बिर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान

गणित में, बर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान (अक्सर बर्च-स्वाइनर्टन-डायर अनुमान कहा जाता है) दीर्घवृत्त वक्र को परिभाषित करने वाले समीकरणों के तर्कसंगत समाधानों के सेट का वर्णन करता है। यह संख्या सिद्धांत के क्षेत्र में एक खुली समस्या है और व्यापक रूप से सबसे चुनौतीपूर्ण गणितीय समस्याओं में से एक के रूप में मान्यता प्राप्त है। इसका नाम गणितज्ञ ब्रायन जॉन बिर्च और पीटर स्विनर्टन-डायर के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने मशीन संगणना की मदद से 1960 के दशक की पहली छमाही के दौरान अनुमान विकसित किया था। As of 2022, अनुमान के केवल विशेष मामले सिद्ध हुए हैं।

अनुमान का आधुनिक सूत्रीकरण एक संख्या क्षेत्र K पर दीर्घवृत्तीय वक्र E से जुड़े अंकगणितीय डेटा को हसे-वील L-फ़ंक्शन | Hasse–Weil L-फ़ंक्शन L(E, s) के E पर s = 1 के व्यवहार से संबंधित करता है अधिक विशेष रूप से, यह अनुमान लगाया गया है कि एबेलियन समूह E(K) के अंक E के एबेलियन समूह का रैंक s = 1 पर L(E, s) के शून्य का क्रम है, और पहला गैर-शून्य s = 1 पर L(E, s) के टेलर विस्तार में गुणांक, K पर E से जुड़े अधिक परिष्कृत अंकगणितीय डेटा द्वारा दिया गया है (Wiles 2006).

मिट्टी गणित संस्थान द्वारा सूचीबद्ध सात सहस्राब्दी पुरस्कार समस्याओं में से एक के रूप में अनुमान को चुना गया था, जिसने पहले सही प्रमाण के लिए $ 1,000,000 पुरस्कार की पेशकश की है।

पृष्ठभूमि

Mordell (1922) मोर्डेल की प्रमेय साबित हुई: दीर्घवृत्तीय वक्र पर परिमेय बिंदुओं के समूह में एक समूह का परिमित जनन समुच्चय होता है। इसका मतलब यह है कि किसी भी अंडाकार वक्र के लिए वक्र पर तर्कसंगत बिंदुओं का एक परिमित उपसमुच्चय होता है, जिससे आगे के सभी तर्कसंगत बिंदु उत्पन्न हो सकते हैं।

यदि किसी वक्र पर परिमेय बिंदुओं की संख्या अनंत समुच्चय है तो परिमित आधार में कुछ बिंदुओं में अनंत क्रम (समूह सिद्धांत) होना चाहिए। अनंत क्रम के साथ स्वतंत्र आधार बिंदुओं की संख्या को वक्र के एबेलियन समूह का रैंक कहा जाता है, और यह दीर्घवृत्तीय वक्र का एक महत्वपूर्ण अपरिवर्तनीय (गणित) गुण है।

यदि दीर्घवृत्तीय वक्र की कोटि 0 है, तो वक्र में परिमेय बिंदुओं की केवल परिमित संख्या होती है। दूसरी ओर, यदि वक्र की कोटि 0 से अधिक है, तो वक्र में परिमेय बिंदुओं की अनंत संख्या होती है।

हालांकि मोर्डेल के प्रमेय से पता चलता है कि दीर्घवृत्तीय वक्र की कोटि हमेशा परिमित होती है, यह प्रत्येक वक्र की कोटि की गणना के लिए एक प्रभावी विधि नहीं देती है। कुछ अण्डाकार वक्रों की श्रेणी की गणना संख्यात्मक विधियों का उपयोग करके की जा सकती है लेकिन (ज्ञान की वर्तमान स्थिति में) यह अज्ञात है यदि ये विधियाँ सभी वक्रों को संभालती हैं।

एक L-फ़ंक्शन 'L(E, s)' को अंडाकार वक्र E के लिए प्रत्येक अभाज्य संख्या p वक्र मॉड्यूल पर बिंदुओं की संख्या से एक यूलर उत्पाद बनाकर परिभाषित किया जा सकता है। यह एल-फ़ंक्शन, रीमैन जीटा फ़ंक्शन और डिरिचलेट एल-सीरीज़ के अनुरूप है, जिसे बाइनरी द्विघात रूप के लिए परिभाषित किया गया है। यह हस्से-वील एल-फ़ंक्शन का एक विशेष मामला है।

L(E, s) की प्राकृतिक परिभाषा केवल Re(s) > 3/2 के साथ जटिल तल में s के मानों के लिए अभिसरित होती है। हेल्मुट हास ने अनुमान लगाया कि एल(ई, एस) को विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा पूरे जटिल तल तक बढ़ाया जा सकता है। यह अनुमान सर्वप्रथम किसके द्वारा सिद्ध किया गया था Deuring (1941) जटिल गुणन के साथ अण्डाकार वक्रों के लिए। बाद में 2001 में मॉड्यूलरिटी प्रमेय के परिणामस्वरूप, क्यू पर सभी अंडाकार वक्रों के लिए यह सच साबित हुआ।

एक सामान्य अण्डाकार वक्र पर परिमेय बिंदु ढूँढना एक कठिन समस्या है। दिए गए अभाज्य p पर दीर्घवृत्तीय वक्र मोडुलो पर बिंदुओं को ढूँढना अवधारणात्मक रूप से सीधा है, क्योंकि जाँच करने के लिए संभावनाओं की केवल एक सीमित संख्या होती है। हालांकि, बड़े प्राइम्स के लिए यह कम्प्यूटेशनल रूप से गहन है।

इतिहास

1960 के दशक की शुरुआत में पीटर स्विनर्टन-डायर ने EDSAC 2|EDSAC-2 कंप्यूटर का उपयोग कैंब्रिज विश्वविद्यालय की कंप्यूटर प्रयोगशाला में बिंदुओं की संख्या की गणना करने के लिए किया था।_p) अण्डाकार वक्रों पर बड़ी संख्या में अभाज्य p के लिए जिनकी रैंक ज्ञात थी। इन संख्यात्मक परिणामों से Birch & Swinnerton-Dyer (1965) अनुमान लगाया कि एन_pएक वक्र E के लिए रैंक r के साथ एक स्पर्शोन्मुख कानून का पालन करता है

$\prod _{p\leq x}{\frac {N_{p}}{p}}\approx C\log(x)^{r}{\mbox{ as }}x\rightarrow \infty$

जहां सी स्थिर है।

प्रारंभ में यह ग्राफिकल भूखंडों में कुछ कमजोर प्रवृत्तियों पर आधारित था; इसने J. W. S. कैसल्स (बर्च के पीएचडी सलाहकार) में संदेह के एक उपाय को प्रेरित किया। समय के साथ संख्यात्मक साक्ष्य ढेर हो गए।

इसने बदले में उन्हें s = 1 पर एक वक्र के L-फ़ंक्शन L(E, s) के व्यवहार के बारे में एक सामान्य अनुमान लगाने के लिए प्रेरित किया, अर्थात् इस बिंदु पर इसका क्रम r का शून्य होगा। यह उस समय के लिए एक दूरदर्शी अनुमान था, यह देखते हुए कि L(E, s) की विश्लेषणात्मक निरंतरता केवल जटिल गुणन वाले वक्रों के लिए स्थापित की गई थी, जो संख्यात्मक उदाहरणों के मुख्य स्रोत भी थे। (एनबी कि एल-फ़ंक्शन का पारस्परिक (गणित) कुछ दृष्टिकोणों से अध्ययन की एक अधिक प्राकृतिक वस्तु है; इस अवसर पर इसका अर्थ है कि किसी को शून्य के बजाय ध्रुवों पर विचार करना चाहिए।)

अनुमान को बाद में एस = 1 पर एल-फ़ंक्शन के सटीक अग्रणी टेलर गुणांक की भविष्यवाणी को शामिल करने के लिए विस्तारित किया गया था। यह अनुमानित रूप से दिया गया है

${\frac {L^{(r)}(E,1)}{r!}}={\frac {\#\mathrm {Sha} (E)\Omega _{E}R_{E}\prod _{p|N}c_{p}}{(\#E_{\mathrm {Tor} })^{2}}}$

जहां दाहिनी ओर की राशियां वक्र के अपरिवर्तनीय हैं, कैसल्स, जॉन टेट (गणितज्ञ), इगोर शफारेविच और अन्य द्वारा अध्ययन किया गया (Wiles 2006):

$\#E_{\mathrm {Tor} }$ मरोड़ समूह का क्रम है,

$\#\mathrm {Sha} (E)$ टेट-शफारेविच समूह का आदेश है,

$\Omega _{E}$ ई की वास्तविक अवधि को ई के जुड़े घटकों की संख्या से गुणा किया जाता है,

$R_{E}$ ई की नेरॉन-टेट ऊंचाई है जिसे तर्कसंगत बिंदुओं के आधार पर विहित ऊंचाई के माध्यम से परिभाषित किया गया है,

$c_{p}$ ई के कंडक्टर एन को विभाजित करने वाले प्राइम पी पर ई की तमागावा संख्या है। इसे टेट के एल्गोरिदम द्वारा पाया जा सकता है।

वर्तमान स्थिति

का एक प्लॉट $\prod _{p\leq X}{\frac {N_{p}}{p}}$ वक्र वाई के लिए² = x³ − 5x क्योंकि X पहले 100000 अभाज्य संख्याओं में भिन्न होता है। एक्स-एक्सिस लॉग (लॉग (एक्स)) है और वाई-एक्सिस लॉगरिदमिक स्केल में है इसलिए अनुमान भविष्यवाणी करता है कि डेटा को वक्र के रैंक के बराबर ढलान की रेखा बनानी चाहिए, जो इस मामले में 1 है। तुलना के लिए, ग्राफ पर ढलान 1 की एक रेखा लाल रंग में खींची गई है।

बिर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान केवल विशेष मामलों में ही सिद्ध हुए हैं:

1. Coates & Wiles (1977) सिद्ध किया कि यदि E वर्ग संख्या (संख्या सिद्धांत) 1, F = K या 'Q' के एक काल्पनिक द्विघात क्षेत्र K द्वारा जटिल गुणन के साथ एक संख्या क्षेत्र F पर एक वक्र है, और L(E, 1) 0 नहीं है तो E (एफ) एक परिमित समूह है। इसे उस मामले में विस्तारित किया गया था जहां F, K द्वारा किसी परिमित एबेलियन विस्तार है Arthaud (1978).
2. Gross & Zagier (1986) दिखाया गया है कि यदि एक मॉड्यूलर अण्डाकार वक्र में s = 1 पर प्रथम-क्रम शून्य है तो इसमें अनंत क्रम का एक परिमेय बिंदु है; ग्रॉस-ज़ैगियर प्रमेय देखें।
3. Kolyvagin (1989) दिखाया गया है कि एक मॉड्यूलर अंडाकार वक्र ई जिसके लिए एल (ई, 1) शून्य नहीं है, रैंक 0 है, और एक मॉड्यूलर अंडाकार वक्र ई जिसके लिए एल (ई, 1) के लिए s = 1 पर प्रथम क्रम शून्य है, रैंक 1 है।
4. Rubin (1991) दिखाया गया है कि के द्वारा जटिल गुणन के साथ एक काल्पनिक द्विघात क्षेत्र K पर परिभाषित अण्डाकार वक्रों के लिए, यदि अण्डाकार वक्र की L-श्रृंखला s = 1 पर शून्य नहीं थी, तो टेट-शफारेविच समूह के पी-भाग में आदेश की भविष्यवाणी की गई थी बर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान द्वारा, सभी अभाज्य संख्या p > 7 के लिए।
5. Breuil et al. (2001), का विस्तार कार्य Wiles (1995), ने साबित किया कि मॉड्यूलरिटी प्रमेय, जो परिमेय पर सभी अण्डाकार वक्रों के परिणाम #2 और #3 का विस्तार करता है, और दिखाता है कि 'Q' पर सभी अण्डाकार वक्रों के L-फ़ंक्शन s = 1 पर परिभाषित हैं।
6. Bhargava & Shankar (2015) साबित कर दिया कि क्यू पर अंडाकार वक्र के मोर्डेल-वील समूह का औसत रैंक 7/6 से ऊपर है। इसे p-समता प्रमेय के साथ जोड़कर Nekovář (2009) तथा Dokchitser & Dokchitser (2010) और जीएल (2) द्वारा इवासावा सिद्धांत के मुख्य अनुमान के प्रमाण के साथ Skinner & Urban (2014), वे निष्कर्ष निकालते हैं कि क्यू पर दीर्घवृत्त वक्रों के एक सकारात्मक अनुपात में विश्लेषणात्मक रैंक शून्य है, और इसलिए, द्वारा Kolyvagin (1989), बिर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान को संतुष्ट करें।

वर्तमान में 1 से अधिक रैंक वाले वक्रों को शामिल करने वाले कोई प्रमाण नहीं हैं।

अनुमान की सच्चाई के लिए व्यापक संख्यात्मक प्रमाण हैं।

परिणाम

रीमैन परिकल्पना की तरह, इस अनुमान के कई परिणाम हैं, जिनमें निम्नलिखित दो शामिल हैं:

• होने देना n एक विषम वर्ग-मुक्त पूर्णांक बनें। बर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान को मानते हुए, n परिमेय भुजाओं की लंबाई (एक सर्वांगसम संख्या) के साथ एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल है यदि और केवल यदि पूर्णांकों के त्रिक की संख्या (x, y, z) संतुष्टि देने वाला 2x² + y² + 8z² = n संतोषजनक त्रिक की संख्या का दुगुना है 2x² + y² + 32z² = n. टनेल प्रमेय के कारण यह कथन (Tunnell 1983), इस तथ्य से संबंधित है कि n एक सर्वांगसम संख्या है यदि और केवल यदि अण्डाकार वक्र y² = x³ − n²x अनंत क्रम का एक तर्कसंगत बिंदु है (इस प्रकार, बर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान के तहत, इसका L-फ़ंक्शन में शून्य है 1). इस कथन में रुचि यह है कि स्थिति आसानी से सत्यापित हो जाती है।
• एक अलग दिशा में, कुछ विश्लेषणात्मक तरीके एल-फ़ंक्शंस के परिवारों की महत्वपूर्ण पट्टी के केंद्र में शून्य के क्रम के अनुमान के लिए अनुमति देते हैं। बीएसडी अनुमान को स्वीकार करते हुए, ये अनुमान विचाराधीन अण्डाकार वक्रों के परिवारों के रैंक के बारे में जानकारी के अनुरूप हैं। उदाहरण के लिए: मान लें कि सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना और बीएसडी अनुमान, द्वारा दिए गए वक्रों की औसत रैंक y² = x³ + ax+ b की तुलना में छोटा है 2.

संदर्भ

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बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Swinnerton-Dyer Conjecture". MathWorld.
• "Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture". PlanetMath.
• The Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture: An Interview with Professor Henri Darmon by Agnes F. Beaudry
• What is the Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture? lecture by Manjul Bhargava (september 2016) given during the Clay Research Conference held at the University of Oxford