समता (गणित): Difference between revisions

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सम और विषम संख्याओं में विपरीत समताएँ होती हैं, जैसे, 22 (सम संख्या) और 13 (विषम संख्या) में विपरीत समताएँ होती हैं। विशेष रूप से, [[ शून्य की समता ]] सम है।<ref>{{citation|title=A Walk Through Combinatorics: An Introduction to Enumeration and Graph Theory|first=Miklós|last=Bóna|publisher=World Scientific|year=2011|isbn=9789814335232|page=178|url=https://books.google.com/books?id=TzJ2L9ZmlQUC&pg=PA178}}.</ref> किन्हीं भी दो लगातार पूर्णांकों में विपरीत समानता होती है। [[ दशमलव ]] [[ अंक प्रणाली ]] में व्यक्त संख्या (यानी, पूर्णांक) सम या विषम है, इसके अनुसार इसका अंतिम अंक सम या विषम है। अर्थात, यदि अंतिम अंक 1, 3, 5, 7, या 9 है, तो यह विषम है, अर्थात यह सम है—क्योंकि किसी भी सम संख्या का अंतिम अंक 0, 2, 4, 6, या 8 है। यही विचार किसी भी सम आधार का उपयोग करके काम करेगा। विशेष रूप से, [[ बाइनरी अंक प्रणाली ]] में व्यक्त संख्या विषम होती है यदि उसका अंतिम अंक 1 है, और यह सम है यदि इसका अंतिम अंक 0 है। विषम आधार में, संख्या इसके अंकों के योग के अनुसार भी सम है—यह सम है यदि और केवल इसके अंकों का योग सम है।<ref>{{citation|title=Divisibility in bases|first=Ruth L.|last=Owen|url=http://www.pentagon.kappamuepsilon.org/pentagon/Vol_51_Num_2_Spring_1992.pdf|pages=17–20|journal=The Pentagon: A Mathematics Magazine for Students|volume=51|issue=2|year=1992|url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20150317173427/http://www.pentagon.kappamuepsilon.org/pentagon/Vol_51_Num_2_Spring_1992.pdf|archive-date=2015-03-17}}.</ref>
सम और विषम संख्याओं में विपरीत समताएँ होती हैं, जैसे, 22 (सम संख्या) और 13 (विषम संख्या) में विपरीत समताएँ होती हैं। विशेष रूप से, [[ शून्य की समता | शून्य की समता]] सम है।<ref>{{citation|title=A Walk Through Combinatorics: An Introduction to Enumeration and Graph Theory|first=Miklós|last=Bóna|publisher=World Scientific|year=2011|isbn=9789814335232|page=178|url=https://books.google.com/books?id=TzJ2L9ZmlQUC&pg=PA178}}.</ref> किन्हीं भी दो लगातार पूर्णांकों में विपरीत समानता होती है। [[ दशमलव | दशमलव]] [[ अंक प्रणाली | अंक प्रणाली]] में व्यक्त संख्या (यानी, पूर्णांक) सम या विषम है, इसके अनुसार इसका अंतिम अंक सम या विषम है। अर्थात, यदि अंतिम अंक 1, 3, 5, 7, या 9 है, तो यह विषम है, अर्थात यह सम है—क्योंकि किसी भी सम संख्या का अंतिम अंक 0, 2, 4, 6, या 8 है। यही विचार किसी भी सम आधार का उपयोग करके काम करेगा। विशेष रूप से, [[ बाइनरी अंक प्रणाली | बाइनरी अंक प्रणाली]] में व्यक्त संख्या विषम होती है यदि उसका अंतिम अंक 1 है, और यह सम है यदि इसका अंतिम अंक 0 है। विषम आधार में, संख्या इसके अंकों के योग के अनुसार भी सम है—यह सम है यदि और केवल इसके अंकों का योग सम है।<ref>{{citation|title=Divisibility in bases|first=Ruth L.|last=Owen|url=http://www.pentagon.kappamuepsilon.org/pentagon/Vol_51_Num_2_Spring_1992.pdf|pages=17–20|journal=The Pentagon: A Mathematics Magazine for Students|volume=51|issue=2|year=1992|url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20150317173427/http://www.pentagon.kappamuepsilon.org/pentagon/Vol_51_Num_2_Spring_1992.pdf|archive-date=2015-03-17}}.</ref>


== परिभाषा ==
== परिभाषा ==
सम संख्या रूप का पूर्णांक है
सम संख्या रूप का पूर्णांक है
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== गुण ==
== गुण ==
विभाज्यता के गुणों का उपयोग करके निम्नलिखित कानूनों को सत्यापित किया जा सकता है। वे [[ मॉड्यूलर अंकगणित ]] में नियमों का एक विशेष मामला हैं, और सामान्यतः यह जांचने के लिए उपयोग किया जाता है कि क्या समानता प्रत्येक पक्ष की समानता का परीक्षण करके सही होने की संभावना है। साधारण अंकगणित की तरह, सापेक्ष 2 अंकगणित में गुणन और जोड़ क्रमविनिमेय और साहचर्य हैं, और गुणन योग पर वितरण है। हालांकि, मोडुलो 2 में घटाव जोड़ के समान है, इसलिए घटाव में भी ये गुण होते हैं, जो सामान्य पूर्णांक अंकगणितीय के लिए सही नहीं है।
विभाज्यता के गुणों का उपयोग करके निम्नलिखित कानूनों को सत्यापित किया जा सकता है। वे [[ मॉड्यूलर अंकगणित ]] में नियमों का एक विशेष मामला हैं, और सामान्यतः यह जांचने के लिए उपयोग किया जाता है कि क्या समानता प्रत्येक पक्ष की समानता का परीक्षण करके सही होने की संभावना है। साधारण अंकगणित की तरह, सापेक्ष 2 अंकगणित में गुणन और जोड़ क्रमविनिमेय और साहचर्य हैं, और गुणन योग पर वितरण है। हालांकि, मोडुलो 2 में घटाव जोड़ के समान है, इसलिए घटाव में भी ये गुण होते हैं, जो सामान्य पूर्णांक अंकगणितीय के लिए सही नहीं है।

Revision as of 00:18, 19 November 2022

For other uses, see समानता (बहुविकल्पी).
"विषम संख्या" redirects here. For 1962 की अर्जेंटीना की फिल्म, see विषम संख्या (फिल्म).
रसोई की छड़ें: 5 (पीला) समान रंग/लंबाई की किसी भी 2 छड़ों से समान रूप से 2 (लाल) में विभाजित नहीं किया जा सकता है, जबकि 6 (गहरा हरा) समान रूप से 2 से 3 (पीला हरा रंग) में विभाजित किया जा सकता है।

गणित में, समानता पूर्णांक का गुण है कि क्या यह सम या विषम है। पूर्णांक तब भी होता है जब वह दो का गुणज होता है, और यदि वह नहीं होता है तो विषम होता है।[1] उदाहरण के लिए, -4, 0, 82 सम हैं क्योंकि

इसके विपरीत, −3, 5, 7, 21 विषम संख्याएँ हैं। समता की उपरोक्त परिभाषा केवल पूर्णांक संख्याओं पर लागू होती है, इसलिए इसे 1/2 या 4.201 जैसी संख्याओं पर लागू नहीं किया जा सकता है। "संख्याओं" के बड़े वर्ग या अन्य सामान्य सेटिंग्स में समानता की धारणा के कुछ विस्तार के लिए नीचे "उच्च गणित" अनुभाग देखें।


सम और विषम संख्याओं में विपरीत समताएँ होती हैं, जैसे, 22 (सम संख्या) और 13 (विषम संख्या) में विपरीत समताएँ होती हैं। विशेष रूप से, शून्य की समता सम है।[2] किन्हीं भी दो लगातार पूर्णांकों में विपरीत समानता होती है। दशमलव अंक प्रणाली में व्यक्त संख्या (यानी, पूर्णांक) सम या विषम है, इसके अनुसार इसका अंतिम अंक सम या विषम है। अर्थात, यदि अंतिम अंक 1, 3, 5, 7, या 9 है, तो यह विषम है, अर्थात यह सम है—क्योंकि किसी भी सम संख्या का अंतिम अंक 0, 2, 4, 6, या 8 है। यही विचार किसी भी सम आधार का उपयोग करके काम करेगा। विशेष रूप से, बाइनरी अंक प्रणाली में व्यक्त संख्या विषम होती है यदि उसका अंतिम अंक 1 है, और यह सम है यदि इसका अंतिम अंक 0 है। विषम आधार में, संख्या इसके अंकों के योग के अनुसार भी सम है—यह सम है यदि और केवल इसके अंकों का योग सम है।[3]

परिभाषा

सम संख्या रूप का पूर्णांक है

जहाँ k एक पूर्णांक है,[4] विषम संख्या रूप का पूर्णांक है

समतुल्य परिभाषा यह है कि सम संख्या 2 से विभाज्य है,

और एक विषम संख्या नहीं है
सम और विषम संख्याओं के समुच्चय (गणित) को निम्नलिखित रूप में परिभाषित किया जा सकता है[5]
सम संख्याओं का समुच्चय का एक सामान्य उपसमूह है और कारक समूह . बनाएँ समानता को तब समरूपता से के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जहाँ विषम संख्याएँ 1 हैं और सम संख्याएँ 0 हैं। इस समरूपता के परिणाम नीचे दिए गए हैं।

गुण

विभाज्यता के गुणों का उपयोग करके निम्नलिखित कानूनों को सत्यापित किया जा सकता है। वे मॉड्यूलर अंकगणित में नियमों का एक विशेष मामला हैं, और सामान्यतः यह जांचने के लिए उपयोग किया जाता है कि क्या समानता प्रत्येक पक्ष की समानता का परीक्षण करके सही होने की संभावना है। साधारण अंकगणित की तरह, सापेक्ष 2 अंकगणित में गुणन और जोड़ क्रमविनिमेय और साहचर्य हैं, और गुणन योग पर वितरण है। हालांकि, मोडुलो 2 में घटाव जोड़ के समान है, इसलिए घटाव में भी ये गुण होते हैं, जो सामान्य पूर्णांक अंकगणितीय के लिए सही नहीं है।

जोड़ना और घटाना

  • सम ± सम = सम,[1]
  • सम ± विषम = विषम,[1]
  • विषम ± विषम = सम,[1]

गुणन

  • सम × सम = सम,[1]
  • सम × विषम = सम,[1]
  • विषम × विषम = विषम,[1]

संरचना ({सम, विषम}, +, ×) वास्तव में दो तत्वों वाला एक क्षेत्र है।

विभाग

दो पूर्ण संख्याओं के विभाजन का परिणाम पूर्ण संख्या में होना आवश्यक नहीं है। उदाहरण के लिए, 1 को 4 से विभाजित करने पर 1/4 बराबर होता है, जो न तो सम है और न ही विषम, क्योंकि सम और विषम की अवधारणाएँ केवल पूर्णांकों पर लागू होती हैं। लेकिन जब भागफल एक पूर्णांक होता है, तो यह सम तभी होगा जब भाज्य में भाजक की तुलना में दो के अधिक पूर्णांक गुणनखंड हो।[6]

इतिहास

प्राचीन यूनानियों ने 1, मोनाड (दर्शन) को न तो पूरी तरह से विषम और न ही पूरी तरह से सम माना था।[7] इस भावना में से कुछ 19वीं शताब्दी में बनी रहे फ्रेडरिक फ्रोबेल फ्रेडरिक विल्हेम अगस्त फ्रोबेल की 1826 द एजुकेशन ऑफ मैन ने शिक्षक को छात्रों को इस दावे के साथ ड्रिल करने का निर्देश दिया कि 1 न तो सम है और न ही विषम, जिसके लिए फ्रोबेल दार्शनिक बाद के विचार को जोड़ता है,

यह अच्छा है कि छात्र का ध्यान यहाँ एक बार प्रकृति और विचार के एक महान दूरगामी नियम की ओर निर्देशित किया जाए। यह वह है, कि दो अपेक्षाकृत भिन्न चीजों या विचारों के बीच हमेशा एक तीसरा खड़ा होता है, एक तरह का संतुलन, जो दोनों को जोड़ता हुआ प्रतीत होता है। इस प्रकार, यहाँ विषम और सम संख्याओं के बीच एक संख्या (एक) है जो दोनों में से कोई भी नहीं है। इसी प्रकार, इसी रूप में, समकोण तीव्र और अधिक कोणों के बीच खड़ा होता है, और भाषा में, मूक और स्वर के बीच अर्ध-स्वर या आकांक्षी। विचारशील शिक्षक और एक शिष्य जिसे खुद के लिए सोचना सिखाया जाता है, शायद ही इस और अन्य महत्वपूर्ण कानूनों पर ध्यान देने में मदद कर सके। [8]

उच्च गणित

संख्याओं के उच्च आयाम और अधिक सामान्य वर्ग

दो या दो से अधिक आयामों के यूक्लिडियन अंतरिक्ष स्थानों में बिंदुओं के पूर्णांक निर्देशांक में भी समानता होती है, जिसे प्रायः निर्देशांक के योग की समानता के रूप में परिभाषित किया जाता है। उदाहरण के लिए, फलक-केंद्रित घन क्रिस्टल प्रणाली घन जाली और इसका उच्च-आयामी जो सामान्यीकरण है, Dn जालक (समूह) , सभी पूर्णांक बिंदुओं से मिलकर बनता है जिनके निर्देशांकों का योग सम होता है।[8] यह सुविधा स्वयं शतरंज में प्रकट होती है, जहां वर्ग की समानता को उसके रंग से दर्शाया जाता है बिशप (शतरंज) समान समानता के वर्गों के बीच चलने के लिए विवश होते हैं, जबकि नाइट (शतरंज) चालों के बीच वैकल्पिक समानता रखते हैं।[9] समानता के इस रूप का प्रसिद्ध रूप से कटे-फटे शतरंज की समस्या को हल करने के लिए इस्तेमाल किया गया था यदि दो विपरीत कोने वाले वर्गों को शतरंज की बिसात से हटा दिया जाता है, तो शेष बोर्ड को डोमिनोज़ द्वारा कवर नहीं किया जा सकता है, क्योंकि प्रत्येक डोमिनोज़ प्रत्येक समानता के एक वर्ग को कवर करता है और दो और वर्ग होते हैं दूसरे की तुलना में एक समता का।[10]

सम और विषम अध्यादेशों को तब भी परिभाषित किया जा सकता है, जब संख्या सीमा क्रमसूचक हो, या एक सीमा क्रमसूचक प्लस परिमित सम संख्या हो, और अन्यथा विषम हो।[11] मान लीजिए कि R एक क्रमविनिमेय वलय है और R को एक आदर्श (रिंग थ्योरी) बना देता है, जिसका उपसमूह का सूचकांक 2 है। सह समुच्चय के तत्व कोसेट के तत्व होते हुए भी सम कहा जा सकता है विषम कहा जा सकता है। उदाहरण के रूप में, R = Z(2) को प्रमुख आदर्श (2) पर Z का स्थानीयकरण हो। तब 'आर' का एक तत्व सम या विषम है यदि और केवल यदि इसका अंश Z में है।

संख्या सिद्धांत

सम संख्याएँ पूर्णांकों के वलय (बीजगणित) में वलय आदर्श बनाती हैं,[12] लेकिन विषम संख्याएँ नहीं हैं—यह इस तथ्य से स्पष्ट है कि योग के लिए पहचान (गणित) तत्व, शून्य, केवल सम संख्याओं का तत्व है। एक पूर्णांक तब भी होता है जब यह 0 मॉड्यूलो इस आदर्श के अनुरूप होता है, दूसरे शब्दों में यदि यह 0 मॉड्यूलो 2 के अनुरूप, और विषम होता है, यदि यह 1 मॉड्यूलो 2 के अनुरूप होता है।

सभी अभाज्य संख्याएँ विषम हैं, एक अपवाद के साथ 2 अभाज्य संख्या[13] सभी ज्ञात पूर्ण संख्याएँ सम हैं, यह अज्ञात है कि कोई विषम पूर्ण संख्या मौजूद है या नहीं।[14]

गोल्डबैक के अनुमान में कहा गया है कि 2 से बड़ा प्रत्येक सम पूर्णांक को दो अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है। आधुनिक संगणक गणनाओं ने इस अनुमान को कम से कम 4 × 1018 तक के पूर्णांकों के लिए सही साबित किया है, लेकिन अभी भी कोई सामान्य गणितीय प्रमाण नहीं मिला है।[15]

समूह सिद्धांत

रूबिक का बदला सुलझी हुई अवस्था में

क्रमचय की समानता (जैसा कि सामान्य बीजगणित में परिभाषित किया गया है) उन स्थानान्तरण (गणित) की संख्या की समानता है जिसमें क्रमचय को विघटित किया जा सकता है।[16] उदाहरण के लिए (एबीसी) से (बीसीए) सम है क्योंकि यह ए और बी को फिर सी और ए (दो स्थानान्तरण) को स्वैप करके किया जा सकता है। यह दिखाया जा सकता है कि किसी भी क्रमचय को सम और विषम संख्या दोनों में विघटित नहीं किया जा सकता है। अतः उपरोक्त एक उपयुक्त परिभाषा है। रूबिक्स क्यूब, मेगामिनक्स और अन्य घुमावदार पहेलियों में, पहेली की चाल पहेली के टुकड़ों के केवल समान क्रमपरिवर्तन की अनुमति देती है, इसलिए इन पहेलियों के विन्यास स्थान को समझने में समानता महत्वपूर्ण है।[17]

फीट-थॉम्पसन प्रमेय कहता है कि परिमित समूह हमेशा हल करने योग्य होता है यदि उसका क्रम एक विषम संख्या है। यह उन्नत गणितीय प्रमेय में भूमिका निभाने वाली विषम संख्याओं का एक उदाहरण है जहाँ "विषम क्रम" की सरल परिकल्पना के अनुप्रयोग की विधि स्पष्ट से बहुत दूर है।[18]

विश्लेषण

सम और विषम फलन वर्णन करते हैं कि जब इसके तर्कों को उनके निषेधों के साथ बदल दिया जाता है तो इसके मूल्य कैसे बदलते हैं। एक सम फलन, जैसे किसी चर की सम घात, किसी भी तर्क के लिए उसके निषेध के समान परिणाम देता है। एक विषम फलन, जैसे किसी चर की विषम घात, किसी भी तर्क के लिए उस तर्क का निषेधन दिए जाने पर उसके परिणाम का निषेध देता है। यह संभव है कि कोई फलन न तो विषम हो और न ही सम हो, और स्थिति f(x) = 0 के लिए विषम और सम दोनों हो।[19] किसी सम फलन की टेलर श्रृंखला में केवल वे पद होते हैं जिनका घातांक सम संख्या है, और विषम फलन की टेलर श्रृंखला में केवल वे पद होते हैं जिनका घातांक एक विषम संख्या है।[20]

मिश्रित खेल सिद्धांत

मिश्रित खेल सिद्धांत में, एक ख़राब संख्या एक संख्या है जिसके बाइनरी प्रतिनिधित्व में 1 की संख्या भी होती है, और विषम संख्या एक संख्या होती है जिसके बाइनरी प्रतिनिधित्व में 1 की विषम संख्या होती है, ये संख्याएं खेल काइल्स की रणनीति में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है।[21] समानता फ़ंक्शन किसी संख्या को उसके द्विआधारी प्रतिनिधित्व, मॉड्यूलर अंकगणित में 1 की संख्या के लिए मैप करता है, इसलिए इसका मान दुष्ट संख्याओं के लिए शून्य और विषम संख्याओं के लिए एक है। थू-मोर्स अनुक्रम, 0 और 1 के अनंत क्रम में, स्थिति i में 0 होता है जब i ख़राब होता है, और उस स्थिति में 1 होता है जब i घृणित होता है।[22]

अतिरिक्त अनुप्रयोग

सूचना सिद्धांत में, द्विआधारी संख्या से जुड़ा एक समानता बिट त्रुटि का पता लगाने वाले कोड का सबसे सरलतम रूप प्रदान करता है। यदि परिणामी मान में बिट को बदल दिया जाता है, तो उसके पास अब सही समानता नहीं होगी, मूल संख्या में थोड़ा सा बदलने से यह दर्ज की गई की तुलना में एक अलग समानता देता है, और उस संख्या को नहीं बदलते हुए समता बिट को बदल देता है। फिर से व्युत्पन्न गलत परिणाम उत्पन्न करता है। इस तरह, सभी एकल-बिट संचरण त्रुटियों का विश्वसनीय रूप से पता लगाया जा सकता है।[23] कोड का पता लगाने में कुछ अधिक परिष्कृत त्रुटि भी मूल एन्कोडेड मान के बिट्स के सबसेट के लिए कई समानता बिट्स के उपयोग पर आधारित हैं।[24]

बेलनाकार छेद के साथ हवा के उपकरणों में और प्रभाव में एक छोर पर बंद हो जाता है, जैसे घोषणापत्र पर शहनाई , उत्पादित गुणवृत्ति मौलिक आवृत्ति के विषम गुणक होते हैं। (बेलनाकार पाइप दोनों सिरों पर खुले होते हैं, उदाहरण के लिए कुछ अंग बंद हो जाते हैं जैसे कुछ अंग बंद हो जाते हैं, हार्मोनिक्स दी गई बोर लंबाई के लिए समान आवृत्ति के गुणक भी होते हैं, लेकिन इसका मौलिक आवृत्ति का प्रभाव दोगुना हो जाता है और इस मौलिक आवृत्ति के सभी गुणकों का उत्पादन किया जा रहा है।) हार्मोनिक श्रृंखला (संगीत) देखें।[25]

कुछ देशों में घरों की संख्या इसलिए चुनी जाती है ताकि सड़क के एक तरफ के घरों की संख्या सम हो और दूसरी तरफ के घरों की संख्या विषम हो।[26] इसी तरह, संयुक्त राज्य अमेरिका के गिने हुए राजमार्गों में, सम संख्याएं मुख्य रूप से पूर्व-पश्चिम राजमार्गों को निर्दिष्ट करती हैं जबकि विषम संख्याएं मुख्य रूप से उत्तर-दक्षिण राजमार्गों को निर्दिष्ट करती हैं।[27] वायु-मार्ग उड़ान संख्याओं में, सम संख्याएं प्रायः पूर्व की ओर या उत्तर की ओर जाने वाली उड़ानों की पहचान करती हैं, और विषम संख्याएं प्रायः पश्चिम की ओर या दक्षिण की ओर जाने वाली उड़ानों की पहचान करती हैं।[28]

यह भी देखें


संदर्भ

  1. ↑ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 Vijaya, A.V.; Rodriguez, Dora, Figuring Out Mathematics, Pearson Education India, pp. 20–21, ISBN 9788131703571.
  2. ↑ Bóna, Miklós (2011), A Walk Through Combinatorics: An Introduction to Enumeration and Graph Theory, World Scientific, p. 178, ISBN 9789814335232.
  3. ↑ Owen, Ruth L. (1992), "Divisibility in bases" (PDF), The Pentagon: A Mathematics Magazine for Students, 51 (2): 17–20, archived from the original (PDF) on 2015-03-17.
  4. ↑ Bassarear, Tom (2010), Mathematics for Elementary School Teachers, Cengage Learning, p. 198, ISBN 9780840054630.
  5. ↑ Sidebotham, Thomas H. (2003), The A to Z of Mathematics: A Basic Guide, John Wiley & Sons, p. 181, ISBN 9780471461630.
  6. ↑ Pólya, George; Tarjan, Robert E.; Woods, Donald R. (2009), Notes on Introductory Combinatorics, Springer, pp. 21–22, ISBN 9780817649524.
  7. ↑ Tankha (2006), Ancient Greek Philosophy: Thales to Gorgias, Pearson Education India, p. 126, ISBN 9788177589399.
  8. ↑ Conway, J. H.; Sloane, N. J. A. (1999), Sphere packings, lattices and groups, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], vol. 290 (3rd ed.), New York: Springer-Verlag, p. 10, ISBN 978-0-387-98585-5, MR 1662447.
  9. ↑ Pandolfini, Bruce (1995), Chess Thinking: The Visual Dictionary of Chess Moves, Rules, Strategies and Concepts, Simon and Schuster, pp. 273–274, ISBN 9780671795023.
  10. ↑ Mendelsohn, N. S. (2004), "Tiling with dominoes", The College Mathematics Journal, 35 (2): 115–120, doi:10.2307/4146865, JSTOR 4146865.
  11. ↑ Bruckner, Andrew M.; Bruckner, Judith B.; Thomson, Brian S. (1997), Real Analysis, p. 37, ISBN 978-0-13-458886-5.
  12. ↑ Stillwell, John (2003), Elements of Number Theory, Springer, p. 199, ISBN 9780387955872.
  13. ↑ Lial, Margaret L.; Salzman, Stanley A.; Hestwood, Diana (2005), Basic College Mathematics (7th ed.), Addison Wesley, p. 128, ISBN 9780321257802.
  14. ↑ Dudley, Underwood (1992), "Perfect numbers", Mathematical Cranks, MAA Spectrum, Cambridge University Press, pp. 242–244, ISBN 9780883855072.
  15. ↑ Oliveira e Silva, Tomás; Herzog, Siegfried; Pardi, Silvio (2013), "Empirical verification of the even Goldbach conjecture, and computation of prime gaps, up to 4·1018" (PDF), Mathematics of Computation, 83 (288): 2033–2060, doi:10.1090/s0025-5718-2013-02787-1. In press.
  16. ↑ Cameron, Peter J. (1999), Permutation Groups, London Mathematical Society Student Texts, vol. 45, Cambridge University Press, pp. 26–27, ISBN 9780521653787.
  17. ↑ Joyner, David (2008), "13.1.2 Parity conditions", Adventures in Group Theory: Rubik's Cube, Merlin's Machine, and Other Mathematical Toys, JHU Press, pp. 252–253, ISBN 9780801897269.
  18. ↑ Bender, Helmut; Glauberman, George (1994), Local analysis for the odd order theorem, London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 188, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-45716-3, MR 1311244; Peterfalvi, Thomas (2000), Character theory for the odd order theorem, London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 272, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-64660-4, MR 1747393.
  19. ↑ Gustafson, Roy David; Hughes, Jeffrey D. (2012), College Algebra (11th ed.), Cengage Learning, p. 315, ISBN 9781111990909.
  20. ↑ Jain, R. K.; Iyengar, S. R. K. (2007), Advanced Engineering Mathematics, Alpha Science Int'l Ltd., p. 853, ISBN 9781842651858.
  21. ↑ Guy, Richard K. (1996), "Impartial games", Games of no chance (Berkeley, CA, 1994), Math. Sci. Res. Inst. Publ., vol. 29, Cambridge: Cambridge Univ. Press, pp. 61–78, MR 1427957. See in particular p. 68.
  22. ↑ Bernhardt, Chris (2009), "Evil twins alternate with odious twins" (PDF), Mathematics Magazine, 82 (1): 57–62, doi:10.4169/193009809x469084, JSTOR 27643161.
  23. ↑ Moser, Stefan M.; Chen, Po-Ning (2012), A Student's Guide to Coding and Information Theory, Cambridge University Press, pp. 19–20, ISBN 9781107015838.
  24. ↑ Berrou, Claude (2011), Codes and turbo codes, Springer, p. 4, ISBN 9782817800394.
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