आयाम में विषम यादृच्छिक चाल: Difference between revisions

Revision as of 21:32, 6 December 2023

चित्र 1 दिशात्मक कूद समय संभाव्यता घनत्व कार्यों (जेटी-पीडीएफ) के साथ आयाम में अर्ध-मार्कोवियन असतत प्रणाली का भाग, जिसमें मृत्यु शब्द (अवस्था आई से अवस्था आई से जेटी-पीडीएफ) सम्मिलित हैं।इस तरह के यादृच्छिक चलने का अनुकरण करने का तरीका यह है कि पहले समान वितरण से यादृच्छिक संख्या खींची जाए जो संक्रमण संभावनाओं के अनुसार प्रसार दिशा निर्धारित करती है, और फिर प्रासंगिक जेटी-पीडीएफ से यादृच्छिक समय निकालती है।^{[citation needed]}

गतिशीलता (यांत्रिकी), संभाव्यता, भौतिकी, रसायन विज्ञान और संबंधित क्षेत्रों में, एक आयाम में विषम यादृच्छिक चलना कूदने के नियमों के साथ आयामी अंतराल में यादृच्छिक चलना है जो अंतराल में यादृच्छिक चलना के स्थान पर निर्भर करता है।

उदाहरण के लिए: मान लीजिए कि समय और अंतराल भी अलग है। अर्थात्, यादृच्छिक चलना प्रत्येक समय बाएं या दाएं कदम पर कूदता है। संभावित विषम यादृच्छिक चाल प्रत्येक बार कदम में यादृच्छिक संख्या खींचती है जो स्थानीय कूद संभावनाओं को निर्धारित करती है और फिर एक यादृच्छिक संख्या जो वास्तविक छलांग दिशा निर्धारित करती है। विशेष रूप से, मान लें कि अंतराल में 9 स्थल हैं (1 से 9 तक लेबल की गई हैं), और स्थल (जिसे अवस्था भी कहा जाता है) दूसरे से रैखिक रूप से जुड़ी हुई हैं (जहां किनारों के स्थल उनके आसन्न स्थलो से और साथ जुड़ी हुई हैं)। प्रत्येक समय चरण में, सिक्का उछालते समय छलांग की संभावनाएं (वास्तविक स्थल से) निर्धारित की जाती हैं; सिर के लिए हम समुच्चय करते हैं: बाएं कूदने की संभावना = 1/3, जहां टेल के लिए हम समुच्चय करते हैं: बाएं कूदने की संभावना = 0.55 है। फिर, समान वितरण (निरंतर) से यादृच्छिक संख्या निकाली जाती है: जब यादृच्छिक संख्या बाईं ओर कूदने की संभावना से छोटी होती है, तो छलांग बाईं ओर होती है, अन्यथा, छलांग दाईं ओर होती है। सामान्यतः, ऐसी प्रणाली में, हम t छलांग के बाद विभिन्न स्थलो में से प्रत्येक में रहने की संभावना में रुचि रखते हैं, और इस संभावना की सीमा में जब t अधिक उच्च , $t\rightarrow \infty$ होती है.

सामान्यतः ऐसी प्रक्रियाओं में समय भी निरंतर रूप से भिन्न हो सकता है और अंतराल भी या तो अलग या निरंतर होता है। इसके अतिरिक्त, अंतराल या तो सीमित है या बिना सीमा के है। असतत प्रणाली में, सम्बन्ध आसन्न अवस्थाओ के बीच होते हैं। मॉडल के आधार पर मूलभूत गतिशीलता या तो मार्कोव प्रक्रिया, अर्ध-मार्कोव प्रक्रिया, या यहां तक कि मार्कोवियन भी नहीं है। असतत प्रणालियों में, 1d में विषम यादृच्छिक वॉक में जंप संभावनाएं होती हैं जो प्रणाली में स्थान पर निर्भर करती हैं, और/या अलग-अलग उछाल समय (जेटी) संभाव्यता घनत्व फलन (पीडीएफ) जो प्रणाली में स्थान पर निर्भर करती हैं।

,,,,,,,,,,,,,,,1d में विषमांगी यादृच्छिक चालों के लिए सामान्य समाधान समीकरणों का पालन करते हैं (1)-(5), निम्नलिखित में प्रस्तुत किया गया है।

परिचय

अनुप्रयोगों में यादृच्छिक चलना

यादृच्छिक चलना^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]^[6]^[7]^[8]^[9]^[10]^[11] का उपयोग जीव विज्ञान में प्रक्रियाओं का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है, रेफरी नाम=डीआर>गोयल एन.डब्ल्यू. और नीरा डायन|रिक्टर-डायन एन., स्टोचैस्टिक मॉडल्स इन बायोलॉजी (अकादमिक प्रेस, न्यूयॉर्क) 1974; ISBN 978-0-12-287460-4. रसायन विज्ञान,^[12] और भौतिकी,^[13]^[14] रासायनिक गतिकी सहित^[12] और बहुलक गतिशीलता सम्मिलित है।^[13]^[14] व्यक्तिगत अणुओं में, व्यक्तिगत अणुओं का अध्ययन करते समय यादृच्छिक चालें दिखाई देती हैं,^[15]^[16]^[17]^[18]^[19]^[20]^[21]^[22]^[23]^[24] व्यक्तिगत चैनल,^[25]^[26] व्यक्तिगत जैव अणु,^[27] व्यक्तिगत एंजाइम,^[17]^[19]Cite error: The opening <ref> tag is malformed or has a bad nameCite error: The opening <ref> tag is malformed or has a bad name^[28]^[29]^[30]^[31]^[32] और क्वांटम डॉट्स.^[33]^[34]^[35] महत्वपूर्ण रूप से, पीडीएफ और विशेष सहसंबंध कार्य की गणना एकल अणु माप से आसानी से की जा सकती है, किन्तु सामूहिक माप से नहीं। इस अनूठी जानकारी का उपयोग कुछ गुणों को साझा करने वाले अलग-अलग यादृच्छिक वॉक मॉडल के बीच भेदभाव करने के लिए किया जा सकता है, जो कुछ गुणों को साझा करते हैं।^[which?],Cite error: The opening <ref> tag is malformed or has a bad nameCite error: The opening <ref> tag is malformed or has a bad nameCite error: The opening <ref> tag is malformed or has a bad nameCite error: The opening <ref> tag is malformed or has a bad nameCite error: The opening <ref> tag is malformed or has a bad nameCite error: The opening <ref> tag is malformed or has a bad name^[23]^[24]^[25] और यह यादृच्छिक चलना मॉडल के विस्तृत सैद्धांतिक विश्लेषण की मांग करता है। इस संदर्भ में, एकल अणु डेटा में सूचना सामग्री का उपयोग चल रहे शोध का विषय है।^{[weasel words]}

यादृच्छिक सैर का सूत्रीकरण

इस प्रकार से वास्तविक यादृच्छिक चलना प्रसंभाव्यता अंतर समीकरण का पालन करता है, किन्तु इसकी संभाव्यता घनत्व फलन (पीडीएफ) नियतात्मक समीकरण का पालन करता है। यादृच्छिक चलना के पीडीएफ (अवस्था में अलग) मुख्य समीकरण के संदर्भ में तैयार किए जा सकते हैं^[1]^[36]^[12] और मुख्य समीकरण मार्कोवियन गतिज योजनाओं का सामान्यीकरण^[3] या (अवस्था और समय में निरंतर) फोककर-प्लैंक समीकरण^[37] और इसके सामान्यीकरण के संदर्भ में तैयार किए जा सकते हैं।^[10] निरंतर समय यादृच्छिक चलना,^[1] नवीनीकरण सिद्धांत,^[38] और पथ प्रतिनिधित्व^[3]^[6]^[8]^[9] भी यादृच्छिक चलना के उपयोगी सूत्र हैं। विभिन्न विवरणों के बीच संबंधों का नेटवर्क यादृच्छिक चालों के विश्लेषण में शक्तिशाली उपकरण प्रदान करता है। , विशेषकर उच्च आयामों में इच्छानुसार रूप से विषम वातावरण विश्लेषण को कठिन बनाते हैं।^{[weasel words]}

एक आयाम में यादृच्छिक सैर के लिए परिणाम

सरल प्रणालियाँ

सरल प्रणालियों में ज्ञात महत्वपूर्ण परिणामों में सम्मिलित हैं:

एक सममित मार्कोवियन यादृच्छिक चलना में, अवस्था पर अधिकृत करने के लिए ग्रीन का फलन (जिसे चलना का पीडीएफ भी कहा जाता है) मैं स्थिति में गाऊसी है और इसमें भिन्नता है जो समय की तरह मापती है। यह अलग-अलग समय और स्थान वाली प्रणाली के लिए सही है, फिर भी निरंतर समय और स्थान वाली प्रणाली में भी सम्मिलित है। यह परिणाम बिना सीमा वाली प्रणालियों के लिए है।
जब प्रणाली में साधारण पूर्वाग्रह होता है (यानी प्रणाली पर विशेष दिशा में निरंतर बल लगाया जाता है), तो यादृच्छिक चलना की उसकी प्रारंभिक स्थिति से औसत दूरी समय के साथ रैखिक होती है।
जब लंबाई L के एक सीमित अंतराल में प्रारंभिक स्थिति से दूरी L तक पहुँचने का प्रयास किया जाता है, तो इस दूरी तक पहुँचने का समय $\tau$ लंबाई L के साथ घातांकीय $\tau =e^{L}$ होता है: यहाँ, प्रसार एक रैखिक क्षमता के विरुद्ध है।

विषम प्रणालियाँ

1D में इच्छानुसार रूप से विषम वातावरण में अर्ध-मार्कोवियन यादृच्छिक चलने के लिए ग्रीन के फलन $G_{ij}(t;L)$ का समाधान हाल ही में पथ प्रतिनिधित्व का उपयोग किया गया था।^[6]^[8]^[9] ( फलन $G_{ij}(t;L)$ समय t पर स्थिति i पर कब्ज़ा करने के लिए पीडीएफ है, यह देखते हुए कि प्रक्रिया ठीक समय 0 पर स्थिति j पर प्रारंभ हुई।) 1D में अर्ध-मार्कोवियन यादृच्छिक चलना को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: यादृच्छिक चलना जिसकी गतिशीलता (संभवतः) स्थिति द्वारा वर्णित है अवस्था- और दिशा-निर्भर जेटी-पीडीएफ, $\psi _{ij}(t)$ , अवस्थाओ i और i ± 1 के बीच संक्रमण के लिए, जो असंबद्ध प्रतीक्षा समय के प्रसंभाव्यता प्रक्षेपवक्र उत्पन्न करता है जो कि घातीय रूप से वितरित $\psi _{ij}(t)$ नहीं होते हैं। और सामान्यीकरण नियमो का पालन करता है (चित्र 1 देखें)

\sum _{j}\int _{0}^{\infty }\psi _{ij}(t)=1.

गतिशीलता में अवस्था- और दिशा-निर्भर अपरिवर्तनीय ट्रैपिंग जेटी-पीडीएफ, $\psi _{iI}(t)$ I=i+L के साथ भी सम्मिलित हो सकता है। जब $\psi _{ij}(t)$ i पर निर्भर करता है तो पर्यावरण विषम होता है। उपरोक्त प्रक्रिया भी एक सतत समय यादृच्छिक चाल है और इसमें ग्रीन फलन $G_{ij}(t)$ के लिए समकक्ष सामान्यीकृत मुख्य समीकरण प्रतिनिधित्व है।Cite error: The opening <ref> tag is malformed or has a bad nameCite error: The opening <ref> tag is malformed or has a bad nameCite error: The opening <ref> tag is malformed or has a bad nameCite error: The opening <ref> tag is malformed or has a bad name

1D में विषम यादृच्छिक सैर के लिए स्पष्ट अभिव्यक्तियाँ

अर्ध-मार्कोव प्रक्रिया में, एल (> 1) अवस्थाओ की एक अलग प्रणाली में पूरी तरह से विषम अर्ध-मार्कोवियन यादृच्छिक चलना, ग्रीन का फलन लाप्लास स्थान में पाया गया था (फलन के लाप्लास परिवर्तन को ${\bar {f}}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt$ इसके साथ परिभाषित किया गया है, ). यहां, प्रणाली को उछाल समय (आईटी) पीडीएफ $\psi _{ij}(t)$ के माध्यम से परिभाषित किया गया है: अवस्था i को अवस्था j से जोड़ना (छलांग अवस्था i से है)। समाधान ग्रीन के फलन के पथ प्रतिनिधित्व पर आधारित है, जिसकी गणना सभी लंबाई के सभी पथ संभाव्यता घनत्व कार्यों को सम्मिलित करते समय की जाती है:

{\bar {G}}_{ij}(s)={\bar {\Gamma }}_{ij}(s){\frac {{\bar {\Phi }}(s,{\tilde {L}})}{{\bar {\Phi }}(s,L)}}{\bar {\Psi }}_{i}(s).

(1)

जहाँ,

{\bar {\Psi }}_{i}(s)=\sum _{j}{\bar {\Psi }}_{ij}(s)

और

{\bar {\Psi }}_{ij}(s)={\frac {1-{\bar {\psi }}_{ij}(s)}{s}}.

इसके अतिरिक्त, समीकरण में. (1),

{\bar {\Gamma }}_{ij}(s)=\prod _{c=0}^{i\mp 1}{\bar {\psi }}_{c\pm 1c}(s),

(2)

और

{\bar {\Phi }}(s,L)=1+\sum _{c=1}^{[L/2]}(-1)^{c}{\bar {h}}(s,c;L)

(3)

साथ

{\bar {h}}(s,i;L)=\prod _{c=1}^{i}\sum _{k_{c}=2+k_{c-1}}^{L-1-2(i-c)}{\bar {f}}_{k_{c}}(s)

(4)

और

{\bar {f}}_{k_{j}}(s)={\bar {\psi }}_{k_{j}k_{j}+1}(s){\bar {\psi }}_{k_{j}+1k_{j}}(s).

(5)

एल = 1 के लिए, ${\bar {\Phi }}(s;L)=1$ . इस पेपर में, प्रतीक [एल/2], जैसा कि समीकरण में योग की ऊपरी सीमा में दिखाई देता है। (5) फ्लोर ऑपरेशन (शून्य की ओर गोल) है। अंत में, समीकरण कारक $\Phi (s,{\tilde {L}})$ (1) का रूप समीकरणों में ${\bar {\Phi }}(s;L)$ जैसा ही है। (3)-(5), फिर भी इसकी गणना जालक ${\tilde {L}}$ पर की जाती है . जालक ${\tilde {L}}$ इसका निर्माण मूल जालक से i और j और उनके बीच की स्थितियों को निकालकर और फिर प्राप्त दो टुकड़ों को जोड़कर किया जाता है। ऐसे स्तिथियों के लिए जिनमें टुकड़ा एकल अवस्था है, इस टुकड़े को बाहर रखा गया है; अर्थात्, जालक ${\tilde {L}}$ लंबा टुकड़ा है. जब प्रत्येक टुकड़ा एकल अवस्था , ${\bar {\Phi }}(s;{\tilde {L}})=1$ है.

समीकरण (1)-(5) एल-अवस्था श्रृंखला में किसी भी 1D अर्ध-मार्कोवियन रैंडम वॉक के लिए पकड़ बनाते हैं, और 1d में रैंडम वॉक के लिए स्पष्ट रूप में सबसे सामान्य समाधान बनाते हैं।

विषम यादृच्छिक चालों का पथ प्रतिनिधित्व

स्पष्ट रूप से, ${\bar {G}}_{ij}(s;L)$ समीकरण में. (1)-(5) संगत निरंतर समय यादृच्छिक चलना समस्या और समतुल्य सामान्यीकृत मुख्य समीकरण को हल करता है। समीकरण (1)-(5) सक्षम

विभिन्न पहलुओं से 1डी श्रृंखलाओं में अर्ध-मार्कोवियन यादृच्छिक चालों का विश्लेषण करना में सक्षम बनाते हैं। समय डोमेन का व्युत्क्रमण ग्रीन का कार्य देता है, किन्तु क्षणों और सहसंबंध कार्यों की गणना समीकरण से भी की जा सकती है। (1)-(5), और फिर समय डोमेन में विपरीत (प्रासंगिक मात्राओं के लिए) है। सामान्यीकृत मुख्य समीकरण का संख्यात्मक व्युत्क्रम अस्थिर होने पर बंद-रूप ${\bar {G}}_{ij}(s;L)$ भी इसकी उपयोगिता प्रकट होती है। इसके अतिरिक्त, सरल विश्लेषणात्मक जोड़-तोड़ में ${\bar {G}}_{ij}(s;L)$ ,का उपयोग करने से, ^[6]^[8]^[9] (i) पहला मार्ग समय पीडीएफ, (ii)-(iii) पहली घटना के लिए विशेष डब्ल्यूटी-पीडीएफ के साथ यादृच्छिक चलने के लिए ग्रीन के कार्य मिलते हैं। पहली घटना और एक वृत्ताकार एल-अवस्था 1 डी श्रृंखला में यादृच्छिक चलने के लिए, और (iv) कई तर्कों के साथ अवस्था और समय में संयुक्त पीडीएफ का कार्य करते हैं।

फिर भी, इस लेख में प्रयुक्त औपचारिकता ग्रीन के फलन $G_{ij}(t)$ का पथ प्रतिनिधित्व है, और यह प्रक्रिया पर अधिक जानकारी प्रदान करता है। पथ प्रतिनिधित्व इस प्रकार है:

G_{ij}(t;L)=\int _{0}^{\infty }\Psi _{i}(t-\tau )W_{ij}(\tau ;L)\,d\tau ,

(6)

समीकरण में $W_{ij}(t;L)$ के लिए अभिव्यक्ति (6) अनुसरण करता है,

W_{ij}(\tau ;L)=\sum _{n=0}^{\infty }w_{ij}(\tau ,2n+\gamma _{ij};L).

(7)

$W_{ij}(t;L)$ ठीक समय 0 पर स्थिति j पर प्रारंभ होने पर ठीक समय t पर स्थिति i तक पहुंचने का पीडीएफ है। यह समय में पथ पीडीएफ है जो $2n+\gamma _{ij}$ संक्रमणों के साथ सभी पथों से बनाया गया है जो अवस्थाओ j को i से जोड़ता है। दो अलग-अलग पथ प्रकार समान अवस्थाओ से बने $w_{ij}(\tau ,2n+\gamma _{ij};L)$ पथों में योगदान करते हैं जो अलग-अलग क्रम में दिखाई देते हैं और $2n+\gamma _{ij}$ संक्रमणों की समान लंबाई के विभिन्न पथ होते हैं। अनुवाद अपरिवर्तनीय श्रृंखलाओं के लिए पथ पीडीएफ मोनो-पीक हैं। अनुवाद के लिए पथ पीडीएफ अपरिवर्तनीय श्रृंखलाएं अधिकतर अपने चरम के समीप ग्रीन के कार्य में योगदान करती हैं, किन्तु माना जाता है कि यह व्यवहार विषम श्रृंखलाओं की भी विशेषता है।^[8]^[9]

हम यह भी ध्यान देते हैं कि निम्नलिखित संबंध धारण ${\bar {W}}_{ij}(s;L)={\bar {W}}_{1L}(s;L)/{\bar {W}}_{1{\tilde {L}}}(s;{\tilde {L}})$ , रखती है। इस संबंध का उपयोग करते हुए, हम ${\bar {w}}_{1L}(s;L)$ हल करने पर ध्यान केंद्रित करते हैं।

पथ पीडीएफ

ग्रीन के फलन के साथ प्रदान की गई यादृच्छिक चलना पर पूरक जानकारी पथ पीडीएफ में निहित है। यह स्पष्ट है, जब ग्रीन के कार्यों के लिए सन्निकटन का निर्माण किया जाता है, तो किस पथ में पीडीएफ विश्लेषण में बिल्डिंग ब्लॉक होते हैं।^[8]^[9] इसके अतिरिक्त, ग्रीन के फलन के विश्लेषणात्मक गुण केवल पथ पीडीएफ विश्लेषण में स्पष्ट किया गया हैं। यहाँ, एल के किसी निश्चित मान के लिए पथ पीडीएफ की लंबाई एन में $w_{ij}(\tau ,2n+\gamma _{ij};L)$ के लिए प्रत्यावर्तन संबंध प्रस्तुत किया गया है। पथ पीडीएफ में पुनरावर्ती समीकरण में ${\bar {h}}(s,i;L)$ एस के साथ रैखिक है। (5) एन स्वतंत्र गुणांक के रूप में कार्य करता है, और क्रम का है [एल / 2]:

{\bar {w}}_{1L}(s,2n+\gamma _{1L};L)=\delta _{n0}{\bar {\Gamma }}_{1L}(s)+\sum _{c=1}^{[L/2]}(-1)^{c+1}{\bar {w}}_{1L}(s,2(n-c)+\gamma _{1L};L){\bar {h}}(s,c;L).

(8)

समीकरण में गुणांकों के लिए सार्वभौमिक सूत्र को समझाने के लिए पुनरावर्तन संबंध का उपयोग किया जाता है। (1).

प्रत्यावर्तन संबंध का समाधान az परिवर्तन प्रयुक्त करके प्राप्त किया जाता है:

{\hat {\bar {w}}}_{1L}(s,2z+\gamma _{1L};L)=\sum _{n=0}^{\infty }{\bar {w}}_{1L}(s,2n+\gamma _{1L};L)z^{n}={\bar {\Gamma }}_{1L}(s){\big [}1-\sum _{c=1}^{[L/2]}(-1)^{c+1}{\bar {h}}(s,c;L)z^{i}{\big ]}^{-1}.

(9)

स्थापना $z=1$ (9). समीकरण का ${\bar {W}}_{1L}(s;L)$ टेलर विस्तार देता है । (9) ${\bar {w}}_{1L}(s,2n+\gamma _{1L};L)$ देता है . परिणाम इस प्रकार है:

{\bar {w}}_{1L}(s,2n+\gamma _{1L};L)={\bar {\Gamma }}_{1L}(s)\sum _{k_{0}=a_{0,n}}^{n}{\bar {h}}(1,s;L)^{k_{0}}c_{k_{0}}(s;L).

(10)

समीकरण में. (10) ${\bar {c}}_{k_{0}}(s;L)$ , $L=2,3$ के लिए एक है और अन्यथा,

{\bar {c}}_{k_{0}}(s;L)=\prod _{c=0}^{[L/2]-1}\sum _{k_{c}=a_{c,n}}^{n-\sum _{j=0}^{c-1}k_{j}}{\bar {g}}_{k_{c}}(s;L),

(11)

जहाँ

{\bar {g}}_{k_{i}}(s;L)={\binom {k_{i-1}}{k_{i}}}\left(-{\frac {{\bar {h}}(s,i+1;L)}{{\bar {h}}(s,i;L)}}\right)^{k_{i}}.

(12)

आरंभिक संख्या $a_{i,n}s$ अनुसरण करना:

a_{i,n}=\left[{\frac {n-\sum _{j=0}^{i-1}k_{j}+[L/2]-1-i}{[L/2]-i}}\right];i>0,

(13)

और,

a_{i,0}=\left[{\frac {n+[L/2]-1}{[L/2]}}\right].

(14)

संदर्भ

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[DR-36] Cite error: Invalid <ref> tag; no text was provided for refs named DR

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-[[File:Random walk in1d.jpg|thumb|right|चित्र 1 दिशात्मक कूद समय संभाव्यता घनत्व कार्यों (जेटी-पीडीएफ) के साथ आयाम में अर्ध-मार्कोवियन असतत प्रणाली का हिस्सा, जिसमें मृत्यु शब्द (राज्य ''आई'' से राज्य ''आई'' से जेटी-पीडीएफ) शामिल हैं।
+[[File:Random walk in1d.jpg|thumb|right|चित्र 1 दिशात्मक कूद समय संभाव्यता घनत्व कार्यों (जेटी-पीडीएफ) के साथ आयाम में अर्ध-मार्कोवियन असतत प्रणाली का भाग, जिसमें मृत्यु शब्द (अवस्था ''आई'' से अवस्था ''आई'' से जेटी-पीडीएफ) सम्मिलित हैं।इस तरह के यादृच्छिक चलने का अनुकरण करने का तरीका यह है कि पहले समान वितरण से यादृच्छिक संख्या खींची जाए जो संक्रमण संभावनाओं के अनुसार प्रसार दिशा निर्धारित करती है, और फिर प्रासंगिक जेटी-पीडीएफ से यादृच्छिक समय निकालती है।{{Citation needed|date=June 2021}}]]गतिशीलता (यांत्रिकी), संभाव्यता, भौतिकी, [[रसायन विज्ञान]] और संबंधित क्षेत्रों में, '''एक आयाम में विषम यादृच्छिक चलना''' कूदने के नियमों के साथ आयामी अंतराल में यादृच्छिक चलना है जो अंतराल में यादृच्छिक चलना के स्थान पर निर्भर करता है।
+उदाहरण के लिए: मान लीजिए कि समय और अंतराल भी अलग है। अर्थात्, यादृच्छिक चलना प्रत्येक समय बाएं या दाएं कदम पर '''कूदता''' है। संभावित विषम [[यादृच्छिक चाल]] प्रत्येक बार कदम में यादृच्छिक संख्या खींचती है जो स्थानीय कूद [[संभावना]]ओं को निर्धारित करती है और फिर एक यादृच्छिक संख्या जो वास्तविक छलांग दिशा निर्धारित करती है। विशेष रूप से, मान लें कि अंतराल में 9 स्थल हैं (1 से 9 तक लेबल की गई हैं), और स्थल (जिसे अवस्था भी कहा जाता है) दूसरे से रैखिक रूप से जुड़ी हुई हैं (जहां किनारों के स्थल उनके आसन्न स्थलो से और साथ जुड़ी हुई हैं)। प्रत्येक समय चरण में, सिक्का उछालते समय छलांग की संभावनाएं (वास्तविक स्थल से) निर्धारित की जाती हैं; सिर के लिए हम समुच्चय करते हैं: बाएं '''कूदने''' की संभावना = 1/3, जहां टेल के लिए हम समुच्चय करते हैं: बाएं कूदने की संभावना = 0.55 है। फिर, [[समान वितरण (निरंतर)]] से यादृच्छिक संख्या निकाली जाती है: जब यादृच्छिक संख्या बाईं ओर कूदने की संभावना से छोटी होती है, तो छलांग बाईं ओर होती है, अन्यथा, छलांग दाईं ओर होती है। सामान्यतः, ऐसी प्रणाली में, हम ''t'' छलांग के बाद विभिन्न स्थलो में से प्रत्येक में रहने की संभावना में रुचि रखते हैं, और इस संभावना की सीमा में जब ''t'' अधिक उच्च , <math>t\rightarrow\infty </math> होती है.
-इस तरह के यादृच्छिक चलने का अनुकरण करने का तरीका यह है कि पहले समान वितरण से यादृच्छिक संख्या खींची जाए जो संक्रमण संभावनाओं के अनुसार प्रसार दिशा निर्धारित करती है, और फिर प्रासंगिक जेटी-पीडीएफ से यादृच्छिक समय निकालती है।{{Citation needed|date=June 2021}}]]डायनेमिक्स (यांत्रिकी), संभाव्यता, भौतिकी, [[रसायन विज्ञान]] और संबंधित क्षेत्रों में, आयाम में विषम यादृच्छिक चलना कूदने के नियमों के साथ आयामी अंतराल में यादृच्छिक चलना है जो अंतराल में यादृच्छिक वॉकर के स्थान पर निर्भर करता है।
+सामान्यतः ऐसी प्रक्रियाओं में समय भी निरंतर रूप से भिन्न हो सकता है और अंतराल भी या तो अलग या निरंतर होता है। इसके अतिरिक्त, अंतराल या तो सीमित है या बिना सीमा के है। असतत प्रणाली में, सम्बन्ध आसन्न अवस्थाओ के बीच होते हैं। मॉडल के आधार पर मूलभूत गतिशीलता या तो [[मार्कोव प्रक्रिया]], [[अर्ध-मार्कोव प्रक्रिया]], या यहां तक कि मार्कोवियन भी नहीं है। असतत प्रणालियों में, 1d में विषम यादृच्छिक वॉक में जंप संभावनाएं होती हैं जो प्रणाली में स्थान पर निर्भर करती हैं, और/या अलग-अलग उछाल समय (जेटी) संभाव्यता घनत्व फलन (पीडीएफ) जो प्रणाली में स्थान पर निर्भर करती हैं।
-उदाहरण के लिए: कहें कि समय अलग है और अंतराल भी। अर्थात्, यादृच्छिक वॉकर हर बार बाएं या दाएं कदम पर कूदता है। संभावित विषम [[यादृच्छिक चाल]] प्रत्येक बार कदम में यादृच्छिक संख्या खींचती है जो स्थानीय कूद [[संभावना]]ओं को निर्धारित करती है और फिर यादृच्छिक संख्या जो वास्तविक छलांग दिशा निर्धारित करती है। विशेष रूप से, मान लें कि अंतराल में 9 साइटें हैं (1 से 9 तक लेबल की गई हैं), और साइटें (जिसे राज्य भी कहा जाता है) दूसरे से रैखिक रूप से जुड़ी हुई हैं (जहां किनारों की साइटें उनके आसन्न साइटों से और साथ जुड़ी हुई हैं)। प्रत्येक समय चरण में, सिक्का उछालते समय छलांग की संभावनाएं (वास्तविक स्थल से) निर्धारित की जाती हैं; सिर के लिए हम सेट करते हैं: बाएं कूदने की संभावना = 1/3, जहां पूंछ के लिए हम सेट करते हैं: बाएं कूदने की संभावना = 0.55। फिर, [[समान वितरण (निरंतर)]] से यादृच्छिक संख्या निकाली जाती है: जब यादृच्छिक संख्या बाईं ओर कूदने की संभावना से छोटी होती है, तो छलांग बाईं ओर होती है, अन्यथा, छलांग दाईं ओर होती है। आम तौर पर, ऐसी प्रणाली में, हम ''टी'' छलांग के बाद विभिन्न साइटों में से प्रत्येक में रहने की संभावना में रुचि रखते हैं, और इस संभावना की सीमा में जब ''टी'' बहुत बड़ी होती है, <math>t\rightarrow\infty </math>.
+,,,,,,,,,,,,,,,1d में विषमांगी यादृच्छिक चालों के लिए सामान्य समाधान समीकरणों का पालन करते हैं ({{EquationNote|1}})-({{EquationNote|5}}), निम्नलिखित में प्रस्तुत किया गया है।
-आम तौर पर ऐसी प्रक्रियाओं में समय भी निरंतर रूप से भिन्न हो सकता है और अंतराल भी या तो अलग या निरंतर होता है। इसके अलावा, अंतराल या तो सीमित है या बिना सीमा के है। असतत प्रणाली में, कनेक्शन आसन्न राज्यों के बीच होते हैं। मॉडल के आधार पर बुनियादी गतिशीलता या तो [[मार्कोव प्रक्रिया]], [[अर्ध-मार्कोव प्रक्रिया]]|अर्ध-मार्कोवियन, या यहां तक कि मार्कोवियन भी नहीं है। असतत प्रणालियों में, 1डी में विषम यादृच्छिक वॉक में जंप संभावनाएं होती हैं जो सिस्टम में स्थान पर निर्भर करती हैं, और/या अलग-अलग जंपिंग टाइम (जेटी) संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन (पीडीएफ) जो सिस्टम में स्थान पर निर्भर करती हैं।
-,,,,,,,,,,,,,,,
-d में विषमांगी यादृच्छिक चालों के लिए सामान्य समाधान समीकरणों का पालन करते हैं ({{EquationNote|1}})-({{EquationNote|5}}), निम्नलिखित में प्रस्तुत किया गया है।
 ==परिचय==
-===अनुप्रयोगों में रैंडम वॉक===
+===अनुप्रयोगों में यादृच्छिक चलना ===
-बेतरतीब सैर<ref name=WGH>{{citation
+यादृच्छिक चलना<ref name=WGH>{{citation
   | last = Weiss | first = George H. | authorlink = George Herbert Weiss
   | isbn = 0-444-81606-2
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   | year = 1965| issue = 2
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-  }}.</ref><ref name=[12]>{{cite journal | last1=Scher | first1=H. | last2=Lax | first2=M. | title=अव्यवस्थित ठोस में स्टोकेस्टिक परिवहन। मैं. सिद्धांत| journal=Physical Review B | publisher=American Physical Society (APS) | volume=7 | issue=10 | date=1973-05-15 | issn=0556-2805 | doi=10.1103/physrevb.7.4491 | pages=4491–4502| bibcode=1973PhRvB...7.4491S }}</ref><ref name=[13]>{{cite journal | last1=Flomenbom | first1=Ophir | last2=Klafter | first2=Joseph | title=परिमित श्रृंखलाओं पर निरंतर समय यादृच्छिक चलने के लिए बंद-फॉर्म समाधान| journal=Physical Review Letters | volume=95 | issue=9 | date=2005-08-26 | issn=0031-9007 | doi=10.1103/physrevlett.95.098105 | page=098105| pmid=16197257 | arxiv=cond-mat/0702561 | bibcode=2005PhRvL..95i8105F | s2cid=16316240 }}</ref><ref name=[13c]>{{cite journal | last1=Flomenbom | first1=O. | last2=Klafter | first2=J. | last3=Silbey | first3=R. 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P. |last2=Xun |first2=L.|last3=Xie |first3=X. S.| title=एकल-अणु एंजाइमेटिक गतिशीलता| journal=Science | publisher=American Association for the Advancement of Science (AAAS) | volume=282 | issue=5395 | date=1998-12-04 | doi=10.1126/science.282.5395.1877 | pages=1877–1882 | pmid=9836635| bibcode=1998Sci...282.1877P }}</ref><ref name=[21]>{{cite journal | last1=Edman | first1=Lars | last2=Földes-Papp | first2=Zeno | last3=Wennmalm | first3=Stefan | last4=Rigler | first4=Rudolf | title=उतार-चढ़ाव वाला एंजाइम: एक एकल अणु दृष्टिकोण| journal=Chemical Physics | publisher=Elsevier BV | volume=247 | issue=1 | year=1999 | issn=0301-0104 | doi=10.1016/s0301-0104(99)00098-1 | pages=11–22 | bibcode=1999CP....247...11E}}</ref><ref name=[22]>{{cite journal | last1=Flomenbom | first1=O. | last2=Velonia | first2=K. | last3=Loos | first3=D. | last4=Masuo | first4=S. | last5=Cotlet | first5=M. | last6=Engelborghs | first6=Y. | last7=Hofkens | first7=J. | last8=Rowan | first8=A. E. | last9=Nolte | first9=R. J. M. | last10=Van der Auweraer | first10=M. | last11=de Schryver | first11=F. C. | last12=Klafter | first12=J. |display-authors=5| title=उतार-चढ़ाव वाले एकल लाइपेज अणुओं की उत्प्रेरक गतिविधि में विस्तारित घातीय क्षय और सहसंबंध| journal=Proceedings of the National Academy of Sciences | volume=102 | issue=7 | date=2005-02-04 | issn=0027-8424 | doi=10.1073/pnas.0409039102 | pages=2368–2372| doi-access=free | pmid=15695587 | bibcode=2005PNAS..102.2368F | pmc=548972 }}</ref><ref name=[22c]>{{cite journal | last1=Flomenbom | first1=Ophir | last2=Hofkens | first2=Johan | last3=Velonia | first3=Kelly | last4=de Schryver | first4=Frans C. | last5=Rowan | first5=Alan E. | last6=Nolte | first6=Roeland J.M. | last7=Klafter | first7=Joseph | last8=Silbey | first8=Robert J. |display-authors=5| title=एकल अणु डेटा से परिणामों को सही ढंग से मान्य करना: एकल लाइपेज बी अणुओं की उत्प्रेरक गतिविधि में विस्तारित घातीय क्षय का मामला| journal=Chemical Physics Letters | volume=432 | issue=1–3 | year=2006 | issn=0009-2614 | doi=10.1016/j.cplett.2006.10.060 | pages=371–374| arxiv=q-bio/0702045 | bibcode=2006CPL...432..371F | s2cid=18680839 }}</ref><ref name=[22d]>{{cite journal | last1=Velonia | first1=Kelly | last2=Flomenbom | first2=Ophir | last3=Loos | first3=Davey | last4=Masuo | first4=Sadahiro | last5=Cotlet | first5=Mircea | last6=Engelborghs | first6=Yves | last7=Hofkens | first7=Johan | last8=Rowan | first8=Alan E. | last9=Klafter | first9=Joseph | last10=Nolte | first10=Roeland J. M. | last11=de Schryver | first11=Frans C. |display-authors=5| title=CALB-उत्प्रेरित हाइड्रोलिसिस का एकल-एंजाइम कैनेटीक्स| journal=Angewandte Chemie International Edition | publisher=Wiley | volume=44 | issue=4 | date=2005-01-14 | issn=1433-7851 | doi=10.1002/anie.200460625 | pages=560–564 | pmid=15619259}}</ref> और [[क्वांटम डॉट्स]].<ref name=[23]>{{cite journal | last1=Chung | first1=Inhee | last2=Bawendi | first2=Moungi G. | title=एकल क्वांटम-डॉट आंतरायिकता और प्रतिदीप्ति तीव्रता के बीच संबंध बिंदुओं के संग्रह से कम हो जाता है| journal=Physical Review B | publisher=American Physical Society (APS) | volume=70 | issue=16 | date=2004-10-11 | issn=1098-0121 | doi=10.1103/physrevb.70.165304 | page=165304 | bibcode=2004PhRvB..70p5304C}}</ref><ref name=[29]>{{cite journal | last1=Barkai | first1=Eli | last2=Jung | first2=YounJoon | last3=Silbey | first3=Robert | title=एकल-अणु स्पेक्ट्रोस्कोपी का सिद्धांत: संयोजन औसत से परे| journal=Annual Review of Physical Chemistry | publisher=Annual Reviews | volume=55 | issue=1 | year=2004 | issn=0066-426X | doi=10.1146/annurev.physchem.55.111803.143246 | pages=457–507| pmid=15117260 | bibcode=2004ARPC...55..457B }}</ref><ref name=[29c]>{{cite journal | last=Brown | first=Frank L. H. | title=एकल-अणु स्पेक्ट्रोस्कोपी में कार्य विधियाँ उत्पन्न करना| journal=Accounts of Chemical Research | publisher=American Chemical Society (ACS) | volume=39 | issue=6 | year=2006 | issn=0001-4842 | doi=10.1021/ar050028l | pages=363–373| pmid=16784214 }}</ref> महत्वपूर्ण रूप से, पीडीएफ और विशेष सहसंबंध कार्य की गणना एकल अणु माप से आसानी से की जा सकती है, लेकिन सामूहिक माप से नहीं। इस अनूठी जानकारी का उपयोग कुछ गुणों को साझा करने वाले अलग-अलग यादृच्छिक वॉक मॉडल के बीच भेदभाव करने के लिए किया जा सकता है{{Which|date=June 2021}},<ref नाम=[24]/><ref नाम=[25]/><ref नाम=[27]/><ref नाम=[27c]/><ref नाम=[14c3]/><ref नाम =[26]/><ref name=[26a]/><ref name=[26c]/><ref name=[28]/> और यह रैंडम वॉक मॉडल के विस्तृत सैद्धांतिक विश्लेषण की मांग करता है। इस संदर्भ में, एकल अणु डेटा में सूचना सामग्री का उपयोग चल रहे शोध का विषय है।{{Weasel inline|date=June 2021}}
+  }}.</ref><ref name=[12]>{{cite journal | last1=Scher | first1=H. | last2=Lax | first2=M. | title=अव्यवस्थित ठोस में स्टोकेस्टिक परिवहन। मैं. सिद्धांत| journal=Physical Review B | publisher=American Physical Society (APS) | volume=7 | issue=10 | date=1973-05-15 | issn=0556-2805 | doi=10.1103/physrevb.7.4491 | pages=4491–4502| bibcode=1973PhRvB...7.4491S }}</ref><ref name=[13]>{{cite journal | last1=Flomenbom | first1=Ophir | last2=Klafter | first2=Joseph | title=परिमित श्रृंखलाओं पर निरंतर समय यादृच्छिक चलने के लिए बंद-फॉर्म समाधान| journal=Physical Review Letters | volume=95 | issue=9 | date=2005-08-26 | issn=0031-9007 | doi=10.1103/physrevlett.95.098105 | page=098105| pmid=16197257 | arxiv=cond-mat/0702561 | bibcode=2005PhRvL..95i8105F | s2cid=16316240 }}</ref><ref name=[13c]>{{cite journal | last1=Flomenbom | first1=O. | last2=Klafter | first2=J. | last3=Silbey | first3=R. J. | title="मास्टर समीकरण का पथ योग निरूपण" पर टिप्पणी करें| journal=Physical Review Letters | volume=97 | issue=17 | date=2006-10-23 | issn=0031-9007 | doi=10.1103/physrevlett.97.178901 | page=178901| pmid=17155514 | arxiv=cond-mat/0702503 | bibcode=2006PhRvL..97q8901F | s2cid=16461793 }}</ref><ref name=[14]>{{cite journal | last1=Flomenbom | first1=Ophir | last2=Silbey | first2=Robert J. | title=सामान्यीकृत मास्टर समीकरण के गुण: पथ प्रतिनिधित्व में ग्रीन के कार्य और संभाव्यता घनत्व कार्य| journal=The Journal of Chemical Physics | publisher=AIP Publishing | volume=127 | issue=3 | date=2007-07-21 | issn=0021-9606 | doi=10.1063/1.2743969 | page=034103| pmid=17655427 | bibcode=2007JChPh.127c4103F }}</ref><ref name=[14c]>{{cite journal | last1=Flomenbom | first1=O. | last2=Silbey | first2=R. J. | title=सेमी-मार्कोवियन रैंडम वॉक के लिए पथ-संभावना घनत्व कार्य| journal=Physical Review E | volume=76 | issue=4 | date=2007-10-01 | issn=1539-3755 | doi=10.1103/physreve.76.041101 | page=041101 | pmid=17994930 | arxiv=0706.3211 | bibcode=2007PhRvE..76d1101F | s2cid=14742889 | url=http://www.flomenbom.net/PRE07.pdf | access-date=2011-05-29 | archive-url=https://web.archive.org/web/20120323112610/http://www.flomenbom.net/PRE07.pdf | archive-date=2012-03-23 | url-status=dead }}</ref><ref name=[15]>{{cite journal | last1=Metzler | first1=Ralf | last2=Klafter | first2=Joseph | title=विसंगतिपूर्ण प्रसार के लिए रैंडम वॉक की मार्गदर्शिका: एक भिन्नात्मक गतिशीलता दृष्टिकोण| journal=Physics Reports | publisher=Elsevier BV | volume=339 | issue=1 | year=2000 | issn=0370-1573 | doi=10.1016/s0370-1573(00)00070-3 | pages=1–77| bibcode=2000PhR...339....1M }}</ref><ref name=[16]>{{cite journal | last1=Qian | first1=H | last2=Wang | first2=H | title=सूक्ष्म उत्क्रमणीयता के साथ बंद और खुले एकल-अणु प्रणालियों में निरंतर समय यादृच्छिक चलता है| journal=Europhysics Letters (EPL) | publisher=IOP Publishing | volume=76 | issue=1 | year=2006 | issn=0295-5075 | doi=10.1209/epl/i2006-10239-9 | pages=15–21| bibcode=2006EL.....76...15Q | s2cid=250811921 }}</ref> का उपयोग जीव विज्ञान में प्रक्रियाओं का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है, '''रेफरी नाम=डीआर>'''गोयल एन.डब्ल्यू. और नीरा डायन|रिक्टर-डायन एन., स्टोचैस्टिक मॉडल्स इन बायोलॉजी (अकादमिक प्रेस, न्यूयॉर्क) 1974; {{ISBN|978-0-12-287460-4}}. रसायन विज्ञान,<ref name=NGK>Van Kampen N. G., ''Stochastic Processes in Physics and Chemistry'', revised and enlarged edition (North-Holland, Amsterdam) 1992; {{ISBN|978-0-444-52965-7}}.</ref> और भौतिकी,<ref name=poly3>Doi M. and Edwards S. F., The Theory of Polymer Dynamics (Clarendon Press, Oxford) 1986; {{ISBN|978-0-19-852033-7}}.</ref><ref name=poly39>De Gennes P. G., ''Scaling Concepts in Polymer Physics'' (Cornell University Press, Ithaca and London) 1979; {{ISBN|978-0-8014-1203-5}}.</ref> [[रासायनिक गतिकी]] सहित<ref name=NGK/> और बहुलक गतिशीलता सम्मिलित है।<ref name=poly3/><ref name=poly39/> व्यक्तिगत अणुओं में, व्यक्तिगत अणुओं का अध्ययन करते समय यादृच्छिक चालें दिखाई देती हैं,<ref name=[17]>{{cite journal | last=Moerner | first=W. E. | title=संघनित पदार्थ में एकल अणुओं को प्रकाशित करना| journal=Science | publisher=American Association for the Advancement of Science (AAAS) | volume=283 | issue=5408 | date=1999-03-12 | issn=0036-8075 | doi=10.1126/science.283.5408.1670 | pages=1670–1676 | pmid=10073924 | bibcode=1999Sci...283.1670M}}</ref><ref name=[17C]>{{cite journal | last=Weiss | first=S. | title=एकल जैव अणुओं की प्रतिदीप्ति स्पेक्ट्रोस्कोपी| journal=Science | publisher=American Association for the Advancement of Science (AAAS) | volume=283 | issue=5408 | date=1999-03-12 | issn=0036-8075 | doi=10.1126/science.283.5408.1676 | pages=1676–1683 | pmid=10073925 | bibcode=1999Sci...283.1676W}}</ref><ref name=[24]>{{cite journal | last1=Flomenbom | first1=O. | last2=Silbey | first2=R. J. | title=दो-राज्य प्रक्षेपवक्र में सूचना सामग्री का उपयोग करना| journal=Proceedings of the National Academy of Sciences | volume=103 | issue=29 | date=2006-07-10 | issn=0027-8424 | doi=10.1073/pnas.0604546103 | pages=10907–10910| pmc=1544147 | pmid=16832051 | arxiv=q-bio/0703013 | bibcode=2006PNAS..10310907F | doi-access=free }}</ref><ref name=[25]>{{cite journal | last1=Bruno | first1=W. J. | last2=Yang | first2=J. | last3=Pearson | first3=J. E. | title=आयन चैनल गेटिंग कैनेटीक्स के एकत्रित मार्कोव मॉडल को सरल बनाने के लिए स्वतंत्र खुले-से-बंद संक्रमणों का उपयोग करना| journal=Proceedings of the National Academy of Sciences USA| publisher=Proceedings of the National Academy of Sciences | volume=102 | issue=18 | date=2005-04-20 | issn=0027-8424 | doi=10.1073/pnas.0409110102 | pages=6326–6331|doi-access=free | pmid=15843461 | bibcode=2005PNAS..102.6326B | pmc=1088360}}</ref><ref name=[27]>{{cite journal | last1=Flomenbom | first1=Ophir | last2=Klafter | first2=Joseph | last3=Szabo | first3=Attila | title=दो-राज्य एकल-अणु प्रक्षेप पथों से कोई क्या सीख सकता है?| journal=Biophysical Journal | volume=88 | issue=6 | year=2005 | issn=0006-3495 | doi=10.1529/biophysj.104.055905 | pages=3780–3783| doi-access=free | pmid=15764653 | bibcode=2005BpJ....88.3780F | pmc=1305612 | arxiv=q-bio/0502006 }}</ref><ref name=[27c]>{{cite journal | last1=Flomenbom | first1=O. | last2=Silbey | first2=R. J. | title=परिमित दो-राज्य प्रक्षेपवक्र का विश्लेषण करने के लिए टूलबॉक्स| journal=Physical Review E | volume=78 | issue=6 | date=2008-12-15 | issn=1539-3755 | doi=10.1103/physreve.78.066105 | page=066105| hdl=1721.1/51348 | hdl-access=free | pmid=19256903 | arxiv=0802.1520 | bibcode=2008PhRvE..78f6105F | s2cid=16196911 }}</ref><ref name=[14c3]>फ्लोमेनबॉम ओ, [https://www.amazon.com/Advances-Chemical-Physics-Molecule-Biophysics/dp/1118057805 Adv. रसायन. भौतिक. 2011; 146, 367]; [https://arxiv.org/abs/0912.3952 पूरा पेपर]</ref><ref name=[26]>{{cite journal | last=Cao | first=Jianshu | title=एकल-अणु गतिकी की घटना-औसत माप| journal=Chemical Physics Letters | publisher=Elsevier BV | volume=327 | issue=1–2 | year=2000 | issn=0009-2614 | doi=10.1016/s0009-2614(00)00809-5 | pages=38–44| bibcode=2000CPL...327...38C }}</ref><ref name=[26a]>{{cite journal | last1=Yang | first1=Shilong | last2=Cao | first2=Jianshu | title=एकल-अणु गतिकी में स्मृति प्रभावों का प्रत्यक्ष माप| journal=The Journal of Chemical Physics | publisher=AIP Publishing | volume=117 | issue=24 | date=2002-12-22 | issn=0021-9606 | doi=10.1063/1.1521155 | pages=10996–11009| bibcode=2002JChPh.11710996Y }}</ref><ref name=[26c]>{{cite journal | last1=Witkoskie | first1=James B. | last2=Cao | first2=Jianshu | title=एकल अणु गतिकी. I. संकेतकों का सैद्धांतिक विश्लेषण| journal=The Journal of Chemical Physics | publisher=AIP Publishing | volume=121 | issue=13 | year=2004 | issn=0021-9606 | doi=10.1063/1.1785783 | pages=6361–6372| pmid=15446933 | bibcode=2004JChPh.121.6361W }}</ref> व्यक्तिगत चैनल,<ref name=[28]>{{cite journal | last1=Colquhoun | first1=D. | last2=Hawkes | first2=A. G. | title=एकल आयन चैनल के उद्घाटन और विस्फोटों के समूहों के फटने के स्टोकेस्टिक गुणों पर| journal=Philosophical Transactions of the Royal Society B: Biological Sciences | publisher=The Royal Society | volume=300 | issue=1098 | date=1982-12-24 | issn=0962-8436 | doi=10.1098/rstb.1982.0156 | pages=1–59| doi-access=free | pmid=6131450 | bibcode=1982RSPTB.300....1C }}</ref><ref name=[18]>{{cite journal | last=Meller | first=Amit | title=नैनोमीटर-स्केल छिद्रों के माध्यम से पॉलीन्यूक्लियोटाइड परिवहन की गतिशीलता| journal=Journal of Physics: Condensed Matter | publisher=IOP Publishing | volume=15 | issue=17 | date=2003-04-22 | issn=0953-8984 | doi=10.1088/0953-8984/15/17/202 | pages=R581–R607| s2cid=250907343 }}</ref> व्यक्तिगत जैव अणु,<ref name=[19]>{{cite journal | last=Zhuang | first=Xiaowei | title=एकल-अणु आरएनए विज्ञान| journal=Annual Review of Biophysics and Biomolecular Structure | publisher=Annual Reviews | volume=34 | issue=1 | year=2005 | issn=1056-8700 | doi=10.1146/annurev.biophys.34.040204.144641 | pages=399–414| pmid=15869396 }}</ref> व्यक्तिगत एंजाइम,<ref name=[24]/><ref name=[27]/><ref नाम=[27c]/><ref नाम=[14c3]/><ref नाम=[20 ]>{{cite journal | last1=Lu | first1=H. P. |last2=Xun |first2=L.|last3=Xie |first3=X. S.| title=एकल-अणु एंजाइमेटिक गतिशीलता| journal=Science | publisher=American Association for the Advancement of Science (AAAS) | volume=282 | issue=5395 | date=1998-12-04 | doi=10.1126/science.282.5395.1877 | pages=1877–1882 | pmid=9836635| bibcode=1998Sci...282.1877P }}</ref><ref name=[21]>{{cite journal | last1=Edman | first1=Lars | last2=Földes-Papp | first2=Zeno | last3=Wennmalm | first3=Stefan | last4=Rigler | first4=Rudolf | title=उतार-चढ़ाव वाला एंजाइम: एक एकल अणु दृष्टिकोण| journal=Chemical Physics | publisher=Elsevier BV | volume=247 | issue=1 | year=1999 | issn=0301-0104 | doi=10.1016/s0301-0104(99)00098-1 | pages=11–22 | bibcode=1999CP....247...11E}}</ref><ref name=[22]>{{cite journal | last1=Flomenbom | first1=O. | last2=Velonia | first2=K. | last3=Loos | first3=D. | last4=Masuo | first4=S. | last5=Cotlet | first5=M. | last6=Engelborghs | first6=Y. | last7=Hofkens | first7=J. | last8=Rowan | first8=A. E. | last9=Nolte | first9=R. J. M. | last10=Van der Auweraer | first10=M. | last11=de Schryver | first11=F. C. | last12=Klafter | first12=J. |display-authors=5| title=उतार-चढ़ाव वाले एकल लाइपेज अणुओं की उत्प्रेरक गतिविधि में विस्तारित घातीय क्षय और सहसंबंध| journal=Proceedings of the National Academy of Sciences | volume=102 | issue=7 | date=2005-02-04 | issn=0027-8424 | doi=10.1073/pnas.0409039102 | pages=2368–2372| doi-access=free | pmid=15695587 | bibcode=2005PNAS..102.2368F | pmc=548972 }}</ref><ref name=[22c]>{{cite journal | last1=Flomenbom | first1=Ophir | last2=Hofkens | first2=Johan | last3=Velonia | first3=Kelly | last4=de Schryver | first4=Frans C. | last5=Rowan | first5=Alan E. | last6=Nolte | first6=Roeland J.M. | last7=Klafter | first7=Joseph | last8=Silbey | first8=Robert J. |display-authors=5| title=एकल अणु डेटा से परिणामों को सही ढंग से मान्य करना: एकल लाइपेज बी अणुओं की उत्प्रेरक गतिविधि में विस्तारित घातीय क्षय का मामला| journal=Chemical Physics Letters | volume=432 | issue=1–3 | year=2006 | issn=0009-2614 | doi=10.1016/j.cplett.2006.10.060 | pages=371–374| arxiv=q-bio/0702045 | bibcode=2006CPL...432..371F | s2cid=18680839 }}</ref><ref name=[22d]>{{cite journal | last1=Velonia | first1=Kelly | last2=Flomenbom | first2=Ophir | last3=Loos | first3=Davey | last4=Masuo | first4=Sadahiro | last5=Cotlet | first5=Mircea | last6=Engelborghs | first6=Yves | last7=Hofkens | first7=Johan | last8=Rowan | first8=Alan E. | last9=Klafter | first9=Joseph | last10=Nolte | first10=Roeland J. M. | last11=de Schryver | first11=Frans C. |display-authors=5| title=CALB-उत्प्रेरित हाइड्रोलिसिस का एकल-एंजाइम कैनेटीक्स| journal=Angewandte Chemie International Edition | publisher=Wiley | volume=44 | issue=4 | date=2005-01-14 | issn=1433-7851 | doi=10.1002/anie.200460625 | pages=560–564 | pmid=15619259}}</ref> और [[क्वांटम डॉट्स]].<ref name=[23]>{{cite journal | last1=Chung | first1=Inhee | last2=Bawendi | first2=Moungi G. | title=एकल क्वांटम-डॉट आंतरायिकता और प्रतिदीप्ति तीव्रता के बीच संबंध बिंदुओं के संग्रह से कम हो जाता है| journal=Physical Review B | publisher=American Physical Society (APS) | volume=70 | issue=16 | date=2004-10-11 | issn=1098-0121 | doi=10.1103/physrevb.70.165304 | page=165304 | bibcode=2004PhRvB..70p5304C}}</ref><ref name=[29]>{{cite journal | last1=Barkai | first1=Eli | last2=Jung | first2=YounJoon | last3=Silbey | first3=Robert | title=एकल-अणु स्पेक्ट्रोस्कोपी का सिद्धांत: संयोजन औसत से परे| journal=Annual Review of Physical Chemistry | publisher=Annual Reviews | volume=55 | issue=1 | year=2004 | issn=0066-426X | doi=10.1146/annurev.physchem.55.111803.143246 | pages=457–507| pmid=15117260 | bibcode=2004ARPC...55..457B }}</ref><ref name=[29c]>{{cite journal | last=Brown | first=Frank L. H. | title=एकल-अणु स्पेक्ट्रोस्कोपी में कार्य विधियाँ उत्पन्न करना| journal=Accounts of Chemical Research | publisher=American Chemical Society (ACS) | volume=39 | issue=6 | year=2006 | issn=0001-4842 | doi=10.1021/ar050028l | pages=363–373| pmid=16784214 }}</ref> महत्वपूर्ण रूप से, पीडीएफ और विशेष सहसंबंध कार्य की गणना एकल अणु माप से आसानी से की जा सकती है, किन्तु सामूहिक माप से नहीं। इस अनूठी जानकारी का उपयोग कुछ गुणों को साझा करने वाले अलग-अलग यादृच्छिक वॉक मॉडल के बीच भेदभाव करने के लिए किया जा सकता है, जो कुछ गुणों को साझा करते हैं। {{Which|date=June 2021}},<ref नाम=[24]/><ref नाम=[25]/><ref नाम=[27]/><ref नाम=[27c]/><ref नाम=[14c3]/><ref नाम =[26]/><ref name=[26a]/><ref name=[26c]/><ref name=[28]/> और यह यादृच्छिक चलना  मॉडल के विस्तृत सैद्धांतिक विश्लेषण की मांग करता है। इस संदर्भ में, एकल अणु डेटा में सूचना सामग्री का उपयोग चल रहे शोध का विषय है।{{Weasel inline|date=June 2021}}
 ===यादृच्छिक सैर का सूत्रीकरण===
-वास्तविक रैंडम वॉक स्टोकेस्टिक अंतर समीकरण का पालन करता है, लेकिन इसकी संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन (पीडीएफ) नियतात्मक समीकरण का पालन करता है। रैंडम वॉक के पीडीएफ (अंतरिक्ष में अलग) [[मास्टर समीकरण]] के संदर्भ में तैयार किए जा सकते हैं<ref name=WGH/><ref name=DR/><ref name=NGK/>और मास्टर समीकरण#मार्कोवियन गतिज योजनाओं का सामान्यीकरण<ref name=[9]/> या (अंतरिक्ष और समय में निरंतर) फोककर-प्लैंक समीकरण<ref>Risken H., ''The Fokker-Planck Equation'' (Springer, Berlin) 1984; {{ISBN|978-3-642-08409-6}}.</ref> और इसके सामान्यीकरण।<ref name=[15]/> निरंतर समय यादृच्छिक चलना,<ref name=WGH/>नवीनीकरण सिद्धांत,<ref>Cox D. R., ''Renewal Theory'' (Methuen, London) 1962.</ref> और पथ प्रतिनिधित्व<ref name=[9]/><ref name=[13]/><ref name=[14]/><ref name=[14c]/> भी रैंडम वॉक के उपयोगी सूत्र हैं। विभिन्न विवरणों के बीच संबंधों का नेटवर्क यादृच्छिक चालों के विश्लेषण में शक्तिशाली उपकरण प्रदान करता है। मनमाने ढंग से विषम वातावरण विश्लेषण को कठिन बनाते हैं, खासकर उच्च आयामों में।{{Weasel inline|date=June 2021}}
+इस प्रकार से वास्तविक यादृच्छिक चलना  प्रसंभाव्यता अंतर समीकरण का पालन करता है, किन्तु इसकी संभाव्यता घनत्व फलन (पीडीएफ) नियतात्मक समीकरण का पालन करता है। यादृच्छिक चलना  के पीडीएफ (अवस्था में अलग) [[मास्टर समीकरण|मुख्य समीकरण]] के संदर्भ में तैयार किए जा सकते हैं<ref name=WGH/><ref name=DR/><ref name=NGK/> और मुख्य समीकरण मार्कोवियन गतिज योजनाओं का सामान्यीकरण<ref name=[9]/> या (अवस्था और समय में निरंतर) फोककर-प्लैंक समीकरण<ref>Risken H., ''The Fokker-Planck Equation'' (Springer, Berlin) 1984; {{ISBN|978-3-642-08409-6}}.</ref> और इसके सामान्यीकरण के संदर्भ में तैयार किए जा सकते हैं।<ref name=[15]/> निरंतर समय यादृच्छिक चलना,<ref name=WGH/> नवीनीकरण सिद्धांत,<ref>Cox D. R., ''Renewal Theory'' (Methuen, London) 1962.</ref> और पथ प्रतिनिधित्व<ref name=[9]/><ref name=[13]/><ref name=[14]/><ref name=[14c]/> भी यादृच्छिक चलना  के उपयोगी सूत्र हैं। विभिन्न विवरणों के बीच संबंधों का नेटवर्क यादृच्छिक चालों के विश्लेषण में शक्तिशाली उपकरण प्रदान करता है। , विशेषकर उच्च आयामों में इच्छानुसार रूप से विषम वातावरण विश्लेषण को कठिन बनाते हैं।{{Weasel inline|date=June 2021}}
 ==एक आयाम में यादृच्छिक सैर के लिए परिणाम==
 ===सरल प्रणालियाँ===
-सरल प्रणालियों में ज्ञात महत्वपूर्ण परिणामों में शामिल हैं:
+सरल प्रणालियों में ज्ञात महत्वपूर्ण परिणामों में सम्मिलित हैं:
-* एक सममित मार्कोवियन रैंडम वॉक में, राज्य पर कब्जा करने के लिए ग्रीन का फ़ंक्शन (जिसे वॉकर का पीडीएफ भी कहा जाता है) मैं स्थिति में गाऊसी है और इसमें भिन्नता है जो समय की तरह मापती है। यह अलग-अलग समय और स्थान वाली प्रणाली के लिए सही है, फिर भी निरंतर समय और स्थान वाली प्रणाली में भी। यह परिणाम बिना सीमा वाली प्रणालियों के लिए है।
+* एक सममित मार्कोवियन यादृच्छिक चलना  में, अवस्था पर अधिकृत करने के लिए ग्रीन का फलन (जिसे चलना का पीडीएफ भी कहा जाता है) मैं स्थिति में गाऊसी है और इसमें भिन्नता है जो समय की तरह मापती है। यह अलग-अलग समय और स्थान वाली प्रणाली के लिए सही है, फिर भी निरंतर समय और स्थान वाली प्रणाली में भी सम्मिलित है। यह परिणाम बिना सीमा वाली प्रणालियों के लिए है।
-* जब सिस्टम में साधारण पूर्वाग्रह होता है (यानी सिस्टम पर विशेष दिशा में निरंतर बल लगाया जाता है), तो यादृच्छिक वॉकर की उसकी प्रारंभिक स्थिति से औसत दूरी समय के साथ रैखिक होती है।
+* जब प्रणाली में साधारण पूर्वाग्रह होता है (यानी प्रणाली पर विशेष दिशा में निरंतर बल लगाया जाता है), तो यादृच्छिक चलना की उसकी प्रारंभिक स्थिति से औसत दूरी समय के साथ रैखिक होती है।
-* लंबाई L के सीमित अंतराल में प्रारंभिक स्थिति से दूरी L तक पहुंचने का प्रयास करते समय, समय <math>\tau</math> इस दूरी तक पहुँचने के लिए लंबाई L के साथ घातीय है: <math>\tau = e^L</math>. यहां, प्रसार रैखिक क्षमता के विरुद्ध है।
+* जब लंबाई L के एक सीमित अंतराल में प्रारंभिक स्थिति से दूरी L तक पहुँचने का प्रयास किया जाता है, तो इस दूरी तक पहुँचने का समय  <math>\tau</math> लंबाई L के साथ घातांकीय <math>\tau = e^L</math> होता है:  यहाँ, प्रसार एक रैखिक क्षमता के विरुद्ध है।
 ===विषम प्रणालियाँ===
-ग्रीन के कार्य का समाधान <math>G_{ij}(t;L)</math> 1डी में मनमाने ढंग से विषम वातावरण में अर्ध-मार्कोवियन यादृच्छिक चलने के लिए हाल ही में पथ प्रतिनिधित्व का उपयोग किया गया था।<ref name=[13]/><ref name=[14]/><ref name=[14c]/> ( कार्यक्रम <math>G_{ij}(t;L)</math> समय t पर स्थिति i पर कब्ज़ा करने के लिए पीडीएफ है, यह देखते हुए कि प्रक्रिया ठीक समय 0 पर स्थिति j पर शुरू हुई।) 1D में अर्ध-मार्कोवियन रैंडम वॉक को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: रैंडम वॉक जिसकी गतिशीलता (संभवतः) स्थिति द्वारा वर्णित है - और दिशा-निर्भर जेटी-पीडीएफ, <math>\psi_{ij}(t)</math>, राज्यों i और i ± 1 के बीच संक्रमण के लिए, जो असंबद्ध प्रतीक्षा समय के स्टोकेस्टिक प्रक्षेपवक्र उत्पन्न करता है जो कि घातीय रूप से वितरित नहीं होते हैं। <math>\psi_{ij}(t)</math> सामान्यीकरण शर्तों का पालन करता है (चित्र 1 देखें)
+D में इच्छानुसार रूप से विषम वातावरण में अर्ध-मार्कोवियन यादृच्छिक चलने के लिए ग्रीन के फलन <math>G_{ij}(t;L)</math> का समाधान  हाल ही में पथ प्रतिनिधित्व का उपयोग किया गया था।<ref name=[13]/><ref name=[14]/><ref name=[14c]/> ( फलन <math>G_{ij}(t;L)</math> समय t पर स्थिति i पर कब्ज़ा करने के लिए पीडीएफ है, यह देखते हुए कि प्रक्रिया ठीक समय 0 पर स्थिति j पर प्रारंभ हुई।) 1D में अर्ध-मार्कोवियन यादृच्छिक चलना  को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: यादृच्छिक चलना  जिसकी गतिशीलता (संभवतः) स्थिति द्वारा वर्णित है अवस्था- और दिशा-निर्भर जेटी-पीडीएफ, <math>\psi_{ij}(t)</math>, अवस्थाओ i और i ± 1 के बीच संक्रमण के लिए, जो असंबद्ध प्रतीक्षा समय के प्रसंभाव्यता प्रक्षेपवक्र उत्पन्न करता है जो कि घातीय रूप से वितरित <math>\psi_{ij}(t)</math> नहीं होते हैं। और सामान्यीकरण नियमो का पालन करता है (चित्र 1 देखें)
 :<math>\sum_j\int_0^\infty \psi_{ij}(t)=1 .</math>
-गतिशीलता में राज्य और दिशा-निर्भर अपरिवर्तनीय ट्रैपिंग जेटी-पीडीएफ भी शामिल हो सकते हैं, <math>\psi_{iI}(t)</math>, I=i+L के साथ। जब पर्यावरण विषम होता है <math>\psi_{ij}(t)</math> मैं पर निर्भर करता हूँ उपरोक्त प्रक्रिया भी सतत समय यादृच्छिक चाल है और इसमें ग्रीन के फ़ंक्शन के लिए समकक्ष सामान्यीकृत मास्टर समीकरण प्रतिनिधित्व है।<math>G_{ij}(t)</math>.<ref नाम=[9]/><ref नाम=[13]/><ref नाम=[14]/><ref नाम=[14c]/>
+गतिशीलता में अवस्था- और दिशा-निर्भर अपरिवर्तनीय ट्रैपिंग जेटी-पीडीएफ, <math>\psi_{iI}(t)</math> I=i+L के साथ भी सम्मिलित हो सकता है। जब  <math>\psi_{ij}(t)</math> i पर निर्भर करता है तो पर्यावरण विषम होता है। उपरोक्त प्रक्रिया भी एक सतत समय यादृच्छिक चाल है और इसमें ग्रीन फलन <math>G_{ij}(t)</math> के लिए समकक्ष सामान्यीकृत मुख्य समीकरण प्रतिनिधित्व है।<ref नाम=[9]/><ref नाम=[13]/><ref नाम=[14]/><ref नाम=[14c]/>
-====1डी में विषम यादृच्छिक सैर के लिए स्पष्ट अभिव्यक्तियाँ====
+====1D में विषम यादृच्छिक सैर के लिए स्पष्ट अभिव्यक्तियाँ====
-पूरी तरह से विषम अर्ध-मार्कोव प्रक्रिया में, एल (> 1) राज्यों की अलग प्रणाली में अर्ध-मार्कोवियन यादृच्छिक चलना, ग्रीन का फ़ंक्शन लाप्लास स्पेस में पाया गया था (फ़ंक्शन के लाप्लास परिवर्तन को इसके साथ परिभाषित किया गया है, <math>\bar{f}(s)=\int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt</math>). यहां, सिस्टम को जंपिंग टाइम (आईटी) पीडीएफ के माध्यम से परिभाषित किया गया है: <math>\psi_{ij}(t)</math> राज्य i को राज्य j से जोड़ना (छलांग राज्य i से है)। समाधान ग्रीन के फ़ंक्शन के पथ प्रतिनिधित्व पर आधारित है, जिसकी गणना सभी लंबाई के सभी पथ संभाव्यता घनत्व कार्यों को शामिल करते समय की जाती है:
+अर्ध-मार्कोव प्रक्रिया में, एल (> 1) अवस्थाओ की एक अलग प्रणाली में पूरी तरह से विषम अर्ध-मार्कोवियन यादृच्छिक चलना, ग्रीन का फलन लाप्लास स्थान में पाया गया था (फलन के   लाप्लास परिवर्तन को <math>\bar{f}(s)=\int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt</math> इसके साथ परिभाषित किया गया है, ). यहां, प्रणाली को उछाल समय (आईटी) पीडीएफ <math>\psi_{ij}(t)</math> के माध्यम से परिभाषित किया गया है:  अवस्था i को अवस्था j से जोड़ना (छलांग अवस्था i से है)। समाधान ग्रीन के फलन के पथ प्रतिनिधित्व पर आधारित है, जिसकी गणना सभी लंबाई के सभी पथ संभाव्यता घनत्व कार्यों को सम्मिलित करते समय की जाती है:
 {{NumBlk|:|<math>
@@ Line 58: / Line 53: @@
 </math>|{{EquationRef|1}}}}
-यहाँ,
+जहाँ,
 : <math>\bar{\Psi}_{i}(s) =\sum_j \bar{\Psi}_{ij}(s)</math>
@@ Line 64: / Line 59: @@
 : <math>\bar{\Psi}_{ij}(s)=\frac{1-\bar{\psi}_{ij}(s)}{s}.</math>
-इसके अलावा, Eq में. ({{EquationNote|1}}),
+इसके अतिरिक्त, समीकरण में. ({{EquationNote|1}}),
 {{NumBlk|:|<math>
@@ Line 88: / Line 83: @@
 </math>|{{EquationRef|5}}}}
-एल = 1 के लिए, <math>\bar{\Phi}(s;L)=1</math>. इस पेपर में, प्रतीक [एल/2], जैसा कि समीकरण में योग की ऊपरी सीमा में दिखाई देता है। ({{EquationNote|5}}) फ्लोर ऑपरेशन (शून्य की ओर गोल) है। अंत में, कारक <math>\Phi(s,\tilde{L})</math> ईक में ({{EquationNote|1}}) का रूप भी वैसा ही है <math>\bar{\Phi}(s;L)</math> eqs में. ({{EquationNote|3}})-({{EquationNote|5}}), फिर भी इसकी गणना जाली पर की जाती है <math>\tilde{L}</math> . जाली <math>\tilde{L}</math> इसका निर्माण मूल जाली से i और j और उनके बीच की स्थितियों को निकालकर और फिर प्राप्त दो टुकड़ों को जोड़कर किया जाता है। ऐसे मामलों के लिए जिनमें टुकड़ा एकल अवस्था है, इस टुकड़े को बाहर रखा गया है; अर्थात्, जाली <math>\tilde{L}</math> लंबा टुकड़ा है. जब प्रत्येक टुकड़ा एकल अवस्था है, <math>\bar{\Phi}(s;\tilde{L})=1</math>.
+एल = 1 के लिए, <math>\bar{\Phi}(s;L)=1</math>. इस पेपर में, प्रतीक [एल/2], जैसा कि समीकरण में योग की ऊपरी सीमा में दिखाई देता है। ({{EquationNote|5}}) फ्लोर ऑपरेशन (शून्य की ओर गोल) है। अंत में, समीकरण कारक <math>\Phi(s,\tilde{L})</math> ({{EquationNote|1}})  का रूप समीकरणों में  <math>\bar{\Phi}(s;L)</math> जैसा ही है। ({{EquationNote|3}})-({{EquationNote|5}}), फिर भी इसकी गणना जालक <math>\tilde{L}</math> पर की जाती है . जालक <math>\tilde{L}</math> इसका निर्माण मूल जालक से i और j और उनके बीच की स्थितियों को निकालकर और फिर प्राप्त दो टुकड़ों को जोड़कर किया जाता है। ऐसे स्तिथियों के लिए जिनमें टुकड़ा एकल अवस्था है, इस टुकड़े को बाहर रखा गया है; अर्थात्, जालक <math>\tilde{L}</math> लंबा टुकड़ा है. जब प्रत्येक टुकड़ा एकल अवस्था ,<math>\bar{\Phi}(s;\tilde{L})=1</math> है.
-समीकरण ({{EquationNote|1}})-({{EquationNote|5}}) एल-स्टेट श्रृंखला में किसी भी 1डी अर्ध-मार्कोवियन रैंडम वॉक के लिए पकड़ें, और 1डी में रैंडम वॉक के लिए स्पष्ट रूप में सबसे सामान्य समाधान बनाएं।
+समीकरण ({{EquationNote|1}})-({{EquationNote|5}}) एल-अवस्था श्रृंखला में किसी भी 1D अर्ध-मार्कोवियन रैंडम वॉक के लिए पकड़ बनाते हैं, और 1d में रैंडम वॉक के लिए स्पष्ट रूप में सबसे सामान्य समाधान बनाते हैं।
 ====विषम यादृच्छिक चालों का पथ प्रतिनिधित्व====
-स्पष्ट रूप से, <math>\bar{G}_{ij}(s;L)</math> Eqs में. ({{EquationNote|1}})-({{EquationNote|5}}) संगत निरंतर समय रैंडम वॉक समस्या और समतुल्य सामान्यीकृत मास्टर समीकरण को हल करता है। समीकरण ({{EquationNote|1}})-({{EquationNote|5}}) सक्षम
+स्पष्ट रूप से, <math>\bar{G}_{ij}(s;L)</math> समीकरण में. ({{EquationNote|1}})-({{EquationNote|5}}) संगत निरंतर समय यादृच्छिक चलना  समस्या और समतुल्य सामान्यीकृत मुख्य समीकरण को हल करता है। समीकरण ({{EquationNote|1}})-({{EquationNote|5}}) सक्षम
-विभिन्न पहलुओं से 1डी श्रृंखलाओं में अर्ध-मार्कोवियन यादृच्छिक चालों का विश्लेषण करना। समय डोमेन का व्युत्क्रमण ग्रीन का कार्य देता है, लेकिन क्षणों और सहसंबंध कार्यों की गणना Eqs से भी की जा सकती है। ({{EquationNote|1}})-({{EquationNote|5}}), और फिर समय डोमेन में उलटा (प्रासंगिक मात्राओं के लिए)। बंद-रूप <math>\bar{G}_{ij}(s;L)</math> सामान्यीकृत मास्टर समीकरण का संख्यात्मक व्युत्क्रम अस्थिर होने पर भी इसकी उपयोगिता प्रकट होती है। इसके अलावा, का उपयोग कर <math>\bar{G}_{ij}(s;L)</math> सरल विश्लेषणात्मक जोड़-तोड़ में, <ref name=[13]/><ref name=[14]/><ref name=[14c]/> (i) पहला मार्ग समय पीडीएफ, (ii)-(iii) पहली घटना के लिए विशेष डब्ल्यूटी-पीडीएफ के साथ यादृच्छिक वॉक के लिए और गोलाकार एल-स्टेट 1 डी श्रृंखला में यादृच्छिक वॉक के लिए ग्रीन के कार्य, और (iv) कई तर्कों के साथ अंतरिक्ष और समय में संयुक्त पीडीएफ।
-फिर भी, इस लेख में प्रयुक्त औपचारिकता ग्रीन के कार्य का पथ प्रतिनिधित्व है <math>G_{ij}(t)</math>, और यह प्रक्रिया पर अधिक जानकारी प्रदान करता है। पथ प्रतिनिधित्व इस प्रकार है:
+विभिन्न पहलुओं से 1डी श्रृंखलाओं में अर्ध-मार्कोवियन यादृच्छिक चालों का विश्लेषण करना में सक्षम बनाते हैं। समय डोमेन का व्युत्क्रमण ग्रीन का कार्य देता है, किन्तु क्षणों और सहसंबंध कार्यों की गणना समीकरण से भी की जा सकती है। ({{EquationNote|1}})-({{EquationNote|5}}), और फिर समय डोमेन में विपरीत (प्रासंगिक मात्राओं के लिए) है। सामान्यीकृत मुख्य समीकरण का संख्यात्मक व्युत्क्रम अस्थिर होने पर बंद-रूप <math>\bar{G}_{ij}(s;L)</math> भी इसकी उपयोगिता प्रकट होती है। इसके अतिरिक्त, सरल विश्लेषणात्मक जोड़-तोड़ में <math>\bar{G}_{ij}(s;L)</math>,का उपयोग करने से, <ref name="[13]" /><ref name="[14]" /><ref name="[14c]" /> (i) पहला मार्ग समय पीडीएफ, (ii)-(iii) पहली घटना के लिए विशेष डब्ल्यूटी-पीडीएफ के साथ यादृच्छिक चलने के लिए ग्रीन के कार्य मिलते हैं। पहली घटना और एक वृत्ताकार एल-अवस्था 1 डी श्रृंखला में यादृच्छिक चलने के लिए, और (iv) कई तर्कों के साथ अवस्था और समय में संयुक्त पीडीएफ का कार्य करते हैं।
+फिर भी, इस लेख में प्रयुक्त औपचारिकता ग्रीन के फलन <math>G_{ij}(t)</math> का पथ प्रतिनिधित्व है, और यह प्रक्रिया पर अधिक जानकारी प्रदान करता है। पथ प्रतिनिधित्व इस प्रकार है:
 {{NumBlk|:|<math>
@@ Line 102: / Line 98: @@
 </math>|{{EquationRef|6}}}}
-के लिए अभिव्यक्ति <math> W_{ij}(t;L)</math> समीकरण में ({{EquationNote|6}}) अनुसरण करता है,
+समीकरण में <math> W_{ij}(t;L)</math> के लिए अभिव्यक्ति ({{EquationNote|6}}) अनुसरण करता है,
 {{NumBlk|:|<math>
@@ Line 108: / Line 104: @@
 </math>|{{EquationRef|7}}}}
-<math> W_{ij}(t;L)</math> ठीक समय t पर स्थिति i तक पहुंचने का पीडीएफ है जब स्थिति j पर ठीक समय 0 पर शुरू होता है। यह समय में पथ पीडीएफ है जो सभी पथों से बनाया गया है <math>2n +\gamma_{ij}</math> संक्रमण जो राज्यों j को i से जोड़ते हैं। दो अलग-अलग पथ प्रकार इसमें योगदान करते हैं <math>w_{ij}(\tau,2n+\gamma_{ij};L)</math>:<ref name=[14]/><ref name=[14c]/> समान राज्यों से बने पथ अलग-अलग क्रम में और समान लंबाई के अलग-अलग पथों में दिखाई देते हैं <math>2n +\gamma_{ij}</math> परिवर्तन. अनुवाद अपरिवर्तनीय श्रृंखलाओं के लिए पथ पीडीएफ मोनो-पीक हैं। अनुवाद के लिए पथ पीडीएफ अपरिवर्तनीय श्रृंखलाएं ज्यादातर अपने चरम के आसपास ग्रीन के कार्य में योगदान करती हैं, लेकिन माना जाता है कि यह व्यवहार विषम श्रृंखलाओं की भी विशेषता है।
+<math> W_{ij}(t;L)</math> ठीक समय 0 पर स्थिति j पर प्रारंभ होने पर ठीक समय t पर स्थिति i तक पहुंचने का पीडीएफ है। यह समय में पथ पीडीएफ है जो <math>2n +\gamma_{ij}</math> संक्रमणों के साथ सभी पथों से बनाया गया है जो अवस्थाओ j को i से जोड़ता है। दो अलग-अलग पथ प्रकार समान अवस्थाओ से बने <math>w_{ij}(\tau,2n+\gamma_{ij};L)</math> पथों में योगदान करते हैं जो अलग-अलग क्रम में दिखाई देते हैं और <math>2n +\gamma_{ij}</math> संक्रमणों की समान लंबाई के विभिन्न पथ होते हैं। अनुवाद अपरिवर्तनीय श्रृंखलाओं के लिए पथ पीडीएफ मोनो-पीक हैं। अनुवाद के लिए पथ पीडीएफ अपरिवर्तनीय श्रृंखलाएं अधिकतर अपने चरम के समीप ग्रीन के कार्य में योगदान करती हैं, किन्तु माना जाता है कि यह व्यवहार विषम श्रृंखलाओं की भी विशेषता है।<ref name="[14]" /><ref name="[14c]" />
-हम यह भी ध्यान देते हैं कि निम्नलिखित संबंध कायम है, <math> \bar{W}_{ij}(s;L)= \bar{W}_{1L}(s;L)/ \bar{W}_{1\tilde{L}}(s;\tilde{L})</math>. इस संबंध का उपयोग करते हुए, हम हल करने पर ध्यान केंद्रित करते हैं <math> \bar{w}_{1L}(s;L)</math>.
+हम यह भी ध्यान देते हैं कि निम्नलिखित संबंध धारण <math> \bar{W}_{ij}(s;L)= \bar{W}_{1L}(s;L)/ \bar{W}_{1\tilde{L}}(s;\tilde{L})</math>, रखती है। इस संबंध का उपयोग करते हुए, हम <math> \bar{w}_{1L}(s;L)</math> हल करने पर ध्यान केंद्रित करते हैं।
 ====पथ पीडीएफ====
-ग्रीन के फ़ंक्शन के साथ प्रदान की गई रैंडम वॉक पर पूरक जानकारी पथ पीडीएफ में निहित है। यह स्पष्ट है, जब ग्रीन के कार्यों के लिए सन्निकटन का निर्माण किया जाता है, तो किस पथ में पीडीएफ विश्लेषण में बिल्डिंग ब्लॉक होते हैं।<ref name=[14]/><ref name=[14c]/> इसके अलावा, ग्रीन के फ़ंक्शन के विश्लेषणात्मक गुण हैं केवल पथ पीडीएफ विश्लेषण में स्पष्ट किया गया। यहाँ, के लिए प्रत्यावर्तन संबंध प्रस्तुत किया गया है <math> w_{ij}(\tau,2n+\gamma_{ij};L)</math> एल के किसी निश्चित मान के लिए पथ पीडीएफ की लंबाई एन में। पथ पीडीएफ में पुनरावर्ती संबंध रैखिक है <math>\bar{h} (s,i;L)</math>Eq में s. ({{EquationNote|5}}) एन स्वतंत्र गुणांक के रूप में कार्य करता है, और क्रम का है [एल / 2]:
+ग्रीन के फलन के साथ प्रदान की गई यादृच्छिक चलना  पर पूरक जानकारी पथ पीडीएफ में निहित है। यह स्पष्ट है, जब ग्रीन के कार्यों के लिए सन्निकटन का निर्माण किया जाता है, तो किस पथ में पीडीएफ विश्लेषण में बिल्डिंग ब्लॉक होते हैं।<ref name=[14]/><ref name=[14c]/> इसके अतिरिक्त, ग्रीन के फलन के विश्लेषणात्मक गुण  केवल पथ पीडीएफ विश्लेषण में स्पष्ट किया गया हैं। यहाँ, एल के किसी निश्चित मान के लिए पथ पीडीएफ की लंबाई एन में <math> w_{ij}(\tau,2n+\gamma_{ij};L)</math> के लिए प्रत्यावर्तन संबंध प्रस्तुत किया गया है। पथ पीडीएफ में पुनरावर्ती समीकरण में <math>\bar{h} (s,i;L)</math> एस के साथ रैखिक है। ({{EquationNote|5}}) एन स्वतंत्र गुणांक के रूप में कार्य करता है, और क्रम का है [एल / 2]:
 {{NumBlk|:|<math>
@@ Line 120: / Line 116: @@
 समीकरण में गुणांकों के लिए सार्वभौमिक सूत्र को समझाने के लिए पुनरावर्तन संबंध का उपयोग किया जाता है। ({{EquationNote|1}}).
-प्रत्यावर्तन संबंध का समाधान az परिवर्तन लागू करके प्राप्त किया जाता है:
+प्रत्यावर्तन संबंध का समाधान az परिवर्तन प्रयुक्त करके प्राप्त किया जाता है:
 {{NumBlk|:|<math>
@@ Line 126: / Line 123: @@
 </math>|{{EquationRef|9}}}}
-सेटिंग <math>z=1</math> समीकरण में ({{EquationNote|9}}) देता है <math>\bar{W}_{1L}(s;L)</math>. समीकरण का टेलर विस्तार। ({{EquationNote|9}}) देता है <math>\bar{w}_{1L}(s,2n+\gamma_{1L};L)</math>. परिणाम इस प्रकार है:
+स्थापना <math>z=1</math> ({{EquationNote|9}}). समीकरण का <math>\bar{W}_{1L}(s;L)</math> टेलर विस्तार देता है । ({{EquationNote|9}}) <math>\bar{w}_{1L}(s,2n+\gamma_{1L};L)</math> देता है . परिणाम इस प्रकार है:
 {{NumBlk|:|<math>
@@ Line 132: / Line 129: @@
 </math>|{{EquationRef|10}}}}
-Eq में. ({{EquationNote|10}}) <math>\bar{c}_{k_0}(s;L)</math> के लिए है <math>L=2,3</math>, और अन्यथा,
+समीकरण में. ({{EquationNote|10}}) <math>\bar{c}_{k_0}(s;L)</math>, <math>L=2,3</math> के लिए एक है और अन्यथा,
 {{NumBlk|:|<math>
@@ Line 138: / Line 135: @@
 </math>|{{EquationRef|11}}}}
-कहाँ
+जहाँ
 {{NumBlk|:|<math>

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आयाम में विषम यादृच्छिक चाल: Difference between revisions

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Revision as of 21:32, 6 December 2023

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परिचय

अनुप्रयोगों में यादृच्छिक चलना

यादृच्छिक सैर का सूत्रीकरण

एक आयाम में यादृच्छिक सैर के लिए परिणाम

सरल प्रणालियाँ

विषम प्रणालियाँ

1D में विषम यादृच्छिक सैर के लिए स्पष्ट अभिव्यक्तियाँ

विषम यादृच्छिक चालों का पथ प्रतिनिधित्व

पथ पीडीएफ

संदर्भ

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आयाम में विषम यादृच्छिक चाल: Difference between revisions

Revision as of 21:32, 6 December 2023

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यादृच्छिक सैर का सूत्रीकरण

एक आयाम में यादृच्छिक सैर के लिए परिणाम

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