ग्रीन-कुबो संबंध: Difference between revisions

Latest revision as of 14:01, 14 December 2023

ग्रीन-कुबो संबंध (मेलविले एस. ग्रीन 1954, रोगो कुबो 1957) संबंधित सूक्ष्म वैरिएबल A के समय व्युत्पन्न के संतुलन समय सहसंबंध फलन के सूक्ष्म के संदर्भ में ट्रांसपोर्ट गुणांक $\gamma$ के लिए स्पष्ट गणितीय अभिव्यक्ति देते हैं इसे "ग्रॉस वैरिएबल" कहा गया है, जैसा कि ^[1] में है):

\gamma =\int _{0}^{\infty }\left\langle {\dot {A}}(t){\dot {A}}(0)\right\rangle \;{\mathrm {d} }t.

तापीय और यांत्रिक ट्रांसपोर्ट प्रक्रियाएं

किसी क्षेत्र के अनुप्रयोग (जैसे विद्युत या चुंबकीय क्षेत्र) के कारण या प्रणाली की सीमाएं सापेक्ष गति में होती हैं या विभिन्न तापमानों पर बनी रहती हैं आदि के कारण ऊष्मागतिकीय प्रणालियों को संतुलन में स्थिर रूप से रोका जा सकता है, इससे गैर-संतुलन प्रणाली के दो वर्ग गैर-संतुलन प्रणाली और तापीय संतुलन प्रणाली उत्पन्न होते हैं ।

इस प्रकार विद्युत ट्रांसपोर्ट प्रक्रिया का मानक उदाहरण ओम का नियम है जो बताता है कि कम से कम पर्याप्त रूप से छोटे प्रयुक्त वोल्टेज के लिए वर्तमान I प्रयुक्त वोल्टेज V के रैखिक आनुपातिक है

I=\sigma V.\,

जैसा कि प्रयुक्त वोल्टेज बढ़ता है, रैखिक व्यवहार से विचलन देखने की अपेक्षा करता है। आनुपातिकता का गुणांक विद्युत चालन है जो विद्युत प्रतिरोध का व्युत्क्रम है।

यांत्रिक परिवहन प्रक्रिया का मानक उदाहरण न्यूटन का श्यानता का नियम है, जो बताता है कि अपरूपण दाब $S_{xy}$ दाब दर के रैखिक रूप से आनुपातिक है। दाब दर $\gamma$ न्यूटन के श्यानता के नियम के अनुसार y-निर्देशांक के संबंध में x-दिशा में परिवर्तन स्ट्रीमिंग वेग की दर $\gamma \mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \partial u_{x}/\partial y$ है।

S_{xy}=\eta \gamma .\,

जैसे-जैसे दाब की दर बढ़ती है, हम रैखिक व्यवहार से विचलन देखने की उम्मीद करते हैं

S_{xy}=\eta (\gamma )\gamma .\,

इस प्रकार अन्य प्रसिद्ध तापीय ट्रांसपोर्ट प्रक्रिया फूरियर का ऊष्मा चालन का नियम है, जिसमें कहा गया है कि भिन्न-भिन्न तापमान पर बनाए गए दो पिंडों के मध्य ऊष्मा का प्रवाह तापमान प्रवणता (स्थानिक पृथक्करण द्वारा विभाजित तापमान अंतर) के समानुपाती होता है।

रैखिक रचनात्मक संबंध

तथापि ट्रांसपोर्ट प्रक्रियाओं को ऊष्मीय या यांत्रिक रूप से उत्तेजित किया जाता है, छोटे क्षेत्र की सीमा में यह उम्मीद की जाती है कि प्रवाह प्रयुक्त क्षेत्र के लिए रैखिक रूप से आनुपातिक होगा। रैखिक स्थिति में प्रवाह और बल को दूसरे के संयुग्मित कहा जाता है। ऊष्मागतिकीय बल F और उसके संयुग्मी ऊष्मागतिकीय फ्लक्स J के मध्य के संबंध को रैखिक संघटक संबंध कहा जाता है,

J=L(F_{e}=0)F_{e}.\,

इस प्रकार L(0) को रैखिक ट्रांसपोर्ट गुणांक कहा जाता है। इस प्रकार फलन करने वाले विभिन्न बल और फ्लक्स के स्थिति में, फ्लक्स और बल रैखिक ट्रांसपोर्ट गुणांक आव्यूह से संबंधित होंगे। विशेष स्थितियों में, यह आव्यूह सममित आव्यूह है जैसा कि ऑनसेजर पारस्परिक संबंधों में व्यक्त किया गया है।

इस प्रकार 1950 के दशक में ग्रीन और कुबो ने रैखिक ट्रांसपोर्ट गुणांकों के लिए स्पष्ट अभिव्यक्ति प्रमाणित किया जो इच्छानुसार तापमान T और घनत्व की प्रणालियों के लिए मान्य है। उन्होंने प्रमाणित किया कि रैखिक ट्रांसपोर्ट गुणांक संयुग्म प्रवाह में संतुलन के अस्थिरता की समय निर्भरता से पूर्ण रूप से संबंधित हैं,

L(F_{e}=0)=\beta V\;\int _{0}^{\infty }{\mathrm {d} }s\,\left\langle J(0)J(s)\right\rangle _{F_{e}=0},\,

जहाँ $\beta ={\frac {1}{kT}}$ (k बोल्ट्जमान स्थिरांक के साथ), और V प्रणाली आयतन है। अविभाज्य संतुलन फ्लक्स स्वसहप्रसरण फलन के ऊपर है। शून्य समय पर स्वतः सहप्रसरण धनात्मक होता है क्योंकि यह संतुलन पर फ्लक्स का माध्य वर्ग मान होता है। ध्यान दें कि परिभाषा के अनुसार संतुलन पर फ्लक्स का माध्य मान शून्य होता है। लंबे समय में समय T, J (T) पर प्रवाह, लंबे समय पूर्व J (0) के मूल्य से असंबद्ध है और स्वत: सहसंबंध फलन शून्य हो जाता है। रैखिक ट्रांसपोर्ट गुणांक की गणना करने के लिए आणविक गतिशीलता कंप्यूटर सिमुलेशन में इस उल्लेखनीय संबंध का अधिकांशतः उपयोग किया जाता है; इवांस एंड मॉरिस देखें, स्टैटिस्टिकल मेकेनिक्स ऑफ नोनक्विलिब्रियम लिक्विड्स, अकादमिक प्रेस 1990 है।

अरेखीय प्रतिक्रिया और क्षणिक समय सहसंबंध फलन

इस प्रकार 1985 में डेनिस इवांस और मॉरिस ने गैर-रैखिक ट्रांसपोर्ट गुणांकों के लिए दो स्पष्ट अस्थिरता अभिव्यक्तियाँ प्राप्त कीं - देखें इवांस और मोरिस इन मॉल भौतिकी, 54, 629(1985) इवांस ने पश्चात् में तर्क दिया कि यह न्यूनतम मुक्त ऊर्जा के रूप में प्रतिक्रिया सिद्धांत में ऊष्मागतिकीय मुक्त ऊर्जा के परिणाम हैं।^[2]

इवांस और मॉरिस ने प्रमाणित किया कि थर्मोस्टैटेड प्रणाली में जो T = 0 पर संतुलन पर है, गैर-रैखिक ट्रांसपोर्ट गुणांक की गणना तथाकथित क्षणिक समय सहसंबंध फलन अभिव्यक्ति से की जा सकती है:

L(F_{e})=\beta V\;\int _{0}^{\infty }{\mathrm {d} }s\,\left\langle J(0)J(s)\right\rangle _{F_{e}},

जहां संतुलन $F_{e}=0$ फ्लक्स स्वत:सहसंबंध फलन को थर्मोस्टैटेड क्षेत्र पर निर्भर क्षणिक स्वत:सहसंबंध फलन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। समय पर शून्य $\left\langle J(0)\right\rangle _{F_{e}}=0$ किन्तु पश्चात् के समय में क्षेत्र $\left\langle J(t)\right\rangle _{F_{e}}\neq 0$ प्रयुक्त किया जाता है

इस प्रकार इवांस और मॉरिस द्वारा प्राप्त अन्य स्पष्ट अस्थिरता की अभिव्यक्ति गैर-रैखिक प्रतिक्रिया के लिए तथाकथित कावासाकी अभिव्यक्ति है:

\left\langle J(t;F_{e})\right\rangle =\left\langle J(0)\exp \left[-\beta V\int _{0}^{t}J(-s)F_{e}\,{\mathrm {d} }s\right]\right\rangle _{F_{e}}.\,

इस प्रकार कावासाकी अभिव्यक्ति के दाहिने हाथ की ओर का समेकन औसत थर्मोस्टेट और बाहरी क्षेत्र दोनों के आवेदन के अनुसार मूल्यांकन किया जाना है। पहली द्रष्टि में क्षणिक समय सहसंबंध फलन (टीटीसीएफ) और कावासाकी अभिव्यक्ति सीमित उपयोग की प्रतीत हो सकती है-क्योंकि उनकी स्पष्ट सम्मिश्रता है। चूंकि, ट्रांसपोर्ट गुणांक की गणना के लिए टीटीसीएफ कंप्यूटर सिमुलेशन में अधिक उपयोगी है। दोनों अभिव्यक्तियों का उपयोग नए और उपयोगी अस्थिरता को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है एक्सप्रेशंस विशिष्ट ऊष्मा जैसी मात्राएँ, किसी संतुलन के स्थिर स्थिति में है। इस प्रकार उन्हें गैर-संतुलन स्थिर स्थितियों के लिए प्रकार के विभाजन फलन (सांख्यिकीय यांत्रिकी) के रूप में उपयोग किया जा सकता है।

अस्थिरता प्रमेय और केंद्रीय सीमा प्रमेय से व्युत्पत्ति

इस प्रकार थर्मोस्टैटेड स्थिर स्थिति के लिए, अपव्यय फलन के समय के अभिन्न समीकरण द्वारा अपव्यय प्रवाह, J से संबंधित होते हैं

{\bar {\Omega }}_{t}=-\beta {\overline {J}}_{t}VF_{e}.\,

हम ध्यान दें कि लंबे समय तक अपव्यय फलन का औसत ऊष्मागतिकीय बल और औसत संयुग्म ऊष्मागतिकीय प्रवाह का प्रोडक्ट है। इसलिए यह प्रणाली में स्पष्ट एन्ट्रापी उत्पादन के समान है। स्पष्ट एन्ट्रापी उत्पादन रैखिक अपरिवर्तनीय ऊष्मप्रवैगिकी में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है - डी ग्रोट और मजूर गैर-संतुलन ऊष्मप्रवैगिकी डोवर देखें।

अस्थिरता प्रमेय (एफटी) इच्छानुसार औसत समय, T के लिए मान्य है। माना एफटी को लंबी समय सीमा में प्रयुक्त करते हैं जबकि साथ क्षेत्र को कम करते हैं जिससे प्रोडक्ट $F_{e}^{2}t$ स्थिर रखा जाता है,

\lim _{t\to \infty ,\,F_{e}\to 0}{\frac {1}{t}}\ln \left({\frac {p\left(\beta {\overline {J}}_{t}=A\right)}{p\left(\beta {\overline {J}}_{t}=-A\right)}}\right)=-\lim _{t\to \infty ,\,F_{e}\to 0}AVF_{e},\quad F_{e}^{2}t=c.

विशेष विधि से हम दोहरी सीमा लेते हैं, फ्लक्स के माध्य मान का ऋणात्मक मानक विचलन की निश्चित संख्या से दूर रहता है क्योंकि औसत समय बढ़ता है (वितरण को कम करना) और क्षेत्र घटता है। इसका कारण यह है कि औसत समय के रूप में औसत प्रवाह और उसके ऋणात्मक के निकट वितरण को केंद्रीय सीमा प्रमेय द्वारा स्पष्ट रूप से वर्णित किया जाता है। इसका कारण यह है कि वितरण माध्य के पास गॉसियन है और इसका ऋणात्मक है

\lim _{t\to \infty ,\,F_{e}\to 0}{\frac {1}{t}}\ln \left({\frac {p\left({\overline {J}}_{t}\right)=A}{p\left({\overline {J}}_{t}\right)=-A}}\right)=\lim _{t\to \infty ,\,F_{e}\to 0}{\frac {2A\left\langle J\right\rangle _{F_{e}}}{t\sigma _{{\overline {J}}(t)}^{2}}}.

इन दो संबंधों के संयोजन से (कुछ कठिन बीजगणित के पश्चात्) रैखिक शून्य क्षेत्र ट्रांसपोर्ट गुणांक के लिए स्पष्ट ग्रीन-कुबो संबंध प्राप्त होता है, अर्थात्,

L(0)=\beta V\;\int _{0}^{\infty }{\mathrm {d} }t\,\left\langle J(0)J(t)\right\rangle _{F_{e}=0}.

यहां एफटी से ग्रीन-कुबो संबंधों के प्रमाण का विवरण दिया गया है।^[3] ज़्वानज़िग द्वारा केवल प्रारंभिक क्वांटम यांत्रिकी का उपयोग करके प्रमाण दिया गया था।^[4]

सारांश

यह गैर-संतुलन सांख्यिकीय यांत्रिकी में अस्थिरता प्रमेय (एफटी) के मूलभूत महत्व को दर्शाता है। एफटी ऊष्मप्रवैगिकी के दूसरे नियम का सामान्यीकरण देता है। दूसरे नियम की असमानता और कावासाकी पहचान को प्रमाणित करना सरल है। जब केंद्रीय सीमा प्रमेय के साथ जोड़ा जाता है, तो एफटी भी संतुलन के निकट रैखिक ट्रांसपोर्ट गुणांक के लिए ग्रीन-कुबो संबंधों का तात्पर्य करता है। एफटी, चूंकि, ग्रीन-कुबो संबंधों की तुलना में अधिक सामान्य है, क्योंकि उनके विपरीत, एफटी संतुलन से दूर अस्थिरता पर प्रयुक्त होता है। इस तथ्य के अतिरिक्त, कोई भी अभी तक एफटी से अरैखिक प्रतिक्रिया सिद्धांत के लिए समीकरण प्राप्त करने में सक्षम नहीं हुआ है।

इस प्रकार एफटी का अर्थ यह नहीं है या इसकी आवश्यकता नहीं है कि समय-औसत अपव्यय का वितरण गॉसियन है। ऐसे विभिन्न उदाहरण ज्ञात हैं जब वितरण गैर-गाऊसी है और फिर भी एफटी अभी भी संभाव्यता अनुपात का सही वर्णन करता है।

यह भी देखें

घनत्व आव्यूह
अस्थिरता प्रमेय
अस्थिरता-अपव्यय प्रमेय
ग्रीन का फलन (बहु-पिंड सिद्धांत)
लिंडब्लाड समीकरण
रैखिक प्रतिक्रिया फलन

संदर्भ

↑ 1
↑ Evans, Denis J. (1985-11-01). "एक मुक्त-ऊर्जा चरम सीमा के रूप में प्रतिक्रिया सिद्धांत". Physical Review A. 32 (5): 2923–2925. Bibcode:1985PhRvA..32.2923E. doi:10.1103/physreva.32.2923. ISSN 0556-2791. PMID 9896433.
↑ Evans, Denis J.; Searles, Debra J.; Rondoni, Lamberto (2005). "गैलावोटी-कोहेन के उतार-चढ़ाव के संबंध में संतुलन के पास थर्मोस्टेट स्थिर अवस्थाओं का अनुप्रयोग". Physical Review E. 71 (5): 056120. arXiv:cond-mat/0312353. Bibcode:2005PhRvE..71e6120E. doi:10.1103/PhysRevE.71.056120. PMID 16089615. S2CID 4617097.
↑ Zwanzig, R. (1965). "सांख्यिकीय यांत्रिकी में समय-सहसंबंध कार्य और परिवहन गुणांक". Annual Review of Physical Chemistry. 16: 67–102. Bibcode:1965ARPC...16...67Z. doi:10.1146/annurev.pc.16.100165.000435.

Green, Melville S. (1954). "Markoff Random Processes and the Statistical Mechanics of Time‐Dependent Phenomena. II. Irreversible Processes in Fluids". The Journal of Chemical Physics. 22 (3): 398–413. Bibcode:1954JChPh..22..398G. doi:10.1063/1.1740082. ISSN 0021-9606.
Kubo, Ryogo (1957-06-15). "Statistical-Mechanical Theory of Irreversible Processes. I. General Theory and Simple Applications to Magnetic and Conduction Problems". Journal of the Physical Society of Japan. 12 (6): 570–586. Bibcode:1957JPSJ...12..570K. doi:10.1143/jpsj.12.570. ISSN 0031-9015.

[1] 1

[2] Evans, Denis J. (1985-11-01). "एक मुक्त-ऊर्जा चरम सीमा के रूप में प्रतिक्रिया सिद्धांत". Physical Review A. 32 (5): 2923–2925. Bibcode:1985PhRvA..32.2923E. doi:10.1103/physreva.32.2923. ISSN 0556-2791. PMID 9896433.

[3] Evans, Denis J.; Searles, Debra J.; Rondoni, Lamberto (2005). "गैलावोटी-कोहेन के उतार-चढ़ाव के संबंध में संतुलन के पास थर्मोस्टेट स्थिर अवस्थाओं का अनुप्रयोग". Physical Review E. 71 (5): 056120. arXiv:cond-mat/0312353. Bibcode:2005PhRvE..71e6120E. doi:10.1103/PhysRevE.71.056120. PMID 16089615. S2CID 4617097.

[4] Zwanzig, R. (1965). "सांख्यिकीय यांत्रिकी में समय-सहसंबंध कार्य और परिवहन गुणांक". Annual Review of Physical Chemistry. 16: 67–102. Bibcode:1965ARPC...16...67Z. doi:10.1146/annurev.pc.16.100165.000435.

[1]

[2]

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 {{Short description|Equation relating transport coefficients to correlation functions}}
-ग्रीन-कुबो संबंध (मेलविले एस. ग्रीन 1954, [[ रोगो कुबो |रोगो कुबो]] 1957) [[परिवहन गुणांक]]ों के लिए सटीक गणितीय अभिव्यक्ति देते हैं <math>\gamma</math> [[सहसंबंध समारोह]] के अभिन्न अंग के संदर्भ में:
+'''ग्रीन-कुबो संबंध''' (मेलविले एस. ग्रीन 1954, [[ रोगो कुबो |रोगो कुबो]] 1957) संबंधित सूक्ष्म वैरिएबल A के समय व्युत्पन्न के संतुलन समय सहसंबंध फलन के सूक्ष्म के संदर्भ में ट्रांसपोर्ट गुणांक <math>\gamma</math> के लिए स्पष्ट गणितीय अभिव्यक्ति देते हैं इसे "ग्रॉस वैरिएबल" कहा गया है, जैसा कि <ref>1</ref> में है):
 :<math>\gamma = \int_0^\infty \left\langle \dot{A}(t) \dot{A}(0) \right\rangle \;{\mathrm d}t.</math>
-==तापीय और यांत्रिक परिवहन प्रक्रियाएं==
+==तापीय और यांत्रिक ट्रांसपोर्ट प्रक्रियाएं==
-किसी क्षेत्र (जैसे विद्युत या चुंबकीय क्षेत्र) के अनुप्रयोग के कारण, या क्योंकि सिस्टम की सीमाएं सापेक्ष गति (कतरनी) में हैं या विभिन्न तापमानों पर बनी हुई हैं, आदि के कारण थर्मोडायनामिक प्रणालियों को आराम से संतुलन में आने से रोका जा सकता है। यह दो वर्गों को उत्पन्न करता है गैर-संतुलन प्रणाली की: यांत्रिक गैर-संतुलन प्रणाली और थर्मल गैर-संतुलन प्रणाली।
+किसी क्षेत्र के अनुप्रयोग (जैसे विद्युत या चुंबकीय क्षेत्र) के कारण या प्रणाली की सीमाएं सापेक्ष गति में होती हैं या विभिन्न तापमानों पर बनी रहती हैं आदि के कारण ऊष्मागतिकीय प्रणालियों को संतुलन में स्थिर रूप से रोका जा सकता है, इससे गैर-संतुलन प्रणाली के दो वर्ग गैर-संतुलन प्रणाली और तापीय संतुलन प्रणाली उत्पन्न होते हैं ।
-विद्युत परिवहन प्रक्रिया का मानक उदाहरण ओम का नियम है, जो बताता है कि, कम से कम पर्याप्त रूप से छोटे लागू वोल्टेज के लिए, वर्तमान I लागू वोल्टेज V के रैखिक रूप से आनुपातिक है,
+''इस प्रकार'' विद्युत ट्रांसपोर्ट प्रक्रिया का मानक उदाहरण ओम का नियम है जो बताता है कि कम से कम पर्याप्त रूप से छोटे प्रयुक्त वोल्टेज के लिए वर्तमान I प्रयुक्त वोल्टेज V के रैखिक आनुपातिक है
 :<math> I = \sigma V.\, </math>
-जैसा कि लागू वोल्टेज बढ़ता है, रैखिक व्यवहार से विचलन देखने की अपेक्षा करता है। आनुपातिकता का गुणांक विद्युत चालन है जो विद्युत प्रतिरोध का व्युत्क्रम है।
+जैसा कि प्रयुक्त वोल्टेज बढ़ता है, रैखिक व्यवहार से विचलन देखने की अपेक्षा करता है। आनुपातिकता का गुणांक विद्युत चालन है जो विद्युत प्रतिरोध का व्युत्क्रम है।
-यांत्रिक परिवहन प्रक्रिया का मानक उदाहरण न्यूटन का [[श्यानता]] का नियम है, जो बताता है कि अपरूपण प्रतिबल <math> S_{xy} </math> तनाव दर के रैखिक रूप से आनुपातिक है। तनाव दर <math> \gamma </math> वाई-निर्देशांक के संबंध में एक्स-दिशा में परिवर्तन स्ट्रीमिंग वेग की दर है, <math> \gamma \mathrel\stackrel{\mathrm{def}}{=} \partial u_x /\partial y </math>. न्यूटन का श्यानता का नियम बताता है
+यांत्रिक परिवहन प्रक्रिया का मानक उदाहरण न्यूटन का श्यानता का नियम है, जो बताता है कि अपरूपण दाब <math> S_{xy} </math> दाब दर के रैखिक रूप से आनुपातिक है। दाब दर <math> \gamma </math> न्यूटन के श्यानता के नियम के अनुसार y-निर्देशांक के संबंध में x-दिशा में परिवर्तन स्ट्रीमिंग वेग की दर <math> \gamma \mathrel\stackrel{\mathrm{def}}{=} \partial u_x /\partial y </math> है।
 :<math> S_{xy}  = \eta \gamma.\, </math>
-जैसे-जैसे तनाव की दर बढ़ती है, हम रैखिक व्यवहार से विचलन देखने की उम्मीद करते हैं
+जैसे-जैसे दाब की दर बढ़ती है, हम रैखिक व्यवहार से विचलन देखने की उम्मीद करते हैं
 :<math> S_{xy}  = \eta (\gamma )\gamma.\, </math>
-अन्य प्रसिद्ध तापीय परिवहन प्रक्रिया फूरियर का ऊष्मा चालन का नियम है, जिसमें कहा गया है कि अलग-अलग तापमान पर बनाए गए दो पिंडों के बीच ऊष्मा का प्रवाह तापमान प्रवणता (स्थानिक पृथक्करण द्वारा विभाजित तापमान अंतर) के समानुपाती होता है।
+''इस प्रकार'' अन्य प्रसिद्ध तापीय ट्रांसपोर्ट प्रक्रिया फूरियर का ऊष्मा चालन का नियम है, जिसमें कहा गया है कि भिन्न-भिन्न तापमान पर बनाए गए दो पिंडों के मध्य ऊष्मा का प्रवाह तापमान प्रवणता (स्थानिक पृथक्करण द्वारा विभाजित तापमान अंतर) के समानुपाती होता है।
-== रैखिक संवैधानिक संबंध ==
+== रैखिक रचनात्मक संबंध ==
-भले ही परिवहन प्रक्रियाओं को ऊष्मीय या यांत्रिक रूप से उत्तेजित किया जाता है, छोटे क्षेत्र की सीमा में यह उम्मीद की जाती है कि प्रवाह लागू क्षेत्र के लिए रैखिक रूप से आनुपातिक होगा। रैखिक मामले में प्रवाह और बल को दूसरे के संयुग्मित कहा जाता है। थर्मोडायनामिक बल F और उसके संयुग्मी थर्मोडायनामिक फ्लक्स J के बीच के संबंध को रैखिक संघटक संबंध कहा जाता है,
+तथापि ट्रांसपोर्ट प्रक्रियाओं को ऊष्मीय या यांत्रिक रूप से उत्तेजित किया जाता है, छोटे क्षेत्र की सीमा में यह उम्मीद की जाती है कि प्रवाह प्रयुक्त क्षेत्र के लिए रैखिक रूप से आनुपातिक होगा। रैखिक स्थिति में प्रवाह और बल को दूसरे के संयुग्मित कहा जाता है। ऊष्मागतिकीय बल F और उसके संयुग्मी ऊष्मागतिकीय फ्लक्स J के मध्य के संबंध को रैखिक संघटक संबंध कहा जाता है,
 :<math>J = L(F_e = 0)F_e. \,</math>
-एल (0) को रैखिक परिवहन गुणांक कहा जाता है। साथ काम करने वाले कई बल और फ्लक्स के मामले में, फ्लक्स और बल रैखिक परिवहन गुणांक मैट्रिक्स से संबंधित होंगे। विशेष मामलों को छोड़कर, यह मैट्रिक्स [[सममित मैट्रिक्स]] है जैसा कि ऑनसेजर पारस्परिक संबंधों में व्यक्त किया गया है।
+''इस प्रकार L''(0) को रैखिक ट्रांसपोर्ट गुणांक कहा जाता है। इस प्रकार फलन करने वाले विभिन्न बल और फ्लक्स के स्थिति में, फ्लक्स और बल रैखिक ट्रांसपोर्ट गुणांक आव्यूह से संबंधित होंगे। विशेष स्थितियों में, यह आव्यूह [[सममित मैट्रिक्स|सममित आव्यूह]] है जैसा कि ऑनसेजर पारस्परिक संबंधों में व्यक्त किया गया है।
-{{Main|Kubo formula}}
+{{Main|कुबो सूत्र}}
-के दशक में ग्रीन और कुबो ने रैखिक परिवहन गुणांकों के लिए सटीक अभिव्यक्ति साबित की जो मनमाना तापमान टी और घनत्व की प्रणालियों के लिए मान्य है। उन्होंने साबित किया कि रैखिक परिवहन गुणांक संयुग्म प्रवाह में संतुलन के उतार-चढ़ाव की समय निर्भरता से बिल्कुल संबंधित हैं,
+''इस प्रकार'' 1950 के दशक में ग्रीन और कुबो ने रैखिक ट्रांसपोर्ट गुणांकों के लिए स्पष्ट अभिव्यक्ति प्रमाणित किया जो इच्छानुसार तापमान T और घनत्व की प्रणालियों के लिए मान्य है। उन्होंने प्रमाणित किया कि रैखिक ट्रांसपोर्ट गुणांक संयुग्म प्रवाह में संतुलन के अस्थिरता की समय निर्भरता से पूर्ण रूप से संबंधित हैं,
 :<math>
 L(F_e = 0) = \beta V\;\int_0^\infty  {\mathrm d}s \, \left\langle J(0)J(s) \right\rangle _{F_e  = 0},
 \, </math>
-कहाँ <math>\beta = \frac{1}{kT}</math> (k बोल्ट्जमान स्थिरांक के साथ), और V सिस्टम वॉल्यूम है। इंटीग्रल इक्विलिब्रियम फ्लक्स [[स्वसहप्रसरण]] फंक्शन के ऊपर है। शून्य समय पर स्वतः सहप्रसरण धनात्मक होता है क्योंकि यह संतुलन पर फ्लक्स का माध्य वर्ग मान होता है। ध्यान दें कि परिभाषा के अनुसार संतुलन पर फ्लक्स का माध्य मान शून्य होता है। लंबे समय में समय टी, जे (टी) पर प्रवाह, लंबे समय पहले जे (0) के मूल्य से असंबद्ध है और स्वत: सहसंबंध समारोह शून्य हो जाता है। रैखिक परिवहन गुणांक की गणना करने के लिए आणविक गतिशीलता कंप्यूटर सिमुलेशन में इस उल्लेखनीय संबंध का अक्सर उपयोग किया जाता है; इवांस एंड मॉरिस देखें, [http://rsc.anu.edu.au/~evans/evansmorrissbook.php स्टैटिस्टिकल मेकेनिक्स ऑफ नोनक्विलिब्रियम लिक्विड्स], अकादमिक प्रेस 1990।
+जहाँ <math>\beta = \frac{1}{kT}</math> (k बोल्ट्जमान स्थिरांक के साथ), और V प्रणाली आयतन है। अविभाज्य संतुलन फ्लक्स [[स्वसहप्रसरण]] फलन के ऊपर है। शून्य समय पर स्वतः सहप्रसरण धनात्मक होता है क्योंकि यह संतुलन पर फ्लक्स का माध्य वर्ग मान होता है। ध्यान दें कि परिभाषा के अनुसार संतुलन पर फ्लक्स का माध्य मान शून्य होता है। लंबे समय में समय T, J (T) पर प्रवाह, लंबे समय पूर्व J (0) के मूल्य से असंबद्ध है और स्वत: सहसंबंध फलन शून्य हो जाता है। रैखिक ट्रांसपोर्ट गुणांक की गणना करने के लिए आणविक गतिशीलता कंप्यूटर सिमुलेशन में इस उल्लेखनीय संबंध का अधिकांशतः उपयोग किया जाता है; इवांस एंड मॉरिस देखें, [http://rsc.anu.edu.au/~evans/evansmorrissbook.php स्टैटिस्टिकल मेकेनिक्स ऑफ नोनक्विलिब्रियम लिक्विड्स], अकादमिक प्रेस 1990 है।
-== अरेखीय प्रतिक्रिया और क्षणिक समय सहसंबंध कार्य ==
+== अरेखीय प्रतिक्रिया और क्षणिक समय सहसंबंध फलन ==
-में [[डेनिस इवांस]] और मॉरिस ने गैर-रैखिक परिवहन गुणांकों के लिए दो सटीक उतार-चढ़ाव अभिव्यक्तियाँ प्राप्त कीं - देखें [http://rsc.anu.edu.au/~evans/ इवांस] और मोरिस इन मॉल। भौतिकी, 54, 629(1985)। इवांस ने बाद में तर्क दिया कि ये [http://pra.aps.org/abstract/PRA/v32/i5/p2923_1 न्यूनतम मुक्त ऊर्जा के रूप में प्रतिक्रिया सिद्धांत] में [[थर्मोडायनामिक मुक्त ऊर्जा]] के चरमीकरण के परिणाम हैं।<ref>{{cite journal | last=Evans | first=Denis J. | title=एक मुक्त-ऊर्जा चरम सीमा के रूप में प्रतिक्रिया सिद्धांत| journal=Physical Review A | volume=32 | issue=5 | date=1985-11-01 | issn=0556-2791 | doi=10.1103/physreva.32.2923 | pmid=9896433 | pages=2923–2925| bibcode=1985PhRvA..32.2923E }}</ref>
+''इस प्रकार'' 1985 में [[डेनिस इवांस]] और मॉरिस ने गैर-रैखिक ट्रांसपोर्ट गुणांकों के लिए दो स्पष्ट अस्थिरता अभिव्यक्तियाँ प्राप्त कीं - देखें [http://rsc.anu.edu.au/~evans/ इवांस] और मोरिस इन मॉल भौतिकी, 54, 629(1985) इवांस ने पश्चात् में तर्क दिया कि यह [http://pra.aps.org/abstract/PRA/v32/i5/p2923_1 न्यूनतम मुक्त ऊर्जा के रूप में प्रतिक्रिया सिद्धांत] में [[थर्मोडायनामिक मुक्त ऊर्जा|ऊष्मागतिकीय मुक्त ऊर्जा]] के परिणाम हैं।<ref>{{cite journal | last=Evans | first=Denis J. | title=एक मुक्त-ऊर्जा चरम सीमा के रूप में प्रतिक्रिया सिद्धांत| journal=Physical Review A | volume=32 | issue=5 | date=1985-11-01 | issn=0556-2791 | doi=10.1103/physreva.32.2923 | pmid=9896433 | pages=2923–2925| bibcode=1985PhRvA..32.2923E }}</ref>
-इवांस और मॉरिस ने साबित किया कि थर्मोस्टैटेड सिस्टम में जो टी = 0 पर संतुलन पर है, गैर-रैखिक परिवहन गुणांक की गणना तथाकथित क्षणिक समय सहसंबंध समारोह अभिव्यक्ति से की जा सकती है:
+इवांस और मॉरिस ने प्रमाणित किया कि थर्मोस्टैटेड प्रणाली में जो T = 0 पर संतुलन पर है, गैर-रैखिक ट्रांसपोर्ट गुणांक की गणना तथाकथित क्षणिक समय सहसंबंध फलन अभिव्यक्ति से की जा सकती है:
 :<math>
 L(F_e ) = \beta V\;\int_0^\infty {\mathrm d}s \, \left\langle J(0)J(s) \right\rangle_{F_e},
 </math>
-जहां संतुलन (<math> F_e = 0 </math>) फ्लक्स ऑटोसहसंबंध फ़ंक्शन को थर्मोस्टेटेड क्षेत्र पर निर्भर क्षणिक ऑटोसहसंबंध फ़ंक्शन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। समय पर शून्य <math> \left\langle J(0) \right\rangle_{F_e} = 0 </math> लेकिन बाद के समय में क्षेत्र लागू होने के बाद से <math> \left\langle J(t) \right\rangle_{F_e} \ne 0 </math>.
-इवांस और मॉरिस द्वारा प्राप्त अन्य सटीक उतार-चढ़ाव की अभिव्यक्ति गैर-रैखिक प्रतिक्रिया के लिए तथाकथित कावासाकी अभिव्यक्ति है:
+जहां संतुलन <math> F_e = 0 </math> फ्लक्स स्वत:सहसंबंध फलन को थर्मोस्टैटेड क्षेत्र पर निर्भर क्षणिक स्वत:सहसंबंध फलन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। समय पर शून्य <math> \left\langle J(0) \right\rangle_{F_e} = 0 </math> किन्तु पश्चात् के समय में क्षेत्र <math> \left\langle J(t) \right\rangle_{F_e} \ne 0 </math> प्रयुक्त किया जाता है
+''इस प्रकार'' इवांस और मॉरिस द्वारा प्राप्त अन्य स्पष्ट अस्थिरता की अभिव्यक्ति गैर-रैखिक प्रतिक्रिया के लिए तथाकथित कावासाकी अभिव्यक्ति है:
 :<math>
 \left\langle J(t;F_e ) \right\rangle  = \left\langle J(0)\exp \left[ -\beta V\int_0^t J(-s)F_e \, {\mathrm d}s \right] \right\rangle _{F_e}.
 \,</math>
-कावासाकी अभिव्यक्ति के दाहिने हाथ की ओर का समेकन औसत थर्मोस्टेट और बाहरी क्षेत्र दोनों के आवेदन के तहत मूल्यांकन किया जाना है। पहली नजर में क्षणिक समय सहसंबंध समारोह (टीटीसीएफ) और कावासाकी अभिव्यक्ति सीमित उपयोग की प्रतीत हो सकती है-क्योंकि उनकी सहज जटिलता। हालांकि, परिवहन गुणांक की गणना के लिए टीटीसीएफ कंप्यूटर सिमुलेशन में काफी उपयोगी है। दोनों अभिव्यक्तियों का उपयोग नए और उपयोगी उतार-चढ़ाव को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है [http://rsc.anu.edu.au/~evans/evansmorrissbook.php एक्सप्रेशंस] विशिष्ट हीट जैसी मात्राएँ, बिना किसी संतुलन के स्थिर अवस्था में। इस प्रकार उन्हें गैर-संतुलन स्थिर अवस्थाओं के लिए प्रकार के [[विभाजन समारोह (सांख्यिकीय यांत्रिकी)]] के रूप में उपयोग किया जा सकता है।
+''इस प्रकार'' कावासाकी अभिव्यक्ति के दाहिने हाथ की ओर का समेकन औसत थर्मोस्टेट और बाहरी क्षेत्र दोनों के आवेदन के अनुसार मूल्यांकन किया जाना है। पहली द्रष्टि में क्षणिक समय सहसंबंध फलन (टीटीसीएफ) और कावासाकी अभिव्यक्ति सीमित उपयोग की प्रतीत हो सकती है-क्योंकि उनकी स्पष्ट सम्मिश्रता है। चूंकि, ट्रांसपोर्ट गुणांक की गणना के लिए टीटीसीएफ कंप्यूटर सिमुलेशन में अधिक उपयोगी है। दोनों अभिव्यक्तियों का उपयोग नए और उपयोगी अस्थिरता को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है [http://rsc.anu.edu.au/~evans/evansmorrissbook.php एक्सप्रेशंस] विशिष्ट ऊष्मा जैसी मात्राएँ, किसी संतुलन के स्थिर स्थिति में है। इस प्रकार उन्हें गैर-संतुलन स्थिर स्थितियों के लिए प्रकार के [[विभाजन समारोह (सांख्यिकीय यांत्रिकी)|विभाजन फलन (सांख्यिकीय यांत्रिकी)]] के रूप में उपयोग किया जा सकता है।
-== उतार-चढ़ाव प्रमेय और केंद्रीय सीमा प्रमेय से व्युत्पत्ति {{clarification needed|date=March 2020}}==
+== अस्थिरता प्रमेय और केंद्रीय सीमा प्रमेय से व्युत्पत्ति ==
-थर्मोस्टैटेड स्थिर स्थिति के लिए, अपव्यय फ़ंक्शन के समय के अभिन्न समीकरण द्वारा अपव्यय प्रवाह, जे से संबंधित होते हैं
+''इस प्रकार'' थर्मोस्टैटेड स्थिर स्थिति के लिए, अपव्यय फलन के समय के अभिन्न समीकरण द्वारा अपव्यय प्रवाह, J से संबंधित होते हैं
 :<math> \bar \Omega _t  =  - \beta \overline J _t VF_e.\, </math>
-हम ध्यान दें कि लंबे समय तक अपव्यय समारोह का औसत थर्मोडायनामिक बल और औसत संयुग्म थर्मोडायनामिक प्रवाह का उत्पाद है। इसलिए यह सिस्टम में सहज एन्ट्रापी उत्पादन के बराबर है। सहज एन्ट्रापी उत्पादन रैखिक अपरिवर्तनीय ऊष्मप्रवैगिकी में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है - डी ग्रोट और मजूर गैर-संतुलन ऊष्मप्रवैगिकी डोवर देखें।
+हम ध्यान दें कि लंबे समय तक अपव्यय फलन का औसत ऊष्मागतिकीय बल और औसत संयुग्म ऊष्मागतिकीय प्रवाह का प्रोडक्ट है। इसलिए यह प्रणाली में स्पष्ट एन्ट्रापी उत्पादन के समान है। स्पष्ट एन्ट्रापी उत्पादन रैखिक अपरिवर्तनीय ऊष्मप्रवैगिकी में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है - डी ग्रोट और मजूर गैर-संतुलन ऊष्मप्रवैगिकी डोवर देखें।
-[[उतार-चढ़ाव प्रमेय]] (एफटी) मनमाना औसत समय, टी के लिए मान्य है। चलो एफटी को लंबी समय सीमा में लागू करते हैं जबकि साथ क्षेत्र को कम करते हैं ताकि उत्पाद <math> F_e^2 t </math> स्थिर रखा जाता है,
+[[उतार-चढ़ाव प्रमेय|अस्थिरता प्रमेय]] (एफटी) इच्छानुसार औसत समय, T के लिए मान्य है। माना एफटी को लंबी समय सीमा में प्रयुक्त करते हैं जबकि साथ क्षेत्र को कम करते हैं जिससे प्रोडक्ट <math> F_e^2 t </math> स्थिर रखा जाता है,
 :<math>
 \lim_{t \to \infty, \, F_e \to 0}\frac{1}{t} \ln \left( \frac{p\left(\beta \overline J _t = A\right)}{p\left(\beta \overline J_t = -A\right)} \right) =  -\lim_{t \to \infty, \, F_e  \to 0} AVF_e,\quad F_e^2 t = c.
 </math>
-विशेष तरीके से हम दोहरी सीमा लेते हैं, फ्लक्स के माध्य मान का ऋणात्मक मानक विचलन की निश्चित संख्या से दूर रहता है क्योंकि औसत समय बढ़ता है (वितरण को कम करना) और क्षेत्र घटता है। इसका मतलब यह है कि औसत समय के रूप में औसत प्रवाह और उसके नकारात्मक के निकट वितरण को [[केंद्रीय सीमा प्रमेय]] द्वारा सटीक रूप से वर्णित किया जाता है। इसका मतलब यह है कि वितरण माध्य के पास गॉसियन है और इसका ऋणात्मक है
+विशेष विधि से हम दोहरी सीमा लेते हैं, फ्लक्स के माध्य मान का ऋणात्मक मानक विचलन की निश्चित संख्या से दूर रहता है क्योंकि औसत समय बढ़ता है (वितरण को कम करना) और क्षेत्र घटता है। इसका कारण यह है कि औसत समय के रूप में औसत प्रवाह और उसके ऋणात्मक के निकट वितरण को [[केंद्रीय सीमा प्रमेय]] द्वारा स्पष्ट रूप से वर्णित किया जाता है। इसका कारण यह है कि वितरण माध्य के पास गॉसियन है और इसका ऋणात्मक है
 :<math>
 \lim_{t \to \infty, \, F_e  \to 0} \frac{1}{t} \ln \left( \frac{p\left(\overline J _t\right) = A}{p\left(\overline J _t\right) =  -A} \right) = \lim_{t \to \infty, \, F_e  \to 0} \frac{2A\left\langle J \right\rangle_{F_e}}{t\sigma_{\overline J (t)}^2 }.
 </math>
-इन दो संबंधों के संयोजन से (कुछ कठिन बीजगणित के बाद!) रैखिक शून्य क्षेत्र परिवहन गुणांक के लिए सटीक ग्रीन-कुबो संबंध प्राप्त होता है, अर्थात्,
+इन दो संबंधों के संयोजन से (कुछ कठिन बीजगणित के पश्चात्) रैखिक शून्य क्षेत्र ट्रांसपोर्ट गुणांक के लिए स्पष्ट ग्रीन-कुबो संबंध प्राप्त होता है, अर्थात्,
 :<math>
 L(0) = \beta V\;\int_0^\infty {\mathrm d}t \, \left\langle J(0)J(t) \right\rangle_{F_e = 0}.
 </math>
-यहां एफटी से ग्रीन-कुबो संबंधों के प्रमाण का विवरण दिया गया है।<ref>{{Cite journal |arxiv = cond-mat/0312353|doi = 10.1103/PhysRevE.71.056120|pmid = 16089615|bibcode = 2005PhRvE..71e6120E|title = गैलावोटी-कोहेन के उतार-चढ़ाव के संबंध में संतुलन के पास थर्मोस्टेट स्थिर अवस्थाओं का अनुप्रयोग|journal = Physical Review E|volume = 71|issue = 5|pages = 056120|year = 2005|last1 = Evans|first1 = Denis J.|last2 = Searles|first2 = Debra J.|last3 = Rondoni|first3 = Lamberto|s2cid = 4617097}}</ref>
+यहां एफटी से ग्रीन-कुबो संबंधों के प्रमाण का विवरण दिया गया है।<ref>{{Cite journal |arxiv = cond-mat/0312353|doi = 10.1103/PhysRevE.71.056120|pmid = 16089615|bibcode = 2005PhRvE..71e6120E|title = गैलावोटी-कोहेन के उतार-चढ़ाव के संबंध में संतुलन के पास थर्मोस्टेट स्थिर अवस्थाओं का अनुप्रयोग|journal = Physical Review E|volume = 71|issue = 5|pages = 056120|year = 2005|last1 = Evans|first1 = Denis J.|last2 = Searles|first2 = Debra J.|last3 = Rondoni|first3 = Lamberto|s2cid = 4617097}}</ref> ज़्वानज़िग द्वारा केवल प्रारंभिक क्वांटम यांत्रिकी का उपयोग करके प्रमाण दिया गया था।<ref>{{Cite journal | doi=10.1146/annurev.pc.16.100165.000435|title = सांख्यिकीय यांत्रिकी में समय-सहसंबंध कार्य और परिवहन गुणांक| journal=Annual Review of Physical Chemistry| volume=16| pages=67–102|year = 1965|last1 = Zwanzig|first1 = R.|bibcode = 1965ARPC...16...67Z}}</ref>
-Zwanzig द्वारा केवल प्रारंभिक क्वांटम यांत्रिकी का उपयोग करके प्रमाण दिया गया था।<ref>{{Cite journal | doi=10.1146/annurev.pc.16.100165.000435|title = सांख्यिकीय यांत्रिकी में समय-सहसंबंध कार्य और परिवहन गुणांक| journal=Annual Review of Physical Chemistry| volume=16| pages=67–102|year = 1965|last1 = Zwanzig|first1 = R.|bibcode = 1965ARPC...16...67Z}}</ref>
 == सारांश ==
-यह गैर-संतुलन सांख्यिकीय यांत्रिकी में उतार-चढ़ाव प्रमेय (FT) के मूलभूत महत्व को दर्शाता है।
+यह गैर-संतुलन सांख्यिकीय यांत्रिकी में अस्थिरता प्रमेय (एफटी) के मूलभूत महत्व को दर्शाता है। एफटी ऊष्मप्रवैगिकी के दूसरे नियम का सामान्यीकरण देता है। दूसरे नियम की असमानता और कावासाकी पहचान को प्रमाणित करना सरल है। जब केंद्रीय सीमा प्रमेय के साथ जोड़ा जाता है, तो एफटी भी संतुलन के निकट रैखिक ट्रांसपोर्ट गुणांक के लिए ग्रीन-कुबो संबंधों का तात्पर्य करता है। एफटी, चूंकि, ग्रीन-कुबो संबंधों की तुलना में अधिक सामान्य है, क्योंकि उनके विपरीत, एफटी संतुलन से दूर अस्थिरता पर प्रयुक्त होता है। इस तथ्य के अतिरिक्त, कोई भी अभी तक एफटी से अरैखिक प्रतिक्रिया सिद्धांत के लिए समीकरण प्राप्त करने में सक्षम नहीं हुआ है।
-FT ऊष्मप्रवैगिकी के दूसरे नियम का सामान्यीकरण देता है। दूसरे कानून की असमानता और कावासाकी पहचान को साबित करना आसान है। जब केंद्रीय सीमा प्रमेय के साथ जोड़ा जाता है, तो एफटी भी संतुलन के करीब रैखिक परिवहन गुणांक के लिए ग्रीन-कुबो संबंधों का तात्पर्य करता है। एफटी, हालांकि, ग्रीन-कुबो संबंधों की तुलना में अधिक सामान्य है, क्योंकि उनके विपरीत, एफटी संतुलन से दूर उतार-चढ़ाव पर लागू होता है। इस तथ्य के बावजूद, कोई भी अभी तक एफटी से अरैखिक प्रतिक्रिया सिद्धांत के लिए समीकरण प्राप्त करने में सक्षम नहीं हुआ है।
-एफटी का अर्थ यह नहीं है या इसकी आवश्यकता नहीं है कि समय-औसत अपव्यय का वितरण गॉसियन है। ऐसे कई उदाहरण ज्ञात हैं जब वितरण गैर-गाऊसी है और फिर भी एफटी अभी भी संभाव्यता अनुपात का सही वर्णन करता है।
+''इस प्रकार'' एफटी का अर्थ यह नहीं है या इसकी आवश्यकता नहीं है कि समय-औसत अपव्यय का वितरण गॉसियन है। ऐसे विभिन्न उदाहरण ज्ञात हैं जब वितरण गैर-गाऊसी है और फिर भी एफटी अभी भी संभाव्यता अनुपात का सही वर्णन करता है।
 == यह भी देखें ==
-* [[घनत्व मैट्रिक्स]]
+* [[घनत्व मैट्रिक्स|घनत्व आव्यूह]]
-* उतार-चढ़ाव प्रमेय
+* अस्थिरता प्रमेय
-* उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय
+* अस्थिरता-अपव्यय प्रमेय
-* ग्रीन का कार्य (बहु-पिंड सिद्धांत)
+* ग्रीन का फलन (बहु-पिंड सिद्धांत)
 * [[लिंडब्लाड समीकरण]]
-* [[रैखिक प्रतिक्रिया समारोह]]
+* [[रैखिक प्रतिक्रिया समारोह|रैखिक प्रतिक्रिया फलन]]
 ==संदर्भ==
@@ Line 106: / Line 104: @@
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 [[Category:Created On 09/03/2023]]
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Contents

तापीय और यांत्रिक ट्रांसपोर्ट प्रक्रियाएं

रैखिक रचनात्मक संबंध

अरेखीय प्रतिक्रिया और क्षणिक समय सहसंबंध फलन

अस्थिरता प्रमेय और केंद्रीय सीमा प्रमेय से व्युत्पत्ति

सारांश

यह भी देखें

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रैखिक रचनात्मक संबंध

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अस्थिरता प्रमेय और केंद्रीय सीमा प्रमेय से व्युत्पत्ति

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