बेबीलोनियन गणित: Difference between revisions

Revision as of 10:16, 26 November 2022

एनोटेशन के साथ बेबीलोनियन मिट्टी की गोली YBC 7289। विकर्ण चार साठवाँ अंकों में 2 के वर्गमूल का सन्निकटन प्रदर्शित करता है, 1 24 51 10, जो लगभग छह दशमलव अंकों के लिए अच्छा है।
1 + 24/60 + 51/60² + 10/60³ = 1.41421296... टैबलेट एक उदाहरण भी देता है जहां वर्ग की एक भुजा 30 है, और परिणामी विकर्ण 42 25 35 या 42.4263888 है...

बेबीलोनियन गणित (असीरो-बेबीलोनियन गणित' के रूप में भी जाना जाता है)^[1]^[2]^[3]^[4]) प्रारंभिक सुमेरियन के दिनों से लेकर 539 ईसा पूर्व में बाबुल के पतन के बाद की शताब्दियों तक मेसोपोटामिया के लोगों द्वारा विकसित या अभ्यास किया जाने वाला गणित है। बेबीलोनियन गणितीय ग्रंथ प्रचुर मात्रा में और अच्छी तरह से संपादित हैं।^[5] समय के संबंध में वे दो अलग-अलग समूहों में आते हैं: एक प्रथम बेबीलोनियन राजवंश काल (1830-1531 ईसा पूर्व) से, दूसरा मुख्य रूप से सील्यूसिड साम्राज्य पिछली तीन या चार शताब्दी ईसा पूर्व से। सामग्री के संबंध में, ग्रंथों के दो समूहों के बीच लगभग कोई अंतर नहीं है। लगभग दो सहस्राब्दियों तक, चरित्र और सामग्री में बेबीलोनियन गणित स्थिर रहा।^[5]

मिस्र के गणित में स्रोतों की कमी के विपरीत, बेबिलोनिया गणित का ज्ञान 1850 के दशक से खोजी गई लगभग 400 मिट्टी की गोलियों से प्राप्त हुआ है। कीलाक्षर लिपि में लिखे गए, जब गोलियां अंकित की गई थीं तब मिट्टी नम थी, फिर एक तंदूर में या सूरज की गर्मी से सेकी गई थी। अधिकांश बरामद मिट्टी की गोलियां 1800 से 1600 ईसा पूर्व की हैं, और उन विषयों को समाविष्ट करती हैं जिनमें अंश (गणित), बीजगणित, द्विघात समीकरण और घन समीकरण और पाइथागोरस प्रमेय शामिल हैं। बेबीलोनियन गोली YBC7289 ${\sqrt {2}}$ तीन महत्वपूर्ण षाष्टिक पद्धति अंकों (लगभग छह महत्वपूर्ण दशमलव अंक) के लिए एकदम सही अनुमान देता है ।

बेबीलोनियन गणित की उत्पत्ति

बेबीलोनियन गणित प्राचीन निकट पूर्व में संख्यात्मक और अधिक उन्नत गणितीय अभ्यासों की एक श्रृंखला है, जो कीलाक्षर लिपि में लिखी गई है। उपलब्ध आंकड़ों की संपन्नता के कारण अध्ययन ने ऐतिहासिक रूप से पहली सहस्राब्दी ईसा पूर्व में प्रथम बेबीलोनियन राजवंश पर ध्यान केंद्रित किया है। बेबीलोनियन गणित के शुरुआती स्वरूप पर बहस हुई है, इतिहासकारों ने 5वीं और 3 सहस्राब्दी ईसा पूर्व के बीच की तारीखों की एक श्रृंखला का सुझाव दिया है।^[6] बेबीलोनियन गणित मुख्य रूप से अक्कादी या सुमेरियन भाषा की भाषाओं में कीलाक्षर लिपि में मिट्टी की गोलियों पर लिखा गया था।

बेबीलोनियन गणित शायद एक अनुपयोगी शब्द है क्योंकि सबसे पहले सुझाई गई मूल तिथि 5 वीं सहस्राब्दी ईसा पूर्व में बुल्ला (सील) और प्राचीन संख्याओं को लिखने का इतिहास मिट्टी के प्रतीक जैसे लेखांकन उपकरणों के उपयोग के लिए थी।^[7]

बेबीलोनियन अंक

गणित की बेबीलोनियन प्रणाली एक षाष्टिक(आधार 60) अंक प्रणाली थी। इससे हम एक मिनट में 60 सेकंड, एक घंटे में 60 मिनट और एक वृत में 360 डिग्री के आधुनिक उपयोग को प्राप्त करते हैं।^[8] बेबीलोन के लोग दो कारणों से गणित में बड़ी प्रगति करने में सक्षम थे। सबसे पहले, संख्या 60 एक श्रेष्ठ उच्च संमिश्र संख्या है, जिसमें 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 के कारक हैं (उन लोगों सहित जो स्वयं समग्र हैं), गणना की सुविधा अंश (गणित)। इसके अतिरिक्त, मिस्रियों और रोमनों के विपरीत, बेबीलोनियों के पास एक वास्तविक स्थान-मूल्य प्रणाली थी, जहां बाएं स्तंभ में लिखे अंक बड़े मूल्यों का प्रतिनिधित्व करते थे (जैसे कि, हमारे आधार दस प्रणाली में, 734 = 7×100 + 3×10 + 4×1).^[9]

सुमेरियन गणित

मेसोपोटामिया के प्राचीन सुमेरियों ने 3000 ईसा पूर्व से मापविज्ञान की एक जटिल प्रणाली विकसित की थी। 2600 ईसा पूर्व से, सुमेरियों ने मिट्टी की गोलियों पर गुणन सारणी लिखी और ज्यामिति अभ्यास और विभाजन (गणित) की समस्याओं से निपटा। बेबीलोनियन अंकों के शुरुआती निशान भी इसी अवधि के हैं।^[10]

पुराना बेबीलोनियन गणित (2000-1600 ईसा पूर्व)

अधिकांश मिट्टी की गोलियाँ जो बेबीलोनियन गणित का वर्णन करती हैं, वे पहले बेबीलोनियन राजवंश से संबंधित हैं, यही कारण है कि मेसोपोटामिया के गणित को आमतौर पर बेबीलोनियन गणित के रूप में जाना जाता है। कुछ मिट्टी की गोलियों में गणितीय सूचियाँ और तालिकाएँ होती हैं, अन्य में समस्याएँ और समाधान होते हैं।

मिट्टी की गोली, गणितीय, ज्यामितीय-बीजगणितीय, पायथागॉरियन प्रमेय के समान। टेल अल-धब्बाई, इराक से। 2003-1595 ईसा पूर्व। इराक संग्रहालय

मिट्टी की गोली, गणितीय, ज्यामितीय-बीजगणितीय, यूक्लिडियन ज्यामिति के समान। टेल हरमल, इराक से। 2003-1595 ईसा पूर्व। इराक संग्रहालय

अंकगणित

बेबीलोनियों ने अंकगणित में सहायता के लिए पूर्व-परिकलित तालिकाओं का उपयोग किया। उदाहरण के लिए, 1854 में महानद पर सेनकेराह में मिली दो गोलियाँ, 2000 ईसा पूर्व से डेटिंग, 59 तक की संख्याओं की वर्ग संख्या और 32 तक की संख्याओं के घन (अंकगणित) की सूची देती हैं। बेबीलोनियों ने वर्गों की सूचियों का एक साथ उपयोग किया सूत्रों के साथ:

ab={\frac {(a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}}{2}}

ab={\frac {(a+b)^{2}-(a-b)^{2}}{4}}

गुणन को आसान बनाने के लिए।

बेबीलोनियों के पास लंबे विभाजन के लिए कोई कलन विधि नहीं था।^[11] इसके बजाय उन्होंने अपनी पद्धति को इस तथ्य पर आधारित किया कि:

{\frac {a}{b}}=a\times {\frac {1}{b}}

गुणक व्युत्क्रम की तालिका के साथ संख्याएं जिनके केवल प्रमुख कारक 2, 3 या 5 हैं (5-चिकनी संख्या या नियमित संख्या के रूप में जाना जाता है) षाष्टिक संकेत पद्धति में परिमित पारस्परिक (गणित) हैं, और इन पारस्परिकों की विस्तृत सूची वाली तालिकाएं पाई गई हैं।

व्युत्क्रम जैसे कि 1/7, 1/11, 1/13, आदि का षाष्टिक संकेतन में परिमित निरूपण नहीं होता है। 1/13 की गणना करने के लिए या किसी संख्या को 13 से विभाजित करने के लिए बेबीलोन के लोग एक सन्निकटन का उपयोग करेंगे जैसे:

{\frac {1}{13}}={\frac {7}{91}}=7\times {\frac {1}{91}}\approx 7\times {\frac {1}{90}}=7\times {\frac {40}{3600}}={\frac {280}{3600}}={\frac {4}{60}}+{\frac {40}{3600}}.

बीजगणित

बेबीलोनियन मिट्टी की गोली येल बेबीलोनियन संग्रह 7289 (सी. 1800-1600 ईसा पूर्व) का एक अनुमान देता है $\sqrt 2$ चार षाष्टिक पद्धति आंकड़ों में, 1;24,51,10,^[12] जो लगभग छह दशमलव अंकों तक एकदम सही है,^[13] और $\sqrt 2$ निकटतम संभव तीन-स्थान षाष्टिक पद्धति प्रतिनिधित्व है:

1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}={\frac {30547}{21600}}=1.41421{\overline {296}}.

अंकगणितीय गणनाओं के साथ-साथ, बेबीलोन के गणितज्ञों ने समीकरणों को हल करने के प्राथमिक बीजगणित के तरीके भी विकसित किए। एक बार फिर, ये पूर्व-परिकलित तालिकाओं पर आधारित थे।

द्विघात समीकरण को हल करने के लिए, बेबीलोनियों ने अनिवार्य रूप से मानक द्विघात सूत्र का उपयोग किया। उन्होंने इस रूप के द्विघात समीकरणों पर विचार किया:

\ x^{2}+bx=c

जहां b और c आवश्यक रूप से पूर्णांक नहीं थे, लेकिन c हमेशा सकारात्मक था। वे जानते थे कि समीकरण के इस रूप का हल है:^{[citation needed]}

x=-{\frac {b}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}+c}}

और उन्होंने विभाजन और औसत का उपयोग करके वर्गमूलों को कुशलता से पाया।^[14] वे हमेशा सकारात्मक जड़ का उपयोग करते थे क्योंकि वास्तविक समस्याओं को हल करते समय यह समझ में आता था^{[citation needed]}. इस प्रकार की समस्याओं में एक आयत के आयामों को उसके क्षेत्रफल और उस राशि को खोजना शामिल है जिससे लंबाई चौड़ाई से अधिक हो जाती है।

n³+ n² के मानों की तालिकाएँ का उपयोग कुछ घन समीकरणों को हल करने के लिए किया गया था। उदाहरण के लिए, समीकरण पर विचार करें:

\ ax^{3}+bx^{2}=c.

समीकरण को a² गुणा करके और b³ से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:

\left({\frac {ax}{b}}\right)^{3}+\left({\frac {ax}{b}}\right)^{2}={\frac {ca^{2}}{b^{3}}}.

प्रतिस्थापित करना y = ax/b देता है:

y^{3}+y^{2}={\frac {ca^{2}}{b^{3}}}

जिसे अब n³ + n² तालिका को देखकर हल किया जा सकता है ताकि दाहिनी ओर के निकटतम मान का पता लगाया जा सके। बेबीलोन के लोगों ने बीजगणितीय अंकन के बिना इसे पूरा किया, जिससे समझ की असाधारण गहराई दिखाई देती है। लेकिन, उनके पास सामान्य घन समीकरण को हल करने की कोई विधि नहीं थी।

वृद्धि

बेबीलोनियों ने घातीय वृद्धि, बाधित वृद्धि (अवग्रहरूपी कार्यों के एक रूप के माध्यम से), और दोहरीकरण समय, ऋण पर ब्याज के संदर्भ में उत्तरार्द्ध का मॉडल तैयार किया।

मिट्टी की गोलियाँ c से। 2000 ई.पू. में अभ्यास शामिल है 1/60 प्रति माह की ब्याज दर (कोई चक्रवृद्धि नहीं) को देखते हुए, दोहरीकरण समय की गणना करें। यह 12/60 = 20% की वार्षिक ब्याज दर देता है, और इसलिए 100% वृद्धि/20% प्रति वर्ष की वृद्धि का दोगुना समय = 5 वर्ष।^[15]^[16]

प्लिम्पटन 322

प्लिम्पटन 322 टैबलेट में पायथागॉरियन तिगुना की एक सूची है, यानी, पूर्णांक $(a,b,c)$ ऐसा है कि $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ .

त्रिगुण बहुत अधिक हैं और बहुत बड़े हैं जिन्हें पाशविक बल द्वारा प्राप्त नहीं किया जा सकता है।

इस विषय पर बहुत कुछ लिखा गया है, जिसमें कुछ परेशनिया (शायद कालानुक्रमिक) भी शामिल हैं कि क्या गोली एक प्रारंभिक त्रिकोणमितीय तालिका के रूप में काम कर सकता था। गोली को उस समय परिचित या लेखकों के लिए सुलभ तरीकों के संदर्भ में देखने के लिए सावधानी बरती जानी चाहिए।

[...] प्रश्न गोली की गणना कैसे की गई?

प्रश्न के समान उत्तर होना जरूरी नहीं है

गोली क्या समस्याएं उत्पन कर सकती है?

पहले का उत्तर सबसे संतोषजनक रूप से पारस्परिक जोड़ियों द्वारा दिया जा सकता है

, जैसा कि पहली बार आधी सदी पहले सुझाया गया था, और दूसरा का उत्तर

किसी प्रकार की समकोण-त्रिकोण समस्याओं से दिया जा सकता है।

</ब्लॉककोट>

(ई. रॉबसन, न तो शर्लक होम्स न ही बेबीलोन: प्लैम्पटन 322 का पुनर्मूल्यांकन, हिस्टोरिया मैथ। '28' (3), पृष्ठ 202)। ashif

ज्यामिति

बेबीलोन के लोग आयतन और क्षेत्रफल मापने के सामान्य नियम जानते थे। उन्होंने एक वृत्त की परिधि को व्यास के तीन गुने के रूप में और क्षेत्रफल को परिधि के वर्ग के एक-बारहवें हिस्से के रूप में मापा, जो सही होगा यदि पाई | $π$ 3 के रूप में अनुमानित है। वे जानते थे कि यह एक सन्निकटन था, और 1936 में सूसा के निकट खुदाई में प्राप्त एक पुरानी बेबीलोनियन गणितीय गोली (19वीं और 17वीं शताब्दी ईसा पूर्व के बीच की) एक बेहतर सन्निकटन देती है $π$ 25/8 = 3.125 के रूप में, सटीक मान से लगभग 0.5 प्रतिशत कम।^[17] एक बेलन के आयतन को आधार और ऊँचाई के गुणनफल के रूप में लिया गया था, हालाँकि, एक शंकु या वर्ग पिरामिड के छिन्नक के आयतन को गलत तरीके से ऊँचाई और आधारों के योग के आधे के गुणनफल के रूप में लिया गया था। पाइथागोरस प्रमेय#इतिहास बेबीलोनियों को भी ज्ञात था।^[18]^[19]^[20] बेबीलोनियन मील लगभग 11.3 किमी (या लगभग सात आधुनिक मील) के बराबर दूरी का एक माप था। दूरी के लिए यह माप अंततः सूर्य की यात्रा को मापने के लिए उपयोग किए जाने वाले समय-मील में परिवर्तित हो गया, इसलिए समय का प्रतिनिधित्व करता है।^[21] प्राचीन बेबीलोनियों को कई सदियों से समान त्रिभुजों की भुजाओं के अनुपात से संबंधित सूत्रों के बारे में पता था, लेकिन उनके पास कोण माप की अवधारणा का अभाव था और परिणामस्वरूप, इसके बजाय त्रिभुजों की भुजाओं का अध्ययन किया।^[22] बेबीलोनियन खगोल विज्ञान ने सितारों के उदय और अस्त होने, ग्रहों की गति, और सौर और चंद्र ग्रहणों का विस्तृत रिकॉर्ड रखा, जिनमें से सभी को आकाशीय क्षेत्र पर मापी गई कोण दूरी के साथ परिचित होने की आवश्यकता थी।^[23] उन्होंने एक पंचांग (खगोलीय स्थिति की तालिका) की गणना करने के लिए फूरियर विश्लेषण के एक रूप का भी उपयोग किया, जिसे 1950 के दशक में ओटो नेउगेबॉयर द्वारा खोजा गया था।^[24]^[25]^[26]^[27] खगोलीय पिंडों की गति की गणना करने के लिए, बेबीलोनियों ने बुनियादी अंकगणित और क्रांतिवृत्त पर आधारित एक समन्वय प्रणाली का उपयोग किया, जो आकाश का वह भाग है जिससे होकर सूर्य और ग्रह गुजरते हैं।

ब्रिटिश संग्रहालय में रखी गई गोलियाँ इस बात का प्रमाण देती हैं कि बेबीलोन के लोगों ने यहाँ तक कि एक अमूर्त गणितीय स्थान में वस्तुओं की एक अवधारणा भी बना ली थी। गोलियाँ सा.यु.पू. 350 और 50 के बीच की हैं, जिससे यह पता चलता है कि बेबीलोन के लोग ज्यामिति को पहले की सोच से भी पहले समझते थे और उसका उपयोग करते थे। बेबीलोनियों ने एक वक्र के नीचे क्षेत्र का अनुमान लगाने के लिए एक समलम्ब को चित्रित करके एक विधि का उपयोग किया था, जिसे पहले 14 वीं शताब्दी के यूरोप में उत्पन्न होने वाली तकनीक माना जाता था। अनुमान की इस पद्धति ने उन्हें, उदाहरण के लिए, यह पता लगाने की अनुमति दी कि बृहस्पति ने एक निश्चित समय में कितनी दूरी तय की थी।^[28]

यह भी देखें

बेबीलोनिया
बेबीलोनियन खगोल विज्ञान
गणित का इतिहास
इराक के इतिहास में गणित के लिए इस्लामी गणित | इस्लामी इराक / मेसोपोटामिया

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2 का वर्गमूल
पहला बेबीलोनियन राजवंश
सेल्यूसिड साम्राज्य
कीलाकार लिपि
मिस्र का गणित
अक्कादियन भाषा
बुल्ला (मुहर)
स्थितीय संकेतन
सुपीरियर अत्यधिक समग्र संख्या
प्रभाग (गणित)
पहाड़ा
लम्बा विभाजन
मुख्य कारक है
गुणात्मक प्रतिलोम
सिग्मॉइड फ़ंक्शन
दोहरा समय
आकाशीय पिंड
सितारा
ओटो न्यूगेबॉयर

संदर्भ

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[8] Michael A. Lombardi, "Why is a minute divided into 60 seconds, an hour into 60 minutes, yet there are only 24 hours in a day?", "Scientific American" March 5, 2007

[9] Lucas N. H. Bunt, Phillip S. Jones, Jack D. Bedient (2001). प्रारंभिक गणित की ऐतिहासिक जड़ें (reprint ed.). Courier Corporation. p. 44. ISBN 9780486139685.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[10] Duncan J. Melville (2003). Third Millennium Chronology, Third Millennium Mathematics. St. Lawrence University.

[11] "बेबीलोनियन गणित". Maths History.

[sexagesimal-12] The standard sexagesimal notation using semicolon–commas was introduced by Otto Neugebauer in the 1930s. Neugebauer, Otto; Sachs, Abraham Joseph; Götze, Albrecht (1945), Mathematical Cuneiform Texts, American Oriental Series, vol. 29, New Haven: American Oriental Society and the American Schools of Oriental Research, p. 2

[13] Fowler and Robson, p. 368.
Photograph, illustration, and description of the root(2) tablet from the Yale Babylonian Collection
High resolution photographs, descriptions, and analysis of the root(2) tablet (YBC 7289) from the Yale Babylonian Collection

[Allen-14] Allen, Arnold (January 1999). "समीक्षाएँ: गणित: संख्याओं के जन्म से। जन गुलबर्ग द्वारा". The American Mathematical Monthly. 106 (1): 77–85. doi:10.2307/2589607. JSTOR 2589607.

[hudson-15] Why the "Miracle of Compound Interest" leads to Financial Crises Archived 2012-05-10 at the Wayback Machine, by Michael Hudson

[16] Have we caught your interest? by John H. Webb

[17] David Gilman Romano, Athletics and Mathematics in Archaic Corinth: The Origins of the Greek Stadion, American Philosophical Society, 1993, p. 78. "A group of mathematical clay tablets from the Old Babylonian Period, excavated at Susa in 1936, and published by E.M. Bruins in 1950, provide the information that the Babylonian approximation of {frac|3|1|8}} or 3.125." E. M. Bruins, Quelques textes mathématiques de la Mission de Suse, 1950. E. M. Bruins and M. Rutten, Textes mathématiques de Suse, Mémoires de la Mission archéologique en Iran vol. XXXIV (1961). See also Beckmann, Petr (1971), A History of Pi, New York: St. Martin's Press, pp. 12, 21–22 "in 1936, a tablet was excavated some 200 miles from Babylon. [...] The mentioned tablet, whose translation was partially published only in 1950, [...] states that the ratio of the perimeter of a regular hexagon to the circumference of the circumscribed circle equals a number which in modern notation is given by 57/60 + 36/(60)² [i.e. $π$ = 3/0.96 = 25/8]". Jason Dyer, On the Ancient Babylonian Value for Pi, 3 December 2008.

[FOOTNOTENeugebauer196936-18] Neugebauer 1969, p. 36. "In other words it was known during the whole duration of Babylonian mathematics that the sum of the squares on the lengths of the sides of a right triangle equals the square of the length of the hypotenuse."

[FOOTNOTEHøyrup406-19] Høyrup, p. 406. "To judge from this evidence alone it is therefore likely that the Pythagorean rule was discovered within the lay surveyors' environment, possibly as a spin-off from the problem treated in Db₂-146, somewhere between 2300 and 1825 BC." (Db₂-146 is an Old Babylonian clay tablet from Eshnunna concerning the computation of the sides of a rectangle given its area and diagonal.)

[FOOTNOTERobson2008109-20] Robson 2008, p. 109. "Many Old Babylonian mathematical practitioners ... knew that the square on the diagonal of a right triangle had the same area as the sum of the squares on the length and width: that relationship is used in the worked solutions to word problems on cut-and-paste 'algebra' on seven different tablets, from Ešnuna, Sippar, Susa, and an unknown location in southern Babylonia."

[21] Eves, Chapter 2.

[Boyer_Early_Trigonometry-22] Boyer (1991). "Greek Trigonometry and Mensuration". गणित का इतिहास. John Wiley & Sons. pp. 158–159. ISBN 9780471543978.

[Maor-20-23] Maor, Eli (1998). त्रिकोणमितीय प्रसन्नता. Princeton University Press. p. 20. ISBN 0-691-09541-8.

[24] Prestini, Elena (2004). एप्लाइड हार्मोनिक विश्लेषण का विकास: वास्तविक दुनिया के मॉडल. Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4125-2., p. 62

[25] Rota, Gian-Carlo; Palombi, Fabrizio (1997). अविवेकपूर्ण विचार. Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-3866-5., p. 11

[FOOTNOTENeugebauer1969-26] Neugebauer 1969.

[27] Brack-Bernsen, Lis; Brack, Matthias (2004). "बेबीलोनियाई और आधुनिक समय से शैल संरचना का विश्लेषण". International Journal of Modern Physics E. 13 (1): 247–260. arXiv:physics/0310126. Bibcode:2004IJMPE..13..247B. doi:10.1142/S0218301304002028. S2CID 15704235.

[28] Emspak, Jesse. "बेबीलोन के लोग ज्यामिति का उपयोग सदियों पहले सोचे जाने से पहले कर रहे थे". Smithsonian. Retrieved 2016-02-01.

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 {{Short description|Mathematics in Mesopotamia 1830-539 BC}}
-{{see also|Babylonian cuneiform numerals}}
+{{see also|बेबीलोनियन कीलाकार अंक}}
-[[File:YBC-7289-OBV-labeled.jpg|thumb|250px|right|एनोटेशन के साथ बेबीलोनियन मिट्टी की गोली [[YBC 7289]]। विकर्ण चार [[साठवाँ]] अंकों में 2 के वर्गमूल का सन्निकटन प्रदर्शित करता है, 1 24 51 10, जो लगभग छह [[दशमलव]] अंकों के लिए अच्छा है।<br />1 + 24/60 + 51/60<sup>2</sup> + 10/60<sup>3</sup> = 1.41421296... टैबलेट एक उदाहरण भी देता है जहां वर्ग की एक भुजा 30 है, और परिणामी विकर्ण 42 25 35 या 42.4263888 है...]]बेबीलोनियन गणित ('असीरो-बेबीलोनियन गणित' के रूप में भी जाना जाता है)<ref>{{cite journal |last=Lewy |first=H. |year=1949 |title=असीरो-बेबीलोनियन गणित और मैट्रोलोजी में अध्ययन|journal=Orientalia |series=NS |volume=18 |pages=40–67; 137–170 }}</ref><ref>{{cite journal |last=Lewy |first=H. |year=1951 |title=असीरो-बेबीलोनियन गणित और मैट्रोलोजी में अध्ययन|journal=Orientalia |series=NS |volume=20 |pages=1–12 }}</ref><ref>{{cite journal |last=Bruins |first=E. M. |year=1953 |title=बेबीलोनियन गणित में संख्याओं का वर्गीकरण|journal=Revue d'Assyriologie |volume=47 |issue=4 |pages=185–188 |jstor=23295221 }}</ref><ref>{{cite book |last=Robson |first=E. |year=2002 |chapter=Guaranteed genuine originals: The Plimpton Collection and the early history of mathematical Assyriology |title=माइनिंग द आर्काइव्स: क्रिस्टोफर वॉकर के 60वें जन्मदिन के अवसर पर फेस्टस्क्रिफ्ट|editor-first=C. |editor-last=Wunsch |publisher=ISLET |location=Dresden |pages=245–292 |isbn=3-9808466-0-1 }}</ref>) प्रारंभिक [[सुमेर]]ियों के दिनों से लेकर 539 ईसा पूर्व में बाबुल के पतन के बाद की शताब्दियों तक [[मेसोपोटामिया]] के लोगों द्वारा विकसित या अभ्यास किया जाने वाला गणित है। [[बेबीलोन]]ियन गणितीय ग्रंथ प्रचुर मात्रा में और अच्छी तरह से संपादित हैं।<ref name="Aaboe, Asger">{{cite book |last=Aaboe |first=Asger |chapter=The culture of Babylonia: Babylonian mathematics, astrology, and astronomy |title=अश्शूर और बेबीलोनियन साम्राज्य और निकट पूर्व के अन्य राज्य, आठवीं से छठी शताब्दी ई.पू.|editor-first=John |editor-last=Boardman |editor2-first=I. E. S. |editor2-last=Edwards |editor3-first=N. G. L. |editor3-last=Hammond |editor4-first=E. |editor4-last=Sollberger |editor5-first=C. B. F. |editor5-last=Walker |publisher=Cambridge University Press |year=1991 |isbn=0-521-22717-8 }}</ref> समय के संबंध में वे दो अलग-अलग समूहों में आते हैं: एक प्रथम बेबीलोनियन राजवंश काल (1830-1531 ईसा पूर्व) से, दूसरा मुख्य रूप से पिछली तीन या चार शताब्दी ईसा पूर्व से सील्यूसिड साम्राज्य से। सामग्री के संबंध में, ग्रंथों के दो समूहों के बीच लगभग कोई अंतर नहीं है। लगभग दो सहस्राब्दियों तक, चरित्र और सामग्री में बेबीलोनियन गणित स्थिर रहा।<ref name="Aaboe, Asger" />
+[[File:YBC-7289-OBV-labeled.jpg|thumb|250px|right|एनोटेशन के साथ बेबीलोनियन मिट्टी की गोली [[YBC 7289]]। विकर्ण चार [[साठवाँ]] अंकों में 2 के वर्गमूल का सन्निकटन प्रदर्शित करता है, 1 24 51 10, जो लगभग छह [[दशमलव]] अंकों के लिए अच्छा है।<br />1 + 24/60 + 51/60<sup>2</sup> + 10/60<sup>3</sup> = 1.41421296... टैबलेट एक उदाहरण भी देता है जहां वर्ग की एक भुजा 30 है, और परिणामी विकर्ण 42 25 35 या 42.4263888 है...]]बेबीलोनियन गणित (असीरो-बेबीलोनियन गणित' के रूप में भी जाना जाता है)<ref>{{cite journal |last=Lewy |first=H. |year=1949 |title=असीरो-बेबीलोनियन गणित और मैट्रोलोजी में अध्ययन|journal=Orientalia |series=NS |volume=18 |pages=40–67; 137–170 }}</ref><ref>{{cite journal |last=Lewy |first=H. |year=1951 |title=असीरो-बेबीलोनियन गणित और मैट्रोलोजी में अध्ययन|journal=Orientalia |series=NS |volume=20 |pages=1–12 }}</ref><ref>{{cite journal |last=Bruins |first=E. M. |year=1953 |title=बेबीलोनियन गणित में संख्याओं का वर्गीकरण|journal=Revue d'Assyriologie |volume=47 |issue=4 |pages=185–188 |jstor=23295221 }}</ref><ref>{{cite book |last=Robson |first=E. |year=2002 |chapter=Guaranteed genuine originals: The Plimpton Collection and the early history of mathematical Assyriology |title=माइनिंग द आर्काइव्स: क्रिस्टोफर वॉकर के 60वें जन्मदिन के अवसर पर फेस्टस्क्रिफ्ट|editor-first=C. |editor-last=Wunsch |publisher=ISLET |location=Dresden |pages=245–292 |isbn=3-9808466-0-1 }}</ref>) प्रारंभिक [[सुमेर|सुमेरियन]] के दिनों से लेकर 539 ईसा पूर्व में बाबुल के पतन के बाद की शताब्दियों तक [[मेसोपोटामिया]] के लोगों द्वारा विकसित या अभ्यास किया जाने वाला गणित है। [[बेबीलोन|बेबीलोनियन]] गणितीय ग्रंथ प्रचुर मात्रा में और अच्छी तरह से संपादित हैं।<ref name="Aaboe, Asger">{{cite book |last=Aaboe |first=Asger |chapter=The culture of Babylonia: Babylonian mathematics, astrology, and astronomy |title=अश्शूर और बेबीलोनियन साम्राज्य और निकट पूर्व के अन्य राज्य, आठवीं से छठी शताब्दी ई.पू.|editor-first=John |editor-last=Boardman |editor2-first=I. E. S. |editor2-last=Edwards |editor3-first=N. G. L. |editor3-last=Hammond |editor4-first=E. |editor4-last=Sollberger |editor5-first=C. B. F. |editor5-last=Walker |publisher=Cambridge University Press |year=1991 |isbn=0-521-22717-8 }}</ref> समय के संबंध में वे दो अलग-अलग समूहों में आते हैं: एक प्रथम बेबीलोनियन राजवंश काल (1830-1531 ईसा पूर्व) से, दूसरा मुख्य रूप से सील्यूसिड साम्राज्य पिछली तीन या चार शताब्दी ईसा पूर्व से। सामग्री के संबंध में, ग्रंथों के दो समूहों के बीच लगभग कोई अंतर नहीं है। लगभग दो सहस्राब्दियों तक, चरित्र और सामग्री में बेबीलोनियन गणित स्थिर रहा।<ref name="Aaboe, Asger" />
-मिस्र के गणित में स्रोतों की कमी के विपरीत, [[बेबिलोनिया]] गणित का ज्ञान 1850 के दशक से खोजी गई लगभग 400 मिट्टी की गोलियों से प्राप्त हुआ है। क्यूनिफॉर्म लिपि में लिखे गए, गोलियां तब अंकित की गई थीं जब मिट्टी नम थी, और एक ओवन में या सूरज की गर्मी से कड़ी मेहनत की गई थी। अधिकांश बरामद मिट्टी की गोलियां 1800 से 1600 ईसा पूर्व की हैं, और उन विषयों को कवर करती हैं जिनमें [[अंश (गणित)]], [[बीजगणित]], [[द्विघात समीकरण]] और [[घन समीकरण]] और [[पाइथागोरस प्रमेय]] शामिल हैं। बेबीलोनियन टैबलेट वाईबीसी 7289 एक अनुमान देता है <math>\sqrt{2}</math> तीन महत्वपूर्ण सेक्सजेसिमल अंकों (लगभग छह महत्वपूर्ण दशमलव अंक) के लिए सटीक।
+मिस्र के गणित में स्रोतों की कमी के विपरीत, [[बेबिलोनिया]] गणित का ज्ञान 1850 के दशक से खोजी गई लगभग 400 मिट्टी की गोलियों से प्राप्त हुआ है। कीलाक्षर लिपि में लिखे गए, जब गोलियां अंकित की गई थीं तब  मिट्टी नम थी, फिर एक तंदूर में या सूरज की गर्मी से सेकी गई थी। अधिकांश बरामद मिट्टी की गोलियां 1800 से 1600 ईसा पूर्व की हैं, और उन विषयों को समाविष्ट करती हैं जिनमें [[अंश (गणित)]], [[बीजगणित]], [[द्विघात समीकरण]] और [[घन समीकरण]] और [[पाइथागोरस प्रमेय]] शामिल हैं। बेबीलोनियन गोली  YBC7289 <math>\sqrt{2}</math> तीन महत्वपूर्ण षाष्टिक पद्धति अंकों (लगभग छह महत्वपूर्ण दशमलव अंक) के लिए एकदम सही अनुमान देता है   ।
 ==बेबीलोनियन गणित की उत्पत्ति==
-बेबीलोनियन गणित [[प्राचीन निकट पूर्व]] में संख्यात्मक और अधिक उन्नत गणितीय अभ्यासों की एक श्रृंखला है, जो कीलाक्षर लिपि में लिखी गई है। उपलब्ध आंकड़ों की संपत्ति के कारण अध्ययन ने ऐतिहासिक रूप से पहली सहस्राब्दी ईसा पूर्व में प्रथम बेबीलोनियन राजवंश पर ध्यान केंद्रित किया है। बेबीलोनियन गणित के शुरुआती स्वरूप पर बहस हुई है, इतिहासकारों ने 5वीं और तीसरी सहस्राब्दी ईसा पूर्व के बीच की तारीखों की एक श्रृंखला का सुझाव दिया है।<ref>{{cite book |title= कुमरान से एक अरामी ज्ञान पाठ: लेवी दस्तावेज़ की एक नई व्याख्या|volume= 86 |series= Supplements to the Journal for the Study of Judaism |author= Henryk Drawnel |edition= illustrated |publisher= BRILL |year= 2004 |isbn= 9789004137530}}</ref> बेबीलोनियन गणित मुख्य रूप से अक्कडियन भाषा या [[सुमेरियन भाषा]] की भाषाओं में क्यूनिफॉर्म लिपि में मिट्टी की गोलियों पर लिखा गया था।
+बेबीलोनियन गणित [[प्राचीन निकट पूर्व]] में संख्यात्मक और अधिक उन्नत गणितीय अभ्यासों की एक श्रृंखला है, जो कीलाक्षर लिपि में लिखी गई है। उपलब्ध आंकड़ों की  संपन्नता के कारण अध्ययन ने ऐतिहासिक रूप से पहली सहस्राब्दी ईसा पूर्व में प्रथम बेबीलोनियन राजवंश पर ध्यान केंद्रित किया है। बेबीलोनियन गणित के शुरुआती स्वरूप पर बहस हुई है, इतिहासकारों ने 5वीं और 3 सहस्राब्दी ईसा पूर्व के बीच की तारीखों की एक श्रृंखला का सुझाव दिया है।<ref>{{cite book |title= कुमरान से एक अरामी ज्ञान पाठ: लेवी दस्तावेज़ की एक नई व्याख्या|volume= 86 |series= Supplements to the Journal for the Study of Judaism |author= Henryk Drawnel |edition= illustrated |publisher= BRILL |year= 2004 |isbn= 9789004137530}}</ref> बेबीलोनियन गणित मुख्य रूप से अक्कादी या [[सुमेरियन भाषा]] की भाषाओं में कीलाक्षर लिपि में मिट्टी की गोलियों पर लिखा गया था।
-  बेबीलोनियन गणित शायद एक अनुपयोगी शब्द है क्योंकि सबसे पहले सुझाई गई मूल तिथि 5 वीं सहस्राब्दी ईसा पूर्व में बुल्ला (सील) और प्राचीन संख्याओं को लिखने का इतिहास#मिट्टी के टोकन जैसे लेखांकन उपकरणों के उपयोग के लिए थी।<ref>{{cite book |title= प्राचीन मेसोपोटामिया: नए परिप्रेक्ष्य|series= Understanding ancient civilizations |author= Jane McIntosh |edition= illustrated |publisher= ABC-CLIO |year= 2005 |isbn= 9781576079652 |page= 265}}</ref>
+  बेबीलोनियन गणित शायद एक अनुपयोगी शब्द है क्योंकि सबसे पहले सुझाई गई मूल तिथि 5 वीं सहस्राब्दी ईसा पूर्व में बुल्ला (सील) और प्राचीन संख्याओं को लिखने का इतिहास मिट्टी के प्रतीक जैसे लेखांकन उपकरणों के उपयोग के लिए थी।<ref>{{cite book |title= प्राचीन मेसोपोटामिया: नए परिप्रेक्ष्य|series= Understanding ancient civilizations |author= Jane McIntosh |edition= illustrated |publisher= ABC-CLIO |year= 2005 |isbn= 9781576079652 |page= 265}}</ref>
 == बेबीलोनियन अंक ==
-{{Main|Babylonian cuneiform numerals}}
+{{Main|बेबीलोनियन कीलाकार अंक}}
-गणित की बेबीलोनियन प्रणाली एक सेक्सजेसिमल (आधार 60) [[अंक प्रणाली]] थी। इससे हम एक मिनट में 60 सेकंड, एक घंटे में 60 मिनट और एक सर्कल में 360 डिग्री के आधुनिक उपयोग को प्राप्त करते हैं।<ref>Michael A. Lombardi, [http://www.scientificamerican.com/article/experts-time-division-days-hours-minutes/ "Why is a minute divided into 60 seconds, an hour into 60 minutes, yet there are only 24 hours in a day?"], "Scientific American" March 5, 2007</ref> बेबीलोन के लोग दो कारणों से गणित में बड़ी प्रगति करने में सक्षम थे। सबसे पहले, संख्या 60 एक श्रेष्ठ उच्च संमिश्र संख्या है, जिसमें 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 के कारक हैं (उन लोगों सहित जो स्वयं समग्र हैं), गणना की सुविधा अंश (गणित)। इसके अतिरिक्त, मिस्रियों और रोमनों के विपरीत, बेबीलोनियों के पास एक वास्तविक स्थान-मूल्य प्रणाली थी, जहां बाएं स्तंभ में लिखे अंक बड़े मूल्यों का प्रतिनिधित्व करते थे (जैसे कि, हमारे आधार दस प्रणाली में, 734 = 7×100 + 3×10 + 4×1).<ref>{{cite book |title= प्रारंभिक गणित की ऐतिहासिक जड़ें|author= Lucas N. H. Bunt, Phillip S. Jones, Jack D. Bedient |edition= reprint |publisher= Courier Corporation |year= 2001 |isbn= 9780486139685 |page= 44}}</ref>
+गणित की बेबीलोनियन प्रणाली एक षाष्टिक(आधार 60) [[अंक प्रणाली]] थी। इससे हम एक मिनट में 60 सेकंड, एक घंटे में 60 मिनट और एक वृत में 360 डिग्री के आधुनिक उपयोग को प्राप्त करते हैं।<ref>Michael A. Lombardi, [http://www.scientificamerican.com/article/experts-time-division-days-hours-minutes/ "Why is a minute divided into 60 seconds, an hour into 60 minutes, yet there are only 24 hours in a day?"], "Scientific American" March 5, 2007</ref> बेबीलोन के लोग दो कारणों से गणित में बड़ी प्रगति करने में सक्षम थे। सबसे पहले, संख्या 60 एक श्रेष्ठ उच्च संमिश्र संख्या है, जिसमें 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 के कारक हैं (उन लोगों सहित जो स्वयं समग्र हैं), गणना की सुविधा अंश (गणित)। इसके अतिरिक्त, मिस्रियों और रोमनों के विपरीत, बेबीलोनियों के पास एक वास्तविक स्थान-मूल्य प्रणाली थी, जहां बाएं स्तंभ में लिखे अंक बड़े मूल्यों का प्रतिनिधित्व करते थे (जैसे कि, हमारे आधार दस प्रणाली में, 734 = 7×100 + 3×10 + 4×1).<ref>{{cite book |title= प्रारंभिक गणित की ऐतिहासिक जड़ें|author= Lucas N. H. Bunt, Phillip S. Jones, Jack D. Bedient |edition= reprint |publisher= Courier Corporation |year= 2001 |isbn= 9780486139685 |page= 44}}</ref>
 == सुमेरियन गणित ==
-मेसोपोटामिया के प्राचीन सुमेरियों ने 3000 ईसा पूर्व से [[मैट्रोलोजी]] की एक जटिल प्रणाली विकसित की थी। 2600 ईसा पूर्व से, सुमेरियों ने मिट्टी की गोलियों पर गुणन सारणी लिखी और [[ज्यामिति]] अभ्यास और विभाजन (गणित) की समस्याओं से निपटा। बेबीलोनियन अंकों के शुरुआती निशान भी इसी अवधि के हैं।<ref>Duncan J. Melville (2003). [http://it.stlawu.edu/~dmelvill/mesomath/3Mill/chronology.html Third Millennium Chronology], ''Third Millennium Mathematics''. [[St. Lawrence University]].</ref>
+मेसोपोटामिया के प्राचीन सुमेरियों ने 3000 ईसा पूर्व से [[मैट्रोलोजी|मापविज्ञान]] की एक जटिल प्रणाली विकसित की थी। 2600 ईसा पूर्व से, सुमेरियों ने मिट्टी की गोलियों पर गुणन सारणी लिखी और [[ज्यामिति]] अभ्यास और विभाजन (गणित) की समस्याओं से निपटा। बेबीलोनियन अंकों के शुरुआती निशान भी इसी अवधि के हैं।<ref>Duncan J. Melville (2003). [http://it.stlawu.edu/~dmelvill/mesomath/3Mill/chronology.html Third Millennium Chronology], ''Third Millennium Mathematics''. [[St. Lawrence University]].</ref>
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 गुणन को आसान बनाने के लिए।
-बेबीलोनियों के पास लंबे विभाजन के लिए कोई एल्गोरिद्म नहीं था।<ref>{{Cite web|url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Babylonian_mathematics/|title=बेबीलोनियन गणित|website=Maths History}}</ref> इसके बजाय उन्होंने अपनी पद्धति को इस तथ्य पर आधारित किया कि:
+बेबीलोनियों के पास लंबे विभाजन के लिए कोई कलन विधि नहीं था।<ref>{{Cite web|url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Babylonian_mathematics/|title=बेबीलोनियन गणित|website=Maths History}}</ref> इसके बजाय उन्होंने अपनी पद्धति को इस तथ्य पर आधारित किया कि:
 :<math>\frac{a}{b} = a \times \frac{1}{b}</math>
-गुणक व्युत्क्रम की तालिका के साथ। संख्याएं जिनके केवल प्रमुख कारक 2, 3 या 5 हैं (5-[[चिकनी संख्या]] या [[नियमित संख्या]] के रूप में जाना जाता है) सेक्सजेसिमल नोटेशन में परिमित [[पारस्परिक (गणित)]] हैं, और इन पारस्परिकों की विस्तृत सूची वाली तालिकाएं पाई गई हैं।
+गुणक व्युत्क्रम की तालिका के साथ संख्याएं जिनके केवल प्रमुख कारक 2, 3 या 5 हैं (5-[[चिकनी संख्या]] या [[नियमित संख्या]] के रूप में जाना जाता है) षाष्टिक संकेत पद्धति में परिमित [[पारस्परिक (गणित)]] हैं, और इन पारस्परिकों की विस्तृत सूची वाली तालिकाएं पाई गई हैं।
-व्युत्क्रम जैसे कि 1/7, 1/11, 1/13, आदि का सेक्सगेसिमल संकेतन में परिमित निरूपण नहीं होता है। 1/13 की गणना करने के लिए या किसी संख्या को 13 से विभाजित करने के लिए बेबीलोन के लोग एक सन्निकटन का उपयोग करेंगे जैसे:
+व्युत्क्रम जैसे कि 1/7, 1/11, 1/13, आदि का षाष्टिक संकेतन में परिमित निरूपण नहीं होता है। 1/13 की गणना करने के लिए या किसी संख्या को 13 से विभाजित करने के लिए बेबीलोन के लोग एक सन्निकटन का उपयोग करेंगे जैसे:
 :<math>\frac{1}{13} = \frac{7}{91} = 7 \times \frac {1}{91} \approx 7 \times \frac{1}{90}=7 \times \frac{40}{3600} = \frac{280}{3600} = \frac{4}{60} + \frac{40}{3600}.</math>
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 === बीजगणित ===
-{{See also|Square root of 2#History}}
+{{See also|2#इतिहास का वर्गमूल}}
-बेबीलोनियन मिट्टी की गोली [[येल बेबीलोनियन संग्रह]] 7289 (सी. 1800-1600 ईसा पूर्व) का एक अनुमान देता है {{math|{{sqrt|2}}}} चार सेक्सजेसिमल आंकड़ों में, 1;24,51,10,<ref name=sexagesimal>The standard sexagesimal notation using semicolon–commas was introduced by Otto Neugebauer in the 1930s. {{Citation | last1 = Neugebauer | first1 = Otto | author-link = Otto Neugebauer | last2 = Sachs | first2 = Abraham Joseph | author2-link = Abraham Sachs | last3 = Götze | first3 = Albrecht | title = Mathematical Cuneiform Texts | place = New Haven | publisher = American Oriental Society and the American Schools of Oriental Research | series = American Oriental Series | volume = 29 | year = 1945 | page = 2 | url = https://books.google.com/books?id=i-juAAAAMAAJ&pg=PA2}}</ref> जो लगभग छह दशमलव अंकों तक सटीक है,<ref>Fowler and Robson, p. 368.<br />[http://it.stlawu.edu/%7Edmelvill/mesomath/tablets/YBC7289.html Photograph, illustration, and description of the ''root(2)'' tablet from the Yale Babylonian Collection]<br />[http://www.math.ubc.ca/%7Ecass/Euclid/ybc/ybc.html High resolution photographs, descriptions, and analysis of the ''root(2)'' tablet (YBC 7289) from the Yale Babylonian Collection]</ref> और निकटतम संभव तीन-स्थान सेक्सजेसिमल प्रतिनिधित्व है {{math|{{sqrt|2}}}}:
+बेबीलोनियन मिट्टी की गोली [[येल बेबीलोनियन संग्रह]] 7289 (सी. 1800-1600 ईसा पूर्व) का एक अनुमान देता है {{math|{{sqrt|2}}}} चार षाष्टिक पद्धति आंकड़ों में, 1;24,51,10,<ref name=sexagesimal>The standard sexagesimal notation using semicolon–commas was introduced by Otto Neugebauer in the 1930s. {{Citation | last1 = Neugebauer | first1 = Otto | author-link = Otto Neugebauer | last2 = Sachs | first2 = Abraham Joseph | author2-link = Abraham Sachs | last3 = Götze | first3 = Albrecht | title = Mathematical Cuneiform Texts | place = New Haven | publisher = American Oriental Society and the American Schools of Oriental Research | series = American Oriental Series | volume = 29 | year = 1945 | page = 2 | url = https://books.google.com/books?id=i-juAAAAMAAJ&pg=PA2}}</ref> जो लगभग छह दशमलव अंकों तक एकदम सही है,<ref>Fowler and Robson, p. 368.<br />[http://it.stlawu.edu/%7Edmelvill/mesomath/tablets/YBC7289.html Photograph, illustration, and description of the ''root(2)'' tablet from the Yale Babylonian Collection]<br />[http://www.math.ubc.ca/%7Ecass/Euclid/ybc/ybc.html High resolution photographs, descriptions, and analysis of the ''root(2)'' tablet (YBC 7289) from the Yale Babylonian Collection]</ref> और {{math|{{sqrt|2}}}} निकटतम संभव तीन-स्थान  षाष्टिक पद्धति प्रतिनिधित्व है:
 :<math>1 + \frac{24}{60} + \frac{51}{60^2} + \frac{10}{60^3} = \frac{30547}{21600} = 1.41421\overline{296}.</math>
-अंकगणितीय गणनाओं के साथ-साथ, बेबीलोन के गणितज्ञों ने [[समीकरण]]ों को हल करने के [[प्राथमिक बीजगणित]] के तरीके भी विकसित किए। एक बार फिर, ये पूर्व-परिकलित तालिकाओं पर आधारित थे।
+अंकगणितीय गणनाओं के साथ-साथ, बेबीलोन के गणितज्ञों ने [[समीकरण|समीकरणों]] को हल करने के [[प्राथमिक बीजगणित]] के तरीके भी विकसित किए। एक बार फिर, ये पूर्व-परिकलित तालिकाओं पर आधारित थे।
-द्विघात समीकरण को हल करने के लिए, बेबीलोनियों ने अनिवार्य रूप से मानक [[द्विघात सूत्र]] का उपयोग किया। उन्होंने फार्म के द्विघात समीकरणों पर विचार किया:
+द्विघात समीकरण को हल करने के लिए, बेबीलोनियों ने अनिवार्य रूप से मानक [[द्विघात सूत्र]] का उपयोग किया। उन्होंने इस रूप के द्विघात समीकरणों पर विचार किया:
 :<math>\ x^2 + bx = c</math>
-जहां बी और सी आवश्यक रूप से पूर्णांक नहीं थे, लेकिन सी हमेशा सकारात्मक था। वे जानते थे कि समीकरण के इस रूप का हल है:{{Citation needed|date=December 2011}}
+जहां b और c आवश्यक रूप से पूर्णांक नहीं थे, लेकिन c हमेशा सकारात्मक था। वे जानते थे कि समीकरण के इस रूप का हल है:{{Citation needed|date=December 2011}}
 :<math>x = - \frac{b}{2} + \sqrt{ \left ( \frac{b}{2} \right )^2 + c}</math>
 और उन्होंने विभाजन और औसत का उपयोग करके वर्गमूलों को कुशलता से पाया।<ref name=Allen>{{cite journal |last1=Allen |first1=Arnold |journal=The American Mathematical Monthly |date=January 1999 |title=समीक्षाएँ: गणित: संख्याओं के जन्म से। जन गुलबर्ग द्वारा|volume=106 |issue=1 |pages=77–85 |jstor=2589607 |doi=10.2307/2589607}}</ref> वे हमेशा सकारात्मक जड़ का उपयोग करते थे क्योंकि वास्तविक समस्याओं को हल करते समय यह समझ में आता था{{Citation needed|date=January 2022|reason="no negative numbers assertion requires a reference. Alternatively, the mere absence of discovery of the use of such is clearly something for which certainty may be stipulated."}}. इस प्रकार की समस्याओं में एक आयत के आयामों को उसके क्षेत्रफल और उस राशि को खोजना शामिल है जिससे लंबाई चौड़ाई से अधिक हो जाती है।
-N के मानों की तालिकाएँ<sup>3</sup> + n<sup>2</sup> का उपयोग कुछ घन समीकरणों को हल करने के लिए किया गया था। उदाहरण के लिए, समीकरण पर विचार करें:
+n<sup>3</sup>+ n<sup>2</sup> के मानों की तालिकाएँ का उपयोग कुछ घन समीकरणों को हल करने के लिए किया गया था। उदाहरण के लिए, समीकरण पर विचार करें:
 :<math>\ ax^3 + bx^2 = c.</math>
-<nowiki>समीकरण को गुणा करके</nowiki> a<sup>2</sup> और b से विभाजित करना<sup>3</sup> देता है:
+समीकरण को a<sup>2</sup> गुणा करके और b<sup>3</sup> से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:
 :<math>\left ( \frac{ax}{b} \right )^3 + \left ( \frac {ax}{b} \right )^2 = \frac {ca^2}{b^3}.</math>
@@ Line 64: / Line 65: @@
 :<math>y^3 + y^2 = \frac {ca^2}{b^3}</math>
-जिसे अब n को देखकर हल किया जा सकता है<sup>3</sup> + n<sup>2</sup> दाहिनी ओर के निकटतम मान का पता लगाने के लिए तालिका। बेबीलोन के लोगों ने बीजगणितीय अंकन के बिना इसे पूरा किया, जिससे समझ की उल्लेखनीय गहराई दिखाई देती है। हालाँकि, उनके पास सामान्य घन समीकरण को हल करने की कोई विधि नहीं थी।
+जिसे अब  n<sup>3</sup> + n<sup>2</sup> तालिका को देखकर हल किया जा सकता है ताकि दाहिनी ओर के निकटतम मान का पता लगाया जा सके। बेबीलोन के लोगों ने बीजगणितीय अंकन के बिना इसे पूरा किया, जिससे समझ की असाधारण गहराई दिखाई देती है। लेकिन, उनके पास सामान्य घन समीकरण को हल करने की कोई विधि नहीं थी।
 === वृद्धि ===
-बेबीलोनियों ने घातीय वृद्धि, विवश वृद्धि (सिग्मॉइड कार्यों के एक रूप के माध्यम से), और दोहरीकरण समय, ऋण पर ब्याज के संदर्भ में उत्तरार्द्ध का मॉडल तैयार किया।
+बेबीलोनियों ने घातीय वृद्धि,  बाधित वृद्धि (अवग्रहरूपी कार्यों के एक रूप के माध्यम से), और दोहरीकरण समय, ऋण पर ब्याज के संदर्भ में उत्तरार्द्ध का मॉडल तैयार किया।
-मिट्टी की गोलियाँ सी से। 2000 ई.पू. व्यायाम शामिल करें 1/60 प्रति माह की ब्याज दर (कोई चक्रवृद्धि नहीं) को देखते हुए, दोहरीकरण समय की गणना करें। यह 12/60 = 20% की वार्षिक ब्याज दर देता है, और इसलिए 100% वृद्धि/20% प्रति वर्ष की वृद्धि का दोगुना समय = 5 वर्ष।<ref name="hudson">[http://michael-hudson.com/2007/08/why-the-%E2%80%9Cmiracle-of-compound-interest%E2%80%9D-leads-to-financial-crises/ Why the "Miracle of Compound Interest" leads to Financial Crises] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120510114813/http://michael-hudson.com/2007/08/why-the-%e2%80%9cmiracle-of-compound-interest%e2%80%9d-leads-to-financial-crises/ |date=2012-05-10 }}, by Michael Hudson</ref><ref>[http://plus.maths.org/issue11/features/compound/ Have we caught your interest?] by John H. Webb</ref>
+मिट्टी की गोलियाँ c से। 2000 ई.पू. में अभ्यास शामिल है 1/60 प्रति माह की ब्याज दर (कोई चक्रवृद्धि नहीं) को देखते हुए, दोहरीकरण समय की गणना करें। यह 12/60 = 20% की वार्षिक ब्याज दर देता है, और इसलिए 100% वृद्धि/20% प्रति वर्ष की वृद्धि का दोगुना समय = 5 वर्ष।<ref name="hudson">[http://michael-hudson.com/2007/08/why-the-%E2%80%9Cmiracle-of-compound-interest%E2%80%9D-leads-to-financial-crises/ Why the "Miracle of Compound Interest" leads to Financial Crises] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120510114813/http://michael-hudson.com/2007/08/why-the-%e2%80%9cmiracle-of-compound-interest%e2%80%9d-leads-to-financial-crises/ |date=2012-05-10 }}, by Michael Hudson</ref><ref>[http://plus.maths.org/issue11/features/compound/ Have we caught your interest?] by John H. Webb</ref>
 ===प्लिम्पटन 322===
-{{main|Plimpton 322}}
+{{main|प्लिम्पटन 322}}
-[[Plimpton 322]] टैबलेट में [[पायथागॉरियन ट्रिपल]]्स की एक सूची है, यानी, पूर्णांक <math>(a,b,c)</math> ऐसा है कि <math>a^2+b^2=c^2</math>.
+[[Plimpton 322|प्लिम्पटन 322]] टैबलेट में [[पायथागॉरियन ट्रिपल|पायथागॉरियन तिगुना]] की एक सूची है, यानी, पूर्णांक <math>(a,b,c)</math> ऐसा है कि <math>a^2+b^2=c^2</math>.
 त्रिगुण बहुत अधिक हैं और बहुत बड़े हैं जिन्हें पाशविक बल द्वारा प्राप्त नहीं किया जा सकता है।
-इस विषय पर बहुत कुछ लिखा गया है, जिसमें कुछ अटकलें (शायद कालानुक्रमिक) शामिल हैं कि क्या टैबलेट एक प्रारंभिक त्रिकोणमितीय तालिका के रूप में काम कर सकता था। टैबलेट को उस समय परिचित या लेखकों के लिए सुलभ तरीकों के संदर्भ में देखने के लिए सावधानी बरती जानी चाहिए।
+इस विषय पर बहुत कुछ लिखा गया है, जिसमें कुछ परेशनिया (शायद कालानुक्रमिक) भी शामिल हैं कि क्या गोली एक प्रारंभिक त्रिकोणमितीय तालिका के रूप में काम कर सकता था। गोली को उस समय परिचित या लेखकों के लिए सुलभ तरीकों के संदर्भ में देखने के लिए सावधानी बरती जानी चाहिए।
-<ब्लॉककोट>
-[...] सवाल टैबलेट की गणना कैसे की गई? होना जरूरी नहीं है
+[...] प्रश्न गोली की गणना कैसे की गई?
-प्रश्न के समान उत्तर टैबलेट क्या समस्याएं सेट करता है? पहले का उत्तर दिया जा सकता है
-सबसे संतोषजनक रूप से पारस्परिक जोड़ियों द्वारा, जैसा कि पहली बार आधी सदी पहले सुझाया गया था, और दूसरा
+प्रश्न के समान उत्तर होना जरूरी नहीं है
-किसी प्रकार की समकोण-त्रिकोण समस्याओं से।
+गोली क्या समस्याएं उत्पन कर सकती है?
+पहले का उत्तर सबसे संतोषजनक रूप से पारस्परिक जोड़ियों द्वारा दिया जा सकता है
+, जैसा कि पहली बार आधी सदी पहले सुझाया गया था, और दूसरा का उत्तर
+किसी प्रकार की समकोण-त्रिकोण समस्याओं से दिया जा सकता है।
 </ब्लॉककोट>
-(ई. रॉबसन, न तो शर्लक होम्स न ही बेबीलोन: प्लैम्पटन 322 का पुनर्मूल्यांकन, हिस्टोरिया मठ। '28' (3), पृष्ठ 202)।
+(ई. रॉबसन, न तो शर्लक होम्स न ही बेबीलोन: प्लैम्पटन 322 का पुनर्मूल्यांकन, हिस्टोरिया मैथ। '28' (3), पृष्ठ 202)। ashif
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