संबंध (गणित): Difference between revisions

Revision as of 10:25, 1 December 2022

एक समुच्चय पर एक उदाहरण संबंध का चित्रण

A = { a, b, c, d }

। से एक तीर

x

प्रति

y

इंगित करता है कि संबंध के बीच रहता है

x

तथा

y

। संबंध समुच्चय द्वारा दर्शाया गया है

{ (a,a), (a,b), (a,d),

(b,a), (b,d),

(c,b), (d,c), (d,d) }

आदेशित जोड़े की।

गणित में, समुच्चय पर दो दिए गए समुच्चय अवयव के बीच संबंध हो भी सकता है और नहीं भी। उदाहरण के लिए, "इससे कम है" प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय पर एक संबंध है,यह धारण करता है उदाहरण 1 और 3 के बीच (1<3 के रूप में दर्शाता है), और इसी तरह 3 और 4 के बीच (3<4 के रूप में चिह्नित), लेकिन न तो 3 और 1 के बीच और न ही 4 और 4 के बीच संबंध है। एक अन्य उदाहरण के रूप में, "इसकी बहन" संबंध है सभी लोगों के समुच्चय पर, यह धारण करता है उदाहरण मैरी क्यूरी और ब्रोनिस्लावा डुस्का के बीच, और इसी तरह इसके विपरीत। समुच्चय सदस्य "एक निश्चित डिग्री" के संबंध में नहीं हो सकते हैं, इसलिए उदाहरण "इसमें कुछ समानता है" एक संबंध नहीं हो सकता।

औपचारिक रूप से, समुच्चय X पर संबंध R को X के सदस्यों के क्रमित युग्मों (x, y) के समुच्चय के रूप में देखा जा सकता है।^[1]संबंध R, x और y के बीच रखता है यदि (x, y) R का सदस्य है। उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याओं पर संबंध "से कम है" अनंत समुच्चय है जिसमें प्राकृतिक संख्याओं जिनमें दोनों (1, 3) और (3,4), लेकिन न तो (3,1) और न ही (4,4) के जोड़े शामिल हैं। अंकीय प्राकृत संख्याओं के समुच्चय पर संबंध "का गैर-तुच्छ भाजक है" यहाँ दिखाए जाने के लिए पर्याप्त रूप से छोटा है: R_div = { (2,4), (2,6), (2,8), (3, 6), (3,9), (4,8)},उदाहरण के लिए 2, 8 का गैर-तुच्छ भाजक है, लेकिन इसके विपरीत नहीं, इसलिए (2,8) ∈ R_div , लेकिन (8,2) ∈ R_div ।

यदि R एक ऐसा संबंध है जो x और y के लिए है तो अक्सर xRy लिखा जाता है। गणित में सबसे आम संबंधों के लिए, विशेष प्रतीकों को पेश किया जाता है, जैसे "<" के लिए "इससे कम है", और "|" के लिए "का गैर-तुच्छ भाजक है", और, सबसे लोकप्रिय "=" के लिए "के बराबर है"। उदाहरण के लिए, "1<3", "1, 3 से कम है", और "(1,3) ∈ R_less" का अर्थ सभी समान है,कुछ लेखक "(1,3) ∈ (<)" भी लिखते हैं।

संबंधों के विभिन्न गुणों की जांच की जाती है। संबंध R स्वतुल्य है यदि xRx सभी x के लिए धारण करता है, और अपरिवर्तनीय है यदि xRx कोई x के लिए धारण नहीं करता है। यह सममित है यदि xRy का अर्थ हमेशा yRx होता है, और असममित यदि xRy का अर्थ है कि yRx असंभव है। यह संक्रामी है यदि xRy और yRz का अर्थ हमेशा xRz होता है। उदाहरण के लिए, "इससे कम है" अपरिवर्तनीय, असममित और संक्रामी है, लेकिन न तो प्रतिवर्त और न ही सममित, "की बहन है" सममित और संक्रमणीय है, लेकिन न तो प्रतिवर्त (जैसे पियरे क्यूरी खुद की बहन नहीं है) और न ही असममित, जबकि अपरिवर्तनीय होना या न होना परिभाषा का विषय हो सकता है (क्या हर महिला खुद की बहन है?), "पूर्वज है" संक्रामी है, जबकि "माता-पिता" नहीं है। गणितीय प्रमेयों को संबंध गुणों के संयोजन के बारे में जाना जाता है, जैसे "एक संक्रमणीय संबंध अपरिवर्तनीय है, और केवल अगर, यह असममित है"।

विशेष महत्व के संबंध हैं जो गुणों के कुछ संयोजनों को संतुष्ट करते हैं।आंशिक क्रम एक ऐसा संबंध है जो अपरिवर्तनीय, असममित और संक्रमणीय है, तुल्यता संबंध ऐसा संबंध है जो प्रतिवर्त, सममित और संक्रमणीय है,^{[citation needed]} फलन एक ऐसा संबंध है जो सही-अद्वितीय और बाएं-कुल है (नीचे देखें) है।^[2]

चूंकि संबंध समुच्चय हैं, इसलिए उन्हें समुच्चय संचालन का उपयोग करके जोड़-तोड़ किया जा सकता है, जिसमें संघ (समुच्चय सिद्धांत), प्रतिच्छेदन, और पूरक (समुच्चय सिद्धांत) शामिल हैं, और समुच्चय के बीजगणित के नियमों को संतुष्ट करते हैं। इसके अलावा, संबंध के विपरीत और संबंधों की संरचना संबंधों के गहन विश्लेषण में उन्हें अवधारणा नामक उपसमुच्चय में विघटित करना और उन्हें पूर्ण नियम में रखना शामिल है।

संबंध की उपरोक्त अवधारणा^{[note 1]} को दो अलग-अलग समुच्चय के सदस्यों के बीच संबंधों को स्वीकार करने के लिए सामान्यीकृत किया गया है (विषम संबंध,जैसे सभी बिंदुओं के समुच्चय के बीच "स्थित" और ज्यामिति में सभी पंक्तियों के बीच), तीन या अधिक के बीच संबंध समुच्चय (समुच्चय संबंध,जैसे "व्यक्ति x समय z पर शहर y में रहता है"), और वर्ग (गणित) के बीच संबंध^{[note 2]}(जैसे सभी समुच्चय के वर्ग पर "का एक तत्व है", द्वयाधारी संबंध देखें समुच्चय बनाम वर्ग)।

परिभाषा

दिए गए समुच्चय X और Y, कार्तीय गुणन फल $X \times Y$ {(x, y) | के रूप में परिभाषित किया गया है x ∈ X और y ∈ Y}, और इसके अवयवों को क्रमित युग्म कहा जाता है।

समुच्चय X और Y पर द्वयी संबंध R का उपसमुच्चय है $X \times Y$ ।^[1]^[3] समुच्चय X को 'डोमेन' कहा जाता है^[1]या R के प्रस्थान का समुच्चय, और समुच्चय Y को कोडोमेन या R के गंतव्य का समुच्चय कहा जाता है। समुच्चय X और Y के विकल्पों को निर्दिष्ट करने के लिए, कुछ लेखक द्विआधारी संबंध या पत्राचार को आदेशित त्रिगुण के रूप में परिभाषित करते हैं $(X, Y, G)$ , जहां G का उपसमुच्चय है $X \times Y$ द्वयी संबंध का ग्राफ कहा जाता है। कथन $(x, y) \in R$ पढ़ता है कि x, R से संबंधित है और इसे infix संकेतन में xRy के रूप में लिखा गया है।^[4]^[5]परिभाषा का डोमेन या सक्रिय डोमेन^[1]R का सभी x का ऐसा समुच्चय है कि कम से कम एक y के लिए xRy है। परिभाषा का कोडोमेन, सक्रिय कोडोमेन,^[1]छवि (गणित) या R के किसी फलन की श्रेणी सभी y का ऐसा समुच्चय है जो कम से कम एक x के लिए xRy हो। R का क्षेत्र परिभाषा के अपने डोमेन और परिभाषा के कोडोमेन का संघ है।^[6]^[7]^[8] कब $X = Y$ , एक द्विआधारी संबंध को #सजातीय संबंध (या एंडोरेलेशन) कहा जाता है।^[9] अन्यथा यह एक विषम संबंध है।^[10]^[11]^[12] एक द्विआधारी संबंध में, तत्वों का क्रम महत्वपूर्ण होता है,यदि $x \neq y$ तब yRx, xRy से स्वतंत्र होकर सत्य या असत्य हो सकता है। उदाहरण के लिए, 3 9 को विभाजित करता है, लेकिन 9 3 को विभाजित नहीं करता है।

संबंधों के गुण

सजातीय संबंध के कुछ महत्वपूर्ण गुण $R$ समुच्चय पर $X$ हो सकता है:

स्वतुल्य संबंध: सभी के लिए $x \in X$ , $xRx$ उदाहरण के लिए, ≥ स्वतुल्य संबंध है लेकिन > नहीं है।

अपरावर्ती संबंध (या strict): सभी के लिए $x \in X$ , नहीं $xRx$ , उदाहरण के लिए, > अपरावर्ती संबंध है, लेकिन ≥ नहीं है।

पिछले 2 विकल्प संपूर्ण नहीं हैं,उदाहरण के लिए, लाल द्वयाधारी संबंध $y = x 2$ खण्ड में दिया गया है § Special types of binary relations न तो अपवर्तक है, न ही प्रतिवर्ती है, क्योंकि इसमें युग्म $(0, 0)$ , लेकिन नहीं $(2, 2)$ , क्रमश है।

सममित संबंध: सभी के लिए $x, y \in X$ , यदि $xRy$ फिर $yRx$ है। उदाहरण के लिए, रक्त रिश्तेदार एक सममित संबंध है, क्योंकि $x$ का रक्त संबंधी है $y$ केवल अगर $y$ का रक्त संबंधी है $x$ ।

प्रतिसममित: सभी के लिए $x, y \in X$ , यदि $xRy$ तथा $yRx$ है फिर $x = y$ है। उदाहरण के लिए, ≥ प्रतिसममित संबंध है,ऐसा है >, लेकिन निर्वात सत्य (परिभाषा में स्थिति हमेशा गलत होती है)।^[13]
असममित संबंध: सभी के लिए $x, y \in X$ , यदि $xRy$ फ़िर $yRx$ नही। संबंध असममित है यदि और केवल यदि यह प्रतिसममित और अपरिवर्तनीय दोनों है।^[14] उदाहरण के लिए, > असममित संबंध है, लेकिन ≥ नहीं है।

फिर से, पिछले 3 विकल्प संपूर्ण होने से बहुत दूर हैं, प्राकृतिक संख्या, संबंध पर उदाहरण के रूप में $xRy$ द्वारा परिभाषित $x > 2$ न तो सममित है और न ही विषम है, अकेले असममित होने दें।

संक्रामी संबंध: सभी के लिए $x, y, z \in X$ , यदि $xRy$ तथा $yRz$ फिर $xRz$ । संक्रामी संबंध अपरिवर्तनीय है अगर और केवल अगर यह असममित है।^[15] उदाहरण के लिए, "के पूर्वज में" संक्रामी संबंध है, जबकि का जनक नहीं है।

सघन: सभी x, y ∈ X के लिए ऐसा है कि xRy, कुछ z ∈ X ऐसे शामिलहैं कि xRz और zRy। इसका उपयोग घने आदेशों में किया जाता है।

सम्बद्ध संबंध: सभी $x, y \in X$ के लिए, यदि $x \neq y$ फिर $xRy$ या $yRx$ हैं । इस गुण को कभी-कभी कुल कहा जाता है, जो खंड में दी गई कुल परिभाषा से अलग है संबंध (गणित) § (विषम) संबंधों के गुण। § Notes।

मजबूत सम्बद्ध संबंध: सभी $x, y \in X$ , के लिए $xRy$ या $yRx$ । इस गुण को कभी-कभी कुल कहा जाता है, जो खंड में दी गई कुल परिभाषा से अलग है संबंध (गणित) § (विषम) संबंधों के गुण। § Notes।

त्रिगुणात्मक: सभी $x, y \in X$ के लिए, बिल्कुल एक $xRy$ , $yRx$ या $x = y$ रखती है। उदाहरण के लिए, > त्रिगुणात्मक संबंध है, जबकि प्राकृतिक संख्याओं पर विभाजित संबंध नहीं है।^[16]
सुस्थापित संबंध: हर गैर-खाली उपसमुच्चय $S$ का $X$ के संबंध में अधिकतम और न्यूनतम तत्व शामिल हैं $R$ । सुस्थापित होने का तात्पर्य अवरोही श्रृंखला की स्थिति से है (अर्थात, कोई अनंत श्रृंखला नहीं है..... $x n R ... Rx 3 Rx 2 Rx 1$ शामिल हो सकता है)। यदि आश्रित पसंद का स्वयंसिद्ध मान लिया जाए, तो दोनों स्थितियाँ समतुल्य हैं।^[17]^[18]
पूर्व क्रम
रिश्ता जो स्वतुल्य और संक्रामी है।

कुल अग्रिम क्रम (भी, रेखीय अग्रिम क्रम या कमजोर क्रम)

संबंध जो प्रतिवर्त, संक्रामी और जुड़ा हुआ है।

आंशिक क्रम (भी, क्रम^{[citation needed]}): संबंध जो प्रतिवर्ती, प्रतिसममित और संक्रामी ह:पूर्णतः आंशिक क्रम (भी, पूर्णतः क्रम^{[citation needed]}); संबंध जो अपरावर्ती , प्रतिसममित और संक्रामी है।; कुल क्रम (भी, रैखिक क्रम, simple order, या chain); संबंध जो प्रतिवर्त, प्रतिसममित, संक्रामी और जुड़ा हुआ है।^[19]; पूर्णतः कुल क्रम (भी, पूर्णतः रैखिक क्रम, पूर्णतः सरल क्रम, या strict chain); संबंध जो अप्रतिवर्ती, प्रतिसममित, संक्रामी और जुड़ा हुआ है।; आंशिक तुल्यता संबंध; संबंध जो सममित और संक्रामी है।; तुल्यता संबंध; संबंध जो स्वतुल्य, सममित और संक्रामी है। यह ऐसा संबंध भी है जो सममित, संक्रामी और क्रमिक है, क्योंकि ये गुण प्रतिवर्तता का संकेत देते हैं।

(विषम) संबंधों के गुण

वास्तविक संख्याओं पर चार प्रकार के द्विआधारी संबंधों के उदाहरण: एक-से-एक (हरे रंग में), एक-से-अनेक (नीले रंग में), कई-से-एक (लाल रंग में), कई-से-अनेक (काले रंग में) )।

समुच्चय X और Y पर कुछ महत्वपूर्ण प्रकार के द्वयाधारी संबंध R नीचे सूचीबद्ध हैं।

विशिष्टता गुण:

अंतःक्षेपक(जिसे वाम-अद्वितीय भी कहा जाता है)^[20] सभी के लिए $x, z \in X$ और सभी $y \in Y$ , यदि $xRy$ तथा $zRy$ फिर $x = z$ । ऐसे संबंध के लिए, {Y} को R की प्राथमिक कुंजी कहा जाता है।^[1]उदाहरण के लिए, आरेख में हरे और नीले द्विआधारी संबंध अंतःक्षेपकहैं, लेकिन लाल वाला नहीं है (क्योंकि यह -1 और 1 से 1 दोनों से संबंधित है), न ही काला वाला (क्योंकि यह -1 और 1 से 0 दोनों से संबंधित है) ।
कार्यात्मक (जिसे सही-अद्वितीय भी कहा जाता है,^[20]सही-निश्चित^[21] या असंबद्ध): ^[22] सभी के लिए $x \in X$ और सभी $y, z \in Y$ , यदि $xRy$ तथा $xRz$ फिर $y = z$ । इस तरह के द्वयी संबंध को कहा जाता है partial function। ऐसे संबंध के लिए, {X} कहा जाता है a primary key R का^[1]उदाहरण के लिए, आरेख में लाल और हरे रंग के द्विआधारी संबंध कार्यात्मक हैं, लेकिन नीला नहीं है (क्योंकि यह 1 से -1 और 1 दोनों से संबंधित है), और न ही काला वाला (क्योंकि यह 0 से -1 और 1 दोनों से संबंधित है) ।
एक-से-एक: अंतःक्षेपक और कार्यात्मक। उदाहरण के लिए, आरेख में हरा द्वयाधारी संबंध एक-से-एक है, लेकिन लाल, नीला और काला नहीं है।
एक-से-कई: अंतःक्षेपक और कार्यात्मक नहीं। उदाहरण के लिए, आरेख में नीला द्वयाधारी संबंध एक-से-कई है, लेकिन लाल, हरा और काला नहीं है।
कई-से-एक: कार्यात्मक और अंतःक्षेपक नहीं। उदाहरण के लिए, आरेख में लाल द्वयाधारी संबंध कई-से-एक है, लेकिन हरा, नीला और काला नहीं है।
कई-से-अनेक: न तो अंतःक्षेपक और न ही फलनक। उदाहरण के लिए, आरेख में काला द्वयाधारी संबंध कई-से-अनेक है, लेकिन लाल, हरा और नीला नहीं है।

संपूर्णता गुण (केवल तभी परिभाषित किया जा सकता है जब डोमेन X और कोडोमेन Y निर्दिष्ट हों):

कुल (बाएं-कुल भी कहा जाता है)

X में सभी X के लिए Y में ऐसा शामिल है

xRy

। दूसरे शब्दों में, R की परिभाषा का डोमेन X के बराबर है। यह गुण जुड़ा हुआ संबंध की परिभाषा से खंड द्वयाधारी संबंध गुण में अलग है (जिसे कुछ लेखकों द्वारा कुल भी कहा जाता है)^{[citation needed]}। इस तरह के द्वयी संबंध को बहुविकल्पी फलन कहा जाता है। उदाहरण के लिए, आरेख में लाल और हरे रंग के द्विआधारी संबंध कुल हैं, लेकिन नीला वाला नहीं है (क्योंकि यह -1 को किसी वास्तविक संख्या से संबंधित नहीं करता है), और न ही काला वाला (क्योंकि यह 2 को किसी वास्तविक संख्या से संबंधित नहीं करता है) )।:क्रमिक संबंधl (या बाएं-कुल)

सभी के लिए

x \in X

, कुछ शामिलहै

y \in X

ऐसा है कि

xRy

। उदाहरण के लिए, > पूर्णांकों पर एक क्रमिक संबंध है। लेकिन यह धनात्मक पूर्णांकों पर क्रमिक संबंध नहीं है, क्योंकि ऐसा नहीं है

y

सकारात्मक पूर्णांकों में जैसे कि

1 > y

।^[23] हालाँकि, < धनात्मक पूर्णांकों, परिमेय संख्याओं और वास्तविक संख्याओं पर एक क्रमिक संबंध है। हर स्वतुल्य संबंध क्रमिक संबंध है: दिए गए के लिए

x

, चुनें

y = x

।

विशेषण (जिसे दायां-कुल भी कहा जाता है^[20]or on)

Y में सभी y के लिए, X में x शामिल है जैसे कि xRy। दूसरे शब्दों में, R की परिभाषा का कोडोमेन Y के बराबर है। उदाहरण के लिए, आरेख में हरे और नीले रंग के द्वयाधारी संबंध विशेषण हैं, लेकिन लाल नहीं है (क्योंकि यह किसी वास्तविक संख्या को -1 से संबंधित नहीं करता है), न ही काला वाला (क्योंकि यह किसी भी वास्तविक संख्या को 2 से संबंधित नहीं करता है)।

विशिष्टता और समग्रता गुण (केवल डोमेन X और कोडोमेन Y निर्दिष्ट होने पर परिभाषित किया जा सकता है):

फलन: द्विआधारी संबंध जो कार्यात्मक और कुल है। उदाहरण के लिए, आरेख में लाल और हरे रंग के द्वयाधारी संबंध फलन हैं, लेकिन नीले और काले वाले नहीं हैं।
अंतःक्षेप: फलन जो अंतःक्षेपक है। उदाहरण के लिए, आरेख में हरे रंग का द्वयाधारी संबंध एक अंतःक्षेपक है, लेकिन लाल, नीला और काला नहीं है।
विशेषण: फलन जो विशेषण है। उदाहरण के लिए, आरेख में हरा द्वयाधारी संबंध अनुमान है, लेकिन लाल, नीला और काला नहीं है।
द्विअंतथक्षेपण: फलन जो अंतःक्षेपी और आच्छादक है। उदाहरण के लिए, आरेख में हरा द्वयाधारी संबंध आक्षेप है, लेकिन लाल, नीला और काला नहीं है।

सजातीय संबंधों पर संचालन

यदि R एक समुच्चय X पर सजातीय संबंध है तो निम्नलिखित में से प्रत्येक X पर सजातीय संबंध है:

स्वतुल्य संवरक: R⁼ , R के रूप में परिभाषित किया गया है R⁼ = {(x, x) | x ∈ X} ∪ R या R युक्त X पर सबसे छोटा स्वतुल्य संबंध है। यह R वाले सभी स्वतुल्य संबंधों के प्रतिच्छेदन (समुच्चय सिद्धांत) के बराबर साबित हो सकता है।
स्वतुल्य कमी: R^≠, R के रूप में परिभाषित किया गया है R^≠= R \ {(x, x) | x ∈ X} या R में निहित X पर सबसे बड़ा अपरावर्ती संबंध है।
संक्रामी संवरक: R⁺, R युक्त X पर सबसे छोटे संक्रामी संबंध के रूप में परिभाषित किया गया है। इसे R वाले सभी संक्रामी संबंधों के प्रतिच्छेदन के बराबर देखा जा सकता है।
स्वतुल्य संक्रामी संवरक: R*, के रूप में परिभाषित किया गया $R * = (R +) =$ , सबसे छोटा पूर्व आदेश जिसमें R है।
स्वतुल्य संक्रामी सममि संवरक: R^≡, R वाले X पर सबसे छोटे समतुल्य संबंध के रूप में परिभाषित किया गया है।

अनुभाग में परिभाषित सभी संचालन § द्विआधारी संबंधों पर संचालन सजातीय संबंधों पर भी लागू होता है।

Homogeneous relations by property
	Reflexivity	Symmetry	Transitivity	Connectedness	Symbol	Example
Directed graph					→
Undirected graph		Symmetric
Dependency	Reflexive	Symmetric
Tournament	Irreflexive	Antisymmetric				Pecking order
Preorder	Reflexive		Yes		≤	Preference
Total preorder	Reflexive		Yes	Yes	≤
Partial order	Reflexive	Antisymmetric	Yes		≤	Subset
Strict partial order	Irreflexive	Antisymmetric	Yes		<	Strict subset
Total order	Reflexive	Antisymmetric	Yes	Yes	≤	Alphabetical order
Strict total order	Irreflexive	Antisymmetric	Yes	Yes	<	Strict alphabetical order
Partial equivalence relation		Symmetric	Yes
Equivalence relation	Reflexive	Symmetric	Yes		∼, ≡	Equality

(विषम) संबंधों पर संचालन

समुच्च: यदि R और S समुच्चय X और Y पर द्विआधारी संबंध हैं तो $R \cup S = {(x, y) | xRy या xSy$ R और S का समुच्च संबंध है। इस संचालन का पहचान तत्व खाली संबंध है। उदाहरण के लिए, ≤ < और = का मिलन है, और ≥ > और = का मिलन है।

प्रतिच्छेदन: यदि R और S समुच्चय X और Y पर द्विआधारी संबंध हैं तो $R \cap S = {(x, y) | xRy और xSy$ X और Y पर R और S का प्रतिच्छेदन संबंध है । पहचान तत्व सार्वभौमिक संबंध है। उदाहरण के लिए, संबंध 6 से विभाज्य है संबंधों का प्रतिच्छेदन 3 से विभाज्य है और 2 से विभाज्य है।

संयुक्तीकरण: यदि R समुच्चय X और Y पर द्वयी संबंध है, और S समुच्चय Y और Z पर द्वयी संबंध है तो $S \circ R = {(x, z)$ | वहाँ y ∈ Y का अस्तित्व है जैसे कि xRy और ySz $}$ (द्वारा भी निरूपित) $R; S$ ) X और Z पर R और S का संयुक्तीकरण संबंध है। पहचान तत्व पहचान संबंध है। अंकन में R और S का क्रम $S \circ R$ , यहाँ प्रयुक्त कार्यों की संरचना के लिए मानक अंकन क्रम से सहमत है। उदाहरण के लिए, रचना ∘ की जननी है, उपज की जननी है, की नानी है, जबकि रचना ∘ की जननी है, उपज की जननी है। पूर्व मामले के लिए, यदि x, y का माता-पिता है और y, z की माता है, तो x, z का नाना-नानी है।

विपरीत: यदि R समुच्चय X और Y पर द्विआधारी संबंध है तो R^T = {(y, x) | xRy} Y और X पर R का विपरीत संबंध है। उदाहरण के लिए, = स्वयं का विपरीत है, जैसा ≠ है, और < और > दूसरे के विपरीत हैं, जैसे ≤ और ≥ हैं। द्विआधारी संबंध इसके विपरीत के बराबर है यदि और केवल यदि यह सममित संबंध है।

Complement: यदि R समुच्चय X और Y पर एक द्विआधारी संबंध है तो $R = {(X, Y) | xRy नहीं$ (द्वारा भी दर्शाया गया है R या $\neg R$ ) X और Y पर R का पूरक संबंध है। उदाहरण के लिए, = और ≠ एक दूसरे के पूरक हैं, जैसे ⊆ और ⊈, ⊇ और ⊉, और ∈ और ∉, और, कुल ऑर्डर के लिए भी < और ≥, और > और ≤। विपरीत संबंध का पूरक $R T$ पूरक का विपरीत है: ${\overline {R^{\mathsf {T}}}}={\bar {R}}^{\mathsf {T}}.$
प्रतिबंधात्मक संबंध: यदि R समुच्चय X पर द्विआधारी सजातीय संबंध है और S, X का उपसमुच्चय है $R | S =$ {(X, Y) | xRy और x ∈ S और y ∈ S} R से S का Template:प्रतिबंधात्मक संबंध है। व्यंजक $R | S = {(X, Y) | xRy और x \in S} R से S का$ {{ बायाँ-प्रतिबंध संबंध} है। व्यंजक $R |S = {(X, Y) | xRy और y \in S}$ को R से S का {{ सही-प्रतिबंध संबंध} कहा जाता है।। यदि कोई संबंध रिफ्लेक्टिव संबंध, अपरिवर्तनीय, सममित संबंध, एंटीसिमेट्रिक संबंध, असममित संबंध, संक्रामी संबंध, क्रमिक संबंध संबंध, ट्राइकोटॉमी (गणित), एक आंशिक क्रम, कुल आदेश, सख्त कमजोर क्रम है, सख्त कमजोर आदेश#कुल पूर्व आदेश (कमजोर आदेश), या एक तुल्यता संबंध, फिर भी इसके प्रतिबंध हैं। हालांकि, एक प्रतिबंध का संक्रामी समापन संक्रामी बंद होने के प्रतिबंध का एक उपसमुच्चय है, अर्थात, सामान्य रूप से समान नहीं है। उदाहरण के लिए, महिलाओं के लिए y का जनक x है संबंध को प्रतिबंधित करने से संबंध x, महिला y की मां है,इसका संक्रामी समापन एक महिला को उसकी नानी से संबंधित नहीं करता है। दूसरी ओर, के माता-पिता का संक्रामी समापन है का पूर्वज है,महिलाओं के लिए इसका प्रतिबंध एक महिला को उसकी नानी से जोड़ता है।

एक द्वयी संबंध R ओवर समुच्चय X और Y कहा जाता है contained in X और Y पर एक संबंध S लिखा है $R\subseteq S,$ यदि R, S का उपसमुच्चय है, अर्थात सभी के लिए $x\in X$ तथा $y\in Y,$ अगर xRy, तो xSy। यदि R, S में समाहित है और S, R में समाहित है, तो R और S को बराबर लिखा R = S कहा जाता है। यदि R, S में समाहित है, लेकिन S, R में समाहित नहीं है, तो R को कहा जाता है smaller S से, लिखा हुआ $R ⊊ S$ । उदाहरण के लिए, परिमेय संख्याओं पर संबंध > ≥ से छोटा होता है, और संघटन के बराबर होता है $> \circ >.$

उदाहरण

सख्त आदेश सहित आदेश संबंध:
- से अधिक
- इससे बड़ा या इसके बराबर
- से कम
- से कम या बराबर
- विभाजित (समान रूप से)
- का भाग
तुल्यता संबंध:
- समानता (गणित)
- समानांतर (ज्यामिति) के साथ (एफ़िन रिक्त स्थान के लिए)
- के साथ आपत्ति में है
- समरूपता
टॉलरेंस रिलेशन, एक स्वतुल्य और सिमेट्रिक रिलेशन:
- निर्भरता संबंध, एक परिमित सहिष्णुता संबंध
- स्वतंत्रता संबंध, कुछ निर्भरता संबंध का पूरक
रिश्तेदारी#संबंधों की संरचना

यह भी देखें

सार पुनर्लेखन प्रणाली
योज्य संबंध, मॉड्यूल के बीच एक बहु-मूल्यवान समरूपता
संबंधों की श्रेणी, वस्तुओं के रूप में सेट वाली श्रेणी और आकारिकी के रूप में विषम द्विआधारी संबंध
संगम (शब्द पुनर्लेखन), द्विआधारी संबंधों के कई असामान्य लेकिन मौलिक गुणों पर चर्चा करता है
पत्राचार (बीजीय ज्यामिति), बीजगणितीय समीकरणों द्वारा परिभाषित एक द्विआधारी संबंध
हस्स आरेख, एक ग्राफिक का मतलब ऑर्डर संबंध प्रदर्शित करना है
घटना संरचना, बिंदुओं और रेखाओं के सेट के बीच एक विषम संबंध
रिश्तेदारों का तर्क, चार्ल्स सैंडर्स पियर्स द्वारा संबंधों का एक सिद्धांत
आदेश सिद्धांत, आदेश संबंधों के गुणों की जांच करता है

संदर्भ

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[23] Peter J. Pahl; Rudolf Damrath (2001). Mathematical Foundations of Computational Engineering: A Handbook. Springer Science & Business Media. p. 506. ISBN 978-3-540-67995-0.

[24] Eike Best (1996). Semantics of Sequential and Parallel Programs. Prentice Hall. pp. 19–21. ISBN 978-0-13-460643-9.

[25] Robert-Christoph Riemann (1999). Modelling of Concurrent Systems: Structural and Semantical Methods in the High Level Petri Net Calculus. Herbert Utz Verlag. pp. 21–22. ISBN 978-3-89675-629-9.

[23] Mäs, Stephan (2007), "Reasoning on Spatial Semantic Integrity Constraints", Spatial Information Theory: 8th International Conference, COSIT 2007, Melbourne, Australia, September 19–23, 2007, Proceedings, Lecture Notes in Computer Science, vol. 4736, Springer, pp. 285–302, doi:10.1007/978-3-540-74788-8_18

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[25] Yao, Y.Y.; Wong, S.K.M. (1995). "विशेषता मानों के बीच संबंधों का उपयोग करते हुए किसी न किसी सेट का सामान्यीकरण" (PDF). Proceedings of the 2nd Annual Joint Conference on Information Sciences: 30–33..

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@@ Line 284: / Line 284: @@
 ; {{em| Complement}}: यदि R समुच्चय X और Y पर एक द्विआधारी संबंध है तो <span class= texhtml >{{overline|''R''}} = {(X, Y) | xRy नहीं </span> (द्वारा भी दर्शाया गया है {{strikethrough|''R''}} या {{math|&not; ''R''}}) X और Y पर R का पूरक संबंध है। उदाहरण के लिए, = और ≠ एक दूसरे के पूरक हैं, जैसे ⊆ और ⊈, ⊇ और ⊉, और ∈ और ∉, और, कुल ऑर्डर के लिए भी < और ≥, और > और ≤। विपरीत  संबंध का पूरक {{math|''R''<sup>T</sup>}} पूरक का विपरीत  है: <math>\overline{R^\mathsf{T}} = \bar{R}^\mathsf{T}.</math>
-; {{em| Restriction}}: यदि R एक समुच्चय X पर एक द्विआधारी [[सजातीय संबंध]] है और S, X का एक उपसमुच्चय है तो <span class= texhtml >R<sub>|''S''</sub> = {(X, Y) | xRy और x ∈ S और y ∈ S}</span> है {{em|{{visible anchor|restriction relation|Restriction relation|Restriction of a homogeneous relation}}}} का R से S के ऊपर X। यदि R, X और Y के समुच्चय पर एक द्विआधारी संबंध है और यदि S, X का एक उपसमूह है तो <span class= texhtml >R<sub>|''S''</sub> = {(X, Y) | xRy और x ∈ S}</span> है {{em|{{visible anchor|left-restriction relation|Left-restriction relation}}}X और Y पर R से S का }। यदि R समुच्चय X और Y पर एक द्विआधारी संबंध है और यदि S Y का उपसमुच्चय है तो <span class= texhtml >R<sup>|S</sup> = {(X, Y) | xRy और y ∈ S}</span> है {{em|{{visible anchor|right-restriction relation|Right-restriction relation}}}X और Y पर R से S का }। यदि कोई संबंध रिफ्लेक्टिव संबंध, अपरिवर्तनीय, सममित संबंध, [[एंटीसिमेट्रिक संबंध]], [[असममित संबंध]], [[सकर्मक संबंध|संक्रामी  संबंध]], [[सीरियल संबंध|क्रमिक संबंध संबंध]], [[ट्राइकोटॉमी (गणित)]], एक आंशिक क्रम, कुल आदेश, सख्त कमजोर क्रम है, [[सख्त कमजोर आदेश]]#कुल पूर्व आदेश (कमजोर आदेश), या एक तुल्यता संबंध, फिर भी इसके प्रतिबंध हैं। हालांकि, एक प्रतिबंध का संक्रामी  समापन संक्रामी  बंद होने के प्रतिबंध का एक उपसमुच्चय है, अर्थात, सामान्य रूप से समान नहीं है। उदाहरण के लिए, महिलाओं के लिए y का जनक x है संबंध को प्रतिबंधित करने से संबंध x, महिला y की मां है,इसका संक्रामी  समापन एक महिला को उसकी नानी से संबंधित नहीं करता है। दूसरी ओर, के माता-पिता का संक्रामी  समापन है का पूर्वज है,महिलाओं के लिए इसका प्रतिबंध एक महिला को उसकी नानी से जोड़ता है।
+; {{em|प्रतिबंधात्मक संबंध}}: यदि R समुच्चय X पर द्विआधारी [[सजातीय संबंध]] है और S, X का उपसमुच्चय है <span class= texhtml >R<sub>|''S''</sub> =</span> {(X, Y) | xRy और x ∈ S और y ∈ S} R से S का {{em|{{प्रतिबंधात्मक संबंध}}}}  है। व्यंजक <span class= texhtml >R<sub>|''S''</sub> = {(X, Y) | xRy और x ∈ S} R से S का</span><nowiki> {{ बायाँ-प्रतिबंध संबंध} है। व्यंजक </nowiki><span class= texhtml >R<sup>|S</sup> = {(X, Y) | xRy और y ∈ S}</span><nowiki>को R से S का {{ सही-प्रतिबंध संबंध} कहा जाता है।। यदि कोई संबंध रिफ्लेक्टिव संबंध, अपरिवर्तनीय, सममित संबंध, </nowiki>[[एंटीसिमेट्रिक संबंध]], [[असममित संबंध]], [[सकर्मक संबंध|संक्रामी  संबंध]], [[सीरियल संबंध|क्रमिक संबंध संबंध]], [[ट्राइकोटॉमी (गणित)]], एक आंशिक क्रम, कुल आदेश, सख्त कमजोर क्रम है, [[सख्त कमजोर आदेश]]#कुल पूर्व आदेश (कमजोर आदेश), या एक तुल्यता संबंध, फिर भी इसके प्रतिबंध हैं। हालांकि, एक प्रतिबंध का संक्रामी  समापन संक्रामी  बंद होने के प्रतिबंध का एक उपसमुच्चय है, अर्थात, सामान्य रूप से समान नहीं है। उदाहरण के लिए, महिलाओं के लिए y का जनक x है संबंध को प्रतिबंधित करने से संबंध x, महिला y की मां है,इसका संक्रामी  समापन एक महिला को उसकी नानी से संबंधित नहीं करता है। दूसरी ओर, के माता-पिता का संक्रामी  समापन है का पूर्वज है,महिलाओं के लिए इसका प्रतिबंध एक महिला को उसकी नानी से जोड़ता है।
 <!---This definition is needed by the closure defs, too, but maybe should better given in an earlier section(?):--->

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