लेवल सेट विधि: Difference between revisions

Latest revision as of 22:11, 7 December 2022

सर्पिल का वीडियो 2D में स्तर सेट (वक्रता प्रवाह) द्वारा प्रचारित किया जा रहा है। LHS शून्य-स्तरीय समाधान दिखाता है। RHS लेवल-सेट स्केलर फ़ील्ड दिखाता है।

स्तर-सेट विधि (एलएसएम) सतह (टोपोलॉजी) और आकृतियों के संख्यात्मक विश्लेषण के लिए एक उपकरण के रूप में स्तर सेट का उपयोग करने के लिए एक वैचारिक ढांचा है। स्तर-सेट मॉडल का लाभ यह है कि एक निश्चित कार्टेशियन ग्रिड पर वक्र और सतह टोपोलॉजी को शामिल करते हुए इन वस्तुओं को पैरामीट्रिक सतह के बिना संख्यात्मक संगणना कर सकता है इसे 'यूलेरियन दृष्टिकोण' कहा जाता है।^[1] साथ ही, लेवल-सेट पद्धति उन आकृतियों का अनुसरण करना बहुत आसान बना देती है जो टोपोलॉजी को बदल देती हैं, उदाहरण के लिए, जब कोई आकृति दो में विभाजित होती है, तथा छिद्र विकसित करती है, या इन परिचालनों को उलट देती है। ये सभी स्तर-सेट विधि के समय-भिन्न वस्तुओं, जैसे एयरबैग की मुद्रास्फीति, या पानी में तैरती तेल की बूंद के मॉडलिंग के लिए एक महान उपकरण बनाते हैं।

स्तर-सेट पद्धति का एक उदाहरण

दाईं ओर का आंकड़ा स्तर-सेट पद्धति के बारे में कई महत्वपूर्ण विचारों को दिखाता है। ऊपरी-बाएँ कोने में हमें एक आकृति दिखाई देती है; अर्थात्, एक सुव्यवस्थित सीमा के साथ एक घिरा हुआ क्षेत्र। इसके नीचे, लाल सतह स्तर सेट प्रोग्राम का ग्राफ़ है $\varphi$ इस आकार का निर्धारण, और सपाट नीला क्षेत्र xy तल का प्रतिनिधित्व करता है। आकृति की सीमा तब का शून्य-स्तर सेट है $\varphi$ , जबतक आकृति ही तल में बिंदुओं का समुच्चय है जिसके लिए $\varphi$ यह आकृति का आंतरिक भाग या शून्य सीमा पर सकारात्मक है ।

शीर्ष पंक्ति में हम आकृति को दो में विभाजित करके अपनी टोपोलॉजी को बदलते हुए देखते हैं। आकार की सीमा को मानक बनाकर और इसके विकास का अनुसरण करके इस परिवर्तन को संख्यात्मक रूप से वर्णित करना काफी कठिन होगा। किसी को एक एल्गोरिदम की आवश्यकता होगी जो आकार को दो में विभाजित करने के क्षण का पता लगाने में सक्षम हो, और फिर दो नए प्राप्त वक्रों के लिए पैरामीटर का निर्माण करे। दूसरी ओर, यदि हम नीचे की पंक्ति को देखते हैं, तो हम देखते हैं कि स्तर सेट प्रोग्राम केवल नीचे की ओर अनुवादित होता है। यह एक उदाहरण है कि जब किसी आकृति के साथ उसके स्तर-सेट प्रोग्राम के माध्यम से सीधे आकार के साथ काम करना बहुत आसान हो सकता है, जहां आकार का उपयोग करने के लिए सीधे उन सभी संभावित विकृतियों पर विचार करने और उन्हें संभालने की आवश्यकता होगी जो आकृति से गुजर सकती हैं।

इस प्रकार, दो आयामों में, स्तर-सेट विधि एक बंद वक्र का प्रतिनिधित्व करना $\Gamma$ के बराबर है (जैसे हमारे उदाहरण में आकृति सीमा है ) तथा एक सहायक फ़ंक्शन का उपयोग करके $\varphi$ , लेवल-सेट प्रोग्राम कहा जाता है। $\varphi$ द्वारा $\Gamma$ के शून्य-स्तर के सेट के रूप में दर्शाया गया है

\Gamma =\{(x,y)\mid \varphi (x,y)=0\},

और स्तर-सेट पद्धति में $\Gamma$ में निहित रूप से बदलाव होता है , समारोह के माध्यम से $\varphi$ यह माना जाता है कि वक्र द्वारा सीमांकित क्षेत्र $\Gamma$ के अंदर नकारात्मक मूल्य और बाहर सकारात्मक मान लेते हैं ।^[2]^[3]

स्तर-सेट समीकरण

यदि वक्र $\Gamma$ , $v$ गति के साथ सामान्य दिशा में चलता है तब लेवल-सेट प्रोगाम $\varphi$ स्तर-सेट समीकरण को संतुष्ट करता है

{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=v|\nabla \varphi |.

यहां, $|\cdot |$ पीडीई में एकल सलाखों द्वारा प्रथागत रूप से चिह्नित यूक्लिडियन मानदंड है और $t$ समय है। यह एक आंशिक अंतर समीकरण है, और विशेष रूप से एक हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण, संख्यात्मक रूप से कार्टेशियन ग्रिड पर परिमित अंतर का उपयोग करके।^[2]^[3] हल किया जा सकता है, उदाहरण के लिए - स्तर-सेट समीकरण के संख्यात्मक समाधान के लिए परिष्कृत तकनीकों की आवश्यकता होती है। सरल परिमित-अंतर विधियाँ जल्दी विफल हो जाती हैं। अपवाइंडिंग विधियाँ, जैसे गोडुनोव की योजना | यद्यपि, लेवल-सेट विधि आयतन के संरक्षण और संवहन क्षेत्र में सेट स्तर के आकार की गारंटी नहीं देती है जो आकार का संरक्षण करता है, उदाहरण के लिए - एकसमान या घूर्णी वेग क्षेत्र। इसके अतिरिक्त, स्तर सेट का आकार गंभीर रूप से विकृत हो सकता है, और स्तर सेट कई चरणों में गायब हो सकता है। इस कारण से, उच्च-क्रम परिमित-अंतर योजनाओं की सामान्यतः आवश्यकता होती है, जैसे कि उच्च-क्रम अनिवार्य रूप से गैर-दोलनकारी (ईएनओ) योजनाएं हैं, और फिर भी लंबे समय तक सिमुलेशन की व्यवहार्यता संदिग्ध है। इस कठिनाई से निपटने के लिए और अधिक परिष्कृत तरीके विकसित किए गए हैं, उदाहरण के लिए - वेग क्षेत्र द्वारा अनुरेखण मार्कर कणों के साथ स्तर-सेट विधि के संयोजन।^[4]

उदाहरण

एक यूनिट सर्कल पर विचार करें - ${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ अपने आप में एक स्थिर दर से सिकुड़ता है, अर्थात वृत्त की सीमा पर प्रत्येक बिंदु किसी निश्चित गति से सामान्य की ओर इशारा करते हुए अंदर की ओर बढ़ता है। वृत्त सिकुड़ जाएगा और अंत में एक बिंदु पर गिर जाएगा। यदि एक प्रारंभिक दूरी क्षेत्र का निर्माण किया जाता है अर्थात एक फ़ंक्शन जिसका मान प्रारंभिक वृत्त पर हस्ताक्षरित यूक्लिडियन दूरी जिसका आंतरिक नकारात्मक तथा सकारात्मक बाहरी है, तो इस क्षेत्र का सामान्यीकृत ढाल चक्र सामान्य होगा।

यदि फ़ील्ड में समय के साथ एक स्थिर मान घटाया जाता है, तो नए फ़ील्ड का शून्य स्तर (जो प्रारंभिक सीमा थी) भी गोलाकार होगा और इसी तरह एक बिंदु पर गिर जाएगा। यह एक निश्चित अग्र वेग के साथ ईकोनल समीकरण के प्रभावी रूप से अस्थायी एकीकरण होने के कारण है।

दहन में, इस विधि का उपयोग तात्कालिक ज्वाला सतह का वर्णन करने के लिए किया जाता है, जिसे G समीकरण के रूप में जाना जाता है।

इतिहास

स्तर-सेट विधि 1979 में एलेन डर्वीक्स द्वारा विकसित की गई थी,^[5] और बाद में स्टेनली ओशर और जेम्स सेथियन द्वारा लोकप्रिय किया गया। यह कई विषयों में लोकप्रिय हो गया है, जैसे मूर्ति प्रोद्योगिकी, कंप्यूटर ग्राफिक्स, कम्प्यूटेशनल ज्यामिति, ऑप्टिमाइज़ेशन (गणित), कम्प्यूटेशनल तरल सक्रिय और कम्प्यूटेशनल बायोलॉजी।

कंप्यूटर अनुप्रयोगों में स्तर-सेट विधि के उपयोग को सुविधाजनक बनाने के लिए कई स्तर सेट डेटा संरचनाएं विकसित की गई हैं।

अनुप्रयोग

कम्प्यूटेशनल तरल सक्रिय
दहन
प्रक्षेपवक्र योजना
अनुकूलन
मूर्ति प्रोद्योगिकी
कम्प्यूटेशनल बायोफिज़िक्स

कम्प्यूटेशनल द्रव गतिकी

दो अलग-अलग तरल पदार्थों के इंटरफेस में एक गणित मॉडल चलाने के लिए हमें तरल पदार्थों के बीच की अवस्था को नरम करने की जरूरत है। इसलिए हमें एक विशिष्ट कार्य लागू करने की आवश्यकता है: कॉम्पैक्ट लेवल सेट विधि।

एक "स्पिन ऑफ" के रूप में, कॉम्पैक्ट स्तर सेट विधि, स्तर सेट विधि का पूरक है, जो स्तर सेट विधि समीकरणों को हल करने में मदद करता है। इसका उपयोग प्रवाह के संख्यात्मक अनुकरण में किया जा सकता है, उदाहरण के लिए - यदि हम इंटरफ़ेस जल-वायु के विवेक के साथ काम कर रहे हैं, तो छठे क्रम पर कॉम्पैक्ट होता है, मोंटेइरो (2018) इंटरफ़ेस समीकरणों की सटीक और तेज़ गणना सुनिश्चित करता है ।

स्तर सेट विधि विभिन्न तरल पदार्थों का पता लगाने के लिए एक दूरी समारोह का उपयोग करता है। एक दूरी का कार्य वह है जिसका मूल्य उस बिंदु से सबसे छोटी दूरी का प्रतिनिधित्व करना है जहां इसका विश्लेषण इंटरफ़ेस में किया जा रहा है। यह दूरी प्रोग्राम आइसोलाइन (2D) या आइसोसर्फ़ेस (3D) द्वारा पहचाना जाता है, यह दर्शाता है कि ऋणात्मक मान एक तरल पदार्थ को संदर्भित करता है, सकारात्मक मान दूसरे को संदर्भित करता है और शून्य मान इंटरफ़ेस की स्थिति से मेल खाता है।

लेकिन, कॉम्पैक्ट लेवल सेट विधि में हीविसाइड प्रोग्राम कैसे डाला जाता है?

चूंकि इंटरफ़ेस पर विशिष्ट द्रव्यमान और चिपचिपाहट विच्छिन्न हैं, इंटरफ़ेस के पास तरल पदार्थ का पर्याप्त उपचार न होने पर अतिरिक्त प्रसार समस्या (इंटरफ़ेस चौड़ा करना) और संख्यात्मक दोलन दोनों की उम्मीद की जाती है। इन समस्याओं को कम करने के लिए, स्तर सेट विधि एक चिकनी, सेल से संबंधित हीविसाइड प्रोग्राम का उपयोग करती है जो इंटरफ़ेस स्थिति (∅ = 0) को स्पष्ट रूप से परिभाषित करती है।

इंटरफ़ेस में संक्रमण को सुचारू रखा जाता है, लेकिन सेल आकार के परिमाण के क्रम की मोटाई के साथ, जाल के बराबर लंबाई के पैमाने के साथ गड़बड़ी की शुरूआत से बचने के लिए, क्योंकि इंटरफ़ेस एक से अचानक कूद संपत्ति का अनुमान लगाता है सेल टू नेक्स्ट (अनवर्दी और ट्रिवगवासन, 1992)। प्रवाह के भौतिक गुणों का पुनर्निर्माण करने के लिए, जैसे कि विशिष्ट द्रव्यमान और चिपचिपाहट, एक अन्य चिन्हित प्रोग्राम, (∅), हीविसाइड प्रकार का उपयोग किया जाता है:

I(\varphi )={\begin{cases}0,&{\text{if }}\varphi <-\delta \Delta \\[8pt]{\dfrac {1}{2}}\left[1+{\dfrac {\varphi }{\delta \Delta }}+{\dfrac {1}{\pi }}\sin \left({\dfrac {\pi \varphi }{\delta \Delta }}\right)\right],&{\text{if }}|\varphi |\leq \delta \Delta \\[8pt]1,&{\text{if }}\varphi >\delta \Delta \end{cases}}

(1)

जहां δ एक अनुभवजन्य गुणांक है, सामान्यतयः 1 के बराबर होता है; δΔ समस्या का विशिष्ट विवेक है, जो अनुकरण की जाने वाली घटना के अनुसार भिन्न होता है। δΔ का मान तीन कोशिकाओं की मोटाई के साथ एक इंटरफ़ेस का प्रतिनिधित्व करता है, और इस प्रकार δΔ इंटरफ़ेस की आधी मोटाई का प्रतिनिधित्व करता है। ध्यान दें कि इस पद्धति में, इंटरफ़ेस की आभासी मोटाई होती है, क्योंकि यह एक चिकनी फ़ंक्शन द्वारा दर्शाया जाता है। विशिष्ट द्रव्यमान और कीनेमेटिक चिपचिपाहट जैसे भौतिक गुणों की गणना इस प्रकार की जाती है:

\rho =(1-I)\rho _{1}+I\rho _{2}\qquad e\qquad v=(1-I)v_{1}+Iv_{2}

(2)

जहां ρ₁, ρ₂, में ρ₁ और ρ₂ द्रव 1 और 2 के विशिष्ट द्रव्यमान और कीनेमेटिक चिपचिपाहट हैं। समीकरण 2 तरल पदार्थ के अन्य गुणों के अनुरूप लागू किया जा सकता है।

यह भी देखें

कंटूर बॉक्सप्लॉट
ज़ेबरा स्ट्रिपिंग (कंप्यूटर ग्राफिक्स)
जी समीकरण
उन्नत सिमुलेशन लाइब्रेरी
द्रव विधि की मात्रा
इमेज सेगमेंटेशन # लेवल-सेट तरीके
विसर्जित सीमा विधि
स्टोचैस्टिक यूलेरियन लैग्रैंगियन विधि
बी: जटिल विमान/जूलिया सेट में फ्रैक्टल्स/पुनरावृत्ति | गतिशील विमान ड्राइंग के लिए एलएसएम/जे स्तर-सेट विधि
बी: कॉम्प्लेक्स प्लेन में फ्रैक्टल्स/पुनरावृत्ति/मैंडलब्रॉट सेट | एलएसएम/एम लेवल-सेट विधि ड्राइंग पैरामीटर प्लेन के लिए
स्तर सेट (डेटा संरचनाएं)

संदर्भ

↑ Osher, S.; Sethian, J. A. (1988), "Fronts propagating with curvature-dependent speed: Algorithms based on Hamilton–Jacobi formulations" (PDF), J. Comput. Phys., 79 (1): 12–49, Bibcode:1988JCoPh..79...12O, CiteSeerX 10.1.1.46.1266, doi:10.1016/0021-9991(88)90002-2, hdl:10338.dmlcz/144762
↑ ^2.0 ^2.1 Osher, Stanley J.; Fedkiw, Ronald P. (2002). लेवल सेट मेथड्स और डायनामिक इंप्लिसिट सरफेस. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95482-0.
↑ ^3.0 ^3.1 Sethian, James A. (1999). लेवल सेट मेथड्स और फास्ट मार्चिंग मेथड्स: कम्प्यूटेशनल ज्योमेट्री, फ्लुइड मैकेनिक्स, कंप्यूटर विजन और मैटेरियल्स साइंस में इंटरफेस विकसित करना. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-64557-7.
↑ Enright, D.; Fedkiw, R. P.; Ferziger, J. H.; Mitchell, I. (2002), "A hybrid particle level set method for improved interface capturing" (PDF), J. Comput. Phys., 183 (1): 83–116, Bibcode:2002JCoPh.183...83E, CiteSeerX 10.1.1.15.910, doi:10.1006/jcph.2002.7166
↑ Dervieux, A.; Thomasset, F. (1980). "A finite element method for the simulation of a Rayleigh-Taylor instability". नेवियर-स्टोक्स समस्याओं के लिए सन्निकटन के तरीके. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 771. Springer. pp. 145–158. doi:10.1007/BFb0086904. ISBN 978-3-540-38550-9.

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

आकार
आंशिक विभेदक समीकरण
अनिवार्य रूप से गैर-दोलनशील
इकोनल समीकरण
जी समीकरण
अनुकूलन (गणित)
ज़ेबरा स्ट्राइपिंग (कंप्यूटर ग्राफिक्स)

बाहरी संबंध

See Ronald Fedkiw's academic web page for many stunning pictures and animations showing how the level-set method can be used to model real-life phenomena, like fire, water, cloth, fracturing materials, etc.
Multivac is a C++ library for front tracking in 2D with level-set methods.
James Sethian's web page on level-set method.
Stanley Osher's homepage.

[1] Osher, S.; Sethian, J. A. (1988), "Fronts propagating with curvature-dependent speed: Algorithms based on Hamilton–Jacobi formulations" (PDF), J. Comput. Phys., 79 (1): 12–49, Bibcode:1988JCoPh..79...12O, CiteSeerX 10.1.1.46.1266, doi:10.1016/0021-9991(88)90002-2, hdl:10338.dmlcz/144762

[osher-2] 2.0 ^2.1 Osher, Stanley J.; Fedkiw, Ronald P. (2002). लेवल सेट मेथड्स और डायनामिक इंप्लिसिट सरफेस. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95482-0.

[sethian-3] 3.0 ^3.1 Sethian, James A. (1999). लेवल सेट मेथड्स और फास्ट मार्चिंग मेथड्स: कम्प्यूटेशनल ज्योमेट्री, फ्लुइड मैकेनिक्स, कंप्यूटर विजन और मैटेरियल्स साइंस में इंटरफेस विकसित करना. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-64557-7.

[4] Enright, D.; Fedkiw, R. P.; Ferziger, J. H.; Mitchell, I. (2002), "A hybrid particle level set method for improved interface capturing" (PDF), J. Comput. Phys., 183 (1): 83–116, Bibcode:2002JCoPh.183...83E, CiteSeerX 10.1.1.15.910, doi:10.1006/jcph.2002.7166

[5] Dervieux, A.; Thomasset, F. (1980). "A finite element method for the simulation of a Rayleigh-Taylor instability". नेवियर-स्टोक्स समस्याओं के लिए सन्निकटन के तरीके. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 771. Springer. pp. 145–158. doi:10.1007/BFb0086904. ISBN 978-3-540-38550-9.

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-[[File:Levelset-mean-curvature-spiral.ogv|thumb|सर्पिल का वीडियो 2डी में लेवल सेट ([[वक्रता प्रवाह]]) द्वारा प्रचारित किया जा रहा है। एलएचएस शून्य-स्तरीय समाधान दिखाता है। RHS लेवल-सेट स्केलर फ़ील्ड दिखाता है।]]स्तर-सेट विधि (एलएसएम) [[सतह (टोपोलॉजी)]] और आकृतियों के [[संख्यात्मक विश्लेषण]] के लिए एक उपकरण के रूप में  [[लेवल सेट|स्तर सेट]] का उपयोग करने के लिए एक वैचारिक ढांचा है। स्तर-सेट मॉडल का लाभ यह है कि एक निश्चित [[कार्टेशियन ग्रिड]] पर [[वक्र]] और सतह टोपोलॉजी को शामिल करते हुए इन वस्तुओं को [[पैरामीट्रिक सतह]] के बिना संख्यात्मक संगणना कर सकता है  इसे 'यूलेरियन दृष्टिकोण' कहा जाता है।<ref>{{Citation
+[[File:Levelset-mean-curvature-spiral.ogv|thumb|सर्पिल का वीडियो 2D में स्तर सेट ([[वक्रता प्रवाह]]) द्वारा प्रचारित किया जा रहा है। LHS शून्य-स्तरीय समाधान दिखाता है। RHS लेवल-सेट स्केलर फ़ील्ड दिखाता है।]]स्तर-सेट विधि (एलएसएम) [[सतह (टोपोलॉजी)]] और आकृतियों के [[संख्यात्मक विश्लेषण]] के लिए एक उपकरण के रूप में  [[लेवल सेट|स्तर सेट]] का उपयोग करने के लिए एक वैचारिक ढांचा है। स्तर-सेट मॉडल का लाभ यह है कि एक निश्चित [[कार्टेशियन ग्रिड]] पर [[वक्र]] और सतह टोपोलॉजी को शामिल करते हुए इन वस्तुओं को [[पैरामीट्रिक सतह]] के बिना संख्यात्मक संगणना कर सकता है  इसे 'यूलेरियन दृष्टिकोण' कहा जाता है।<ref>{{Citation
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   | title = Fronts propagating with curvature-dependent speed: Algorithms based on Hamilton–Jacobi formulations
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 इस प्रकार, दो आयामों में, स्तर-सेट विधि एक [[बंद वक्र]] का प्रतिनिधित्व करना  <math>\Gamma</math> के बराबर है  (जैसे हमारे उदाहरण में आकृति सीमा है ) तथा  एक सहायक फ़ंक्शन का उपयोग करके <math>\varphi</math>, लेवल-सेट प्रोग्राम कहा जाता है। <math>\varphi</math> द्वारा <math>\Gamma</math> के शून्य-स्तर के सेट के रूप में दर्शाया गया है
 :<math>\Gamma = \{(x, y) \mid \varphi(x, y) = 0 \},</math>
-और स्तर-सेट पद्धति में बदलाव होता है <math>\Gamma</math> निहित रूप से, समारोह के माध्यम से <math>\varphi</math> यह  माना जाता है कि वक्र द्वारा सीमांकित क्षेत्र <math>\Gamma</math>  के अंदर  नकारात्मक मूल्य और बाहर सकारात्मक मान लेते हैं ।<ref name="osher" /><ref name="sethian" />
+और स्तर-सेट पद्धति में <math>\Gamma</math> में निहित रूप से बदलाव होता है , समारोह के माध्यम से <math>\varphi</math> यह  माना जाता है कि वक्र द्वारा सीमांकित क्षेत्र <math>\Gamma</math>  के अंदर  नकारात्मक मूल्य और बाहर सकारात्मक मान लेते हैं ।<ref name="osher">{{cite book |last=Osher |first=Stanley J. | authorlink = Stanley Osher |author2=Fedkiw, Ronald P. |authorlink2=Ronald Fedkiw  |title=लेवल सेट मेथड्स और डायनामिक इंप्लिसिट सरफेस|publisher=[[Springer-Verlag]] |year=2002 |isbn= 978-0-387-95482-0}}</ref><ref name="sethian">{{cite book |last=Sethian |first=James A. | authorlink = James Sethian |title= लेवल सेट मेथड्स और फास्ट मार्चिंग मेथड्स: कम्प्यूटेशनल ज्योमेट्री, फ्लुइड मैकेनिक्स, कंप्यूटर विजन और मैटेरियल्स साइंस में इंटरफेस विकसित करना|publisher=[[Cambridge University Press]] |year=1999 |isbn= 978-0-521-64557-7}}</ref>
 == स्तर-सेट समीकरण ==
-यदि वक्र <math>\Gamma</math> गति के साथ सामान्य दिशा में चलता है <math>v</math>, फिर लेवल-सेट प्रोगाम <math>\varphi</math> स्तर-सेट समीकरण को संतुष्ट करता है
+यदि वक्र <math>\Gamma</math>, <math>v</math> गति के साथ सामान्य दिशा में चलता है  तब लेवल-सेट प्रोगाम <math>\varphi</math> स्तर-सेट समीकरण को संतुष्ट करता है
 :<math>\frac{\partial\varphi}{\partial t} = v|\nabla \varphi|.</math>
-यहां, <math>|\cdot|</math> [[यूक्लिडियन मानदंड]] है (पीडीई में एकल सलाखों द्वारा प्रथागत रूप से चिह्नित), और <math>t</math> यह समय है। यह एक आंशिक अंतर समीकरण है, विशेष रूप से एक हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण, और संख्यात्मक रूप से हल किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, कार्टेशियन ग्रिड पर [[परिमित अंतर]] का उपयोग करके।<ref name=osher>{{cite book |last=Osher |first=Stanley J. | authorlink = Stanley Osher |author2=Fedkiw, Ronald P. |authorlink2=Ronald Fedkiw  |title=लेवल सेट मेथड्स और डायनामिक इंप्लिसिट सरफेस|publisher=[[Springer-Verlag]] |year=2002 |isbn= 978-0-387-95482-0}}</ref><ref name=sethian>{{cite book |last=Sethian |first=James A. | authorlink = James Sethian |title= लेवल सेट मेथड्स और फास्ट मार्चिंग मेथड्स: कम्प्यूटेशनल ज्योमेट्री, फ्लुइड मैकेनिक्स, कंप्यूटर विजन और मैटेरियल्स साइंस में इंटरफेस विकसित करना|publisher=[[Cambridge University Press]] |year=1999 |isbn= 978-0-521-64557-7}}</ref>
+यहां, <math>|\cdot|</math>पीडीई में एकल सलाखों द्वारा प्रथागत रूप से चिह्नित [[यूक्लिडियन मानदंड]] है  और <math>t</math> समय है। यह एक आंशिक अंतर समीकरण है, और विशेष रूप से एक हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण,  संख्यात्मक रूप से कार्टेशियन ग्रिड पर [[परिमित अंतर]] का उपयोग करके।<ref name="osher" /><ref name="sethian" /> हल किया जा सकता है, उदाहरण के लिए -  स्तर-सेट समीकरण के संख्यात्मक समाधान के लिए परिष्कृत तकनीकों की आवश्यकता होती है। सरल परिमित-अंतर विधियाँ जल्दी विफल हो जाती हैं। [[अपवाइंडिंग]] विधियाँ, जैसे गोडुनोव की योजना | यद्यपि, लेवल-सेट विधि आयतन के संरक्षण और संवहन क्षेत्र में सेट स्तर के आकार की गारंटी नहीं देती है जो आकार का संरक्षण करता है, उदाहरण के लिए - एकसमान या घूर्णी वेग क्षेत्र। इसके अतिरिक्त, स्तर सेट का आकार गंभीर रूप से विकृत हो सकता है, और स्तर सेट कई चरणों में गायब हो सकता है। इस कारण से, उच्च-क्रम परिमित-अंतर योजनाओं की सामान्यतः आवश्यकता होती है, जैसे कि उच्च-क्रम अनिवार्य रूप से गैर-दोलनकारी (ईएनओ) योजनाएं हैं, और फिर भी लंबे समय तक सिमुलेशन की व्यवहार्यता संदिग्ध है। इस कठिनाई से निपटने के लिए और अधिक परिष्कृत तरीके विकसित किए गए हैं, उदाहरण के लिए - वेग क्षेत्र द्वारा अनुरेखण मार्कर कणों के साथ स्तर-सेट विधि के संयोजन।<ref>{{Citation
-हालाँकि, स्तर-सेट समीकरण के संख्यात्मक समाधान के लिए परिष्कृत तकनीकों की आवश्यकता होती है। सरल परिमित-अंतर विधियाँ जल्दी विफल हो जाती हैं। [[अपवाइंडिंग]] विधियाँ, जैसे गोडुनोव की योजना, बेहतर किराया; हालाँकि, लेवल-सेट विधि आयतन के संरक्षण और संवहन क्षेत्र में सेट स्तर के आकार की गारंटी नहीं देती है जो आकार और आकार का संरक्षण करता है, उदाहरण के लिए, एकसमान या घूर्णी वेग क्षेत्र। इसके अतिरिक्त, स्तर सेट का आकार गंभीर रूप से विकृत हो सकता है, और स्तर सेट कई चरणों में गायब हो सकता है। इस कारण से, उच्च-क्रम परिमित-अंतर योजनाओं की सामान्यतः आवश्यकता होती है, जैसे कि उच्च-क्रम अनिवार्य रूप से गैर-दोलनकारी (ईएनओ) योजनाएं, और फिर भी लंबे समय तक सिमुलेशन की व्यवहार्यता संदिग्ध है। इस कठिनाई से निपटने के लिए और अधिक परिष्कृत तरीके विकसित किए गए हैं, उदाहरण के लिए, वेग क्षेत्र द्वारा अनुरेखण मार्कर कणों के साथ स्तर-सेट विधि के संयोजन।<ref>{{Citation
   | last1 = Enright  | first1 = D. | last2 = Fedkiw | first2 = R. P.
   | last3 = Ferziger | first3 = J. H. | authorlink3 = Joel H. Ferziger
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 ==उदाहरण==
-एक यूनिट सर्कल पर विचार करें <math display="inline">\mathbb{R}^2</math>, अपने आप में एक स्थिर दर से सिकुड़ता है, अर्थात वृत्त की सीमा पर प्रत्येक बिंदु किसी निश्चित गति से सामान्य की ओर इशारा करते हुए अंदर की ओर बढ़ता है। वृत्त सिकुड़ जाएगा और अंत में एक बिंदु पर गिर जाएगा। यदि एक प्रारंभिक दूरी क्षेत्र का निर्माण किया जाता है अर्थात एक फ़ंक्शन जिसका मान प्रारंभिक वृत्त पर हस्ताक्षरित यूक्लिडियन दूरी, सकारात्मक आंतरिक, नकारात्मक बाहरी है, तो इस क्षेत्र का सामान्यीकृत ढाल चक्र सामान्य होगा।
+एक यूनिट सर्कल पर विचार करें - <math display="inline">\mathbb{R}^2</math>अपने आप में एक स्थिर दर से सिकुड़ता है, अर्थात वृत्त की सीमा पर प्रत्येक बिंदु किसी निश्चित गति से सामान्य की ओर इशारा करते हुए अंदर की ओर बढ़ता है। वृत्त सिकुड़ जाएगा और अंत में एक बिंदु पर गिर जाएगा। यदि एक प्रारंभिक दूरी क्षेत्र का निर्माण किया जाता है अर्थात एक फ़ंक्शन जिसका मान प्रारंभिक वृत्त पर हस्ताक्षरित यूक्लिडियन दूरी जिसका आंतरिक नकारात्मक तथा सकारात्मक बाहरी है, तो इस क्षेत्र का सामान्यीकृत ढाल चक्र सामान्य होगा।
 यदि फ़ील्ड में समय के साथ एक स्थिर मान घटाया जाता है, तो नए फ़ील्ड का शून्य स्तर (जो प्रारंभिक सीमा थी) भी गोलाकार होगा और इसी तरह एक बिंदु पर गिर जाएगा। यह एक निश्चित अग्र वेग के साथ ईकोनल समीकरण के प्रभावी रूप से अस्थायी एकीकरण होने के कारण है।
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 स्तर-सेट विधि 1979 में एलेन डर्वीक्स द्वारा विकसित की गई थी,<ref>{{cite book |last1=Dervieux |first1=A. |last2=Thomasset |first2=F. |chapter=A finite element method for the simulation of a Rayleigh-Taylor instability |chapter-url= |title=नेवियर-स्टोक्स समस्याओं के लिए सन्निकटन के तरीके|publisher=Springer |series=Lecture Notes in Mathematics |volume=771 |date=1980 |isbn=978-3-540-38550-9 |pages=145–158 |doi=10.1007/BFb0086904 }}</ref> और बाद में [[स्टेनली ओशर]] और [[जेम्स सेथियन]] द्वारा लोकप्रिय किया गया। यह कई विषयों में लोकप्रिय हो गया है, जैसे [[मूर्ति प्रोद्योगिकी]], [[कंप्यूटर ग्राफिक्स]], [[कम्प्यूटेशनल ज्यामिति]], ऑप्टिमाइज़ेशन (गणित), [[कम्प्यूटेशनल तरल सक्रिय]] और [[कम्प्यूटेशनल बायोलॉजी]]।
-कंप्यूटर अनुप्रयोगों में स्तर-सेट विधि के उपयोग को सुविधाजनक बनाने के लिए कई [[स्तर सेट (डेटा संरचनाएं)]] | स्तर-सेट डेटा संरचनाएं विकसित की गई हैं।
+कंप्यूटर अनुप्रयोगों में स्तर-सेट विधि के उपयोग को सुविधाजनक बनाने के लिए कई [[स्तर सेट (डेटा संरचनाएं)|स्तर सेट डेटा संरचनाएं]]  विकसित की गई हैं।
 ==अनुप्रयोग==
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 ==कम्प्यूटेशनल द्रव गतिकी==
 {{unreferenced section|date=August 2022}}
-दो अलग-अलग तरल पदार्थों के इंटरफेस में एक गणित मॉडल चलाने के लिए हमें तरल पदार्थों के बीच की बातचीत को नरम करने की जरूरत है। इसलिए हमें एक विशिष्ट कार्य लागू करने की आवश्यकता है: कॉम्पैक्ट लेवल सेट विधि।
+दो अलग-अलग तरल पदार्थों के इंटरफेस में एक गणित मॉडल चलाने के लिए हमें तरल पदार्थों के बीच की अवस्था को नरम करने की जरूरत है। इसलिए हमें एक विशिष्ट कार्य लागू करने की आवश्यकता है: कॉम्पैक्ट लेवल सेट विधि।
-एक "स्पिन ऑफ" के रूप में, कॉम्पैक्टएलएसएम एलएसएम का पूरक है, जो एलएसएम समीकरणों को हल करने में मदद करता है। इसका उपयोग प्रवाह के संख्यात्मक अनुकरण में किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, यदि हम इंटरफ़ेस जल-वायु के विवेक के साथ काम कर रहे हैं, तो छठे क्रम पर कॉम्पैक्ट होता है, इंटरफ़ेस समीकरणों की सटीक और तेज़ गणना सुनिश्चित करता है (मोंटेइरो 2018)।
+एक "स्पिन ऑफ" के रूप में, कॉम्पैक्ट स्तर सेट विधि, स्तर सेट विधि का पूरक है, जो स्तर सेट विधि समीकरणों को हल करने में मदद करता है। इसका उपयोग प्रवाह के संख्यात्मक अनुकरण में किया जा सकता है, उदाहरण के लिए - यदि हम इंटरफ़ेस जल-वायु के विवेक के साथ काम कर रहे हैं, तो छठे क्रम पर कॉम्पैक्ट होता है, मोंटेइरो (2018) इंटरफ़ेस समीकरणों की सटीक और तेज़ गणना सुनिश्चित करता है ।
-एलएसएम विभिन्न तरल पदार्थों का पता लगाने के लिए एक दूरी समारोह का उपयोग करता है। एक दूरी का कार्य वह है जिसका मूल्य उस बिंदु से सबसे छोटी दूरी का प्रतिनिधित्व करता है जहां इसका विश्लेषण इंटरफ़ेस में किया जा रहा है। यह दूरी प्रोग्राम आइसोलाइन (2D) या आइसोसर्फ़ेस (3D) द्वारा पहचाना जाता है, यह दर्शाता है कि ऋणात्मक मान एक तरल पदार्थ को संदर्भित करता है, सकारात्मक मान दूसरे को संदर्भित करता है और शून्य मान इंटरफ़ेस की स्थिति से मेल खाता है।
+स्तर सेट विधि विभिन्न तरल पदार्थों का पता लगाने के लिए एक दूरी समारोह का उपयोग करता है। एक दूरी का कार्य वह है जिसका मूल्य उस बिंदु से सबसे छोटी दूरी का प्रतिनिधित्व करना है जहां इसका विश्लेषण इंटरफ़ेस में किया जा रहा है। यह दूरी प्रोग्राम आइसोलाइन (2D) या आइसोसर्फ़ेस (3D) द्वारा पहचाना जाता है, यह दर्शाता है कि ऋणात्मक मान एक तरल पदार्थ को संदर्भित करता है, सकारात्मक मान दूसरे को संदर्भित करता है और शून्य मान इंटरफ़ेस की स्थिति से मेल खाता है।
-लेकिन, कॉम्पैक्ट लेवल सेट विधि में हीविसाइड प्रोग्राम कैसे डाला जाता है?
+लेकिन, '''कॉम्पैक्ट लेवल सेट विधि में हीविसाइड प्रोग्राम कैसे डाला जाता है?'''
 चूंकि इंटरफ़ेस पर विशिष्ट द्रव्यमान और चिपचिपाहट विच्छिन्न हैं, इंटरफ़ेस के पास तरल पदार्थ का पर्याप्त उपचार न होने पर अतिरिक्त प्रसार समस्या (इंटरफ़ेस चौड़ा करना) और संख्यात्मक दोलन दोनों की उम्मीद की जाती है। इन समस्याओं को कम करने के लिए, स्तर सेट विधि एक चिकनी, सेल से संबंधित हीविसाइड प्रोग्राम का उपयोग करती है जो इंटरफ़ेस स्थिति (∅ = 0) को स्पष्ट रूप से परिभाषित करती है।
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 \end{cases}</math>|{{EquationRef|1}}}}
-जहां δ एक अनुभवजन्य गुणांक है, सामान्यतयः 1 के बराबर होता है; 5 और Δ समस्या का विशिष्ट विवेक है, जो अनुकरण की जाने वाली घटना के अनुसार भिन्न होता है। δ का मान तीन कोशिकाओं की मोटाई के साथ एक इंटरफ़ेस का प्रतिनिधित्व करता है, और इस प्रकार δΔ इंटरफ़ेस की आधी मोटाई का प्रतिनिधित्व करता है। ध्यान दें कि इस पद्धति में, इंटरफ़ेस की आभासी मोटाई होती है, क्योंकि यह एक चिकनी फ़ंक्शन द्वारा दर्शाया जाता है। विशिष्ट द्रव्यमान और कीनेमेटिक चिपचिपाहट जैसे भौतिक गुणों की गणना इस प्रकार की जाती है:
+जहां δ एक अनुभवजन्य गुणांक है, सामान्यतयः 1 के बराबर होता है; δΔ समस्या का विशिष्ट विवेक है, जो अनुकरण की जाने वाली घटना के अनुसार भिन्न होता है। δΔ का मान तीन कोशिकाओं की मोटाई के साथ एक इंटरफ़ेस का प्रतिनिधित्व करता है, और इस प्रकार δΔ इंटरफ़ेस की आधी मोटाई का प्रतिनिधित्व करता है। ध्यान दें कि इस पद्धति में, इंटरफ़ेस की आभासी मोटाई होती है, क्योंकि यह एक चिकनी फ़ंक्शन द्वारा दर्शाया जाता है। विशिष्ट द्रव्यमान और कीनेमेटिक चिपचिपाहट जैसे भौतिक गुणों की गणना इस प्रकार की जाती है:
 {{NumBlk|:| <math>\rho = (1-I)\rho_1+I\rho_2 \qquad e\qquad v=(1-I)v_1+Iv_2 </math>|{{EquationRef|2}}}}
-जहां ρ<sub>1</sub>, आर<sub>2</sub>, में<sub>1</sub> और वी<sub>2</sub> द्रव 1 और 2 के विशिष्ट द्रव्यमान और कीनेमेटिक चिपचिपाहट हैं। समीकरण {{EquationNote|2}} तरल पदार्थ के अन्य गुणों के अनुरूप लागू किया जा सकता है।
+जहां ρ<sub>1</sub>, ρ<sub>2</sub>, में ρ<sub>1</sub> और ρ<sub>2</sub> द्रव 1 और 2 के विशिष्ट द्रव्यमान और कीनेमेटिक चिपचिपाहट हैं। समीकरण {{EquationNote|2}} तरल पदार्थ के अन्य गुणों के अनुरूप लागू किया जा सकता है।
 ==यह भी देखें==
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 {{Numerical PDE}}
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