किलिंग सदिश क्षेत्र: Difference between revisions

Latest revision as of 10:20, 11 December 2023

गणित में, किलिंग सदिश क्षेत्र ऐसा सदिश क्षेत्र हैं जिसे अधिकांशतः किलिंग क्षेत्र नाम से भी जाना जाता है), इसका नाम विल्हेम किलिंग के नाम पर रखा गया था, [[रीमैनियन मैनीफोल्ड ]] (या स्यूडो-रीमैनियन मैनिफोल्ड) पर सदिश क्षेत्र है जो मीट्रिक टेंसर को संरक्षित करता है। किलिंग क्षेत्र ऐसा लाई समूह तथा आइसोमेट्री समूह हैं जिसके लिए लाई समूहों से संबद्ध होने वाली लाई बीजगणित अर्थात् किलिंग क्षेत्र द्वारा उत्पन्न होने वाले प्रवाह (ज्यामिति) मैनिफोल्ड की आइसोमेट्री (रीमैनियन ज्यामिति) को बनाती है। इसके लिए यह अधिक सरलता से प्रवाह समरूपता को उत्पन्न करता है, इस अर्थ यह हैं कि किसी वस्तु के प्रत्येक बिंदु को किलिंग सदिश की दिशा में समान दूरी पर ले जाने से वस्तु पर दूरियाँ विकृत नहीं होंगी।

परिभाषा

विशेष रूप से, सदिश क्षेत्र X किलिंग क्षेत्र है यदि मीट्रिक g के X के संबंध में लाई व्युत्पन्न विलुप्त हो जाता है:^[1]

{\mathcal {L}}_{X}g=0\,.

लेवी-सिविटा कनेक्शन के संदर्भ में, यह है

g\left(\nabla _{Y}X,Z\right)+g\left(Y,\nabla _{Z}X\right)=0\,

सभी सदिश Y और Z के लिए समष्टिीय निर्देशांक में, यह किलिंग समीकरण के समान है^[2]

\nabla _{\mu }X_{\nu }+\nabla _{\nu }X_{\mu }=0\,.

यह स्थिति सहसंयोजक रूप में व्यक्त की जाती है। इसलिए इसे सभी समन्वय प्रणालियों में समझने के लिए इसे उपयोगी समन्वय प्रणाली में स्थापित करना पर्याप्त है।

उदाहरण

वृत्त पर किलिंग क्षेत्र

वृत्त पर किलिंग क्षेत्र और किलिंग क्षेत्र के साथ प्रवाह।

किसी वृत्त पर सदिश क्षेत्र जो वामावर्त को इंगित करता है, और इसके साथ प्रत्येक बिंदु पर इसकी समान लंबाई होती है, इसके आधार पर यह किलिंग सदिश क्षेत्र है, क्योंकि इस प्रकार इस सदिश क्षेत्र के साथ वृत्त पर प्रत्येक बिंदु को समष्टिांतरित करने से वृत्त बस घूर्णन करता है।

अतिपरवलयिक तल पर किलिंग क्षेत्र

बिंदुओं के अर्धवृत्ताकार चयन पर, ऊपरी-आधे समतल प्रारूप पर किलिंग क्षेत्र। यह किलिंग सदिश क्षेत्र विशेष अनुरूप परिवर्तन उत्पन्न करता है। इस प्रकार रंग उस बिंदु पर सदिश क्षेत्र के परिमाण को इंगित करता है।

किलिंग सदिश क्षेत्र के लिए इसका सरलतम उदाहरण $M=\mathbb {R} _{y>0}^{2}$ जो ऊपरी आधे तल पर है, इस प्रकार पोंकारे मीट्रिक $g=y^{-2}\left(dx^{2}+dy^{2}\right)$ जोड़ी $(M,g)$ से सुसज्जित होता हैं। इस प्रकार इसे सामान्यतः पोंकारे हाफ-प्लेन प्रारूप कहा जाता है और इसमें किलिंग सदिश क्षेत्र $\partial _{x}$ (मानक निर्देशांक का उपयोग करके) होता है। इसके आधार पर सहसंयोजक व्युत्पन्न के पश्चात यह सहज रूप से स्पष्ट होना चाहिए, जिसके लिए $\nabla _{\partial _{x}}g$ सदिश क्षेत्र (जिसकी छवि x-अक्ष के समानांतर है) द्वारा उत्पन्न अभिन्न वक्र के साथ मीट्रिक को समष्टिांतरित करता है।

इसके अतिरिक्त $x$ मीट्रिक इससे स्वतंत्र है, जिससे हम तुरंत $\partial _{x}$ के लिए यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं, इस आलेख में नीचे दिए गए परिणामों में से का उपयोग करके किलिंग क्षेत्र है।

ऊपरी अर्ध-तल प्रारूप का आइसोमेट्री समूह ${\text{SL}}(2,\mathbb {R} )$ (या बल्कि, पहचान से जुड़ा घटक) है, (पोइंकारे हाफ-प्लेन प्रारूप देखें), और इस प्रकार अन्य दो किलिंग क्षेत्र जनरेटर की प्रतिक्रिया पर विचार करके प्राप्त किए जा सकते हैं, इस कारण ${\text{SL}}(2,\mathbb {R} )$ ऊपरी आधे तल पर अन्य दो उत्पन्न करने वाले किलिंग क्षेत्र $D=x\partial _{x}+y\partial _{y}$ पर प्रसारित होता हैं, और इस प्रकार विशेष अनुरूप परिवर्तन $K=(x^{2}-y^{2})\partial _{x}+2xy\partial _{y}$ को प्रदर्शित करता हैं।

2-गोले पर किलिंग क्षेत्र

दो-गोले के किलिंग क्षेत्र $S^{2}$ , या अधिक सामान्यतः $n$ -गोला $S^{n}$ सामान्य अंतर्ज्ञान से स्पष्ट होना चाहिए: घूर्णी समरूपता वाले क्षेत्रों में किलिंग क्षेत्र होने चाहिए जो किसी भी अक्ष के बारे में घूर्णन उत्पन्न करते हैं। अर्ताथ इस प्रकार हम उम्मीद करते हैं कि $S^{2}$ 3डी घूर्णन समूह SO(3) की प्रतिक्रिया के अनुसार समरूपता प्राप्त करना होता हैं। इस प्रकार प्राथमिक ज्ञान का उपयोग करके कि गोले को यूक्लिडियन क्षेत्र में एम्बेड किया जा सकता है, इस प्रकार किलिंग क्षेत्र के रूप का अनुमान लगाना तुरंत संभव है। यह सामान्य रूप से संभव नहीं है, और इसलिए यह उदाहरण बहुत ही सीमित शैक्षिक मूल्य का है।

2-गोले के लिए पारंपरिक चार्ट अंतर्निहित है, इसके आधार पर $\mathbb {R} ^{3}$ कार्तीय निर्देशांक में $(x,y,z)$ द्वारा दिया गया है।

x=\sin \theta \cos \phi ,\qquad y=\sin \theta \sin \phi ,\qquad z=\cos \theta

जिससे कि $\theta$ ऊँचाई को मापता है, और $\phi$ पैरामीटर्स के बारे में घूर्णन $z$ -एक्सिस पर होता हैं।

मानक कार्टेशियन मीट्रिक को वापस खींचना $ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$ गोले पर मानक मीट्रिक देता है,

ds^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}

.

सहज रूप से, किसी भी अक्ष के चारों ओर घूमना आइसोमेट्री होना चाहिए। इस प्रकार इस चार्ट में सदिश क्षेत्र $z$ -एक्सिस के बारे में घूर्णन उत्पन्न करता है:

{\frac {\partial }{\partial \phi }}.

इन निर्देशांकों में, मीट्रिक घटक $\phi$ के लिए सभी स्वतंत्र हैं, जो यह किलिंग क्षेत्र $\partial _{\phi }$ दर्शाता है

सदिश क्षेत्र

{\frac {\partial }{\partial \theta }}

किलिंग क्षेत्र नहीं है, समन्वय $\theta$ मीट्रिक में स्पष्ट रूप से दिखाई देता है। जिसके द्वारा उत्पन्न प्रवाह $\partial _{\theta }$ उत्तर से दक्षिण की ओर जाता है, इस प्रकार उत्तरी ध्रुव के बिंदु दूर-दूर फैलते हैं, दक्षिण के बिंदु साथ आते हैं। कोई भी परिवर्तन जो बिंदुओं को समीप या दूर ले जाता है वह आइसोमेट्री नहीं हो सकता, इसलिए ऐसी गति का जनक कोई किलिंग क्षेत्र नहीं हो सकता हैं।

जनरेटर $\partial _{\phi }$ के बारे में घूर्णन $z$ -एक्सिस के रूप में पहचाना जाता है।

Z=x\partial _{y}-y\partial _{x}=\sin ^{2}\theta \,\partial _{\phi }

एक दूसरा जनरेटर $x$ -अक्ष के चारों ओर घूमता है,

X=z\partial _{y}-y\partial _{z}

तीसरा जनरेटर, चारों ओर घूमने के लिए $y$ -अक्ष पर रहता है।

Y=z\partial _{x}-x\partial _{z}

इन तीन जनरेटरों के रैखिक संयोजनों द्वारा दिया गया बीजगणित बंद हो जाता है, और इस प्रकार यह संबंधों का पालन करता है।

[X,Y]=Z\quad [Y,Z]=X\quad [Z,X]=Y.

यह असत्य बीजगणित ${\mathfrak {so}}(3)$ है।

इसके आधार पर $X$ और $Y$ गोलाकार निर्देशांक के संदर्भ में देता है

X=\sin ^{2}\theta \,(\sin \phi \partial _{\theta }+\cot \theta \cos \phi \partial _{\phi })

और

Y=\sin ^{2}\theta \,(\cos \phi \partial _{\theta }-\cot \theta \sin \phi \partial _{\phi })

ये तीन सदिश क्षेत्र वास्तव में किलिंग क्षेत्र हैं, इसे दो अलग-अलग विधियों से निर्धारित किया जा सकता है। इसकी स्पष्ट गणना बस के लिए स्पष्ट अभिव्यक्तियों ${\mathcal {L}}_{X}g$ को प्लग इन करें और ${\mathcal {L}}_{X}g={\mathcal {L}}_{Y}g={\mathcal {L}}_{Z}g=0.$ का मान दिखाने के लिए निंदा करें, यह मुख्य रूप से सार्थक अभ्यास है, जिसे इस प्रकार वैकल्पिक रूप से कोई भी पहचान सकता है, इस प्रकार $X,Y$ और $Z$ यूक्लिडियन क्षेत्र में आइसोमेट्री के जनरेटर हैं, और चूंकि गोले पर मीट्रिक यूक्लिडियन क्षेत्र में मीट्रिक से विरासत में मिली है, इसलिए आइसोमेट्री भी विरासत में मिली है।

ये तीन किलिंग क्षेत्र बीजगणित के लिए जनरेटर का पूरा सेट बनाते हैं। इस प्रकार ये अद्वितीय नहीं हैं: इन तीन क्षेत्रों का कोई भी रैखिक संयोजन अभी भी किलिंग क्षेत्र है।

इस उदाहरण के बारे में ध्यान देने योग्य कई सूक्ष्म बातें हैं।

तीन क्षेत्र विश्व स्तर पर गैर-शून्य नहीं हैं, वास्तव में, क्षेत्र $Z$ उत्तरी और दक्षिणी ध्रुवों पर लुप्त हो जाता है, इस प्रकार वैसे ही $X$ और $Y$ भूमध्य रेखा पर एंटीपोड पर विलुप्त हो जाते हैं। इसे समझने का तरीका हेयरी बॉल प्रमेय का परिणाम है। इस प्रकार के धब्बों के लिए यह मान, कार्टन अपघटन में सममित समष्टि की सामान्य मान है। इस प्रकार मैनिफ़ोल्ड के प्रत्येक बिंदु पर, किलिंग क्षेत्र का बीजगणित स्वाभाविक रूप से दो भागों में विभाजित हो जाता है, इस प्रकार के भाग जो मैनिफ़ोल्ड के स्पर्शरेखा है, और दूसरा भाग जो लुप्त हो रहा है (उस बिंदु पर जहां अपघटन किया जा रहा है)।

तीन क्षेत्र $X,Y$ और $Z$ इकाई लंबाई के नहीं हैं। जिसके सामान्य गुणनखंड से विभाजित करके सामान्यीकरण किया जा सकता है, इस प्रकार इसके आधार पर $\sin ^{2}\theta$ तीनों भावों में प्रकट होता हैं। चूंकि इस स्थिति में, क्षेत्र अब सुचारू नहीं हैं: उदाहरण के लिए, $\partial _{\phi }=X/\sin ^{2}\theta$ उत्तरी और दक्षिणी ध्रुवों पर एकवचन (अभेद्य) है।

तीन क्षेत्र बिंदु-वार ऑर्थोगोनल नहीं हैं, वास्तव में ये नहीं हो सकते हैं, क्योंकि किसी भी बिंदु पर, स्पर्शरेखा-तल द्वि-आयामी है, जबकि इस प्रकार तीन सदिश हैं। गोले पर किसी भी बिंदु को देखते हुए, कुछ रैखिक संयोजन होता है, इसके आधार पर $X,Y$ और $Z$ वह विलुप्त हो जाता है: ये तीन सदिश उस बिंदु पर द्वि-आयामी स्पर्शरेखा क्षेत्र के लिए अति-पूर्ण आधार हैं।

प्राथमिक ज्ञान कि गोले को यूक्लिडियन क्षेत्र में एम्बेड किया जा सकता है, और इस प्रकार इस एम्बेडिंग से मीट्रिक प्राप्त होता है, जिससे इस प्रकार किलिंग क्षेत्र की सही संख्या के बारे में भ्रमित अंतर्ज्ञान हो सकता है जिसकी कोई उम्मीद कर सकता है। इस प्रकार के एम्बेडिंग के अतिरिक्त अंतर्ज्ञान सुझाव दे सकता है कि रैखिक रूप से स्वतंत्र जनरेटर की संख्या स्पर्शरेखा बंडल के आयाम से अधिक नहीं होगी। अंततः किसी भी बिंदु को मैनिफ़ोल्ड पर स्थिर करके केवल उन्हीं दिशाओं में आगे बढ़ सकता है जो स्पर्शरेखा हैं। इस प्रकार 2-गोले के लिए स्पर्शरेखा बंडल का आयाम दो है, और फिर भी तीन किलिंग क्षेत्र पाए जाते हैं। फिर यह आश्चर्य सममित समष्टिों की सामान्य मान है।

मिन्कोवस्की क्षेत्र में किलिंग क्षेत्र

मिन्कोव्स्की क्षेत्र के किलिंग क्षेत्र 3 क्षेत्र अनुवाद, समय अनुवाद, घूर्णन के तीन जनरेटर (छोटा समूह) और लोरेंत्ज़ बूस्ट के तीन जनरेटर हैं। ये हैं

समय और समष्टि अनुवाद
$\partial _{t}~,\qquad \partial _{x}~,\qquad \partial _{y}~,\qquad \partial _{z}~;$
सदिश क्षेत्र तीन घुमाव उत्पन्न करते हैं, जिन्हें अधिकांशतः जे जनरेटर कहा जाता है,
$-y\partial _{x}+x\partial _{y}~,\qquad -z\partial _{y}+y\partial _{z}~,\qquad -x\partial _{z}+z\partial _{x}~;$
सदिश क्षेत्र तीन बूस्ट उत्पन्न करते हैं, K जनरेटर,
$x\partial _{t}+t\partial _{x}~,\qquad y\partial _{t}+t\partial _{y}~,\qquad z\partial _{t}+t\partial _{z}.$

बूस्ट और घूर्णन लोरेंत्ज़ समूह उत्पन्न करते हैं। क्षेत्र-समय अनुवादों के साथ, यह पोंकारे समूह के लिए लाई बीजगणित बनाता है।

समतल समष्टि में किलिंग क्षेत्र

यहां हम सामान्य समतल समष्टि के लिए किलिंग क्षेत्र प्राप्त करते हैं।

किलिंग के समीकरण और कोसदिश के लिए रिक्की पहचान $K_{a}$ से,

\nabla _{a}\nabla _{b}K_{c}-\nabla _{b}\nabla _{a}K_{c}=R^{d}{}_{cab}K_{d}

(स्यूडो सूचकांक संकेतन का उपयोग करके) जहाँ $R^{a}{}_{bcd}$ रीमैन वक्रता टेंसर है, निम्नलिखित पहचान किलिंग क्षेत्र $X^{a}$ के लिए सिद्ध हो सकती है:

\nabla _{a}\nabla _{b}X_{c}=R^{d}{}_{acb}X_{d}.

जब आधार मैनीफोल्ड हो जाता है, यहाँ पर $M$ समतल समष्टि है, अर्थात यूक्लिडियन समष्टि या स्यूडो-यूक्लिडियन समष्टि मिन्कोव्स्की क्षेत्र के लिए हम वैश्विक फ्लैट निर्देशांक चुन सकते हैं, जैसे कि इस प्रकार इन निर्देशांक में, लेवी-सिविटा कनेक्शन और इसलिए रीमैन वक्रता हर जगह विलुप्त हो जाती है, जिससे

\partial _{\mu }\partial _{\nu }X_{\rho }=0.

किलिंग समीकरण को एकीकृत और लागू करने से हमें सामान्य समाधान $X_{\rho }$ लिखने की अनुमति मिलती है, जैसे

X^{\rho }=\omega ^{\rho \sigma }x_{\sigma }+c^{\rho }

जहाँ $\omega ^{\mu \nu }=-\omega ^{\nu \mu }$ एंटीसिमेट्रिक है, जिसका उचित मान $\omega ^{\mu \nu }$ और $c^{\rho }$ को लेकर हमें समतल समष्टि की आइसोमेट्री के सामान्यीकृत पोंकारे बीजगणित के लिए आधार मिलता है:

M_{\mu \nu }=x_{\mu }\partial _{\nu }-x_{\nu }\partial _{\mu }

P_{\rho }=\partial _{\rho }.

ये क्रमशः स्यूडो-घूर्णन (घूर्णन और बूस्ट) और अनुवाद उत्पन्न करते हैं। इसके आधार पर सहज रूप से ये प्रत्येक बिंदु पर (स्यूडो)-मीट्रिक को संरक्षित करते हैं।

कुल आयाम के स्यूडो- यूक्लिडियन समष्टि के लिए, कुल मिलाकर $n(n+1)/2$ हैं, इस प्रकार जनरेटर, समतल समष्टि को अधिकतम सममित बनाते हैं। यह इस प्रकार संख्या अधिकतम सममित समष्टिों के लिए सामान्य है। अधिकतम सममित समष्टिों को समतल समष्टि के उप-विभाजनों के रूप में माना जा सकता है, जो निरंतर उचित दूरी की सतहों के रूप में उत्पन्न होते हैं

\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{p,q}:\eta (\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=\pm {\frac {1}{\kappa ^{2}}}\}

जिसमें अनिश्चितकालीन ऑर्थोगोनल समूह O(p,q) समरूपता को प्रदर्शित करता है। यदि सबमैनिफोल्ड में $n$ आयाम है, तो समरूपता के इस समूह में अपेक्षित आयाम है, तो असत्य समूह के रूप में प्रदर्शित होता हैं।

अनुमानतः, हम किलिंग क्षेत्र बीजगणित का आयाम प्राप्त कर सकते हैं। किलिंग के समीकरण का उपचार $\nabla _{a}X_{b}+\nabla _{b}X_{a}=0$ पहचान के साथ $\nabla _{a}\nabla _{b}X_{c}=R^{c}{}_{bad}X_{c}.$ दूसरे क्रम के अंतर समीकरणों $X_{a}$ की प्रणाली के रूप में, हम $X_{a}$ का मूल्य निर्धारित कर सकते हैं, इस प्रकार किसी बिंदु पर प्रारंभिक डेटा $p$ दिए जाने पर प्रारंभिक डेटा $X_{a}(p)$ और $\nabla _{a}X_{b}(p)$ निर्दिष्ट करता है, अपितु किलिंग का समीकरण यह लगाता है कि सहसंयोजक व्युत्पन्न एंटीसिमेट्रिक है। इस प्रकार कुल मिलाकर $n^{2}-n(n-1)/2=n(n+1)/2$ है, जो प्रारंभिक डेटा का स्वतंत्र मान हैं।

ठोस उदाहरणों के लिए, समतल समष्टि (मिन्कोव्स्की समष्टि) और अधिकतम सममित समष्टि (गोलाकार, अतिशयोक्तिपूर्ण समष्टि) के उदाहरणों के लिए नीचे देखें।

सामान्य सापेक्षता में किलिंग क्षेत्र

सामान्य सापेक्षता में आइसोमेट्री पर चर्चा करने के लिए किलिंग क्षेत्र का उपयोग किया जाता है (जिसमें गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों द्वारा विकृत क्षेत्र समय की ज्यामिति को 4-आयामी स्यूडो-रिमैनियन मैनिफोल्ड के रूप में देखा जाता है)। इस प्रकार किसी स्थिर विन्यास में, जिसमें समय के साथ कुछ भी परिवर्तित नहीं होता है, इस प्रकार समय सदिश किलिंग सदिश होगा, और इस प्रकार किलिंग क्षेत्र समय में आगे की गति की दिशा में इंगित करेगा। उदाहरण के लिए, श्वार्ज़स्चिल्ड मीट्रिक में चार किलिंग क्षेत्र हैं: $t$ मीट्रिक इससे स्वतंत्र है, इसी प्रकार $\partial _{t}$ काल-सदृश संहार क्षेत्र है। इस प्रकार अन्य तीन घूर्णन के तीन जनरेटर हैं जिनकी चर्चा ऊपर की गई है। इसके आधार पर घूर्णन करते हुए ब्लैक होल के लिए केर मीट्रिक में केवल दो किलिंग क्षेत्र हैं: यहाँ पर इस प्रकार समय-जैसा क्षेत्र, और ब्लैक होल के घूर्णन की धुरी के बारे में घूर्णन उत्पन्न करने वाला क्षेत्र हैं।

सिटर क्षेत्र द्वारा और एंटी-डी सिटर क्षेत्र अधिकतम सममित समष्टि हैं, जिसके लिए $n$ प्रत्येक स्वामित्व के आयामी संस्करण ${\frac {n(n+1)}{2}}$ सामूहिक किलिंग वाला क्षेत्र हैं।

एक स्थिर समन्वय का किलिंग क्षेत्र

यदि मीट्रिक गुणांक $g_{\mu \nu }\,$ कुछ समन्वित आधार पर $dx^{a}\,$ किसी निर्देशांक $x^{\kappa }\,$ से स्वतंत्र हैं, तब इस प्रकार $K^{\mu }=\delta _{\kappa }^{\mu }\,$ किलिंग सदिश है, जहां $\delta _{\kappa }^{\mu }\,$ क्रोनकर डेल्टा है।^[3]

इसे सिद्ध करने के लिए, आइए मान लें $g_{\mu \nu },_{0}=0\,$ तब $K^{\mu }=\delta _{0}^{\mu }\,$ और $K_{\mu }=g_{\mu \nu }K^{\nu }=g_{\mu \nu }\delta _{0}^{\nu }=g_{\mu 0}\,$

अब आइए किलिंग की स्थिति पर नजर डालें

K_{\mu ;\nu }+K_{\nu ;\mu }=K_{\mu ,\nu }+K_{\nu ,\mu }-2\Gamma _{\mu \nu }^{\rho }K_{\rho }=g_{\mu 0,\nu }+g_{\nu 0,\mu }-g^{\rho \sigma }(g_{\sigma \mu ,\nu }+g_{\sigma \nu ,\mu }-g_{\mu \nu ,\sigma })g_{\rho 0}\,

और $g_{\rho 0}g^{\rho \sigma }=\delta _{0}^{\sigma }\,$ से अंतःखण्डित करने की स्थिति बन जाती है

g_{\mu 0,\nu }+g_{\nu 0,\mu }-(g_{0\mu ,\nu }+g_{0\nu ,\mu }-g_{\mu \nu ,0})=0\,

वह $g_{\mu \nu ,0}=0$ है, जिसमें कौन सा सही है।

उदाहरण के लिए, भौतिक अर्थ यह है कि, यदि कोई भी मीट्रिक गुणांक समय का कार्य नहीं है, तो मैनिफोल्ड में स्वचालित रूप से समय-जैसा किलिंग सदिश होना चाहिए।
आम आदमी के शब्दों में, यदि कोई वस्तु समय के साथ रूपांतरित या विकसित नहीं होती है, (जब समय बीत जाता है), तो इस प्रकार समय बीतने से वस्तु के माप में कोई परिवर्तन नहीं आएगा। इस प्रकार से तैयार किए गए, परिणाम तनातनी के समान लगता है, अपितु किसी को यह समझना होगा कि उदाहरण बहुत अधिक काल्पनिक है: इस प्रकार किलिंग क्षेत्र बहुत अधिक जटिल और रोचक स्थितियों पर भी लागू होते हैं।

इसके विपरीत, यदि मीट्रिक $\mathbf {g}$ किलिंग क्षेत्र $X^{a}$ स्वीकार करता है, तो कोई जिसके लिए $\partial _{0}g_{\mu \nu }=0$ निर्देशांक बना सकता है, इन निर्देशांकों का निर्माण हाइपरसर्फेस लेकर किया जाता है, इस प्रकार $\Sigma$ ऐसा है कि $\Sigma$ $X^{a}$ कहीं भी स्पर्शरेखा नहीं करता है, इस प्रकार $x^{i}$ पर $\Sigma$ निर्देशांक लेते हैं, फिर समष्टिीय निर्देशांक $(t,x^{i})$ परिभाषित करें, जहाँ इस प्रकार $t$ के अभिन्न वक्र के साथ पैरामीटर को दर्शाता है, जिसके लिए $X^{a}$ पर आधारित $(x^{i})$ पर $\Sigma$ इन निर्देशांकों में, लाई व्युत्पन्न समन्वय व्युत्पन्न में कम हो जाता है, अर्थात,

{\mathcal {L}}_{X}g_{\mu \nu }=\partial _{0}g_{\mu \nu }

और किलिंग क्षेत्र की परिभाषा के अनुसार बाईं ओर का भाग विलुप्त हो जाता है।

गुण

एक किलिंग क्षेत्र किसी बिंदु पर सदिश और उसके ग्रेडिएंट (अर्ताथ बिंदु पर क्षेत्र के सभी सहसंयोजक व्युत्पन्न) द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित की जाती है।

दो किलिंग क्षेत्र के सदिश क्षेत्र का लाई ब्रैकेट अभी भी किलिंग क्षेत्र है। इसके आधार पर मैनिफोल्ड एम पर किलिंग क्षेत्र इस प्रकार एम पर सदिश क्षेत्र का ले बीजगणित बनाती हैं। यदि एम पूर्ण अनेक गुना है तो यह मैनिफोल्ड के आइसोमेट्री समूह का ले बीजगणित है। इस प्रकार आइसोमेट्रीज़ के संक्रमणीय समूह के साथ रीमैनियन मैनिफोल्ड सजातीय समष्टि है।

सघन समष्टि मैनिफोल्ड्स के लिए

ऋणात्मक रिक्की वक्रता का तात्पर्य है कि कोई गैर-तुच्छ (गैर-शून्य) किलिंग क्षेत्र नहीं हैं।
नॉनपॉज़िटिव रिक्की वक्रता का तात्पर्य है कि कोई भी किलिंग क्षेत्र समानांतर है। अर्ताथ किसी भी सदिश क्षेत्र के साथ सहसंयोजक व्युत्पन्न समान रूप से शून्य है।
यदि अनुभागीय वक्रता धनात्मक है और एम का आयाम सम है, तो किलिंग क्षेत्र में शून्य होना चाहिए।

प्रत्येक किलिंग सदिश क्षेत्र का सहसंयोजक विचलन विलुप्त हो जाता है।

अगर $X$ किलिंग सदिश क्षेत्र है और $Y$ तो फिर, यह हॉज सिद्धांत है $g(X,Y)$ हार्मोनिक फलन है।

अगर $X$ किलिंग सदिश क्षेत्र है, और $\omega$ तो फिर, यह हॉज सिद्धांत या हार्मोनिक पी-फॉर्म ${\mathcal {L}}_{X}\omega =0\,.$ है।

जियोडेसिक्स

प्रत्येक किलिंग सदिश मात्रा से मेल खाता है, जिसे हैमिल्टनियन प्रवाह के रूप में जियोडेसिक्स के साथ संरक्षित किया जाता है। इस प्रकार यह संरक्षित मात्रा किलिंग सदिश और जियोडेसिक टेंगेंट सदिश के बीच का मीट्रिक उत्पाद है। स्पर्शरेखा सदिश के साथ एफ़िनली पैरामीट्रिज़्ड जियोडेसिक के साथ $U^{a}$ फिर किलिंग सदिश दिया गया हैं, जिसके लिए $X_{b}$ की मात्रा $U^{b}X_{b}$ से संरक्षित है:

U^{a}\nabla _{a}(U^{b}X_{b})=0

यह समरूपता के साथ स्पेसटाइम में गतियों का विश्लेषणात्मक अध्ययन करने में सहायता करता है।^[4]

तनाव-ऊर्जा टेंसर

एक संरक्षित, सममित टेंसर $T^{ab}$ दिया गया है, यह संतोषजनक हैं तथा इसका मान $T^{ab}=T^{ba}$ और $\nabla _{a}T^{ab}=0$ के समान हैं, जो इस प्रकार तनाव-ऊर्जा टेंसर और किलिंग सदिश $X_{b}$ के विशिष्ट गुण हैं, हम संरक्षित मात्रा का निर्माण कर सकते हैं, इस प्रकार $J^{a}:=T^{ab}X_{b}$ के लिए इसे संतुष्टि करने वाला मान इस प्रकार हैं-

\nabla _{a}J^{a}=0.

कार्टन अपघटन

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, दो किलिंग क्षेत्र के सदिश क्षेत्र का लाई ब्रैकेट अभी भी किलिंग क्षेत्र है। इस प्रकार द किलिंग क्षेत्र मैनिफोल्ड पर $M$ इस प्रकार असत्य बीजगणित बनता है, इसके कारण ${\mathfrak {g}}$ सभी सदिश क्षेत्र पर $M.$ बिंदु $p\in M~,$ का चयन करता हैं, इसके लिए बीजगणित ${\mathfrak {g}}$ दो भागों में विघटित किया जा सकता है:

{\mathfrak {h}}=\{X\in {\mathfrak {g}}:X(p)=0\}

और

{\mathfrak {m}}=\{X\in {\mathfrak {g}}:\nabla X(p)=0\}

जहाँ $\nabla$ सहसंयोजक व्युत्पन्न है. ये दोनों भाग को सामान्य रूप से एक-दूसरे को काटते हैं, अपितु सामान्यतः ${\mathfrak {g}}$ से विभाजित नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि $M$ रीमैनियन सजातीय समष्टि है, हमारे पास है ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {m}}$ यदि केवल $M$ रीमैनियन सममित समष्टि है।^[5]

सहज रूप से, की सममिति $M$ समष्टिीय रूप से सबमैनिफोल्ड को परिभाषित करें, जिसके लिए $N$ कुल समष्टि का, और किलिंग क्षेत्र दिखाते हैं कि उस सबमैनिफोल्ड के साथ कैसे स्लाइड किया जाए। वे इस प्रकार उस उपमान के स्पर्शरेखा समष्टि का विस्तार करते हैं। इस प्रकार स्पर्शरेखा समष्टि $T_{p}N$ उस बिंदु पर समूह क्रिया प्रतिक्रिया के प्रकार अभिनय करने वाले आइसोमेट्री के समान आयाम होना चाहिए। अर्थात व्यक्ति अपेक्षा करता है $T_{p}N\cong {\mathfrak {m}}~.$ फिर भी, सामान्य तौर पर, किलिंग क्षेत्र की संख्या उस स्पर्शरेखा समष्टि के आयाम से बड़ी होती है। यह कैसे हो सकता है? इसका उत्तर यह है कि अतिरिक्त किलिंग क्षेत्र अनावश्यक हैं। इस प्रकार सभी को मिलाकर, क्षेत्र किसी विशेष चयनित बिंदु पर स्पर्शरेखा समष्टि के लिए अति-पूर्ण आधार प्रदान करते हैं, उस विशेष बिंदु पर रैखिक संयोजनों को विलुप्त किया जा सकता है। इसे 2-गोले पर किलिंग क्षेत्र के उदाहरण में देखा गया था: 3 किलिंग क्षेत्र हैं, इस प्रकार किसी भी बिंदु पर, दो उस बिंदु पर स्पर्शरेखा समष्टि का विस्तार करते हैं, और तीसरा अन्य दो का रैखिक संयोजन है। किन्हीं दो परिभाषाओं के लिए ${\mathfrak {m}};$ को चुनना शेष पतित रैखिक संयोजन ऑर्थोगोनल समष्टि ${\mathfrak {h}}.$ को परिभाषित करते हैं।

कार्टन का समावेश

कार्टन समावेश को जियोडेसिक की दिशा को प्रतिबिंबित करने या उलटने के रूप में परिभाषित किया गया है। इस प्रकार इसका अंतर स्पर्शरेखा की दिशा को जियोडेसिक में बदल देता है। यह मानक का रैखिक संचालिका है, इसमें आइजन मान +1 और -1 के दो अपरिवर्तनीय उप-समष्टि हैं। ये दो उपसमष्टि ${\mathfrak {p}}$ और ${\mathfrak {m}},$ क्रमशः संगत हैं।

इसे और अधिक सटीक बनाया जा सकता है, इस प्रकार किसी बिंदु $p\in M$ पर तय करना होता हैं, इस प्रकार जियोडेसिक पर विचार करें, जिसके लिए इस प्रकार $\gamma :\mathbb {R} \to M$ के माध्यम से गुजरते हुए $p$ ,के मान के साथ $\gamma (0)=p~.$ इन्वॉल्वमेंट (गणित) $\sigma _{p}$ परिभाषित किया जाता है।

\sigma _{p}(\gamma (\lambda ))=\gamma (-\lambda )

यह मानचित्र $\sigma _{p}^{2}=1~.$ में समावेशित हो जाता है, जब किलिंग क्षेत्र के साथ जियोडेसिक्स तक सीमित किया जाता है, तो यह इस प्रकार स्पष्ट रूप से आइसोमेट्री भी है। इसे विशिष्ट रूप से परिभाषित किया गया है।

यहाँ पर $G$ किलिंग क्षेत्र द्वारा उत्पन्न आइसोमेट्री का समूह बनें। फलन $s_{p}:G\to G$ द्वारा इसे परिभाषित किया जाता हैं।

s_{p}(g)=\sigma _{p}\circ g\circ \sigma _{p}=\sigma _{p}\circ g\circ \sigma _{p}^{-1}

इस समीकरण की समरूपता $G$ है, यह अतिसूक्ष्म $\theta _{p}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ है।

\theta _{p}(X)=\left.{\frac {d}{d\lambda }}s_{p}\left(e^{\lambda X}\right)\right|_{\lambda =0}

कार्टन समावेश असत्य बीजगणित समरूपता है

\theta _{p}[X,Y]=\left[\theta _{p}X,\theta _{p}Y\right]

इसके कारण सभी $X,Y\in {\mathfrak {g}}~.$ के लिए उपसमष्टि ${\mathfrak {m}}$ कार्टन समावेशन के अंतर्गत विषम समता है, जहाँ ${\mathfrak {h}}$ सम समता है, अर्थात्, बिंदु पर कार्टन $p\in M$ के उपस्थित होने को दर्शाता है, जैसा $\theta _{p}$ किसी के पास

\left.\theta _{p}\right|_{\mathfrak {m}}=-Id

और

\left.\theta _{p}\right|_{\mathfrak {h}}=+Id

जहाँ $Id$ पहचान मानचित्र है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि उपसमष्टि ${\mathfrak {h}}$ का असत्य उपबीजगणित ${\mathfrak {g}}$ है , जिसके कारण यह मान प्राप्त होता हैं।

$[{\mathfrak {h}},{\mathfrak {h}}]\subset {\mathfrak {h}}~.$

चूँकि ये सम और विषम समता वाले उपसमष्टि हैं, इसलिए लाई कोष्ठक विभाजित हो जाते हैं

$[{\mathfrak {h}},{\mathfrak {m}}]\subset {\mathfrak {m}}$

और

$[{\mathfrak {m}},{\mathfrak {m}}]\subset {\mathfrak {h}}~.$

उपरोक्त अपघटन सभी बिंदुओं पर लागू होता है, इसके आधार पर $p\in M$ के लिए सममित समष्टि $M$ , के प्रमाण जोस्ट में पाए जाते हैं।^[6] ये अधिक सामान्य परिवेश में भी हैं, अपितु आवश्यक नहीं कि वे मैनिफोल्ड के सभी बिंदुओं पर हों।

सममित समष्टि के विशेष मामले के लिए, किसी के पास $T_{p}M\cong {\mathfrak {m}};$ का स्पष्ट रूप है अर्थात्, किलिंग क्षेत्र सममित समष्टि के संपूर्ण स्पर्शरेखा समष्टि को फैलाते हैं। समान रूप से, वक्रता टेंसर समष्टिीय रूप से सममित समष्टिों पर सहसंयोजक रूप से स्थिर होता है, और इसलिए ये समष्टिीय रूप से समानांतर होते हैं, यह कार्टन-एम्ब्रोस-हिक्स प्रमेय है।

सामान्यीकरण

अनुरूप किलिंग सदिश क्षेत्र को परिभाषित करने के लिए किलिंग सदिश क्षेत्र ${\mathcal {L}}_{X}g=\lambda g\,$ के अनुरूप सामान्यीकृत किया जा सकता है, यहाँ कुछ अदिश राशि के लिए $\lambda .$ अनुरूप मानचित्र के पैरामीटर समूहों के व्युत्पन्न अनुरूप किलिंग क्षेत्र हैं।

[[ टेन्सर को खत्म करना ]] क्षेत्र सममित टेंसर क्षेत्र टी हैं जैसे कि सममिति का ट्रेस-मुक्त भाग $\nabla T\,$ विलुप्त हो जाता है, इस प्रकार किलिंग टेंसर वाले मैनिफोल्ड्स के उदाहरणों में केर स्पेसटाइम और एफआरडब्ल्यू ब्रह्मांड विज्ञान सम्मिलित हैं।^[7]
यदि हम आइसोमेट्री के समूह के अतिरिक्त उस पर कोई ली समूह जी समूह प्रतिक्रिया (गणित) लेते हैं, तो किलिंग सदिश क्षेत्र को किसी भी मैनिफोल्ड एम (संभवतः मीट्रिक के बिना) पर भी परिभाषित किया जा सकता है।^[8] इस व्यापक अर्थ में, किलिंग सदिश क्षेत्र समूह क्रिया द्वारा G पर सही अपरिवर्तनीय सदिश क्षेत्र को आगे बढ़ाना है। यदि समूह क्रिया प्रभावी है, तो किलिंग सदिश क्षेत्र का समष्टि लाई बीजगणित ${\mathfrak {g}}$ जी के समरूपी है।

यह भी देखें

संदर्भ

↑ Jost, Jurgen (2002). रीमैनियन ज्यामिति और ज्यामितीय विश्लेषण. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-42627-2.
↑ Adler, Ronald; Bazin, Maurice; Schiffer, Menahem (1975). सामान्य सापेक्षता का परिचय (Second ed.). New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-000423-4.. See chapters 3, 9.
↑ Misner, Thorne, Wheeler (1973). आकर्षण-शक्ति. W H Freeman and Company. ISBN 0-7167-0344-0.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
↑ Carroll, Sean (2004). Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity. Addison Wesley. pp. 133–139. ISBN 9780805387322.
↑ Olmos, Carlos; Reggiani, Silvio; Tamaru, Hiroshi (2014). The index of symmetry of compact naturally reductive spaces. Math. Z. 277, 611–628. DOI 10.1007/s00209-013-1268-0
↑ Jurgen Jost, (2002) "Riemmanian Geometry and Geometric Analysis" (Third edition) Springer. (See section 5.2 pages 241-251.}
↑ Carroll, Sean (2004). Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity. Addison Wesley. pp. 263, 344. ISBN 9780805387322.
↑ Choquet-Bruhat, Yvonne; DeWitt-Morette, Cécile (1977), Analysis, Manifolds and Physics, Amsterdam: Elsevier, ISBN 978-0-7204-0494-4

[1] Jost, Jurgen (2002). रीमैनियन ज्यामिति और ज्यामितीय विश्लेषण. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-42627-2.

[2] Adler, Ronald; Bazin, Maurice; Schiffer, Menahem (1975). सामान्य सापेक्षता का परिचय (Second ed.). New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-000423-4.. See chapters 3, 9.

[3] Misner, Thorne, Wheeler (1973). आकर्षण-शक्ति. W H Freeman and Company. ISBN 0-7167-0344-0.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[4] Carroll, Sean (2004). Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity. Addison Wesley. pp. 133–139. ISBN 9780805387322.

[5] Olmos, Carlos; Reggiani, Silvio; Tamaru, Hiroshi (2014). The index of symmetry of compact naturally reductive spaces. Math. Z. 277, 611–628. DOI 10.1007/s00209-013-1268-0

[6] Jurgen Jost, (2002) "Riemmanian Geometry and Geometric Analysis" (Third edition) Springer. (See section 5.2 pages 241-251.}

[7] Carroll, Sean (2004). Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity. Addison Wesley. pp. 263, 344. ISBN 9780805387322.

[8] Choquet-Bruhat, Yvonne; DeWitt-Morette, Cécile (1977), Analysis, Manifolds and Physics, Amsterdam: Elsevier, ISBN 978-0-7204-0494-4

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किलिंग सदिश क्षेत्र: Difference between revisions

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Contents

परिभाषा

उदाहरण

वृत्त पर किलिंग क्षेत्र

अतिपरवलयिक तल पर किलिंग क्षेत्र

2-गोले पर किलिंग क्षेत्र

मिन्कोवस्की क्षेत्र में किलिंग क्षेत्र

समतल समष्टि में किलिंग क्षेत्र

सामान्य सापेक्षता में किलिंग क्षेत्र

एक स्थिर समन्वय का किलिंग क्षेत्र

गुण

जियोडेसिक्स

तनाव-ऊर्जा टेंसर

कार्टन अपघटन

कार्टन का समावेश

सामान्यीकरण

यह भी देखें

संदर्भ

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@@ Line 1: / Line 1: @@
-{{Short description|Vector field on a Riemannian manifold that preserves the metric}}
+गणित में, '''किलिंग [[वेक्टर फ़ील्ड|सदिश क्षेत्र]]''' ऐसा सदिश क्षेत्र हैं जिसे अधिकांशतः किलिंग क्षेत्र नाम से भी जाना जाता है), इसका नाम [[ विल्हेम हत्या |विल्हेम किलिंग]] के नाम पर रखा गया था, [[रीमैनियन [[ कई गुना |मैनीफोल्ड]] ]] (या [[छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड|स्यूडो-रीमैनियन मैनिफोल्ड]]) पर सदिश क्षेत्र है जो [[मीट्रिक टेंसर]] को संरक्षित करता है। किलिंग क्षेत्र ऐसा लाई समूह तथा [[आइसोमेट्री]] समूह हैं जिसके लिए लाई समूहों से संबद्ध होने वाली लाई बीजगणित अर्थात् किलिंग क्षेत्र द्वारा उत्पन्न होने वाले [[प्रवाह (ज्यामिति)]] मैनिफोल्ड की [[आइसोमेट्री (रीमैनियन ज्यामिति)]] को बनाती है। इसके लिए यह अधिक सरलता से प्रवाह [[समरूपता]] को उत्पन्न करता है, इस अर्थ यह हैं कि किसी वस्तु के प्रत्येक बिंदु को किलिंग सदिश की दिशा में समान दूरी पर ले जाने से वस्तु पर दूरियाँ विकृत नहीं होंगी।
-गणित में, एक किलिंग [[वेक्टर फ़ील्ड]] (अक्सर किलिंग फ़ील्ड कहा जाता है), जिसका नाम [[ विल्हेम हत्या ]] के नाम पर रखा गया है, [[रीमैनियन [[ कई गुना ]]]] (या [[छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड]]) पर एक वेक्टर फ़ील्ड है जो [[मीट्रिक टेंसर]] को संरक्षित करता है। किलिंग फ़ील्ड लाई समूह हैं#[[आइसोमेट्री]] के लाई समूहों से संबद्ध लाई बीजगणित; अर्थात्, किलिंग फ़ील्ड्स द्वारा उत्पन्न [[प्रवाह (ज्यामिति)]] मैनिफोल्ड की [[आइसोमेट्री (रीमैनियन ज्यामिति)]] है। अधिक सरलता से, प्रवाह एक [[समरूपता]] उत्पन्न करता है, इस अर्थ में कि किसी वस्तु के प्रत्येक बिंदु को किलिंग वेक्टर की दिशा में समान दूरी पर ले जाने से वस्तु पर दूरियाँ विकृत नहीं होंगी।
 == परिभाषा ==
-विशेष रूप से, एक वेक्टर फ़ील्ड X एक किलिंग फ़ील्ड है यदि मीट्रिक g के X के संबंध में Lie व्युत्पन्न गायब हो जाता है:<ref>{{cite book | author=Jost, Jurgen| title= रीमैनियन ज्यामिति और ज्यामितीय विश्लेषण| location=Berlin | publisher=Springer-Verlag | year=2002 | isbn=3-540-42627-2}}</ref>
+विशेष रूप से, सदिश क्षेत्र X किलिंग क्षेत्र है यदि मीट्रिक g के X के संबंध में लाई व्युत्पन्न विलुप्त हो जाता है:<ref>{{cite book | author=Jost, Jurgen| title= रीमैनियन ज्यामिति और ज्यामितीय विश्लेषण| location=Berlin | publisher=Springer-Verlag | year=2002 | isbn=3-540-42627-2}}</ref>
 :<math>\mathcal{L}_{X} g = 0 \,.</math>
 [[लेवी-सिविटा कनेक्शन]] के संदर्भ में, यह है
 :<math>g\left(\nabla_Y X, Z\right) + g\left(Y, \nabla_Z X\right) = 0 \,</math>
-सभी वैक्टर Y और Z के लिए। [[स्थानीय निर्देशांक]] में, यह किलिंग समीकरण के बराबर है<ref>{{cite book |author1=Adler, Ronald |author2=Bazin, Maurice |author3=Schiffer, Menahem | title= सामान्य सापेक्षता का परिचय|url=https://archive.org/details/introductiontoge0000adle |url-access=registration |edition=Second | location=New York | publisher=McGraw-Hill | year=1975 | isbn=0-07-000423-4}}. ''See chapters 3, 9.''</ref>
+सभी सदिश Y और Z के लिए [[स्थानीय निर्देशांक|समष्टिीय निर्देशांक]] में, यह किलिंग समीकरण के समान है<ref>{{cite book |author1=Adler, Ronald |author2=Bazin, Maurice |author3=Schiffer, Menahem | title= सामान्य सापेक्षता का परिचय|url=https://archive.org/details/introductiontoge0000adle |url-access=registration |edition=Second | location=New York | publisher=McGraw-Hill | year=1975 | isbn=0-07-000423-4}}. ''See chapters 3, 9.''</ref>
 :<math>\nabla_\mu X_\nu + \nabla_{\nu} X_\mu = 0 \,.</math>
-यह स्थिति सहसंयोजक रूप में व्यक्त की जाती है। इसलिए, इसे सभी समन्वय प्रणालियों में पकड़ बनाने के लिए इसे पसंदीदा समन्वय प्रणाली में स्थापित करना पर्याप्त है।
+यह स्थिति सहसंयोजक रूप में व्यक्त की जाती है। इसलिए इसे सभी समन्वय प्रणालियों में समझने के लिए इसे उपयोगी समन्वय प्रणाली में स्थापित करना पर्याप्त है।
 == उदाहरण ==
-===सर्कल पर किलिंग फील्ड===
+===वृत्त पर किलिंग क्षेत्र===
-[[File:Killing field on the circle.gif|thumb|450px|सर्कल पर किलिंग फ़ील्ड और किलिंग फ़ील्ड के साथ प्रवाह।]]एक सर्कल पर वेक्टर फ़ील्ड जो वामावर्त को इंगित करता है और प्रत्येक बिंदु पर समान लंबाई होती है, एक किलिंग वेक्टर फ़ील्ड है, क्योंकि इस वेक्टर फ़ील्ड के साथ सर्कल पर प्रत्येक बिंदु को स्थानांतरित करने से सर्कल बस घूमता है।
+[[File:Killing field on the circle.gif|thumb|450px|वृत्त पर किलिंग क्षेत्र और किलिंग क्षेत्र के साथ प्रवाह।]]किसी वृत्त पर सदिश क्षेत्र जो वामावर्त को इंगित करता है, और इसके साथ प्रत्येक बिंदु पर इसकी समान लंबाई होती है, इसके आधार पर यह किलिंग सदिश क्षेत्र है, क्योंकि इस प्रकार इस सदिश क्षेत्र के साथ वृत्त पर प्रत्येक बिंदु को समष्टिांतरित करने से वृत्त बस घूर्णन करता है।
-===अतिपरवलयिक तल पर फ़ील्ड्स को ख़त्म करना===
+===अतिपरवलयिक तल पर किलिंग क्षेत्र===
-[[File:Special conformal transformation generator.png|thumb|450px|बिंदुओं के अर्धवृत्ताकार चयन पर, ऊपरी-आधे समतल मॉडल पर किलिंग फ़ील्ड। यह किलिंग वेक्टर फ़ील्ड विशेष अनुरूप परिवर्तन उत्पन्न करता है। रंग उस बिंदु पर वेक्टर क्षेत्र के परिमाण को इंगित करता है।]]किलिंग वेक्टर फ़ील्ड के लिए एक खिलौना उदाहरण ऊपरी आधे तल पर है <math>M = \mathbb{R}^2_{y > 0}</math> पोंकारे मीट्रिक से सुसज्जित <math>g = y^{-2}\left(dx^2 + dy^2\right)</math>. जोड़ी <math>(M, g)</math> इसे आम तौर पर पोंकारे हाफ-प्लेन मॉडल कहा जाता है और इसमें किलिंग वेक्टर फ़ील्ड होता है <math>\partial_x</math> (मानक निर्देशांक का उपयोग करके)। सहसंयोजक व्युत्पन्न के बाद से यह सहज रूप से स्पष्ट होना चाहिए <math>\nabla_{\partial_x}g</math> वेक्टर फ़ील्ड (जिसकी छवि x-अक्ष के समानांतर है) द्वारा उत्पन्न एक अभिन्न वक्र के साथ मीट्रिक को स्थानांतरित करता है।
+[[File:Special conformal transformation generator.png|thumb|450px|बिंदुओं के अर्धवृत्ताकार चयन पर, ऊपरी-आधे समतल प्रारूप पर किलिंग क्षेत्र। यह किलिंग सदिश क्षेत्र विशेष अनुरूप परिवर्तन उत्पन्न करता है। इस प्रकार रंग उस बिंदु पर सदिश क्षेत्र के परिमाण को इंगित करता है।]]किलिंग सदिश क्षेत्र के लिए इसका सरलतम उदाहरण <math>M = \mathbb{R}^2_{y > 0}</math> जो ऊपरी आधे तल पर है, इस प्रकार पोंकारे मीट्रिक <math>g = y^{-2}\left(dx^2 + dy^2\right)</math>  जोड़ी <math>(M, g)</math> से सुसज्जित होता हैं। इस प्रकार इसे सामान्यतः पोंकारे हाफ-प्लेन प्रारूप कहा जाता है और इसमें किलिंग सदिश क्षेत्र <math>\partial_x</math> (मानक निर्देशांक का उपयोग करके) होता है। इसके आधार पर सहसंयोजक व्युत्पन्न के पश्चात यह सहज रूप से स्पष्ट होना चाहिए, जिसके लिए <math>\nabla_{\partial_x}g</math> सदिश क्षेत्र (जिसकी छवि x-अक्ष के समानांतर है) द्वारा उत्पन्न अभिन्न वक्र के साथ मीट्रिक को समष्टिांतरित करता है।
-इसके अलावा, मीट्रिक इससे स्वतंत्र है <math>x</math> जिससे हम तुरंत यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं <math>\partial_x</math> इस आलेख में नीचे दिए गए परिणामों में से एक का उपयोग करके एक किलिंग फ़ील्ड है।
+इसके अतिरिक्त  <math>x</math>मीट्रिक इससे स्वतंत्र है, जिससे हम तुरंत <math>\partial_x</math> के लिए यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं, इस आलेख में नीचे दिए गए परिणामों में से का उपयोग करके किलिंग क्षेत्र है।
-ऊपरी अर्ध-तल मॉडल का आइसोमेट्री समूह (या बल्कि, पहचान से जुड़ा घटक) है <math>\text{SL}(2, \mathbb{R})</math> (पोइंकारे हाफ-प्लेन मॉडल देखें), और अन्य दो किलिंग फ़ील्ड जनरेटर की कार्रवाई पर विचार करके प्राप्त किए जा सकते हैं <math>\text{SL}(2, \mathbb{R})</math> ऊपरी आधे तल पर. अन्य दो उत्पन्न करने वाले किलिंग क्षेत्र फैलाव हैं <math>D = x\partial_x + y\partial_y</math> और [[विशेष अनुरूप परिवर्तन]] <math>K = (x^2 - y^2)\partial_x + 2xy \partial_y</math>.
+ऊपरी अर्ध-तल प्रारूप का आइसोमेट्री समूह <math>\text{SL}(2, \mathbb{R})</math> (या बल्कि, पहचान से जुड़ा घटक) है, (पोइंकारे हाफ-प्लेन प्रारूप देखें), और इस प्रकार अन्य दो किलिंग क्षेत्र जनरेटर की प्रतिक्रिया पर विचार करके प्राप्त किए जा सकते हैं, इस कारण <math>\text{SL}(2, \mathbb{R})</math> ऊपरी आधे तल पर अन्य दो उत्पन्न करने वाले किलिंग क्षेत्र <math>D = x\partial_x + y\partial_y</math> पर प्रसारित होता हैं, और इस प्रकार [[विशेष अनुरूप परिवर्तन]] <math>K = (x^2 - y^2)\partial_x + 2xy \partial_y</math> को प्रदर्शित करता हैं।
-===2-गोले पर खेतों को मारना===
+===2-गोले पर किलिंग क्षेत्र===
-[[File:Sphere killing field z-rotation.gif|alt=A sphere with arrows representing a Killing vector field of rotations about the z-एक्सिस। गोला और तीर घूमते हैं, जो वेक्टर क्षेत्र के साथ प्रवाह दिखाते हैं।|अंगूठे|450px|गोले पर हत्या क्षेत्र। यह किलिंग वेक्टर फ़ील्ड z-अक्ष के चारों ओर घूर्णन उत्पन्न करता है। रंग क्षेत्र में प्रत्येक वेक्टर के आधार बिंदु की ऊंचाई को इंगित करता है। किलिंग फ़ील्ड के साथ प्रवाह के एनीमेशन के लिए विस्तार करें।]]दो-गोले के हत्या क्षेत्र <math>S^2</math>, या अधिक सामान्यतः <math>n</math>-गोला <math>S^n</math> सामान्य अंतर्ज्ञान से स्पष्ट होना चाहिए: घूर्णी समरूपता वाले क्षेत्रों में मारक क्षेत्र होने चाहिए जो किसी भी अक्ष के बारे में घूर्णन उत्पन्न करते हैं। यानी हम उम्मीद करते हैं <math>S^2</math> 3डी रोटेशन समूह [[SO(3)]] की कार्रवाई के तहत समरूपता प्राप्त करना। अर्थात्, प्राथमिक ज्ञान का उपयोग करके कि गोले को यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एम्बेड किया जा सकता है, किलिंग फ़ील्ड के रूप का अनुमान लगाना तुरंत संभव है। यह सामान्य रूप से संभव नहीं है, और इसलिए यह उदाहरण बहुत ही सीमित शैक्षिक मूल्य का है।
+[[File:Sphere killing field z-rotation.gif|alt=A sphere with arrows representing a Killing vector field of rotations about the z-एक्सिस। गोला और तीर घूमते हैं, जो वेक्टर क्षेत्र के साथ प्रवाह दिखाते हैं।|अंगूठे|450px|गोले पर हत्या क्षेत्र। यह किलिंग वेक्टर फ़ील्ड z-अक्ष के चारों ओर घूर्णन उत्पन्न करता है। रंग क्षेत्र में प्रत्येक वेक्टर के आधार बिंदु की ऊंचाई को इंगित करता है। किलिंग फ़ील्ड के साथ प्रवाह के एनीमेशन के लिए विस्तार करें।]]
--गोले के लिए पारंपरिक चार्ट अंतर्निहित है <math>\mathbb{R}^3</math> कार्तीय निर्देशांक में <math>(x,y,z)</math> द्वारा दिया गया है
+दो-गोले के किलिंग क्षेत्र <math>S^2</math>, या अधिक सामान्यतः <math>n</math>-गोला <math>S^n</math> सामान्य अंतर्ज्ञान से स्पष्ट होना चाहिए: घूर्णी समरूपता वाले क्षेत्रों में किलिंग क्षेत्र होने चाहिए जो किसी भी अक्ष के बारे में घूर्णन उत्पन्न करते हैं। अर्ताथ इस प्रकार हम उम्मीद करते हैं कि <math>S^2</math> 3डी घूर्णन समूह [[SO(3)]] की प्रतिक्रिया के अनुसार समरूपता प्राप्त करना होता हैं। इस प्रकार प्राथमिक ज्ञान का उपयोग करके कि गोले को यूक्लिडियन क्षेत्र में एम्बेड किया जा सकता है, इस प्रकार किलिंग क्षेत्र के रूप का अनुमान लगाना तुरंत संभव है। यह सामान्य रूप से संभव नहीं है, और इसलिए यह उदाहरण बहुत ही सीमित शैक्षिक मूल्य का है।
+-गोले के लिए पारंपरिक चार्ट अंतर्निहित है, इसके आधार पर <math>\mathbb{R}^3</math> कार्तीय निर्देशांक में <math>(x,y,z)</math> द्वारा दिया गया है।
 :<math>x = \sin\theta\cos\phi,\qquad y = \sin\theta\sin\phi,\qquad z = \cos\theta</math>
-ताकि <math>\theta</math> ऊँचाई को मापता है, और <math>\phi</math> पैरामीटर्स के बारे में घूर्णन <math>z</math>-एक्सिस।
+जिससे कि <math>\theta</math> ऊँचाई को मापता है, और <math>\phi</math> पैरामीटर्स के बारे में घूर्णन <math>z</math>-एक्सिस पर होता हैं।
 मानक कार्टेशियन मीट्रिक को वापस खींचना <math>ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2</math> गोले पर मानक मीट्रिक देता है,
 :<math>ds^2 = d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2</math>.
-सहज रूप से, किसी भी अक्ष के चारों ओर घूमना एक आइसोमेट्री होना चाहिए। इस चार्ट में, वेक्टर फ़ील्ड जो के बारे में घूर्णन उत्पन्न करता है <math>z</math>-एक्सिस:
+सहज रूप से, किसी भी अक्ष के चारों ओर घूमना आइसोमेट्री होना चाहिए। इस प्रकार इस चार्ट में सदिश क्षेत्र <math>z</math>-एक्सिस के बारे में घूर्णन उत्पन्न करता है:
 :<math>\frac{\partial}{\partial\phi}.</math>
-इन निर्देशांकों में, मीट्रिक घटक सभी स्वतंत्र हैं <math>\phi</math>, जो यह दर्शाता है <math>\partial_\phi</math> एक हत्या क्षेत्र है.
+इन निर्देशांकों में, मीट्रिक घटक <math>\phi</math> के लिए सभी स्वतंत्र हैं, जो यह किलिंग क्षेत्र <math>\partial_\phi</math>दर्शाता है
 सदिश क्षेत्र
 :<math>\frac{\partial}{\partial\theta}</math>
-हत्या क्षेत्र नहीं है; समन्वय <math>\theta</math> मीट्रिक में स्पष्ट रूप से दिखाई देता है। द्वारा उत्पन्न प्रवाह <math>\partial_\theta</math> उत्तर से दक्षिण की ओर जाता है; उत्तरी ध्रुव के बिंदु दूर-दूर फैलते हैं, दक्षिण के बिंदु एक साथ आते हैं। कोई भी परिवर्तन जो बिंदुओं को करीब या दूर ले जाता है वह आइसोमेट्री नहीं हो सकता; इसलिए, ऐसी गति का जनक कोई किलिंग फील्ड नहीं हो सकता।
+किलिंग क्षेत्र नहीं है, समन्वय <math>\theta</math> मीट्रिक में स्पष्ट रूप से दिखाई देता है। जिसके द्वारा उत्पन्न प्रवाह <math>\partial_\theta</math> उत्तर से दक्षिण की ओर जाता है, इस प्रकार उत्तरी ध्रुव के बिंदु दूर-दूर फैलते हैं, दक्षिण के बिंदु साथ आते हैं। कोई भी परिवर्तन जो बिंदुओं को समीप या दूर ले जाता है वह आइसोमेट्री नहीं हो सकता, इसलिए ऐसी गति का जनक कोई किलिंग क्षेत्र नहीं हो सकता हैं।
-जनरेटर <math>\partial_\phi</math> के बारे में एक घूर्णन के रूप में पहचाना जाता है <math>z</math>-एक्सिस
+जनरेटर <math>\partial_\phi</math> के बारे में घूर्णन <math>z</math>-एक्सिस के रूप में पहचाना जाता है।
 :<math>Z = x\partial_y - y\partial_x = \sin^2\theta \,\partial_\phi</math>
-एक दूसरा जनरेटर, के चारों ओर घूमता है <math>x</math>-अक्ष, है
+एक दूसरा जनरेटर <math>x</math>-अक्ष के चारों ओर घूमता है,
 :<math>X = z\partial_y - y\partial_z</math>
-तीसरा जनरेटर, चारों ओर घूमने के लिए <math>y</math>-अक्ष, है
+तीसरा जनरेटर, चारों ओर घूमने के लिए <math>y</math>-अक्ष पर रहता है।
 :<math>Y = z\partial_x - x\partial_z</math>
-इन तीन जनरेटरों के रैखिक संयोजनों द्वारा दिया गया बीजगणित बंद हो जाता है, और संबंधों का पालन करता है
+इन तीन जनरेटरों के रैखिक संयोजनों द्वारा दिया गया बीजगणित बंद हो जाता है, और इस प्रकार यह संबंधों का पालन करता है।
 :<math>[X,Y] = Z \quad [Y,Z] = X \quad [Z,X] = Y.</math>
-यह झूठ बीजगणित है <math>\mathfrak{so}(3)</math>.
+यह असत्य बीजगणित <math>\mathfrak{so}(3)</math> है।
-जताते <math>X</math> और <math>Y</math> गोलाकार निर्देशांक के संदर्भ में देता है
+इसके आधार पर <math>X</math> और <math>Y</math> गोलाकार निर्देशांक के संदर्भ में देता है
 :<math>X = \sin^2\theta \,(\sin\phi\partial_\theta + \cot\theta\cos\phi\partial_\phi)</math>
 और
 :<math>Y = \sin^2 \theta \,(\cos\phi\partial_\theta - \cot\theta\sin\phi\partial_\phi)</math>
-ये तीन वेक्टर फ़ील्ड वास्तव में किलिंग फ़ील्ड हैं, इसे दो अलग-अलग तरीकों से निर्धारित किया जा सकता है। एक स्पष्ट गणना द्वारा है: बस के लिए स्पष्ट अभिव्यक्तियों को प्लग इन करें <math>\mathcal{L}_Xg</math> और यह दिखाने के लिए चुगली करें <math>\mathcal{L}_Xg=\mathcal{L}_Yg=\mathcal{L}_Zg=0.</math> यह एक सार्थक अभ्यास है. वैकल्पिक रूप से, कोई भी पहचान सकता है <math>X, Y</math> और <math>Z</math> यूक्लिडियन अंतरिक्ष में आइसोमेट्री के जनरेटर हैं, और चूंकि गोले पर मीट्रिक यूक्लिडियन अंतरिक्ष में मीट्रिक से विरासत में मिली है, इसलिए आइसोमेट्री भी विरासत में मिली है।
+ये तीन सदिश क्षेत्र वास्तव में किलिंग क्षेत्र हैं, इसे दो अलग-अलग विधियों से निर्धारित किया जा सकता है। इसकी स्पष्ट गणना बस के लिए स्पष्ट अभिव्यक्तियों <math>\mathcal{L}_Xg</math> को प्लग इन करें और <math>\mathcal{L}_Xg=\mathcal{L}_Yg=\mathcal{L}_Zg=0.</math> का मान दिखाने के लिए निंदा करें, यह मुख्य रूप से सार्थक अभ्यास है, जिसे इस प्रकार वैकल्पिक रूप से कोई भी पहचान सकता है, इस प्रकार <math>X, Y</math> और <math>Z</math> यूक्लिडियन क्षेत्र में आइसोमेट्री के जनरेटर हैं, और चूंकि गोले पर मीट्रिक यूक्लिडियन क्षेत्र में मीट्रिक से विरासत में मिली है, इसलिए आइसोमेट्री भी विरासत में मिली है।
-ये तीन किलिंग फ़ील्ड बीजगणित के लिए जनरेटर का एक पूरा सेट बनाते हैं। वे अद्वितीय नहीं हैं: इन तीन क्षेत्रों का कोई भी रैखिक संयोजन अभी भी एक किलिंग फ़ील्ड है।
+ये तीन किलिंग क्षेत्र बीजगणित के लिए जनरेटर का पूरा सेट बनाते हैं। इस प्रकार ये अद्वितीय नहीं हैं: इन तीन क्षेत्रों का कोई भी रैखिक संयोजन अभी भी किलिंग क्षेत्र है।
 इस उदाहरण के बारे में ध्यान देने योग्य कई सूक्ष्म बातें हैं।
-* तीन क्षेत्र विश्व स्तर पर गैर-शून्य नहीं हैं; वास्तव में, क्षेत्र <math>Z</math> उत्तरी और दक्षिणी ध्रुवों पर लुप्त हो जाता है; वैसे ही, <math>X</math> और <math>Y</math> भूमध्य रेखा पर एंटीपोड पर गायब हो जाते हैं। इसे समझने का एक तरीका हेयरी बॉल प्रमेय का परिणाम है। गंजे धब्बों की यह संपत्ति, [[कार्टन अपघटन]] में [[सममित स्थान]]ों की एक सामान्य संपत्ति है। मैनिफ़ोल्ड के प्रत्येक बिंदु पर, किलिंग फ़ील्ड का बीजगणित स्वाभाविक रूप से दो भागों में विभाजित हो जाता है, एक भाग जो मैनिफ़ोल्ड के स्पर्शरेखा है, और दूसरा भाग जो लुप्त हो रहा है (उस बिंदु पर जहां अपघटन किया जा रहा है)।
+* तीन क्षेत्र विश्व स्तर पर गैर-शून्य नहीं हैं, वास्तव में, क्षेत्र <math>Z</math> उत्तरी और दक्षिणी ध्रुवों पर लुप्त हो जाता है, इस प्रकार वैसे ही <math>X</math> और <math>Y</math> भूमध्य रेखा पर एंटीपोड पर विलुप्त हो जाते हैं। इसे समझने का तरीका हेयरी बॉल प्रमेय का परिणाम है। इस प्रकार के धब्बों के लिए यह मान, [[कार्टन अपघटन]] में [[सममित स्थान|सममित समष्टि]] की सामान्य मान है। इस प्रकार मैनिफ़ोल्ड के प्रत्येक बिंदु पर, किलिंग क्षेत्र का बीजगणित स्वाभाविक रूप से दो भागों में विभाजित हो जाता है, इस प्रकार के भाग जो मैनिफ़ोल्ड के स्पर्शरेखा है, और दूसरा भाग जो लुप्त हो रहा है (उस बिंदु पर जहां अपघटन किया जा रहा है)।
-* तीन क्षेत्र <math>X, Y</math> और <math>Z</math> इकाई लंबाई के नहीं हैं. के सामान्य गुणनखंड से विभाजित करके सामान्यीकरण किया जा सकता है <math>\sin^2\theta</math> तीनों भावों में प्रकट होना। हालाँकि, उस स्थिति में, फ़ील्ड अब सुचारू नहीं हैं: उदाहरण के लिए, <math>\partial_\phi = X/\sin^2\theta</math> उत्तरी और दक्षिणी ध्रुवों पर एकवचन (अभेद्य) है।
+* तीन क्षेत्र <math>X, Y</math> और <math>Z</math> इकाई लंबाई के नहीं हैं। जिसके सामान्य गुणनखंड से विभाजित करके सामान्यीकरण किया जा सकता है, इस प्रकार इसके आधार पर <math>\sin^2\theta</math> तीनों भावों में प्रकट होता हैं। चूंकि इस स्थिति में, क्षेत्र अब सुचारू नहीं हैं: उदाहरण के लिए, <math>\partial_\phi = X/\sin^2\theta</math> उत्तरी और दक्षिणी ध्रुवों पर एकवचन (अभेद्य) है।
-* तीन फ़ील्ड बिंदु-वार ऑर्थोगोनल नहीं हैं; वास्तव में, वे नहीं हो सकते, क्योंकि, किसी भी बिंदु पर, स्पर्शरेखा-तल द्वि-आयामी है, जबकि तीन वैक्टर हैं। गोले पर किसी भी बिंदु को देखते हुए, कुछ गैर-तुच्छ रैखिक संयोजन होता है <math>X, Y</math> और <math>Z</math> वह गायब हो जाता है: ये तीन वैक्टर उस बिंदु पर द्वि-आयामी स्पर्शरेखा विमान के लिए एक अति-पूर्ण आधार हैं।
+* तीन क्षेत्र बिंदु-वार ऑर्थोगोनल नहीं हैं, वास्तव में ये नहीं हो सकते हैं, क्योंकि किसी भी बिंदु पर, स्पर्शरेखा-तल द्वि-आयामी है, जबकि इस प्रकार तीन सदिश हैं। गोले पर किसी भी बिंदु को देखते हुए, कुछ रैखिक संयोजन होता है, इसके आधार पर <math>X, Y</math> और <math>Z</math> वह विलुप्त हो जाता है: ये तीन सदिश उस बिंदु पर द्वि-आयामी स्पर्शरेखा क्षेत्र के लिए अति-पूर्ण आधार हैं।
-* प्राथमिक ज्ञान कि गोले को यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एम्बेड किया जा सकता है, और इस प्रकार इस एम्बेडिंग से एक मीट्रिक प्राप्त होता है, जिससे किलिंग फ़ील्ड की सही संख्या के बारे में एक भ्रमित अंतर्ज्ञान हो सकता है जिसकी कोई उम्मीद कर सकता है। इस तरह के एम्बेडिंग के बिना, अंतर्ज्ञान सुझाव दे सकता है कि रैखिक रूप से स्वतंत्र जनरेटर की संख्या स्पर्शरेखा बंडल के आयाम से अधिक नहीं होगी। आख़िरकार, किसी भी बिंदु को मैनिफ़ोल्ड पर स्थिर करके, कोई केवल उन्हीं दिशाओं में आगे बढ़ सकता है जो स्पर्शरेखा हैं। 2-गोले के लिए स्पर्शरेखा बंडल का आयाम दो है, और फिर भी तीन किलिंग फ़ील्ड पाए जाते हैं। फिर, यह आश्चर्य सममित स्थानों की एक सामान्य संपत्ति है।
+* प्राथमिक ज्ञान कि गोले को यूक्लिडियन क्षेत्र में एम्बेड किया जा सकता है, और इस प्रकार इस एम्बेडिंग से मीट्रिक प्राप्त होता है, जिससे इस प्रकार किलिंग क्षेत्र की सही संख्या के बारे में भ्रमित अंतर्ज्ञान हो सकता है जिसकी कोई उम्मीद कर सकता है। इस प्रकार के एम्बेडिंग के अतिरिक्त अंतर्ज्ञान सुझाव दे सकता है कि रैखिक रूप से स्वतंत्र जनरेटर की संख्या स्पर्शरेखा बंडल के आयाम से अधिक नहीं होगी। अंततः किसी भी बिंदु को मैनिफ़ोल्ड पर स्थिर करके केवल उन्हीं दिशाओं में आगे बढ़ सकता है जो स्पर्शरेखा हैं। इस प्रकार 2-गोले के लिए स्पर्शरेखा बंडल का आयाम दो है, और फिर भी तीन किलिंग क्षेत्र पाए जाते हैं। फिर यह आश्चर्य सममित समष्टिों की सामान्य मान है।
-===मिन्कोवस्की क्षेत्र में खेतों को नष्ट करना===
+===मिन्कोवस्की क्षेत्र में किलिंग क्षेत्र===
-मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष के हत्या क्षेत्र 3 अंतरिक्ष अनुवाद, समय अनुवाद, घूर्णन के तीन जनरेटर ([[छोटा समूह]]) और [[लोरेंत्ज़ बूस्ट]] के तीन जनरेटर हैं। ये हैं
+मिन्कोव्स्की क्षेत्र के किलिंग क्षेत्र 3 क्षेत्र अनुवाद, समय अनुवाद, घूर्णन के तीन जनरेटर ([[छोटा समूह]]) और [[लोरेंत्ज़ बूस्ट]] के तीन जनरेटर हैं। ये हैं
-* समय और स्थान अनुवाद
+* समय और समष्टि अनुवाद
 *:<math> \partial_t ~, \qquad  \partial_x ~, \qquad \partial_y ~, \qquad \partial_z ~;</math>
-* वेक्टर फ़ील्ड तीन घुमाव उत्पन्न करते हैं, जिन्हें अक्सर ''जे'' जनरेटर कहा जाता है,
+* सदिश क्षेत्र तीन घुमाव उत्पन्न करते हैं, जिन्हें अधिकांशतः ''जे'' जनरेटर कहा जाता है,
 *:<math>-y \partial_x + x \partial_y ~, \qquad  -z \partial_y + y \partial_z ~, \qquad -x \partial_z + z \partial_x  ~;</math>
-* वेक्टर फ़ील्ड तीन बूस्ट उत्पन्न करते हैं, ''K'' जनरेटर,
+* सदिश क्षेत्र तीन बूस्ट उत्पन्न करते हैं, ''K'' जनरेटर,
 *:<math>x \partial_t + t \partial_x~, \qquad  y \partial_t + t \partial_y ~, \qquad z \partial_t + t \partial_z.</math>
-बूस्ट और रोटेशन [[लोरेंत्ज़ समूह]] उत्पन्न करते हैं। अंतरिक्ष-समय अनुवादों के साथ, यह पोंकारे समूह के लिए लाई बीजगणित बनाता है।
+बूस्ट और घूर्णन [[लोरेंत्ज़ समूह]] उत्पन्न करते हैं। क्षेत्र-समय अनुवादों के साथ, यह पोंकारे समूह के लिए लाई बीजगणित बनाता है।
-===समतल स्थान में खेतों को नष्ट करना===
+===समतल समष्टि में किलिंग क्षेत्र===
-यहां हम सामान्य समतल स्थान के लिए किलिंग फील्ड प्राप्त करते हैं।
+यहां हम सामान्य समतल समष्टि के लिए किलिंग क्षेत्र प्राप्त करते हैं।
-किलिंग के समीकरण और कोवेक्टर के लिए रिक्की पहचान से <math>K_a</math>,
+किलिंग के समीकरण और कोसदिश के लिए रिक्की पहचान <math>K_a</math>से,
 :<math>\nabla_a\nabla_b K_c - \nabla_b\nabla_a K_c = R^d{}_{cab}K_d</math>
-(अमूर्त सूचकांक संकेतन का उपयोग करके) कहाँ <math>R^a{}_{bcd}</math> [[रीमैन वक्रता टेंसर]] है, निम्नलिखित पहचान एक किलिंग क्षेत्र के लिए सिद्ध हो सकती है <math>X^a</math>:
+(स्यूडो सूचकांक संकेतन का उपयोग करके) जहाँ <math>R^a{}_{bcd}</math> [[रीमैन वक्रता टेंसर]] है, निम्नलिखित पहचान किलिंग क्षेत्र <math>X^a</math> के लिए सिद्ध हो सकती है:
 :<math>\nabla_a\nabla_b X_c = R^d{}_{acb}X_d.</math>
-जब आधार कई गुना हो जाता है <math>M</math> समतल स्थान है, अर्थात, [[यूक्लिडियन स्थान]] या [[छद्म-यूक्लिडियन स्थान]] (मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष के लिए), हम वैश्विक फ्लैट निर्देशांक चुन सकते हैं जैसे कि इन निर्देशांक में, लेवी-सिविटा कनेक्शन और इसलिए रीमैन वक्रता हर जगह गायब हो जाती है, जिससे
+जब आधार मैनीफोल्ड हो जाता है, यहाँ पर <math>M</math> समतल समष्टि है, अर्थात [[यूक्लिडियन स्थान|यूक्लिडियन समष्टि]] या [[छद्म-यूक्लिडियन स्थान|स्यूडो-यूक्लिडियन समष्टि]] मिन्कोव्स्की क्षेत्र के लिए हम वैश्विक फ्लैट निर्देशांक चुन सकते हैं, जैसे कि इस प्रकार इन निर्देशांक में, लेवी-सिविटा कनेक्शन और इसलिए रीमैन वक्रता हर जगह विलुप्त हो जाती है, जिससे
 :<math>\partial_\mu\partial_\nu X_\rho = 0.</math>
-किलिंग समीकरण को एकीकृत और लागू करने से हमें सामान्य समाधान लिखने की अनुमति मिलती है <math>X_\rho</math> जैसा
+किलिंग समीकरण को एकीकृत और लागू करने से हमें सामान्य समाधान <math>X_\rho</math> लिखने की अनुमति मिलती है, जैसे
 :<math>X^\rho = \omega^{\rho\sigma} x_\sigma + c^\rho</math>
-कहाँ <math>\omega^{\mu\nu} = -\omega^{\nu\mu}</math> एंटीसिमेट्रिक है. का उचित मान लेकर <math>\omega^{\mu\nu}</math> और <math>c^\rho</math>, हमें समतल स्थान की आइसोमेट्री के सामान्यीकृत पोंकारे बीजगणित के लिए एक आधार मिलता है:
+जहाँ <math>\omega^{\mu\nu} = -\omega^{\nu\mu}</math> एंटीसिमेट्रिक है, जिसका उचित मान <math>\omega^{\mu\nu}</math> और <math>c^\rho</math> को लेकर हमें समतल समष्टि की आइसोमेट्री के सामान्यीकृत पोंकारे बीजगणित के लिए आधार मिलता है:
 :<math>M_{\mu\nu} = x_\mu\partial_\nu - x_\nu\partial_\mu</math>
 :<math>P_\rho = \partial_\rho.</math>
-ये क्रमशः छद्म-रोटेशन (रोटेशन और बूस्ट) और अनुवाद उत्पन्न करते हैं। सहज रूप से ये प्रत्येक बिंदु पर (छद्म)-मीट्रिक को संरक्षित करते हैं।
+ये क्रमशः स्यूडो-घूर्णन (घूर्णन और बूस्ट) और अनुवाद उत्पन्न करते हैं। इसके आधार पर सहज रूप से ये प्रत्येक बिंदु पर (स्यूडो)-मीट्रिक को संरक्षित करते हैं।
-कुल आयाम के (छद्म-)यूक्लिडियन स्थान के लिए, कुल मिलाकर हैं <math>n(n+1)/2</math> जनरेटर, समतल स्थान को अधिकतम सममित बनाते हैं। यह संख्या अधिकतम सममित स्थानों के लिए सामान्य है। अधिकतम सममित स्थानों को समतल स्थान के उप-विभाजनों के रूप में माना जा सकता है, जो निरंतर उचित दूरी की सतहों के रूप में उत्पन्न होते हैं
+कुल आयाम के स्यूडो- यूक्लिडियन समष्टि के लिए, कुल मिलाकर <math>n(n+1)/2</math> हैं, इस प्रकार जनरेटर, समतल समष्टि को अधिकतम सममित बनाते हैं। यह इस प्रकार संख्या अधिकतम सममित समष्टिों के लिए सामान्य है। अधिकतम सममित समष्टिों को समतल समष्टि के उप-विभाजनों के रूप में माना जा सकता है, जो निरंतर उचित दूरी की सतहों के रूप में उत्पन्न होते हैं
 :<math>\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^{p,q}:\eta(\mathbf{x},\mathbf{x})=\pm \frac{1}{\kappa^2}\}</math>
-जिसमें अनिश्चितकालीन ऑर्थोगोनल समूह|O(p,q) समरूपता है। यदि सबमैनिफोल्ड में आयाम है <math>n</math>, समरूपता के इस समूह में अपेक्षित आयाम है (एक [[झूठ समूह]] के रूप में)।
+जिसमें अनिश्चितकालीन ऑर्थोगोनल समूह O(p,q) समरूपता को प्रदर्शित करता है। यदि सबमैनिफोल्ड में <math>n</math> आयाम है, तो समरूपता के इस समूह में अपेक्षित आयाम है, तो [[झूठ समूह|असत्य समूह]] के रूप में प्रदर्शित होता हैं।
-अनुमानतः, हम किलिंग फ़ील्ड बीजगणित का आयाम प्राप्त कर सकते हैं। हत्या के समीकरण का इलाज <math>\nabla_a X_b + \nabla_b X_a = 0</math> पहचान के साथ <math>\nabla_a\nabla_b X_c = R^c{}_{bad}X_c.</math> दूसरे क्रम के अंतर समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में <math>X_a</math>, हम का मूल्य निर्धारित कर सकते हैं <math>X_a</math> किसी बिंदु पर प्रारंभिक डेटा दिए जाने पर <math>p</math>. प्रारंभिक डेटा निर्दिष्ट करता है <math>X_a(p)</math> और <math>\nabla_a X_b(p)</math>, लेकिन किलिंग का समीकरण यह लगाता है कि सहसंयोजक व्युत्पन्न एंटीसिमेट्रिक है। कुल मिलाकर यही है <math>n^2 - n(n-1)/2 = n(n+1)/2</math> प्रारंभिक डेटा के स्वतंत्र मान.
+अनुमानतः, हम किलिंग क्षेत्र बीजगणित का आयाम प्राप्त कर सकते हैं। किलिंग के समीकरण का उपचार <math>\nabla_a X_b + \nabla_b X_a = 0</math> पहचान के साथ <math>\nabla_a\nabla_b X_c = R^c{}_{bad}X_c.</math> दूसरे क्रम के अंतर समीकरणों <math>X_a</math> की प्रणाली के रूप में, हम <math>X_a</math> का मूल्य निर्धारित कर सकते हैं, इस प्रकार किसी बिंदु पर प्रारंभिक डेटा <math>p</math> दिए जाने पर प्रारंभिक डेटा <math>X_a(p)</math> और <math>\nabla_a X_b(p)</math> निर्दिष्ट करता है, अपितु किलिंग का समीकरण यह लगाता है कि सहसंयोजक व्युत्पन्न एंटीसिमेट्रिक है। इस प्रकार कुल मिलाकर <math>n^2 - n(n-1)/2 = n(n+1)/2</math> है, जो प्रारंभिक डेटा का स्वतंत्र मान हैं।
-ठोस उदाहरणों के लिए, समतल स्थान (मिन्कोव्स्की स्थान) और अधिकतम सममित स्थान (गोलाकार, अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान) के उदाहरणों के लिए नीचे देखें।
+ठोस उदाहरणों के लिए, समतल समष्टि (मिन्कोव्स्की समष्टि) और अधिकतम सममित समष्टि (गोलाकार, अतिशयोक्तिपूर्ण समष्टि) के उदाहरणों के लिए नीचे देखें।
-===[[सामान्य सापेक्षता]] में क्षेत्रों को नष्ट करना===
+===[[सामान्य सापेक्षता]] में किलिंग क्षेत्र===
-सामान्य सापेक्षता में आइसोमेट्री पर चर्चा करने के लिए किलिंग फील्ड का उपयोग किया जाता है (जिसमें [[गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र]]ों द्वारा विकृत [[ अंतरिक्ष समय ]] की ज्यामिति को 4-आयामी छद्म-रिमैनियन मैनिफोल्ड के रूप में देखा जाता है)। एक स्थिर विन्यास में, जिसमें समय के साथ कुछ भी नहीं बदलता है, समय वेक्टर एक किलिंग वेक्टर होगा, और इस प्रकार किलिंग फ़ील्ड समय में आगे की गति की दिशा में इंगित करेगा। उदाहरण के लिए, [[श्वार्ज़स्चिल्ड मीट्रिक]] में चार किलिंग फ़ील्ड हैं: मीट्रिक इससे स्वतंत्र है <math>t</math>, इस तरह <math>\partial_t</math> एक काल-सदृश संहार क्षेत्र है। अन्य तीन घूर्णन के तीन जनरेटर हैं जिनकी चर्चा ऊपर की गई है। घूमते हुए ब्लैक होल के लिए [[केर मीट्रिक]] में केवल दो किलिंग फ़ील्ड हैं: समय-जैसा फ़ील्ड, और ब्लैक होल के घूर्णन की धुरी के बारे में घूर्णन उत्पन्न करने वाला फ़ील्ड।
+सामान्य सापेक्षता में आइसोमेट्री पर चर्चा करने के लिए किलिंग क्षेत्र का उपयोग किया जाता है (जिसमें [[गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र|गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों]] द्वारा विकृत [[ अंतरिक्ष समय |क्षेत्र समय]] की ज्यामिति को 4-आयामी स्यूडो-रिमैनियन मैनिफोल्ड के रूप में देखा जाता है)। इस प्रकार किसी स्थिर विन्यास में, जिसमें समय के साथ कुछ भी परिवर्तित नहीं होता है, इस प्रकार समय सदिश किलिंग सदिश होगा, और इस प्रकार किलिंग क्षेत्र समय में आगे की गति की दिशा में इंगित करेगा। उदाहरण के लिए, [[श्वार्ज़स्चिल्ड मीट्रिक]] में चार किलिंग क्षेत्र हैं: <math>t</math> मीट्रिक इससे स्वतंत्र है, इसी प्रकार <math>\partial_t</math> काल-सदृश संहार क्षेत्र है। इस प्रकार अन्य तीन घूर्णन के तीन जनरेटर हैं जिनकी चर्चा ऊपर की गई है। इसके आधार पर घूर्णन करते हुए ब्लैक होल के लिए [[केर मीट्रिक]] में केवल दो किलिंग क्षेत्र हैं: यहाँ पर इस प्रकार समय-जैसा क्षेत्र, और ब्लैक होल के घूर्णन की धुरी के बारे में घूर्णन उत्पन्न करने वाला क्षेत्र हैं।
-[[सिटर स्पेस द्वारा]] और [[एंटी-डी सिटर स्पेस]] अधिकतम सममित स्थान हैं <math>n</math>प्रत्येक स्वामित्व के आयामी संस्करण <math>\frac{n(n+1)}{2}</math> सामूहिक हत्या वाली जगह।
+[[सिटर स्पेस द्वारा|सिटर क्षेत्र द्वारा]] और [[एंटी-डी सिटर स्पेस|एंटी-डी सिटर क्षेत्र]] अधिकतम सममित समष्टि हैं, जिसके लिए <math>n</math>प्रत्येक स्वामित्व के आयामी संस्करण <math>\frac{n(n+1)}{2}</math> सामूहिक किलिंग वाला क्षेत्र हैं।
-===एक स्थिर समन्वय का हत्या क्षेत्र===
+===एक स्थिर समन्वय का किलिंग क्षेत्र===
-यदि मीट्रिक गुणांक <math>g_{\mu \nu} \,</math> कुछ समन्वित आधार पर <math>dx^{a} \,</math> किसी एक निर्देशांक से स्वतंत्र हैं <math>x^{\kappa} \,</math>, तब <math>K^{\mu} = \delta^{\mu}_{\kappa} \,</math> एक किलिंग वेक्टर है, जहां <math>\delta^{\mu}_{\kappa} \,</math> [[क्रोनकर डेल्टा]] है।<ref>{{cite book | title=आकर्षण-शक्ति| last = Misner, Thorne, Wheeler | year=1973 | publisher = W H Freeman and Company| isbn=0-7167-0344-0}}</ref>
+यदि मीट्रिक गुणांक <math>g_{\mu \nu} \,</math> कुछ समन्वित आधार पर <math>dx^{a} \,</math> किसी निर्देशांक <math>x^{\kappa} \,</math> से स्वतंत्र हैं, तब इस प्रकार <math>K^{\mu} = \delta^{\mu}_{\kappa} \,</math> किलिंग सदिश है, जहां <math>\delta^{\mu}_{\kappa} \,</math> [[क्रोनकर डेल्टा]] है।<ref>{{cite book | title=आकर्षण-शक्ति| last = Misner, Thorne, Wheeler | year=1973 | publisher = W H Freeman and Company| isbn=0-7167-0344-0}}</ref>
-इसे सिद्ध करने के लिए, आइए मान लें <math>g_{\mu \nu},_0 = 0 \,</math>. तब <math>K^\mu = \delta^\mu_0 \,</math> और <math>K_{\mu} = g_{\mu \nu} K^\nu = g_{\mu \nu} \delta^\nu_0 = g_{\mu 0} \,</math>
-अब आइए हत्या की स्थिति पर नजर डालें
+इसे सिद्ध करने के लिए, आइए मान लें <math>g_{\mu \nu},_0 = 0 \,</math> तब <math>K^\mu = \delta^\mu_0 \,</math> और <math>K_{\mu} = g_{\mu \nu} K^\nu = g_{\mu \nu} \delta^\nu_0 = g_{\mu 0} \,</math>
+अब आइए किलिंग की स्थिति पर नजर डालें
 :<math>K_{\mu;\nu} + K_{\nu;\mu} = K_{\mu,\nu} + K_{\nu,\mu} - 2\Gamma^\rho_{\mu\nu}K_\rho = g_{\mu 0,\nu} + g_{\nu 0,\mu} - g^{\rho\sigma}(g_{\sigma\mu,\nu} + g_{\sigma\nu,\mu} - g_{\mu\nu,\sigma})g_{\rho 0} \,</math>
-और से <math>g_{\rho 0}g^{\rho \sigma} = \delta_0^\sigma \,</math>. मार-काट की स्थिति बन जाती है
+और <math>g_{\rho 0}g^{\rho \sigma} = \delta_0^\sigma \,</math> से अंतःखण्डित करने की स्थिति बन जाती है
 :<math>g_{\mu 0,\nu} + g_{\nu 0,\mu} - (g_{0\mu,\nu} + g_{0\nu,\mu} - g_{\mu\nu,0}) = 0 \,</math>
-वह है <math>g_{\mu\nu,0} = 0</math>, कौन सा सही है।
+वह <math>g_{\mu\nu,0} = 0</math> है, जिसमें कौन सा सही है।
-* उदाहरण के लिए, भौतिक अर्थ यह है कि, यदि कोई भी मीट्रिक गुणांक समय का कार्य नहीं है, तो मैनिफोल्ड में स्वचालित रूप से समय-जैसा किलिंग वेक्टर होना चाहिए।
+* उदाहरण के लिए, भौतिक अर्थ यह है कि, यदि कोई भी मीट्रिक गुणांक समय का कार्य नहीं है, तो मैनिफोल्ड में स्वचालित रूप से समय-जैसा किलिंग सदिश होना चाहिए।
-* आम आदमी के शब्दों में, यदि कोई वस्तु समय के साथ रूपांतरित या विकसित नहीं होती है (जब समय बीत जाता है), तो समय बीतने से वस्तु के माप में कोई बदलाव नहीं आएगा। इस तरह से तैयार किए गए, परिणाम एक तनातनी की तरह लगता है, लेकिन किसी को यह समझना होगा कि उदाहरण बहुत अधिक काल्पनिक है: हत्या क्षेत्र बहुत अधिक जटिल और दिलचस्प मामलों पर भी लागू होते हैं।
+* आम आदमी के शब्दों में, यदि कोई वस्तु समय के साथ रूपांतरित या विकसित नहीं होती है, (जब समय बीत जाता है), तो इस प्रकार समय बीतने से वस्तु के माप में कोई परिवर्तन नहीं आएगा। इस प्रकार से तैयार किए गए, परिणाम तनातनी के समान लगता है, अपितु किसी को यह समझना होगा कि उदाहरण बहुत अधिक काल्पनिक है: इस प्रकार किलिंग क्षेत्र बहुत अधिक जटिल और रोचक स्थितियों पर भी लागू होते हैं।
-इसके विपरीत, यदि मीट्रिक <math>\mathbf{g}</math> एक किलिंग फ़ील्ड स्वीकार करता है <math>X^a</math>, तो कोई जिसके लिए निर्देशांक बना सकता है <math>\partial_0 g_{\mu\nu} = 0</math>. इन निर्देशांकों का निर्माण हाइपरसर्फेस लेकर किया जाता है <math>\Sigma</math> ऐसा है कि <math>X^a</math> कहीं भी स्पर्शरेखा नहीं है <math>\Sigma</math>. निर्देशांक लें <math>x^i</math> पर <math>\Sigma</math>, फिर स्थानीय निर्देशांक परिभाषित करें <math>(t,x^i)</math> कहाँ <math>t</math> के [[अभिन्न वक्र]] के साथ पैरामीटर को दर्शाता है <math>X^a</math> पर आधारित <math>(x^i)</math> पर <math>\Sigma</math>. इन निर्देशांकों में, लाई व्युत्पन्न समन्वय व्युत्पन्न में कम हो जाता है, अर्थात,
+इसके विपरीत, यदि मीट्रिक <math>\mathbf{g}</math> किलिंग क्षेत्र <math>X^a</math> स्वीकार करता है, तो कोई जिसके लिए <math>\partial_0 g_{\mu\nu} = 0</math> निर्देशांक बना सकता है, इन निर्देशांकों का निर्माण हाइपरसर्फेस लेकर किया जाता है, इस प्रकार <math>\Sigma</math> ऐसा है कि <math>\Sigma</math> <math>X^a</math> कहीं भी स्पर्शरेखा नहीं करता है, इस प्रकार <math>x^i</math> पर <math>\Sigma</math> निर्देशांक लेते हैं, फिर समष्टिीय निर्देशांक <math>(t,x^i)</math> परिभाषित करें, जहाँ इस प्रकार <math>t</math> के [[अभिन्न वक्र]] के साथ पैरामीटर को दर्शाता है, जिसके लिए <math>X^a</math> पर आधारित <math>(x^i)</math> पर <math>\Sigma</math> इन निर्देशांकों में, लाई व्युत्पन्न समन्वय व्युत्पन्न में कम हो जाता है, अर्थात,
 :<math>\mathcal{L}_Xg_{\mu\nu} = \partial_0 g_{\mu\nu}</math>
-और किलिंग फ़ील्ड की परिभाषा के अनुसार बाईं ओर का भाग गायब हो जाता है।
+और किलिंग क्षेत्र की परिभाषा के अनुसार बाईं ओर का भाग विलुप्त हो जाता है।
 == गुण ==
-एक किलिंग फ़ील्ड किसी बिंदु पर एक वेक्टर और उसके ग्रेडिएंट (यानी बिंदु पर फ़ील्ड के सभी [[सहसंयोजक व्युत्पन्न]]) द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित की जाती है।
+एक किलिंग क्षेत्र किसी बिंदु पर सदिश और उसके ग्रेडिएंट (अर्ताथ बिंदु पर क्षेत्र के सभी [[सहसंयोजक व्युत्पन्न]]) द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित की जाती है।
-दो किलिंग फ़ील्ड के वेक्टर फ़ील्ड का लाई ब्रैकेट अभी भी किलिंग फ़ील्ड है। मैनिफोल्ड एम पर किलिंग फ़ील्ड्स इस प्रकार एम पर वेक्टर फ़ील्ड्स का एक ले बीजगणित बनाती हैं। यदि एम [[पूर्ण अनेक गुना]] है तो यह मैनिफोल्ड के [[आइसोमेट्री समूह]] का ले बीजगणित है। आइसोमेट्रीज़ के एक संक्रमणीय समूह के साथ एक रीमैनियन मैनिफोल्ड एक [[सजातीय स्थान]] है।
-[[ सघन स्थान ]] मैनिफोल्ड्स के लिए
-* नकारात्मक रिक्की वक्रता का तात्पर्य है कि कोई गैर-तुच्छ (गैर-शून्य) हत्या क्षेत्र नहीं हैं।
-* नॉनपॉज़िटिव रिक्की वक्रता का तात्पर्य है कि कोई भी किलिंग फ़ील्ड समानांतर है। यानी किसी भी वेक्टर क्षेत्र के साथ सहसंयोजक व्युत्पन्न समान रूप से शून्य है।
-* यदि [[अनुभागीय वक्रता]] सकारात्मक है और एम का आयाम सम है, तो किलिंग फ़ील्ड में शून्य होना चाहिए।
-प्रत्येक किलिंग वेक्टर फ़ील्ड का सहसंयोजक [[विचलन]] गायब हो जाता है।
+दो किलिंग क्षेत्र के सदिश क्षेत्र का लाई ब्रैकेट अभी भी किलिंग क्षेत्र है। इसके आधार पर मैनिफोल्ड एम पर किलिंग क्षेत्र इस प्रकार एम पर सदिश क्षेत्र का ले बीजगणित बनाती हैं। यदि एम [[पूर्ण अनेक गुना]] है तो यह मैनिफोल्ड के [[आइसोमेट्री समूह]] का ले बीजगणित है। इस प्रकार आइसोमेट्रीज़ के संक्रमणीय समूह के साथ रीमैनियन मैनिफोल्ड [[सजातीय स्थान|सजातीय समष्टि]] है।
-अगर <math>X</math> एक किलिंग वेक्टर फ़ील्ड है और <math>Y</math> तो फिर, यह एक [[हॉज सिद्धांत]] है <math>g(X, Y)</math> एक [[हार्मोनिक फ़ंक्शन]] है.
+[[ सघन स्थान |सघन समष्टि]] मैनिफोल्ड्स के लिए
+* ऋणात्मक रिक्की वक्रता का तात्पर्य है कि कोई गैर-तुच्छ (गैर-शून्य) किलिंग क्षेत्र नहीं हैं।
+* नॉनपॉज़िटिव रिक्की वक्रता का तात्पर्य है कि कोई भी किलिंग क्षेत्र समानांतर है। अर्ताथ किसी भी सदिश क्षेत्र के साथ सहसंयोजक व्युत्पन्न समान रूप से शून्य है।
+* यदि [[अनुभागीय वक्रता]] धनात्मक है और एम का आयाम सम है, तो किलिंग क्षेत्र में शून्य होना चाहिए।
-अगर <math>X</math> एक किलिंग वेक्टर फ़ील्ड है और <math>\omega</math> तो फिर, यह एक हॉज सिद्धांत|हार्मोनिक पी-फॉर्म है <math>\mathcal{L}_{X} \omega = 0 \,.</math>
+प्रत्येक किलिंग सदिश क्षेत्र का सहसंयोजक [[विचलन]] विलुप्त हो जाता है।
+अगर <math>X</math> किलिंग सदिश क्षेत्र है और <math>Y</math> तो फिर, यह [[हॉज सिद्धांत]] है <math>g(X, Y)</math> [[हार्मोनिक फ़ंक्शन|हार्मोनिक फलन]] है।
+अगर <math>X</math> किलिंग सदिश क्षेत्र है, और <math>\omega</math> तो फिर, यह हॉज सिद्धांत या हार्मोनिक पी-फॉर्म <math>\mathcal{L}_{X} \omega = 0 \,.</math> है।
 === जियोडेसिक्स ===
-प्रत्येक किलिंग वेक्टर एक मात्रा से मेल खाता है जिसे [[हैमिल्टनियन प्रवाह के रूप में जियोडेसिक्स]] के साथ संरक्षित किया जाता है। यह संरक्षित मात्रा किलिंग वेक्टर और जियोडेसिक टेंगेंट वेक्टर के बीच का मीट्रिक उत्पाद है। स्पर्शरेखा वेक्टर के साथ एक एफ़िनली पैरामीट्रिज़्ड जियोडेसिक के साथ <math>U^a</math> फिर किलिंग वेक्टर दिया गया <math>X_b</math>, मात्रा <math>U^bX_b</math> संरक्षित है:
+प्रत्येक किलिंग सदिश मात्रा से मेल खाता है, जिसे [[हैमिल्टनियन प्रवाह के रूप में जियोडेसिक्स]] के साथ संरक्षित किया जाता है। इस प्रकार यह संरक्षित मात्रा किलिंग सदिश और जियोडेसिक टेंगेंट सदिश के बीच का मीट्रिक उत्पाद है। स्पर्शरेखा सदिश के साथ एफ़िनली पैरामीट्रिज़्ड जियोडेसिक के साथ <math>U^a</math> फिर किलिंग सदिश दिया गया हैं, जिसके लिए <math>X_b</math> की मात्रा <math>U^bX_b</math> से  संरक्षित है:
 :<math>U^a\nabla_a(U^bX_b)=0</math>
 यह समरूपता के साथ स्पेसटाइम में गतियों का विश्लेषणात्मक अध्ययन करने में सहायता करता है।<ref>{{Cite book|title = Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity |url = https://archive.org/details/spacetimegeometr00scar |url-access = limited |last = Carroll |first = Sean|publisher = Addison Wesley|year = 2004|pages = [https://archive.org/details/spacetimegeometr00scar/page/n145 133]–139|isbn = 9780805387322 }}</ref>
 === तनाव-ऊर्जा टेंसर ===
-एक संरक्षित, सममित टेंसर दिया गया है <math>T^{ab}</math>, वह है, एक संतोषजनक <math>T^{ab} = T^{ba}</math> और <math>\nabla_a T^{ab}=0</math>, जो [[तनाव-ऊर्जा टेंसर]] और किलिंग वेक्टर के विशिष्ट गुण हैं <math>X_b</math>, हम संरक्षित मात्रा का निर्माण कर सकते हैं <math>J^a := T^{ab}X_b</math> संतुष्टि देने वाला
+एक संरक्षित, सममित टेंसर <math>T^{ab}</math> दिया गया है, यह संतोषजनक हैं तथा इसका मान <math>T^{ab} = T^{ba}</math> और <math>\nabla_a T^{ab}=0</math> के समान हैं, जो इस प्रकार [[तनाव-ऊर्जा टेंसर]] और किलिंग सदिश  <math>X_b</math> के विशिष्ट गुण हैं, हम संरक्षित मात्रा का निर्माण कर सकते हैं, इस प्रकार <math>J^a := T^{ab}X_b</math> के लिए इसे संतुष्टि करने वाला मान इस प्रकार हैं-
 :<math>\nabla_a J^a = 0.</math>
 === कार्टन अपघटन ===
-जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, दो किलिंग फ़ील्ड के वेक्टर फ़ील्ड का लाई ब्रैकेट अभी भी एक किलिंग फ़ील्ड है। द किलिंग फील्ड्स मैनिफोल्ड पर <math>M</math> इस प्रकार एक झूठ बीजगणित बनता है <math>\mathfrak{g}</math> सभी वेक्टर फ़ील्ड पर <math>M.</math> एक बिंदु का चयन करना <math>p \in M~,</math> बीजगणित <math>\mathfrak{g}</math> दो भागों में विघटित किया जा सकता है:
+जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, दो किलिंग क्षेत्र के सदिश क्षेत्र का लाई ब्रैकेट अभी भी किलिंग क्षेत्र है। इस प्रकार द किलिंग क्षेत्र मैनिफोल्ड पर <math>M</math> इस प्रकार असत्य बीजगणित बनता है, इसके कारण <math>\mathfrak{g}</math> सभी सदिश क्षेत्र पर <math>M.</math> बिंदु <math>p \in M~,</math> का चयन करता हैं, इसके लिए बीजगणित <math>\mathfrak{g}</math> दो भागों में विघटित किया जा सकता है:
 :<math>\mathfrak{h} = \{ X\in\mathfrak{g} : X(p) = 0 \}</math>
 और
 :<math>\mathfrak{m} = \{ X\in\mathfrak{g} : \nabla X(p) = 0 \}</math>
-कहाँ <math>\nabla</math> सहसंयोजक व्युत्पन्न है. ये दोनों भाग मामूली तौर पर एक दूसरे को काटते हैं लेकिन सामान्य तौर पर विभाजित नहीं होते <math>\mathfrak{g}</math>. उदाहरण के लिए, यदि <math>M</math> एक रीमैनियन सजातीय स्थान है, हमारे पास है <math>\mathfrak{g} = \mathfrak{h} \oplus \mathfrak{m}</math> अगर और केवल अगर <math>M</math> एक रीमैनियन सममित स्थान है।<ref>Olmos, Carlos; Reggiani, Silvio; Tamaru, Hiroshi (2014). ''The index of symmetry of compact naturally reductive spaces''. Math. Z. '''277''', 611–628. [https://doi.org/10.1007/s00209-013-1268-0 DOI 10.1007/s00209-013-1268-0]</ref>
+जहाँ <math>\nabla</math> सहसंयोजक व्युत्पन्न है. ये दोनों भाग को सामान्य रूप से एक-दूसरे को काटते हैं, अपितु सामान्यतः <math>\mathfrak{g}</math> से विभाजित नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि <math>M</math> रीमैनियन सजातीय समष्टि है, हमारे पास है <math>\mathfrak{g} = \mathfrak{h} \oplus \mathfrak{m}</math> यदि केवल <math>M</math> रीमैनियन सममित समष्टि है।<ref>Olmos, Carlos; Reggiani, Silvio; Tamaru, Hiroshi (2014). ''The index of symmetry of compact naturally reductive spaces''. Math. Z. '''277''', 611–628. [https://doi.org/10.1007/s00209-013-1268-0 DOI 10.1007/s00209-013-1268-0]</ref>
-सहज रूप से, की सममिति <math>M</math> स्थानीय रूप से एक सबमैनिफोल्ड को परिभाषित करें <math>N</math> कुल स्थान का, और किलिंग फ़ील्ड दिखाते हैं कि उस सबमैनिफोल्ड के साथ कैसे स्लाइड किया जाए। वे उस उपमान के स्पर्शरेखा स्थान का विस्तार करते हैं। स्पर्शरेखा स्थान <math>T_pN</math> उस बिंदु पर समूह क्रिया#कार्रवाई के प्रकार अभिनय करने वाले आइसोमेट्री के समान आयाम होना चाहिए। अर्थात व्यक्ति अपेक्षा करता है <math>T_pN \cong \mathfrak{m}~.</math> फिर भी, सामान्य तौर पर, किलिंग फ़ील्ड की संख्या उस स्पर्शरेखा स्थान के आयाम से बड़ी होती है। यह कैसे हो सकता है? इसका उत्तर यह है कि अतिरिक्त किलिंग फ़ील्ड अनावश्यक हैं। सभी को मिलाकर, फ़ील्ड किसी विशेष चयनित बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान के लिए एक अति-पूर्ण आधार प्रदान करते हैं; उस विशेष बिंदु पर रैखिक संयोजनों को गायब किया जा सकता है। इसे 2-गोले पर किलिंग फ़ील्ड के उदाहरण में देखा गया था: 3 किलिंग फ़ील्ड हैं; किसी भी बिंदु पर, दो उस बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान का विस्तार करते हैं, और तीसरा अन्य दो का एक रैखिक संयोजन है। किन्हीं दो परिभाषाओं को चुनना <math>\mathfrak{m};</math> शेष पतित रैखिक संयोजन एक ऑर्थोगोनल स्थान को परिभाषित करते हैं <math>\mathfrak{h}.</math>
+सहज रूप से, की सममिति <math>M</math> समष्टिीय रूप से सबमैनिफोल्ड को परिभाषित करें, जिसके लिए <math>N</math> कुल समष्टि का, और किलिंग क्षेत्र दिखाते हैं कि उस सबमैनिफोल्ड के साथ कैसे स्लाइड किया जाए। वे इस प्रकार उस उपमान के स्पर्शरेखा समष्टि का विस्तार करते हैं। इस प्रकार स्पर्शरेखा समष्टि <math>T_pN</math> उस बिंदु पर समूह क्रिया प्रतिक्रिया के प्रकार अभिनय करने वाले आइसोमेट्री के समान आयाम होना चाहिए। अर्थात व्यक्ति अपेक्षा करता है <math>T_pN \cong \mathfrak{m}~.</math> फिर भी, सामान्य तौर पर, किलिंग क्षेत्र की संख्या उस स्पर्शरेखा समष्टि के आयाम से बड़ी होती है। यह कैसे हो सकता है? इसका उत्तर यह है कि अतिरिक्त किलिंग क्षेत्र अनावश्यक हैं। इस प्रकार सभी को मिलाकर, क्षेत्र किसी विशेष चयनित बिंदु पर स्पर्शरेखा समष्टि के लिए अति-पूर्ण आधार प्रदान करते हैं, उस विशेष बिंदु पर रैखिक संयोजनों को विलुप्त किया जा सकता है। इसे 2-गोले पर किलिंग क्षेत्र के उदाहरण में देखा गया था: 3 किलिंग क्षेत्र हैं, इस प्रकार किसी भी बिंदु पर, दो उस बिंदु पर स्पर्शरेखा समष्टि का विस्तार करते हैं, और तीसरा अन्य दो का रैखिक संयोजन है। किन्हीं दो परिभाषाओं के लिए <math>\mathfrak{m};</math> को चुनना शेष पतित रैखिक संयोजन ऑर्थोगोनल समष्टि  <math>\mathfrak{h}.</math> को परिभाषित करते हैं।
 ===[[कार्टन का समावेश]]===
-कार्टन इनवोलुशन को जियोडेसिक की दिशा को प्रतिबिंबित करने या उलटने के रूप में परिभाषित किया गया है। इसका अंतर स्पर्शरेखा की दिशा को जियोडेसिक में बदल देता है। यह मानक एक का एक रैखिक संचालिका है; इसमें eigenvalue +1 और -1 के दो अपरिवर्तनीय उप-स्थान हैं। ये दो उपस्थान संगत हैं <math>\mathfrak{p}</math> और <math>\mathfrak{m},</math> क्रमश।
+कार्टन समावेश को जियोडेसिक की दिशा को प्रतिबिंबित करने या उलटने के रूप में परिभाषित किया गया है। इस प्रकार इसका अंतर स्पर्शरेखा की दिशा को जियोडेसिक में बदल देता है। यह मानक का रैखिक संचालिका है, इसमें आइजन मान +1 और -1 के दो अपरिवर्तनीय उप-समष्टि हैं। ये दो उपसमष्टि <math>\mathfrak{p}</math> और <math>\mathfrak{m},</math> क्रमशः संगत हैं।
-इसे और अधिक सटीक बनाया जा सकता है. एक बिंदु तय करना <math>p \in M</math> एक जियोडेसिक पर विचार करें <math>\gamma: \mathbb{R} \to M</math> के माध्यम से गुजरते हुए <math>p</math>, साथ <math>\gamma(0) = p~.</math> इन्वॉल्वमेंट (गणित) <math>\sigma_p</math> परिभाषित किया जाता है
+इसे और अधिक सटीक बनाया जा सकता है, इस प्रकार किसी बिंदु <math>p \in M</math> पर तय करना होता हैं, इस प्रकार जियोडेसिक पर विचार करें, जिसके लिए इस प्रकार <math>\gamma: \mathbb{R} \to M</math> के माध्यम से गुजरते हुए <math>p</math>,के मान के साथ <math>\gamma(0) = p~.</math> इन्वॉल्वमेंट (गणित) <math>\sigma_p</math> परिभाषित किया जाता है।
 :<math>\sigma_p(\gamma(\lambda)) = \gamma(-\lambda)</math>
-यह मानचित्र उसी में एक समावेश है <math>\sigma_p^2 = 1~.</math> जब किलिंग फ़ील्ड के साथ जियोडेसिक्स तक सीमित किया जाता है, तो यह स्पष्ट रूप से एक आइसोमेट्री भी है। इसे विशिष्ट रूप से परिभाषित किया गया है।
+यह मानचित्र <math>\sigma_p^2 = 1~.</math> में समावेशित हो जाता है, जब किलिंग क्षेत्र के साथ जियोडेसिक्स तक सीमित किया जाता है, तो यह इस प्रकार स्पष्ट रूप से आइसोमेट्री भी है। इसे विशिष्ट रूप से परिभाषित किया गया है।
-होने देना <math>G</math> किलिंग फ़ील्ड द्वारा उत्पन्न आइसोमेट्री का समूह बनें। कार्यक्रम <math>s_p: G \to G</math> द्वारा परिभाषित
+यहाँ पर <math>G</math> किलिंग क्षेत्र द्वारा उत्पन्न आइसोमेट्री का समूह बनें। फलन <math>s_p: G \to G</math> द्वारा इसे परिभाषित किया जाता हैं।
 :<math>s_p(g) = \sigma_p \circ g \circ \sigma_p = \sigma_p \circ g \circ \sigma_p^{-1}</math>
-की एक [[समरूपता]] है <math>G</math>. यह अतिसूक्ष्म है <math>\theta_p: \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}</math> है
+इस समीकरण की [[समरूपता]] <math>G</math> है, यह अतिसूक्ष्म <math>\theta_p: \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}</math> है।
 :<math>\theta_p(X) = \left. \frac{d}{d\lambda} s_p\left(e^{\lambda X}\right) \right|_{\lambda=0}</math>
-कार्टन इनवोल्यूशन एक झूठ बीजगणित समरूपता है
+कार्टन समावेश असत्य बीजगणित समरूपता है
 :<math>\theta_p[X, Y] = \left[\theta_p X, \theta_p Y\right]</math>
-सभी के लिए <math>X, Y \in \mathfrak{g}~.</math> उपस्थान <math>\mathfrak{m}</math> जबकि, कार्टन इन्वोल्यूशन के अंतर्गत विषम समता है <math>\mathfrak{h}</math> सम समता है. अर्थात्, बिंदु पर कार्टन के शामिल होने को दर्शाता है <math>p \in M</math> जैसा <math>\theta_p</math> किसी के पास
+इसके कारण सभी <math>X, Y \in \mathfrak{g}~.</math> के लिए उपसमष्टि <math>\mathfrak{m}</math>  कार्टन समावेशन के अंतर्गत विषम समता है, जहाँ <math>\mathfrak{h}</math> सम समता है, अर्थात्, बिंदु पर कार्टन <math>p \in M</math> के उपस्थित होने को दर्शाता है,  जैसा <math>\theta_p</math> किसी के पास
 :<math>\left.\theta_p\right|_{\mathfrak{m}} = -Id</math>
 और
 :<math>\left.\theta_p\right|_{\mathfrak{h}} = +Id</math>
-कहाँ <math>Id</math> पहचान मानचित्र है. इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि उपस्थान <math>\mathfrak{h}</math> का एक झूठ उपबीजगणित है <math>\mathfrak{g}</math>, के कारण से
+जहाँ <math>Id</math> पहचान मानचित्र है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि उपसमष्टि <math>\mathfrak{h}</math> का असत्य उपबीजगणित <math>\mathfrak{g}</math> है , जिसके कारण यह मान प्राप्त होता हैं।
 <math>[\mathfrak{h}, \mathfrak{h}] \subset \mathfrak{h} ~.</math>
-चूँकि ये सम और विषम समता वाले उपस्थान हैं, इसलिए लाई कोष्ठक विभाजित हो जाते हैं
+चूँकि ये सम और विषम समता वाले उपसमष्टि हैं, इसलिए लाई कोष्ठक विभाजित हो जाते हैं
 <math>[\mathfrak{h}, \mathfrak{m}] \subset \mathfrak{m}</math>
 और
 <math>[\mathfrak{m}, \mathfrak{m}] \subset \mathfrak{h} ~.</math>
-उपरोक्त अपघटन सभी बिंदुओं पर लागू होता है <math>p \in M</math> एक [[सममित स्थान]] के लिए <math>M</math>; सबूत जोस्ट में पाए जा सकते हैं।<ref>Jurgen Jost, (2002) "Riemmanian Geometry and Geometric Analysis" (Third edition) Springer. (''See section 5.2 pages 241-251.''}</ref> वे अधिक सामान्य सेटिंग्स में भी हैं, लेकिन जरूरी नहीं कि वे मैनिफोल्ड के सभी बिंदुओं पर हों।{{reference needed|date=November 2020}}
-सममित स्थान के विशेष मामले के लिए, किसी के पास स्पष्ट रूप से वह है <math>T_pM \cong \mathfrak{m};</math> अर्थात्, किलिंग फ़ील्ड एक सममित स्थान के संपूर्ण स्पर्शरेखा स्थान को फैलाते हैं। समान रूप से, वक्रता टेंसर स्थानीय रूप से सममित स्थानों पर सहसंयोजक रूप से स्थिर होता है, और इसलिए ये स्थानीय रूप से समानांतर होते हैं; यह कार्टन-एम्ब्रोस-हिक्स प्रमेय है।
+उपरोक्त अपघटन सभी बिंदुओं पर लागू होता है, इसके आधार पर <math>p \in M</math> के लिए [[सममित स्थान|सममित समष्टि]]  <math>M</math>, के प्रमाण जोस्ट में पाए जाते हैं।<ref>Jurgen Jost, (2002) "Riemmanian Geometry and Geometric Analysis" (Third edition) Springer. (''See section 5.2 pages 241-251.''}</ref> ये अधिक सामान्य परिवेश में भी हैं, अपितु आवश्यक नहीं कि वे मैनिफोल्ड के सभी बिंदुओं पर हों।
+सममित समष्टि के विशेष मामले के लिए, किसी के पास <math>T_pM \cong \mathfrak{m};</math> का स्पष्ट रूप है अर्थात्, किलिंग क्षेत्र सममित समष्टि के संपूर्ण स्पर्शरेखा समष्टि को फैलाते हैं। समान रूप से, वक्रता टेंसर समष्टिीय रूप से सममित समष्टिों पर सहसंयोजक रूप से स्थिर होता है, और इसलिए ये समष्टिीय रूप से समानांतर होते हैं, यह कार्टन-एम्ब्रोस-हिक्स प्रमेय है।
 == सामान्यीकरण ==
-[[अनुरूप हत्या वेक्टर क्षेत्र]] को परिभाषित किलिंग वेक्टर फ़ील्ड्स के अनुरूप सामान्यीकृत किया जा सकता है <math>\mathcal{L}_{X} g = \lambda g\,</math> कुछ अदिश राशि के लिए <math>\lambda.</math> [[अनुरूप मानचित्र]]ों के एक पैरामीटर परिवारों के व्युत्पन्न अनुरूप हत्या क्षेत्र हैं।
+[[अनुरूप हत्या वेक्टर क्षेत्र|अनुरूप किलिंग सदिश क्षेत्र]] को परिभाषित करने के लिए किलिंग सदिश क्षेत्र <math>\mathcal{L}_{X} g = \lambda g\,</math> के अनुरूप सामान्यीकृत किया जा सकता है, यहाँ कुछ अदिश राशि के लिए <math>\lambda.</math> [[अनुरूप मानचित्र]] के पैरामीटर समूहों के व्युत्पन्न अनुरूप किलिंग क्षेत्र हैं।
-* [[ [[ टेन्सर ]] को मारना ]] फ़ील्ड सममित टेंसर फ़ील्ड टी हैं जैसे कि सममिति का ट्रेस-मुक्त हिस्सा <math>\nabla T \,</math> गायब हो जाता है. किलिंग टेंसर वाले मैनिफोल्ड्स के उदाहरणों में [[केर स्पेसटाइम]] और [[एफआरडब्ल्यू ब्रह्मांड विज्ञान]] शामिल हैं।<ref>{{Cite book|title = Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity |url = https://archive.org/details/spacetimegeometr00scar |url-access = limited |last = Carroll |first = Sean |publisher = Addison Wesley|year = 2004|pages = [https://archive.org/details/spacetimegeometr00scar/page/n275 263], 344|isbn = 9780805387322 }}</ref>
+* [[ [[ टेन्सर |टेन्सर]] को खत्म करना ]] क्षेत्र सममित टेंसर क्षेत्र टी हैं जैसे कि सममिति का ट्रेस-मुक्त भाग <math>\nabla T \,</math> विलुप्त हो जाता है, इस प्रकार किलिंग टेंसर वाले मैनिफोल्ड्स के उदाहरणों में [[केर स्पेसटाइम]] और [[एफआरडब्ल्यू ब्रह्मांड विज्ञान]] सम्मिलित हैं।<ref>{{Cite book|title = Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity |url = https://archive.org/details/spacetimegeometr00scar |url-access = limited |last = Carroll |first = Sean |publisher = Addison Wesley|year = 2004|pages = [https://archive.org/details/spacetimegeometr00scar/page/n275 263], 344|isbn = 9780805387322 }}</ref>
-* यदि हम आइसोमेट्री के समूह के बजाय उस पर कोई ली समूह जी समूह कार्रवाई (गणित) लेते हैं, तो किलिंग वेक्टर फ़ील्ड को किसी भी मैनिफोल्ड एम (संभवतः मीट्रिक के बिना) पर भी परिभाषित किया जा सकता है।<ref>{{citation
+* यदि हम आइसोमेट्री के समूह के अतिरिक्त उस पर कोई ली समूह जी समूह प्रतिक्रिया (गणित) लेते हैं, तो किलिंग सदिश क्षेत्र को किसी भी मैनिफोल्ड एम (संभवतः मीट्रिक के बिना) पर भी परिभाषित किया जा सकता है।<ref>{{citation
   |last1         = Choquet-Bruhat |first1       = Yvonne
   |author-link  = Yvonne Choquet-Bruhat
@@ Line 211: / Line 214: @@
   |url-access   = registration
   |url          = https://archive.org/details/analysismanifold0000choq
-}}</ref> इस व्यापक अर्थ में, किलिंग वेक्टर फ़ील्ड समूह क्रिया द्वारा G पर एक सही अपरिवर्तनीय वेक्टर फ़ील्ड को आगे बढ़ाना है। यदि समूह क्रिया प्रभावी है, तो किलिंग वेक्टर फ़ील्ड का स्थान लाई बीजगणित के समरूपी है <math>\mathfrak{g}</math> जी का.
+}}</ref> इस व्यापक अर्थ में, किलिंग सदिश क्षेत्र समूह क्रिया द्वारा G पर सही अपरिवर्तनीय सदिश क्षेत्र को आगे बढ़ाना है। यदि समूह क्रिया प्रभावी है, तो किलिंग सदिश क्षेत्र का समष्टि लाई बीजगणित <math>\mathfrak{g}</math> जी के समरूपी है।
 ==यह भी देखें==
-* [[एफ़िन वेक्टर फ़ील्ड]]
+* [[एफ़िन वेक्टर फ़ील्ड|एफ़िन सदिश क्षेत्र]]
 * [[वक्रता संरेखण]]
 * [[समरूप सदिश क्षेत्र]]
-* [[संहार रूप]]
+* [[संहार रूप|किलिंग प्रारूप]]
-* [[क्षितिज को मारना]]
+* [[क्षितिज को मारना|क्षितिज किलिंग]]
-*[[स्पिनर को मारना]]
+*[[स्पिनर को मारना|स्पिनर किलिंग]]
 * द्रव्य संरेखण
 * [[स्पेसटाइम समरूपता]]
@@ Line 226: / Line 229: @@
 {{Reflist}}
-{{DEFAULTSORT:Killing Vector Field}}[[Category: रीमैनियन ज्यामिति]]
+{{DEFAULTSORT:Killing Vector Field}}
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:CS1 maint|Killing Vector Field]]
-[[Category:Created On 18/11/2023]]
+[[Category:Created On 18/11/2023|Killing Vector Field]]
+[[Category:Machine Translated Page|Killing Vector Field]]
+[[Category:Pages with script errors|Killing Vector Field]]
+[[Category:Templates Vigyan Ready|Killing Vector Field]]
+[[Category:रीमैनियन ज्यामिति|Killing Vector Field]]
+[[Category:Vigyan Ready]]

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किलिंग सदिश क्षेत्र: Difference between revisions

Latest revision as of 10:20, 11 December 2023

परिभाषा

उदाहरण

वृत्त पर किलिंग क्षेत्र

अतिपरवलयिक तल पर किलिंग क्षेत्र

2-गोले पर किलिंग क्षेत्र

मिन्कोवस्की क्षेत्र में किलिंग क्षेत्र

समतल समष्टि में किलिंग क्षेत्र

सामान्य सापेक्षता में किलिंग क्षेत्र

एक स्थिर समन्वय का किलिंग क्षेत्र

गुण

जियोडेसिक्स

तनाव-ऊर्जा टेंसर

कार्टन अपघटन

कार्टन का समावेश

सामान्यीकरण

यह भी देखें

संदर्भ

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