जॉर्डन वक्र प्रमेय

जॉर्डन वक्र प्रमेय का चित्रण। एक जॉर्डन वक्र (काले रंग में खींचा गया) विमान को एक आंतरिक क्षेत्र (हल्का नीला) और एक बाहरी क्षेत्र (गुलाबी) में विभाजित करता है।

टोपोलॉजी में, जॉर्डन वक्र प्रमेय का अर्थ है कि सारे जॉर्डन वक्र समतल को आंतरिक क्षेत्र और बाहरी सीमा में विभाजित करता है जिसमें सभी पास और दूर के बाहरी बिंदु होते हैं। एक क्षेत्र का बिंदु और दूसरे क्षेत्र का बिंदु से जोड़ने वाला हर पथ वक्र के साथ खंडित होता है। जबकि प्रमेय के कथन से स्पष्ट दिख रहा है कि प्राथमिक माध्यमों के द्वारा सिद्ध करने के लिए सरलता की आवश्यकता होती है। जबकि जेसीटी लोकप्रिय टोपोलॉजिकल प्रमेयों में से एक है,लेकिन गणितज्ञों में कई ऐसे है जिन्होंने कभी इसका प्रमाण नहीं पढ़ा है टवरबर्ग का कहना है कि बीजगणितीय टोपोलॉजी का पारदर्शी प्रमाण गणितीय मशीनरी पर निर्भर करता हैं, और खाली स्थान में उच्च-आयामी को सामान्यीकरण की ओर ले जाते हैं।

इसका पहला प्रमाण गणितज्ञ केमिली जॉर्डन ने पाया था, इसलिए जॉर्डन वक्र प्रमेय को गणितज्ञ केमिली जॉर्डन के नाम से भी जाना जाता है। गणितज्ञों द्वारा सोचा गया था कि इस प्रमाण में बहुत सी कमियां होगी और पहला कठोर प्रमाण ओसवाल्ड वेब्लेन ने किया गया था। लेकिन, इस धारणा को थॉमस कॉलिस्टर हेल्स और अन्य लोगो ने बदल दिया है।

परिभाषाएं और जॉर्डन प्रमेय का बयान

एक जॉर्डन वक्र 'आर ' में साधारण बंद वक्र² के एक वृत्त के समतल में एक निरंतर इंजेक्शन मानचित्र है, एस¹ → आर^{2</सुप>. समतल [a, b] में जॉर्डन चाप एक बंद और बंधे हुए अंतराल के इंजेक्शन निरंतर मानचित्र की छवि है।यह एकसमतल वक्र है जो आवश्यक रूप से ना विभेदक वक्र है और ना ही बीजीय वक्र है।}

वैकल्पिक रूप से, जॉर्डन वक्र एक सतत मानचित्र की छवि है φ: [0,1] → 'R'² जैसे कि φ(0) = φ(1) और φ से [0,1) का प्रतिबंध इंजेक्शन है। पहली दो स्थितियां कहती हैं कि C एक सतत लूप है, जबकि अंतिम शर्त यह निर्धारित करती है कि C में कोई आत्म-प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं है।

इन परिभाषाओं के साथ, जॉर्डन वक्र प्रमेय को निम्नानुसार कहा जा सकता है:

Theorem — Let C be a Jordan curve in the plane R². Then its complement, R² \ C, consists of exactly two connected components. One of these components is bounded (the interior) and the other is unbounded (the exterior), and the curve C is the boundary of each component.

इसके विपरीत, विमान में जॉर्डन चाप का पूरक जुड़ा हुआ है।

सबूत और सामान्यीकरण

जॉर्डन वक्र प्रमेय को स्वतंत्र रूप से एच. लेबेस्ग्यू और एल.ई.जे. द्वारा उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत किया गया था। 1911 में ब्रौवर, जिसके परिणामस्वरूप जॉर्डन-ब्राउवर पृथक्करण प्रमेय हुआ।

Theorem — Let X be an n-dimensional topological sphere in the (n+1)-dimensional Euclidean space Rⁿ⁺¹ (n > 0), i.e. the image of an injective continuous mapping of the n-sphere Sⁿ into Rⁿ⁺¹. Then the complement Y of X in Rⁿ⁺¹ consists of exactly two connected components. One of these components is bounded (the interior) and the other is unbounded (the exterior). The set X is their common boundary.

सबूत होमोलॉजी सिद्धांत का उपयोग करता है। यह पहली बार स्थापित किया गया है कि, आम तौर पर, यदि एक्स के-क्षेत्र के लिए होमियोमॉर्फिक है, तो वाई = 'आर' के कम किए गए होमोलॉजी समूहⁿ⁺¹ \ X इस प्रकार हैं:

$${\tilde {H}}_{q}(Y)={\begin{cases}\mathbb {Z} ,&q=n-k{\text{ or }}q=n,\\\{0\},&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$$

यह मेयर-विएटोरिस अनुक्रम का उपयोग करके k में प्रेरण द्वारा सिद्ध होता है। जब n = k, Y के ज़ीरोथ रिड्यूस्ड होमोलॉजी का रैंक 1 होता है, जिसका अर्थ है कि Y में 2 जुड़े हुए घटक हैं (जो कि, इसके अलावा, पथ से जुड़े हुए हैं), और थोड़े अतिरिक्त काम के साथ, कोई यह दर्शाता है कि उनकी सामान्य सीमा X है। एक और सामान्यीकरण जेम्स वाडेल अलेक्जेंडर II | जे द्वारा पाया गया। डब्ल्यू एलेक्जेंडर, जिन्होंने 'आर' के एक कॉम्पैक्ट स्पेस सबसेट एक्स के कम होमोलोजी के बीच सिकंदर द्वैत की स्थापना कीⁿ⁺¹ और इसके पूरक की घटी हुई कोहोलॉजी। यदि X 'R' का एक n-आयामी कॉम्पैक्ट कनेक्टेड सबमैनफोल्ड हैⁿ⁺¹ (या 'एस'ⁿ⁺¹) बिना सीमा के, इसके पूरक में 2 जुड़े हुए घटक हैं।

जॉर्डन वक्र प्रमेय की मजबूती है, जिसे जॉर्डन-शॉनफ्लाइज प्रमेय कहा जाता है, जिसमें कहा गया है कि आंतरिक और बाहरी तलीय क्षेत्र 'आर' में जॉर्डन वक्र द्वारा निर्धारित होते हैं।² यूनिट डिस्क के आंतरिक और बाहरी हिस्से के लिए होमोमोर्फिक हैं। विशेष रूप से, आंतरिक क्षेत्र में किसी भी बिंदु P और जॉर्डन वक्र पर एक बिंदु A के लिए, एक जॉर्डन चाप मौजूद है जो P को A से जोड़ता है और, समापन बिंदु A के अपवाद के साथ, पूरी तरह से आंतरिक क्षेत्र में स्थित है। जॉर्डन-शॉनफ्लाइज़ प्रमेय का एक वैकल्पिक और समकक्ष सूत्रीकरण यह दावा करता है कि कोई भी जॉर्डन वक्र φ: S¹ → आर², जहाँ S¹ को विमान में इकाई वृत्त के रूप में देखा जाता है, जिसे होमोमोर्फिज्म तक बढ़ाया जा सकता है : 'R'² → आर² विमान का। लेब्सग्यू और ब्रौवर के जॉर्डन वक्र प्रमेय के सामान्यीकरण के विपरीत, यह कथन उच्च आयामों में गलत हो जाता है: जबकि 'R' में यूनिट बॉल का बाहरी भाग³ बस जुड़ा हुआ है, क्योंकि यह इकाई क्षेत्र पर विरूपण वापस ले लेता है, सिकंदर सींग वाला क्षेत्र आर का सबसेट है³ एक गोले के लिए होमोमोर्फिक, लेकिन अंतरिक्ष में इतना मुड़ा हुआ कि R में इसके पूरक का असंबद्ध घटक³ केवल कनेक्टेड नहीं है, और इसलिए यूनिट बॉल के बाहरी भाग से होमियोमॉर्फिक नहीं है।

असतत संस्करण

जॉर्डन वक्र प्रमेय को ब्रौवर नियत-बिंदु प्रमेय (2 आयामों में) से सिद्ध किया जा सकता है, और ब्रौवर निश्चित बिंदु प्रमेय को हेक्स प्रमेय से सिद्ध किया जा सकता है: प्रत्येक हेक्स (बोर्ड गेम) में कम से कम एक विजेता होता है, जिससे हम एक तार्किक निहितार्थ प्राप्त करते हैं: हेक्स प्रमेय का अर्थ ब्रौवर निश्चित बिंदु प्रमेय है, जिसका अर्थ जॉर्डन वक्र प्रमेय है। यह स्पष्ट है कि जॉर्डन वक्र प्रमेय मजबूत हेक्स प्रमेय का तात्पर्य है: हेक्स का प्रत्येक गेम बिल्कुल एक विजेता के साथ समाप्त होता है, दोनों पक्षों के हारने या दोनों पक्षों के जीतने की कोई संभावना नहीं है, इस प्रकार जॉर्डन वक्र प्रमेय मजबूत हेक्स प्रमेय के बराबर है, जो है एक विशुद्ध रूप से असतत गणित प्रमेय।

दो समकक्ष प्रमेयों के बीच सैंडविच होने के कारण बाउवर निश्चित बिंदु प्रमेय भी दोनों के बराबर है। रिवर्स गणित, और कंप्यूटर-औपचारिक गणित में, जॉर्डन वक्र प्रमेय आमतौर पर पहले इसे मजबूत हेक्स प्रमेय के समान समकक्ष असतत संस्करण में परिवर्तित करके सिद्ध किया जाता है, फिर असतत संस्करण को साबित करता है।

इमेज प्रोसेसिंग के लिए आवेदन

डिजिटल इमेज प्रोसेसिंग में, एक बाइनरी चित्र 0 और 1 का असतत वर्ग ग्रिड है, या समकक्ष, का एक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय है $\mathbb {Z} ^{2}$. टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट ऑन $\mathbb {R} ^{2}$, जैसे कि घटकों की संख्या, के लिए अच्छी तरह से परिभाषित होने में विफल हो सकती है $\mathbb {Z} ^{2}$ यदि $\mathbb {Z} ^{2}$ उपयुक्त रूप से परिभाषित पिक्सेल कनेक्टिविटी नहीं है#कनेक्टिविटी के प्रकार।

पर दो स्पष्ट ग्राफ संरचनाएं हैं $\mathbb {Z} ^{2}$:

8-पड़ोसी और 4-पड़ोसी वर्ग ग्रिड।

* 4-पड़ोसी वर्ग ग्रिड , जहां प्रत्येक शीर्ष $(x,y)$ के साथ जुड़ा हुआ है $(x+1,y),(x-1,y),(x,y+1),(x,y-1)$.

• 8-पड़ोसी वर्ग ग्रिड , जहाँ प्रत्येक शीर्ष $(x,y)$ के साथ जुड़ा हुआ है $(x',y')$ आईएफएफ $|x-x'|\leq 1,|y-y'|\leq 1$, तथा $(x,y)\neq (x',y')$.

दोनों ग्राफ संरचनाएं मजबूत हेक्स प्रमेय को संतुष्ट करने में विफल रहती हैं। 4-पड़ोसी वर्ग ग्रिड एक गैर-विजेता स्थिति की अनुमति देता है, और 8-पड़ोसी वर्ग ग्रिड दो-विजेता स्थिति की अनुमति देता है। नतीजतन, कनेक्टिविटी गुण $\mathbb {R} ^{2}$, जैसे कि जॉर्डन वक्र प्रमेय, को सामान्यीकृत न करें $\mathbb {Z} ^{2}$ या तो ग्राफ संरचना के तहत।

यदि 6-पड़ोसी वर्ग ग्रिड संरचना पर लगाया जाता है $\mathbb {Z} ^{2}$, तो यह हेक्सागोनल ग्रिड है, और इस प्रकार मजबूत हेक्स प्रमेय को संतुष्ट करता है, जिससे जॉर्डन वक्र प्रमेय सामान्य हो जाता है। इस कारण से, बाइनरी छवि में जुड़े घटकों की गणना करते समय, आमतौर पर 6-पड़ोसी वर्ग ग्रिड का उपयोग किया जाता है।

स्टीनहॉस शतरंज की बिसात प्रमेय

कुछ अर्थों में स्टाइनहॉस शतरंजबोर्ड प्रमेय से पता चलता है कि 4-पड़ोसी ग्रिड और 8-पड़ोसी ग्रिड एक साथ जॉर्डन वक्र प्रमेय का अर्थ है, और 6-पड़ोसी ग्रिड उनके बीच एक सटीक प्रक्षेप है। प्रमेय कहता है कि: मान लीजिए कि आप कुछ चौकों पर बम डालते हैं a $n\times n$ शतरंज की बिसात, ताकि कोई राजा बम पर कदम रखे बिना नीचे की तरफ से ऊपर की तरफ न जा सके, तो एक किश्ती केवल बम पर कदम रखते हुए बाईं ओर से दाईं ओर जा सकता है।

इतिहास और आगे के सबूत

जॉर्डन वक्र प्रमेय का कथन पहली बार में स्पष्ट लग सकता है, लेकिन यह साबित करना एक कठिन प्रमेय है। बर्नार्ड बोलजानो एक सटीक अनुमान तैयार करने वाले पहले व्यक्ति थे, यह देखते हुए कि यह एक स्व-स्पष्ट कथन नहीं था, लेकिन इसके लिए एक प्रमाण की आवश्यकता थी। बहुभुज के लिए इस परिणाम को स्थापित करना आसान है, लेकिन समस्या सभी प्रकार के बुरे व्यवहार वाले वक्रों के सामान्यीकरण में आई, जिसमें कहीं भी अलग-अलग वक्र शामिल नहीं हैं, जैसे कोच हिमपात और अन्य भग्न वक्र , या यहां तक ​​​​कि ऑसगूड वक्र द्वारा निर्मित Osgood (1903).

इस प्रमेय का पहला प्रमाण केमिली जॉर्डन ने वास्तविक विश्लेषण पर अपने व्याख्यान में दिया था, और उनकी पुस्तक Cours d'analyse de l'École Polytechnique में प्रकाशित हुआ था। इस बारे में कुछ विवाद है कि क्या जॉर्डन का प्रमाण पूर्ण था: इस पर अधिकांश टिप्पणीकारों ने दावा किया है कि पहला पूर्ण प्रमाण बाद में ओसवाल्ड वेब्लेन द्वारा दिया गया था, जिन्होंने जॉर्डन के प्रमाण के बारे में निम्नलिखित कहा था:

उनका प्रमाण, हालांकि, कई गणितज्ञों के लिए असंतोषजनक है। यह एक साधारण बहुभुज के महत्वपूर्ण विशेष मामले में बिना सबूत के प्रमेय को मानता है, और उस बिंदु से तर्क के लिए, कम से कम यह स्वीकार करना चाहिए कि सभी विवरण नहीं दिए गए हैं।

हालांकि, थॉमस कॉलिस्टर हेल्स|थॉमस सी. हेल्स ने लिखा:

लगभग हर आधुनिक उद्धरण जो मैंने पाया है, इससे सहमत हैं कि पहला सही प्रमाण वेब्लेन के कारण है... जॉर्डन के प्रमाण की भारी आलोचना को देखते हुए, मुझे आश्चर्य हुआ जब मैं उसके प्रमाण को पढ़ने के लिए बैठ गया, जिसमें कुछ भी आपत्तिजनक नहीं पाया गया। यह। तब से, मैंने कई लेखकों से संपर्क किया है जिन्होंने जॉर्डन की आलोचना की है, और प्रत्येक मामले में लेखक ने स्वीकार किया है कि जॉर्डन के सबूत में त्रुटि का कोई प्रत्यक्ष ज्ञान नहीं है।

हेल्स ने यह भी बताया कि साधारण बहुभुजों का विशेष मामला न केवल एक आसान अभ्यास है, बल्कि वास्तव में जॉर्डन द्वारा वैसे भी उपयोग नहीं किया गया था, और माइकल रीकेन को यह कहते हुए उद्धृत किया:

जॉर्डन का प्रमाण अनिवार्य रूप से सही है... जॉर्डन का प्रमाण संतोषजनक तरीके से विवरण प्रस्तुत नहीं करता है। लेकिन विचार सही है, और कुछ पॉलिशिंग के साथ प्रमाण त्रुटिहीन होगा।

इससे पहले, जॉर्डन के सबूत और चार्ल्स जीन डे ला वेली पॉसिन द्वारा एक और प्रारंभिक सबूत का पहले ही गंभीर रूप से विश्लेषण किया गया था और स्कोनफ्लाइज (1 9 24) द्वारा पूरा किया गया था। निम्न-आयामी टोपोलॉजी और जटिल विश्लेषण में जॉर्डन वक्र प्रमेय के महत्व के कारण, 20 वीं शताब्दी के पूर्वार्द्ध के प्रमुख गणितज्ञों ने इसे बहुत ध्यान दिया। प्रमेय और इसके सामान्यीकरण के विभिन्न प्रमाणों का निर्माण जेम्स वाडेल अलेक्जेंडर II | जे द्वारा किया गया था। डब्ल्यू अलेक्जेंडर, लुई एंटोनी, लुडविग बीबरबाक , लुइट्ज़न ब्रौवर , अरनौद डेनजॉय , फ्रेडरिक हार्टोग्स , बेला केरेकजार्टो, अल्फ्रेड प्रिंग्सहेम , और आर्थर मोरित्ज़ शोएनफ्लाइज़

जॉर्डन वक्र प्रमेय के नए प्राथमिक प्रमाण, साथ ही पहले के प्रमाणों के सरलीकरण को जारी रखा गया है।

• प्राथमिक प्रमाण प्रस्तुत किए गए Filippov (1950) तथा Tverberg (1980).
• गैर-मानक विश्लेषण का उपयोग करके एक प्रमाण Narens (1971).
• रचनात्मक गणित का उपयोग करके एक प्रमाण Gordon O. Berg, W. Julian, and R. Mines et al. (1975).
• ब्रौवर नियत बिंदु प्रमेय का उपयोग करके एक प्रमाण Maehara (1984).
• समतलीय ग्राफ का उपयोग करते हुए एक प्रमाण_3,3 द्वारा दिया गया था Thomassen (1992).

कठिनाई की जड़ में समझाया गया है Tverberg (1980) निम्नलिखित नुसार। यह साबित करना अपेक्षाकृत सरल है कि जॉर्डन वक्र प्रमेय प्रत्येक जॉर्डन बहुभुज (लेम्मा 1) के लिए है, और प्रत्येक जॉर्डन वक्र को जॉर्डन बहुभुज (लेम्मा 2) द्वारा मनमाने ढंग से अच्छी तरह से अनुमानित किया जा सकता है। एक जॉर्डन बहुभुज एक बहुभुज श्रृंखला है, एक बंधे हुए खुले सेट की सीमा, इसे खुला बहुभुज कहते हैं, और इसका बंद (टोपोलॉजी), बंद बहुभुज। व्यास पर विचार करें $\delta$ बंद बहुभुज में निहित सबसे बड़ी डिस्क की। जाहिर है, $\delta$ सकारात्मक है। जॉर्डन बहुभुज के अनुक्रम का उपयोग करना (जो दिए गए जॉर्डन वक्र में अभिसरण करता है) हमारे पास एक अनुक्रम है $\delta _{1},\delta _{2},\dots$ संभावित रूप से एक सकारात्मक संख्या में परिवर्तित हो रहा है, व्यास $\delta$ जॉर्डन वक्र से घिरे बंद क्षेत्र में निहित सबसे बड़ी डिस्क की। हालाँकि, हमें यह साबित करना होगा कि अनुक्रम $\delta _{1},\delta _{2},\dots$ केवल दिए गए जॉर्डन वक्र का उपयोग करते हुए, शून्य में अभिसरण नहीं होता है, न कि संभवतः वक्र से घिरा क्षेत्र। यह टवरबर्ग के लेम्मा 3 का बिंदु है। मोटे तौर पर, बंद बहुभुज हर जगह शून्य से पतले नहीं होने चाहिए। इसके अलावा, उन्हें कहीं भी शून्य से पतला नहीं होना चाहिए, जो कि टवरबर्ग के लेम्मा 4 का बिंदु है।

जॉर्डन वक्र प्रमेय का पहला औपचारिक प्रमाण किसके द्वारा बनाया गया था Hales (2007a) जनवरी 2005 में एचओएल लाइट सिस्टम में, और इसमें लगभग 60,000 लाइनें थीं। एक और कठोर 6,500-लाइन औपचारिक प्रमाण 2005 में गणितज्ञों की एक अंतरराष्ट्रीय टीम द्वारा मिज़ार प्रणाली का उपयोग करके तैयार किया गया था। मिज़ार और एचओएल लाइट प्रूफ दोनों पहले से सिद्ध प्रमेयों के पुस्तकालयों पर निर्भर करते हैं, इसलिए ये दोनों आकार तुलनीय नहीं हैं। Nobuyuki Sakamoto and Keita Yokoyama (2007) ने दिखाया कि रिवर्स गणित में जॉर्डन वक्र प्रमेय सिस्टम पर कमजोर कोनिग के लेम्मा के बराबर है रिवर्स गणित#आधार प्रणाली RCA0|${\mathsf {RCA}}_{0}$.

आवेदन

विषम।

Main article: Point in polygon § Ray casting algorithm

कम्प्यूटेशनल ज्यामिति में, जॉर्डन वक्र प्रमेय का उपयोग परीक्षण के लिए किया जा सकता है कि कोई बिंदु एक साधारण बहुभुज के अंदर या बाहर है या नहीं। दिए गए बिंदु से, एक किरण (ज्यामिति) का पता लगाएं जो बहुभुज के किसी भी शीर्ष से नहीं गुजरती है (सभी किरणें लेकिन एक सीमित संख्या सुविधाजनक होती है)। फिर, संख्या की गणना करें n बहुभुज के किनारे के साथ किरण के चौराहे की। जॉर्डन वक्र प्रमेय प्रमाण का तात्पर्य है कि बिंदु बहुभुज के अंदर है यदि और केवल यदि n समता (गणित) है।

यह भी देखें

• Denjoy-Riesz प्रमेय, विमान में बिंदुओं के कुछ सेटों का विवरण जो जॉर्डन वक्रों के उपसमुच्चय हो सकते हैं
• वाड़ा की झीलें
• अर्ध-फुचियन समूह, एक गणितीय समूह जो जॉर्डन वक्र को संरक्षित करता है

संदर्भ

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बाहरी संबंध

• M.I. Voitsekhovskii (2001) [1994], "Jordan theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• The full 6,500 line formal proof of Jordan's curve theorem in Mizar.
• Collection of proofs of the Jordan curve theorem at Andrew Ranicki's homepage
• A simple proof of Jordan curve theorem (PDF) by David B. Gauld
• Brown, R.; Antolino-Camarena, O. (2014). "Corrigendum to "Groupoids, the Phragmen-Brouwer Property, and the Jordan Curve Theorem", J. Homotopy and Related Structures 1 (2006) 175-183". arXiv:1404.0556 [math.AT].