णन करने वाले पैमाने (और अनुरूप) अपरिवर्तनीय सिद्धांत में ऑपरेटर होता है <math>\sigma</math> जिसका आयाम 1/8 है.<ref name="2d">In the [[conformal field theory]] nomenclature, this theory is the [[Minimal model (physics)|minimal model]] <math>M_{3,4}</math> which contains the operators <math>\sigma=\phi_{1,2}</math> and <math>\epsilon=\phi_{1,3}</math>.</ref><ref name=CFT/> | ||
मुक्त सिद्धांतों की तुलना में सिद्धांतों की परस्पर क्रिया में संचालिका गुणन सूक्ष्म है। आयामों के साथ दो ऑपरेटरों का [[ऑपरेटर उत्पाद विस्तार]] <math>\Delta_1</math> और <math>\Delta_2</math> आम तौर पर अद्वितीय ऑपरेटर नहीं बल्कि अनंत रूप से कई ऑपरेटर देगा, और उनका आयाम आम तौर पर बराबर नहीं होगा <math>\Delta_1+\Delta_2</math>. उपरोक्त द्वि-आयामी आइसिंग मॉडल उदाहरण में, ऑपरेटर उत्पाद <math>\sigma \times\sigma</math> ऑपरेटर देता है <math>\epsilon</math> जिसका आयाम 1 है और आयाम का दोगुना नहीं है <math>\sigma</math>.<ref name=2d/><ref name=CFT/> | |||
== गैर पैमाने-अपरिवर्तनीय क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत == | == गैर पैमाने-अपरिवर्तनीय क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत == | ||
ऐसे कई क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत हैं, जो बिल्कुल पैमाने पर अपरिवर्तनीय नहीं होने के बावजूद, लंबी दूरी की दूरी पर लगभग पैमाने पर अपरिवर्तित रहते हैं। ऐसे क्वांटम क्षेत्र सिद्धांतों को मुक्त क्षेत्र सिद्धांतों में छोटे आयाम रहित [[युग्मन स्थिरांक]] के साथ अंतःक्रिया शर्तों को जोड़कर प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, चार स्पेसटाइम आयामों में कोई क्वार्टिक स्केलर कपलिंग, युकावा कपलिंग या गेज कपलिंग जोड़ सकता है। ऐसे सिद्धांतों में ऑपरेटरों के स्केलिंग आयामों को योजनाबद्ध रूप से व्यक्त किया जा सकता है <math>\Delta=\Delta_0 + \gamma(g)</math>, कहाँ <math>\Delta_0</math> वह आयाम है जब सभी कपलिंग शून्य पर सेट होते हैं (अर्थात शास्त्रीय आयाम), जबकि <math>\gamma(g)</math> इसे विषम आयाम कहा जाता है, और इसे सामूहिक रूप से दर्शाए गए कपलिंगों में | ऐसे कई क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत हैं, जो बिल्कुल पैमाने पर अपरिवर्तनीय नहीं होने के बावजूद, लंबी दूरी की दूरी पर लगभग पैमाने पर अपरिवर्तित रहते हैं। ऐसे क्वांटम क्षेत्र सिद्धांतों को मुक्त क्षेत्र सिद्धांतों में छोटे आयाम रहित [[युग्मन स्थिरांक]] के साथ अंतःक्रिया शर्तों को जोड़कर प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, चार स्पेसटाइम आयामों में कोई क्वार्टिक स्केलर कपलिंग, युकावा कपलिंग या गेज कपलिंग जोड़ सकता है। ऐसे सिद्धांतों में ऑपरेटरों के स्केलिंग आयामों को योजनाबद्ध रूप से व्यक्त किया जा सकता है <math>\Delta=\Delta_0 + \gamma(g)</math>, कहाँ <math>\Delta_0</math> वह आयाम है जब सभी कपलिंग शून्य पर सेट होते हैं (अर्थात शास्त्रीय आयाम), जबकि <math>\gamma(g)</math> इसे विषम आयाम कहा जाता है, और इसे सामूहिक रूप से दर्शाए गए कपलिंगों में शक्ति श्रृंखला के रूप में व्यक्त किया जाता है <math>g</math>.<ref>{{Cite book | ||
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आम तौर पर, क्वांटम यांत्रिक प्रभावों के कारण, कपलिंग <math>g</math> कपलिंग_कॉन्स्टेंट#रनिंग_कपलिंग|स्थिर नहीं रहते हैं, लेकिन उनके [[बीटा फ़ंक्शन (भौतिकी)]]|बीटा-फ़ंक्शन के अनुसार दूरी पैमाने के साथ भिन्न होते हैं (क्वांटम फ़ील्ड सिद्धांत के शब्दजाल में, रन)। इसलिए विषम आयाम <math>\gamma(g)</math> ऐसे सिद्धांतों में दूरी के पैमाने पर भी निर्भर करता है। विशेष रूप से स्थानीय ऑपरेटरों के सहसंबंध कार्य अब सरल शक्तियाँ नहीं हैं, बल्कि आम तौर पर लघुगणकीय सुधारों के साथ, दूरियों पर अधिक जटिल निर्भरता रखते हैं। | आम तौर पर, क्वांटम यांत्रिक प्रभावों के कारण, कपलिंग <math>g</math> कपलिंग_कॉन्स्टेंट#रनिंग_कपलिंग|स्थिर नहीं रहते हैं, लेकिन उनके [[बीटा फ़ंक्शन (भौतिकी)]]|बीटा-फ़ंक्शन के अनुसार दूरी पैमाने के साथ भिन्न होते हैं (क्वांटम फ़ील्ड सिद्धांत के शब्दजाल में, रन)। इसलिए विषम आयाम <math>\gamma(g)</math> ऐसे सिद्धांतों में दूरी के पैमाने पर भी निर्भर करता है। विशेष रूप से स्थानीय ऑपरेटरों के सहसंबंध कार्य अब सरल शक्तियाँ नहीं हैं, बल्कि आम तौर पर लघुगणकीय सुधारों के साथ, दूरियों पर अधिक जटिल निर्भरता रखते हैं। | ||
ऐसा हो सकता है कि कपलिंग के विकास से | ऐसा हो सकता है कि कपलिंग के विकास से मूल्य प्राप्त होगा <math>g=g_*</math> जहां बीटा फ़ंक्शन (भौतिकी)|बीटा-फ़ंक्शन गायब हो जाता है। फिर लंबी दूरी पर सिद्धांत स्केल इनवेरिएंस बन जाता है, और विषम आयाम चलना बंद हो जाते हैं। इस तरह के व्यवहार को इन्फ्रारेड निश्चित बिंदु कहा जाता है। | ||
बहुत विशेष मामलों में, ऐसा तब हो सकता है जब कपलिंग और असामान्य आयाम बिल्कुल नहीं चलते हैं, जिससे सिद्धांत सभी दूरी पर और कपलिंग के किसी भी मूल्य के लिए स्केल अपरिवर्तनीय होता है। उदाहरण के लिए, यह N = 4 सुपरसिमेट्रिक यांग-मिल्स सिद्धांत में होता है|N=4 सुपरसिमेट्रिक यांग-मिल्स सिद्धांत। | बहुत विशेष मामलों में, ऐसा तब हो सकता है जब कपलिंग और असामान्य आयाम बिल्कुल नहीं चलते हैं, जिससे सिद्धांत सभी दूरी पर और कपलिंग के किसी भी मूल्य के लिए स्केल अपरिवर्तनीय होता है। उदाहरण के लिए, यह N = 4 सुपरसिमेट्रिक यांग-मिल्स सिद्धांत में होता है|N=4 सुपरसिमेट्रिक यांग-मिल्स सिद्धांत। | ||
Revision as of 11:18, 24 November 2023
सैद्धांतिक भौतिकी में, क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में स्थानीय ऑपरेटर का स्केलिंग आयाम, या बस आयाम, स्पेसटाइम डिलेशन (एफ़िन ज्योमेट्री) के तहत ऑपरेटर के रीस्केलिंग गुणों की विशेषता बताता है। . यदि क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत स्केल अपरिवर्तनीयता है, तो ऑपरेटरों के स्केलिंग आयाम निश्चित संख्याएं हैं, अन्यथा वे दूरी पैमाने के कार्य हैं।
स्केल-अपरिवर्तनीय क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत
स्केल इनवेरिएंस क्वांटम फ़ील्ड सिद्धांत में, परिभाषा के अनुसार प्रत्येक ऑपरेटर O फैलाव के तहत प्राप्त करता है कारक , कहाँ संख्या है जिसे O का स्केलिंग आयाम कहा जाता है। इसका तात्पर्य विशेष रूप से यह है कि दो बिंदु सहसंबंध कार्य करते हैं की दूरी पर निर्भर करता है . अधिक आम तौर पर, कई स्थानीय ऑपरेटरों के सहसंबंध कार्यों को इस तरह से दूरियों पर निर्भर होना चाहिए अधिकांश पैमाने के अपरिवर्तनीय सिद्धांत भी अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत हैं, जो स्थानीय ऑपरेटरों के सहसंबंध कार्यों पर और बाधाएं लगाते हैं।[1]
मुक्त क्षेत्र सिद्धांत
मुक्त सिद्धांत सबसे सरल पैमाने-अपरिवर्तनीय क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत हैं। मुक्त सिद्धांतों में, प्राथमिक ऑपरेटरों के बीच अंतर किया जाता है, जो लैग्रेंजियन (क्षेत्र सिद्धांत) में दिखाई देने वाले क्षेत्र हैं, और मिश्रित ऑपरेटर जो प्राथमिक ऑपरेटरों के उत्पाद हैं। प्राथमिक ऑपरेटर O का स्केलिंग आयाम लैग्रेंजियन यांत्रिकी से आयामी विश्लेषण द्वारा निर्धारित किया जाता है (चार स्पेसटाइम आयामों में, यह वेक्टर क्षमता सहित प्राथमिक बोसोनिक क्षेत्रों के लिए 1 है, प्राथमिक फर्मिओनिक क्षेत्रों आदि के लिए 3/2 है)। इस स्केलिंग आयाम को 'शास्त्रीय आयाम' कहा जाता है (शब्द 'कैनोनिकल आयाम' और 'इंजीनियरिंग आयाम' का भी उपयोग किया जाता है)। आयामों के दो ऑपरेटरों का उत्पाद लेकर प्राप्त मिश्रित ऑपरेटर और नया ऑपरेटर है जिसका आयाम योग है .
जब इंटरैक्शन चालू होते हैं, तो स्केलिंग आयाम को सुधार प्राप्त होता है जिसे विषम आयाम कहा जाता है (नीचे देखें)।
इंटरैक्टिंग फील्ड सिद्धांत
ऐसे कई पैमाने के अपरिवर्तनीय क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत हैं जो स्वतंत्र सिद्धांत नहीं हैं; इन्हें अंतःक्रिया करना कहा जाता है। ऐसे सिद्धांतों में ऑपरेटरों के स्केलिंग आयामों को लैग्रेंजियन (क्षेत्र सिद्धांत) से अलग नहीं किया जा सकता है; वे आवश्यक रूप से (आधा)पूर्णांक भी नहीं हैं। उदाहरण के लिए, द्वि-आयामी आइसिंग मॉडल के महत्वपूर्ण बिंदुओं का वर्णन करने वाले पैमाने (और अनुरूप) अपरिवर्तनीय सिद्धांत में ऑपरेटर होता है जिसका आयाम 1/8 है.[2][1]
मुक्त सिद्धांतों की तुलना में सिद्धांतों की परस्पर क्रिया में संचालिका गुणन सूक्ष्म है। आयामों के साथ दो ऑपरेटरों का ऑपरेटर उत्पाद विस्तार और आम तौर पर अद्वितीय ऑपरेटर नहीं बल्कि अनंत रूप से कई ऑपरेटर देगा, और उनका आयाम आम तौर पर बराबर नहीं होगा . उपरोक्त द्वि-आयामी आइसिंग मॉडल उदाहरण में, ऑपरेटर उत्पाद ऑपरेटर देता है जिसका आयाम 1 है और आयाम का दोगुना नहीं है .[2][1]
गैर पैमाने-अपरिवर्तनीय क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत
ऐसे कई क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत हैं, जो बिल्कुल पैमाने पर अपरिवर्तनीय नहीं होने के बावजूद, लंबी दूरी की दूरी पर लगभग पैमाने पर अपरिवर्तित रहते हैं। ऐसे क्वांटम क्षेत्र सिद्धांतों को मुक्त क्षेत्र सिद्धांतों में छोटे आयाम रहित युग्मन स्थिरांक के साथ अंतःक्रिया शर्तों को जोड़कर प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, चार स्पेसटाइम आयामों में कोई क्वार्टिक स्केलर कपलिंग, युकावा कपलिंग या गेज कपलिंग जोड़ सकता है। ऐसे सिद्धांतों में ऑपरेटरों के स्केलिंग आयामों को योजनाबद्ध रूप से व्यक्त किया जा सकता है , कहाँ वह आयाम है जब सभी कपलिंग शून्य पर सेट होते हैं (अर्थात शास्त्रीय आयाम), जबकि इसे विषम आयाम कहा जाता है, और इसे सामूहिक रूप से दर्शाए गए कपलिंगों में शक्ति श्रृंखला के रूप में व्यक्त किया जाता है .[3] शास्त्रीय और विसंगतिपूर्ण भाग में स्केलिंग आयामों का ऐसा पृथक्करण केवल तभी सार्थक होता है जब कपलिंग छोटी होती है, ताकि छोटा सा सुधार है.
आम तौर पर, क्वांटम यांत्रिक प्रभावों के कारण, कपलिंग कपलिंग_कॉन्स्टेंट#रनिंग_कपलिंग|स्थिर नहीं रहते हैं, लेकिन उनके बीटा फ़ंक्शन (भौतिकी)|बीटा-फ़ंक्शन के अनुसार दूरी पैमाने के साथ भिन्न होते हैं (क्वांटम फ़ील्ड सिद्धांत के शब्दजाल में, रन)। इसलिए विषम आयाम ऐसे सिद्धांतों में दूरी के पैमाने पर भी निर्भर करता है। विशेष रूप से स्थानीय ऑपरेटरों के सहसंबंध कार्य अब सरल शक्तियाँ नहीं हैं, बल्कि आम तौर पर लघुगणकीय सुधारों के साथ, दूरियों पर अधिक जटिल निर्भरता रखते हैं।
ऐसा हो सकता है कि कपलिंग के विकास से मूल्य प्राप्त होगा जहां बीटा फ़ंक्शन (भौतिकी)|बीटा-फ़ंक्शन गायब हो जाता है। फिर लंबी दूरी पर सिद्धांत स्केल इनवेरिएंस बन जाता है, और विषम आयाम चलना बंद हो जाते हैं। इस तरह के व्यवहार को इन्फ्रारेड निश्चित बिंदु कहा जाता है।
बहुत विशेष मामलों में, ऐसा तब हो सकता है जब कपलिंग और असामान्य आयाम बिल्कुल नहीं चलते हैं, जिससे सिद्धांत सभी दूरी पर और कपलिंग के किसी भी मूल्य के लिए स्केल अपरिवर्तनीय होता है। उदाहरण के लिए, यह N = 4 सुपरसिमेट्रिक यांग-मिल्स सिद्धांत में होता है|N=4 सुपरसिमेट्रिक यांग-मिल्स सिद्धांत।
संदर्भ
- ↑ 1.0 1.1 1.2 Philippe Di Francesco; Pierre Mathieu; David Sénéchal (1997). Conformal field theory. New York: Springer.
- ↑ 2.0 2.1 In the conformal field theory nomenclature, this theory is the minimal model which contains the operators and .
- ↑ Peskin, Michael E; Daniel V Schroeder (1995). An Introduction to quantum field theory. Reading [etc.]: Addison-Wesley.
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