प्रत्यक्ष अनुकरण मोंटे कार्लो: Difference between revisions

Latest revision as of 11:04, 11 December 2023

प्रत्यक्ष अनुकरण मोंटे कार्लो (डीएसएमसी) विधि परिमित नुडसेन संख्या द्रव प्रवाह के लिए बोल्ट्जमैन समीकरण को हल करने के लिए संभाव्य मोंटे कार्लो विधि अनुकरण का उपयोग करती है।

इस प्रकार डीएसएमसी विधि ग्रीम बर्ड द्वारा प्रस्तावित की गई थी,^[1]^[2]^[3] सिडनी विश्वविद्यालय में वैमानिकी के एमेरिटस प्रोफेसर डीएसएमसी विरल गैस प्रवाह के मॉडलिंग के लिए संख्यात्मक विधि है, जिसमें अणु का औसत मुक्त पथ प्रतिनिधि भौतिक लंबाई मापदंड की तुलना में समान क्रम (या अधिक) का होता है (अर्थात नुड्सन संख्या Kn 1 से अधिक है)। सुपरसोनिक और हाइपरसोनिक प्रवाह में रेयरफैक्शन को त्सिएन के मापदंड द्वारा दर्शाया जाता है, जो नुडसेन संख्या और मैक संख्या (KnM) या M $^{2}$ /Re के उत्पाद के समान है, जहां Re रेनॉल्ड्स संख्या है।^[4]^[5] इन विरल प्रवाहों में, नेवियर-स्टोक्स समीकरण गलत हो सकते हैं। इस प्रकार डीएसएमसी पद्धति को मॉडल सातत्य प्रवाह (Kn <1) तक विस्तारित किया गया है और परिणामों की तुलना नेवियर स्टोक्स समाधानों से की जा सकती है।

इस प्रकार डीएसएमसी विधि बोल्ट्ज़मैन समीकरण को हल करने के लिए संभाव्य अनुकरण अणुओं का उपयोग करके द्रव प्रवाह को मॉडल करती है। इस प्रकार अणुओं को भौतिक समष्टि के अनुकरण के माध्यम से यथार्थवादी विधि से स्थानांतरित किया जाता है जो प्रत्यक्ष भौतिक समय से जुड़ा होता है जिससे अस्थिर प्रवाह विशेषताओं को मॉडल किया जा सकता है। अंतर-आण्विक कोलिसन और अणु-सतह कोलिसन की गणना संभाव्य, फेनोमनोलॉजिकल मॉडल का उपयोग करके की जाती है। सामान्य आणविक मॉडल में हार्ड स्फेयर मॉडल, वेरिएबल हार्ड स्फेयर (वीएचएस) मॉडल और वेरिएबल सॉफ्ट स्फेयर (वीएसएस) मॉडल सम्मिलित हैं। विभिन्न कोलिसन मॉडल प्रस्तुत किए गए हैं।^[6] वर्तमान में, डीएसएमसी विधि को अंतरिक्ष यान री-एंट्री एयरोडायनामिक्स के अनुमान से लेकर माइक्रोइलेक्ट्रोमैकेनिकल प्रणाली (एमईएमएस) के मॉडलिंग तक प्रवाह के समाधान के लिए प्रयुक्त किया गया है।

डीएसएमसी एल्गोरिथम

इस प्रकार प्रत्यक्ष अनुकरण मोंटे कार्लो एल्गोरिदम आणविक गतिशीलता की तरह है जिसमें प्रणाली की स्थिति $\{\mathbf {r} _{i},{\textbf {v}}_{i}\}$ के लिए कणों की स्थिति और वेग द्वारा दी जाती है। आणविक गतिशीलता के विपरीत, डीएसएमसी अनुकरण में प्रत्येक कण $i=1,\ldots ,N$ भौतिक प्रणाली में $i=1,\ldots ,N$ अणुओं का प्रतिनिधित्व करता है जिनकी स्थिति और गति लगभग समान होती है। यह डीएसएमसी को मैक्रोस्कोपिक प्रणाली (उदाहरण के लिए, वायुमंडलीय प्रवेश) के मॉडलिंग के लिए लंबाई और समय को पुनः मापने की अनुमति देता है। विशेष रूप से, प्रणाली आयतन $V=(NF_{N})/n$ है, जहां $n$ संख्या घनत्व है और अनुकरण कणों के मध्य प्रत्येक कोलिसन भौतिक प्रणाली में अणुओं के मध्य $F_{N}$ कोलिसन का प्रतिनिधित्व करता है। इस प्रकार सामान्य नियम के अनुसार स्पष्ट परिणामों के लिए प्रति घन माध्य मुक्त पथ में 20 या अधिक कण होने चाहिए।

इस प्रकार प्रणाली का विकास समय चरणों $\tau$ में एकीकृत है जो सामान्यतः एक कण के लिए औसत कोलिसन समय के क्रम पर होता है। प्रत्येक समय चरण पर सभी कण हिलते हैं और पुनः युग्म का एक यादृच्छिक समूह कोलिडिंग है। बाहरी क्षेत्रों (जैसे, गुरुत्वाकर्षण) की अनुपस्थिति में कण बैलिस्टिक रूप से $\mathbf {r} _{i}(t+\tau )=\mathbf {r} _{i}(t)+\mathbf {v} _{i}(t)\tau$ के रूप में चलते हैं। कोई भी कण जो किसी सीमा या सतह तक पहुंचता है, उसकी स्थिति और वेग तदनुसार रीसेट हो जाते हैं (उदाहरण के लिए, आवधिक सीमा की स्थिति)। इस प्रकार सभी कणों के स्थानांतरित होने के पश्चात्, उन्हें सेल में क्रमबद्ध किया जाता है और कुछ को कोलिसन के लिए यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। गैसों के गतिज सिद्धांत से प्राप्त संभावनाओं और कोलिसन की दर के आधार पर सभी कोलिसन कणों के वेग को रीसेट करने के पश्चात्, सांख्यिकीय प्रारूपिकरण किया जाता है और पुनः प्रक्रिया को अगले समय चरण के लिए दोहराया जाता है।

कोलिसन

प्रत्येक टाइमस्टेप पर कणों को स्थानिक सेल में क्रमबद्ध किया जाता है और केवल उसी सेल के कणों को कोलिसन की अनुमति दी जाती है। सामान्यतः सेल का आयाम माध्य मुक्त पथ से बड़ा नहीं होता है। इस प्रकार एक सेल में कणों के सभी युग्म कैंडिडेट कोलिसन भागीदार होते हैं, तथापि उनके वास्तविक प्रक्षेप पथ कुछ भी होंता है।

इस प्रकार डीएसएमसी में कोलिसनों की गणना कैसे की जाती है इसका विवरण आणविक इंटरैक्शन मॉडल पर निर्भर करता है; यहां हम कठोर स्फीयर का मॉडल लेते हैं, जो सबसे सरल है। इस प्रकार कठोर स्फीयर मॉडल में, कणों की युग्म, $i$ और $j$ के लिए कोलिसन की संभावना, उनकी सापेक्ष गति के समानुपाती होती है,

P_{\mathrm {coll} }[i,j]={{|\mathbf {v} _{i}-\mathbf {v} _{j}|} \over {\sum _{m=1}^{N_{\mathrm {c} }}\sum _{n=1}^{m-1}|\mathbf {v} _{m}-\mathbf {v} _{n}|}}

जहाँ

N_{\mathrm {c} }

सेल में कणों की संख्या है और योग सेल के अन्दर कणों पर है। प्रत्येक में दोगुने योग के कारण इस कोलिसन की संभावना का प्रत्यक्ष उपयोग करना कम्प्यूटेशनल रूप से मूल्यवान हो सकता है।

इसके अतिरिक्त, निम्नलिखित अस्वीकृति प्रारूपिकरण योजना का उपयोग कोलिसन युग्म का चयन करने के लिए किया जा सकता है:

कैंडिडेट कणों, $i$ और $j$ की एक युग्म को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है और उनकी सापेक्ष गति $v_{\mathrm {r} }=|\mathbf {v} _{i}-\mathbf {v} _{j}|$ की गणना की जाती है।
इस प्रकार युग्म को कोलिसन भागीदार के रूप में स्वीकार किया जाता है यदि $v_{\mathrm {r} }>v_{\mathrm {r} }^{\mathrm {max} }\Re$ , जहाँ $v_{\mathrm {r} }^{\mathrm {max} }$ सेल में अधिकतम सापेक्ष गति है और $\Re$ [0,1) में सतत समान वितरण है।
इस प्रकार यदि युग्म स्वीकार की जाती है, तो कोलिसन की प्रक्रिया की जाती है; कणों का वेग रीसेट हो जाता है किन्तु स्थिति अपरिवर्तित रहती है।
कोलिसन संसाधित होने के पश्चात् या यदि युग्म अस्वीकार कर दी जाती है, जिससे चरण 1 पर पुनः आते है।

यह प्रक्रिया सही है, तथापि $v_{\mathrm {r} }^{\mathrm {max} }$ का मान अधिक निश्चित किया गया हो, चूंकि यह इस अर्थ में कम कुशल है कि अधिक कैंडिडेट निरस्त कर दिए जाते हैं।

इस प्रकार कोलिसन युग्म चयन होने के पश्चात्, उनके कोलिसन के पश्चात् के वेग, $\mathbf {v} _{i}^{*}$ और $\mathbf {v} _{j}^{*}$ का मूल्यांकन किया जाता है। सापेक्ष वेग को गोलाकार कोण $\theta$ और $\phi$ के पदों में लिखना होता है।

\mathbf {v} _{\mathrm {r} }^{*}=v_{\mathrm {r} }[(\sin \theta \cos \phi ){\hat {\mathbf {x} }}+(\sin \theta \sin \phi ){\hat {\mathbf {y} }}+\cos \theta \,{\hat {\mathbf {z} }}]

इन कोणों का चयन मोंटे कार्लो प्रक्रिया द्वारा कोलिसन मॉडल द्वारा दिए गए वितरण के साथ किया जाता है। इस प्रकार कठोर स्फीयर मॉडल के लिए ये कोण इकाई स्फीयर पर समान रूप से वितरित होते हैं। अज़ीमुथल कोण को 0 और

2\pi

के मध्य समान रूप से वितरित किया जाता है, इसलिए इसे

\phi =2\pi \Re _{1}

के रूप में चुना जाता है, जहां

\Re _{1}

[0,1) में एक समान विचलन है ध्रुवीय कोण को संभाव्यता घनत्व के अनुसार वितरित किया जाता है,

P_{\theta }(\theta )\,d\theta ={\textstyle {\frac {1}{2}}}\sin \theta \,d\theta

इस प्रकार वेरिएबल

q=\sin \theta

के परिवर्तन का उपयोग करके हमारे निकट

P_{q}(q)\,dq=({\textstyle {\frac {1}{2}}})\,dq

है

\cos \theta =q~\mathrm {and} ~\sin \theta ={\sqrt {1-q^{2}}}~\mathrm {where} ~q=2\Re _{2}-1

इस प्रकार कोलिसन के पश्चात् के वेग इस प्रकार निर्धारित किए गए हैं

\mathbf {v} _{i}^{*}=\mathbf {v} _{\mathrm {cm} }^{*}+{1 \over 2}\mathbf {v} _{\mathrm {r} }^{*}\qquad \mathbf {v} _{j}^{*}=\mathbf {v} _{\mathrm {cm} }^{*}-{1 \over 2}\mathbf {v} _{\mathrm {r} }^{*}

ध्यान दें कि रैखिक संवेग और ऊर्जा के संरक्षण से द्रव्यमान वेग का केंद्र और कोलिसन में सापेक्ष गति अपरिवर्तित रहती है। वह है,

\mathbf {v} _{\mathrm {cm} }={1 \over 2}(\mathbf {v} _{i}+\mathbf {v} _{j})={1 \over 2}(\mathbf {v} _{i}^{*}+\mathbf {v} _{j}^{*})=\mathbf {v} _{\mathrm {cm} }^{*}

और

v_{\mathrm {r} }=|\mathbf {v} _{i}-\mathbf {v} _{j}|=|\mathbf {v} _{i}^{*}-\mathbf {v} _{j}^{*}|=v_{\mathrm {r} }^{*}

यह प्रक्रिया कोलिसन कणों के प्रत्येक युग्म के लिए दोहराई जाती है।

इस प्रकार गतिज सिद्धांत द्वारा दी गई कोलिसन की आवृत्ति $f_{\mathrm {coll} }$ से एक समय सेल में कठोर स्फीयर के कोलिसन की कुल संख्या $\tau$ है

M_{\mathrm {coll} }={1 \over 2}(N_{\mathrm {c} }-1)F_{N}f_{\mathrm {coll} }\tau ={{N_{\mathrm {c} }(N_{\mathrm {c} }-1)F_{N}\pi d^{2}\langle v_{\mathrm {r} }\rangle \tau } \over {2V_{\mathrm {c} }}}

जहाँ

d

कण व्यास है और

V_{\mathrm {c} }

सेल का आयतन है चूंकि कोलिसन के कैंडिडेट अस्वीकृति प्रारूपिकरण प्रक्रिया से निकलते हैं कठोर स्फीयर के कणों के लिए कुल स्वीकृत और कुल अभ्यर्थियों का अनुपात है

{{M_{\mathrm {coll} }} \over {M_{\mathrm {cand} }}}={{\langle v_{\mathrm {r} }\rangle } \over {v_{\mathrm {r} }^{\max }}}

समय चरण में सेल में चयनित कोलिसन वाले कैंडिडेटों की संख्या

\tau

है

M_{\mathrm {cand} }={{N_{\mathrm {c} }(N_{\mathrm {c} }-1)F_{N}\pi d^{2}v_{\mathrm {r} }^{\max }\tau } \over {2V_{\mathrm {c} }}}

इस प्रकार कोलिसनों की संख्या निर्धारित करने के इस दृष्टिकोण को नो-टाइम-काउंटर (एनटीसी) विधि के रूप में जाना जाता है। इस प्रकार यदि

v_{\mathrm {r} }^{\max }

बहुत अधिक ऊंचाई पर सेट किया गया है तो एल्गोरिदम समान संख्या में कोलिसन की प्रक्रिया करता है किन्तु अनुकरण अप्रभावी है क्योंकि विभिन्न कैंडिडेट अस्वीकार कर दिए जाते हैं।

संदर्भ

↑ Bird, G. A (1963). "एक कठोर क्षेत्र गैस में अनुवादात्मक संतुलन के लिए दृष्टिकोण". Physics of Fluids. 6 (10): 1518. Bibcode:1963PhFl....6.1518B. doi:10.1063/1.1710976.
↑ G. A. Bird, Molecular Gas Dynamics, Clarendon Press, Oxford (1976)^{[page needed]}
↑ G. A. Bird, Molecular Gas Dynamics and the Direct Simulation of Gas Flows, Clarendon Press, Oxford (1994)^{[page needed]}
↑ Tsien, Hsue-Shen (1946). "सुपरएरोडायनामिक्स, दुर्लभ गैसों के यांत्रिकी". Journal of the Aeronautical Sciences. 13 (12): 653–64. doi:10.2514/8.11476.
↑ M. N. Macrossan, 'Scaling Parameters for Hypersonic Flow: Correlation of Sphere Drag Data'. In: M. S. Ivanov and A. K. Rebrov, 25th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics, Siberian Division of the Russian Academy of Sciences, p.759 (2007).
↑ Roohi, E.; Stefanov, S. (2016). "Collision partner selection schemes in DSMC: From micro/nano flows to hypersonic flows". Physics Reports. 656 (1): 1–38. Bibcode:2016PhR...656....1R. doi:10.1016/j.physrep.2016.08.002.

बाहरी संबंध

Direct Simulation Monte Carlo Method: Visual Simulation Programs created by GA Bird.
डीएसएमसी Demo Applet by Greg Khanlarov
Course material on डीएसएमसी (part of Computational Physics tutorial by Franz J. Vesely, University of Vienna)
Course material on डीएसएमसी and recent developments (given at IPAM UCLA by Lorenzo Pareschi, University of Ferrara)

[1] Bird, G. A (1963). "एक कठोर क्षेत्र गैस में अनुवादात्मक संतुलन के लिए दृष्टिकोण". Physics of Fluids. 6 (10): 1518. Bibcode:1963PhFl....6.1518B. doi:10.1063/1.1710976.

[2] G. A. Bird, Molecular Gas Dynamics, Clarendon Press, Oxford (1976)^{[page needed]}

[3] G. A. Bird, Molecular Gas Dynamics and the Direct Simulation of Gas Flows, Clarendon Press, Oxford (1994)^{[page needed]}

[4] Tsien, Hsue-Shen (1946). "सुपरएरोडायनामिक्स, दुर्लभ गैसों के यांत्रिकी". Journal of the Aeronautical Sciences. 13 (12): 653–64. doi:10.2514/8.11476.

[5] M. N. Macrossan, 'Scaling Parameters for Hypersonic Flow: Correlation of Sphere Drag Data'. In: M. S. Ivanov and A. K. Rebrov, 25th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics, Siberian Division of the Russian Academy of Sciences, p.759 (2007).

[6] Roohi, E.; Stefanov, S. (2016). "Collision partner selection schemes in DSMC: From micro/nano flows to hypersonic flows". Physics Reports. 656 (1): 1–38. Bibcode:2016PhR...656....1R. doi:10.1016/j.physrep.2016.08.002.

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 {{Short description|Monte Carlo method}}
-प्रत्यक्ष [[सिमुलेशन]] मोंटे कार्लो (डीएसएमसी) विधि परिमित नुडसेन संख्या द्रव प्रवाह के लिए बोल्ट्जमैन समीकरण को हल करने के लिए संभाव्य [[मोंटे कार्लो विधि]] सिमुलेशन का उपयोग करती है।
+'''प्रत्यक्ष [[सिमुलेशन|अनुकरण]] मोंटे कार्लो''' (डीएसएमसी) विधि परिमित नुडसेन संख्या द्रव प्रवाह के लिए बोल्ट्जमैन समीकरण को हल करने के लिए संभाव्य [[मोंटे कार्लो विधि]] अनुकरण का उपयोग करती है।
-डीएसएमसी विधि ग्रीम बर्ड द्वारा प्रस्तावित की गई थी,<ref>{{cite journal |doi=10.1063/1.1710976 |title=एक कठोर क्षेत्र गैस में अनुवादात्मक संतुलन के लिए दृष्टिकोण|journal=Physics of Fluids |volume=6 |issue=10 |pages=1518 |year=1963 |last1=Bird |first1=G. A |bibcode=1963PhFl....6.1518B }}</ref><ref>G. A. Bird, ''Molecular Gas Dynamics'', Clarendon Press, Oxford (1976){{pn|date=March 2018}}</ref><ref>G. A. Bird, ''Molecular Gas Dynamics and the Direct Simulation of Gas Flows'', Clarendon Press, Oxford (1994){{pn|date=March 2018}}</ref> सिडनी विश्वविद्यालय में वैमानिकी के एमेरिटस प्रोफेसर। डीएसएमसी दुर्लभ गैस प्रवाह के मॉडलिंग के लिए संख्यात्मक विधि है, जिसमें अणु का औसत मुक्त पथ प्रतिनिधि भौतिक लंबाई पैमाने की तुलना में समान क्रम (या अधिक) का होता है (यानी नुड्सन संख्या Kn 1 से अधिक है)। सुपरसोनिक और हाइपरसोनिक प्रवाह में रेयरफैक्शन को त्सिएन के पैरामीटर द्वारा दर्शाया जाता है, जो नुडसेन संख्या और मैक संख्या (केएनएम) या एम के उत्पाद के बराबर है।<math>^2</math>/Re, जहां Re रेनॉल्ड्स संख्या है।<ref>{{cite journal |doi=10.2514/8.11476 |title=सुपरएरोडायनामिक्स, दुर्लभ गैसों के यांत्रिकी|journal=Journal of the Aeronautical Sciences |volume=13 |issue=12 |pages=653–64 |year=1946 |last1=Tsien |first1=Hsue-Shen }}</ref><ref>M. N. Macrossan,
+इस प्रकार डीएसएमसी विधि ग्रीम बर्ड द्वारा प्रस्तावित की गई थी,<ref>{{cite journal |doi=10.1063/1.1710976 |title=एक कठोर क्षेत्र गैस में अनुवादात्मक संतुलन के लिए दृष्टिकोण|journal=Physics of Fluids |volume=6 |issue=10 |pages=1518 |year=1963 |last1=Bird |first1=G. A |bibcode=1963PhFl....6.1518B }}</ref><ref>G. A. Bird, ''Molecular Gas Dynamics'', Clarendon Press, Oxford (1976){{pn|date=March 2018}}</ref><ref>G. A. Bird, ''Molecular Gas Dynamics and the Direct Simulation of Gas Flows'', Clarendon Press, Oxford (1994){{pn|date=March 2018}}</ref> सिडनी विश्वविद्यालय में वैमानिकी के एमेरिटस प्रोफेसर डीएसएमसी विरल गैस प्रवाह के मॉडलिंग के लिए संख्यात्मक विधि है, जिसमें अणु का औसत मुक्त पथ प्रतिनिधि भौतिक लंबाई मापदंड की तुलना में समान क्रम (या अधिक) का होता है (अर्थात नुड्सन संख्या Kn 1 से अधिक है)। सुपरसोनिक और हाइपरसोनिक प्रवाह में रेयरफैक्शन को त्सिएन के मापदंड द्वारा दर्शाया जाता है, जो नुडसेन संख्या और मैक संख्या (KnM) या M<math>^2</math>/Re के उत्पाद के समान है, जहां Re रेनॉल्ड्स संख्या है।<ref>{{cite journal |doi=10.2514/8.11476 |title=सुपरएरोडायनामिक्स, दुर्लभ गैसों के यांत्रिकी|journal=Journal of the Aeronautical Sciences |volume=13 |issue=12 |pages=653–64 |year=1946 |last1=Tsien |first1=Hsue-Shen }}</ref><ref>M. N. Macrossan,
-[http://espace.library.uq.edu.au/view.php?pid=UQ:7959 'Scaling Parameters for Hypersonic Flow: Correlation of Sphere Drag Data']. In: M. S. Ivanov and A. K. Rebrov, ''25th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics'', Siberian Division of the Russian Academy of Sciences, p.759 (2007).</ref> इन दुर्लभ प्रवाहों में, [[नेवियर-स्टोक्स समीकरण]] गलत हो सकते हैं। डीएसएमसी पद्धति को मॉडल सातत्य प्रवाह (केएन <1) तक विस्तारित किया गया है और परिणामों की तुलना नेवियर स्टोक्स समाधानों से की जा सकती है।
+[http://espace.library.uq.edu.au/view.php?pid=UQ:7959 'Scaling Parameters for Hypersonic Flow: Correlation of Sphere Drag Data']. In: M. S. Ivanov and A. K. Rebrov, ''25th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics'', Siberian Division of the Russian Academy of Sciences, p.759 (2007).</ref> इन विरल प्रवाहों में, [[नेवियर-स्टोक्स समीकरण]] गलत हो सकते हैं। इस प्रकार डीएसएमसी पद्धति को मॉडल सातत्य प्रवाह (Kn <1) तक विस्तारित किया गया है और परिणामों की तुलना नेवियर स्टोक्स समाधानों से की जा सकती है।
-डीएसएमसी विधि बोल्ट्ज़मैन समीकरण को हल करने के लिए संभाव्य सिमुलेशन [[अणु]]ओं का उपयोग करके द्रव प्रवाह को मॉडल करती है। अणुओं को भौतिक स्थान के सिमुलेशन के माध्यम से यथार्थवादी तरीके से स्थानांतरित किया जाता है जो सीधे भौतिक समय से जुड़ा होता है ताकि अस्थिर प्रवाह विशेषताओं को मॉडल किया जा सके। अंतर-आण्विक टकराव और अणु-सतह टकराव की गणना संभाव्य, [[घटनात्मक मॉडल]] का उपयोग करके की जाती है। सामान्य आणविक मॉडल में हार्ड स्फेयर मॉडल, वेरिएबल हार्ड स्फेयर (वीएचएस) मॉडल और वेरिएबल सॉफ्ट स्फेयर (वीएसएस) मॉडल शामिल हैं। विभिन्न टकराव मॉडल प्रस्तुत किए गए हैं।<ref>{{cite journal |doi=10.1016/j.physrep.2016.08.002 |title= Collision partner selection schemes in DSMC: From micro/nano flows to hypersonic flows |journal=Physics Reports |volume=656 |issue=1 |pages=1–38 |year=2016 |last1=Roohi |first1=E. |last2=Stefanov |first2=S. |bibcode= 2016PhR...656....1R }}</ref> वर्तमान में, डीएसएमसी विधि को [[ अंतरिक्ष शटल |अंतरिक्ष शटल]] री-एंट्री एयरोडायनामिक्स के अनुमान से लेकर [[माइक्रोइलेक्ट्रोमैकेनिकल सिस्टम]] (एमईएमएस) के मॉडलिंग तक प्रवाह के समाधान के लिए लागू किया गया है।
+इस प्रकार डीएसएमसी विधि बोल्ट्ज़मैन समीकरण को हल करने के लिए संभाव्य अनुकरण [[अणु]]ओं का उपयोग करके द्रव प्रवाह को मॉडल करती है। इस प्रकार अणुओं को भौतिक समष्टि के अनुकरण के माध्यम से यथार्थवादी विधि से स्थानांतरित किया जाता है जो प्रत्यक्ष भौतिक समय से जुड़ा होता है जिससे अस्थिर प्रवाह विशेषताओं को मॉडल किया जा सकता है। अंतर-आण्विक कोलिसन और अणु-सतह कोलिसन की गणना संभाव्य, [[घटनात्मक मॉडल|फेनोमनोलॉजिकल मॉडल]] का उपयोग करके की जाती है। सामान्य आणविक मॉडल में हार्ड स्फेयर मॉडल, वेरिएबल हार्ड स्फेयर (वीएचएस) मॉडल और वेरिएबल सॉफ्ट स्फेयर (वीएसएस) मॉडल सम्मिलित हैं। विभिन्न कोलिसन मॉडल प्रस्तुत किए गए हैं।<ref>{{cite journal |doi=10.1016/j.physrep.2016.08.002 |title= Collision partner selection schemes in DSMC: From micro/nano flows to hypersonic flows |journal=Physics Reports |volume=656 |issue=1 |pages=1–38 |year=2016 |last1=Roohi |first1=E. |last2=Stefanov |first2=S. |bibcode= 2016PhR...656....1R }}</ref> वर्तमान में, डीएसएमसी विधि को [[ अंतरिक्ष शटल |अंतरिक्ष यान]] री-एंट्री एयरोडायनामिक्स के अनुमान से लेकर [[माइक्रोइलेक्ट्रोमैकेनिकल सिस्टम|माइक्रोइलेक्ट्रोमैकेनिकल प्रणाली]] (एमईएमएस) के मॉडलिंग तक प्रवाह के समाधान के लिए प्रयुक्त किया गया है।
 == डीएसएमसी एल्गोरिथम ==
-प्रत्यक्ष सिमुलेशन मोंटे कार्लो एल्गोरिदम उस स्थिति में [[आणविक गतिशीलता]] की तरह है
+इस प्रकार प्रत्यक्ष अनुकरण मोंटे कार्लो एल्गोरिदम आणविक गतिशीलता की तरह है जिसमें प्रणाली की स्थिति <math>\{ \mathbf{r}_i, \textbf{v}_i\}</math> के लिए कणों की स्थिति और वेग द्वारा दी जाती है। आणविक गतिशीलता के विपरीत, डीएसएमसी अनुकरण में प्रत्येक कण <math>i = 1, \ldots,
-प्रणाली की स्थिति और वेग द्वारा दी गई है
+N</math> भौतिक प्रणाली में <math>i = 1, \ldots,
-कण, <math>\{ \mathbf{r}_i, \textbf{v}_i\}</math>, के लिए <math>i = 1, \ldots,
+N</math> अणुओं का प्रतिनिधित्व करता है जिनकी स्थिति और गति लगभग समान होती है। यह डीएसएमसी को मैक्रोस्कोपिक प्रणाली (उदाहरण के लिए, वायुमंडलीय प्रवेश) के मॉडलिंग के लिए लंबाई और समय को पुनः मापने की अनुमति देता है। विशेष रूप से, प्रणाली आयतन <math>V = (N F_N)/n</math> है, जहां <math>n</math> संख्या घनत्व है और अनुकरण कणों के मध्य प्रत्येक कोलिसन भौतिक प्रणाली में अणुओं के मध्य <math>F_N</math> कोलिसन का प्रतिनिधित्व करता है। इस प्रकार सामान्य नियम के अनुसार स्पष्ट परिणामों के लिए प्रति घन माध्य मुक्त पथ में 20 या अधिक कण होने चाहिए।
-N</math>.
-आणविक गतिशीलता के विपरीत, DSMC सिमुलेशन में प्रत्येक कण प्रतिनिधित्व करता है <math>F_N</math> अणुओं में
-भौतिक प्रणाली जो लगभग समान स्थिति और वेग पर है।
-यह DSMC को मैक्रोस्कोपिक सिस्टम (उदाहरण के लिए, [[वायुमंडलीय प्रवेश]]) के मॉडलिंग के लिए लंबाई और समय को फिर से मापने की अनुमति देता है।
-विशेष रूप से, सिस्टम वॉल्यूम है <math>V = (N F_N)/n</math>, कहाँ <math>n</math> संख्या है
-घनत्व और सिमुलेशन कणों के बीच प्रत्येक टकराव का प्रतिनिधित्व करता है <math>F_N</math> टक्कर
-भौतिक तंत्र में अणुओं के बीच।
-सामान्य नियम के अनुसार प्रति घन माध्य मुक्त पथ में 20 या अधिक कण होने चाहिए
-सटीक परिणामों के लिए.
-सिस्टम का विकास समय के चरणों में एकीकृत है, <math>\tau</math>, जो हैं
+इस प्रकार प्रणाली का विकास समय चरणों <math>\tau</math> में एकीकृत है जो सामान्यतः एक कण के लिए औसत कोलिसन समय के क्रम पर होता है। प्रत्येक समय चरण पर सभी कण हिलते हैं और पुनः युग्म का एक यादृच्छिक समूह कोलिडिंग है। बाहरी क्षेत्रों (जैसे, गुरुत्वाकर्षण) की अनुपस्थिति में कण बैलिस्टिक रूप से <math>\mathbf{r}_i(t+\tau) = \mathbf{r}_i(t) + \mathbf{v}_i(t) \tau</math> के रूप में चलते हैं। कोई भी कण जो किसी सीमा या सतह तक पहुंचता है, उसकी स्थिति और वेग तदनुसार रीसेट हो जाते हैं (उदाहरण के लिए, आवधिक सीमा की स्थिति)। इस प्रकार सभी कणों के स्थानांतरित होने के पश्चात्, उन्हें सेल में क्रमबद्ध किया जाता है और कुछ को कोलिसन के लिए यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। गैसों के गतिज सिद्धांत से प्राप्त संभावनाओं और कोलिसन की दर के आधार पर सभी कोलिसन कणों के वेग को रीसेट करने के पश्चात्, सांख्यिकीय प्रारूपिकरण किया जाता है और पुनः प्रक्रिया को अगले समय चरण के लिए दोहराया जाता है।
-आमतौर पर किसी कण के औसत टकराव के समय के क्रम पर।
-प्रत्येक समय कदम पर सभी कण हिलते हैं और फिर जोड़े का यादृच्छिक समूह टकराता है।
-बाहरी क्षेत्रों (जैसे, गुरुत्वाकर्षण) की अनुपस्थिति में कण बैलिस्टिक रूप से चलते हैं
-<math>\mathbf{r}_i(t+\tau) = \mathbf{r}_i(t) + \mathbf{v}_i(t) \tau</math>.
-कोई भी कण जो किसी सीमा या सतह पर पहुंचता है, उसकी स्थिति और वेग तदनुसार रीसेट हो जाते हैं
-(उदाहरण के लिए, आवधिक सीमा स्थितियाँ)।
-सभी कणों के स्थानांतरित होने के बाद, उन्हें कोशिकाओं में क्रमबद्ध किया जाता है और कुछ को टकराने के लिए यादृच्छिक रूप से चुना जाता है।
-गैसों के गतिज सिद्धांत से प्राप्त संभावनाओं और टकराव की दर के आधार पर।
-सभी टकराने वाले कणों के वेग रीसेट हो जाने के बाद, सांख्यिकीय नमूनाकरण किया जाता है
-अगली बार चरण के लिए प्रक्रिया दोहराई जाती है।
-=== टकराव ===
+=== कोलिसन ===
-प्रत्येक टाइमस्टेप पर कणों को स्थानिक कोशिकाओं में और केवल कणों को ही कोशिका में क्रमबद्ध किया जाता है
+प्रत्येक टाइमस्टेप पर कणों को स्थानिक सेल में क्रमबद्ध किया जाता है और केवल उसी सेल के कणों को कोलिसन की अनुमति दी जाती है। सामान्यतः सेल का आयाम माध्य मुक्त पथ से बड़ा नहीं होता है। इस प्रकार एक सेल में कणों के सभी युग्म कैंडिडेट कोलिसन भागीदार होते हैं, तथापि उनके वास्तविक प्रक्षेप पथ कुछ भी होंता है।
-टकराने की इजाजत है. आमतौर पर सेल का आयाम माध्य मुक्त पथ से बड़ा नहीं होता है।
-कोशिका में कणों के सभी जोड़े उम्मीदवार टकराव भागीदार होते हैं, भले ही उनके वास्तविक प्रक्षेप पथ कुछ भी हों।
-डीएसएमसी में टकरावों की गणना कैसे की जाती है इसका विवरण आणविक इंटरैक्शन मॉडल पर निर्भर करता है;
+इस प्रकार डीएसएमसी में कोलिसनों की गणना कैसे की जाती है इसका विवरण आणविक इंटरैक्शन मॉडल पर निर्भर करता है; यहां हम कठोर स्फीयर का मॉडल लेते हैं, जो सबसे सरल है। इस प्रकार कठोर स्फीयर मॉडल में, कणों की युग्म, <math>i</math> और <math>j</math> के लिए कोलिसन की संभावना, उनकी सापेक्ष गति के समानुपाती होती है,
-यहां हम [[कठोर गोले]] का मॉडल लेते हैं, जो सबसे सरल है।
-कठोर गोले मॉडल में, कणों की जोड़ी के लिए टकराव की संभावना, <math>i</math> और <math>j</math>, है
-उनकी सापेक्ष गति के समानुपाती,
 <math display="block">
 P_\mathrm{coll}[i,j] = { {|\mathbf{v}_i - \mathbf{v}_j|} \over
 {\sum_{m=1}^{N_\mathrm{c}} \sum_{n=1}^{m-1} |\mathbf{v}_m - \mathbf{v}_n|} }
 </math>
-कहाँ <math>N_\mathrm{c}</math> कोशिका में कणों की संख्या है और योग कोशिका के भीतर कणों पर है।
+जहाँ <math>N_\mathrm{c}</math> सेल में कणों की संख्या है और योग सेल के अन्दर कणों पर है। प्रत्येक में दोगुने योग के कारण इस कोलिसन की संभावना का प्रत्यक्ष उपयोग करना कम्प्यूटेशनल रूप से मूल्यवान हो सकता है।
-हर में दोगुने योग के कारण इस टकराव की संभावना का सीधे उपयोग करना कम्प्यूटेशनल रूप से महंगा हो सकता है।
-इसके बजाय, निम्नलिखित [[अस्वीकृति नमूनाकरण]] योजना का उपयोग टकराव जोड़े का चयन करने के लिए किया जा सकता है:
-# उम्मीदवार कणों की जोड़ी, <math>i</math> और <math>j</math>, यादृच्छिक और उनकी सापेक्ष गति से चुना जाता है, <math>v_\mathrm{r} = |\mathbf{v}_i - \mathbf{v}_j|</math>, गणना की जाती है।
+इसके अतिरिक्त, निम्नलिखित [[अस्वीकृति नमूनाकरण|अस्वीकृति प्रारूपिकरण]] योजना का उपयोग कोलिसन युग्म का चयन करने के लिए किया जा सकता है:
-# जोड़ी को टकराव साझेदार के रूप में स्वीकार किया जाता है यदि <math>v_\mathrm{r} > v_\mathrm{r}^\mathrm{max} \Re</math>, कहाँ <math>v_\mathrm{r}^\mathrm{max}</math> सेल में अधिकतम सापेक्ष गति है और <math>\Re</math> [0,1) में सतत समान वितरण है।
-# यदि जोड़ी स्वीकार की जाती है, तो टकराव की प्रक्रिया की जाती है; कणों का वेग रीसेट हो जाता है लेकिन स्थिति अपरिवर्तित रहती है।
-# टकराव संसाधित होने के बाद या यदि जोड़ी अस्वीकार कर दी जाती है, तो चरण 1 पर वापस लौटें।
-यह प्रक्रिया सही है भले ही मान
+#कैंडिडेट कणों, <math>i</math> और <math>j</math> की एक युग्म को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है और उनकी सापेक्ष गति <math>v_\mathrm{r} = |\mathbf{v}_i - \mathbf{v}_j|</math> की गणना की जाती है।
-का <math>v_\mathrm{r}^\mathrm{max}</math> इसे ज़्यादा करके आंका गया है, हालाँकि यह कम कुशल है
+# इस प्रकार युग्म को कोलिसन भागीदार के रूप में स्वीकार किया जाता है यदि <math>v_\mathrm{r} > v_\mathrm{r}^\mathrm{max} \Re</math>, जहाँ <math>v_\mathrm{r}^\mathrm{max}</math> सेल में अधिकतम सापेक्ष गति है और <math>\Re</math> [0,1) में सतत समान वितरण है।
-इस अर्थ में कि अधिक उम्मीदवार खारिज कर दिए जाते हैं।
+# इस प्रकार यदि युग्म स्वीकार की जाती है, तो कोलिसन की प्रक्रिया की जाती है; कणों का वेग रीसेट हो जाता है किन्तु स्थिति अपरिवर्तित रहती है।
+# कोलिसन संसाधित होने के पश्चात् या यदि युग्म अस्वीकार कर दी जाती है, जिससे चरण 1 पर पुनः आते है।
-टक्कर जोड़ी चुने जाने के बाद, उनकी टक्कर के बाद की गति,
+यह प्रक्रिया सही है, तथापि <math>v_\mathrm{r}^\mathrm{max}</math> का मान अधिक निश्चित किया गया हो, चूंकि यह इस अर्थ में कम कुशल है कि अधिक कैंडिडेट निरस्त कर दिए जाते हैं।
-<math>\mathbf{v}_i^*</math> और <math>\mathbf{v}_j^*</math>, का मूल्यांकन किया जाता है।
-गोलाकार समन्वय प्रणाली के संदर्भ में सापेक्ष वेग लिखना, <math>\theta</math> और <math>\phi</math>
+इस प्रकार कोलिसन युग्म चयन होने के पश्चात्, उनके कोलिसन के पश्चात् के वेग, <math>\mathbf{v}_i^*</math> और <math>\mathbf{v}_j^*</math> का मूल्यांकन किया जाता है। सापेक्ष वेग को गोलाकार कोण <math>\theta</math> और <math>\phi</math> के पदों में लिखना होता है।
 <math display="block">
 \mathbf{v}_\mathrm{r}^* = v_\mathrm{r} [
@@ Line 67: / Line 39: @@
 (\sin\theta \sin\phi) \hat{\mathbf{y}} + \cos\theta \,\hat{\mathbf{z}} ]
 </math>
-इन कोणों का चयन मोंटे कार्लो प्रक्रिया द्वारा टकराव मॉडल द्वारा दिए गए वितरण के साथ किया जाता है।
+इन कोणों का चयन मोंटे कार्लो प्रक्रिया द्वारा कोलिसन मॉडल द्वारा दिए गए वितरण के साथ किया जाता है। इस प्रकार कठोर स्फीयर मॉडल के लिए ये कोण इकाई स्फीयर पर समान रूप से वितरित होते हैं। अज़ीमुथल कोण को 0 और <math>2\pi</math> के मध्य समान रूप से वितरित किया जाता है, इसलिए इसे <math>\phi = 2\pi\Re_1</math> के रूप में चुना जाता है, जहां <math>\Re_1</math> [0,1) में एक समान विचलन है ध्रुवीय कोण को संभाव्यता घनत्व के अनुसार वितरित किया जाता है,
-कठोर गोले मॉडल के लिए ये कोण इकाई गोले पर समान रूप से वितरित होते हैं।
-अज़ीमुथल कोण 0 और के बीच समान रूप से वितरित होता है <math>2\pi</math>, इसलिए इसे इस प्रकार चुना गया है <math>\phi = 2\pi\Re_1</math>
-कहाँ <math>\Re_1</math> [0,1) में सतत समान वितरण है।
-ध्रुवीय कोण को संभाव्यता घनत्व के अनुसार वितरित किया जाता है,
 <math display="block">
 P_\theta(\theta) \, d\theta = {\textstyle \frac{1}{2}} \sin\theta \, d\theta
 </math>
-चर के परिवर्तन का उपयोग करना <math>q = \sin\theta</math>, अपने पास <math>P_q(q) \, dq = ({\textstyle \frac12}) \, dq</math> इसलिए
+इस प्रकार वेरिएबल <math>q = \sin\theta</math> के परिवर्तन का उपयोग करके हमारे निकट <math>P_q(q) \, dq = ({\textstyle \frac12}) \, dq</math> है
- <math display="block">
+<math display="block">
 \cos\theta = q ~\mathrm{and}~ \sin\theta = \sqrt{1 - q^2} ~\mathrm{where}~ q = 2\Re_2 -1
 </math>
-टक्कर के बाद के वेग इस प्रकार निर्धारित किए गए हैं
+इस प्रकार कोलिसन के पश्चात् के वेग इस प्रकार निर्धारित किए गए हैं
 <math display="block">
 \mathbf{v}_i^* = \mathbf{v}_\mathrm{cm}^* + {1\over2}\mathbf{v}_\mathrm{r}^* \qquad
 \mathbf{v}_j^* = \mathbf{v}_\mathrm{cm}^* - {1\over2}\mathbf{v}_\mathrm{r}^*
 </math>
-ध्यान दें कि रैखिक संवेग और ऊर्जा के संरक्षण से द्रव्यमान वेग का केंद्र
+ध्यान दें कि रैखिक संवेग और ऊर्जा के संरक्षण से द्रव्यमान वेग का केंद्र और कोलिसन में सापेक्ष गति अपरिवर्तित रहती है। वह है,
-और टक्कर में सापेक्ष गति अपरिवर्तित रहती है। वह है,
 <math display="block">
 \mathbf{v}_\mathrm{cm} = {1\over2} (\mathbf{v}_i + \mathbf{v}_j)
@@ Line 95: / Line 62: @@
 = | \mathbf{v}_i^* - \mathbf{v}_j^* | = v_\mathrm{r}^*
 </math>
-यह प्रक्रिया टकराने वाले कणों के प्रत्येक जोड़े के लिए दोहराई जाती है।
+यह प्रक्रिया कोलिसन कणों के प्रत्येक युग्म के लिए दोहराई जाती है।
-टक्कर की आवृत्ति से, <math>f_\mathrm{coll}</math>, गतिज सिद्धांत द्वारा दिया गया कुल
+इस प्रकार गतिज सिद्धांत द्वारा दी गई कोलिसन की आवृत्ति <math>f_\mathrm{coll}</math> से एक समय सेल में कठोर स्फीयर के कोलिसन की कुल संख्या <math>\tau</math> है
-समय के दौरान कोशिका में कठोर गोले के टकराव की संख्या <math>\tau</math> है
 <math display="block">
 M_\mathrm{coll} = {1\over2} (N_\mathrm{c}-1) F_N f_\mathrm{coll} \tau =
@@ Line 104: / Line 70: @@
 {2 V_\mathrm{c}} }
 </math>
-कहाँ <math>d</math> कण व्यास है और <math>V_\mathrm{c}</math> कोशिका का आयतन है.
+जहाँ <math>d</math> कण व्यास है और <math>V_\mathrm{c}</math> सेल का आयतन है चूंकि कोलिसन के कैंडिडेट अस्वीकृति प्रारूपिकरण प्रक्रिया से निकलते हैं कठोर स्फीयर के कणों के लिए कुल स्वीकृत और कुल अभ्यर्थियों का अनुपात है
-चूंकि टकराव के उम्मीदवार अस्वीकृति नमूनाकरण प्रक्रिया से गुजरते हैं
-कठोर गोले के कणों के लिए कुल स्वीकृत और कुल अभ्यर्थियों का अनुपात है
 <math display="block">
 { {M_\mathrm{coll}}\over{M_\mathrm{cand}} } =
 { {\langle v_\mathrm{r} \rangle}\over{v_\mathrm{r}^{\max}} }
 </math>
-समय चरण में सेल में चयनित टकराव वाले उम्मीदवारों की संख्या <math>\tau</math> है
+समय चरण में सेल में चयनित कोलिसन वाले कैंडिडेटों की संख्या <math>\tau</math> है
 <math display="block">
 M_\mathrm{cand} =
@@ Line 117: / Line 81: @@
 {2 V_\mathrm{c}} }
 </math>
-टकरावों की संख्या निर्धारित करने के इस दृष्टिकोण को नो-टाइम-काउंटर (एनटीसी) विधि के रूप में जाना जाता है।
+इस प्रकार कोलिसनों की संख्या निर्धारित करने के इस दृष्टिकोण को नो-टाइम-काउंटर (एनटीसी) विधि के रूप में जाना जाता है। इस प्रकार यदि <math>v_\mathrm{r}^{\max}</math> बहुत अधिक ऊंचाई पर सेट किया गया है तो एल्गोरिदम समान संख्या में कोलिसन की प्रक्रिया करता है किन्तु अनुकरण अप्रभावी है क्योंकि विभिन्न कैंडिडेट अस्वीकार कर दिए जाते हैं।
-अगर <math>v_\mathrm{r}^{\max}</math> बहुत अधिक ऊंचाई पर सेट किया गया है तो एल्गोरिदम समान संख्या में टकराव की प्रक्रिया करता है (औसतन)
-लेकिन सिमुलेशन अप्रभावी है क्योंकि कई उम्मीदवार अस्वीकार कर दिए जाते हैं।
 ==संदर्भ==
@@ Line 127: / Line 89: @@
 ==बाहरी संबंध ==
 * [http://gab.com.au/ Direct Simulation Monte Carlo Method: Visual Simulation Programs created by GA Bird].
-* [http://www.simba.us/misc/dsmc/dsmca.html DSMC Demo Applet] by Greg Khanlarov
+* [http://www.simba.us/misc/dsmc/dsmca.html डीएसएमसी Demo Applet] by Greg Khanlarov
-* [http://homepage.univie.ac.at/franz.vesely/cp_tut/nol2h/new/c8hd_s4dsm.html Course material on DSMC] (part of Computational Physics tutorial by Franz J. Vesely, University of Vienna)
+* [http://homepage.univie.ac.at/franz.vesely/cp_tut/nol2h/new/c8hd_s4dsm.html Course material on डीएसएमसी] (part of Computational Physics tutorial by Franz J. Vesely, University of Vienna)
-* [https://web.archive.org/web/20110717092648/https://www.ipam.ucla.edu/schedule.aspx?pc=kttut Course material on DSMC and recent developments] (given at IPAM UCLA by Lorenzo Pareschi, University of Ferrara)
+* [https://web.archive.org/web/20110717092648/https://www.ipam.ucla.edu/schedule.aspx?pc=kttut Course material on डीएसएमसी and recent developments] (given at IPAM UCLA by Lorenzo Pareschi, University of Ferrara)
 [[Category: मोंटे कार्लो विधियाँ]] [[Category: सांख्यिकीय यांत्रिकी]]
@@ Line 136: / Line 98: @@
 [[Category: Machine Translated Page]]
 [[Category:Created On 22/06/2023]]
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