अधिचक्रज

लाल वक्र एक एपिसाइक्लॉइड है जिसे छोटे वृत्त (त्रिज्या r = 1) बड़े वृत्त के बाहर घूमता है (त्रिज्या R = 3).

ज्यामिति में, एपिसाइक्लॉइड एक वृत्त की परिधि पर एक चुने हुए बिंदु के पथ का पता लगाने के द्वारा निर्मित एक समतल वक्र है - जिसे एक एपिसायकल कहा जाता है - जो एक निश्चित चक्र के चारों ओर फिसले बिना रोल करता है। यह एक खास तरह का रूलेट (वक्र) है।

समीकरण

यदि छोटे वृत्त की त्रिज्या r है, और बड़े वृत्त की त्रिज्या R = kr है, तो वक्र के लिए पैरामीट्रिक समीकरण या तो दिए जा सकते हैं:

$x(\theta )=(R+r)\cos \theta \ -r\cos \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)$

$y(\theta )=(R+r)\sin \theta \ -r\sin \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right),$

या:

$x(\theta )=r(k+1)\cos \theta -r\cos \left((k+1)\theta \right)\,$

$y(\theta )=r(k+1)\sin \theta -r\sin \left((k+1)\theta \right).\,$

अधिक संक्षिप्त और जटिल रूप में

$z(\theta )=r(e^{i(k+1)\theta }-(k+1)e^{i\theta })$

जहाँ पे

• कोण $\theta$ बदले में है: $\theta \in [0,2\pi ].$
• छोटे वृत्त की त्रिज्या r है
• बड़े वृत्त की त्रिज्या kr है

क्षेत्र

(प्रारंभिक बिंदु को बड़े वृत्त पर स्थित मानते हुए) जब k धनात्मक पूर्णांक है, तो इस एपिसाइक्लॉइड का क्षेत्रफल है:

$A=(k+1)(k+2)\pi r^{2}.$

यदि k एक धनात्मक पूर्णांक है, तो वक्र बंद है, और k कस्प (अर्थात् तीखे कोने) हैं।

यदि k एक परिमेय संख्या है, मान लीजिए k = p / q को अलघुकरणीय अंश के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो वक्र में p cusps होता है।

वक्र को बंद करने के लिए और

पहले दोहराए जाने वाले पैटर्न को पूरा करें :

θ = q से क्यू घुमाव

α = p से पी रोटेशन

बाहरी रोलिंग सर्कल का कुल घुमाव = p + q घुमाव

p और q देखने के लिए एनिमेशन घुमावों की गणना करें।

यदि k एक अपरिमेय संख्या है, तो वक्र कभी बंद नहीं होता है, और बड़े वृत्त और त्रिज्या R + 2r के वृत्त के बीच की जगह का एक सघन उपसमुच्चय बनाता है।

दूरी OP से (x=0,y=0) मूल (बिंदु $p$ छोटे वृत्त पर) ऊपर और नीचे भिन्न होता है

R <= OP <= (R + 2r)

R= बड़े वृत्त की त्रिज्या और

2r = छोटे वृत्त का व्यास

• एपिकाइक्लॉइड उदाहरण
• 

  k = 1          a कार्डियोइड

• 

  k = 2          a नेफ्रोइड

• 

  k = 3          a ट्रेफोइलोइड

• 

  k = 4          a क्वाट्रेफॉयलॉइड

• 

  k = 2.1 = 21/10

• 

  k = 3.8 = 19/5

• 

  k = 5.5 = 11/2

• 

  k = 7.2 = 36/5

एपिसाइक्लॉइड एक विशेष प्रकार का एपिट्रोकॉइड है।

कस्प वाला एक एपिसाइकिल एक कार्डियोइड है, दो कस्प एक नेफ्रोइड है।

एक एपिसाइक्लॉइड और इसका विकास समानता (ज्यामिति) है।

प्रमाण

सबूत के लिए स्केच

हम मानते हैं कि स्थिति $p$ जिसे हम सुलझाना चाहते हैं, $\alpha$ स्पर्शरेखा बिंदु से गतिमान बिंदु तक का कोण है $p$, तथा $\theta$ प्रारंभिक बिंदु से स्पर्शरेखा बिंदु तक का कोण है।

चूंकि दोनों चक्रों के बीच कोई फिसलन नहीं है, तो हमारे पास:

$\ell _{R}=\ell _{r}$

कोण की परिभाषा के अनुसार (जो त्रिज्या पर दर चाप है), तो हमारे पास:

$\ell _{R}=\theta R$ तथा

$\ell _{r}=\alpha r$.

इन दो स्थितियों से हमें पहचान मिलती है

$\theta R=\alpha r$.

हिसाब लगाकर, हम बीच संबंध प्राप्त करते हैं $\alpha$ तथा $\theta$, जो है

$\alpha ={\frac {R}{r}}\theta$.

आकृति से, हम बिंदु की स्थिति देखते हैं $p$ छोटे वृत्त पर स्पष्ट रूप से है।

$x=\left(R+r\right)\cos \theta -r\cos \left(\theta +\alpha \right)=\left(R+r\right)\cos \theta -r\cos \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)$

$y=\left(R+r\right)\sin \theta -r\sin \left(\theta +\alpha \right)=\left(R+r\right)\sin \theta -r\sin \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)$

यह भी देखें

MSWLogo (कार्डियोइड) में कछुए के साथ एनिमेटेड GIF

* आवधिक कार्यों की सूची

• चक्रवात
• साइक्लोगन
• डिफ्रेंट और एपिसायकल
• एपिसाइक्लिक गियरिंग
• एपिट्रोकॉइड
• हाइपोचक्रज
• हाइपोट्रोकॉइड
• मल्टीब्रॉट सेट
• रूले (वक्र)
• स्पाइरोग्राफ

संदर्भ

• J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. Dover Publications. pp. 161, 168–170, 175. ISBN 978-0-486-60288-2.

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Epicycloid". MathWorld.
• "Epicycloid" by Michael Ford, The Wolfram Demonstrations Project, 2007
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Epicycloid", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews
• Animation of Epicycloids, Pericycloids and Hypocycloids
• Spirograph -- GeoFun
• Historical note on the application of the epicycloid to the form of Gear Teeth