नेटवर्क समूहों की एन्ट्रॉपी: Difference between revisions

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नेटवर्कों का एक सेट जो दी गई संरचनात्मक विशेषताओं को संतुष्ट करता है, उसे नेटवर्क समूह के रूप में माना जा सकता है।<ref>{{cite journal |last1=Levin |first1=E. |last2=Tishby |first2=N. |last3=Solla |first3=S.A.|author3-link=Sara Solla |title=स्तरित तंत्रिका नेटवर्क में सीखने और सामान्यीकरण के लिए एक सांख्यिकीय दृष्टिकोण|journal=Proceedings of the IEEE |date=October 1990 |volume=78 |issue=10 |pages=1568–1574 |doi=10.1109/5.58339 |s2cid=5254307 |issn=1558-2256}}</ref> 2007 में [[गिनेस्ट्रा बियानकोनी]] द्वारा लाए गए, नेटवर्क समूह की एन्ट्रॉपी एक नेटवर्क समूह के क्रम या अनिश्चितता के स्तर को मापती है।<ref name="year2007">{{cite journal |title=यादृच्छिक नेटवर्क संयोजनों की एन्ट्रापी|journal=EPL (Europhysics Letters) |year=2008 |volume=81 |issue=2 |doi=10.1209/0295-5075/81/28005 |language=en |issn=0295-5075|last1=Bianconi |first1=Ginestra |page=28005 |arxiv=0708.0153 |bibcode=2008EL.....8128005B |s2cid=17269886 }}</ref>
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नेटवर्क का एक सेट जो दी गई संरचनात्मक विशेषताओं को संतुष्ट करता है उसे नेटवर्क समूह के रूप में माना जा सकता है।<ref>{{cite journal |last1=Levin |first1=E. |last2=Tishby |first2=N. |last3=Solla |first3=S.A.|author3-link=Sara Solla |title=स्तरित तंत्रिका नेटवर्क में सीखने और सामान्यीकरण के लिए एक सांख्यिकीय दृष्टिकोण|journal=Proceedings of the IEEE |date=October 1990 |volume=78 |issue=10 |pages=1568–1574 |doi=10.1109/5.58339 |s2cid=5254307 |issn=1558-2256}}</ref> 2007 में [[गिनेस्ट्रा बियानकोनी]] द्वारा लाया गया, एक नेटवर्क समूह की एन्ट्रॉपी एक नेटवर्क समूह के क्रम या अनिश्चितता के स्तर को मापती है।<ref name=year2007>{{cite journal |title=यादृच्छिक नेटवर्क संयोजनों की एन्ट्रापी|journal=EPL (Europhysics Letters) |year=2008 |volume=81 |issue=2 |doi=10.1209/0295-5075/81/28005 |language=en |issn=0295-5075|last1=Bianconi |first1=Ginestra |page=28005 |arxiv=0708.0153 |bibcode=2008EL.....8128005B |s2cid=17269886 }}</ref>
एन्ट्रापी ग्राफ़ की संख्या का लघुगणक है।<ref>{{cite journal |last1=Menichetti |first1=Giulia |last2=Remondini |first2=Daniel |title=Entropy of a network ensemble: definitions and applications to genomic data |journal=Theoretical Biology Forum |date=2014 |volume=107 |issue=1–2 |pages=77–87 |pmid=25936214 |issn=0035-6050}}</ref> एन्ट्रॉपी को एक नेटवर्क में भी परिभाषित किया जा सकता है। बेसिन एन्ट्रॉपी एक [[बूलियन नेटवर्क]] में आकर्षित करने वालों का लघुगणक है।<ref>{{cite journal |last1=Krawitz |first1=Peter |last2=Shmulevich |first2=Ilya |title=बूलियन नेटवर्क के जटिल प्रासंगिक घटकों की एन्ट्रॉपी|journal=Physical Review E |date=27 September 2007 |volume=76 |issue=3 |pages=036115 |doi=10.1103/PhysRevE.76.036115 |pmid=17930314 |arxiv=0708.1538 |bibcode=2007PhRvE..76c6115K |s2cid=6192682 }}</ref>
[[सांख्यिकीय यांत्रिकी]] से दृष्टिकोण अपनाकर, नेटवर्क की जटिलता, अनिश्चितता और यादृच्छिकता को विभिन्न प्रकार की बाधाओं के साथ नेटवर्क समूहों द्वारा वर्णित किया जा सकता है।<ref>{{cite journal |last1=Bianconi |first1=Ginestra |title=नेटवर्क एन्सेम्बल की एन्ट्रॉपी|journal=Physical Review E |date=27 March 2009 |volume=79 |issue=3 |pages=036114 |doi=10.1103/PhysRevE.79.036114 |pmid=19392025 |arxiv=0802.2888 |bibcode=2009PhRvE..79c6114B |s2cid=26082469 }}</ref>


एंट्रॉपी ग्राफ़ की संख्या का लघुगणक है।<ref>{{cite journal |last1=Menichetti |first1=Giulia |last2=Remondini |first2=Daniel |title=Entropy of a network ensemble: definitions and applications to genomic data |journal=Theoretical Biology Forum |date=2014 |volume=107 |issue=1–2 |pages=77–87 |pmid=25936214 |issn=0035-6050}}</ref> एन्ट्रॉपी को एक नेटवर्क में भी परिभाषित किया जा सकता है। बेसिन एन्ट्रापी एक [[बूलियन नेटवर्क]] में आकर्षितकर्ताओं का लघुगणक है।<ref>{{cite journal |last1=Krawitz |first1=Peter |last2=Shmulevich |first2=Ilya |title=बूलियन नेटवर्क के जटिल प्रासंगिक घटकों की एन्ट्रॉपी|journal=Physical Review E |date=27 September 2007 |volume=76 |issue=3 |pages=036115 |doi=10.1103/PhysRevE.76.036115 |pmid=17930314 |arxiv=0708.1538 |bibcode=2007PhRvE..76c6115K |s2cid=6192682 }}</ref>


[[सांख्यिकीय यांत्रिकी]] से दृष्टिकोण को नियोजित करते हुए, नेटवर्क की जटिलता, अनिश्चितता और यादृच्छिकता को विभिन्न प्रकार के अवरोधों के साथ नेटवर्क समूहों द्वारा वर्णित किया जा सकता है।<ref>{{cite journal |last1=Bianconi |first1=Ginestra |title=नेटवर्क एन्सेम्बल की एन्ट्रॉपी|journal=Physical Review E |date=27 March 2009 |volume=79 |issue=3 |pages=036114 |doi=10.1103/PhysRevE.79.036114 |pmid=19392025 |arxiv=0802.2888 |bibcode=2009PhRvE..79c6114B |s2cid=26082469 }}</ref>
==गिब्स और शैनन एन्ट्रॉपी==
==गिब्स और शैनन एन्ट्रॉपी==
सांख्यिकीय यांत्रिकी के अनुरूप, कार्यान्वयन के लिए माइक्रो[[विहित पहनावा]] और नेटवर्क के कैनोनिकल एन्सेम्बल पेश किए जाते हैं। एक समूह के विभाजन फ़ंक्शन Z को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है:
सांख्यिकीय यांत्रिकी के अनुरूप, कार्यान्वयन के लिए सूक्ष्मविहित समूहों और नेटवर्कों के [[विहित पहनावा|विहित समूहों]] को पेश किया जाता है। समूह के विभाजन फलन Z को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है-<math display="block">Z = \sum_{\mathbf{a}} \delta \left[\vec{F}(\mathbf{a})-\vec{C}\right] \exp\left(\sum_{ij}h_{ij}\Theta(a_{ij}) + r_{ij}a_{ij}\right)</math>जहां <math>\vec{F}(\mathbf{a})=\vec{C}</math> अवरोध है, और <math>a_{ij}</math> (<math>a_{ij} \geq {0}</math>) आसन्न आव्यूह में तत्व हैं, <math>a_{ij} > 0</math> यदि और केवल तभी जब नोड i और नोड j के बीच कोई लिंक हो। <math>\Theta(a_{ij})</math> एक चरण फलन है जिसमें <math>\Theta(a_{ij}) = 1</math> है यदि <math>x > 0</math>, और <math>\Theta(a_{ij}) = 0</math> यदि <math>x = 0</math> है। सहायक क्षेत्रों <math>h_{ij}</math> और <math>r_{ij}</math> को चिरसम्मत यांत्रिकी में उष्मक के अनुरूप पेश किया गया है।  
<math display="block">Z = \sum_{\mathbf{a}} \delta \left[\vec{F}(\mathbf{a})-\vec{C}\right] \exp\left(\sum_{ij}h_{ij}\Theta(a_{ij}) + r_{ij}a_{ij}\right)</math>
कहाँ <math>\vec{F}(\mathbf{a})=\vec{C}</math> बाधा है, और <math>a_{ij}</math> (<math>a_{ij} \geq {0}</math>) आसन्न मैट्रिक्स में तत्व हैं, <math>a_{ij} > 0</math> यदि और केवल यदि नोड और नोड जेएस के बीच कोई लिंक है। <math>\Theta(a_{ij})</math> के साथ एक चरणीय कार्य है <math>\Theta(a_{ij}) = 1</math> अगर <math>x > 0</math>, और <math>\Theta(a_{ij}) = 0</math> अगर <math>x = 0</math>. सहायक क्षेत्र <math>h_{ij}</math> और <math>r_{ij}</math> शास्त्रीय यांत्रिकी में स्नान के सादृश्य के रूप में पेश किया गया है।


सरल अप्रत्यक्ष नेटवर्क के लिए, विभाजन फ़ंक्शन को इस प्रकार सरल बनाया जा सकता है<ref name=highlight>{{cite journal |last1=Anand |first1=Kartik |last2=Bianconi |first2=Ginestra |title=Entropy measures for networks: Toward an information theory of complex topologies |journal=Physical Review E |date=13 October 2009 |volume=80 |issue=4 |pages=045102 |doi=10.1103/PhysRevE.80.045102 |pmid=19905379 |arxiv=0907.1514 |bibcode=2009PhRvE..80d5102A |s2cid=27419558 }}</ref>


<math display="block">Z = \sum_{\{a_{ij}\}} \prod_{k}\delta(\textrm{constraint}_{k}(\{a_{ij}\})) \exp\left(\sum_{i<j}\sum_{\alpha}h_{ij}(\alpha)\delta_{a_{ij},\alpha}\right)</math>
सरल अप्रत्यक्ष नेटवर्क के लिए, विभाजन फलन को इस प्रकार सरल बनाया जा सकता है<ref name="highlight">{{cite journal |last1=Anand |first1=Kartik |last2=Bianconi |first2=Ginestra |title=Entropy measures for networks: Toward an information theory of complex topologies |journal=Physical Review E |date=13 October 2009 |volume=80 |issue=4 |pages=045102 |doi=10.1103/PhysRevE.80.045102 |pmid=19905379 |arxiv=0907.1514 |bibcode=2009PhRvE..80d5102A |s2cid=27419558 }}</ref><math display="block">Z = \sum_{\{a_{ij}\}} \prod_{k}\delta(\textrm{constraint}_{k}(\{a_{ij}\})) \exp\left(\sum_{i<j}\sum_{\alpha}h_{ij}(\alpha)\delta_{a_{ij},\alpha}\right)</math>जहां <math>a_{ij}\in\alpha</math>, <math>\alpha</math> वजन का सूचकांक है, और सरल नेटवर्क के लिए <math>\alpha=\{0,1\}</math> है।
कहाँ <math>a_{ij}\in\alpha</math>, <math>\alpha</math> वजन का सूचकांक है, और एक सरल नेटवर्क के लिए <math>\alpha=\{0,1\}</math>.


माइक्रोकैनोनिकल एन्सेम्बल और कैनोनिकल एन्सेम्बल को सरल अप्रत्यक्ष नेटवर्क के साथ प्रदर्शित किया जाता है।


एक माइक्रोकैनोनिकल समूह के लिए, [[एन्ट्रॉपी (सांख्यिकीय थर्मोडायनामिक्स)]] <math>\Sigma</math> द्वारा परिभाषित किया गया है:


<math display="block">\begin{align}
सूक्ष्मविहित समूहों और विहित समूहों को सरल अप्रत्यक्ष नेटवर्कों के साथ प्रदर्शित किया जाता है।
'''सूक्ष्मविहित समूह के लिए''', गिब्स [[एन्ट्रॉपी (सांख्यिकीय थर्मोडायनामिक्स)|एन्ट्रॉपी]] <math>\Sigma</math> को इस प्रकार परिभाषित किया गया है-<math display="block">\begin{align}
\Sigma &= \frac{1}{N} \log\mathcal{N} \\
\Sigma &= \frac{1}{N} \log\mathcal{N} \\
&= \frac{1}{N} \log Z|_{h_{ij}(\alpha)=0\forall(i,j,\alpha)}
&= \frac{1}{N} \log Z|_{h_{ij}(\alpha)=0\forall(i,j,\alpha)}
\end{align}</math>
\end{align}</math>जहां <math>\mathcal{N}</math> समूह की प्रमुखता को दर्शाता है, अर्थात समूह में नेटवर्कों की कुल संख्या है।
कहाँ <math>\mathcal{N}</math> समूह की प्रमुखता को इंगित करता है, अर्थात, समूह में नेटवर्क की कुल संख्या।


वजन के साथ नोड्स i और j के बीच एक लिंक होने की संभावना <math>\alpha</math> द्वारा दिया गया है:


<math display="block">\pi_{ij}(\alpha) = \frac{\partial \log Z}{\partial{h_{ij}}(\alpha)}</math>
भार <math>\alpha</math> के साथ नोड्स i और j के बीच लिंक होने की संभावना निम्न द्वारा दी गई है-<math display="block">\pi_{ij}(\alpha) = \frac{\partial \log Z}{\partial{h_{ij}}(\alpha)}</math>'''विहित समूह के लिए''', [[एन्ट्रॉपी (सूचना सिद्धांत)|एन्ट्रापी]] को शैनन एन्ट्रापी के रूप में प्रस्तुत किया जाता है-<math display="block">{S}=-\sum_{i<j}\sum_{\alpha} \pi_{ij}(\alpha) \log \pi_{ij}(\alpha)</math>
एक विहित समूह के लिए, एन्ट्रॉपी को [[एन्ट्रॉपी (सूचना सिद्धांत)]] के रूप में प्रस्तुत किया जाता है:


<math display="block">{S}=-\sum_{i<j}\sum_{\alpha} \pi_{ij}(\alpha) \log \pi_{ij}(\alpha)</math>
==गिब्स और शैनन एन्ट्रॉपी के बीच संबंध==


नेटवर्क समूह <math>G(N,L)</math> को दिए गए नोड्स <math>N</math> और लिंक <math>L</math> की संख्या के साथ, और इसके संयुग्म-विहित समूह <math>G(N,p)</math> को सूक्ष्मविहित और विहित समूह के रूप में जाना जाता है और उनके पास क्रमशः गिब्स एन्ट्रॉपी <math>\Sigma</math> और शैनन एन्ट्रॉपी S है। <math>G(N,p)</math> समूह में गिब्स एन्ट्रॉपी निम्न द्वारा दी गई है-<ref>{{cite journal |last1=Bogacz |first1=Leszek |last2=Burda |first2=Zdzisław |last3=Wacław |first3=Bartłomiej |title=सजातीय जटिल नेटवर्क|journal=Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications |date=1 July 2006 |volume=366 |pages=587–607 |doi=10.1016/j.physa.2005.10.024 |arxiv=cond-mat/0502124 |bibcode=2006PhyA..366..587B |s2cid=119428248 |url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0378437105011180 |language=en |issn=0378-4371}}</ref><math display="block">{N}\Sigma = \log\left(\begin{matrix}\cfrac{N(N-1)}{2}\\L\end{matrix}\right)</math><math>G(N,p)</math> समूह के लिए,<math display="block">{p}_{ij} = p = \cfrac{2L}{N(N-1)}</math>शैनन एन्ट्रॉपी में <math>p_{ij}</math> सम्मिलित करना<ref name="highlight" /><math display="block">\Sigma = S/N+\cfrac{1}{2N}\left[\log\left( \cfrac{N(N-1)}{2L} \right) - \log\left(\cfrac{N(N-1)}{2}-L\right)\right]</math>संबंध इंगित करता है कि यादृच्छिक ग्राफ़ के प्रति नोड S/N गिब्स एन्ट्रॉपी <math>\Sigma</math> और शैनन एन्ट्रॉपी [[थर्मोडायनामिक सीमा|ऊष्मागतिक सीमा]] <math>N\to\infty</math> में बराबर हैं।


==गिब्स और शैनन एन्ट्रॉपी के बीच संबंध==
==[[वॉन न्यूमैन एन्ट्रापी|वॉन न्यूमैन एन्ट्रॉपी]]==
वॉन न्यूमैन एन्ट्रॉपी क्वांटम संदर्भ में चिरसम्मत गिब्स एन्ट्रॉपी का विस्तार है। यह एन्ट्रॉपी घनत्व आव्यूह <math>\rho</math> से निर्मित है- ऐतिहासिक रूप से, इस तरह के [[घनत्व मैट्रिक्स|घनत्व आव्यूह]] के लिए प्रथम प्रस्तावित उम्मीदवार नेटवर्क से जुड़े [[लाप्लासियन मैट्रिक्स|लाप्लासियन आव्यूह]] L की अभिव्यक्ति रहा है। किसी समूह की औसत वॉन न्यूमैन एन्ट्रॉपी की गणना इस प्रकार की जाती है-<ref>{{cite journal |last1=Du |first1=Wenxue |last2=Li |first2=Xueliang |last3=Li |first3=Yiyang |last4=Severini |first4=Simone |title=यादृच्छिक ग्राफ़ की वॉन न्यूमैन एन्ट्रापी पर एक नोट|journal=Linear Algebra and Its Applications |date=30 December 2010 |volume=433 |issue=11 |pages=1722–1725 |doi=10.1016/j.laa.2010.06.040 |language=en |issn=0024-3795|doi-access=free }}</ref><math display="block">{S}_{VN} = -\langle\mathrm{Tr}\rho\log(\rho)\rangle</math>[[ यादृच्छिक ग्राफ |यादृच्छिक]] नेटवर्क समूह <math>G(N,p)</math> के लिए, औसत संबद्धता <math>p(N-1)</math> भिन्न होने पर <math>S_{VN}</math> और <math>S</math> के बीच संबंध गैर-मोनोटोनिक है।


नेटवर्क समूह <math>G(N,L)</math> नोड्स की दी गई संख्या के साथ <math>N</math> और लिंक <math>L</math>, और इसका संयुग्म-विहित पहनावा <math>G(N,p)</math> इन्हें माइक्रोकैनोनिकल और कैनोनिकल एन्सेम्बल के रूप में जाना जाता है और इनमें गिब्स एन्ट्रॉपी होती है <math>\Sigma</math> और शैनन एन्ट्रॉपी एस, क्रमशः। गिब्स एन्ट्रापी में <math>G(N,p)</math> पहनावा इसके द्वारा दिया गया है:<ref>{{cite journal |last1=Bogacz |first1=Leszek |last2=Burda |first2=Zdzisław |last3=Wacław |first3=Bartłomiej |title=सजातीय जटिल नेटवर्क|journal=Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications |date=1 July 2006 |volume=366 |pages=587–607 |doi=10.1016/j.physa.2005.10.024 |arxiv=cond-mat/0502124 |bibcode=2006PhyA..366..587B |s2cid=119428248 |url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0378437105011180 |language=en |issn=0378-4371}}</ref>


<math display="block">{N}\Sigma = \log\left(\begin{matrix}\cfrac{N(N-1)}{2}\\L\end{matrix}\right)</math>
विहित शक्ति-नियम नेटवर्क समूहों के लिए, दो एन्ट्रॉपियां रैखिक रूप से संबंधित हैं।<ref name="highlight" /><math display="block">{S}_{VN} = \eta {S/N} + \beta</math>दिए गए अपेक्षित डिग्री अनुक्रमों वाले नेटवर्क सुझाव देते हैं कि, अपेक्षित डिग्री वितरण में विविधता क्वांटम और नेटवर्क के चिरसम्मत विवरण के बीच समानता का अर्थ है, जो क्रमशः वॉन न्यूमैन और शैनन एन्ट्रॉपी से मेल खाती है।<ref>{{cite journal |last1=Anand |first1=Kartik |last2=Bianconi |first2=Ginestra |last3=Severini |first3=Simone |title=शैनन और वॉन न्यूमैन विषम अपेक्षित डिग्री के साथ यादृच्छिक नेटवर्क की एन्ट्रापी|journal=Physical Review E |date=18 March 2011 |volume=83 |issue=3 |pages=036109 |doi=10.1103/PhysRevE.83.036109 |pmid=21517560 |arxiv=1011.1565 |bibcode=2011PhRvE..83c6109A |s2cid=1482301 }}</ref>  
के लिए <math>G(N,p)</math> पहनावा,


<math display="block">{p}_{ij} = p = \cfrac{2L}{N(N-1)}</math>
डालने <math>p_{ij}</math> शैनन एन्ट्रापी में:<ref name=highlight/>


<math display="block">\Sigma = S/N+\cfrac{1}{2N}\left[\log\left( \cfrac{N(N-1)}{2L} \right) - \log\left(\cfrac{N(N-1)}{2}-L\right)\right]</math>
संबंध इंगित करता है कि गिब्स एन्ट्रापी <math>\Sigma</math> और यादृच्छिक ग्राफ़ के प्रति नोड एस/एन शैनन एन्ट्रॉपी [[थर्मोडायनामिक सीमा]] में बराबर हैं <math>N\to\infty</math>.


==[[वॉन न्यूमैन एन्ट्रापी]]==
[[वॉन न्यूमैन एन्ट्रॉपी]] की इस परिभाषा को टेंसोरियल दृष्टिकोण के साथ बहुपरत नेटवर्कों तक भी बढ़ाया जा सकता है<ref>{{cite journal |last1=De Domenico |first1=Manlio |last2=Solé-Ribalta |first2=Albert |last3=Cozzo |first3=Emanuele |last4=Kivelä |first4=Mikko |last5=Moreno |first5=Yamir |last6=Porter |first6=Mason A. |last7=Gómez |first7=Sergio |last8=Arenas |first8=Alex |title=मल्टीलेयर नेटवर्क का गणितीय सूत्रीकरण|journal=Physical Review X |date=4 December 2013 |volume=3 |issue=4 |pages=041022 |doi=10.1103/PhysRevX.3.041022 |arxiv=1307.4977 |bibcode=2013PhRvX...3d1022D |s2cid=16611157 }}</ref> और संरचनात्मक दृष्टिकोण से उनकी विमीयता को कम करने के लिए इसका सफलतापूर्वक उपयोग किया गया है।<ref>{{cite journal |last1=De Domenico |first1=Manlio |last2=Nicosia |first2=Vincenzo |last3=Arenas |first3=Alex |last4=Latora |first4=Vito |title= बहुपरत नेटवर्क की संरचनात्मक न्यूनता|journal=Nature Communications |date=23 April 2015 |volume=6 |pages= 6864 |doi= 10.1038/ncomms7864 |pmid=25904309 |bibcode=2015NatCo...6.6864D |s2cid=16776349 |url=http://deim.urv.cat/%7Ealephsys/papers/reducibility.pdf }}</ref>  
वॉन न्यूमैन एन्ट्रॉपी क्वांटम संदर्भ में शास्त्रीय गिब्स एन्ट्रॉपी का विस्तार है। यह एन्ट्रापी एक [[घनत्व मैट्रिक्स]] से निर्मित होती है <math>\rho</math>: ऐतिहासिक रूप से, इस तरह के घनत्व मैट्रिक्स के लिए पहला प्रस्तावित उम्मीदवार नेटवर्क से जुड़े [[लाप्लासियन मैट्रिक्स]] एल की अभिव्यक्ति रहा है। किसी समूह की औसत वॉन न्यूमैन एन्ट्रापी की गणना इस प्रकार की जाती है:<ref>{{cite journal |last1=Du |first1=Wenxue |last2=Li |first2=Xueliang |last3=Li |first3=Yiyang |last4=Severini |first4=Simone |title=यादृच्छिक ग्राफ़ की वॉन न्यूमैन एन्ट्रापी पर एक नोट|journal=Linear Algebra and Its Applications |date=30 December 2010 |volume=433 |issue=11 |pages=1722–1725 |doi=10.1016/j.laa.2010.06.040 |language=en |issn=0024-3795|doi-access=free }}</ref>


<math display="block">{S}_{VN} = -\langle\mathrm{Tr}\rho\log(\rho)\rangle</math>
हालाँकि, यह दिखाया गया है कि एन्ट्रॉपी की यह परिभाषा सैद्धांतिक रूप से अपेक्षित उप-योजकता (वॉन न्यूमैन एन्ट्रॉपी की उपयोजकता देखें) के गुण को संतुष्ट नहीं करती है। इस मौलिक गुण को संतुष्ट करने वाली एक अधिक आधारभूत परिभाषा, [[मन्लियो डी डोमेनिको|डी डोमेनिको]] और बियामोंटे<ref>{{cite journal |last1=De Domenico |first1=Manlio |last2=Biamonte |first2=Jacob|title=जटिल नेटवर्क तुलना के लिए सूचना-सैद्धांतिक उपकरण के रूप में स्पेक्ट्रल एन्ट्रॉपीज़|journal=Physical Review X |date=21 December 2016 |volume=6 |issue=4 |pages=041062 |doi=10.1103/PhysRevX.6.041062|arxiv=1609.01214 |bibcode=2016PhRvX...6d1062D |s2cid=51786781 }}</ref> द्वारा क्वांटम-जैसे गिब्स अवस्था के रूप में पेश की गई है<math display="block">\rho(\beta)=\frac{e^{-\beta L}}{Z(\beta)}</math>जहाँ<math display="block">Z(\beta)=Tr[e^{-\beta L}]</math>सामान्यीकरण कारक है जो विभाजन फलन की भूमिका निभाता है, और <math>\beta</math> समस्वरणीय पैरामीटर है जो बहु-विभेदन विश्लेषण की अनुमति देता है। यदि <math>\beta</math> को अस्थायी पैरामीटर के रूप में व्याख्या किया जाता है, तो यह घनत्व आव्यूह औपचारिक रूप से नेटवर्क के शीर्ष पर प्रसार प्रक्रिया के प्रसारक के समानुपाती होता है।
[[ यादृच्छिक ग्राफ ]]़ समूह के लिए <math>G(N,p)</math>, के बीच संबंध <math>S_{VN}</math> और <math>S</math> औसत कनेक्टिविटी होने पर नॉनमोनोटोनिक है <math>p(N-1)</math> विविध है.


विहित [[स्केल-मुक्त नेटवर्क]]|पावर-लॉ नेटवर्क संयोजन के लिए, दो एन्ट्रॉपी रैखिक रूप से संबंधित हैं।<ref name=highlight/>


<math display="block">{S}_{VN} = \eta {S/N} + \beta</math>
दिए गए अपेक्षित डिग्री अनुक्रम वाले नेटवर्क सुझाव देते हैं कि, अपेक्षित डिग्री वितरण में विविधता एक क्वांटम और नेटवर्क के शास्त्रीय विवरण के बीच एक समानता का अर्थ है, जो क्रमशः वॉन न्यूमैन और शैनन एन्ट्रॉपी से मेल खाती है।<ref>{{cite journal |last1=Anand |first1=Kartik |last2=Bianconi |first2=Ginestra |last3=Severini |first3=Simone |title=शैनन और वॉन न्यूमैन विषम अपेक्षित डिग्री के साथ यादृच्छिक नेटवर्क की एन्ट्रापी|journal=Physical Review E |date=18 March 2011 |volume=83 |issue=3 |pages=036109 |doi=10.1103/PhysRevE.83.036109 |pmid=21517560 |arxiv=1011.1565 |bibcode=2011PhRvE..83c6109A |s2cid=1482301 }}</ref>
वॉन न्यूमैन एन्ट्रॉपी की इस परिभाषा को टेंसोरियल दृष्टिकोण के साथ बहुपरत नेटवर्क तक भी बढ़ाया जा सकता है<ref>{{cite journal |last1=De Domenico |first1=Manlio |last2=Solé-Ribalta |first2=Albert |last3=Cozzo |first3=Emanuele |last4=Kivelä |first4=Mikko |last5=Moreno |first5=Yamir |last6=Porter |first6=Mason A. |last7=Gómez |first7=Sergio |last8=Arenas |first8=Alex |title=मल्टीलेयर नेटवर्क का गणितीय सूत्रीकरण|journal=Physical Review X |date=4 December 2013 |volume=3 |issue=4 |pages=041022 |doi=10.1103/PhysRevX.3.041022 |arxiv=1307.4977 |bibcode=2013PhRvX...3d1022D |s2cid=16611157 }}</ref> और संरचनात्मक दृष्टिकोण से उनकी आयामीता को कम करने के लिए सफलतापूर्वक उपयोग किया गया है।<ref>{{cite journal |last1=De Domenico |first1=Manlio |last2=Nicosia |first2=Vincenzo |last3=Arenas |first3=Alex |last4=Latora |first4=Vito |title= बहुपरत नेटवर्क की संरचनात्मक न्यूनता|journal=Nature Communications |date=23 April 2015 |volume=6 |pages= 6864 |doi= 10.1038/ncomms7864 |pmid=25904309 |bibcode=2015NatCo...6.6864D |s2cid=16776349 |url=http://deim.urv.cat/%7Ealephsys/papers/reducibility.pdf }}</ref>
हालाँकि, यह दिखाया गया है कि एन्ट्रापी की यह परिभाषा उप-एडिटिविटी (देखें वॉन_न्यूमैन_एंट्रॉपी#सबएडिटिविटी|वॉन न्यूमैन एन्ट्रॉपी की सबएडिटिविटी) की संपत्ति को संतुष्ट नहीं करती है, जो सैद्धांतिक रूप से अपेक्षित है। इस मौलिक संपत्ति को संतुष्ट करने वाली एक अधिक जमीनी परिभाषा [[मन्लियो डी डोमेनिको]] और बियामोंटे द्वारा पेश की गई है<ref>{{cite journal |last1=De Domenico |first1=Manlio |last2=Biamonte |first2=Jacob|title=जटिल नेटवर्क तुलना के लिए सूचना-सैद्धांतिक उपकरण के रूप में स्पेक्ट्रल एन्ट्रॉपीज़|journal=Physical Review X |date=21 December 2016 |volume=6 |issue=4 |pages=041062 |doi=10.1103/PhysRevX.6.041062|arxiv=1609.01214 |bibcode=2016PhRvX...6d1062D |s2cid=51786781 }}</ref> क्वांटम जैसी गिब्स अवस्था के रूप में


<math display="block">\rho(\beta)=\frac{e^{-\beta L}}{Z(\beta)}</math>
इस विशेषता का उपयोग जटिल सूचना गतिकी के सांख्यिकीय क्षेत्र सिद्धांत के निर्माण के लिए किया गया है, जहां घनत्व आव्यूह की व्याख्या स्ट्रीम संचालकोंं के अध्यारोपण के संदर्भ में की जा सकती है, जिनकी क्रिया नोड्स के बीच सूचना प्रवाह को सक्रिय करना है।<ref>{{cite journal |last1=Ghavasieh |first1=Arsham|last2=Nicolini |first2=Carlo|last3=De Domenico |first3=Manlio|title= जटिल सूचना गतिशीलता की सांख्यिकीय भौतिकी|journal=Physical Review E |date=10 November 2020 |volume=102 |issue=5|pages= 052304 |doi=10.1103/PhysRevE.102.052304|pmid=33327131|arxiv=2010.04014 |bibcode=2020PhRvE.102e2304G|s2cid=222208856}}</ref> स्थूलदर्शी, मध्यदर्शी और सूक्ष्मदर्शी पैमानों पर बाद के संक्रमण की प्रणालीगत विशेषताओं को स्पष्ट करने, [[SARS-CoV-2]] सहित वायरस-मानव इंटरैक्टोम्स के प्रोटीन-प्रोटीन अंतःक्रिया नेटवर्कों,<ref>{{cite journal |last1=Ghavasieh |first1=Arsham|last2=Bontorin |first2=Sebastiano|last3=Artime |first3=Oriol|last4=Verstraete |first4=Nina|last5=De Domenico |first5=Manlio|title= Multiscale statistical physics of the pan-viral interactome unravels the systemic nature of SARS-CoV-2 infections |journal=Communications Physics |date=23 April 2021 |volume=4 |issue=1|pages= 83 |doi=10.1038/s42005-021-00582-8|arxiv=|bibcode=2021CmPhy...4...83G|doi-access=free }}</ref> साथ ही नोड्स के महत्व का आकलन करने के लिए नेटवर्क के भीतर सूचना प्रवाह को एकीकृत करने और नेटवर्क की दृढ़ता में उनकी भूमिका का विश्लेषण करने के लिए रूपरेखा को सफलतापूर्वक लागू किया गया है।<ref>{{cite journal |last1=Ghavasieh |first1=Arsham|last2=Stella |first2=Massimo|last3=Biamonte |first3=Jacob|last4=De Domenico |first4=Manlio|title= अनुभवजन्य प्रणालियों पर मल्टीस्केल नेटवर्क उलझाव के प्रभावों को उजागर करना|journal=Communications Physics |date=10 June 2021 |volume=4 |issue=1|pages= 129 |doi=10.1038/s42005-021-00633-0|arxiv=2008.05368|bibcode=2021CmPhy...4..129G|s2cid=221104066}}</ref>
कहाँ <math display="block">Z(\beta)=Tr[e^{-\beta L}]</math> एक सामान्यीकरण कारक है जो विभाजन फ़ंक्शन की भूमिका निभाता है, और <math>\beta</math> एक ट्यून करने योग्य पैरामीटर है जो बहु-रिज़ॉल्यूशन विश्लेषण की अनुमति देता है। अगर <math>\beta</math> एक अस्थायी पैरामीटर के रूप में व्याख्या की गई है, यह घनत्व मैट्रिक्स औपचारिक रूप से नेटवर्क के शीर्ष पर एक प्रसार प्रक्रिया के प्रचारक के लिए आनुपातिक है।


इस सुविधा का उपयोग जटिल सूचना गतिशीलता के एक सांख्यिकीय क्षेत्र सिद्धांत का निर्माण करने के लिए किया गया है, जहां घनत्व मैट्रिक्स की व्याख्या स्ट्रीम ऑपरेटरों की सुपर-स्थिति के संदर्भ में की जा सकती है जिनकी क्रिया नोड्स के बीच सूचना प्रवाह को सक्रिय करना है।<ref>{{cite journal |last1=Ghavasieh |first1=Arsham|last2=Nicolini |first2=Carlo|last3=De Domenico |first3=Manlio|title= जटिल सूचना गतिशीलता की सांख्यिकीय भौतिकी|journal=Physical Review E |date=10 November 2020 |volume=102 |issue=5|pages= 052304 |doi=10.1103/PhysRevE.102.052304|pmid=33327131|arxiv=2010.04014 |bibcode=2020PhRvE.102e2304G|s2cid=222208856}}</ref> सूक्ष्म, मेसोस्कोपिक और मैक्रोस्कोपिक पैमाने पर बाद के संक्रमण की प्रणालीगत विशेषताओं को जानने के लिए [[SARS-CoV-2]] सहित वायरस-मानव इंटरैक्टोम्स के प्रोटीन-प्रोटीन इंटरेक्शन नेटवर्क का विश्लेषण करने के लिए रूपरेखा को सफलतापूर्वक लागू किया गया है।<ref>{{cite journal |last1=Ghavasieh |first1=Arsham|last2=Bontorin |first2=Sebastiano|last3=Artime |first3=Oriol|last4=Verstraete |first4=Nina|last5=De Domenico |first5=Manlio|title= Multiscale statistical physics of the pan-viral interactome unravels the systemic nature of SARS-CoV-2 infections |journal=Communications Physics |date=23 April 2021 |volume=4 |issue=1|pages= 83 |doi=10.1038/s42005-021-00582-8|arxiv=|bibcode=2021CmPhy...4...83G|doi-access=free }}</ref> साथ ही नेटवर्क के भीतर सूचना प्रवाह को एकीकृत करने के लिए नोड्स के महत्व और नेटवर्क की मजबूती में उनकी भूमिका का आकलन करना।<ref>{{cite journal |last1=Ghavasieh |first1=Arsham|last2=Stella |first2=Massimo|last3=Biamonte |first3=Jacob|last4=De Domenico |first4=Manlio|title= अनुभवजन्य प्रणालियों पर मल्टीस्केल नेटवर्क उलझाव के प्रभावों को उजागर करना|journal=Communications Physics |date=10 June 2021 |volume=4 |issue=1|pages= 129 |doi=10.1038/s42005-021-00633-0|arxiv=2008.05368|bibcode=2021CmPhy...4..129G|s2cid=221104066}}</ref>
इस दृष्टिकोण को अन्य प्रकार की गतिकी से निपटने के लिए सामान्यीकृत किया गया है, जैसे कि बहुपरत नेटवर्कों के शीर्ष पर यादृच्छिक चाल, उनकी संरचना में बदलाव किए बिना ऐसी प्रणालियों की विमीयता को कम करने का एक प्रभावी तरीका प्रदान करना।<ref>{{cite journal |last1=Ghavasieh |first1=Arsham|last2=De Domenico |first2=Manlio|title= उनकी संरचना में बदलाव किए बिना इंटरकनेक्टेड सिस्टम में परिवहन गुणों को बढ़ाना|journal=Physical Review Research |date= 13 February 2020 |volume=2 |issue=1|pages= 13–15 |doi=10.1103/PhysRevResearch.2.013155|arxiv=2001.04450 |bibcode=2020PhRvR...2a3155G|s2cid=210165034}}</ref> चिरसम्मत और अधिकतम-एन्ट्रॉपी यादृच्छिक चालों दोनों का उपयोग करते हुए, संबंधित घनत्व आव्यूह का उपयोग मानव मस्तिष्क की नेटवर्क अवस्थाओं को एनकोड करने और कई पैमानों पर, मनोभ्रंश के विभिन्न चरणों में कनेक्टोम की सूचना क्षमता का आकलन करने के लिए किया गया है।<ref>{{cite journal |last1=Benigni |first1=Barbara|last2=Ghavasieh |first2=Arsham|last3=Corso |first3=Alessandra|last4=D'Andrea |first4=Valeria|last5=De Domenico |first5=Manlio|title=Persistence of information flow: a multiscale characterization of human brain |journal=Network Neuroscience |date= 22 June 2021 |volume= 5|issue=3 |pages= 831–850 |doi=10.1162/netn_a_00203
इस दृष्टिकोण को अन्य प्रकार की गतिशीलता से निपटने के लिए सामान्यीकृत किया गया है, जैसे कि मल्टीलेयर नेटवर्क के शीर्ष पर यादृच्छिक चलना, उनकी संरचना में बदलाव किए बिना ऐसी प्रणालियों की आयामीता को कम करने का एक प्रभावी तरीका प्रदान करता है।<ref>{{cite journal |last1=Ghavasieh |first1=Arsham|last2=De Domenico |first2=Manlio|title= उनकी संरचना में बदलाव किए बिना इंटरकनेक्टेड सिस्टम में परिवहन गुणों को बढ़ाना|journal=Physical Review Research |date= 13 February 2020 |volume=2 |issue=1|pages= 13–15 |doi=10.1103/PhysRevResearch.2.013155|arxiv=2001.04450 |bibcode=2020PhRvR...2a3155G|s2cid=210165034}}</ref> क्लासिकल और मैक्सिमल_एन्ट्रॉपी_रैंडम_वॉक|मैक्सिमम-एन्ट्रॉपी रैंडम वॉक दोनों का उपयोग करते हुए, संबंधित घनत्व मैट्रिक्स का उपयोग मानव मस्तिष्क के नेटवर्क राज्यों को एन्कोड करने और कई पैमानों पर, मनोभ्रंश के विभिन्न चरणों में कनेक्टोम की सूचना क्षमता का आकलन करने के लिए किया गया है।<ref>{{cite journal |last1=Benigni |first1=Barbara|last2=Ghavasieh |first2=Arsham|last3=Corso |first3=Alessandra|last4=D'Andrea |first4=Valeria|last5=De Domenico |first5=Manlio|title=Persistence of information flow: a multiscale characterization of human brain |journal=Network Neuroscience |date= 22 June 2021 |volume= 5|issue=3 |pages= 831–850 |doi=10.1162/netn_a_00203
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==यह भी देखें==
==यह भी देखें==
* विहित पहनावा
* विहित समूह
* माइक्रोकैनोनिकल पहनावा
* सूक्ष्मविहित समूह
* [[अधिकतम-एन्ट्रापी यादृच्छिक ग्राफ मॉडल]]
* [[अधिकतम-एन्ट्रापी यादृच्छिक ग्राफ मॉडल|अधिकतम-एन्ट्रॉपी यादृच्छिक ग्राफ़ मॉडल]]
* [[ग्राफ एन्ट्रापी]]
* [[ग्राफ एन्ट्रापी|ग्राफ़ एन्ट्रॉपी]]


== संदर्भ ==
== संदर्भ ==
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नेटवर्कों का एक सेट जो दी गई संरचनात्मक विशेषताओं को संतुष्ट करता है, उसे नेटवर्क समूह के रूप में माना जा सकता है।[1] 2007 में गिनेस्ट्रा बियानकोनी द्वारा लाए गए, नेटवर्क समूह की एन्ट्रॉपी एक नेटवर्क समूह के क्रम या अनिश्चितता के स्तर को मापती है।[2]

एंट्रॉपी ग्राफ़ की संख्या का लघुगणक है।[3] एन्ट्रॉपी को एक नेटवर्क में भी परिभाषित किया जा सकता है। बेसिन एन्ट्रापी एक बूलियन नेटवर्क में आकर्षितकर्ताओं का लघुगणक है।[4]

सांख्यिकीय यांत्रिकी से दृष्टिकोण को नियोजित करते हुए, नेटवर्क की जटिलता, अनिश्चितता और यादृच्छिकता को विभिन्न प्रकार के अवरोधों के साथ नेटवर्क समूहों द्वारा वर्णित किया जा सकता है।[5]

गिब्स और शैनन एन्ट्रॉपी

सांख्यिकीय यांत्रिकी के अनुरूप, कार्यान्वयन के लिए सूक्ष्मविहित समूहों और नेटवर्कों के विहित समूहों को पेश किया जाता है। समूह के विभाजन फलन Z को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है-

जहां अवरोध है, और () आसन्न आव्यूह में तत्व हैं, यदि और केवल तभी जब नोड i और नोड j के बीच कोई लिंक हो। एक चरण फलन है जिसमें है यदि , और यदि है। सहायक क्षेत्रों और को चिरसम्मत यांत्रिकी में उष्मक के अनुरूप पेश किया गया है।


सरल अप्रत्यक्ष नेटवर्क के लिए, विभाजन फलन को इस प्रकार सरल बनाया जा सकता है[6]

जहां , वजन का सूचकांक है, और सरल नेटवर्क के लिए है।


सूक्ष्मविहित समूहों और विहित समूहों को सरल अप्रत्यक्ष नेटवर्कों के साथ प्रदर्शित किया जाता है। सूक्ष्मविहित समूह के लिए, गिब्स एन्ट्रॉपी को इस प्रकार परिभाषित किया गया है-

जहां समूह की प्रमुखता को दर्शाता है, अर्थात समूह में नेटवर्कों की कुल संख्या है।


भार के साथ नोड्स i और j के बीच लिंक होने की संभावना निम्न द्वारा दी गई है-

विहित समूह के लिए, एन्ट्रापी को शैनन एन्ट्रापी के रूप में प्रस्तुत किया जाता है-

गिब्स और शैनन एन्ट्रॉपी के बीच संबंध

नेटवर्क समूह को दिए गए नोड्स और लिंक की संख्या के साथ, और इसके संयुग्म-विहित समूह को सूक्ष्मविहित और विहित समूह के रूप में जाना जाता है और उनके पास क्रमशः गिब्स एन्ट्रॉपी और शैनन एन्ट्रॉपी S है। समूह में गिब्स एन्ट्रॉपी निम्न द्वारा दी गई है-[7]

समूह के लिए,
शैनन एन्ट्रॉपी में सम्मिलित करना[6]
संबंध इंगित करता है कि यादृच्छिक ग्राफ़ के प्रति नोड S/N गिब्स एन्ट्रॉपी और शैनन एन्ट्रॉपी ऊष्मागतिक सीमा में बराबर हैं।

वॉन न्यूमैन एन्ट्रॉपी

वॉन न्यूमैन एन्ट्रॉपी क्वांटम संदर्भ में चिरसम्मत गिब्स एन्ट्रॉपी का विस्तार है। यह एन्ट्रॉपी घनत्व आव्यूह से निर्मित है- ऐतिहासिक रूप से, इस तरह के घनत्व आव्यूह के लिए प्रथम प्रस्तावित उम्मीदवार नेटवर्क से जुड़े लाप्लासियन आव्यूह L की अभिव्यक्ति रहा है। किसी समूह की औसत वॉन न्यूमैन एन्ट्रॉपी की गणना इस प्रकार की जाती है-[8]

यादृच्छिक नेटवर्क समूह के लिए, औसत संबद्धता भिन्न होने पर और के बीच संबंध गैर-मोनोटोनिक है।


विहित शक्ति-नियम नेटवर्क समूहों के लिए, दो एन्ट्रॉपियां रैखिक रूप से संबंधित हैं।[6]

दिए गए अपेक्षित डिग्री अनुक्रमों वाले नेटवर्क सुझाव देते हैं कि, अपेक्षित डिग्री वितरण में विविधता क्वांटम और नेटवर्क के चिरसम्मत विवरण के बीच समानता का अर्थ है, जो क्रमशः वॉन न्यूमैन और शैनन एन्ट्रॉपी से मेल खाती है।[9]


वॉन न्यूमैन एन्ट्रॉपी की इस परिभाषा को टेंसोरियल दृष्टिकोण के साथ बहुपरत नेटवर्कों तक भी बढ़ाया जा सकता है[10] और संरचनात्मक दृष्टिकोण से उनकी विमीयता को कम करने के लिए इसका सफलतापूर्वक उपयोग किया गया है।[11]

हालाँकि, यह दिखाया गया है कि एन्ट्रॉपी की यह परिभाषा सैद्धांतिक रूप से अपेक्षित उप-योजकता (वॉन न्यूमैन एन्ट्रॉपी की उपयोजकता देखें) के गुण को संतुष्ट नहीं करती है। इस मौलिक गुण को संतुष्ट करने वाली एक अधिक आधारभूत परिभाषा, डी डोमेनिको और बियामोंटे[12] द्वारा क्वांटम-जैसे गिब्स अवस्था के रूप में पेश की गई है

जहाँ
सामान्यीकरण कारक है जो विभाजन फलन की भूमिका निभाता है, और समस्वरणीय पैरामीटर है जो बहु-विभेदन विश्लेषण की अनुमति देता है। यदि को अस्थायी पैरामीटर के रूप में व्याख्या किया जाता है, तो यह घनत्व आव्यूह औपचारिक रूप से नेटवर्क के शीर्ष पर प्रसार प्रक्रिया के प्रसारक के समानुपाती होता है।


इस विशेषता का उपयोग जटिल सूचना गतिकी के सांख्यिकीय क्षेत्र सिद्धांत के निर्माण के लिए किया गया है, जहां घनत्व आव्यूह की व्याख्या स्ट्रीम संचालकोंं के अध्यारोपण के संदर्भ में की जा सकती है, जिनकी क्रिया नोड्स के बीच सूचना प्रवाह को सक्रिय करना है।[13] स्थूलदर्शी, मध्यदर्शी और सूक्ष्मदर्शी पैमानों पर बाद के संक्रमण की प्रणालीगत विशेषताओं को स्पष्ट करने, SARS-CoV-2 सहित वायरस-मानव इंटरैक्टोम्स के प्रोटीन-प्रोटीन अंतःक्रिया नेटवर्कों,[14] साथ ही नोड्स के महत्व का आकलन करने के लिए नेटवर्क के भीतर सूचना प्रवाह को एकीकृत करने और नेटवर्क की दृढ़ता में उनकी भूमिका का विश्लेषण करने के लिए रूपरेखा को सफलतापूर्वक लागू किया गया है।[15]

इस दृष्टिकोण को अन्य प्रकार की गतिकी से निपटने के लिए सामान्यीकृत किया गया है, जैसे कि बहुपरत नेटवर्कों के शीर्ष पर यादृच्छिक चाल, उनकी संरचना में बदलाव किए बिना ऐसी प्रणालियों की विमीयता को कम करने का एक प्रभावी तरीका प्रदान करना।[16] चिरसम्मत और अधिकतम-एन्ट्रॉपी यादृच्छिक चालों दोनों का उपयोग करते हुए, संबंधित घनत्व आव्यूह का उपयोग मानव मस्तिष्क की नेटवर्क अवस्थाओं को एनकोड करने और कई पैमानों पर, मनोभ्रंश के विभिन्न चरणों में कनेक्टोम की सूचना क्षमता का आकलन करने के लिए किया गया है।[17]

यह भी देखें

संदर्भ

  1. ↑ Levin, E.; Tishby, N.; Solla, S.A. (October 1990). "स्तरित तंत्रिका नेटवर्क में सीखने और सामान्यीकरण के लिए एक सांख्यिकीय दृष्टिकोण". Proceedings of the IEEE. 78 (10): 1568–1574. doi:10.1109/5.58339. ISSN 1558-2256. S2CID 5254307.
  2. ↑ Bianconi, Ginestra (2008). "यादृच्छिक नेटवर्क संयोजनों की एन्ट्रापी". EPL (Europhysics Letters) (in English). 81 (2): 28005. arXiv:0708.0153. Bibcode:2008EL.....8128005B. doi:10.1209/0295-5075/81/28005. ISSN 0295-5075. S2CID 17269886.
  3. ↑ Menichetti, Giulia; Remondini, Daniel (2014). "Entropy of a network ensemble: definitions and applications to genomic data". Theoretical Biology Forum. 107 (1–2): 77–87. ISSN 0035-6050. PMID 25936214.
  4. ↑ Krawitz, Peter; Shmulevich, Ilya (27 September 2007). "बूलियन नेटवर्क के जटिल प्रासंगिक घटकों की एन्ट्रॉपी". Physical Review E. 76 (3): 036115. arXiv:0708.1538. Bibcode:2007PhRvE..76c6115K. doi:10.1103/PhysRevE.76.036115. PMID 17930314. S2CID 6192682.
  5. ↑ Bianconi, Ginestra (27 March 2009). "नेटवर्क एन्सेम्बल की एन्ट्रॉपी". Physical Review E. 79 (3): 036114. arXiv:0802.2888. Bibcode:2009PhRvE..79c6114B. doi:10.1103/PhysRevE.79.036114. PMID 19392025. S2CID 26082469.
  6. ↑ 6.0 6.1 6.2 Anand, Kartik; Bianconi, Ginestra (13 October 2009). "Entropy measures for networks: Toward an information theory of complex topologies". Physical Review E. 80 (4): 045102. arXiv:0907.1514. Bibcode:2009PhRvE..80d5102A. doi:10.1103/PhysRevE.80.045102. PMID 19905379. S2CID 27419558.
  7. ↑ Bogacz, Leszek; Burda, Zdzisław; Wacław, Bartłomiej (1 July 2006). "सजातीय जटिल नेटवर्क". Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications (in English). 366: 587–607. arXiv:cond-mat/0502124. Bibcode:2006PhyA..366..587B. doi:10.1016/j.physa.2005.10.024. ISSN 0378-4371. S2CID 119428248.
  8. ↑ Du, Wenxue; Li, Xueliang; Li, Yiyang; Severini, Simone (30 December 2010). "यादृच्छिक ग्राफ़ की वॉन न्यूमैन एन्ट्रापी पर एक नोट". Linear Algebra and Its Applications (in English). 433 (11): 1722–1725. doi:10.1016/j.laa.2010.06.040. ISSN 0024-3795.
  9. ↑ Anand, Kartik; Bianconi, Ginestra; Severini, Simone (18 March 2011). "शैनन और वॉन न्यूमैन विषम अपेक्षित डिग्री के साथ यादृच्छिक नेटवर्क की एन्ट्रापी". Physical Review E. 83 (3): 036109. arXiv:1011.1565. Bibcode:2011PhRvE..83c6109A. doi:10.1103/PhysRevE.83.036109. PMID 21517560. S2CID 1482301.
  10. ↑ De Domenico, Manlio; Solé-Ribalta, Albert; Cozzo, Emanuele; Kivelä, Mikko; Moreno, Yamir; Porter, Mason A.; Gómez, Sergio; Arenas, Alex (4 December 2013). "मल्टीलेयर नेटवर्क का गणितीय सूत्रीकरण". Physical Review X. 3 (4): 041022. arXiv:1307.4977. Bibcode:2013PhRvX...3d1022D. doi:10.1103/PhysRevX.3.041022. S2CID 16611157.
  11. ↑ De Domenico, Manlio; Nicosia, Vincenzo; Arenas, Alex; Latora, Vito (23 April 2015). "बहुपरत नेटवर्क की संरचनात्मक न्यूनता" (PDF). Nature Communications. 6: 6864. Bibcode:2015NatCo...6.6864D. doi:10.1038/ncomms7864. PMID 25904309. S2CID 16776349.
  12. ↑ De Domenico, Manlio; Biamonte, Jacob (21 December 2016). "जटिल नेटवर्क तुलना के लिए सूचना-सैद्धांतिक उपकरण के रूप में स्पेक्ट्रल एन्ट्रॉपीज़". Physical Review X. 6 (4): 041062. arXiv:1609.01214. Bibcode:2016PhRvX...6d1062D. doi:10.1103/PhysRevX.6.041062. S2CID 51786781.
  13. ↑ Ghavasieh, Arsham; Nicolini, Carlo; De Domenico, Manlio (10 November 2020). "जटिल सूचना गतिशीलता की सांख्यिकीय भौतिकी". Physical Review E. 102 (5): 052304. arXiv:2010.04014. Bibcode:2020PhRvE.102e2304G. doi:10.1103/PhysRevE.102.052304. PMID 33327131. S2CID 222208856.
  14. ↑ Ghavasieh, Arsham; Bontorin, Sebastiano; Artime, Oriol; Verstraete, Nina; De Domenico, Manlio (23 April 2021). "Multiscale statistical physics of the pan-viral interactome unravels the systemic nature of SARS-CoV-2 infections". Communications Physics. 4 (1): 83. Bibcode:2021CmPhy...4...83G. doi:10.1038/s42005-021-00582-8.
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