एफकेजी असमानता

गणित में, फोर्टुइन-कास्टेलिन-गिनिब्रे (एफकेजी) असमानता एक सहसंबंध असमानता है, जो सीस एम. फ़ोर्टुइन, पीटर डब्ल्यू. कस्टेलीन, and जीन गिनिब्रे (1971) के कारण सांख्यिकीय यांत्रिकी और संयोजक या संभाव्य संयोजक (विशेष रूप से यादृच्छिक आरेख और संभाव्य विधि) में मौलिक उपकरण है। सामान्यतः, यह कहता है कि विभिन्न यादृच्छिक प्रणालियों में, बढ़ती घटनाएँ धनात्मक रूप से सहसंबद्ध होती हैं, जबकि बढ़ती और घटती घटनाएँ ऋणात्मक रूप से सहसंबद्ध होती हैं। इसे यादृच्छिक क्लस्टर मॉडल का अध्ययन करके प्राप्त किया गया था।

आई.आई.डी. के विशेष स्थिति के लिए एक पूर्व संस्करण वैरिएबल को हैरिस असमानता कहा जाता है, जो Theodore Edward Harris (1960) के कारण है, नीचे देखें। एफकेजी असमानता का एक सामान्यीकरण नीचे होली असमानता (1974) है, और इससे भी आगे का सामान्यीकरण अहल्सवेडे-डेकिन "चार फलन प्रमेय (1978) है। इसके अतिरिक्त, इसका निष्कर्ष ग्रिफ़िथ असमानताओं के समान ही है, किन्तु परिकल्पनाएँ भिन्न हैं।

असमानता

मान लीजिए $X$ एक परिमित वितरणात्मक जालक है और μ उस पर एक गैर-ऋणात्मक फलन है जिसे (एफकेजी) जालक स्थिति को संतुष्ट करने के लिए माना जाता है (कभी-कभी इस स्थिति को संतुष्ट करने वाले फलन को लॉग सुपरमॉड्यूलर कहा जाता है) अर्थात

$\mu (x\wedge y)\mu (x\vee y)\geq \mu (x)\mu (y)$

जालक में सभी x y के लिए $X$

एफकेजी असमानता तब कहती है कि $X$ पर किन्हीं दो मोटोनोकली बढ़ते कार्यों ƒ और g के लिए निम्नलिखित धनात्मक सहसंबंध असमानता है:

$\left(\sum _{x\in X}f(x)g(x)\mu (x)\right)\left(\sum _{x\in X}\mu (x)\right)\geq \left(\sum _{x\in X}f(x)\mu (x)\right)\left(\sum _{x\in X}g(x)\mu (x)\right).$

वही असमानता (धनात्मक सहसंबंध) तब सत्य होती है जब ƒ और g दोनों कम हो रहे हों। यदि एक बढ़ रहा है और दूसरा कम हो रहा है तो वह ऋणात्मक रूप से सहसंबद्ध होते हैं और उपरोक्त असमानता विपरीत हो जाती है।

इसी तरह के कथन अधिक सामान्यतः तब प्रयुक्त होते हैं जब $X$ आवश्यक नहीं कि परिमित हो और यहां तक कि गणनीय भी नही होटी है। उस स्थिति में μ को एक सीमित माप होना चाहिए और जालक की स्थिति को सिलेंडर घटनाओं का उपयोग करके परिभाषित किया जाना चाहिए, उदाहरण के लिए ग्रिमेट (1999) की धारा 2.2 देखें।

प्रमाण के लिए, Fortuin, Kasteleyn & Ginibre (1971) या अहल्सवेडे-डेकिन असमानता (1978) देखें। इसके अतिरिक्त, मार्कोव श्रृंखला युग्मन (संभावना) तर्क का उपयोग करते हुए, Holley (1974) के कारण, नीचे अपरिष्कृत रेखाचित्र भी दिया गया है

शब्दावली में भिन्नता

μ के लिए जालक स्थिति को 'बहुभिन्नरूपी कुल धनात्मकता' और कभी-कभी 'सशक्त एफकेजी स्थिति' भी कहा जाता है; शब्द ('गुणक') 'एफकेजी स्थिति' का प्रयोग पुराने साहित्य में भी किया जाता है।

μ का वह गुण जिसके कारण बढ़ते कार्य धनात्मक रूप से सहसंबद्ध होते हैं, जिसको 'धनात्मक जुड़ाव' या 'अशक्त एफकेजी स्थिति' भी कहा जाता है।

इस प्रकार, एफकेजी प्रमेय को दोबारा दोहराया जा सकता है क्योंकि सशक्त एफकेजी स्थिति का तात्पर्य अशक्त एफकेजी स्थिति से है।

विशेष मामला: हैरिस असमानता

यदि जालक $X$ पूर्ण रूप से व्यवस्थित है, तो किसी भी माप μ के लिए जालक की स्थिति सामान्य रूप से संतुष्ट होती है। यदि माप μ एकसमान है, तो एफकेजी असमानता चेबीशेव की योग असमानता है: यदि दो बढ़ते कार्य मान लेते हैं

$a_{1}\leq a_{2}\leq \cdots \leq a_{n}$ और $b_{1}\leq b_{2}\leq \cdots \leq b_{n}$, तब

${\frac {a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}}{n}}\geq {\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}\;{\frac {b_{1}+\cdots +b_{n}}{n}}.$

अधिक सामान्यतः किसी भी संभाव्यता के लिए μ को $\mathbb {R}$ पर मापें और फलन और g को बढ़ाएं

$\int _{\mathbb {R} }f(x)g(x)\,d\mu (x)\geq \int _{\mathbb {R} }f(x)\,d\mu (x)\,\int _{\mathbb {R} }g(x)\,d\mu (x),$

जो तुरंत अनुसरण करता है

$\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }[f(x)-f(y)][g(x)-g(y)]\,d\mu (x)\,d\mu (y)\geq 0.$

जालक की स्थिति तब भी सामान्य रूप से संतुष्ट होती है जब जालक पूर्ण रूप से व्यवस्थित जालक $X=X_{1}\times \cdots \times X_{n}$, और $\mu =\mu _{1}\otimes \cdots \otimes \mu _{n}$ का प्रोडक्ट माप होती है । अधिकांशतः सभी कारक (जालक और माप दोनों) समान होते हैं अर्थात μ i.i.d यादृच्छिक वैरिएबल का संभाव्यता वितरण है।

प्रोडक्ट माप के स्थिति में एफकेजी असमानता को [[टेड हैरिस (गणितज्ञ)|टेड हैरिस (Harris 1960)]] के पश्चात् 'हैरिस असमानता' के रूप में भी जाना जाता है। , जिन्होंने विमान में अंतःस्त्राव सिद्धांत के अपने अध्ययन में इसे पाया और इसका उपयोग किया। हैरिस असमानता का एक प्रमाण जो $\mathbb {R}$ पर उपरोक्त डबल इंटीग्रल ट्रिक का उपयोग करता है, उदाहरण के लिए, ग्रिमेट (1999) की धारा 2.2 में पाया जा सकता है।

सरल उदाहरण

एक विशिष्ट उदाहरण निम्नलिखित है अनंत हनीकांब जालक के प्रत्येक षट्भुज को प्रायिकता $p$ के साथ काला और प्रायिकता $1-p$ के साथ व्हाइट रंग दें, एक दूसरे से स्वतंत्र। मान लीजिए कि a, b, c, d चार षट्भुज हैं, आवश्यक नहीं कि भिन्न-भिन्न हों। मान लीजिए कि $a\leftrightarrow b$ और $c\leftrightarrow d$ क्रमशः घटनाएँ हैं कि a से b तक एक काला पथ है, और c से d तक एक काला पथ है। फिर हैरिस असमानता कहती है कि यह घटनाएँ $\Pr(a\leftrightarrow b,\ c\leftrightarrow d)\geq \Pr(a\leftrightarrow b)\Pr(c\leftrightarrow d)$ धनात्मक रूप से सहसंबद्ध हैं दूसरे शब्दों में, एक पथ की उपस्थिति मानने से केवल दूसरे की संभावना बढ़ सकती है।

इसी प्रकार यदि हम $n\times n$ रोम्बस के आकार वाले हेक्स बोर्ड के अंदर हेक्सागोन्स को अनुचित विधि से रंगते हैं तो बोर्ड के बाईं ओर से दाईं ओर ब्लैक क्रॉसिंग होने की घटना सकारात्मक रूप से ऊपर की ओर से ब्लैक क्रॉसिंग होने के साथ सहसंबद्ध होती है। दूसरी ओर, बाएं से दाएं ब्लैक क्रॉसिंग होने का ऊपर से नीचे व्हाइट क्रॉसिंग होने के साथ ऋणात्मक संबंध है, क्योंकि पहला बढ़ती हुई घटना है (कालेपन की मात्रा में), जबकि दूसरा कम हो रहा है। वास्तव में, हेक्स बोर्ड के किसी भी रंग में इन दो घटनाओं में से पूर्णतः घटित होती है - यही कारण है कि हेक्स अच्छी तरह से परिभाषित खेल है।

एर्डोस-रेनी मॉडल या एर्डोस-रेनी यादृच्छिक आरेख में, हैमिल्टनियन साईकल का अस्तित्व आरेख के रंग या 3-रंग योग्यता के साथ ऋणात्मक रूप से सहसंबद्ध है, क्योंकि पहली बढ़ती हुई घटना है, जबकि पश्चात् वाली कम हो रही है।

सांख्यिकीय यांत्रिकी से उदाहरण

सांख्यिकीय यांत्रिकी में, जालक की स्थिति (और इसलिए एफकेजी असमानता) को संतुष्ट करने वाले उपायों का सामान्य स्रोत निम्नलिखित है:

अगर $S$ ऑर्डर किया गया सेट है (जैसे $\{-1,+1\}$), और $\Gamma$ परिमित या अनंत आरेख़ (भिन्न गणित) है, तो सेट $S^{\Gamma }$ का $S$-वैल्यूड कॉन्फ़िगरेशन पोसेट है जो वितरणात्मक जालक है।

अब अगर $\Phi$ सबमॉड्यूलर गिब्स माप है (अर्थात, कार्यों का परिवार)।

$\Phi _{\Lambda }:S^{\Lambda }\longrightarrow \mathbb {R} \cup \{\infty \},$

प्रत्येक परिमित के लिए $\Lambda \subset \Gamma$, ऐसा कि प्रत्येक $\Phi _{\Lambda }$ सबमॉड्यूलर है), तो कोई संबंधित गिब्स माप को इस प्रकार परिभाषित करता है

$H_{\Lambda }(\varphi ):=\sum _{\Delta \cap \Lambda \not =\emptyset }\Phi _{\Delta }(\varphi ).$

यदि μ कॉन्फ़िगरेशन के सेट पर इस हैमिल्टनियन के लिए गिब्स माप है $\varphi$, तो यह दिखाना आसान है कि μ जालक की स्थिति को संतुष्ट करता है, देखें Sheffield (2005).

आरेख़ पर आइसिंग मॉडल प्रमुख उदाहरण है $\Gamma$. होने देना $S=\{-1,+1\}$, जिसे स्पिन कहा जाता है, और $\beta \in [0,\infty ]$. निम्नलिखित क्षमता लें:

$\Phi _{\Lambda }(\varphi )={\begin{cases}\beta 1_{\{\varphi (x)\not =\varphi (y)\}}&{\text{if }}\Lambda =\{x,y\}{\text{ is a pair of adjacent vertices of }}\Gamma ;\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$

सबमॉड्यूलैरिटी की जांच करना आसान है; सहज रूप से, न्यूनतम या अधिकतम दो कॉन्फ़िगरेशन लेने से असहमत स्पिनों की संख्या कम हो जाती है। फिर, आरेख़ पर निर्भर करता है $\Gamma$ और का मूल्य $\beta$, या अधिक चरम गिब्स उपाय हो सकते हैं, देखें, उदाहरणार्थ, Georgii, Häggström & Maes (2001) और Lyons (2000).

सामान्यीकरण: होली असमानता

होली असमानता, के कारण Richard Holley (1974), बताता है कि अपेक्षित मूल्य

$\langle f\rangle _{i}={\frac {\sum _{x\in X}f(x)\mu _{i}(x)}{\sum _{x\in X}\mu _{i}(x)}}$

परिमित वितरण जालक पर मोटोनोकली बढ़ते फलन का $X$ दो धनात्मक कार्यों के संबंध में μ₁, एम₂ जालक पर शर्त को पूरा करें

$\langle f\rangle _{1}\geq \langle f\rangle _{2},$

बशर्ते कार्य हॉली शर्त (मानदंड) को पूरा करते हों

$\mu _{2}(x\wedge y)\mu _{1}(x\vee y)\geq \mu _{1}(x)\mu _{2}(y)$

जालक में सभी x, y के लिए।

1. असमानता को पुनर्प्राप्त करने के लिए: यदि μ जालक की स्थिति को संतुष्ट करता है और ƒ और g पर कार्य बढ़ रहे हैं $X$, फिर μ₁(x)=g(x)μ(x) और μ₂(x)= μ(x) होली असमानता की जालक -प्रकार की स्थिति को संतुष्ट करेगा। फिर होली असमानता यह बताती है

${\frac {\langle fg\rangle _{\mu }}{\langle g\rangle _{\mu }}}=\langle f\rangle _{1}\geq \langle f\rangle _{2}=\langle f\rangle _{\mu },$

जो कि सिर्फ एफकेजी असमानता है।

जहां तक ​​एफकेजी का सवाल है, होली असमानता अहल्सवेड-डेकिन असमानता से आती है।

जालक की स्थिति को अशक्त करना: एकरसता

के सामान्य स्थिति पर विचार करें $X$ प्रोडक्ट होना $\mathbb {R} ^{V}$ कुछ सीमित सेट के लिए $V$. μ पर जालक की स्थिति को आसानी से निम्नलिखित 'एकरसता' के रूप में देखा जा सकता है, जिसका गुण यह है कि इसे जालक की स्थिति की तुलना में जांचना अधिकांशतः आसान होता है:

जब भी कोई शीर्ष तय करता है $v\in V$ और दो विन्यास φ और ψ बाहर v ऐसे कि $\varphi (w)\geq \psi (w)$ सभी के लिए $w\not =v$, φ(v) का μ-सशर्त वितरण दिया गया है $\{\varphi (w):w\not =v\}$ दिए गए ψ(v) के μ-सशर्त वितरण को स्टोकेस्टिक क्रम में रखते हुए $\{\psi (w):w\not =v\}$.

अब, यदि μ इस एकरसता गुण को संतुष्ट करता है, तो यह एफकेजी असमानता (धनात्मक संघ) को बनाए रखने के लिए पहले से ही पर्याप्त है।

यहाँ प्रमाण का मोटा खाका दिया गया है Holley (1974): किसी भी प्रारंभिक कॉन्फ़िगरेशन से शुरू करना पर $V$, कोई साधारण मार्कोव श्रृंखला (महानगर एल्गोरिथ्म) चला सकता है जो प्रत्येक चरण में कॉन्फ़िगरेशन को अद्यतन करने के लिए स्वतंत्र यूनिफ़ॉर्म [0,1] यादृच्छिक वैरिएबल का उपयोग करता है, जैसे कि श्रृंखला में अद्वितीय स्थिर माप होता है, दिया गया μ। μ की एकरसता का तात्पर्य है कि प्रत्येक चरण पर कॉन्फ़िगरेशन स्वतंत्र वैरिएबल का मोनोटोन फलन है, इसलिए # विशेष मामला: हैरिस असमानता का तात्पर्य है कि इसमें धनात्मक जुड़ाव है। इसलिए, सीमित स्थिर माप μ में भी यह गुण है।

एकरसता गुण का दो मापों के लिए प्राकृतिक संस्करण है, जो कहता है कि μ₁ सशर्त रूप से बिंदुवार μ पर हावी है₂. यह देखना फिर आसान है कि यदि μ₁ और μ₂ #A सामान्यीकरण की जालक -प्रकार की स्थिति को संतुष्ट करें: होली असमानता, फिर μ₁ सशर्त रूप से बिंदुवार μ पर हावी है₂. दूसरी ओर, मार्कोव श्रृंखला युग्मन (संभावना) तर्क उपरोक्त के समान है, किन्तु अब हैरिस असमानता का आह्वान किए बिना, यह दर्शाता है कि सशर्त बिंदुवार वर्चस्व, वास्तव में, स्टोकेस्टिक ऑर्डरिंग का तात्पर्य है। स्टोकेस्टिक वर्चस्व ऐसा कहने के बराबर है $\langle f\rangle _{1}\geq \langle f\rangle _{2}$ सभी के लिए बढ़ते हुए, इस प्रकार हमें होली असमानता का प्रमाण मिलता है। (और इस प्रकार हैरिस असमानता का उपयोग किए बिना, एफकेजी असमानता का प्रमाण भी है।)

देखना Holley (1974) और Georgii, Häggström & Maes (2001) जानकारी के लिए।

यह भी देखें

• अहलस्वेड-डेकिन असमानता
• XYZ असमानता
• बीके असमानता

संदर्भ

• Eaton, Morris L. (1987), "The FKG inequality and association", Lectures on Topics in Probability Inequalities, Amsterdam, pp. 111–151, ISBN 90-6196-316-8{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Fishburn, P.C. (2001) [1994], "FKG inequality", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Fortuin, C. M.; Kasteleyn, P. W.; Ginibre, J. (1971), "Correlation inequalities on some partially ordered sets", Communications in Mathematical Physics, 22 (2): 89–103, Bibcode:1971CMaPh..22...89F, doi:10.1007/BF01651330, MR 0309498, S2CID 1011815
• Friedli, S.; Velenik, Y. (2017). Statistical Mechanics of Lattice Systems: a Concrete Mathematical Introduction. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9781107184824.
• Georgii, H-O.; Häggström, O.; Maes, C. (2001), "The random geometry of equilibrium phases", Phase Transitions and Critical Phenomena, vol. 18, Academic Press, San Diego, CA, pp. 1–142, arXiv:math/9905031, doi:10.1016/S1062-7901(01)80008-2, ISBN 9780122203183, MR 2014387, S2CID 119137791
• Grimmett, G. R. (1999), Percolation. Second edition, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 321, Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-662-03981-6, ISBN 3-540-64902-6, MR 1707339
• Harris, T. E. (1960), "A lower bound for the critical probability in a certain percolation process", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 56 (1): 13–20, Bibcode:1960PCPS...56...13H, doi:10.1017/S0305004100034241, MR 0115221, S2CID 122724783
• Holley, R. (1974), "Remarks on the FKG inequalities", Communications in Mathematical Physics, 36 (3): 227–231, Bibcode:1974CMaPh..36..227H, doi:10.1007/BF01645980, MR 0341552, S2CID 73649690
• Lyons, R. (2000), "Phase transitions on nonamenable graphs", J. Math. Phys., 41 (3): 1099–1126, arXiv:math/9908177, Bibcode:2000JMP....41.1099L, doi:10.1063/1.533179, MR 1757952, S2CID 10350129
• Sheffield, S. (2005), "Random surfaces", Astérisque, 304, arXiv:math/0304049, Bibcode:2003math......4049S, MR 2251117