ब्राउनियन शीट

गणित में, एक एक प्रकार कि गति या मल्टीपैरामीट्रिक ब्राउनियन गति, गॉसियन यादृच्छिक क्षेत्र के लिए ब्राउनियन गति का एक बहुपैरामीट्रिक सामान्यीकरण है। इसका मतलब है कि हम समय पैरामीटर को सामान्यीकृत करते हैं $t$ ब्राउनियन गति का $B_{t}$ से $\mathbb {R} _{+}$ को $\mathbb {R} _{+}^{n}$.

सटीक आयाम $n$ नए समय पैरामीटर का स्थान लेखकों से भिन्न होता है। हम जॉन बी. वॉल्श का अनुसरण करते हैं और परिभाषित करते हैं $(n,d)$-ब्राउनियन शीट, जबकि कुछ लेखक ब्राउनियन शीट को केवल विशेष रूप से परिभाषित करते हैं $n=2$, जिसे हम कहते हैं $(2,d)$-ब्राउनियन शीट. यह परिभाषा निकोलाई चेंटसोव के कारण है, पॉल लेवी (गणितज्ञ)|पॉल लेवी के कारण थोड़ा अलग संस्करण मौजूद है।

(एन,डी)-ब्राउनियन शीट

ए $d$-आयामी गाऊसी प्रक्रिया $B=(B_{t},t\in \mathbb {R} _{+}^{n})$ ए कहा जाता है$(n,d)$-ब्राउनियन शीट अगर

• इसका माध्य शून्य है, अर्थात्। $\mathbb {E} [B_{t}]=0$ सभी के लिए $t=(t_{1},\dots t_{n})\in \mathbb {R} _{+}^{n}$
• सहप्रसरण फलन के लिए

$\operatorname {cov} (B_{s}^{(i)},B_{t}^{(j)})={\begin{cases}\prod \limits _{l=1}^{n}\operatorname {min} (s_{l},t_{l})&{\text{if }}i=j,\\0&{\text{else}}\end{cases}}$

के लिए $1\leq i,j\leq d$.

गुण

परिभाषा से इस प्रकार है

$B(0,t_{2},\dots ,t_{n})=B(t_{1},0,\dots ,t_{n})=\cdots =B(t_{1},t_{2},\dots ,0)=0$

लगभग निश्चित रूप से.

उदाहरण

• $(1,1)$-ब्राउनियन शीट ब्राउनियन गति है $\mathbb {R} ^{1}$.
• $(1,d)$-ब्राउनियन शीट ब्राउनियन गति है $\mathbb {R} ^{d}$.
• $(2,1)$-ब्राउनियन शीट एक बहुपैरामीट्रिक ब्राउनियन गति है $X_{t,s}$ सूचकांक सेट के साथ $(t,s)\in [0,\infty )\times [0,\infty )$.

मल्टीपैरामीट्रिक ब्राउनियन गति की लेवी की परिभाषा

लेवी की परिभाषा में उपरोक्त सहप्रसरण स्थिति को निम्नलिखित स्थिति से प्रतिस्थापित किया जाता है

$\operatorname {cov} (B_{s},B_{t})={\frac {(|t|+|s|-|t-s|)}{2}}$

जहाँ $|\cdot |$ यूक्लिडियन मीट्रिक चालू है $\mathbb {R} ^{n}$.

अमूर्त वीनर माप का अस्तित्व

स्थान पर विचार करें $\Theta ^{\frac {n+1}{2}}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )$ प्रपत्र के निरंतर कार्यों का $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ संतुष्टि देने वाला

$$\lim \limits _{|x|\to \infty }\left(\log(e+|x|)\right)^{-1}|f(x)|=0.$$

आदर्श से सुसज्जित होने पर यह स्थान एक पृथक्करणीय स्थान बनच स्थान बन जाता है

$$\|f\|_{\Theta ^{\frac {n+1}{2}}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )}:=\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left(\log(e+|x|)\right)^{-1}|f(x)|.$$

ध्यान दें कि इस स्थान में अनंत पर शून्य का स्थान सघन रूप से शामिल है $C_{0}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )$ एक समान मानदंड से सुसज्जित, क्योंकि कोई एक समान मानदंड को के मानदंड से बांध सकता है $\Theta ^{\frac {n+1}{2}}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )$ ऊपर से फूरियर व्युत्क्रम प्रमेय#श्वार्ट्ज फ़ंक्शंस के माध्यम से।

होने देना ${\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )$ टेम्पर्ड वितरण का स्थान बनें। फिर कोई यह दिखा सकता है कि एक उपयुक्त पृथक्करण योग्य हिल्बर्ट स्थान (और सोबोलेव स्थान) मौजूद है

$H^{\frac {n+1}{2}}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )\subseteq {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )$

जो लगातार एक घने उपस्थान के रूप में अंतर्निहित है $C_{0}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )$ और इस प्रकार में भी $\Theta ^{\frac {n+1}{2}}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )$ और यह कि एक संभाव्यता माप मौजूद है $\omega$ पर $\Theta ^{\frac {n+1}{2}}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )$ ऐसे कि त्रिगुण

$$(H^{\frac {n+1}{2}}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} ),\Theta ^{\frac {n+1}{2}}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} ),\omega )$$

एक अमूर्त वीनर स्थान है।

एक मार्ग $\theta \in \Theta ^{\frac {n+1}{2}}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )$ है $\omega$-लगभग निश्चित रूप से

• घातांक का धारक निरंतर $\alpha \in (0,1/2)$
• कहीं भी होल्डर किसी के लिए निरंतर नहीं है $\alpha >1/2$.

यह केस में ब्राउनियन शीट का हैंडल है $d=1$. उच्च आयामी के लिए $d$, निर्माण समान है.

यह भी देखें

• गाऊसी मुक्त क्षेत्र

साहित्य

• Stroock, Daniel (2011), Probability theory: an analytic view (2nd ed.), Cambridge.
• Walsh, John B. (1986). स्टोकेस्टिक आंशिक अंतर समीकरणों का परिचय. Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-540-39781-6.
• Khoshnevisan, Davar. मल्टीपैरामीटर प्रक्रियाएं: यादृच्छिक फ़ील्ड का एक परिचय. Springer. ISBN 978-0387954592.