बिर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान: Difference between revisions

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{{Short description|Clay problem about the set of rational solutions to equations defining an elliptic curve}}
{{Short description|Clay problem about the set of rational solutions to equations defining an elliptic curve}}
{{Use dmy dates|date=April 2022}}
[[गणित]] में, '''बिर्च और स्विनर्टन-डियर अनुमान''' (जिसे अक्सर बिर्च-सविनर्टन-डायर अनुमान कहा जाता है) दीर्घवृत्ताकार वक्र को परिभाषित करने वाले समीकरणों के तर्कसंगत समाधान के सेट का वर्णन करता है। यह [[संख्या सिद्धांत]] के क्षेत्र में व्यापक रूप से सबसे चुनौतीपूर्ण गणितीय समस्याओं में से एक है। इसका नाम गणितज्ञ [[ब्रायन जॉन बिर्च]] और [[पीटर स्विनर्टन-डायर]] के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने मशीन गणना की मदद से 1960 के दशक के पहलेार्ध के दौरान अनुमान विकसित किए थे। 2022 तक, अनुमान के केवल विशेष मामले सिद्ध हुए हैं।
{{Millennium Problems}}
गणित में, बर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान (अक्सर बर्च-स्वाइनर्टन-डायर अनुमान कहा जाता है) दीर्घवृत्त वक्र को परिभाषित करने वाले समीकरणों के तर्कसंगत समाधानों के सेट का वर्णन करता है। यह [[संख्या सिद्धांत]] के क्षेत्र में एक खुली समस्या है और व्यापक रूप से सबसे चुनौतीपूर्ण गणितीय समस्याओं में से एक के रूप में मान्यता प्राप्त है। इसका नाम गणितज्ञ [[ब्रायन जॉन बिर्च]] और [[पीटर स्विनर्टन-डायर]] के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने मशीन संगणना की मदद से 1960 के दशक की पहली छमाही के दौरान अनुमान विकसित किया था। {{As of|2022}}, अनुमान के केवल विशेष मामले सिद्ध हुए हैं।


अनुमान का आधुनिक सूत्रीकरण एक [[संख्या क्षेत्र]] K पर दीर्घवृत्तीय वक्र E से जुड़े अंकगणितीय डेटा को हसे-वील L-फ़ंक्शन | Hasse–Weil L-फ़ंक्शन L(E, s) के E पर s = 1 के व्यवहार से संबंधित करता है अधिक विशेष रूप से, यह अनुमान लगाया गया है कि [[एबेलियन समूह]] E(K) के अंक E के एबेलियन समूह का रैंक s = 1 पर L(E, s) के शून्य का क्रम है, और पहला गैर-शून्य s = 1 पर L(E, s) के [[टेलर विस्तार]] में गुणांक, K पर E से जुड़े अधिक परिष्कृत अंकगणितीय डेटा द्वारा दिया गया है {{harv|Wiles|2006}}.
अनुमान का आधुनिक सूत्रीकरण [[संख्या क्षेत्र]] K पर दीर्घवृत्तीय वक्र E से जुड़े अंकगणितीय डेटा को s = 1 पर E के हासे-विल L-फलन L(E, s) के व्यवहार से संबंधित करता है। अधिक विशेष रूप से, यह अनुमान लगाया गया है कि [[एबेलियन समूह]] E(K) के E के बिंदुओं की रैंक s = 1 पर L(E, s) के शून्य का क्रम है, और L(E, s के [[टेलर विस्तार]] में पहला गैर-शून्य गुणांक ) s = 1 पर अधिक परिष्कृत अंकगणितीय डेटा द्वारा दिया गया है जो E से अधिक K {{harv|Wiles|2006}} से जुड़ा है।


[[मिट्टी गणित संस्थान]] द्वारा सूचीबद्ध सात सहस्राब्दी पुरस्कार समस्याओं में से एक के रूप में अनुमान को चुना गया था, जिसने पहले सही प्रमाण के लिए $ 1,000,000 पुरस्कार की पेशकश की है।<ref>[http://www.claymath.org/millennium-problems/birch-and-swinnerton-dyer-conjecture Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture] at Clay Mathematics Institute</ref>
अनुमान को [[मिट्टी गणित संस्थान|क्ले]] [[मिट्टी गणित संस्थान|गणित संस्थान]] द्वारा सूचीबद्ध सात सहस्राब्दी पुरस्कार समस्याओं में से एक के रूप में चुना गया था, जिसने पहले सही प्रमाण के लिए $1,000,000 पुरस्कार की पेशकश की है।<ref>[http://www.claymath.org/millennium-problems/birch-and-swinnerton-dyer-conjecture Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture] at Clay Mathematics Institute</ref>




== पृष्ठभूमि ==
== पृष्ठभूमि ==
{{Harvtxt|Mordell|1922}} मोर्डेल की प्रमेय साबित हुई: दीर्घवृत्तीय वक्र पर परिमेय बिंदुओं के समूह में एक समूह का परिमित जनन समुच्चय होता है। इसका मतलब यह है कि किसी भी अंडाकार वक्र के लिए वक्र पर [[तर्कसंगत बिंदु]]ओं का एक परिमित उपसमुच्चय होता है, जिससे आगे के सभी तर्कसंगत बिंदु उत्पन्न हो सकते हैं।
मोर्डेल (1922) ने मोर्डेल के प्रमेय को सिद्ध किया: दीर्घवृत्त वक्र पर परिमेय बिंदुओं के समूह का एक परिमित आधार होता है। इसका मतलब यह है कि किसी भी अंडाकार वक्र के लिए वक्र पर तर्कसंगत बिंदुओं का परिमित उपसमुच्चय होता है, जिससे आगे के सभी [[तर्कसंगत बिंदु|तर्कसंगत]] [[तर्कसंगत बिंदु|बिंदु]] उत्पन्न हो सकते हैं।


यदि किसी वक्र पर परिमेय बिंदुओं की संख्या अनंत समुच्चय है तो परिमित आधार में कुछ बिंदुओं में अनंत क्रम (समूह सिद्धांत) होना चाहिए। अनंत क्रम के साथ स्वतंत्र आधार बिंदुओं की संख्या को वक्र के एबेलियन समूह का रैंक कहा जाता है, और यह दीर्घवृत्तीय वक्र का एक महत्वपूर्ण [[अपरिवर्तनीय (गणित)]] गुण है।
यदि किसी वक्र पर तर्कसंगत बिंदुओं की संख्या अनंत है तो किसी परिमित आधार में किसी बिंदु पर अनंत क्रम होना चाहिए। अनंत क्रम के साथ स्वतंत्र आधार बिंदुओं की संख्या को वक्र का क्रम कहा जाता है, और यह दीर्घवृत्तीय वक्र का एक महत्वपूर्ण [[अपरिवर्तनीय (गणित)|अपरिवर्तनीय]] गुण है।


यदि दीर्घवृत्तीय वक्र की कोटि 0 है, तो वक्र में परिमेय बिंदुओं की केवल परिमित संख्या होती है। दूसरी ओर, यदि वक्र की कोटि 0 से अधिक है, तो वक्र में परिमेय बिंदुओं की अनंत संख्या होती है।
यदि एक दीर्घवृत्ताकार वक्र का क्रम 0 है, तो वक्र में केवल परिमित संख्या में परिमेय बिंदु होते हैं। दूसरी ओर, यदि वक्र का क्रम 0 से अधिक है, तो वक्र में अनंत संख्या में तर्कसंगत बिंदु होते हैं।


हालांकि मोर्डेल के प्रमेय से पता चलता है कि दीर्घवृत्तीय वक्र की कोटि हमेशा परिमित होती है, यह प्रत्येक वक्र की कोटि की गणना के लिए एक प्रभावी विधि नहीं देती है। कुछ अण्डाकार वक्रों की श्रेणी की गणना संख्यात्मक विधियों का उपयोग करके की जा सकती है लेकिन (ज्ञान की वर्तमान स्थिति में) यह अज्ञात है यदि ये विधियाँ सभी वक्रों को संभालती हैं।
हालांकि मोर्डेल का प्रमेय दर्शाता है कि दीर्घवृत्ताकार वक्र का रैंक हमेशा परिमित होता है, यह प्रत्येक वक्र के रैंक की गणना के लिए प्रभावी विधि नहीं देता है। कुछ दीर्घवृत्तीय वक्रों के रैंक की गणना संख्यात्मक विधियों का उपयोग करके की जा सकती है लेकिन (वर्तमान ज्ञान की स्थिति में) यह अज्ञात है कि ये विधियाँ सभी वक्रों को नियंत्रित करती हैं।


एक L-फ़ंक्शन 'L(E, s)' को अंडाकार वक्र E के लिए प्रत्येक [[अभाज्य संख्या]] p वक्र मॉड्यूल पर बिंदुओं की संख्या से एक [[यूलर उत्पाद]] बनाकर परिभाषित किया जा सकता है। यह एल-फ़ंक्शन, [[रीमैन जीटा फ़ंक्शन]] और [[डिरिचलेट एल-सीरीज़]] के अनुरूप है, जिसे बाइनरी [[द्विघात रूप]] के लिए परिभाषित किया गया है। यह हस्से-वील एल-फ़ंक्शन का एक विशेष मामला है।
एक L-फलन '''''L''(''E'', ''s'')''' दीर्घवृत्तीय वक्र E के लिए परिभाषित किया जा सकता है, प्रत्येक [[अभाज्य संख्या|अभाज्य]] p वक्र मॉड्यूलो पर बिंदुओं की संख्या से एक [[यूलर उत्पाद]] का निर्माण करते है। यह L-फलन, [[रीमैन जीटा फ़ंक्शन|रीमैन जीटा फलन]] और [[डिरिचलेट एल-सीरीज़|डिरिचलेट L-सीरीज़]] के अनुरूप है, जिसे द्विआधारी [[द्विघात रूप]] के लिए परिभाषित किया गया है। यह हसे-विल L-फलनका एक विशेष मामला है।


L(E, s) की प्राकृतिक परिभाषा केवल Re(s) > 3/2 के साथ जटिल तल में s के मानों के लिए अभिसरित होती है। [[हेल्मुट हास]] ने अनुमान लगाया कि एल(ई, एस) को [[विश्लेषणात्मक निरंतरता]] द्वारा पूरे जटिल तल तक बढ़ाया जा सकता है। यह अनुमान सर्वप्रथम किसके द्वारा सिद्ध किया गया था {{Harvtxt|Deuring|1941}} [[जटिल गुणन]] के साथ अण्डाकार वक्रों के लिए। बाद में 2001 में [[मॉड्यूलरिटी प्रमेय]] के परिणामस्वरूप, क्यू पर सभी अंडाकार वक्रों के लिए यह सच साबित हुआ।
(E, s) की प्राकृतिक परिभाषा केवल Re(''s'') > 3/2 के साथ मिश्रित तल में s के मानों के लिए अभिसरित होती है। [[हेल्मुट हास]] ने अनुमान लगाया कि ''L''(''E'', ''s'') को पूरे  मिश्रित तल में [[विश्लेषणात्मक निरंतरता]] से बढ़ाया जा सकता है। [[जटिल गुणन|मिश्रित गुणन]] के साथ दीर्घवृत्ताकार वक्रों के लिए यह अनुमान पहली बार {{Harvtxt|ड्यूरिंग|1941}} द्वारा सिद्ध किया गया था। बाद में 2001 में [[मॉड्यूलरिटी प्रमेय]] के परिणामस्वरूप, '''Q''' पर सभी अंडाकार वक्रों के लिए यह सच साबित हुआ।  


एक सामान्य अण्डाकार वक्र पर परिमेय बिंदु ढूँढना एक कठिन समस्या है। दिए गए अभाज्य ''p'' पर दीर्घवृत्तीय वक्र मोडुलो पर बिंदुओं को ढूँढना अवधारणात्मक रूप से सीधा है, क्योंकि जाँच करने के लिए संभावनाओं की केवल एक सीमित संख्या होती है। हालांकि, बड़े प्राइम्स के लिए यह कम्प्यूटेशनल रूप से गहन है।
एक सामान्य दीर्घवृत्ताकार वक्र पर तर्कसंगत बिंदुओं का पता लगाना एक कठिन समस्या है। दिए गए अभाज्य p पर बिंदुओं का पता लगाना अवधारणात्मक रूप से सीधा है, क्योंकि जांच करने के लिए केवल सीमित संख्या में संभावनाएं हैं। हालांकि, बड़े समय के लिए यह अभिकलनीयत रूप से गहन है।


== इतिहास ==
== इतिहास ==


1960 के दशक की शुरुआत में पीटर स्विनर्टन-डायर ने [[EDSAC 2]]|EDSAC-2 कंप्यूटर का उपयोग कैंब्रिज विश्वविद्यालय की कंप्यूटर प्रयोगशाला में बिंदुओं की संख्या की गणना करने के लिए किया था।<sub>p</sub>) अण्डाकार वक्रों पर बड़ी संख्या में अभाज्य p के लिए जिनकी रैंक ज्ञात थी। इन संख्यात्मक परिणामों से {{harvtxt|Birch|Swinnerton-Dyer|1965}} अनुमान लगाया कि एन<sub>p</sub>एक वक्र E के लिए रैंक r के साथ एक स्पर्शोन्मुख कानून का पालन करता है
1960 के दशक के प्रारंभ में पीटर स्विनर्टन-डियर ने कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय कंप्यूटर प्रयोगशाला में [[EDSAC 2]] कंप्यूटर का उपयोग करके मॉडुलो p पर बड़ी संख्या में प्राइम्स p की गणना की, जिनकी रैंक ज्ञात थी। इन संख्यात्मक परिणामों से {{harvtxt|बर्च |स्विनर्टन-डायर|1965}} ने अनुमान लगाया कि रैंक r के साथ वक्र E के लिए Np एक उपगामी नियम का पालन करता है


:<math>\prod_{p\leq x} \frac{N_p}{p} \approx C\log (x)^r \mbox{ as } x \rightarrow \infty </math>
:<math>\prod_{p\leq x} \frac{N_p}{p} \approx C\log (x)^r \mbox{ as } x \rightarrow \infty </math>
जहां सी स्थिर है।
जहां C स्थिर है।


प्रारंभ में यह ग्राफिकल भूखंडों में कुछ कमजोर प्रवृत्तियों पर आधारित था; इसने J. W. S. कैसल्स (बर्च के पीएचडी सलाहकार) में संदेह के एक उपाय को प्रेरित किया।<ref>{{citation|title=Visions of Infinity: The Great Mathematical Problems|first=Ian|last=Stewart|author-link=Ian Stewart (mathematician)|publisher=Basic Books|year=2013|isbn=9780465022403|page=253|url=https://books.google.com/books?id=dzdSy3diraUC&pg=PA253|quote=Cassels was highly skeptical at first}}.</ref> समय के साथ संख्यात्मक साक्ष्य ढेर हो गए।
प्रारंभ में यह आलेखीय भूखंडों में कुछ कमजोर प्रवृत्तियों पर आधारित था, इससे J. W. S. कैसल्स (बिर्च के Ph.D. सलाहकार ) में संशय के उपाय को प्रेरित किया।<ref>{{citation|title=Visions of Infinity: The Great Mathematical Problems|first=Ian|last=Stewart|author-link=Ian Stewart (mathematician)|publisher=Basic Books|year=2013|isbn=9780465022403|page=253|url=https://books.google.com/books?id=dzdSy3diraUC&pg=PA253|quote=Cassels was highly skeptical at first}}.</ref> समय के साथ संख्यात्मक साक्ष्य क्रमबद्ध है।


इसने बदले में उन्हें s = 1 पर एक वक्र के L-फ़ंक्शन L(E, s) के व्यवहार के बारे में एक सामान्य अनुमान लगाने के लिए प्रेरित किया, अर्थात् इस बिंदु पर इसका क्रम r का शून्य होगा। यह उस समय के लिए एक दूरदर्शी अनुमान था, यह देखते हुए कि L(E, s) की विश्लेषणात्मक निरंतरता केवल जटिल गुणन वाले वक्रों के लिए स्थापित की गई थी, जो संख्यात्मक उदाहरणों के मुख्य स्रोत भी थे। (एनबी कि एल-फ़ंक्शन का [[पारस्परिक (गणित)]] कुछ दृष्टिकोणों से अध्ययन की एक अधिक प्राकृतिक वस्तु है; इस अवसर पर इसका अर्थ है कि किसी को शून्य के बजाय ध्रुवों पर विचार करना चाहिए।)
इसने बदले में उन्हें s = 1 पर वक्र के L-फलन L(E, s) के व्यवहार के बारे में सामान्य अनुमान लगाने के लिए प्रेरित किया, अर्थात् इस बिंदु पर इसका क्रम r का शून्य होगा। यह समय के लिए एक दूरदर्शी अनुमान था, यह देखते हुए कि L(E, s) की विश्लेषणात्मक निरंतरता केवल जटिल गुणन के साथ वक्र के लिए स्थापित की गई थी, जो संख्यात्मक उदाहरणों का मुख्य स्रोत भी थे। (NB कि L-फलनका [[पारस्परिक (गणित)|पारस्परिक]] दृश्य के कुछ बिंदुओं से अध्ययन की अधिक प्राकृतिक वस्तु है; कभी-कभी इसका मतलब है कि किसी को शून्य के बजाय ध्रुवों पर विचार करना चाहिए।)  


अनुमान को बाद में एस = 1 पर एल-फ़ंक्शन के सटीक अग्रणी [[टेलर गुणांक]] की भविष्यवाणी को शामिल करने के लिए विस्तारित किया गया था। यह अनुमानित रूप से दिया गया है<ref>{{cite journal |url=https://people.maths.bris.ac.uk/~matyd/BSD2011/bsd2011-Cremona.pdf |title=बर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान के लिए संख्यात्मक प्रमाण|first=John |last=Cremona |year=2011 |journal=Talk at the BSD 50th Anniversary Conference, May 2011 }}, page 50</ref>
बाद में अनुमान को S = 1 पर L-फलनके सटीक अग्रणी [[टेलर गुणांक]] की भविष्यवाणी को सम्मिलित करने के लिए विस्तारित किया गया था। यह अनुमानित रूप से दिया गया है<ref>{{cite journal |url=https://people.maths.bris.ac.uk/~matyd/BSD2011/bsd2011-Cremona.pdf |title=बर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान के लिए संख्यात्मक प्रमाण|first=John |last=Cremona |year=2011 |journal=Talk at the BSD 50th Anniversary Conference, May 2011 }}, page 50</ref>
:<math>\frac{L^{(r)}(E,1)}{r!} = \frac{\#\mathrm{Sha}(E)\Omega_E R_E \prod_{p|N}c_p}{(\#E_{\mathrm{Tor}})^2}</math>
:<math>\frac{L^{(r)}(E,1)}{r!} = \frac{\#\mathrm{Sha}(E)\Omega_E R_E \prod_{p|N}c_p}{(\#E_{\mathrm{Tor}})^2}</math>
जहां दाहिनी ओर की राशियां वक्र के अपरिवर्तनीय हैं, कैसल्स, [[जॉन टेट (गणितज्ञ)]], [[इगोर शफारेविच]] और अन्य द्वारा अध्ययन किया गया {{harv|Wiles|2006}}:
जहां दाहिनी ओर की मात्रा वक्र के अपरिवर्तनीय हैं, कैसल्स, [[जॉन टेट (गणितज्ञ)]], [[इगोर शफारेविच]] और अन्य {{harv|विल्स|2006}} द्वारा अध्ययन किया गया:


  <math>\#E_{\mathrm{Tor}}</math> [[मरोड़ समूह]] का क्रम है,
  <math>\#E_{\mathrm{Tor}}</math> [[मरोड़ समूह|आघूर्ण बल समूह]] का क्रम है,


  <math>\#\mathrm{Sha}(E)</math> टेट-शफारेविच समूह का आदेश है,
  <math>\#\mathrm{Sha}(E)</math> टेट-शफारेविच समूह का क्रम है,


  <math>\Omega_E</math> ई की वास्तविक अवधि को ई के जुड़े घटकों की संख्या से गुणा किया जाता है,
  <math>\Omega_E</math> E के जुड़े घटकों की संख्या से गुणा की वास्तविक अवधि है।


<math>R_E</math> ई की नेरॉन-टेट ऊंचाई है जिसे तर्कसंगत बिंदुओं के आधार पर [[विहित ऊंचाई]] के माध्यम से परिभाषित किया गया है,
<math>R_E</math>, E का नियामक है, जिसे तर्कसंगत बिंदुओं के आधार पर [[विहित ऊंचाई|प्रामाणिक ऊंचाइयों]] के माध्यम से परिभाषित किया गया है,


<math>c_p</math> ई के कंडक्टर एन को विभाजित करने वाले प्राइम पी पर ई की [[तमागावा संख्या]] है। इसे टेट के एल्गोरिदम द्वारा पाया जा सकता है।
<math>c_p</math> एक अभाज्य p पर E की [[तमागावा संख्या]] है जो E के कंडक्टर n को विभाजित करता है। यह टेट के एल्गोरिथ्म पर आधारित है।  


== वर्तमान स्थिति ==
== वर्तमान स्थिति ==
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[[File:BSD data plot for elliptic curve 800h1.svg|350px|right|thumb|का एक प्लॉट <math>\prod_{p\leq X} \frac{N_p}{p}</math> वक्र वाई के लिए<sup>2</sup> = x<sup>3</sup> − 5x क्योंकि X पहले 100000 अभाज्य संख्याओं में भिन्न होता है। एक्स-एक्सिस लॉग (लॉग (एक्स)) है और वाई-एक्सिस लॉगरिदमिक स्केल में है इसलिए अनुमान भविष्यवाणी करता है कि डेटा को वक्र के रैंक के बराबर ढलान की रेखा बनानी चाहिए, जो इस मामले में 1 है। तुलना के लिए, ग्राफ पर ढलान 1 की एक रेखा लाल रंग में खींची गई है।]]बिर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान केवल विशेष मामलों में ही सिद्ध हुए हैं:
[[File:BSD data plot for elliptic curve 800h1.svg|350px|right|thumb|का एक प्लॉट <math>\prod_{p\leq X} \frac{N_p}{p}</math> वक्र वाई के लिए<sup>2</sup> = x<sup>3</sup> − 5x क्योंकि X पहले 100000 अभाज्य संख्याओं में भिन्न होता है। एक्स-एक्सिस लॉग (लॉग (एक्स)) है और वाई-एक्सिस लॉगरिदमिक स्केल में है इसलिए अनुमान भविष्यवाणी करता है कि डेटा को वक्र के रैंक के बराबर ढलान की रेखा बनानी चाहिए, जो इस मामले में 1 है। तुलना के लिए, ग्राफ पर ढलान 1 की एक रेखा लाल रंग में खींची गई है।]]बिर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान केवल विशेष मामलों में ही सिद्ध हुए हैं:


# {{harvtxt|Coates|Wiles|1977}} सिद्ध किया कि यदि E [[वर्ग संख्या (संख्या सिद्धांत)]] 1, F = K या 'Q' के एक [[काल्पनिक द्विघात क्षेत्र]] K द्वारा जटिल गुणन के साथ एक संख्या क्षेत्र F पर एक वक्र है, और L(E, 1) 0 नहीं है तो E (एफ) एक परिमित समूह है। इसे उस मामले में विस्तारित किया गया था जहां F, K द्वारा किसी परिमित एबेलियन विस्तार है {{harvtxt|Arthaud|1978}}.
# {{harvtxt| कोट्स|विल्स|1977}} ने साबित किया कि यदि E [[वर्ग संख्या (संख्या सिद्धांत)|वर्ग संख्या]] 1, F = K या Q के [[काल्पनिक द्विघात क्षेत्र]] K द्वारा जटिल गुणन के साथ संख्या क्षेत्र F पर वक्र है, और L(E, 1) 0 नहीं है तो E (F) एक परिमित समूह है। इसे उस मामले तक बढ़ा दिया गया था जहां F, {{harvtxt|Arthaud|1978}} द्वारा K का कोई परिमित एबेलियन विस्तार है।
# {{Harvtxt|Gross|Zagier|1986}} दिखाया गया है कि यदि एक [[मॉड्यूलर अण्डाकार वक्र]] में s = 1 पर प्रथम-क्रम शून्य है तो इसमें अनंत क्रम का एक परिमेय बिंदु है; ग्रॉस-ज़ैगियर प्रमेय देखें।
# {{Harvtxt|ग्रॉस|ज़ैगियर|1986}} ने दिखाया कि यदि एक [[मॉड्यूलर अण्डाकार वक्र|मॉड्यूलर दीर्घवृत्ताकार वक्र]] का प्रथम क्रम शून्य होता है तो यह अनंत क्रम का परिमेय बिंदु होता है; ग्रॉस-ज़ैगियर प्रमेय देखें।  
#{{harvtxt|Kolyvagin|1989}} दिखाया गया है कि एक मॉड्यूलर अंडाकार वक्र ई जिसके लिए एल (ई, 1) शून्य नहीं है, रैंक 0 है, और एक मॉड्यूलर अंडाकार वक्र ई जिसके लिए एल (ई, 1) के लिए s = 1 पर प्रथम क्रम शून्य है, रैंक 1 है।
#{{harvtxt|कोलावागिन|1989}} ने दिखाया कि एक मॉड्यूलर दीर्घवृत्ताकार वक्र E, जिसके लिए L(E, 1) शून्य नहीं है, उसका रैंक 0 है और मॉड्यूलर दीर्घवृत्ताकार वक्र E जिसके लिए L(E, 1) का s = 1 पर प्रथम-क्रम शून्य है।
# {{harvtxt|Rubin|1991}} दिखाया गया है कि के द्वारा जटिल गुणन के साथ एक काल्पनिक द्विघात क्षेत्र K पर परिभाषित अण्डाकार वक्रों के लिए, यदि अण्डाकार वक्र की L-श्रृंखला s = 1 पर शून्य नहीं थी, तो टेट-शफारेविच समूह के पी-भाग में आदेश की भविष्यवाणी की गई थी बर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान द्वारा, सभी अभाज्य संख्या p > 7 के लिए।
# {{harvtxt|रूबिन|1991}} ने दिखाया कि के द्वारा जटिल गुणा के साथ एक काल्पनिक द्विघात क्षेत्र k पर दीर्घवृत्ताकार वक्र के लिए परिभाषित किया गया है, अगर दीर्घवृत्ताकार वक्र की L-श्रृंखला s = 1 पर शून्य नहीं था, तो टेट-शफारीविच समूह के पी-भाग ने बिर्च और स्विनर्टन-डियर अनुमान, सभी अभाज्य p > 7 के लिए भविष्यवाणी की थी।
# {{harvtxt|Breuil|Conrad|Diamond|Taylor|2001}}, का विस्तार कार्य {{harvtxt|Wiles|1995}}, ने साबित किया कि मॉड्यूलरिटी प्रमेय, जो परिमेय पर सभी अण्डाकार वक्रों के परिणाम #2 और #3 का विस्तार करता है, और दिखाता है कि 'Q' पर सभी अण्डाकार वक्रों के L-फ़ंक्शन s = 1 पर परिभाषित हैं।
# {{harvtxt|Breuil|Conrad|Diamond|Taylor|2001}}, {{harvtxt|विल्स|1995}} के विस्तार कार्य ने साबित किया कि सभी दीर्घवृत्ताकार वक्र तर्कसंगत संख्याओं पर परिभाषित हैं, जो परिणाम #2 और #3 को सभी दीर्घवृत्तिक वक्रों पर विस्तार देते हैं, और दर्शाते हैं कि '''Q''' पर सभी दीर्घवृक्ष वक्रों के l-फलन को s = 1 पर परिभाषित किया गया है।
# {{harvtxt|Bhargava|Shankar|2015}} साबित कर दिया कि क्यू पर अंडाकार वक्र के मोर्डेल-वील समूह का औसत रैंक 7/6 से ऊपर है। इसे p-समता प्रमेय के साथ जोड़कर {{harvtxt|Nekovář|2009}} तथा {{harvtxt|Dokchitser|Dokchitser|2010}} और जीएल (2) द्वारा इवासावा सिद्धांत के मुख्य अनुमान के प्रमाण के साथ {{harvtxt|Skinner|Urban|2014}}, वे निष्कर्ष निकालते हैं कि क्यू पर दीर्घवृत्त वक्रों के एक सकारात्मक अनुपात में विश्लेषणात्मक रैंक शून्य है, और इसलिए, द्वारा {{harvtxt|Kolyvagin|1989}}, बिर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान को संतुष्ट करें।
# {{harvtxt|भार्गव|शंकर|2015}} ने साबित किया कि Q पर दीर्घवृत्त वक्र के मोर्डेल-विल समूह का औसत रैंक 7/6 से ऊपर है। इसे {{harvtxt|नेव|2009}} और डोकचित्सर (2010) के p-पैरिटी प्रमेय के साथ जोड़कर और {{harvtxt|स्किनर|अर्बन|2014}} द्वारा GL(2) के लिए इवासावा सिद्धांत के मुख्य अनुमान के प्रमाण के साथ, वे निष्कर्ष निकालते हैं कि एक सकारात्मक अनुपात Q के ऊपर दीर्घवृत्तीय वक्रों की विश्लेषणात्मक रैंक शून्य है, और इसलिए, {{harvtxt|कोलिवागिन|1989}} द्वारा, बर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान को स्वीकृत करते हैं।


वर्तमान में 1 से अधिक रैंक वाले वक्रों को शामिल करने वाले कोई प्रमाण नहीं हैं।
वर्तमान में 1 से अधिक रैंक वाले वक्रों को सम्मिलित करने वाले कोई प्रमाण नहीं हैं।


अनुमान की सच्चाई के लिए व्यापक संख्यात्मक प्रमाण हैं।<ref>{{cite journal |url=https://people.maths.bris.ac.uk/~matyd/BSD2011/bsd2011-Cremona.pdf |title=बर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान के लिए संख्यात्मक प्रमाण|first=John |last=Cremona |year=2011 |journal=Talk at the BSD 50th Anniversary Conference, May 2011 }}</ref>
अनुमान की वास्त्विकता के लिए व्यापक संख्यात्मक प्रमाण हैं।<ref>{{cite journal |url=https://people.maths.bris.ac.uk/~matyd/BSD2011/bsd2011-Cremona.pdf |title=बर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान के लिए संख्यात्मक प्रमाण|first=John |last=Cremona |year=2011 |journal=Talk at the BSD 50th Anniversary Conference, May 2011 }}</ref>




== परिणाम ==
== परिणाम ==
[[रीमैन परिकल्पना]] की तरह, इस अनुमान के कई परिणाम हैं, जिनमें निम्नलिखित दो शामिल हैं:
[[रीमैन परिकल्पना]] की तरह, इस अनुमान के कई परिणाम हैं, जिनमें निम्नलिखित दो सम्मिलित हैं:
* होने देना {{mvar|n}} एक विषम वर्ग-मुक्त पूर्णांक बनें। बर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान को मानते हुए, {{mvar|n}} परिमेय भुजाओं की लंबाई (एक सर्वांगसम संख्या) के साथ एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल है यदि और केवल यदि पूर्णांकों के त्रिक की संख्या ({{mvar|x}}, {{mvar|y}}, {{mvar|z}}) संतुष्टि देने वाला {{math|2''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> + 8''z''<sup>2</sup> {{=}} ''n''}} संतोषजनक त्रिक की संख्या का दुगुना है {{math|2''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> + 32''z''<sup>2</sup> {{=}} ''n''}}. टनेल प्रमेय के कारण यह कथन {{harv|Tunnell|1983}}, इस तथ्य से संबंधित है कि n एक सर्वांगसम संख्या है यदि और केवल यदि अण्डाकार वक्र {{math|''y''<sup>2</sup> {{=}} ''x''<sup>3</sup> − ''n''<sup>2</sup>''x''}} अनंत क्रम का एक तर्कसंगत बिंदु है (इस प्रकार, बर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान के तहत, इसका {{mvar|L}}-फ़ंक्शन में शून्य है {{math|1}}). इस कथन में रुचि यह है कि स्थिति आसानी से सत्यापित हो जाती है।<ref>{{Cite book
* मान लीजिए कि n एक विषम वर्ग रहित पूर्णांक है। बर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान को मानते हुए, n तर्कसंगत पार्श्व लंबाई (एक सर्वांगसम संख्या) के साथ समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल है यदि और केवल यदि पूर्णांकों (x, y, z) के त्रिक की संख्या 2''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> + 8''z''<sup>2</sup> = ''n'' को पूरा करती है,  2''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> + 32''z''<sup>2</sup> = ''n'' त्रिकों की संख्या का दुगुना है। टनल की प्रमेय {{harv|टनल|1983}},के कारण यह कथन, इस तथ्य से संबंधित है कि n एक सर्वांगसम संख्या है यदि और केवल यदि अण्डाकार वक्र ''y''<sup>2</sup> = ''x''<sup>3</sup> − ''n''<sup>2</sup>''x'' में अनंत क्रम का एक परिमेय बिंदु है (इस प्रकार, बिर्च और स्विनर्टन के तहत -डायर अनुमान, इसका L-फलन 1 पर शून्य है)। इस कथन में रुचि यह है कि स्थिति को आसानी से सत्यापित किया जा सकता है।<ref>{{Cite book
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* एक अलग दिशा में, कुछ विश्लेषणात्मक तरीके एल-फ़ंक्शंस के परिवारों की [[महत्वपूर्ण पट्टी]] के केंद्र में शून्य के क्रम के अनुमान के लिए अनुमति देते हैं। बीएसडी अनुमान को स्वीकार करते हुए, ये अनुमान विचाराधीन अण्डाकार वक्रों के परिवारों के रैंक के बारे में जानकारी के अनुरूप हैं। उदाहरण के लिए: मान लें कि [[सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना]] और बीएसडी अनुमान, द्वारा दिए गए वक्रों की औसत रैंक {{math|''y''<sup>2</sup> {{=}} ''x''<sup>3</sup> + ''ax''+ ''b''}} की तुलना में छोटा है {{math|2}}.<ref>{{cite journal |first=D. R. |last=Heath-Brown | author-link = Roger Heath-Brown |title=अण्डाकार वक्रों की औसत विश्लेषणात्मक रैंक|journal=Duke Mathematical Journal |volume=122 |issue=3 |pages=591–623 |year=2004 |doi=10.1215/S0012-7094-04-12235-3 | mr=2057019|arxiv=math/0305114 |s2cid=15216987 }}</ref>
* एक अलग दिशा में, कुछ विश्लेषणात्मक तरीके L-फ़ंक्शंस के वर्ग की [[महत्वपूर्ण पट्टी]] के केंद्र में शून्य के क्रम के आकलन की अनुमति देते हैं। BSD के अनुमान को स्वीकार करते हुए, ये अनुमान दीर्घवृत्ताकार वक्र के वर्ग के बारे में जानकारी के अनुरूप हैं। उदाहरण के लिए: मान लीजिए  [[सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना]] और BSD अनुमान, ''y''<sup>2</sup> = ''x''<sup>3</sup> + ''ax''+ ''b'' द्वारा दिए गए वक्रों का औसत रैंक 2 से छोटा है।<ref>{{cite journal |first=D. R. |last=Heath-Brown | author-link = Roger Heath-Brown |title=अण्डाकार वक्रों की औसत विश्लेषणात्मक रैंक|journal=Duke Mathematical Journal |volume=122 |issue=3 |pages=591–623 |year=2004 |doi=10.1215/S0012-7094-04-12235-3 | mr=2057019|arxiv=math/0305114 |s2cid=15216987 }}</ref>




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*अंक शास्त्र
*अण्डाकार वक्र
*एक एबेलियन समूह की रैंक
*मिलेनियम पुरस्कार समस्याएं
*आदेश (समूह सिद्धांत)
*अनंत सेट
*एक समूह का सेट बनाना
*कैम्ब्रिज कंप्यूटर प्रयोगशाला विश्वविद्यालय
*एबेलियन एक्सटेंशन
*पी-समता प्रमेय
*इवासावा सिद्धांत का मुख्य अनुमान
*वर्ग से मुक्त
*संगत संख्या
== बाहरी संबंध ==
== बाहरी संबंध ==
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Latest revision as of 15:07, 6 December 2022

गणित में, बिर्च और स्विनर्टन-डियर अनुमान (जिसे अक्सर बिर्च-सविनर्टन-डायर अनुमान कहा जाता है) दीर्घवृत्ताकार वक्र को परिभाषित करने वाले समीकरणों के तर्कसंगत समाधान के सेट का वर्णन करता है। यह संख्या सिद्धांत के क्षेत्र में व्यापक रूप से सबसे चुनौतीपूर्ण गणितीय समस्याओं में से एक है। इसका नाम गणितज्ञ ब्रायन जॉन बिर्च और पीटर स्विनर्टन-डायर के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने मशीन गणना की मदद से 1960 के दशक के पहलेार्ध के दौरान अनुमान विकसित किए थे। 2022 तक, अनुमान के केवल विशेष मामले सिद्ध हुए हैं।

अनुमान का आधुनिक सूत्रीकरण संख्या क्षेत्र K पर दीर्घवृत्तीय वक्र E से जुड़े अंकगणितीय डेटा को s = 1 पर E के हासे-विल L-फलन L(E, s) के व्यवहार से संबंधित करता है। अधिक विशेष रूप से, यह अनुमान लगाया गया है कि एबेलियन समूह E(K) के E के बिंदुओं की रैंक s = 1 पर L(E, s) के शून्य का क्रम है, और L(E, s के टेलर विस्तार में पहला गैर-शून्य गुणांक ) s = 1 पर अधिक परिष्कृत अंकगणितीय डेटा द्वारा दिया गया है जो E से अधिक K (Wiles 2006) से जुड़ा है।

अनुमान को क्ले गणित संस्थान द्वारा सूचीबद्ध सात सहस्राब्दी पुरस्कार समस्याओं में से एक के रूप में चुना गया था, जिसने पहले सही प्रमाण के लिए $1,000,000 पुरस्कार की पेशकश की है।[1]


पृष्ठभूमि

मोर्डेल (1922) ने मोर्डेल के प्रमेय को सिद्ध किया: दीर्घवृत्त वक्र पर परिमेय बिंदुओं के समूह का एक परिमित आधार होता है। इसका मतलब यह है कि किसी भी अंडाकार वक्र के लिए वक्र पर तर्कसंगत बिंदुओं का परिमित उपसमुच्चय होता है, जिससे आगे के सभी तर्कसंगत बिंदु उत्पन्न हो सकते हैं।

यदि किसी वक्र पर तर्कसंगत बिंदुओं की संख्या अनंत है तो किसी परिमित आधार में किसी बिंदु पर अनंत क्रम होना चाहिए। अनंत क्रम के साथ स्वतंत्र आधार बिंदुओं की संख्या को वक्र का क्रम कहा जाता है, और यह दीर्घवृत्तीय वक्र का एक महत्वपूर्ण अपरिवर्तनीय गुण है।

यदि एक दीर्घवृत्ताकार वक्र का क्रम 0 है, तो वक्र में केवल परिमित संख्या में परिमेय बिंदु होते हैं। दूसरी ओर, यदि वक्र का क्रम 0 से अधिक है, तो वक्र में अनंत संख्या में तर्कसंगत बिंदु होते हैं।

हालांकि मोर्डेल का प्रमेय दर्शाता है कि दीर्घवृत्ताकार वक्र का रैंक हमेशा परिमित होता है, यह प्रत्येक वक्र के रैंक की गणना के लिए प्रभावी विधि नहीं देता है। कुछ दीर्घवृत्तीय वक्रों के रैंक की गणना संख्यात्मक विधियों का उपयोग करके की जा सकती है लेकिन (वर्तमान ज्ञान की स्थिति में) यह अज्ञात है कि ये विधियाँ सभी वक्रों को नियंत्रित करती हैं।

एक L-फलन L(E, s) दीर्घवृत्तीय वक्र E के लिए परिभाषित किया जा सकता है, प्रत्येक अभाज्य p वक्र मॉड्यूलो पर बिंदुओं की संख्या से एक यूलर उत्पाद का निर्माण करते है। यह L-फलन, रीमैन जीटा फलन और डिरिचलेट L-सीरीज़ के अनुरूप है, जिसे द्विआधारी द्विघात रूप के लिए परिभाषित किया गया है। यह हसे-विल L-फलनका एक विशेष मामला है।

(E, s) की प्राकृतिक परिभाषा केवल Re(s) > 3/2 के साथ मिश्रित तल में s के मानों के लिए अभिसरित होती है। हेल्मुट हास ने अनुमान लगाया कि L(E, s) को पूरे मिश्रित तल में विश्लेषणात्मक निरंतरता से बढ़ाया जा सकता है। मिश्रित गुणन के साथ दीर्घवृत्ताकार वक्रों के लिए यह अनुमान पहली बार ड्यूरिंग (1941) द्वारा सिद्ध किया गया था। बाद में 2001 में मॉड्यूलरिटी प्रमेय के परिणामस्वरूप, Q पर सभी अंडाकार वक्रों के लिए यह सच साबित हुआ।

एक सामान्य दीर्घवृत्ताकार वक्र पर तर्कसंगत बिंदुओं का पता लगाना एक कठिन समस्या है। दिए गए अभाज्य p पर बिंदुओं का पता लगाना अवधारणात्मक रूप से सीधा है, क्योंकि जांच करने के लिए केवल सीमित संख्या में संभावनाएं हैं। हालांकि, बड़े समय के लिए यह अभिकलनीयत रूप से गहन है।

इतिहास

1960 के दशक के प्रारंभ में पीटर स्विनर्टन-डियर ने कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय कंप्यूटर प्रयोगशाला में EDSAC 2 कंप्यूटर का उपयोग करके मॉडुलो p पर बड़ी संख्या में प्राइम्स p की गणना की, जिनकी रैंक ज्ञात थी। इन संख्यात्मक परिणामों से बर्च & स्विनर्टन-डायर (1965) ने अनुमान लगाया कि रैंक r के साथ वक्र E के लिए Np एक उपगामी नियम का पालन करता है

जहां C स्थिर है।

प्रारंभ में यह आलेखीय भूखंडों में कुछ कमजोर प्रवृत्तियों पर आधारित था, इससे J. W. S. कैसल्स (बिर्च के Ph.D. सलाहकार ) में संशय के उपाय को प्रेरित किया।[2] समय के साथ संख्यात्मक साक्ष्य क्रमबद्ध है।

इसने बदले में उन्हें s = 1 पर वक्र के L-फलन L(E, s) के व्यवहार के बारे में सामान्य अनुमान लगाने के लिए प्रेरित किया, अर्थात् इस बिंदु पर इसका क्रम r का शून्य होगा। यह समय के लिए एक दूरदर्शी अनुमान था, यह देखते हुए कि L(E, s) की विश्लेषणात्मक निरंतरता केवल जटिल गुणन के साथ वक्र के लिए स्थापित की गई थी, जो संख्यात्मक उदाहरणों का मुख्य स्रोत भी थे। (NB कि L-फलनका पारस्परिक दृश्य के कुछ बिंदुओं से अध्ययन की अधिक प्राकृतिक वस्तु है; कभी-कभी इसका मतलब है कि किसी को शून्य के बजाय ध्रुवों पर विचार करना चाहिए।)

बाद में अनुमान को S = 1 पर L-फलनके सटीक अग्रणी टेलर गुणांक की भविष्यवाणी को सम्मिलित करने के लिए विस्तारित किया गया था। यह अनुमानित रूप से दिया गया है[3]

जहां दाहिनी ओर की मात्रा वक्र के अपरिवर्तनीय हैं, कैसल्स, जॉन टेट (गणितज्ञ), इगोर शफारेविच और अन्य (विल्स 2006) द्वारा अध्ययन किया गया: 

 आघूर्ण बल समूह का क्रम है,

 टेट-शफारेविच समूह का क्रम है,

 E के जुड़े घटकों की संख्या से गुणा की वास्तविक अवधि है।

, E का नियामक है, जिसे तर्कसंगत बिंदुओं के आधार पर प्रामाणिक ऊंचाइयों के माध्यम से परिभाषित किया गया है,

एक अभाज्य p पर E की तमागावा संख्या है जो E के कंडक्टर n को विभाजित करता है। यह टेट के एल्गोरिथ्म पर आधारित है।

वर्तमान स्थिति

का एक प्लॉट वक्र वाई के लिए2 = x3 − 5x क्योंकि X पहले 100000 अभाज्य संख्याओं में भिन्न होता है। एक्स-एक्सिस लॉग (लॉग (एक्स)) है और वाई-एक्सिस लॉगरिदमिक स्केल में है इसलिए अनुमान भविष्यवाणी करता है कि डेटा को वक्र के रैंक के बराबर ढलान की रेखा बनानी चाहिए, जो इस मामले में 1 है। तुलना के लिए, ग्राफ पर ढलान 1 की एक रेखा लाल रंग में खींची गई है।

बिर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान केवल विशेष मामलों में ही सिद्ध हुए हैं:

  1. कोट्स & विल्स (1977) ने साबित किया कि यदि E वर्ग संख्या 1, F = K या Q के काल्पनिक द्विघात क्षेत्र K द्वारा जटिल गुणन के साथ संख्या क्षेत्र F पर वक्र है, और L(E, 1) 0 नहीं है तो E (F) एक परिमित समूह है। इसे उस मामले तक बढ़ा दिया गया था जहां F, Arthaud (1978) द्वारा K का कोई परिमित एबेलियन विस्तार है।
  2. ग्रॉस & ज़ैगियर (1986) ने दिखाया कि यदि एक मॉड्यूलर दीर्घवृत्ताकार वक्र का प्रथम क्रम शून्य होता है तो यह अनंत क्रम का परिमेय बिंदु होता है; ग्रॉस-ज़ैगियर प्रमेय देखें।
  3. कोलावागिन (1989) ने दिखाया कि एक मॉड्यूलर दीर्घवृत्ताकार वक्र E, जिसके लिए L(E, 1) शून्य नहीं है, उसका रैंक 0 है और मॉड्यूलर दीर्घवृत्ताकार वक्र E जिसके लिए L(E, 1) का s = 1 पर प्रथम-क्रम शून्य है।
  4. रूबिन (1991) ने दिखाया कि के द्वारा जटिल गुणा के साथ एक काल्पनिक द्विघात क्षेत्र k पर दीर्घवृत्ताकार वक्र के लिए परिभाषित किया गया है, अगर दीर्घवृत्ताकार वक्र की L-श्रृंखला s = 1 पर शून्य नहीं था, तो टेट-शफारीविच समूह के पी-भाग ने बिर्च और स्विनर्टन-डियर अनुमान, सभी अभाज्य p > 7 के लिए भविष्यवाणी की थी।
  5. Breuil et al. (2001), विल्स (1995) के विस्तार कार्य ने साबित किया कि सभी दीर्घवृत्ताकार वक्र तर्कसंगत संख्याओं पर परिभाषित हैं, जो परिणाम #2 और #3 को सभी दीर्घवृत्तिक वक्रों पर विस्तार देते हैं, और दर्शाते हैं कि Q पर सभी दीर्घवृक्ष वक्रों के l-फलन को s = 1 पर परिभाषित किया गया है।
  6. भार्गव & शंकर (2015) ने साबित किया कि Q पर दीर्घवृत्त वक्र के मोर्डेल-विल समूह का औसत रैंक 7/6 से ऊपर है। इसे नेव (2009) और डोकचित्सर (2010) के p-पैरिटी प्रमेय के साथ जोड़कर और स्किनर & अर्बन (2014) द्वारा GL(2) के लिए इवासावा सिद्धांत के मुख्य अनुमान के प्रमाण के साथ, वे निष्कर्ष निकालते हैं कि एक सकारात्मक अनुपात Q के ऊपर दीर्घवृत्तीय वक्रों की विश्लेषणात्मक रैंक शून्य है, और इसलिए, कोलिवागिन (1989) द्वारा, बर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान को स्वीकृत करते हैं।

वर्तमान में 1 से अधिक रैंक वाले वक्रों को सम्मिलित करने वाले कोई प्रमाण नहीं हैं।

अनुमान की वास्त्विकता के लिए व्यापक संख्यात्मक प्रमाण हैं।[4]


परिणाम

रीमैन परिकल्पना की तरह, इस अनुमान के कई परिणाम हैं, जिनमें निम्नलिखित दो सम्मिलित हैं:

  • मान लीजिए कि n एक विषम वर्ग रहित पूर्णांक है। बर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान को मानते हुए, n तर्कसंगत पार्श्व लंबाई (एक सर्वांगसम संख्या) के साथ समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल है यदि और केवल यदि पूर्णांकों (x, y, z) के त्रिक की संख्या 2x2 + y2 + 8z2 = n को पूरा करती है, 2x2 + y2 + 32z2 = n त्रिकों की संख्या का दुगुना है। टनल की प्रमेय (टनल 1983),के कारण यह कथन, इस तथ्य से संबंधित है कि n एक सर्वांगसम संख्या है यदि और केवल यदि अण्डाकार वक्र y2 = x3 − n2x में अनंत क्रम का एक परिमेय बिंदु है (इस प्रकार, बिर्च और स्विनर्टन के तहत -डायर अनुमान, इसका L-फलन 1 पर शून्य है)। इस कथन में रुचि यह है कि स्थिति को आसानी से सत्यापित किया जा सकता है।[5]
  • एक अलग दिशा में, कुछ विश्लेषणात्मक तरीके L-फ़ंक्शंस के वर्ग की महत्वपूर्ण पट्टी के केंद्र में शून्य के क्रम के आकलन की अनुमति देते हैं। BSD के अनुमान को स्वीकार करते हुए, ये अनुमान दीर्घवृत्ताकार वक्र के वर्ग के बारे में जानकारी के अनुरूप हैं। उदाहरण के लिए: मान लीजिए सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना और BSD अनुमान, y2 = x3 + ax+ b द्वारा दिए गए वक्रों का औसत रैंक 2 से छोटा है।[6]


टिप्पणियाँ

  1. ↑ Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture at Clay Mathematics Institute
  2. ↑ Stewart, Ian (2013), Visions of Infinity: The Great Mathematical Problems, Basic Books, p. 253, ISBN 9780465022403, Cassels was highly skeptical at first.
  3. ↑ Cremona, John (2011). "बर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान के लिए संख्यात्मक प्रमाण" (PDF). Talk at the BSD 50th Anniversary Conference, May 2011., page 50
  4. ↑ Cremona, John (2011). "बर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान के लिए संख्यात्मक प्रमाण" (PDF). Talk at the BSD 50th Anniversary Conference, May 2011.
  5. ↑ Koblitz, Neal (1993). अण्डाकार वक्रों और मॉड्यूलर रूपों का परिचय. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 97 (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-97966-2.
  6. ↑ Heath-Brown, D. R. (2004). "अण्डाकार वक्रों की औसत विश्लेषणात्मक रैंक". Duke Mathematical Journal. 122 (3): 591–623. arXiv:math/0305114. doi:10.1215/S0012-7094-04-12235-3. MR 2057019. S2CID 15216987.


संदर्भ


बाहरी संबंध

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