रेखा अवयव: Difference between revisions

Revision as of 13:43, 29 November 2022

ज्यामिति में, रेखा अवयव या लंबाई अवयव को अनौपचारिक रूप से एक मीट्रिक समष्टि में एक अत्यंत सूक्ष्म विस्थापन सदिश से सम्बद्ध रेखा खंड के रूप में माना जा सकता है। रेखा तत्व की लंबाई, जिसे अवकल चाप लंबाई के रूप में माना जा सकता है, मीट्रिक टेंसर का एक कार्य है और इसे $ds$ द्वारा प्रदर्शित किया जाता है।

रेखा तत्वों का उपयोग भौतिकी, विशेष रूप से गुरुत्वाकर्षण के सिद्धांतों में (सबसे विशेष रूप से सामान्य सापेक्षता में) किया जाता है, जहाँ दिक्-काल (स्पेसटाइम) को एक उपयुक्त मीट्रिक टेन्सर के साथ एक वक्राकार छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड के रूप में तैयार किया जाता है।^[1]

सामान्य सूत्रीकरण

रेखा तत्व और चाप की लंबाई की परिभाषा

एक n-विमीय रीमैनियन मैनिफोल्ड या छद्म रीमैनियन मैनिफोल्ड (भौतिकी में सामान्यतः एक लोरेंट्ज़ियन मैनिफोल्ड) में रेखा तत्व ds के वर्ग की निर्देशांक-मुक्त परिभाषा एक अतिसूक्ष्म विस्थापन $d\mathbf {q}$ की "लंबाई का वर्ग" (छद्म रीमैनियन मैनिफोल्ड में संभावित रूप से ऋणात्मक) है^[2] जिसके वर्गमूल का उपयोग वक्र की लंबाई की गणना करने के लिए किया जाना चाहिए:

ds^{2}=d\mathbf {q} \cdot d\mathbf {q} =g(d\mathbf {q} ,d\mathbf {q} )

जहाँ g मीट्रिक टेन्सर है, ' · 'आंतरिक गुणन को दर्शाता है, और

d\mathbf {q}

(छद्म) रीमैनियन मैनिफोल्ड पर एक अत्यंत सूक्ष्म विस्थापन सदिश है। एक वक्र

q(\lambda )

को मानकीकृत करके, हम

q(\lambda _{1})

और

q(\lambda _{2})

) के बीच वक्र की वक्र लंबाई की चाप लंबाई को निम्न समाकल के रूप में परिभाषित कर सकते हैं:^[3]

s=\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}d\lambda {\sqrt {\left|ds^{2}\right|}}=\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}d\lambda {\sqrt {\left|g\left({\frac {dq}{d\lambda }},{\frac {dq}{d\lambda }}\right)\right|}}=\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}d\lambda {\sqrt {\left|g_{ij}{\frac {dq^{i}}{d\lambda }}{\frac {dq^{j}}{d\lambda }}\right|}}

छद्म रीमैनियन मैनिफोल्ड में वक्रों की एक सार्थक लंबाई की गणना करने के लिए, यह मान लेना सर्वोत्तम होता है कि अत्यंत सूक्ष्म विस्थापनों का चिह्न सभी स्थानों पर एक ही है। उदाहरण के लिए भौतिकी में एक समयरेखा वक्र के साथ एक रेखा तत्व का वर्ग ( $-+++$ चिह्न परिपाटी) ऋणात्मक होगा और वक्र के साथ रेखा तत्व के वर्ग का ऋणात्मक वर्गमूल वक्र के साथ गतिमान पर्यवेक्षक के लिए उचित समय को मापेगा। इस दृष्टि से मीट्रिक, रेखा तत्व के अतिरिक्त सतह तथा आयतन तत्वों आदि को भी परिभाषित करता है।

मीट्रिक टेंसर के साथ रेखा तत्व के वर्ग की पहचान

चूँकि $d\mathbf {q}$ चाप की लंबाई का स्वैच्छिक वर्ग है, अतः $ds^{2}$ पूर्णतः मीट्रिक को परिभाषित करता है, इसलिए सामान्यतः मीट्रिक टेंसर की परिभाषा के रूप में $ds^{2}$ के लिए निरूपण पर विचार करना सबसे अच्छा होता है, जिसे एक विचारोत्तेजक लेकिन गैर टेंसोरियल संकेतन में लिखा गया है:

ds^{2}=g

मीट्रिक के साथ चाप की लंबाई

ds^{2}

के वर्ग की यह पहचान n-विमीय सामान्य वक्ररेखीय निर्देशांक q = (q¹, q², q³, ..., qⁿ) में मीट्रिक टेन्सर के साथ संगत है, जहाँ इसे एक सममित कोटि 2 टेंसर के रूप में लिखा गया है:^[4]^[5]

ds^{2}=g_{ij}dq^{i}dq^{j}=g

.

यहाँ घातांक i और j, 1, 2, 3, ..., n मान ग्रहण करते हैं और आइंस्टीन की योग परिपाटी का उपयोग करते हैं। (छद्म) रीमैनियन अंतरिक्षों के सामान्य उदाहरणों में त्रि-विमीय अंतरिक्ष (समय निर्देशांकों का कोई समावेश नहीं) और यथार्थ चार-विमीय दिक्-काल सम्मिलित हैं।

यूक्लिडीय अंतरिक्ष में रेखा तत्व

त्रि-विमीय यूक्लिडीय अंतरिक्ष में सदिश रेखा तत्व

dr

(हरा), जहाँ λ अंतरिक्ष वक्र (हल्का हरा) का एक मानक है।

मीट्रिक से रेखा तत्वों की प्राप्ति की विधि के उदाहरण निम्न हैं:

कार्तीय निर्देशांक

कार्तीय निर्देशांकों में सरलतम रेखा तत्व होता है, इस स्थिति में मीट्रिक केवल क्रोनेकर डेल्टा होता है:

g_{ij}=\delta _{ij}

(यहाँ i, j = 1, 2, 3 अंतरिक्ष के लिए) या आव्यूह रूप में (i पंक्ति और j स्तंभ को दर्शाता है):

[g_{ij}]={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}

सामान्य वक्ररेखीय निर्देशांक कार्तीय निर्देशांकों में परिवर्तित हो जाते हैं:

(q^{1},q^{2},q^{3})=(x,y,z)\,\Rightarrow \,d\mathbf {r} =(dx,dy,dz)

इसलिए

ds^{2}=g_{ij}dq^{i}dq^{j}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}

लम्बकोणीय वक्ररेखीय निर्देशांक

सभी लम्बकोणीय निर्देशांकों के लिए मीट्रिक निम्न है:^[6]

[g_{ij}]={\begin{pmatrix}h_{1}^{2}&0&0\\0&h_{2}^{2}&0\\0&0&h_{3}^{2}\end{pmatrix}}

जहाँ,

h_{i}=\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\right|

i = 1, 2, 3 वक्रीय निर्देशांक हैं, इसलिए रेखा तत्व का वर्ग है:

ds^{2}=h_{1}^{2}(dq^{1})^{2}+h_{2}^{2}(dq^{2})^{2}+h_{3}^{2}(dq^{3})^{2}

इन निर्देशांकों में रेखा तत्वों के कुछ उदाहरण निम्न हैं।^[7]

निर्देशांक निकाय	(q¹, q², q³)	मीट्रिक	रेखा तत्त्व
कार्तीय	(x, y, z)	$[g_{ij}]={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}$	$ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$
समतल ध्रुवीय	(r, θ)	$[g_{ij}]={\begin{pmatrix}1&0\\0&r^{2}\\\end{pmatrix}}$	$ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta \ ^{2}$
गोलाकार ध्रुवीय	(r, θ, φ)	$[g_{ij}]={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \\\end{pmatrix}}$	$ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta \ ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \ d\phi \ ^{2}$
बेलनाकार ध्रुवीय	(r, θ, z)	$[g_{ij}]={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}$	$ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta \ ^{2}+dz^{2}$

सामान्य वक्ररेखीय निर्देशांक

विमा $n,\{{\hat {b}}_{i}\}$ वाले एक अंतरिक्ष के स्वेच्छ आधार के लिए, मीट्रिक को आधार सदिश के आंतरिक गुणन के रूप में परिभाषित किया गया है।

$g_{ij}=\langle {\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{j}\rangle$

जहाँ, $1\leq i,j\leq n$ और परिवेशी अंतरिक्ष के सापेक्ष आंतरिक गुणन (सामान्यतः इसका $\delta _{ij}$ ) है।

एक निर्देशांक आधार में ${\hat {b}}_{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$

निर्देशांक आधार एक विशेष प्रकार का आधार है जो अवकल ज्यामिति में नियमित रूप से उपयोग किया जाता है।

चार-विमीय दिक्-काल में रेखा तत्व

मिंकोव्स्की दिक्-काल

मिन्कोव्स्की मीट्रिक है:^[8]^[9]

[g_{ij}]=\pm {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\\end{pmatrix}}

जहाँ एक या दूसरे चिह्न का चयन किया जाता है, वहाँ दोनों परिपाटियों का उपयोग किया जाता है। यह केवल समतलीय दिक्-काल के लिए प्रयुक्त होता है। निर्देशांक 4-स्थिति द्वारा दिए गए हैं:

\mathbf {x} =(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(ct,\mathbf {r} )\,\Rightarrow \,d\mathbf {x} =(cdt,d\mathbf {r} )

तो रेखा तत्व हैं:

ds^{2}=\pm (c^{2}dt^{2}-d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} ).

श्वार्ज़चाइल्ड निर्देशांक

श्वार्ज़चाइल्ड निर्देशांकों में निर्देशांक $\left(t,r,\theta ,\phi \right)$ हैं, जो सामान्य मीट्रिक का रूप है:

[g_{ij}]={\begin{pmatrix}-a(r)^{2}&0&0&0\\0&b(r)^{2}&0&0\\0&0&r^{2}&0\\0&0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \\\end{pmatrix}}

(त्रि-विमीय गोलाकार ध्रुवीय निर्देशांकों में मीट्रिक के साथ समानता पर ध्यान देने पर)।

तो रेखा तत्व हैं:

ds^{2}=-a(r)^{2}\,dt^{2}+b(r)^{2}\,dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}.

सामान्य दिक्-काल

दिक्-काल में रेखा तत्व ds के वर्ग की निर्देशांक-मुक्त परिभाषा है:^[10]

ds^{2}=d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} =g(d\mathbf {x} ,d\mathbf {x} )

निर्देशांकों के पदों में:

ds^{2}=g_{\alpha \beta }dx^{\alpha }dx^{\beta }

जहाँ इस स्थिति के लिए घातांक α और β दिक्-काल के लिए 0, 1, 2, 3 मान ग्रहण करते हैं।

यह दिक्-काल अंतराल, अर्थात् दिक्-काल में स्वैच्छिक रूप से करीबी घटनाओं के बीच पृथकता की माप है। विशेष सापेक्षता में यह लोरेंत्ज़ रूपान्तरणों के तहत अपरिवर्तनीय होती है। सामान्य सापेक्षता में यह स्वैच्छिक रूप से व्युत्क्रमणीय अवकलनीय निर्देशांक रूपान्तरणों के तहत अपरिवर्तनीय होती है।

यह भी देखें

सहप्रसरण और सदिशों का प्रतिप्रसरण
पहला मौलिक रूप
समकलनों की सूची और माप-सिद्धांत विषय
मीट्रिक टेंसर
रिक्की कलन
बढ़ते और घटते घातांक

संदर्भ

↑ Gravitation, J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne, W.H. Freeman & Co, 1973, ISBN 0-7167-0344-0
↑ Tensor Calculus, D.C. Kay, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 1988, ISBN 0-07-033484-6
↑ Vector Analysis (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipcshutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7
↑ Vector Analysis (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipcshutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7
↑ An introduction to Tensor Analysis: For Engineers and Applied Scientists, J.R. Tyldesley, Longman, 1975, ISBN 0-582-44355-5
↑ Vector Analysis (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipcshutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7
↑ Tensor Calculus, D.C. Kay, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 1988, ISBN 0-07-033484-6
↑ Relativity DeMystified, D. McMahon, Mc Graw Hill (USA), 2006, ISBN 0-07-145545-0
↑ Gravitation, J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne, W.H. Freeman & Co, 1973, ISBN 0-7167-0344-0
↑ Gravitation, J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne, W.H. Freeman & Co, 1973, ISBN 0-7167-0344-0

दा: लिनजीलेमेंट डी: लिनिएलेमेंट

[1] Gravitation, J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne, W.H. Freeman & Co, 1973, ISBN 0-7167-0344-0

[2] Tensor Calculus, D.C. Kay, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 1988, ISBN 0-07-033484-6

[3] Vector Analysis (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipcshutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7

[4] Vector Analysis (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipcshutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7

[5] An introduction to Tensor Analysis: For Engineers and Applied Scientists, J.R. Tyldesley, Longman, 1975, ISBN 0-582-44355-5

[6] Vector Analysis (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipcshutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7

[7] Tensor Calculus, D.C. Kay, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 1988, ISBN 0-07-033484-6

[8] Relativity DeMystified, D. McMahon, Mc Graw Hill (USA), 2006, ISBN 0-07-145545-0

[9] Gravitation, J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne, W.H. Freeman & Co, 1973, ISBN 0-7167-0344-0

[10] Gravitation, J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne, W.H. Freeman & Co, 1973, ISBN 0-7167-0344-0

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-{{about|lines in mathematics|Long Interspersed Nuclear Elements in DNA|Retrotransposon#LINEs}}
+{{about|गणित में रेखाएँ|डीएनए में लंबे समय तक फैले हुए परमाणु तत्व|रेट्रोट्रांसपोसॉन#रेखाएँ}}
-[[ज्यामिति]] में, रेखा तत्व या लंबाई तत्व को अनौपचारिक रूप से एक मीट्रिक अंतरिक्ष में एक असीम [[विस्थापन वेक्टर]] से जुड़े रेखा खंड के रूप में माना जा सकता है। रेखा तत्व की लंबाई, जिसे विभेदक चाप लंबाई के रूप में माना जा सकता है, [[मीट्रिक टेंसर]] का एक कार्य है और इसे '' द्वारा निरूपित किया जाता है।<math>ds</math>.
+[[ज्यामिति]] में, '''रेखा अवयव''' या '''लंबाई अवयव''' को अनौपचारिक रूप से एक मीट्रिक समष्टि में एक अत्यंत सूक्ष्म [[विस्थापन वेक्टर|विस्थापन सदिश]] से सम्बद्ध रेखा खंड के रूप में माना जा सकता है। रेखा तत्व की लंबाई, जिसे अवकल चाप लंबाई के रूप में माना जा सकता है, [[मीट्रिक टेंसर]] का एक कार्य है और इसे ''<math>ds</math>'' द्वारा प्रदर्शित किया जाता है।
-रेखा तत्वों का उपयोग भौतिकी में किया जाता है, विशेष रूप से गुरुत्वाकर्षण के सिद्धांतों में (सबसे विशेष रूप से [[सामान्य सापेक्षता]]) जहां [[अंतरिक्ष समय]] को एक उपयुक्त मीट्रिक टेन्सर (सामान्य सापेक्षता) के साथ एक घुमावदार छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड के रूप में तैयार किया जाता है।<ref>Gravitation, J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne, W.H. Freeman & Co, 1973, {{isbn|0-7167-0344-0}}</ref>
+रेखा तत्वों का उपयोग भौतिकी, विशेष रूप से गुरुत्वाकर्षण के सिद्धांतों में (सबसे विशेष रूप से [[सामान्य सापेक्षता]] में) किया जाता है, जहाँ [[अंतरिक्ष समय|दिक्-काल (स्पेसटाइम)]] को एक उपयुक्त मीट्रिक टेन्सर के साथ एक वक्राकार छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड के रूप में तैयार किया जाता है।<ref>Gravitation, J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne, W.H. Freeman & Co, 1973, {{isbn|0-7167-0344-0}}</ref>
 == सामान्य सूत्रीकरण ==
-{{for|notation used|Ricci calculus|Einstein notation}}
+{{for|प्रयुक्त संकेतन|रिक्की कलन|आइन्स्टीन संकेतन}}
+=== रेखा तत्व और चाप की लंबाई की परिभाषा ===
-=== रेखा तत्व की परिभाषा और चाप लंबाई ===
+एक ''n''-विमीय [[रीमैनियन कई गुना|रीमैनियन मैनिफोल्ड]] या [[छद्म रीमैनियन कई गुना|छद्म रीमैनियन मैनिफोल्ड]] (भौतिकी में सामान्यतः एक [[स्पेसटाइम मैनिफोल्ड|लोरेंट्ज़ियन मैनिफोल्ड]]) में रेखा तत्व ''ds'' के वर्ग की [[समन्वय|निर्देशांक]]-मुक्त परिभाषा एक अतिसूक्ष्म विस्थापन <math>d\mathbf{q}</math> की "लंबाई का वर्ग" (छद्म रीमैनियन मैनिफोल्ड में संभावित रूप से ऋणात्मक) है<ref>Tensor Calculus, D.C. Kay, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 1988, {{isbn|0-07-033484-6}}</ref>  जिसके वर्गमूल का उपयोग वक्र की लंबाई की गणना करने के लिए किया जाना चाहिए:<math display="block"> ds^2 = d\mathbf{q}\cdot d\mathbf{q} = g(d\mathbf{q},d\mathbf{q})</math>जहाँ ''g'' मीट्रिक टेन्सर है, ' '''·''' 'आंतरिक गुणन को दर्शाता है, और <math>d\mathbf{q}</math> (छद्म) रीमैनियन मैनिफोल्ड पर एक अत्यंत सूक्ष्म [[विस्थापन (वेक्टर)|विस्थापन सदिश]] है। एक वक्र <math>q(\lambda)</math> को मानकीकृत करके, हम <math>q(\lambda_1)</math> और <math>q(\lambda_2)</math>) के बीच वक्र की वक्र लंबाई की चाप लंबाई को निम्न [[अभिन्न|समाकल]] के रूप में परिभाषित कर सकते हैं:<ref>Vector Analysis (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipcshutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, {{isbn|978-0-07-161545-7}}</ref>
-एक एन-डायमेंशनल [[रीमैनियन कई गुना]] या [[छद्म रीमैनियन कई गुना]] (भौतिकी में आमतौर पर एक [[स्पेसटाइम मैनिफोल्ड]]) में रेखा तत्व डीएस के वर्ग की [[समन्वय]]-स्वतंत्र परिभाषा एक अपरिमेय विस्थापन की लंबाई का वर्ग है। <math>d\mathbf{q}</math><ref>Tensor Calculus, D.C. Kay, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 1988, {{isbn|0-07-033484-6}}</ref> (स्यूडो रीमैनियन मैनिफोल्ड्स में संभवतः नकारात्मक) जिसका वर्गमूल वक्र लंबाई की गणना के लिए इस्तेमाल किया जाना चाहिए:
- <math display="block"> ds^2 = d\mathbf{q}\cdot d\mathbf{q} = g(d\mathbf{q},d\mathbf{q})</math> जहाँ g मेट्रिक टेन्सर है, '·' आंतरिक उत्पाद को दर्शाता है, और d'q' (छद्म) रीमैनियन मैनिफोल्ड पर एक अतिसूक्ष्म [[विस्थापन (वेक्टर)]] है। वक्र को पैरामीट्रिज करके <math>q(\lambda)</math>, हम बीच वक्र की वक्र लंबाई की चाप लंबाई को परिभाषित कर सकते हैं <math>q(\lambda_1)</math>, तथा <math>q(\lambda_2)</math> [[अभिन्न]] के रूप में:<ref>Vector Analysis (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipcshutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, {{isbn|978-0-07-161545-7}}</ref>
 :<math> s = \int_{\lambda_1}^{\lambda_2} d\lambda \sqrt{ \left|ds^2\right|} = \int_{\lambda_1}^{\lambda_2} d\lambda \sqrt{ \left|g\left(\frac{dq}{d\lambda},\frac{dq}{d\lambda}\right)\right|} = \int_{\lambda_1}^{\lambda_2} d\lambda \sqrt{ \left|g_{ij}\frac{dq^i}{d\lambda}\frac{dq^j}{d\lambda}\right|} </math>
-छद्म रीमैनियन मैनिफोल्ड्स में घटता की एक समझदार लंबाई की गणना करने के लिए, यह मान लेना सबसे अच्छा है कि असीम विस्थापन का हर जगह एक ही संकेत है। उदा. भौतिकी में एक समयरेखा वक्र के साथ एक रेखा तत्व का वर्ग (में <math>-+++</math> सिग्नेचर कन्वेंशन) ऋणात्मक हो और वक्र के साथ रेखा तत्व के वर्ग का ऋणात्मक वर्गमूल वक्र के साथ चलने वाले पर्यवेक्षक के लिए उचित समय को मापेगा।
+छद्म रीमैनियन मैनिफोल्ड में वक्रों की एक सार्थक लंबाई की गणना करने के लिए, यह मान लेना सर्वोत्तम होता है कि अत्यंत सूक्ष्म विस्थापनों का चिह्न सभी स्थानों पर एक ही है। उदाहरण के लिए भौतिकी में एक समयरेखा वक्र के साथ एक रेखा तत्व का वर्ग (<math>-+++</math> चिह्न परिपाटी) ऋणात्मक होगा और वक्र के साथ रेखा तत्व के वर्ग का ऋणात्मक वर्गमूल वक्र के साथ गतिमान पर्यवेक्षक के लिए उचित समय को मापेगा। इस दृष्टि से मीट्रिक, रेखा तत्व के अतिरिक्त [[सतह (टोपोलॉजी)|सतह]] तथा आयतन तत्वों आदि को भी परिभाषित करता है।
-इस दृष्टि से मैट्रिक रेखा तत्व के अतिरिक्त [[सतह (टोपोलॉजी)]] तथा आयतन तत्व आदि को भी परिभाषित करता है।
-=== मीट्रिक टेंसर के साथ लाइन तत्व के वर्ग की पहचान ===
-तब से <math>d\mathbf{q}</math> चाप की लंबाई का मनमाना वर्ग है <math>ds^2</math> पूरी तरह से मीट्रिक को परिभाषित करता है, इसलिए आमतौर पर इसके लिए अभिव्यक्ति पर विचार करना सबसे अच्छा होता है <math>ds^2</math> मीट्रिक टेन्सर की परिभाषा के रूप में, एक विचारोत्तेजक लेकिन गैर-टेंसोरियल नोटेशन में लिखा गया है:
-:<math>ds^2 = g</math> चाप लंबाई के वर्ग की यह पहचान <math>ds^2</math> मीट्रिक के साथ एन-आयामी सामान्य घुमावदार निर्देशांक में देखना और भी आसान है {{nowrap|1='''q''' = (''q''<sup>1</sup>, ''q''<sup>2</sup>, ''q''<sup>3</sup>, ..., ''q<sup>n</sup>'')}}, जहां इसे सममित रैंक 2 टेंसर के रूप में लिखा गया है<ref>Vector Analysis (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipcshutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, {{isbn|978-0-07-161545-7}}</ref><ref>An introduction to Tensor Analysis: For Engineers and Applied Scientists, J.R. Tyldesley, Longman, 1975, {{isbn|0-582-44355-5}}</ref> मीट्रिक टेंसर के साथ मेल खाता है:
+=== मीट्रिक टेंसर के साथ रेखा तत्व के वर्ग की पहचान ===
+चूँकि <math>d\mathbf{q}</math> चाप की लंबाई का स्वैच्छिक वर्ग है, अतः <math>ds^2</math> पूर्णतः मीट्रिक को परिभाषित करता है, इसलिए सामान्यतः मीट्रिक टेंसर की परिभाषा के रूप में <math>ds^2</math> के लिए निरूपण पर विचार करना सबसे अच्छा होता है, जिसे एक विचारोत्तेजक लेकिन गैर टेंसोरियल संकेतन में लिखा गया है:
+:<math>ds^2 = g</math>
+:मीट्रिक के साथ चाप की लंबाई <math>ds^2</math> के वर्ग की यह पहचान ''n''-विमीय सामान्य वक्ररेखीय निर्देशांक {{nowrap|1='''q''' = (''q''<sup>1</sup>, ''q''<sup>2</sup>, ''q''<sup>3</sup>, ..., ''q<sup>n</sup>'')}} में मीट्रिक टेन्सर के साथ संगत है, जहाँ इसे एक सममित कोटि 2 टेंसर के रूप में लिखा गया है:<ref>Vector Analysis (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipcshutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, {{isbn|978-0-07-161545-7}}</ref><ref>An introduction to Tensor Analysis: For Engineers and Applied Scientists, J.R. Tyldesley, Longman, 1975, {{isbn|0-582-44355-5}}</ref>
 :<math> ds^2= g_{ij}dq^i dq^j  = g </math>.
-यहाँ [[घुंघराले पथरी]] i और j मान 1, 2, 3, ..., n लेते हैं और [[आइंस्टीन योग सम्मेलन]] का उपयोग किया जाता है। (छद्म) रीमानियन रिक्त स्थान के सामान्य उदाहरणों में त्रि-आयामी स्थान ([[समय]] निर्देशांकों का कोई समावेश नहीं), और वास्तव में चार-आयामी [[अंतरिक्ष]]-समय शामिल हैं।
+यहाँ [[घुंघराले पथरी|घातांक]] ''i'' और ''j,'' 1, 2, 3, ..., ''n'' मान ग्रहण करते हैं और [[आइंस्टीन योग सम्मेलन|आइंस्टीन की योग परिपाटी]] का उपयोग करते हैं। (छद्म) रीमैनियन अंतरिक्षों के सामान्य उदाहरणों में त्रि-विमीय अंतरिक्ष ([[समय]] निर्देशांकों का कोई समावेश नहीं) और यथार्थ चार-विमीय [[अंतरिक्ष|दिक्-काल]] सम्मिलित हैं।
-== यूक्लिडियन अंतरिक्ष में रेखा तत्व ==
+== यूक्लिडीय अंतरिक्ष में रेखा तत्व ==
-{{main|Euclidean space}}
+{{main|यूक्लिडीय अंतरिक्ष}}
-[[File:Line element.svg|thumb|त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में वेक्टर रेखा तत्व डॉ (हरा), जहां λ अंतरिक्ष वक्र (हल्का हरा) का [[पैरामीट्रिक समीकरण]] है।]]निम्नलिखित उदाहरण हैं कि मीट्रिक से रेखा तत्व कैसे पाए जाते हैं।
+[[File:Line element.svg|thumb|त्रि-विमीय यूक्लिडीय अंतरिक्ष में सदिश रेखा तत्व <math>dr</math> (हरा), जहाँ λ अंतरिक्ष वक्र (हल्का हरा) का एक [[पैरामीट्रिक समीकरण|मानक]] है।]]मीट्रिक से रेखा तत्वों की प्राप्ति की विधि के उदाहरण निम्न हैं:
-=== [[कार्तीय निर्देशांक]] ===
+=== कार्तीय निर्देशांक ===
-सबसे सरल रेखा तत्व कार्टेशियन निर्देशांक में है - इस मामले में मीट्रिक केवल [[क्रोनकर डेल्टा]] है:
+[[कार्तीय निर्देशांक|कार्तीय निर्देशांकों]] में सरलतम रेखा तत्व होता है, इस स्थिति में मीट्रिक केवल [[क्रोनकर डेल्टा|क्रोनेकर डेल्टा]] होता है:
 :<math>g_{ij} = \delta_{ij}</math>
-(यहाँ i, j = 1, 2, 3 अंतरिक्ष के लिए) या [[मैट्रिक्स (गणित)]] रूप में (i पंक्ति को दर्शाता है, j स्तंभ को दर्शाता है):
+(यहाँ ''i'', ''j'' = 1, 2, 3 अंतरिक्ष के लिए) या [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह]] रूप में (''i'' पंक्ति और ''j'' स्तंभ को दर्शाता है):
 :<math>[g_{ij}] = \begin{pmatrix}
@@ Line 43: / Line 38: @@
 & 0 & 1
 \end{pmatrix}</math>
-सामान्य घुमावदार निर्देशांक कार्टेशियन निर्देशांक को कम करते हैं:
+सामान्य वक्ररेखीय निर्देशांक कार्तीय निर्देशांकों में परिवर्तित हो जाते हैं:
 :<math>(q^1,q^2,q^3) = (x, y, z)\,\Rightarrow\,d\mathbf{r}=(dx,dy,dz)</math>
@@ Line 49: / Line 44: @@
 :<math> ds^2 = g_{ij}dq^idq^j = dx^2 +dy^2 +dz^2 </math>
+===लम्बकोणीय वक्ररेखीय निर्देशांक===
+सभी लम्बकोणीय निर्देशांकों के लिए मीट्रिक निम्न है:<ref>Vector Analysis (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipcshutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, {{isbn|978-0-07-161545-7}}</ref>
-===लम्बवत वक्रीय निर्देशांक===
-सभी ओर्थोगोनल निर्देशांकों के लिए मीट्रिक द्वारा दिया जाता है:<ref>Vector Analysis (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipcshutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, {{isbn|978-0-07-161545-7}}</ref>
 :<math>[g_{ij}] = \begin{pmatrix}
 h_1^2 & 0 & 0\\
 & h_2^2 & 0\\
 & 0 & h_3^2
-\end{pmatrix}</math> कहाँ पे
+\end{pmatrix}</math>
+:जहाँ,
 :<math>h_i = \left|\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q^i}\right|</math>
-i = 1, 2, 3 वक्रीय निर्देशांक हैं#3ds में ऑर्थोगोनल वक्ररेखीय निर्देशांक हैं, इसलिए रेखा तत्व का वर्ग है:
+''i'' = 1, 2, 3 वक्रीय निर्देशांक हैं, इसलिए रेखा तत्व का वर्ग है:
 :<math>ds^2 = h_1^2(dq^1)^2 + h_2^2(dq^2)^2 + h_3^2(dq^3)^2 </math>
-इन निर्देशांकों में रेखा तत्वों के कुछ उदाहरण नीचे हैं।<ref>Tensor Calculus, D.C. Kay, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 1988, {{isbn|0-07-033484-6}}</ref>
+इन निर्देशांकों में रेखा तत्वों के कुछ उदाहरण निम्न हैं।<ref>Tensor Calculus, D.C. Kay, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 1988, {{isbn|0-07-033484-6}}</ref>
 :{| class="wikitable"
 |-
-! Coordinate system
+! निर्देशांक निकाय
 ! (q<sup>1</sup>, q<sup>2</sup>, q<sup>3</sup>)
-! Metric
+! मीट्रिक
-! Line element
+! रेखा तत्त्व
 |-
-|[[Cartesian coordinate system|Cartesian]]
+|[[Cartesian coordinate system|कार्तीय]]
 |(''x'', ''y'', ''z'')
 |<math>[g_{ij}] = \begin{pmatrix}
@@ Line 81: / Line 74: @@
 |<math> ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 </math>
 |-
-|[[Polar coordinate system|Plane polars]]
+|[[Polar coordinate system|समतल ध्रुवीय]]
 |(''r'', θ)
 |<math>[g_{ij}] = \begin{pmatrix}
@@ Line 89: / Line 82: @@
 |<math> ds^2= dr^2 +r^2 d \theta\ ^2</math>
 |-
-|[[Spherical coordinate system|Spherical polar]]s
+|[[Spherical coordinate system|गोलाकार ध्रुवीय]]
 |(''r'', θ, φ)
 |<math>[g_{ij}] = \begin{pmatrix}
@@ Line 98: / Line 91: @@
 |<math> ds^2=dr^2+r^2 d \theta\ ^2+ r^2 \sin^2 \theta\ d \phi\ ^2 </math>
 |-
-|[[Cylindrical polar coordinates|Cylindrical polar]]s
+|[[Cylindrical polar coordinates|बेलनाकार ध्रुवीय]]
 |(''r'', θ, ''z'')
 |<math>[g_{ij}] = \begin{pmatrix}
@@ Line 108: / Line 101: @@
 |-
 |}
+== सामान्य वक्ररेखीय निर्देशांक ==
+विमा <math> n, \{\hat{b}_{i}\}</math> वाले एक अंतरिक्ष के स्वेच्छ आधार के लिए, मीट्रिक को आधार सदिश के आंतरिक गुणन के रूप में परिभाषित किया गया है।
-== सामान्य वक्रीय निर्देशांक ==
+<math>g_{ij}=\langle\hat{b}_{i},\hat{b}_{j}\rangle</math>
-आयाम के एक स्थान के मनमाना आधार को देखते हुए <math> n, \{\hat{b}_{i}\}</math>, मीट्रिक को आधार वैक्टर के आंतरिक उत्पाद के रूप में परिभाषित किया गया है।
-<math>g_{ij}=\langle\hat{b}_{i},\hat{b}_{j}\rangle</math>
+जहाँ, <math>1\leq i,j\leq n</math> और परिवेशी अंतरिक्ष के सापेक्ष आंतरिक गुणन (सामान्यतः इसका <math>\delta_{ij}</math>) है।
-कहाँ पे <math>1\leq i,j\leq n</math> और आंतरिक उत्पाद परिवेश स्थान के संबंध में है (आमतौर पर इसका <math>\delta_{ij}</math>)
+एक निर्देशांक आधार में <math>\hat{b}_{i}=\frac{\partial}{\partial x^{i}}</math>
-एक समन्वय के आधार पर <math>\hat{b}_{i}=\frac{\partial}{\partial x^{i}}</math>
+निर्देशांक आधार एक विशेष प्रकार का आधार है जो अवकल ज्यामिति में नियमित रूप से उपयोग किया जाता है।
-समन्वय आधार एक विशेष प्रकार का आधार है जो अंतर ज्यामिति में नियमित रूप से उपयोग किया जाता है।
-== 4d स्पेसटाइम == में रेखा तत्व
+== चार-विमीय दिक्-काल में रेखा तत्व ==
-=== मिंकोव्स्की अंतरिक्ष-समय ===
+=== मिंकोव्स्की दिक्-काल ===
 [[मिन्कोव्स्की मीट्रिक]] है:<ref>Relativity DeMystified, D. McMahon, Mc Graw Hill (USA), 2006, {{isbn|0-07-145545-0}}</ref><ref>Gravitation, J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne, W.H. Freeman & Co, 1973, {{isbn|0-7167-0344-0}}</ref>
@@ Line 132: / Line 124: @@
 & 0 & 0 & -1 \\
 \end{pmatrix}</math>
-जहां एक चिह्न या दूसरे को चुना जाता है, वहां दोनों परिपाटियों का उपयोग किया जाता है। यह केवल [[फ्लैट स्पेसटाइम]] के लिए लागू होता है। निर्देशांक [[4-स्थिति]] द्वारा दिए गए हैं:
+जहाँ एक या दूसरे चिह्न का चयन किया जाता है, वहाँ दोनों परिपाटियों का उपयोग किया जाता है। यह केवल [[फ्लैट स्पेसटाइम|समतलीय दिक्-काल]] के लिए प्रयुक्त होता है। निर्देशांक [[4-स्थिति]] द्वारा दिए गए हैं:
 :<math>\mathbf{x} = (x^0,x^1,x^2,x^3) = (ct,\mathbf{r}) \,\Rightarrow\, d\mathbf{x} = (cdt,d\mathbf{r})</math>
-तो रेखा तत्व है:
+तो रेखा तत्व हैं:
 :<math>ds^2 = \pm (c^2dt^2 - d\mathbf{r}\cdot d\mathbf{r}) .</math>
 === श्वार्ज़चाइल्ड निर्देशांक ===
-श्वार्ज़स्चिल्ड में निर्देशांक निर्देशांक हैं <math> \left(t, r, \theta, \phi \right)</math>, फ़ॉर्म की सामान्य मीट्रिक होने के नाते:
+श्वार्ज़चाइल्ड निर्देशांकों में निर्देशांक <math> \left(t, r, \theta, \phi \right)</math> हैं, जो सामान्य मीट्रिक का रूप है:
 :<math>[g_{ij}] = \begin{pmatrix}
@@ Line 150: / Line 140: @@
 & 0 & 0 & r^2 \sin^2\theta \\
 \end{pmatrix}</math>
-(3डी गोलाकार ध्रुवीय निर्देशांक में मीट्रिक के साथ समानता पर ध्यान दें)।
+(त्रि-विमीय गोलाकार ध्रुवीय निर्देशांकों में मीट्रिक के साथ समानता पर ध्यान देने पर)।
-तो रेखा तत्व है:
+तो रेखा तत्व हैं:
 :<math>ds^2 = -a(r)^2 \, dt^2 + b(r)^2 \, dr^2 + r^2 \, d\theta^2 + r^2 \sin^2\theta \, d\phi^2 .</math>
+=== सामान्य दिक्-काल ===
+दिक्-काल में रेखा तत्व ds के वर्ग की निर्देशांक-मुक्त परिभाषा है:<ref>Gravitation, J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne, W.H. Freeman & Co, 1973, {{isbn|0-7167-0344-0}}</ref>
-=== सामान्य स्पेसटाइम ===
+:<math> ds^2 = d\mathbf{x}\cdot d\mathbf{x} = g(d\mathbf{x},d\mathbf{x}) </math>
+:निर्देशांकों के पदों में:
-स्पेसटाइम # स्पेसटाइम अंतराल में लाइन तत्व ds के वर्ग की समन्वय-स्वतंत्र परिभाषा है:<ref>Gravitation, J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne, W.H. Freeman & Co, 1973, {{isbn|0-7167-0344-0}}</ref>
-:<math> ds^2 = d\mathbf{x}\cdot d\mathbf{x} = g(d\mathbf{x},d\mathbf{x}) </math> निर्देशांक के संदर्भ में:
 :<math> ds^2= g_{\alpha\beta}dx^\alpha dx^\beta </math>
-जहां इस मामले के लिए इंडेक्स α और β स्पेसटाइम के लिए 0, 1, 2, 3 पर चलते हैं।
+जहाँ इस स्थिति के लिए घातांक α और β दिक्-काल के लिए 0, 1, 2, 3 मान ग्रहण करते हैं।
-यह [[स्पेसटाइम अंतराल]] है - स्पेसटाइम में दो मनमाने ढंग से करीबी [[घटना (सापेक्षता)]] के बीच अलगाव का माप। [[विशेष सापेक्षता]] में यह [[लोरेंत्ज़ परिवर्तन]]ों के तहत अपरिवर्तनीय है। सामान्य सापेक्षता में यह स्वेच्छिक प्रतिलोम फलन अवकलनीय फलन निर्देशांक रूपांतरणों के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है।
+यह [[स्पेसटाइम अंतराल|दिक्-काल अंतराल]], अर्थात् दिक्-काल में स्वैच्छिक रूप से करीबी [[घटना (सापेक्षता)|घटनाओं]] के बीच पृथकता की माप है। [[विशेष सापेक्षता]] में यह [[लोरेंत्ज़ परिवर्तन|लोरेंत्ज़ रूपान्तरणों]] के तहत अपरिवर्तनीय होती है। सामान्य सापेक्षता में यह स्वैच्छिक रूप से व्युत्क्रमणीय अवकलनीय निर्देशांक रूपान्तरणों के तहत अपरिवर्तनीय होती है।
 == यह भी देखें ==
@@ Line 171: / Line 159: @@
 * सहप्रसरण और सदिशों का प्रतिप्रसरण
 *[[पहला मौलिक रूप]]
-*एकीकरण की सूची और सिद्धांत विषयों को मापें
+*समकलनों की सूची और माप-सिद्धांत विषय
 * मीट्रिक टेंसर
-* रिक्की कैलकुलस
+* रिक्की कलन
-*बढ़ते और घटते सूचकांक
+*बढ़ते और घटते घातांक
 ==संदर्भ==

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Revision as of 13:43, 29 November 2022

Contents

सामान्य सूत्रीकरण

रेखा तत्व और चाप की लंबाई की परिभाषा

मीट्रिक टेंसर के साथ रेखा तत्व के वर्ग की पहचान

यूक्लिडीय अंतरिक्ष में रेखा तत्व

कार्तीय निर्देशांक

लम्बकोणीय वक्ररेखीय निर्देशांक

सामान्य वक्ररेखीय निर्देशांक

चार-विमीय दिक्-काल में रेखा तत्व

मिंकोव्स्की दिक्-काल

श्वार्ज़चाइल्ड निर्देशांक

सामान्य दिक्-काल

यह भी देखें

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रेखा अवयव: Difference between revisions

Revision as of 13:43, 29 November 2022

सामान्य सूत्रीकरण

रेखा तत्व और चाप की लंबाई की परिभाषा

मीट्रिक टेंसर के साथ रेखा तत्व के वर्ग की पहचान

यूक्लिडीय अंतरिक्ष में रेखा तत्व

कार्तीय निर्देशांक

लम्बकोणीय वक्ररेखीय निर्देशांक

सामान्य वक्ररेखीय निर्देशांक

चार-विमीय दिक्-काल में रेखा तत्व

मिंकोव्स्की दिक्-काल

श्वार्ज़चाइल्ड निर्देशांक

सामान्य दिक्-काल

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