मिये प्रकीर्णन

कण की त्रिज्या के फलन के रूप में प्रकीर्णन। एक चक्र के साथ, कण का व्यास 0.1 तरंग दैर्ध्य से 1 तरंग दैर्ध्य में बदल जाता है। गोले का अपवर्तनांक 1.5 है

माई प्रकीर्णन, कलात्मक दृश्य (रैखिक रूप से ध्रुवीकृत घटना समतल तरंग के अंतर्गत)

माई प्रतिध्वनि बनाम त्रिज्या

आवृत्ति के एक फ़ंक्शन के रूप में एक पूरी तरह से संचालित धातु क्षेत्र का मोनोस्टैटिक रडार क्रॉस सेक्शन (आरसीएस) (एमआईई सिद्धांत द्वारा गणना)। कम-आवृत्ति रेले प्रकीर्णन सीमा में, जहां परिधि तरंग दैर्ध्य से कम है, सामान्यीकृत आरसीएस है ${\tfrac {\sigma }{\pi R^{2}}}\sim 9(kR)^{4}.$ उच्च-आवृत्ति ऑप्टिकल सीमा में, ${\tfrac {\sigma }{\pi R^{2}}}\sim 1.$

विद्युत चुंबकत्व में, मैक्सवेल के समीकरणों का Mie समाधान (जिसे लोरेंज-Mie समाधान, लोरेंज-Mie-डेबी समाधान या Mie स्कैटरिंग के रूप में भी जाना जाता है) एक सजातीय क्षेत्र द्वारा विद्युत चुम्बकीय समतल तरंग के प्रकीर्णन का वर्णन करता है। समाधान वेक्टर गोलाकार हार्मोनिक्स की एक अनंत श्रृंखला का रूप लेता है। इसका नाम जर्मन भौतिक विज्ञानी गुस्ताव मि के नाम पर रखा गया है।

मी समाधान शब्द का उपयोग स्तरीकृत क्षेत्रों या अनंत सिलेंडरों, या अन्य ज्यामिति द्वारा बिखरने के लिए मैक्सवेल के समीकरणों के समाधान के लिए भी किया जाता है, जहां कोई समाधान की रेडियल और कोणीय निर्भरता के लिए चर के पृथक्करण को लिख सकता है। मी सिद्धांत शब्द का प्रयोग कभी-कभी समाधानों और विधियों के इस संग्रह के लिए किया जाता है; यह किसी स्वतंत्र भौतिक सिद्धांत या कानून का उल्लेख नहीं करता है। अधिक मोटे तौर पर, माई प्रकीर्णन सूत्र उन स्थितियों में सबसे उपयोगी होते हैं जहां प्रकीर्णन कणों का आकार बहुत छोटे या बहुत बड़े होने के बजाय प्रकाश की तरंग दैर्ध्य के बराबर होता है।

माइ स्कैटरिंग (कभी-कभी इसे गैर-आणविक स्कैटरिंग या एयरोसोल कण स्कैटरिंग भी कहा जाता है) निचले हिस्से में होता है 4,500 m (15,000 ft)पृथ्वी के वायुमंडल का, जहां किरण (ऑप्टिक्स)#घटना किरण की तरंग दैर्ध्य के लगभग बराबर व्यास वाले कई अनिवार्य रूप से गोलाकार कण मौजूद हो सकते हैं। माई स्कैटरिंग सिद्धांत की कोई ऊपरी आकार सीमा नहीं है, और बड़े कणों के लिए ज्यामितीय प्रकाशिकी की सीमा में परिवर्तित हो जाता है।

परिचय

चुंबकीय और विद्युत वेक्टर गोलाकार हार्मोनिक्स का कोणीय भाग। लाल और हरे तीर मैदान की दिशा दर्शाते हैं। उत्पन्न करने वाले अदिश फलन भी प्रस्तुत किए गए हैं, केवल पहले तीन क्रम दिखाए गए हैं (द्विध्रुव, चतुर्भुज, अष्टध्रुव)।

किसी गोले पर प्रकीर्णन की समस्या के लिए Mie समाधान का एक आधुनिक सूत्रीकरण कई पुस्तकों में पाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, जूलियस एडम्स स्ट्रैटन|जे। ए. स्ट्रैटन का विद्युत चुम्बकीय सिद्धांत। इस सूत्रीकरण में, आपतित समतल तरंग, साथ ही प्रकीर्णन क्षेत्र, को विकिरणित गोलाकार वेक्टर गोलाकार हार्मोनिक्स में विस्तारित किया जाता है। आंतरिक क्षेत्र को नियमित वेक्टर गोलाकार हार्मोनिक्स में विस्तारित किया गया है। गोलाकार सतह पर सीमा की स्थिति लागू करके, बिखरे हुए क्षेत्र के विस्तार गुणांक की गणना की जा सकती है।

बिखरे हुए प्रकाश की तरंग दैर्ध्य से बहुत बड़े या बहुत छोटे कणों के लिए सरल और सटीक अनुमान हैं जो सिस्टम के व्यवहार का वर्णन करने के लिए पर्याप्त हैं। लेकिन उन वस्तुओं के लिए जिनका आकार तरंग दैर्ध्य के परिमाण के कुछ आदेशों के भीतर है, उदाहरण के लिए, वायुमंडल में पानी की बूंदें, पेंट में लेटेक्स कण, दूध सहित इमल्शन में बूंदें, और जैविक कोशिकाएं और सेलुलर घटक, अधिक विस्तृत दृष्टिकोण आवश्यक है। माई समाधान इसका नाम इसके डेवलपर, जर्मन भौतिक विज्ञानी गुस्ताव मी के नाम पर रखा गया है। डेनिश भौतिक विज्ञानी लुडविग लोरेन्ज़ और अन्य ने स्वतंत्र रूप से एक ढांकता हुआ क्षेत्र द्वारा विद्युत चुम्बकीय समतल तरंग प्रकीर्णन का सिद्धांत विकसित किया।

औपचारिकता एक गोलाकार वस्तु के अंदर और बाहर विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों की गणना की अनुमति देती है और आम तौर पर इसका उपयोग यह गणना करने के लिए किया जाता है कि कितना प्रकाश बिखरा हुआ है (कुल ऑप्टिकल क्रॉस सेक्शन), या यह कहां जाता है (फॉर्म फैक्टर)। इन परिणामों की उल्लेखनीय विशेषताएं माई प्रतिध्वनि हैं, आकार जो विशेष रूप से दृढ़ता से या कमजोर रूप से बिखरते हैं। यह छोटे कणों के लिए रेले स्कैटरिंग और बड़े कणों के लिए रेले-गैन्स-डेबी स्कैटरिंग (लॉर्ड रेले, रिचर्ड गन्स और पीटर डेबी के बाद) के विपरीत है। कणों के आकार को मापने के लिए बिखरे हुए प्रकाश का उपयोग करते समय प्रतिध्वनि और माई स्कैटरिंग की अन्य विशेषताओं का अस्तित्व इसे विशेष रूप से उपयोगी औपचारिकता बनाता है।

अनुमान

रेले सन्निकटन (प्रकीर्णन)

Main article: Rayleigh scattering

सूर्यास्त के समय आकाश के रंग में परिवर्तन (सूर्य के सबसे निकट लाल, सबसे दूर नीला) वायुमंडलीय गैस कणों द्वारा रेले के प्रकीर्णन के कारण होता है, जो दृश्य प्रकाश की तरंग दैर्ध्य से बहुत छोटे होते हैं। बादलों का भूरा/सफ़ेद रंग पानी की बूंदों द्वारा बिखरने के कारण होता है, जो दृश्य प्रकाश की तरंग दैर्ध्य के बराबर आकार के होते हैं।

रेले स्कैटरिंग उन क्षेत्रों द्वारा प्रकाश के लोचदार प्रकीर्णन का वर्णन करता है जो प्रकाश की तरंग दैर्ध्य से बहुत छोटे होते हैं। प्रकीर्णित विकिरण की तीव्रता I द्वारा दी गई है

$I=I_{0}\left({\frac {1+\cos ^{2}\theta }{2R^{2}}}\right)\left({\frac {2\pi }{\lambda }}\right)^{4}\left({\frac {n^{2}-1}{n^{2}+2}}\right)^{2}\left({\frac {d}{2}}\right)^{6},$

जहां मैं₀कण के साथ संपर्क से पहले प्रकाश की तीव्रता है, R कण और पर्यवेक्षक के बीच की दूरी है, θ प्रकीर्णन कोण है, λ विचाराधीन प्रकाश की तरंग दैर्ध्य है, n कण का अपवर्तनांक है, और d है कण का व्यास.

उपरोक्त समीकरण से यह देखा जा सकता है कि रेले का प्रकीर्णन कण के आकार और तरंग दैर्ध्य पर अत्यधिक निर्भर है। जैसे-जैसे कण आकार और तरंग दैर्ध्य का अनुपात बढ़ता है, रेले बिखरे हुए विकिरण की तीव्रता तेजी से बढ़ती है। इसके अलावा, रेले बिखरे विकिरण की तीव्रता आगे और पीछे की दिशाओं में समान है।

रेले स्कैटरिंग मॉडल तब टूट जाता है जब कण का आकार आपतित विकिरण की तरंग दैर्ध्य के लगभग 10% से बड़ा हो जाता है। इससे अधिक आयाम वाले कणों के मामले में, बिखरे हुए विकिरण की तीव्रता का पता लगाने के लिए Mie के प्रकीर्णन मॉडल का उपयोग किया जा सकता है। Mie बिखरे हुए विकिरण की तीव्रता एक सरल गणितीय अभिव्यक्ति के बजाय शब्दों की अनंत श्रृंखला के योग द्वारा दी जाती है। हालाँकि, यह दिखाया जा सकता है कि कण आकार की इस सीमा में प्रकीर्णन कई मामलों में रेले प्रकीर्णन से भिन्न होता है: यह मोटे तौर पर तरंग दैर्ध्य से स्वतंत्र होता है और यह विपरीत दिशा की तुलना में आगे की दिशा में बड़ा होता है। कण का आकार जितना बड़ा होगा, उतना ही अधिक प्रकाश आगे की दिशा में प्रकीर्णित होगा।

आकाश का नीला रंग रेले प्रकीर्णन के कारण होता है, क्योंकि वायुमंडल में गैस के कणों का आकार दृश्य प्रकाश की तरंग दैर्ध्य से बहुत छोटा होता है। नीली रोशनी में रेले का प्रकीर्णन उसकी कम तरंगदैर्घ्य के कारण अन्य रंगों की तुलना में बहुत अधिक होता है। जैसे ही सूर्य का प्रकाश वायुमंडल से होकर गुजरता है, इसका नीला घटक रेले वायुमंडलीय गैसों द्वारा दृढ़ता से बिखरा हुआ होता है लेकिन लंबी तरंग दैर्ध्य (जैसे लाल/पीला) घटक नहीं होते हैं। इसलिए सूर्य से सीधे आने वाला सूर्य का प्रकाश थोड़ा पीला दिखाई देता है, जबकि आकाश के बाकी हिस्सों से बिखरा हुआ प्रकाश नीला दिखाई देता है। सूर्योदय और सूर्यास्त के दौरान, संचरित प्रकाश के स्पेक्ट्रम पर रेले के प्रकीर्णन का प्रभाव बहुत अधिक होता है क्योंकि प्रकाश किरणों को पृथ्वी की सतह के पास उच्च घनत्व वाली हवा के माध्यम से अधिक दूरी तय करनी पड़ती है।

इसके विपरीत, बादल बनाने वाली पानी की बूंदें दृश्य प्रकाश में तरंग दैर्ध्य के तुलनीय आकार की होती हैं, और प्रकीर्णन का वर्णन रेले के मॉडल के बजाय मिए के मॉडल द्वारा किया जाता है। यहां, दृश्य प्रकाश की सभी तरंग दैर्ध्य लगभग समान रूप से बिखरी हुई हैं, और इसलिए बादल सफेद या भूरे रंग के दिखाई देते हैं।

रेले-गैन्स सन्निकटन

रेले-गैन्स सन्निकटन प्रकाश प्रकीर्णन का एक अनुमानित समाधान है जब कण का सापेक्ष अपवर्तनांक पर्यावरण के करीब होता है, और इसका आकार |n − 1| द्वारा विभाजित प्रकाश की तरंग दैर्ध्य की तुलना में बहुत छोटा होता है, जहां n अपवर्तनांक है:

${\begin{aligned}|n-1|&\ll 1\\kd|n-1|&\ll 1\end{aligned}}$ कहाँ ${\textstyle k}$ प्रकाश का तरंगवेक्टर है (${\textstyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$), और $d$ कण के रैखिक आयाम को संदर्भित करता है। पूर्व स्थिति को अक्सर ऑप्टिकली सॉफ्ट के रूप में संदर्भित किया जाता है और यह सन्निकटन मनमाने आकार के कणों के लिए होता है।

वैन डे हुल्स्ट का विषम विवर्तन सन्निकटन

विषम विवर्तन सिद्धांत बड़े (तरंग दैर्ध्य की तुलना में) और ऑप्टिकली नरम क्षेत्रों के लिए मान्य है; प्रकाशिकी के संदर्भ में नरम का अर्थ है कि कण का अपवर्तक सूचकांक (एम) पर्यावरण के अपवर्तक सूचकांक से केवल थोड़ा अलग होता है, और कण तरंग को केवल एक छोटे चरण बदलाव के अधीन करता है। इस सन्निकटन में विलुप्त होने की दक्षता दी गई है

$Q=2-{\frac {4}{p}}\sin p+{\frac {4}{p^{2}}}(1-\cos p),$

जहां Q प्रकीर्णन का दक्षता कारक है, जिसे प्रकीर्णन क्रॉस-सेक्शन और ज्यामितीय क्रॉस-सेक्शन πa के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है².

शब्द p = 4πa(n − 1)/λ का भौतिक अर्थ गोले के केंद्र से गुजरने वाली तरंग का चरण विलंब है, जहां a गोले की त्रिज्या है, n गोले के अंदर और बाहर अपवर्तक सूचकांकों का अनुपात है गोला, और λ प्रकाश की तरंग दैर्ध्य।

समीकरणों के इस सेट का वर्णन सबसे पहले हेंड्रिक सी. वैन डे हुल्स्ट ने (1957) में किया था।

गणित

समतल तरंग का प्रकीर्णन, आपतन दिशा z-अक्ष के समानांतर है, ध्रुवीकरण x-अक्ष के समानांतर है, नैनोकण की त्रिज्या एक है

गोलाकार नैनोकण द्वारा प्रकीर्णन को कण आकार की परवाह किए बिना बिल्कुल हल किया जाता है। हम x-अक्ष के अनुदिश ध्रुवीकृत z-अक्ष के अनुदिश प्रसारित एक समतल तरंग द्वारा प्रकीर्णन पर विचार करते हैं। एक कण की ढांकता हुआ और चुंबकीय पारगम्यताएं हैं $\varepsilon _{1}$ और $\mu _{1}$, और $\varepsilon$ और $\mu$ पर्यावरण के लिए।

बिखराव की समस्या को हल करने के लिए, हम पहले गोलाकार निर्देशांक में वेक्टर हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण के समाधान लिखते हैं, क्योंकि कणों के अंदर और बाहर के क्षेत्रों को इसे संतुष्ट करना होगा। हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण:

$\nabla ^{2}\mathbf {E} +{k}^{2}\mathbf {E} =0,\quad \nabla ^{2}\mathbf {H} +{k}^{2}\mathbf {H} =0.$

हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण के अलावा, फ़ील्ड को शर्तों को पूरा करना होगा $\nabla \cdot \mathbf {E} =\nabla \cdot \mathbf {H} =0$ और $\nabla \times \mathbf {E} =i\omega \mu \mathbf {H}$, $\nabla \times \mathbf {H} =-i\omega \varepsilon \mathbf {E}$. वेक्टर गोलाकार हार्मोनिक्स में सभी आवश्यक गुण होते हैं, जिन्हें निम्नानुसार प्रस्तुत किया गया है:

$\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}=\nabla \times \left(\mathbf {r} \psi _{^{e}_{o}mn}\right)$- चुंबकीय हार्मोनिक्स (टीई),

$\mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}={\frac {\nabla \times \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}}{k}}$- इलेक्ट्रिक हार्मोनिक्स (टीएम),

कहाँ

${\psi _{emn}=\cos m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r),}$

${\psi _{omn}=\sin m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r),}$

और $P_{n}^{m}(\cos \theta )$- एसोसिएटेड लीजेंड्रे बहुपद, और $z_{n}({k}r)$- बेसेल फ़ंक्शन में से कोई #गोलाकार बेसेल फ़ंक्शन।

इसके बाद, हम वेक्टर गोलाकार हार्मोनिक्स में आपतित समतल तरंग का विस्तार करते हैं:

${\begin{aligned}\mathbf {E} _{inc}&=E_{0}e^{ikr\cos \theta }\mathbf {e} _{x}=E_{0}\sum _{n=1}^{\infty }i^{n}{\frac {2n+1}{n(n+1)}}\left(\mathbf {M} _{o1n}^{(1)}(k,\mathbf {r} )-i\mathbf {N} _{e1n}^{(1)}(k,\mathbf {r} )\right),\\\mathbf {H} _{inc}&={\frac {-k}{\omega \mu }}E_{0}\sum _{n=1}^{\infty }i^{n}{\frac {2n+1}{n(n+1)}}\left(\mathbf {M} _{e1n}^{(1)}(k,\mathbf {r} )+i\mathbf {N} _{o1n}^{(1)}(k,\mathbf {r} )\right).\end{aligned}}$

यहाँ सुपरस्क्रिप्ट है $(1)$ इसका मतलब है कि कार्यों के रेडियल भाग में $\psi _{^{e}_{o}mn}$ प्रथम प्रकार के गोलाकार बेसेल फलन हैं। विस्तार गुणांक प्रपत्र के अभिन्न अंग लेकर प्राप्त किए जाते हैं

${\frac {\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {E} _{inc}\cdot \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(1)}\sin \theta d\theta d\varphi }{\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\left|\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(1)}\right|^{2}\sin \theta d\theta d\varphi }}.$

इस मामले में, सभी गुणांक पर $m\neq 1$ शून्य हैं, चूँकि कोण पर समाकलन है $\varphi$ अंश में शून्य है.

फिर निम्नलिखित शर्तें लगाई जाती हैं:

1. गोले और पर्यावरण के बीच की सीमा पर विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों के लिए इंटरफ़ेस स्थितियां (जो हमें घटना, आंतरिक और बिखरे हुए क्षेत्रों के विस्तार गुणांक से संबंधित करने की अनुमति देती हैं)
2. शर्त यह है कि समाधान मूल बिंदु पर (इसलिए, उत्पन्न करने वाले कार्यों के रेडियल भाग में) घिरा हुआ है $\psi _{^{e}_{o}mn}$, पहली तरह के गोलाकार बेसेल फ़ंक्शन आंतरिक क्षेत्र के लिए चुने गए हैं),
3. एक बिखरे हुए क्षेत्र के लिए, अनंत पर स्पर्शोन्मुखता एक अपसारी गोलाकार तरंग से मेल खाती है (इसके संबंध में, उत्पन्न करने वाले कार्यों के रेडियल भाग में बिखरे हुए क्षेत्र के लिए) $\psi _{^{e}_{o}mn}$ पहली तरह के गोलाकार हैंकेल फ़ंक्शन चुने गए हैं)।

बिखरे हुए क्षेत्रों को वेक्टर हार्मोनिक विस्तार के रूप में लिखा जाता है

$\mathbf {E} _{s}=\sum _{n=1}^{\infty }E_{n}\left(ia_{n}\mathbf {N} _{e1n}^{(3)}(k,\mathbf {r} )-b_{n}\mathbf {M} _{o1n}^{(3)}(k,\mathbf {r} )\right),$

$\mathbf {H} _{s}={\frac {k}{\omega \mu }}\sum _{n=1}^{\infty }E_{n}\left(a_{n}\mathbf {M} _{e1n}^{(3)}(k,\mathbf {r} )+ib_{n}\mathbf {N} _{o1n}^{(3)}(k,\mathbf {r} )\right).$

यहाँ सुपरस्क्रिप्ट है $(3)$ इसका मतलब है कि कार्यों के रेडियल भाग में $\psi _{^{e}_{o}mn}$पहले प्रकार के गोलाकार हैंकेल फ़ंक्शन हैं (दूसरे प्रकार के होंगे)। $(4)$), और $E_{n}={\frac {i^{n}E_{0}(2n+1)}{n(n+1)}}$,

आंतरिक क्षेत्र:

$\mathbf {E} _{1}=\sum _{n=1}^{\infty }E_{n}\left(-id_{n}\mathbf {N} _{e1n}^{(1)}(k_{1},\mathbf {r} )+c_{n}\mathbf {M} _{o1n}^{(1)}(k_{1},\mathbf {r} )\right),$

$\mathbf {H} _{1}={\frac {-k_{1}}{\omega \mu _{1}}}\sum _{n=1}^{\infty }E_{n}\left(d_{n}\mathbf {M} _{e1n}^{(1)}(k_{1},\mathbf {r} )+ic_{n}\mathbf {N} _{o1n}^{(1)}(k_{1},\mathbf {r} )\right).$

${\textstyle k={\frac {\omega }{c}}n}$ कण के बाहर तरंग सदिश है ${\textstyle k_{1}={\frac {\omega }{c}}{n_{1}}}$कण सामग्री से माध्यम में तरंग वेक्टर है, $n$ और $n_{1}$ माध्यम और कण के अपवर्तनांक हैं।

इंटरफ़ेस शर्तों को लागू करने के बाद, हम गुणांकों के लिए अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं:

$c_{n}(\omega )={\frac {\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho )-\mu _{1}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},$

$d_{n}(\omega )={\frac {\mu _{1}n_{1}n\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho )-\mu _{1}n_{1}n\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{\mu n_{1}^{2}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu _{1}n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},$

$b_{n}(\omega )={\frac {\mu _{1}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )}{\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},$

$a_{n}(\omega )={\frac {\mu n_{1}^{2}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu _{1}n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )}{\mu n_{1}^{2}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu _{1}n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},$

कहाँ

$\rho =ka,$

$\rho _{1}=k_{1}a$ साथ $a$ गोले की त्रिज्या होना।

$j_{n}$ और $h_{n}$क्रमशः प्रथम प्रकार के बेसेल और हैंकेल के गोलाकार कार्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

बिखराव और विलुप्ति क्रॉस-सेक्शन

100 एनएम त्रिज्या के साथ कोलाइडल सोने द्वारा प्रकीर्णन क्रॉस-सेक्शन का मल्टीपोल अपघटन स्पेक्ट्रम

त्रिज्या 100 एनएम और अपवर्तक सूचकांक n=4 के साथ नैनोस्फियर द्वारा बिखरने वाले क्रॉस-सेक्शन का मल्टीपोल अपघटन स्पेक्ट्रम

त्रिज्या 100 एनएम के साथ सिलिकॉन नैनोस्फियर द्वारा प्रकीर्णन क्रॉस-सेक्शन का मल्टीपोल अपघटन स्पेक्ट्रम

आमतौर पर Mie सिद्धांत का उपयोग करके गणना किए गए मानों में क्षीणन गुणांक के लिए दक्षता गुणांक शामिल होते हैं $Q_{e}$, बिखराव $Q_{s}$, और अवशोषण (विद्युत चुम्बकीय विकिरण) $Q_{a}$. ये दक्षता गुणांक संबंधित प्रक्रिया के क्रॉस सेक्शन (भौतिकी)#क्रॉस सेक्शन और एमआई सिद्धांत के अनुपात हैं, $\sigma _{i}$, कण संरक्षित क्षेत्र के लिए, $Q_{i}={\frac {\sigma _{i}}{\pi a^{2}}}$, जहां a कण त्रिज्या है।

विलुप्ति की परिभाषा के अनुसार,

$\sigma _{e}=\sigma _{s}+\sigma _{a}$ और $Q_{e}=Q_{s}+Q_{a}$.

प्रकीर्णन और विलुप्ति गुणांक को अनंत श्रृंखला के रूप में दर्शाया जा सकता है:

$Q_{s}={\frac {2}{k^{2}a^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)\left(|a_{n}|^{2}+|b_{n}|^{2}\right)$

$Q_{e}={\frac {2}{k^{2}a^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)\Re (a_{n}+b_{n})$

एन द्वारा अनुक्रमित इन राशियों में योगदान, मल्टीपोल विस्तार के आदेशों के अनुरूप है n = 1 द्विध्रुवीय पद होने के कारण, n = 2 चतुर्भुज पद है, इत्यादि।

बड़े कणों पर अनुप्रयोग

यदि कण का आकार सामग्री में कई तरंग दैर्ध्य के बराबर है, तो बिखरे हुए क्षेत्रों में कुछ विशेषताएं हैं। आगे हम विद्युत क्षेत्र के स्वरूप के बारे में बात करेंगे क्योंकि रोटर लेकर उससे चुंबकीय क्षेत्र प्राप्त किया जाता है।

सभी Mie गुणांक आवृत्ति पर निर्भर करते हैं और अधिकतम होते हैं जब हर शून्य के करीब होता है (जटिल आवृत्तियों के लिए शून्य की सटीक समानता प्राप्त की जाती है)। इस मामले में, यह संभव है, कि बिखरने में एक विशिष्ट हार्मोनिक का योगदान हावी हो। फिर कण से बड़ी दूरी पर, बिखरे हुए क्षेत्र का विकिरण पैटर्न वेक्टर गोलाकार हार्मोनिक्स के कोणीय भाग के संबंधित विकिरण पैटर्न के समान होगा। हार्मोनिक्स $\mathbf {N} _{^{e}_{o}m1}$ विद्युत द्विध्रुव के अनुरूप (यदि इस हार्मोनिक का योगदान विद्युत क्षेत्र के विस्तार में हावी है, तो क्षेत्र विद्युत द्विध्रुव क्षेत्र के समान है), $\mathbf {M} _{^{e}_{o}m1}$ चुंबकीय द्विध्रुव के विद्युत क्षेत्र के अनुरूप, $\mathbf {N} _{^{e}_{o}m2}$ और $\mathbf {M} _{^{e}_{o}m2}$ - विद्युत और चुंबकीय चतुर्भुज, $\mathbf {N} _{^{e}_{o}m3}$ और $\mathbf {M} _{^{e}_{o}m3}$ - ऑक्टोपोल, इत्यादि। प्रकीर्णन गुणांक की अधिकतम सीमा (साथ ही उनके चरण में परिवर्तन)। $\pi$) बहुध्रुव अनुनाद कहलाते हैं।

तरंग दैर्ध्य पर बिखरने वाले क्रॉस-सेक्शन की निर्भरता और विशिष्ट अनुनादों का योगदान कण सामग्री पर दृढ़ता से निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, 100 एनएम की त्रिज्या वाले एक सोने के कण के लिए, बिखरने में विद्युत द्विध्रुव का योगदान ऑप्टिकल रेंज में प्रबल होता है, जबकि एक सिलिकॉन कण के लिए स्पष्ट चुंबकीय द्विध्रुव और चतुर्ध्रुव प्रतिध्वनि होती है। धातु के कणों के लिए, प्रकीर्णन क्रॉस-सेक्शन में दिखाई देने वाली चोटी को स्थानीयकृत स्थानीयकृत सतह प्लास्मोन भी कहा जाता है।

रेले प्रकीर्णन की सीमा में, प्रकीर्णन क्रॉस-सेक्शन में विद्युत द्विध्रुव योगदान हावी होता है।

आपतित समतल तरंग की अन्य दिशाएँ

x-ध्रुवीकृत समतल तरंग के मामले में, जो z-अक्ष के साथ आपतित होती है, सभी क्षेत्रों के अपघटन में केवल m= 1 के साथ हार्मोनिक्स होते हैं, लेकिन एक मनमाना आपतित तरंग के लिए यह मामला नहीं है। एक घुमाए गए समतल तरंग के लिए, विस्तार गुणांक प्राप्त किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, इस तथ्य का उपयोग करके कि रोटेशन के दौरान, वेक्टर गोलाकार हार्मोनिक्स विग्नर डी-मैट्रिक्स|विग्नर डी-मैट्रिक्स द्वारा एक दूसरे के माध्यम से परिवर्तित होते हैं।

इस मामले में, बिखरे हुए क्षेत्र को सभी संभावित हार्मोनिक्स द्वारा विघटित किया जाएगा:

$\mathbf {E} _{s}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}E_{0}(D_{Memn}\mathbf {M} _{emn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )+D_{Momn}\mathbf {M} _{omn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )+D_{Nemn}\mathbf {N} _{emn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )+D_{Nomn}\mathbf {N} _{omn}^{(3)}(k,\mathbf {r} ))$

फिर बिखरने वाले क्रॉस सेक्शन को गुणांक के संदर्भ में निम्नानुसार व्यक्त किया जाएगा:

$C_{sca}={\frac {2\pi }{\pi a^{2}k^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n(n+1)}{(2n+1)}}\times \left[\sum \limits _{m=1}^{n}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}\left(|D_{Memn}|^{2}+|D_{Momn}|^{2}+|D_{Nemn}|^{2}+|D_{Nomn}|^{2}\right)+2|D_{Me0n}|^{2}+2|D_{Ne0n}|^{2}\right].$

केर्कर प्रभाव

केर्कर प्रभाव प्रकीर्णन दिशात्मकता में एक घटना है, जो तब होता है जब विभिन्न मल्टीपोल प्रतिक्रियाएं प्रस्तुत की जाती हैं और नगण्य नहीं होती हैं।

केर्कर प्रभाव का विशेष (द्विध्रुवीय) मामला। चरण में विकिरण करने वाले पार किए गए चुंबकीय और विद्युत द्विध्रुवों का कुल विद्युत क्षेत्र। विकिरण पैटर्न असममित है, एक दिशा में क्षेत्र परस्पर नष्ट हो जाते हैं, और दूसरी ओर, वे जुड़ जाते हैं।

1983 में, मिल्टन कालकोठरी, वांग और ली गाइल्स के काम में। कणों द्वारा प्रकीर्णन की दिशा $\mu \neq 1$ जांच की गई। विशेष रूप से, यह दिखाया गया कि काल्पनिक कणों के लिए $\mu =\varepsilon$ पिछड़ा प्रकीर्णन पूरी तरह से दबा दिया गया है। इसे समान अपवर्तक सूचकांकों वाली समतल सतह पर परावर्तन के लिए जाइल्स और वाइल्ड के गोलाकार सतह के विस्तार के रूप में देखा जा सकता है, जहां परावर्तन और संचरण स्थिर और घटना के कोण से स्वतंत्र होता है।

इसके अलावा, आगे और पीछे की दिशाओं में बिखरने वाले क्रॉस सेक्शन को केवल Mie गुणांक के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है:

${\begin{aligned}C_{sca}^{\text{backward}}&={\frac {1}{a^{2}k^{2}}}\left|\sum _{n=1}^{\infty }{(2n+1)}(-1)^{n}(a_{n}-b_{n})\right|^{2}\\C_{sca}^{\text{forward}}&={\frac {1}{a^{2}k^{2}}}\left|\sum _{n=1}^{\infty }{(2n+1)}(a_{n}+b_{n})\right|^{2}\end{aligned}}$

गुणांकों के कुछ संयोजनों के लिए, उपरोक्त अभिव्यक्तियों को कम किया जा सकता है।

इसलिए, उदाहरण के लिए, जब शर्तों के साथ $n>1$ उपेक्षित किया जा सकता है (क्रॉस सेक्शन (भौतिकी)#प्रकीर्णन क्रॉस सेक्शन के लिए द्विध्रुव सन्निकटन), $(a_{1}-b_{1})=0$, बैकस्कैटरिंग में न्यूनतम से मेल खाता है (चुंबकीय और विद्युत द्विध्रुव परिमाण में समान हैं और चरण में हैं, इसे प्रथम केर्कर या शून्य-पिछली तीव्रता की स्थिति भी कहा जाता है). और $(a_{1}+b_{1})=0$आगे बिखरने में न्यूनतम से मेल खाती है, इसे दूसरी केर्कर स्थिति (या लगभग-शून्य आगे की तीव्रता की स्थिति) भी कहा जाता है। ऑप्टिकल प्रमेय से, यह दिखाया गया है कि एक निष्क्रिय कण के लिए $(a_{1}=-b_{1})$ संभव नहीं है। समस्या के सटीक समाधान के लिए सभी बहुध्रुवों के योगदान को ध्यान में रखना आवश्यक है। विद्युत और चुंबकीय द्विध्रुवों का योग हेयरी बॉल प्रमेय बनाता है ढांकता हुआ कणों के लिए, चुंबकीय द्विध्रुव अनुनाद की तरंग दैर्ध्य से अधिक लंबी तरंग दैर्ध्य पर अधिकतम आगे की ओर बिखराव देखा जाता है, और छोटे कणों पर अधिकतम पीछे की ओर बिखराव देखा जाता है। बाद में, प्रभाव की अन्य किस्में पाई गईं। उदाहरण के लिए, अनुप्रस्थ केर्कर प्रभाव, लगभग पूर्ण एक साथ आगे और पीछे दोनों बिखरे हुए क्षेत्रों का दमन (साइड-स्कैटरिंग पैटर्न), ऑप्टोमैकेनिकल केर्कर प्रभाव, ध्वनिक बिखराव में, और पौधों में भी पाया जाता है। एक लघु भी है Video on YouTube प्रभाव की व्याख्या के साथ।

डायडिक ग्रीन का एक गोले का कार्य

ग्रीन का फ़ंक्शन निम्नलिखित समीकरण का समाधान है:

$\nabla \times \nabla \times {\bf {\hat {G}}}(\omega ,\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}\varepsilon (\mathbf {r} ,\omega ){\bf {\hat {G}}}(\omega ,\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')+{\bf {\hat {1}}}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} '),$

कहाँ ${\hat {\bf {1}}}$- शिनाख्त सांचा $\varepsilon (\mathbf {r} ,\omega )=\varepsilon _{1}(\omega )$ के लिए $r<a$, और $\varepsilon (\mathbf {r} ,\omega )=\varepsilon$ के लिए $r>a$. चूँकि सभी फ़ील्ड सदिश हैं, ग्रीन फ़ंक्शन 3 बटा 3 मैट्रिक्स है और इसे डायडिक कहा जाता है। यदि ध्रुवीकरण $\mathbf {P} (\mathbf {r} )$ सिस्टम में प्रेरित किया जाता है, जब फ़ील्ड को इस प्रकार लिखा जाता है

$\mathbf {E} ^{\omega }({\mathbf {r} })=\omega ^{2}\mu \int \limits _{V}dV'{\hat {\bf {G}}}({\bf {r,r'}},k)\mathbf {P} ^{\omega }(\mathbf {r} ')$

फ़ील्ड्स की तरह ही, ग्रीन के फ़ंक्शन को वेक्टर गोलाकार हार्मोनिक्स में विघटित किया जा सकता है। डायडिक ग्रीन का मुक्त स्थान का कार्य а:

$\mathbf {r}$