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स्थिर चौड़ाई का वक्र: Difference between revisions

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[[File:Reuleaux supporting lines.svg|thumb|समांतर [[सहायक रेखा]]ओं के बीच की दूरी के रूप में रेलॉक्स त्रिभुज की चौड़ाई को मापना। क्योंकि यह दूरी रेखाओं की दिशा पर निर्भर नहीं करती है, रेउलेक्स त्रिकोण निरंतर चौड़ाई का एक वक्र है।]][[ज्यामिति]] में, स्थिर चौड़ाई का एक वक्र समतल (ज्यामिति) में एक [[सरल बंद वक्र]] होता है जिसकी चौड़ाई (समानांतर सहायक रेखाओं के बीच की दूरी) सभी दिशाओं में समान होती है। निरंतर चौड़ाई के एक वक्र से घिरा आकार निरंतर चौड़ाई या एक कक्षीय पिंड है, इन आकृतियों को यह नाम [[लियोनहार्ड यूलर]] द्वारा दिया गया है।{{r|euler}} मानक उदाहरण हैं वृत्त और रेलेक्स त्रिभुज। इन वक्रों का निर्माण [[रेखाओं की व्यवस्था]] के क्रॉसिंग पर केंद्रित वृत्ताकार चापों का उपयोग करके भी किया जा सकता है, जैसे कि कुछ वक्रों का समावेश, या आंशिक वक्र पर केंद्रित वृत्तों को काटकर।
[[File:Reuleaux supporting lines.svg|thumb|समांतर [[सहायक रेखा]]ओं के बीच की दूरी के रूप में रीलॉक्स त्रिभुज की चौड़ाई को मापना। क्योंकि यह दूरी रेखाओं की दिशा पर निर्भर नहीं करती है, रेउलेक्स त्रिकोण निरंतर चौड़ाई का एक वक्र है।]][[ज्यामिति]] में, स्थिर चौड़ाई का एक वक्र समतल में एक [[सरल बंद वक्र]] होता है जिसकी चौड़ाई (समानांतर सहायक रेखाओं के बीच की दूरी) सभी दिशाओं में समान होती है। निरंतर चौड़ाई के एक वक्र से घिरा आकार निरंतर चौड़ाई या एक कक्षीय पिंड है, इन आकृतियों को यह नाम [[लियोनहार्ड यूलर]] द्वारा दिया गया है।{{r|euler}} मानक उदाहरण हैं वृत्त और रीलॉक्स त्रिभुज। इन वक्रों का निर्माण [[रेखाओं की व्यवस्था]] के रेखन पर केंद्रित वृत्ताकार चापों का उपयोग करके भी किया जा सकता है, जैसे कि कुछ वक्रों का समावेश, या आंशिक वक्र पर केंद्रित वृत्तों को काटकर।


निरंतर चौड़ाई का प्रत्येक पिंड एक [[उत्तल सेट]] है, इसकी सीमा किसी भी रेखा द्वारा अधिकतम दो बार पार की जाती है, और यदि रेखा लंबवत रूप से पार करती है, तो यह चौड़ाई से अलग दोनों क्रॉसिंग पर ऐसा करती है। बारबियर के प्रमेय के अनुसार, शरीर की परिधि ठीक पाई है{{pi}}इसकी चौड़ाई से कई गुना, लेकिन इसका क्षेत्रफल इसके आकार पर निर्भर करता है, रेलेक्स त्रिकोण के साथ इसकी चौड़ाई के लिए सबसे छोटा संभव क्षेत्र है और सबसे बड़ा वृत्त है। निरंतर चौड़ाई के शरीर के प्रत्येक सुपरसेट में बिंदुओं के जोड़े शामिल होते हैं जो चौड़ाई से अलग होते हैं, और निरंतर चौड़ाई के प्रत्येक वक्र में चरम वक्रता के कम से कम छह बिंदु शामिल होते हैं। हालांकि रीलॉक्स त्रिकोण चिकना नहीं है, निरंतर चौड़ाई के घटता को हमेशा उसी निरंतर चौड़ाई के चिकने वक्र द्वारा मनमाने ढंग से बारीकी से अनुमानित किया जा सकता है।
निरंतर चौड़ाई का प्रत्येक पिंड एक [[उत्तल सेट|उत्तल समुच्चय]] है, इसकी '''सीमा''' किसी भी रेखा द्वारा अधिकतम दो बार पार की जाती है, और यदि रेखा लंबवत रूप से पार करती है, तो यह चौड़ाई से अलग दोनों रेखन पर ऐसा करती है। बारबियर के प्रमेय के अनुसार, शरीर की परिधि इसकी चौड़ाई का ठीक π गुना है, लेकिन इसका क्षेत्रफल इसके आकार पर निर्भर करता है, रीलॉक्स त्रिकोण के साथ इसकी चौड़ाई के लिए सबसे छोटा संभव क्षेत्र है और सबसे बड़ा वृत्त है। निरंतर चौड़ाई के शरीर के प्रत्येक अधिसमुच्चय में बिंदुओं के जोड़े शामिल होते हैं जो चौड़ाई से अलग होते हैं, और निरंतर चौड़ाई के प्रत्येक वक्र में चरम वक्रता के कम से कम छह बिंदु शामिल होते हैं। हालांकि रीलॉक्स त्रिकोण चिकना नहीं है, निरंतर चौड़ाई के वक्र को हमेशा उसी निरंतर चौड़ाई के चिकने वक्र द्वारा मनमाने ढंग से बारीकी से अनुमानित किया जा सकता है।


स्थिर-चौड़ाई वाले क्रॉस-सेक्शन वाले सिलिंडरों को समतल सतह का समर्थन करने के लिए रोलर्स के रूप में उपयोग किया जा सकता है। स्थिर चौड़ाई के घटता का एक अन्य अनुप्रयोग सिक्के के आकार के लिए है, जहां नियमित रीलॉक्स बहुभुज एक आम पसंद हैं। संभावना है कि मंडलियों के अलावा अन्य वक्रों की निरंतर चौड़ाई हो सकती है, जिससे [[गोलाई (वस्तु)]] की जांच करना अधिक जटिल हो जाता है।
स्थिर-चौड़ाई वाले अनुप्रस्थ काट वाले बेलनाकार(सिलिंडरों) को समतल सतह का समर्थन करने के लिए बेल्लोर्मि(रोलर्स) के रूप में उपयोग किया जा सकता है। स्थिर चौड़ाई के वक्र का एक अन्य अनुप्रयोग सिक्के के आकार के लिए है, जहां नियमित रीलॉक्स बहुभुज एक आम पसंद हैं। संभावना है कि मंडलियों के अलावा अन्य वक्रों की निरंतर चौड़ाई हो सकती है, जिससे किसी वस्तु की [[गोलाई (वस्तु)|गोलाई]] की जांच करना अधिक जटिल हो जाता है।


उच्च आयामों और [[गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति]] के लिए निरंतर चौड़ाई के वक्रों को कई तरह से सामान्यीकृत किया गया है।
उच्च आयामों और [[गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति]] के लिए निरंतर चौड़ाई के वक्रों को कई तरह से सामान्यीकृत किया गया है।
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== परिभाषाएँ ==
== परिभाषाएँ ==
चौड़ाई, और स्थिर चौड़ाई, वक्रों की सहायक रेखाओं के रूप में परिभाषित की जाती हैं; ये वे रेखाएँ हैं जो किसी वक्र को बिना काटे स्पर्श करती हैं।
चौड़ाई, और स्थिर चौड़ाई, वक्रों की सहायक रेखाओं के रूप में परिभाषित की जाती हैं; ये वे रेखाएँ हैं जो किसी वक्र को बिना काटे स्पर्श करती हैं।
विमान में प्रत्येक [[कॉम्पैक्ट सेट]] वक्र में किसी भी दिशा में दो सहायक रेखाएँ होती हैं, जिनके बीच वक्र सैंडविच होता है। इन दो रेखाओं के बीच की [[यूक्लिडियन दूरी]] उस दिशा में वक्र की चौड़ाई है, और एक वक्र की निरंतर चौड़ाई होती है यदि यह दूरी रेखाओं की सभी दिशाओं के लिए समान हो। एक बंधे हुए उत्तल सेट की चौड़ाई को उसी तरह से परिभाषित किया जा सकता है जैसे घटता के लिए, समानांतर रेखाओं के जोड़े के बीच की दूरी जो इसे पार किए बिना सेट को छूती है, और एक उत्तल सेट निरंतर चौड़ाई का एक पिंड होता है जब यह दूरी गैर-शून्य होती है और रेखाओं की दिशा पर निर्भर नहीं करता है। निरंतर चौड़ाई के प्रत्येक शरीर की सीमा के रूप में निरंतर चौड़ाई का एक वक्र होता है, और निरंतर चौड़ाई के प्रत्येक वक्र की [[उत्तल पतवार]] के रूप में निरंतर चौड़ाई का शरीर होता है।{{r|gardner|rt}}
विमान में प्रत्येक [[कॉम्पैक्ट सेट|कॉम्पैक्ट समुच्चय]] वक्र में किसी भी दिशा में दो सहायक रेखाएँ होती हैं, जिनके बीच वक्र सैंडविच होता है। इन दो रेखाओं के बीच की [[यूक्लिडियन दूरी]] उस दिशा में वक्र की चौड़ाई है, और एक वक्र की निरंतर चौड़ाई होती है यदि यह दूरी रेखाओं की सभी दिशाओं के लिए समान हो। एक बंधे हुए उत्तल समुच्चय की चौड़ाई को उसी तरह से परिभाषित किया जा सकता है जैसे घटता के लिए, समानांतर रेखाओं के जोड़े के बीच की दूरी जो इसे पार किए बिना समुच्चय को छूती है, और एक उत्तल समुच्चय निरंतर चौड़ाई का एक पिंड होता है जब यह दूरी गैर-शून्य होती है और रेखाओं की दिशा पर निर्भर नहीं करता है। निरंतर चौड़ाई के प्रत्येक शरीर की सीमा के रूप में निरंतर चौड़ाई का एक वक्र होता है, और निरंतर चौड़ाई के प्रत्येक वक्र की [[उत्तल पतवार]] के रूप में निरंतर चौड़ाई का शरीर होता है।{{r|gardner|rt}}
एक कॉम्पैक्ट वक्र या उत्तल सेट की चौड़ाई को परिभाषित करने का एक अन्य समकक्ष तरीका एक रेखा पर इसके [[ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण]] को देखकर है। दोनों ही मामलों में, प्रक्षेपण एक [[रेखा खंड]] है, जिसकी लंबाई समर्थन रेखाओं के बीच की दूरी के बराबर होती है जो रेखा के लंबवत होती हैं। इसलिए, एक वक्र या एक उत्तल सेट की चौड़ाई स्थिर होती है जब इसके सभी ऑर्थोगोनल अनुमानों की लंबाई समान होती है।{{r|gardner|rt}}
एक कॉम्पैक्ट वक्र या उत्तल समुच्चय की चौड़ाई को परिभाषित करने का एक अन्य समकक्ष तरीका एक रेखा पर इसके [[ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण]] को देखकर है। दोनों ही मामलों में, प्रक्षेपण एक [[रेखा खंड]] है, जिसकी लंबाई समर्थन रेखाओं के बीच की दूरी के बराबर होती है जो रेखा के लंबवत होती हैं। इसलिए, एक वक्र या एक उत्तल समुच्चय की चौड़ाई स्थिर होती है जब इसके सभी ऑर्थोगोनल अनुमानों की लंबाई समान होती है।{{r|gardner|rt}}




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[[File:A curve of constant width defined by 8th-degree polynomial.png|thumb|आठवीं डिग्री बहुपद द्वारा परिभाषित निरंतर चौड़ाई का एक वक्र]]वृत्तों की चौड़ाई उनके [[व्यास]] के बराबर होती है। दूसरी ओर, वर्ग ऐसा नहीं करते हैं: वर्ग के दो विपरीत पक्षों के समानांतर सहायक रेखाएँ एक विकर्ण के समानांतर सहायक रेखाओं की तुलना में एक साथ निकट होती हैं। अधिक सामान्यतः, किसी भी [[बहुभुज]] की चौड़ाई स्थिर नहीं हो सकती है। हालांकि, स्थिर चौड़ाई के अन्य आकार भी हैं। एक मानक उदाहरण रेउलेक्स त्रिकोण है, तीन हलकों का प्रतिच्छेदन, प्रत्येक केंद्र जहां अन्य दो मंडल पार करते हैं।{{r|gardner}} इसकी सीमा वक्र में इन वृत्तों के तीन चाप होते हैं, जो 120° कोणों पर मिलते हैं, इसलिए यह वक्रों और सतहों की चिकनी कार्य # चिकनाई नहीं है, और वास्तव में ये कोण निरंतर चौड़ाई के किसी भी वक्र के लिए सबसे तेज संभव हैं।{{r|rt}}
[[File:A curve of constant width defined by 8th-degree polynomial.png|thumb|आठवीं डिग्री बहुपद द्वारा परिभाषित निरंतर चौड़ाई का एक वक्र]]वृत्तों की चौड़ाई उनके [[व्यास]] के बराबर होती है। दूसरी ओर, वर्ग ऐसा नहीं करते हैं: वर्ग के दो विपरीत पक्षों के समानांतर सहायक रेखाएँ एक विकर्ण के समानांतर सहायक रेखाओं की तुलना में एक साथ निकट होती हैं। अधिक सामान्यतः, किसी भी [[बहुभुज]] की चौड़ाई स्थिर नहीं हो सकती है। हालांकि, स्थिर चौड़ाई के अन्य आकार भी हैं। एक मानक उदाहरण रेउलेक्स त्रिकोण है, तीन हलकों का प्रतिच्छेदन, प्रत्येक केंद्र जहां अन्य दो मंडल पार करते हैं।{{r|gardner}} इसकी सीमा वक्र में इन वृत्तों के तीन चाप होते हैं, जो 120° कोणों पर मिलते हैं, इसलिए यह वक्रों और सतहों की चिकनी कार्य # चिकनाई नहीं है, और वास्तव में ये कोण निरंतर चौड़ाई के किसी भी वक्र के लिए सबसे तेज संभव हैं।{{r|rt}}
स्थिर चौड़ाई के अन्य वक्र चिकने लेकिन गैर-वृत्ताकार हो सकते हैं, यहाँ तक कि उनकी सीमा में कोई गोलाकार चाप भी नहीं है।
स्थिर चौड़ाई के अन्य वक्र चिकने लेकिन गैर-वृत्ताकार हो सकते हैं, यहाँ तक कि उनकी सीमा में कोई गोलाकार चाप भी नहीं है।
उदाहरण के लिए, नीचे [[बहुपद]] का [[शून्य सेट]] निरंतर चौड़ाई का एक गैर-परिपत्र चिकनी [[बीजगणितीय वक्र]] बनाता है:{{r|rabinowitz}}
उदाहरण के लिए, नीचे [[बहुपद]] का [[शून्य सेट|शून्य समुच्चय]] निरंतर चौड़ाई का एक गैर-परिपत्र चिकनी [[बीजगणितीय वक्र]] बनाता है:{{r|rabinowitz}}
:<math display="block">\begin{align}
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f(x,y)={}&(x^2 + y^2)^4 - 45(x^2 + y^2)^3 - 41283(x^2 + y^2)^2\\
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[[File:Reuleaux polygon construction.svg|thumb|upright=0.8|एक अनियमित रीलॉक्स बहुभुज]]
[[File:Reuleaux polygon construction.svg|thumb|upright=0.8|एक अनियमित रीलॉक्स बहुभुज]]
[[File:Crossed-lines constant-width.svg|thumb|रेखाओं की व्यवस्था के लिए क्रॉस-लाइन पद्धति को लागू करना। निरंतर चौड़ाई के नीले शरीर की सीमाएं चार नेस्टेड जोड़े मंडलियों (आंतरिक मंडल गहरे लाल और बाहरी मंडल हल्के लाल) से गोलाकार चाप हैं।]]
[[File:Crossed-lines constant-width.svg|thumb|रेखाओं की व्यवस्था के लिए क्रॉस-लाइन पद्धति को लागू करना। निरंतर चौड़ाई के नीले शरीर की सीमाएं चार नेस्टेड जोड़े मंडलियों (आंतरिक मंडल गहरे लाल और बाहरी मंडल हल्के लाल) से गोलाकार चाप हैं।]]
[[File:Constant-width semi-ellipse.svg|thumb|upright=1.3|[[अर्ध-दीर्घवृत्त]] (काला) पर केंद्रित डिस्क (नीला) को काटकर गठित निरंतर चौड़ाई (पीला) का शरीर। लाल वृत्त अर्ध-दीर्घवृत्त के [[वर्टेक्स (वक्र)]] पर एक सहायक रेखा को स्पर्शरेखा दिखाता है। आकृति में अर्ध-दीर्घवृत्त की विलक्षणता इस निर्माण के लिए अधिकतम संभव है।]]भुजाओं की विषम संख्या वाला प्रत्येक [[नियमित बहुभुज]] निरंतर चौड़ाई के एक वक्र को जन्म देता है, एक Reuleaux बहुभुज, जो इसके शीर्षों पर केन्द्रित वृत्ताकार चापों से बनता है जो केंद्र से सबसे दूर के दो शीर्षों से होकर गुजरता है। उदाहरण के लिए, यह निर्माण एक समबाहु त्रिभुज से एक Reuleaux त्रिभुज उत्पन्न करता है। कुछ अनियमित बहुभुज रेउलेक्स बहुभुज भी उत्पन्न करते हैं।{{r|bs|cr}} [[मार्टिन गार्डनर]] द्वारा क्रास्ड-लाइन विधि कहे जाने वाले निकट से संबंधित निर्माण में, समतल में रेखाओं की व्यवस्था (कोई दो समानांतर नहीं बल्कि अन्यथा मनमाने ढंग से) को रेखाओं के ढलानों द्वारा चक्रीय क्रम में क्रमबद्ध किया जाता है। फिर रेखाएं वृत्ताकार चापों के अनुक्रम से बने वक्र द्वारा जुड़ी होती हैं; प्रत्येक चाप क्रमबद्ध क्रम में दो लगातार रेखाओं को जोड़ता है, और उनके क्रॉसिंग पर केंद्रित होता है। पहले चाप की त्रिज्या को इतना बड़ा चुना जाना चाहिए कि सभी क्रमिक चाप अगले क्रॉसिंग बिंदु के दाईं ओर समाप्त हो जाएं; हालाँकि, सभी पर्याप्त-बड़े रेडी काम करते हैं। दो पंक्तियों के लिए, यह एक वृत्त बनाता है; एक समबाहु त्रिभुज की भुजाओं पर तीन रेखाओं के लिए, न्यूनतम संभव त्रिज्या के साथ, यह एक Reuleaux त्रिभुज बनाता है, और एक नियमित [[तारा बहुभुज]] की रेखाओं के लिए यह एक Reuleaux बहुभुज बना सकता है।{{r|gardner|bs}}
[[File:Constant-width semi-ellipse.svg|thumb|upright=1.3|[[अर्ध-दीर्घवृत्त]] (काला) पर केंद्रित डिस्क (नीला) को काटकर गठित निरंतर चौड़ाई (पीला) का शरीर। लाल वृत्त अर्ध-दीर्घवृत्त के [[वर्टेक्स (वक्र)]] पर एक सहायक रेखा को स्पर्शरेखा दिखाता है। आकृति में अर्ध-दीर्घवृत्त की विलक्षणता इस निर्माण के लिए अधिकतम संभव है।]]भुजाओं की विषम संख्या वाला प्रत्येक [[नियमित बहुभुज]] निरंतर चौड़ाई के एक वक्र को जन्म देता है, एक Reuleaux बहुभुज, जो इसके शीर्षों पर केन्द्रित वृत्ताकार चापों से बनता है जो केंद्र से सबसे दूर के दो शीर्षों से होकर गुजरता है। उदाहरण के लिए, यह निर्माण एक समबाहु त्रिभुज से एक Reuleaux त्रिभुज उत्पन्न करता है। कुछ अनियमित बहुभुज रेउलेक्स बहुभुज भी उत्पन्न करते हैं।{{r|bs|cr}} [[मार्टिन गार्डनर]] द्वारा क्रास्ड-लाइन विधि कहे जाने वाले निकट से संबंधित निर्माण में, समतल में रेखाओं की व्यवस्था (कोई दो समानांतर नहीं बल्कि अन्यथा मनमाने ढंग से) को रेखाओं के ढलानों द्वारा चक्रीय क्रम में क्रमबद्ध किया जाता है। फिर रेखाएं वृत्ताकार चापों के अनुक्रम से बने वक्र द्वारा जुड़ी होती हैं; प्रत्येक चाप क्रमबद्ध क्रम में दो लगातार रेखाओं को जोड़ता है, और उनके रेखन पर केंद्रित होता है। पहले चाप की त्रिज्या को इतना बड़ा चुना जाना चाहिए कि सभी क्रमिक चाप अगले रेखन बिंदु के दाईं ओर समाप्त हो जाएं; हालाँकि, सभी पर्याप्त-बड़े रेडी काम करते हैं। दो पंक्तियों के लिए, यह एक वृत्त बनाता है; एक समबाहु त्रिभुज की भुजाओं पर तीन रेखाओं के लिए, न्यूनतम संभव त्रिज्या के साथ, यह एक Reuleaux त्रिभुज बनाता है, और एक नियमित [[तारा बहुभुज]] की रेखाओं के लिए यह एक Reuleaux बहुभुज बना सकता है।{{r|gardner|bs}}
लियोनहार्ड यूलर ने [[कस्प (विलक्षणता)]] की एक विषम संख्या वाले वक्रों के समावेशन से निरंतर चौड़ाई के घटता का निर्माण किया, जिसमें प्रत्येक दिशा में केवल एक स्पर्श रेखा होती है (अर्थात, हेजहोग (ज्यामिति))।{{r|euler|robertson}} अंतर्वलित निर्माण का वर्णन करने का एक सहज तरीका इस तरह के वक्र के चारों ओर एक रेखा खंड को रोल करना है, जब तक कि यह स्पर्शरेखा के अपने शुरुआती बिंदु पर वापस नहीं आ जाता है, तब तक इसे बिना खिसकाए वक्र के स्पर्शरेखा पर रखें। रेखा खंड इतना लंबा होना चाहिए कि वह वक्र के पुच्छल बिंदुओं तक पहुंच सके, ताकि वह वक्र के अगले भाग में प्रत्येक पुच्छल को पार कर सके, और इसकी प्रारंभिक स्थिति को सावधानी से चुना जाना चाहिए ताकि रोलिंग प्रक्रिया के अंत में यह यह उसी स्थिति में है जिससे यह शुरू हुआ था। जब ऐसा होता है, तो रेखा खंड के अंत बिंदुओं द्वारा पता लगाया गया वक्र एक अंतर्वलित होता है जो दिए गए वक्र को बिना पार किए, रेखा खंड की लंबाई के बराबर निरंतर चौड़ाई के साथ घेरता है।{{r|lowry}} यदि शुरुआती वक्र चिकना है (क्यूप्स को छोड़कर), निरंतर चौड़ाई का परिणामी वक्र भी चिकना होगा।{{r|euler|robertson}} इस निर्माण के लिए सही गुणों के साथ एक शुरुआती वक्र का एक उदाहरण [[डेल्टॉइड वक्र]] है, और डेल्टॉइड के इनवॉल्व्स जो इसे घेरते हैं, निरंतर चौड़ाई के चिकने वक्र बनाते हैं, जिसमें कोई गोलाकार चाप नहीं होता है।{{r|goldberg|burke}}
लियोनहार्ड यूलर ने [[कस्प (विलक्षणता)]] की एक विषम संख्या वाले वक्रों के समावेशन से निरंतर चौड़ाई के घटता का निर्माण किया, जिसमें प्रत्येक दिशा में केवल एक स्पर्श रेखा होती है (अर्थात, हेजहोग (ज्यामिति))।{{r|euler|robertson}} अंतर्वलित निर्माण का वर्णन करने का एक सहज तरीका इस तरह के वक्र के चारों ओर एक रेखा खंड को रोल करना है, जब तक कि यह स्पर्शरेखा के अपने शुरुआती बिंदु पर वापस नहीं आ जाता है, तब तक इसे बिना खिसकाए वक्र के स्पर्शरेखा पर रखें। रेखा खंड इतना लंबा होना चाहिए कि वह वक्र के पुच्छल बिंदुओं तक पहुंच सके, ताकि वह वक्र के अगले भाग में प्रत्येक पुच्छल को पार कर सके, और इसकी प्रारंभिक स्थिति को सावधानी से चुना जाना चाहिए ताकि रोलिंग प्रक्रिया के अंत में यह यह उसी स्थिति में है जिससे यह शुरू हुआ था। जब ऐसा होता है, तो रेखा खंड के अंत बिंदुओं द्वारा पता लगाया गया वक्र एक अंतर्वलित होता है जो दिए गए वक्र को बिना पार किए, रेखा खंड की लंबाई के बराबर निरंतर चौड़ाई के साथ घेरता है।{{r|lowry}} यदि शुरुआती वक्र चिकना है (क्यूप्स को छोड़कर), निरंतर चौड़ाई का परिणामी वक्र भी चिकना होगा।{{r|euler|robertson}} इस निर्माण के लिए सही गुणों के साथ एक शुरुआती वक्र का एक उदाहरण [[डेल्टॉइड वक्र]] है, और डेल्टॉइड के इनवॉल्व्स जो इसे घेरते हैं, निरंतर चौड़ाई के चिकने वक्र बनाते हैं, जिसमें कोई गोलाकार चाप नहीं होता है।{{r|goldberg|burke}}
एक और निर्माण कुछ आवश्यकताओं को पूरा करते हुए, स्थिर चौड़ाई के वक्र का आधा हिस्सा चुनता है, और इसकी सीमा के हिस्से के रूप में दिए गए वक्र वाले निरंतर चौड़ाई का एक शरीर बनाता है। निर्माण एक उत्तल घुमावदार चाप से शुरू होता है, जिसका अंतिम बिंदु इच्छित चौड़ाई है <math>w</math> अलग। दो समापन बिंदुओं को दूरी पर समानांतर सहायक रेखाओं को स्पर्श करना चाहिए <math>w</math> एक दूसरे से। इसके अतिरिक्त, प्रत्येक सहायक रेखा जो चाप के दूसरे बिंदु को स्पर्श करती है, उस बिंदु पर त्रिज्या के एक वृत्त पर स्पर्शरेखा होनी चाहिए <math>w</math> संपूर्ण चाप युक्त; यह आवश्यकता चाप की [[वक्रता]] को वृत्त की वक्रता से कम होने से रोकती है। निरंतर चौड़ाई का पूरा शरीर दो प्रकार के मंडलियों के अनंत परिवार के अंदरूनी हिस्सों का चौराहे है: जो सहायक रेखाओं के स्पर्शक हैं, और दिए गए चाप के प्रत्येक बिंदु पर केंद्रित एक ही त्रिज्या के अधिक मंडल हैं। यह रचना सार्वभौम है: स्थिर चौड़ाई के सभी वक्रों का निर्माण इस प्रकार किया जा सकता है।{{r|rt}} 19वीं सदी के एक फ्रांसीसी गणितज्ञ विक्टर पुइसेक्स ने दीर्घवृत्तीय चापों वाली स्थिर चौड़ाई वाले वक्रों की खोज की{{r|kearsley}} जिसका निर्माण अर्ध-दीर्घवृत्त से इस प्रकार किया जा सकता है। वक्रता की स्थिति को पूरा करने के लिए, अर्ध-दीर्घवृत्त को [[अर्ध-प्रमुख और अर्ध-लघु अक्ष]]ों से घिरा होना चाहिए | इसके दीर्घवृत्त के अर्ध-प्रमुख अक्ष, और दीर्घवृत्त में अधिक से अधिक उत्केन्द्रता (गणित) होनी चाहिए <math>\tfrac{1}{2}\sqrt{3}</math>. समतुल्य रूप से, अर्ध-प्रमुख अक्ष अर्ध-लघु अक्ष से अधिक से अधिक दो बार होना चाहिए।{{r|bs}}
एक और निर्माण कुछ आवश्यकताओं को पूरा करते हुए, स्थिर चौड़ाई के वक्र का आधा हिस्सा चुनता है, और इसकी सीमा के हिस्से के रूप में दिए गए वक्र वाले निरंतर चौड़ाई का एक शरीर बनाता है। निर्माण एक उत्तल घुमावदार चाप से शुरू होता है, जिसका अंतिम बिंदु इच्छित चौड़ाई है <math>w</math> अलग। दो समापन बिंदुओं को दूरी पर समानांतर सहायक रेखाओं को स्पर्श करना चाहिए <math>w</math> एक दूसरे से। इसके अतिरिक्त, प्रत्येक सहायक रेखा जो चाप के दूसरे बिंदु को स्पर्श करती है, उस बिंदु पर त्रिज्या के एक वृत्त पर स्पर्शरेखा होनी चाहिए <math>w</math> संपूर्ण चाप युक्त; यह आवश्यकता चाप की [[वक्रता]] को वृत्त की वक्रता से कम होने से रोकती है। निरंतर चौड़ाई का पूरा शरीर दो प्रकार के मंडलियों के अनंत परिवार के अंदरूनी हिस्सों का चौराहे है: जो सहायक रेखाओं के स्पर्शक हैं, और दिए गए चाप के प्रत्येक बिंदु पर केंद्रित एक ही त्रिज्या के अधिक मंडल हैं। यह रचना सार्वभौम है: स्थिर चौड़ाई के सभी वक्रों का निर्माण इस प्रकार किया जा सकता है।{{r|rt}} 19वीं सदी के एक फ्रांसीसी गणितज्ञ विक्टर पुइसेक्स ने दीर्घवृत्तीय चापों वाली स्थिर चौड़ाई वाले वक्रों की खोज की{{r|kearsley}} जिसका निर्माण अर्ध-दीर्घवृत्त से इस प्रकार किया जा सकता है। वक्रता की स्थिति को पूरा करने के लिए, अर्ध-दीर्घवृत्त को [[अर्ध-प्रमुख और अर्ध-लघु अक्ष]]ों से घिरा होना चाहिए | इसके दीर्घवृत्त के अर्ध-प्रमुख अक्ष, और दीर्घवृत्त में अधिक से अधिक उत्केन्द्रता (गणित) होनी चाहिए <math>\tfrac{1}{2}\sqrt{3}</math>. समतुल्य रूप से, अर्ध-प्रमुख अक्ष अर्ध-लघु अक्ष से अधिक से अधिक दो बार होना चाहिए।{{r|bs}}
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== गुण ==
== गुण ==
[[File:Reuleaux triangle Animation.gif|thumb|रेलेक्स त्रिभुज एक वर्ग के भीतर लुढ़कता है जबकि हर समय सभी चारों पक्षों को छूता है]]निरंतर चौड़ाई का एक वक्र अपनी चौड़ाई से अलग की गई दो समानांतर रेखाओं के बीच घूम सकता है, जबकि हर समय उन रेखाओं को छूता है, जो घुमाए गए वक्र के लिए सहायक रेखाओं के रूप में कार्य करती हैं। उसी तरह, निरंतर चौड़ाई का एक वक्र एक समचतुर्भुज या वर्ग के भीतर घूम सकता है, जिसके विपरीत भुजाओं के जोड़े चौड़ाई से अलग हो जाते हैं और समानांतर समर्थन रेखाओं पर स्थित होते हैं।{{r|gardner|bs|rt}} निरंतर चौड़ाई का प्रत्येक वक्र एक नियमित [[षट्भुज]] के भीतर उसी तरह नहीं घूम सकता है, क्योंकि इसकी सहायक रेखाएँ हमेशा एक नियमित बनाने के बजाय अलग-अलग घुमावों के लिए अलग-अलग अनियमित षट्भुज बना सकती हैं। हालांकि, निरंतर चौड़ाई के प्रत्येक वक्र को समांतर सहायक रेखाओं पर विपरीत पक्षों के साथ कम से कम एक नियमित षट्भुज द्वारा घेरा जा सकता है।{{r|chakerian}}
[[File:Reuleaux triangle Animation.gif|thumb|रीलॉक्स त्रिभुज एक वर्ग के भीतर लुढ़कता है जबकि हर समय सभी चारों पक्षों को छूता है]]निरंतर चौड़ाई का एक वक्र अपनी चौड़ाई से अलग की गई दो समानांतर रेखाओं के बीच घूम सकता है, जबकि हर समय उन रेखाओं को छूता है, जो घुमाए गए वक्र के लिए सहायक रेखाओं के रूप में कार्य करती हैं। उसी तरह, निरंतर चौड़ाई का एक वक्र एक समचतुर्भुज या वर्ग के भीतर घूम सकता है, जिसके विपरीत भुजाओं के जोड़े चौड़ाई से अलग हो जाते हैं और समानांतर समर्थन रेखाओं पर स्थित होते हैं।{{r|gardner|bs|rt}} निरंतर चौड़ाई का प्रत्येक वक्र एक नियमित [[षट्भुज]] के भीतर उसी तरह नहीं घूम सकता है, क्योंकि इसकी सहायक रेखाएँ हमेशा एक नियमित बनाने के बजाय अलग-अलग घुमावों के लिए अलग-अलग अनियमित षट्भुज बना सकती हैं। हालांकि, निरंतर चौड़ाई के प्रत्येक वक्र को समांतर सहायक रेखाओं पर विपरीत पक्षों के साथ कम से कम एक नियमित षट्भुज द्वारा घेरा जा सकता है।{{r|chakerian}}
एक वक्र की चौड़ाई स्थिर होती है यदि और केवल यदि समानांतर सहायक रेखाओं के प्रत्येक जोड़े के लिए, यह उन दो रेखाओं को उन बिंदुओं पर स्पर्श करता है जिनकी दूरी रेखाओं के बीच की दूरी के बराबर होती है। विशेष रूप से, इसका तात्पर्य यह है कि यह केवल एक बिंदु पर प्रत्येक सहायक रेखा को स्पर्श कर सकता है। समतुल्य रूप से, वक्र को लंबवत रूप से पार करने वाली प्रत्येक रेखा इसे चौड़ाई के बराबर दूरी के दो बिंदुओं पर पार करती है। इसलिए, निरंतर चौड़ाई का वक्र उत्तल होना चाहिए, क्योंकि प्रत्येक गैर-उत्तल सरल बंद वक्र में एक सहायक रेखा होती है जो इसे दो या अधिक बिंदुओं पर स्पर्श करती है।{{r|rt|robertson}} निरंतर चौड़ाई के वक्र स्व-समानांतर या ऑटो-समानांतर वक्रों के उदाहरण हैं, एक रेखा खंड के दोनों समापन बिंदुओं द्वारा खोजे गए वक्र जो इस तरह से चलते हैं कि दोनों समापन बिंदु रेखा खंड के लंबवत चलते हैं। हालाँकि, अन्य स्व-समानांतर वक्र मौजूद हैं, जैसे कि एक वृत्त के समावेशन द्वारा गठित अनंत सर्पिल, जिसमें निरंतर चौड़ाई नहीं होती है।{{r|mathcurve}}
एक वक्र की चौड़ाई स्थिर होती है यदि और केवल यदि समानांतर सहायक रेखाओं के प्रत्येक जोड़े के लिए, यह उन दो रेखाओं को उन बिंदुओं पर स्पर्श करता है जिनकी दूरी रेखाओं के बीच की दूरी के बराबर होती है। विशेष रूप से, इसका तात्पर्य यह है कि यह केवल एक बिंदु पर प्रत्येक सहायक रेखा को स्पर्श कर सकता है। समतुल्य रूप से, वक्र को लंबवत रूप से पार करने वाली प्रत्येक रेखा इसे चौड़ाई के बराबर दूरी के दो बिंदुओं पर पार करती है। इसलिए, निरंतर चौड़ाई का वक्र उत्तल होना चाहिए, क्योंकि प्रत्येक गैर-उत्तल सरल बंद वक्र में एक सहायक रेखा होती है जो इसे दो या अधिक बिंदुओं पर स्पर्श करती है।{{r|rt|robertson}} निरंतर चौड़ाई के वक्र स्व-समानांतर या ऑटो-समानांतर वक्रों के उदाहरण हैं, एक रेखा खंड के दोनों समापन बिंदुओं द्वारा खोजे गए वक्र जो इस तरह से चलते हैं कि दोनों समापन बिंदु रेखा खंड के लंबवत चलते हैं। हालाँकि, अन्य स्व-समानांतर वक्र मौजूद हैं, जैसे कि एक वृत्त के समावेशन द्वारा गठित अनंत सर्पिल, जिसमें निरंतर चौड़ाई नहीं होती है।{{r|mathcurve}}
बारबियर के प्रमेय का दावा है कि निरंतर चौड़ाई के किसी भी वक्र की परिधि चौड़ाई गुणा के बराबर होती है <math>\pi</math>. एक विशेष मामले के रूप में, यह सूत्र मानक सूत्र के अनुरूप है <math>\pi d</math> एक वृत्त की परिधि के लिए उसका व्यास दिया गया है।{{r|lay|barbier}} [[आइसोपेरिमेट्रिक असमानता]] और बार्बियर के प्रमेय के अनुसार, सर्कल में दी गई निरंतर चौड़ाई के किसी भी वक्र का अधिकतम क्षेत्रफल होता है। ब्लास्चके-लेबेस्गुए प्रमेय का कहना है कि रूलॉक्स त्रिकोण में दी गई निरंतर चौड़ाई के किसी भी उत्तल वक्र का सबसे कम क्षेत्र है।{{r|gruber}} निरंतर चौड़ाई के शरीर के प्रत्येक उचित सुपरसेट में सख्ती से अधिक व्यास होता है, और इस संपत्ति के साथ प्रत्येक यूक्लिडियन सेट निरंतर चौड़ाई का शरीर होता है। विशेष रूप से, यह संभव नहीं है कि स्थिर चौड़ाई का एक पिंड समान स्थिर चौड़ाई वाले किसी भिन्न पिंड का उपसमुच्चय हो।{{r|eggleston|jessen}} निरंतर चौड़ाई के प्रत्येक वक्र को मनमाने ढंग से बारीकी से एक टुकड़ावार परिपत्र वक्र या उसी स्थिर चौड़ाई के [[विश्लेषणात्मक वक्र]] द्वारा अनुमानित किया जा सकता है।{{r|wegner77}}
बारबियर के प्रमेय का दावा है कि निरंतर चौड़ाई के किसी भी वक्र की परिधि चौड़ाई गुणा के बराबर होती है <math>\pi</math>. एक विशेष मामले के रूप में, यह सूत्र मानक सूत्र के अनुरूप है <math>\pi d</math> एक वृत्त की परिधि के लिए उसका व्यास दिया गया है।{{r|lay|barbier}} [[आइसोपेरिमेट्रिक असमानता]] और बार्बियर के प्रमेय के अनुसार, सर्कल में दी गई निरंतर चौड़ाई के किसी भी वक्र का अधिकतम क्षेत्रफल होता है। ब्लास्चके-लेबेस्गुए प्रमेय का कहना है कि रूलॉक्स त्रिकोण में दी गई निरंतर चौड़ाई के किसी भी उत्तल वक्र का सबसे कम क्षेत्र है।{{r|gruber}} निरंतर चौड़ाई के शरीर के प्रत्येक उचित सुपरसमुच्चय में सख्ती से अधिक व्यास होता है, और इस संपत्ति के साथ प्रत्येक यूक्लिडियन समुच्चय निरंतर चौड़ाई का शरीर होता है। विशेष रूप से, यह संभव नहीं है कि स्थिर चौड़ाई का एक पिंड समान स्थिर चौड़ाई वाले किसी भिन्न पिंड का उपसमुच्चय हो।{{r|eggleston|jessen}} निरंतर चौड़ाई के प्रत्येक वक्र को मनमाने ढंग से बारीकी से एक टुकड़ावार परिपत्र वक्र या उसी स्थिर चौड़ाई के [[विश्लेषणात्मक वक्र]] द्वारा अनुमानित किया जा सकता है।{{r|wegner77}}
एक वर्टेक्स (वक्र) एक बिंदु है जहां इसकी वक्रता एक स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम होती है; एक वृत्ताकार चाप के लिए, सभी बिंदु शीर्ष होते हैं, लेकिन गैर-परिपत्र वक्रों में शीर्षों का परिमित पृथक सेट हो सकता है। एक ऐसे वक्र के लिए जो चिकना नहीं है, जिन बिंदुओं पर यह चिकना नहीं है, उन्हें अनंत वक्रता के शीर्षों के रूप में भी माना जा सकता है। निरंतर चौड़ाई की वक्र के लिए, स्थानीय रूप से न्यूनतम वक्रता के प्रत्येक शीर्ष को वक्र के व्यास पर इसके विपरीत स्थानीय रूप से अधिकतम वक्रता के शीर्ष के साथ जोड़ा जाता है, और कम से कम छह कोने होने चाहिए। यह चार-शिखर प्रमेय के विपरीत है, जिसके अनुसार विमान में प्रत्येक सरल बंद चिकनी वक्र में कम से कम चार शिखर होते हैं। कुछ वक्र, जैसे दीर्घवृत्त, में ठीक चार शीर्ष होते हैं, लेकिन स्थिर चौड़ाई वाले वक्र के लिए यह संभव नहीं है।{{r|martinez|ctb}} क्योंकि वक्रता का स्थानीय निम्नतम वक्रता के स्थानीय उच्चिष्ठ के विपरीत होता है, [[केंद्रीय समरूपता]] के साथ निरंतर चौड़ाई के एकमात्र वक्र वृत्त होते हैं, जिसके लिए वक्रता सभी बिंदुओं पर समान होती है।{{r|mmo}} निरंतर चौड़ाई के प्रत्येक वक्र के लिए, वक्र की [[सबसे छोटी-वृत्त समस्या]] और इसमें शामिल सबसे बड़ा वृत्त संकेंद्रित होते हैं, और उनके व्यास का औसत वक्र की चौड़ाई है। ये दो वृत्त एक साथ विपरीत बिंदुओं के कम से कम तीन युग्मों में वक्र को स्पर्श करते हैं, लेकिन ये बिंदु आवश्यक रूप से शीर्ष नहीं हैं।{{r|mmo}}
एक वर्टेक्स (वक्र) एक बिंदु है जहां इसकी वक्रता एक स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम होती है; एक वृत्ताकार चाप के लिए, सभी बिंदु शीर्ष होते हैं, लेकिन गैर-परिपत्र वक्रों में शीर्षों का परिमित पृथक समुच्चय हो सकता है। एक ऐसे वक्र के लिए जो चिकना नहीं है, जिन बिंदुओं पर यह चिकना नहीं है, उन्हें अनंत वक्रता के शीर्षों के रूप में भी माना जा सकता है। निरंतर चौड़ाई की वक्र के लिए, स्थानीय रूप से न्यूनतम वक्रता के प्रत्येक शीर्ष को वक्र के व्यास पर इसके विपरीत स्थानीय रूप से अधिकतम वक्रता के शीर्ष के साथ जोड़ा जाता है, और कम से कम छह कोने होने चाहिए। यह चार-शिखर प्रमेय के विपरीत है, जिसके अनुसार विमान में प्रत्येक सरल बंद चिकनी वक्र में कम से कम चार शिखर होते हैं। कुछ वक्र, जैसे दीर्घवृत्त, में ठीक चार शीर्ष होते हैं, लेकिन स्थिर चौड़ाई वाले वक्र के लिए यह संभव नहीं है।{{r|martinez|ctb}} क्योंकि वक्रता का स्थानीय निम्नतम वक्रता के स्थानीय उच्चिष्ठ के विपरीत होता है, [[केंद्रीय समरूपता]] के साथ निरंतर चौड़ाई के एकमात्र वक्र वृत्त होते हैं, जिसके लिए वक्रता सभी बिंदुओं पर समान होती है।{{r|mmo}} निरंतर चौड़ाई के प्रत्येक वक्र के लिए, वक्र की [[सबसे छोटी-वृत्त समस्या]] और इसमें शामिल सबसे बड़ा वृत्त संकेंद्रित होते हैं, और उनके व्यास का औसत वक्र की चौड़ाई है। ये दो वृत्त एक साथ विपरीत बिंदुओं के कम से कम तीन युग्मों में वक्र को स्पर्श करते हैं, लेकिन ये बिंदु आवश्यक रूप से शीर्ष नहीं हैं।{{r|mmo}}
एक उत्तल पिंड की निरंतर चौड़ाई होती है यदि और केवल यदि पिंड का मिंकोव्स्की योग और इसका 180° घूर्णन एक गोलाकार डिस्क है; यदि हां, तो मुख्य भाग की चौड़ाई डिस्क की त्रिज्या है।{{r|mmo|chakerian}}
एक उत्तल पिंड की निरंतर चौड़ाई होती है यदि और केवल यदि पिंड का मिंकोव्स्की योग और इसका 180° घूर्णन एक गोलाकार डिस्क है; यदि हां, तो मुख्य भाग की चौड़ाई डिस्क की त्रिज्या है।{{r|mmo|chakerian}}


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== अनुप्रयोग ==
== अनुप्रयोग ==
[[File:Reuleaux triangle 54.JPG|thumb|निरंतर चौड़ाई के रोलर्स]]समानांतर रेखाओं के बीच रोल करने के लिए निरंतर चौड़ाई के वक्रों की क्षमता के कारण, क्रॉस-सेक्शन के रूप में निरंतर चौड़ाई के वक्र वाला कोई भी [[सिलेंडर]] असर (यांत्रिक) #इतिहास के रूप में कार्य कर सकता है| रोलर, एक स्तर के विमान का समर्थन करता है और इसे समतल रखता है क्योंकि यह किसी भी स्तर की सतह पर लुढ़कता है। हालांकि, रोलर का केंद्र रोल करते समय ऊपर और नीचे चलता रहता है, इसलिए यह निर्माण निश्चित एक्सल से जुड़े इस आकार के पहियों के लिए काम नहीं करेगा।{{r|gardner|bs|rt}}
[[File:Reuleaux triangle 54.JPG|thumb|निरंतर चौड़ाई के रोलर्स]]समानांतर रेखाओं के बीच रोल करने के लिए निरंतर चौड़ाई के वक्रों की क्षमता के कारण, क्रॉस-सेक्शन के रूप में निरंतर चौड़ाई के वक्र वाला कोई भी [[सिलेंडर]] असर (यांत्रिक) #इतिहास के रूप में कार्य कर सकता है| रोलर, एक स्तर के विमान का समर्थन करता है और इसे समतल रखता है क्योंकि यह किसी भी स्तर की सतह पर लुढ़कता है। हालांकि, रोलर का केंद्र रोल करते समय ऊपर और नीचे चलता रहता है, इसलिए यह निर्माण निश्चित एक्सल से जुड़े इस आकार के पहियों के लिए काम नहीं करेगा।{{r|gardner|bs|rt}}
कुछ सिक्का आकार निरंतर चौड़ाई के गैर-वृत्ताकार निकाय हैं। उदाहरण के लिए, ब्रिटिश [[ब्रिटिश सिक्का ट्वेंटी पेंस]] और [[ब्रिटिश सिक्का पचास पेंस]] के सिक्के रेलेक्स हेप्टागन हैं, और कैनेडियन [[लूनी]] एक रेलेक्स 11-गॉन है।{{r|chamberland}} मशीन में सिक्के के उन्मुखीकरण की परवाह किए बिना, ये आकृतियाँ स्वचालित सिक्का मशीनों को इन सिक्कों को उनकी चौड़ाई से पहचानने की अनुमति देती हैं।{{r|gardner|bs}} दूसरी ओर, चौड़ाई का परीक्षण गोलाई (ऑब्जेक्ट) को निर्धारित करने के लिए अपर्याप्त है, क्योंकि ऐसे परीक्षण हलकों को स्थिर चौड़ाई के अन्य वक्रों से अलग नहीं कर सकते हैं।{{r|gardner|bs}} इस तथ्य की अनदेखी ने [[स्पेस शटल चैलेंजर आपदा]] में एक भूमिका निभाई हो सकती है, क्योंकि उस प्रक्षेपण में रॉकेट के वर्गों की गोलाई का परीक्षण केवल चौड़ाई को मापने के द्वारा किया गया था, और ऑफ-राउंड आकार असामान्य रूप से उच्च तनाव पैदा कर सकता है जो कि एक हो सकता था आपदा पैदा करने वाले कारक।{{r|moore}}
कुछ सिक्का आकार निरंतर चौड़ाई के गैर-वृत्ताकार निकाय हैं। उदाहरण के लिए, ब्रिटिश [[ब्रिटिश सिक्का ट्वेंटी पेंस]] और [[ब्रिटिश सिक्का पचास पेंस]] के सिक्के रीलॉक्स हेप्टागन हैं, और कैनेडियन [[लूनी]] एक रीलॉक्स 11-गॉन है।{{r|chamberland}} मशीन में सिक्के के उन्मुखीकरण की परवाह किए बिना, ये आकृतियाँ स्वचालित सिक्का मशीनों को इन सिक्कों को उनकी चौड़ाई से पहचानने की अनुमति देती हैं।{{r|gardner|bs}} दूसरी ओर, चौड़ाई का परीक्षण गोलाई (ऑब्जेक्ट) को निर्धारित करने के लिए अपर्याप्त है, क्योंकि ऐसे परीक्षण हलकों को स्थिर चौड़ाई के अन्य वक्रों से अलग नहीं कर सकते हैं।{{r|gardner|bs}} इस तथ्य की अनदेखी ने [[स्पेस शटल चैलेंजर आपदा]] में एक भूमिका निभाई हो सकती है, क्योंकि उस प्रक्षेपण में रॉकेट के वर्गों की गोलाई का परीक्षण केवल चौड़ाई को मापने के द्वारा किया गया था, और ऑफ-राउंड आकार असामान्य रूप से उच्च तनाव पैदा कर सकता है जो कि एक हो सकता था आपदा पैदा करने वाले कारक।{{r|moore}}




== सामान्यीकरण ==
== सामान्यीकरण ==
निरंतर चौड़ाई के वक्रों को कुछ गैर-उत्तल वक्रों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, वक्र जिनमें प्रत्येक दिशा में दो स्पर्श रेखाएँ होती हैं, इन दो रेखाओं के बीच समान अलगाव के साथ उनकी दिशा की परवाह किए बिना। एक सीमित मामले के रूप में, हेजहोग (ज्यामिति) (प्रत्येक दिशा में एक स्पर्शरेखा वाली वक्र) को शून्य चौड़ाई के वक्र भी कहा जाता है।{{r|kelly}}
निरंतर चौड़ाई के वक्रों को कुछ गैर-उत्तल वक्रों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, वक्र जिनमें प्रत्येक दिशा में दो स्पर्श रेखाएँ होती हैं, इन दो रेखाओं के बीच समान अलगाव के साथ उनकी दिशा की परवाह किए बिना। एक सीमित मामले के रूप में, हेजहोग (ज्यामिति) (प्रत्येक दिशा में एक स्पर्शरेखा वाली वक्र) को शून्य चौड़ाई के वक्र भी कहा जाता है।{{r|kelly}}
इन अवधारणाओं को तीन आयामों में सामान्यीकृत करने का एक तरीका [[निरंतर चौड़ाई की सतह]] के माध्यम से है। रेलेक्स त्रिकोण के त्रि-आयामी एनालॉग, [[रेलेक्स टेट्राहेड्रॉन]] में निरंतर चौड़ाई नहीं होती है, लेकिन इसमें मामूली परिवर्तन मीस्नर निकायों का उत्पादन करते हैं, जो करते हैं।{{r|gardner|mmo}} निरंतर चौड़ाई के वक्रों को भी निरंतर चमक, त्रि-आयामी आकृतियों के शरीर के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है जिनके द्वि-आयामी अनुमानों में सभी समान क्षेत्र होते हैं; ये आकृतियाँ बारबियर प्रमेय के सामान्यीकरण का पालन करती हैं।{{r|mmo}} त्रि-आयामी सामान्यीकरण का एक अलग वर्ग, निरंतर चौड़ाई के अंतरिक्ष घटता, गुणों द्वारा परिभाषित किया गया है कि प्रत्येक विमान जो वक्र को लंबवत रूप से पार करता है, उसे ठीक एक अन्य बिंदु पर काटता है, जहां यह लंबवत भी है, और यह कि बिंदुओं के सभी जोड़े प्रतिच्छेद करते हैं लम्बवत विमानों द्वारा अलग-अलग दूरी पर हैं।{{r|fujiwara|cieslak|teufel|wegner72}}
इन अवधारणाओं को तीन आयामों में सामान्यीकृत करने का एक तरीका [[निरंतर चौड़ाई की सतह]] के माध्यम से है। रीलॉक्स त्रिकोण के त्रि-आयामी एनालॉग, [[रेलेक्स टेट्राहेड्रॉन|रीलॉक्स टेट्राहेड्रॉन]] में निरंतर चौड़ाई नहीं होती है, लेकिन इसमें मामूली परिवर्तन मीस्नर निकायों का उत्पादन करते हैं, जो करते हैं।{{r|gardner|mmo}} निरंतर चौड़ाई के वक्रों को भी निरंतर चमक, त्रि-आयामी आकृतियों के शरीर के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है जिनके द्वि-आयामी अनुमानों में सभी समान क्षेत्र होते हैं; ये आकृतियाँ बारबियर प्रमेय के सामान्यीकरण का पालन करती हैं।{{r|mmo}} त्रि-आयामी सामान्यीकरण का एक अलग वर्ग, निरंतर चौड़ाई के अंतरिक्ष घटता, गुणों द्वारा परिभाषित किया गया है कि प्रत्येक विमान जो वक्र को लंबवत रूप से पार करता है, उसे ठीक एक अन्य बिंदु पर काटता है, जहां यह लंबवत भी है, और यह कि बिंदुओं के सभी जोड़े प्रतिच्छेद करते हैं लम्बवत विमानों द्वारा अलग-अलग दूरी पर हैं।{{r|fujiwara|cieslak|teufel|wegner72}}
गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति में निरंतर चौड़ाई के घटता और पिंडों का भी अध्ययन किया गया है{{r|leichtweiss}} और गैर-यूक्लिडियन [[नॉर्म्ड वेक्टर स्पेस]] के लिए।{{r|eggleston}}
गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति में निरंतर चौड़ाई के घटता और पिंडों का भी अध्ययन किया गया है{{r|leichtweiss}} और गैर-यूक्लिडियन [[नॉर्म्ड वेक्टर स्पेस]] के लिए।{{r|eggleston}}


Revision as of 18:49, 1 December 2022

समांतर सहायक रेखाओं के बीच की दूरी के रूप में रीलॉक्स त्रिभुज की चौड़ाई को मापना। क्योंकि यह दूरी रेखाओं की दिशा पर निर्भर नहीं करती है, रेउलेक्स त्रिकोण निरंतर चौड़ाई का एक वक्र है।

ज्यामिति में, स्थिर चौड़ाई का एक वक्र समतल में एक सरल बंद वक्र होता है जिसकी चौड़ाई (समानांतर सहायक रेखाओं के बीच की दूरी) सभी दिशाओं में समान होती है। निरंतर चौड़ाई के एक वक्र से घिरा आकार निरंतर चौड़ाई या एक कक्षीय पिंड है, इन आकृतियों को यह नाम लियोनहार्ड यूलर द्वारा दिया गया है।[1] मानक उदाहरण हैं वृत्त और रीलॉक्स त्रिभुज। इन वक्रों का निर्माण रेखाओं की व्यवस्था के रेखन पर केंद्रित वृत्ताकार चापों का उपयोग करके भी किया जा सकता है, जैसे कि कुछ वक्रों का समावेश, या आंशिक वक्र पर केंद्रित वृत्तों को काटकर।

निरंतर चौड़ाई का प्रत्येक पिंड एक उत्तल समुच्चय है, इसकी सीमा किसी भी रेखा द्वारा अधिकतम दो बार पार की जाती है, और यदि रेखा लंबवत रूप से पार करती है, तो यह चौड़ाई से अलग दोनों रेखन पर ऐसा करती है। बारबियर के प्रमेय के अनुसार, शरीर की परिधि इसकी चौड़ाई का ठीक π गुना है, लेकिन इसका क्षेत्रफल इसके आकार पर निर्भर करता है, रीलॉक्स त्रिकोण के साथ इसकी चौड़ाई के लिए सबसे छोटा संभव क्षेत्र है और सबसे बड़ा वृत्त है। निरंतर चौड़ाई के शरीर के प्रत्येक अधिसमुच्चय में बिंदुओं के जोड़े शामिल होते हैं जो चौड़ाई से अलग होते हैं, और निरंतर चौड़ाई के प्रत्येक वक्र में चरम वक्रता के कम से कम छह बिंदु शामिल होते हैं। हालांकि रीलॉक्स त्रिकोण चिकना नहीं है, निरंतर चौड़ाई के वक्र को हमेशा उसी निरंतर चौड़ाई के चिकने वक्र द्वारा मनमाने ढंग से बारीकी से अनुमानित किया जा सकता है।

स्थिर-चौड़ाई वाले अनुप्रस्थ काट वाले बेलनाकार(सिलिंडरों) को समतल सतह का समर्थन करने के लिए बेल्लोर्मि(रोलर्स) के रूप में उपयोग किया जा सकता है। स्थिर चौड़ाई के वक्र का एक अन्य अनुप्रयोग सिक्के के आकार के लिए है, जहां नियमित रीलॉक्स बहुभुज एक आम पसंद हैं। संभावना है कि मंडलियों के अलावा अन्य वक्रों की निरंतर चौड़ाई हो सकती है, जिससे किसी वस्तु की गोलाई की जांच करना अधिक जटिल हो जाता है।

उच्च आयामों और गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के लिए निरंतर चौड़ाई के वक्रों को कई तरह से सामान्यीकृत किया गया है।

परिभाषाएँ

चौड़ाई, और स्थिर चौड़ाई, वक्रों की सहायक रेखाओं के रूप में परिभाषित की जाती हैं; ये वे रेखाएँ हैं जो किसी वक्र को बिना काटे स्पर्श करती हैं। विमान में प्रत्येक कॉम्पैक्ट समुच्चय वक्र में किसी भी दिशा में दो सहायक रेखाएँ होती हैं, जिनके बीच वक्र सैंडविच होता है। इन दो रेखाओं के बीच की यूक्लिडियन दूरी उस दिशा में वक्र की चौड़ाई है, और एक वक्र की निरंतर चौड़ाई होती है यदि यह दूरी रेखाओं की सभी दिशाओं के लिए समान हो। एक बंधे हुए उत्तल समुच्चय की चौड़ाई को उसी तरह से परिभाषित किया जा सकता है जैसे घटता के लिए, समानांतर रेखाओं के जोड़े के बीच की दूरी जो इसे पार किए बिना समुच्चय को छूती है, और एक उत्तल समुच्चय निरंतर चौड़ाई का एक पिंड होता है जब यह दूरी गैर-शून्य होती है और रेखाओं की दिशा पर निर्भर नहीं करता है। निरंतर चौड़ाई के प्रत्येक शरीर की सीमा के रूप में निरंतर चौड़ाई का एक वक्र होता है, और निरंतर चौड़ाई के प्रत्येक वक्र की उत्तल पतवार के रूप में निरंतर चौड़ाई का शरीर होता है।[2][3] एक कॉम्पैक्ट वक्र या उत्तल समुच्चय की चौड़ाई को परिभाषित करने का एक अन्य समकक्ष तरीका एक रेखा पर इसके ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण को देखकर है। दोनों ही मामलों में, प्रक्षेपण एक रेखा खंड है, जिसकी लंबाई समर्थन रेखाओं के बीच की दूरी के बराबर होती है जो रेखा के लंबवत होती हैं। इसलिए, एक वक्र या एक उत्तल समुच्चय की चौड़ाई स्थिर होती है जब इसके सभी ऑर्थोगोनल अनुमानों की लंबाई समान होती है।[2][3]


उदाहरण

आठवीं डिग्री बहुपद द्वारा परिभाषित निरंतर चौड़ाई का एक वक्र

वृत्तों की चौड़ाई उनके व्यास के बराबर होती है। दूसरी ओर, वर्ग ऐसा नहीं करते हैं: वर्ग के दो विपरीत पक्षों के समानांतर सहायक रेखाएँ एक विकर्ण के समानांतर सहायक रेखाओं की तुलना में एक साथ निकट होती हैं। अधिक सामान्यतः, किसी भी बहुभुज की चौड़ाई स्थिर नहीं हो सकती है। हालांकि, स्थिर चौड़ाई के अन्य आकार भी हैं। एक मानक उदाहरण रेउलेक्स त्रिकोण है, तीन हलकों का प्रतिच्छेदन, प्रत्येक केंद्र जहां अन्य दो मंडल पार करते हैं।[2] इसकी सीमा वक्र में इन वृत्तों के तीन चाप होते हैं, जो 120° कोणों पर मिलते हैं, इसलिए यह वक्रों और सतहों की चिकनी कार्य # चिकनाई नहीं है, और वास्तव में ये कोण निरंतर चौड़ाई के किसी भी वक्र के लिए सबसे तेज संभव हैं।[3]

स्थिर चौड़ाई के अन्य वक्र चिकने लेकिन गैर-वृत्ताकार हो सकते हैं, यहाँ तक कि उनकी सीमा में कोई गोलाकार चाप भी नहीं है। उदाहरण के लिए, नीचे बहुपद का शून्य समुच्चय निरंतर चौड़ाई का एक गैर-परिपत्र चिकनी बीजगणितीय वक्र बनाता है:[4]

इसकी डिग्री, आठ, एक बहुपद के लिए न्यूनतम संभव डिग्री है जो निरंतर चौड़ाई के गैर-वृत्ताकार वक्र को परिभाषित करता है।[5]


निर्माण

एक अनियमित रीलॉक्स बहुभुज
रेखाओं की व्यवस्था के लिए क्रॉस-लाइन पद्धति को लागू करना। निरंतर चौड़ाई के नीले शरीर की सीमाएं चार नेस्टेड जोड़े मंडलियों (आंतरिक मंडल गहरे लाल और बाहरी मंडल हल्के लाल) से गोलाकार चाप हैं।
अर्ध-दीर्घवृत्त (काला) पर केंद्रित डिस्क (नीला) को काटकर गठित निरंतर चौड़ाई (पीला) का शरीर। लाल वृत्त अर्ध-दीर्घवृत्त के वर्टेक्स (वक्र) पर एक सहायक रेखा को स्पर्शरेखा दिखाता है। आकृति में अर्ध-दीर्घवृत्त की विलक्षणता इस निर्माण के लिए अधिकतम संभव है।

भुजाओं की विषम संख्या वाला प्रत्येक नियमित बहुभुज निरंतर चौड़ाई के एक वक्र को जन्म देता है, एक Reuleaux बहुभुज, जो इसके शीर्षों पर केन्द्रित वृत्ताकार चापों से बनता है जो केंद्र से सबसे दूर के दो शीर्षों से होकर गुजरता है। उदाहरण के लिए, यह निर्माण एक समबाहु त्रिभुज से एक Reuleaux त्रिभुज उत्पन्न करता है। कुछ अनियमित बहुभुज रेउलेक्स बहुभुज भी उत्पन्न करते हैं।[6][7] मार्टिन गार्डनर द्वारा क्रास्ड-लाइन विधि कहे जाने वाले निकट से संबंधित निर्माण में, समतल में रेखाओं की व्यवस्था (कोई दो समानांतर नहीं बल्कि अन्यथा मनमाने ढंग से) को रेखाओं के ढलानों द्वारा चक्रीय क्रम में क्रमबद्ध किया जाता है। फिर रेखाएं वृत्ताकार चापों के अनुक्रम से बने वक्र द्वारा जुड़ी होती हैं; प्रत्येक चाप क्रमबद्ध क्रम में दो लगातार रेखाओं को जोड़ता है, और उनके रेखन पर केंद्रित होता है। पहले चाप की त्रिज्या को इतना बड़ा चुना जाना चाहिए कि सभी क्रमिक चाप अगले रेखन बिंदु के दाईं ओर समाप्त हो जाएं; हालाँकि, सभी पर्याप्त-बड़े रेडी काम करते हैं। दो पंक्तियों के लिए, यह एक वृत्त बनाता है; एक समबाहु त्रिभुज की भुजाओं पर तीन रेखाओं के लिए, न्यूनतम संभव त्रिज्या के साथ, यह एक Reuleaux त्रिभुज बनाता है, और एक नियमित तारा बहुभुज की रेखाओं के लिए यह एक Reuleaux बहुभुज बना सकता है।[2][6]

लियोनहार्ड यूलर ने कस्प (विलक्षणता) की एक विषम संख्या वाले वक्रों के समावेशन से निरंतर चौड़ाई के घटता का निर्माण किया, जिसमें प्रत्येक दिशा में केवल एक स्पर्श रेखा होती है (अर्थात, हेजहोग (ज्यामिति))।[1][8] अंतर्वलित निर्माण का वर्णन करने का एक सहज तरीका इस तरह के वक्र के चारों ओर एक रेखा खंड को रोल करना है, जब तक कि यह स्पर्शरेखा के अपने शुरुआती बिंदु पर वापस नहीं आ जाता है, तब तक इसे बिना खिसकाए वक्र के स्पर्शरेखा पर रखें। रेखा खंड इतना लंबा होना चाहिए कि वह वक्र के पुच्छल बिंदुओं तक पहुंच सके, ताकि वह वक्र के अगले भाग में प्रत्येक पुच्छल को पार कर सके, और इसकी प्रारंभिक स्थिति को सावधानी से चुना जाना चाहिए ताकि रोलिंग प्रक्रिया के अंत में यह यह उसी स्थिति में है जिससे यह शुरू हुआ था। जब ऐसा होता है, तो रेखा खंड के अंत बिंदुओं द्वारा पता लगाया गया वक्र एक अंतर्वलित होता है जो दिए गए वक्र को बिना पार किए, रेखा खंड की लंबाई के बराबर निरंतर चौड़ाई के साथ घेरता है।[9] यदि शुरुआती वक्र चिकना है (क्यूप्स को छोड़कर), निरंतर चौड़ाई का परिणामी वक्र भी चिकना होगा।[1][8] इस निर्माण के लिए सही गुणों के साथ एक शुरुआती वक्र का एक उदाहरण डेल्टॉइड वक्र है, और डेल्टॉइड के इनवॉल्व्स जो इसे घेरते हैं, निरंतर चौड़ाई के चिकने वक्र बनाते हैं, जिसमें कोई गोलाकार चाप नहीं होता है।[10][11] एक और निर्माण कुछ आवश्यकताओं को पूरा करते हुए, स्थिर चौड़ाई के वक्र का आधा हिस्सा चुनता है, और इसकी सीमा के हिस्से के रूप में दिए गए वक्र वाले निरंतर चौड़ाई का एक शरीर बनाता है। निर्माण एक उत्तल घुमावदार चाप से शुरू होता है, जिसका अंतिम बिंदु इच्छित चौड़ाई है अलग। दो समापन बिंदुओं को दूरी पर समानांतर सहायक रेखाओं को स्पर्श करना चाहिए एक दूसरे से। इसके अतिरिक्त, प्रत्येक सहायक रेखा जो चाप के दूसरे बिंदु को स्पर्श करती है, उस बिंदु पर त्रिज्या के एक वृत्त पर स्पर्शरेखा होनी चाहिए संपूर्ण चाप युक्त; यह आवश्यकता चाप की वक्रता को वृत्त की वक्रता से कम होने से रोकती है। निरंतर चौड़ाई का पूरा शरीर दो प्रकार के मंडलियों के अनंत परिवार के अंदरूनी हिस्सों का चौराहे है: जो सहायक रेखाओं के स्पर्शक हैं, और दिए गए चाप के प्रत्येक बिंदु पर केंद्रित एक ही त्रिज्या के अधिक मंडल हैं। यह रचना सार्वभौम है: स्थिर चौड़ाई के सभी वक्रों का निर्माण इस प्रकार किया जा सकता है।[3] 19वीं सदी के एक फ्रांसीसी गणितज्ञ विक्टर पुइसेक्स ने दीर्घवृत्तीय चापों वाली स्थिर चौड़ाई वाले वक्रों की खोज की[12] जिसका निर्माण अर्ध-दीर्घवृत्त से इस प्रकार किया जा सकता है। वक्रता की स्थिति को पूरा करने के लिए, अर्ध-दीर्घवृत्त को अर्ध-प्रमुख और अर्ध-लघु अक्षों से घिरा होना चाहिए | इसके दीर्घवृत्त के अर्ध-प्रमुख अक्ष, और दीर्घवृत्त में अधिक से अधिक उत्केन्द्रता (गणित) होनी चाहिए . समतुल्य रूप से, अर्ध-प्रमुख अक्ष अर्ध-लघु अक्ष से अधिक से अधिक दो बार होना चाहिए।[6] निरंतर चौड़ाई के किन्हीं दो पिंडों को देखते हुए, उनका मिन्कोव्स्की योग निरंतर चौड़ाई का एक और पिंड बनाता है।[13] हेजहोगों के समर्थन कार्यों के योग के लिए मिन्कोव्स्की योगों का एक सामान्यीकरण प्रक्षेपी हेजहोग और एक सर्कल के योग से निरंतर चौड़ाई का एक वक्र उत्पन्न करता है, जब भी परिणाम एक उत्तल वक्र होता है। निरंतर चौड़ाई के सभी घटता इस तरह हेजहोगों के योग में विघटित हो सकते हैं।[14]


गुण

रीलॉक्स त्रिभुज एक वर्ग के भीतर लुढ़कता है जबकि हर समय सभी चारों पक्षों को छूता है

निरंतर चौड़ाई का एक वक्र अपनी चौड़ाई से अलग की गई दो समानांतर रेखाओं के बीच घूम सकता है, जबकि हर समय उन रेखाओं को छूता है, जो घुमाए गए वक्र के लिए सहायक रेखाओं के रूप में कार्य करती हैं। उसी तरह, निरंतर चौड़ाई का एक वक्र एक समचतुर्भुज या वर्ग के भीतर घूम सकता है, जिसके विपरीत भुजाओं के जोड़े चौड़ाई से अलग हो जाते हैं और समानांतर समर्थन रेखाओं पर स्थित होते हैं।[2][6][3] निरंतर चौड़ाई का प्रत्येक वक्र एक नियमित षट्भुज के भीतर उसी तरह नहीं घूम सकता है, क्योंकि इसकी सहायक रेखाएँ हमेशा एक नियमित बनाने के बजाय अलग-अलग घुमावों के लिए अलग-अलग अनियमित षट्भुज बना सकती हैं। हालांकि, निरंतर चौड़ाई के प्रत्येक वक्र को समांतर सहायक रेखाओं पर विपरीत पक्षों के साथ कम से कम एक नियमित षट्भुज द्वारा घेरा जा सकता है।[15]

एक वक्र की चौड़ाई स्थिर होती है यदि और केवल यदि समानांतर सहायक रेखाओं के प्रत्येक जोड़े के लिए, यह उन दो रेखाओं को उन बिंदुओं पर स्पर्श करता है जिनकी दूरी रेखाओं के बीच की दूरी के बराबर होती है। विशेष रूप से, इसका तात्पर्य यह है कि यह केवल एक बिंदु पर प्रत्येक सहायक रेखा को स्पर्श कर सकता है। समतुल्य रूप से, वक्र को लंबवत रूप से पार करने वाली प्रत्येक रेखा इसे चौड़ाई के बराबर दूरी के दो बिंदुओं पर पार करती है। इसलिए, निरंतर चौड़ाई का वक्र उत्तल होना चाहिए, क्योंकि प्रत्येक गैर-उत्तल सरल बंद वक्र में एक सहायक रेखा होती है जो इसे दो या अधिक बिंदुओं पर स्पर्श करती है।[3][8] निरंतर चौड़ाई के वक्र स्व-समानांतर या ऑटो-समानांतर वक्रों के उदाहरण हैं, एक रेखा खंड के दोनों समापन बिंदुओं द्वारा खोजे गए वक्र जो इस तरह से चलते हैं कि दोनों समापन बिंदु रेखा खंड के लंबवत चलते हैं। हालाँकि, अन्य स्व-समानांतर वक्र मौजूद हैं, जैसे कि एक वृत्त के समावेशन द्वारा गठित अनंत सर्पिल, जिसमें निरंतर चौड़ाई नहीं होती है।[16] बारबियर के प्रमेय का दावा है कि निरंतर चौड़ाई के किसी भी वक्र की परिधि चौड़ाई गुणा के बराबर होती है . एक विशेष मामले के रूप में, यह सूत्र मानक सूत्र के अनुरूप है एक वृत्त की परिधि के लिए उसका व्यास दिया गया है।[17][18] आइसोपेरिमेट्रिक असमानता और बार्बियर के प्रमेय के अनुसार, सर्कल में दी गई निरंतर चौड़ाई के किसी भी वक्र का अधिकतम क्षेत्रफल होता है। ब्लास्चके-लेबेस्गुए प्रमेय का कहना है कि रूलॉक्स त्रिकोण में दी गई निरंतर चौड़ाई के किसी भी उत्तल वक्र का सबसे कम क्षेत्र है।[19] निरंतर चौड़ाई के शरीर के प्रत्येक उचित सुपरसमुच्चय में सख्ती से अधिक व्यास होता है, और इस संपत्ति के साथ प्रत्येक यूक्लिडियन समुच्चय निरंतर चौड़ाई का शरीर होता है। विशेष रूप से, यह संभव नहीं है कि स्थिर चौड़ाई का एक पिंड समान स्थिर चौड़ाई वाले किसी भिन्न पिंड का उपसमुच्चय हो।[20][21] निरंतर चौड़ाई के प्रत्येक वक्र को मनमाने ढंग से बारीकी से एक टुकड़ावार परिपत्र वक्र या उसी स्थिर चौड़ाई के विश्लेषणात्मक वक्र द्वारा अनुमानित किया जा सकता है।[22] एक वर्टेक्स (वक्र) एक बिंदु है जहां इसकी वक्रता एक स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम होती है; एक वृत्ताकार चाप के लिए, सभी बिंदु शीर्ष होते हैं, लेकिन गैर-परिपत्र वक्रों में शीर्षों का परिमित पृथक समुच्चय हो सकता है। एक ऐसे वक्र के लिए जो चिकना नहीं है, जिन बिंदुओं पर यह चिकना नहीं है, उन्हें अनंत वक्रता के शीर्षों के रूप में भी माना जा सकता है। निरंतर चौड़ाई की वक्र के लिए, स्थानीय रूप से न्यूनतम वक्रता के प्रत्येक शीर्ष को वक्र के व्यास पर इसके विपरीत स्थानीय रूप से अधिकतम वक्रता के शीर्ष के साथ जोड़ा जाता है, और कम से कम छह कोने होने चाहिए। यह चार-शिखर प्रमेय के विपरीत है, जिसके अनुसार विमान में प्रत्येक सरल बंद चिकनी वक्र में कम से कम चार शिखर होते हैं। कुछ वक्र, जैसे दीर्घवृत्त, में ठीक चार शीर्ष होते हैं, लेकिन स्थिर चौड़ाई वाले वक्र के लिए यह संभव नहीं है।[14][23] क्योंकि वक्रता का स्थानीय निम्नतम वक्रता के स्थानीय उच्चिष्ठ के विपरीत होता है, केंद्रीय समरूपता के साथ निरंतर चौड़ाई के एकमात्र वक्र वृत्त होते हैं, जिसके लिए वक्रता सभी बिंदुओं पर समान होती है।[13] निरंतर चौड़ाई के प्रत्येक वक्र के लिए, वक्र की सबसे छोटी-वृत्त समस्या और इसमें शामिल सबसे बड़ा वृत्त संकेंद्रित होते हैं, और उनके व्यास का औसत वक्र की चौड़ाई है। ये दो वृत्त एक साथ विपरीत बिंदुओं के कम से कम तीन युग्मों में वक्र को स्पर्श करते हैं, लेकिन ये बिंदु आवश्यक रूप से शीर्ष नहीं हैं।[13] एक उत्तल पिंड की निरंतर चौड़ाई होती है यदि और केवल यदि पिंड का मिंकोव्स्की योग और इसका 180° घूर्णन एक गोलाकार डिस्क है; यदि हां, तो मुख्य भाग की चौड़ाई डिस्क की त्रिज्या है।[13][15]


अनुप्रयोग

निरंतर चौड़ाई के रोलर्स

समानांतर रेखाओं के बीच रोल करने के लिए निरंतर चौड़ाई के वक्रों की क्षमता के कारण, क्रॉस-सेक्शन के रूप में निरंतर चौड़ाई के वक्र वाला कोई भी सिलेंडर असर (यांत्रिक) #इतिहास के रूप में कार्य कर सकता है| रोलर, एक स्तर के विमान का समर्थन करता है और इसे समतल रखता है क्योंकि यह किसी भी स्तर की सतह पर लुढ़कता है। हालांकि, रोलर का केंद्र रोल करते समय ऊपर और नीचे चलता रहता है, इसलिए यह निर्माण निश्चित एक्सल से जुड़े इस आकार के पहियों के लिए काम नहीं करेगा।[2][6][3]

कुछ सिक्का आकार निरंतर चौड़ाई के गैर-वृत्ताकार निकाय हैं। उदाहरण के लिए, ब्रिटिश ब्रिटिश सिक्का ट्वेंटी पेंस और ब्रिटिश सिक्का पचास पेंस के सिक्के रीलॉक्स हेप्टागन हैं, और कैनेडियन लूनी एक रीलॉक्स 11-गॉन है।[24] मशीन में सिक्के के उन्मुखीकरण की परवाह किए बिना, ये आकृतियाँ स्वचालित सिक्का मशीनों को इन सिक्कों को उनकी चौड़ाई से पहचानने की अनुमति देती हैं।[2][6] दूसरी ओर, चौड़ाई का परीक्षण गोलाई (ऑब्जेक्ट) को निर्धारित करने के लिए अपर्याप्त है, क्योंकि ऐसे परीक्षण हलकों को स्थिर चौड़ाई के अन्य वक्रों से अलग नहीं कर सकते हैं।[2][6] इस तथ्य की अनदेखी ने स्पेस शटल चैलेंजर आपदा में एक भूमिका निभाई हो सकती है, क्योंकि उस प्रक्षेपण में रॉकेट के वर्गों की गोलाई का परीक्षण केवल चौड़ाई को मापने के द्वारा किया गया था, और ऑफ-राउंड आकार असामान्य रूप से उच्च तनाव पैदा कर सकता है जो कि एक हो सकता था आपदा पैदा करने वाले कारक।[25]


सामान्यीकरण

निरंतर चौड़ाई के वक्रों को कुछ गैर-उत्तल वक्रों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, वक्र जिनमें प्रत्येक दिशा में दो स्पर्श रेखाएँ होती हैं, इन दो रेखाओं के बीच समान अलगाव के साथ उनकी दिशा की परवाह किए बिना। एक सीमित मामले के रूप में, हेजहोग (ज्यामिति) (प्रत्येक दिशा में एक स्पर्शरेखा वाली वक्र) को शून्य चौड़ाई के वक्र भी कहा जाता है।[26] इन अवधारणाओं को तीन आयामों में सामान्यीकृत करने का एक तरीका निरंतर चौड़ाई की सतह के माध्यम से है। रीलॉक्स त्रिकोण के त्रि-आयामी एनालॉग, रीलॉक्स टेट्राहेड्रॉन में निरंतर चौड़ाई नहीं होती है, लेकिन इसमें मामूली परिवर्तन मीस्नर निकायों का उत्पादन करते हैं, जो करते हैं।[2][13] निरंतर चौड़ाई के वक्रों को भी निरंतर चमक, त्रि-आयामी आकृतियों के शरीर के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है जिनके द्वि-आयामी अनुमानों में सभी समान क्षेत्र होते हैं; ये आकृतियाँ बारबियर प्रमेय के सामान्यीकरण का पालन करती हैं।[13] त्रि-आयामी सामान्यीकरण का एक अलग वर्ग, निरंतर चौड़ाई के अंतरिक्ष घटता, गुणों द्वारा परिभाषित किया गया है कि प्रत्येक विमान जो वक्र को लंबवत रूप से पार करता है, उसे ठीक एक अन्य बिंदु पर काटता है, जहां यह लंबवत भी है, और यह कि बिंदुओं के सभी जोड़े प्रतिच्छेद करते हैं लम्बवत विमानों द्वारा अलग-अलग दूरी पर हैं।[27][28][29][30] गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति में निरंतर चौड़ाई के घटता और पिंडों का भी अध्ययन किया गया है[31] और गैर-यूक्लिडियन नॉर्म्ड वेक्टर स्पेस के लिए।[20]


यह भी देखें

  • औसत चौड़ाई, किसी वक्र की चौड़ाई सभी संभव दिशाओं में औसत होती है
  • ज़िंडलर वक्र, एक वक्र जिसमें सभी परिधि-द्विभाजित जीवाओं की लंबाई समान होती है

संदर्भ

  1. ↑ 1.0 1.1 1.2 Euler, Leonhard (1781). "De curvis triangularibus". Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae (in Latina). 1778 (II): 3–30.
  2. ↑ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 Gardner, Martin (1991). "Chapter 18: Curves of Constant Width". The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions. University of Chicago Press. pp. 212–221. ISBN 0-226-28256-2.
  3. ↑ 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 Rademacher, Hans; Toeplitz, Otto (1957). "Chapter 25: Curves of Constant Breadth". The Enjoyment of Mathematics: Selections from Mathematics for the Amateur. Princeton University Press. pp. 163–177.
  4. ↑ Rabinowitz, Stanley (1997). "A polynomial curve of constant width" (PDF). Missouri Journal of Mathematical Sciences. 9 (1): 23–27. doi:10.35834/1997/0901023. MR 1455287.
  5. ↑ Bardet, Magali; Bayen, Térence (2013). "On the degree of the polynomial defining a planar algebraic curves of constant width". arXiv:1312.4358 [math.AG].
  6. ↑ 6.0 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 Bryant, John; Sangwin, Chris (2008). "Chapter 10: How Round Is Your Circle?". How Round Is Your Circle? Where Engineering and Mathematics Meet. Princeton University Press. pp. 188–226. ISBN 978-0-691-13118-4.
  7. ↑ Cundy, H. Martyn; Rollett, A. P. (1961). Mathematical Models (2nd ed.). Oxford University Press. p. 212.
  8. ↑ 8.0 8.1 8.2 Robertson, S. A. (1984). "Smooth curves of constant width and transnormality". The Bulletin of the London Mathematical Society. 16 (3): 264–274. doi:10.1112/blms/16.3.264. MR 0738517.
  9. ↑ Lowry, H. V. (February 1950). "2109. Curves of constant diameter". Mathematical notes. The Mathematical Gazette. 34 (307): 43. doi:10.2307/3610879. JSTOR 3610879.
  10. ↑ Goldberg, Michael (March 1954). "Rotors within rotors". American Mathematical Monthly. 61 (3): 166–171. doi:10.2307/2307215. JSTOR 2307215.
  11. ↑ Burke, John F. (March 1966). "A curve of constant diameter". Mathematics Magazine. 39 (2): 84–85. doi:10.2307/2688715. JSTOR 2688715.
  12. ↑ Kearsley, M. J. (September 1952). "Curves of constant diameter". The Mathematical Gazette. 36 (317): 176–179. doi:10.2307/3608253. JSTOR 3608253.
  13. ↑ 13.0 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 Martini, Horst; Montejano, Luis; Oliveros, Déborah (2019). Bodies of Constant Width: An Introduction to Convex Geometry with Applications. Birkhäuser. doi:10.1007/978-3-030-03868-7. ISBN 978-3-030-03866-3. MR 3930585. S2CID 127264210. For properties of planar curves of constant width, see in particular pp. 69–71. For the Meissner bodies, see section 8.3, pp. 171–178. For bodies of constant brightness, see section 13.3.2, pp. 310–313.
  14. ↑ 14.0 14.1 Martinez-Maure, Yves (1996). "A note on the tennis ball theorem". American Mathematical Monthly. 103 (4): 338–340. doi:10.2307/2975192. JSTOR 2975192. MR 1383672.
  15. ↑ 15.0 15.1 Chakerian, G. D. (1966). "Sets of constant width". Pacific Journal of Mathematics. 19: 13–21. doi:10.2140/pjm.1966.19.13. MR 0205152.
  16. ↑ Ferréol, Robert; Boureau, Samuel; Esculier, Alain (2017). "Self-parallel curve, curve of constant width". Encyclopédie des formes mathématiques remarquables.
  17. ↑ Lay, Steven R. (2007). Convex Sets and Their Applications. Dover. Theorem 11.11, pp. 81–82. ISBN 9780486458038..
  18. ↑ Barbier, E. (1860). "Note sur le problème de l'aiguille et le jeu du joint couvert" (PDF). Journal de mathématiques pures et appliquées. 2e série (in French). 5: 273–286.{{cite journal}}: CS1 maint: unrecognized language (link) See in particular pp. 283–285.
  19. ↑ Gruber, Peter M. (1983). Convexity and its Applications. Birkhäuser. p. 67. ISBN 978-3-7643-1384-5.
  20. ↑ 20.0 20.1 Eggleston, H. G. (1965). "Sets of constant width in finite dimensional Banach spaces". Israel Journal of Mathematics. 3 (3): 163–172. doi:10.1007/BF02759749. MR 0200695. S2CID 121731141.
  21. ↑ Jessen, Börge (1929). "Über konvexe Punktmengen konstanter Breite". Mathematische Zeitschrift. 29 (1): 378–380. doi:10.1007/BF03326404. MR 3108700. S2CID 122800988.
  22. ↑ Wegner, B. (1977). "Analytic approximation of continuous ovals of constant width". Journal of the Mathematical Society of Japan. 29 (3): 537–540. doi:10.2969/jmsj/02930537. MR 0464076.
  23. ↑ Craizer, Marcos; Teixeira, Ralph; Balestro, Vitor (2018). "Closed cycloids in a normed plane". Monatshefte für Mathematik. 185 (1): 43–60. arXiv:1608.01651. doi:10.1007/s00605-017-1030-5. MR 3745700. S2CID 119710622.
  24. ↑ Chamberland, Marc (2015). Single Digits: In Praise of Small Numbers. Princeton University Press. pp. 104–105. ISBN 9781400865697.
  25. ↑ Moore, Helen (2004). "Space shuttle geometry". In Hayes, David F.; Shubin, Tatiana (eds.). Mathematical Adventures for Students and Amateurs. MAA Spectrum. Washington, DC: Mathematical Association of America. pp. 7–16. ISBN 0-88385-548-8. MR 2085842.
  26. ↑ Kelly, Paul J. (1957). "Curves with a kind of constant width". American Mathematical Monthly. 64 (5): 333–336. doi:10.2307/2309594. JSTOR 2309594. MR 0092168.
  27. ↑ Fujiwara, M. (1914). "On space curves of constant breadth". Tohoku Mathematical Journal. 1st series. 5: 180–184.
  28. ↑ Cieślak, Waldemar (1988). "On space curves of constant width". Bulletin de la Société des Sciences et des Lettres de Łódź. 38 (5): 7. MR 0995691.
  29. ↑ Teufel, Eberhard (1993). "On the length of space curves of constant width". Beiträge zur Algebra und Geometrie. 34 (2): 173–176. MR 1264285.
  30. ↑ Wegner, Bernd (1972). "Globale Sätze über Raumkurven konstanter Breite". Mathematische Nachrichten (in Deutsch). 53 (1–6): 337–344. doi:10.1002/mana.19720530126. MR 0317187.
  31. ↑ Leichtweiss, K. (2005). "Curves of constant width in the non-Euclidean geometry". Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. 75: 257–284. doi:10.1007/BF02942046. MR 2187589. S2CID 119927817.


बाहरी संबंध

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