पूर्ण सम्बद्ध समष्टि

टोपोलॉजी में, एक टोपोलॉजिकल स्पेस को सिंपल कनेक्टेड (या 1-कनेक्टेड, या 1-सिम्पली कनेक्टेड) ​​कहा जाता है।) यदि यह पथ से जुड़ा हुआ है और दो बिंदुओं के बीच प्रत्येक पथ (टोपोलॉजी) को प्रश्न में दो समापन बिंदुओं को संरक्षित करते हुए किसी अन्य ऐसे पथ में लगातार रूपांतरित किया जा सकता है (सहज रूप से एम्बेडेड रिक्त स्थान के लिए)। एक टोपोलॉजिकल स्पेस का मौलिक समूह अंतरिक्ष के लिए आसानी से कनेक्ट होने की विफलता का संकेतक है: पथ से जुड़े टोपोलॉजिकल स्पेस को केवल तभी जोड़ा जाता है जब उसका मौलिक समूह तुच्छ हो।

परिभाषा और समकक्ष योग

यह आकृति एक ऐसे सेट का प्रतिनिधित्व करती है जो आसानी से जुड़ा नहीं है, क्योंकि कोई भी लूप जो एक या अधिक छिद्रों को घेरता है, उसे क्षेत्र से बाहर निकले बिना एक बिंदु पर अनुबंधित नहीं किया जा सकता है।

एक टोपोलॉजिकल स्पेस $X$ कहा जाता है simply connected यदि यह पाथ-कनेक्टेड है और कोई लूप (टोपोलॉजी) इन है $X$ द्वारा परिभाषित $f:S^{1}\to X$ एक बिंदु पर अनुबंधित किया जा सकता है: एक सतत नक्शा मौजूद है $F:D^{2}\to X$ ऐसा है कि $F$ के लिए प्रतिबंधित $S^{1}$ है $f.$ यहां, $S^{1}$ तथा $D^{2}$ यूक्लिडियन अंतरिक्ष में क्रमशः यूनिट सर्कल और बंद यूनिट डिस्क को दर्शाता है।

एक समतुल्य सूत्रीकरण यह है: $X$ बस जुड़ा हुआ है अगर और केवल अगर यह पथ से जुड़ा हुआ है, और जब भी $p:[0,1]\to X$ तथा $q:[0,1]\to X$ एक ही प्रारंभ और समापन बिंदु के साथ दो पथ (अर्थात निरंतर मानचित्र) हैं ($p(0)=q(0)$ तथा $p(1)=q(1)$), फिर $p$ में लगातार विकृत किया जा सकता है $q$ दोनों समापन बिंदुओं को स्थिर रखते हुए। स्पष्ट रूप से, एक समरूपता मौजूद है $F:[0,1]\times [0,1]\to X$ ऐसा है कि $F(x,0)=p(x)$ तथा $F(x,1)=q(x).$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस $X$ बस अगर और केवल अगर जुड़ा हुआ है $X$ पथ से जुड़ा हुआ है और का मौलिक समूह है $X$ प्रत्येक बिंदु तुच्छ है, अर्थात इसमें केवल पहचान तत्व शामिल है। इसी प्रकार, $X$ सभी बिंदुओं के लिए बस अगर और केवल अगर जुड़ा हुआ है $x,y\in X,$ morphisms का सेट $\operatorname {Hom} _{\Pi (X)}(x,y)$ के मौलिक समूह में $X$ केवल एक तत्व है। जटिल विश्लेषण में: एक खुला उपसमुच्चय $X\subseteq \mathbb {C}$ बस जुड़ा हुआ है अगर और केवल अगर दोनों $X$ और रीमैन क्षेत्र में इसके पूरक जुड़े हुए हैं। काल्पनिक भाग के साथ जटिल संख्याओं का सेट शून्य से अधिक और एक से कम एक असीमित, जुड़े हुए, विमान के खुले उपसमुच्चय का एक अच्छा उदाहरण प्रस्तुत करता है जिसका पूरक जुड़ा नहीं है। फिर भी यह बस जुड़ा हुआ है। यह भी इंगित करने योग्य हो सकता है कि आवश्यकता में छूट $X$ कनेक्टेड विस्तारित पूरक के साथ विमान के खुले उपसमुच्चय के एक दिलचस्प अन्वेषण की ओर जाता है। उदाहरण के लिए, एक (जरूरी नहीं जुड़ा हुआ) ओपन सेट में एक जुड़ा हुआ विस्तारित पूरक होता है, जब इसके प्रत्येक जुड़े हुए घटक बस जुड़े होते हैं।

अनौपचारिक चर्चा

अनौपचारिक रूप से, हमारे अंतरिक्ष में एक वस्तु बस जुड़ा हुआ है अगर इसमें एक टुकड़ा होता है और इसमें कोई छेद नहीं होता है जो इसके माध्यम से गुजरता है। उदाहरण के लिए, न तो एक डोनट और न ही एक कॉफी कप (एक हैंडल के साथ) बस जुड़ा हुआ है, लेकिन एक खोखली रबर की गेंद बस जुड़ी हुई है। दो आयामों में, एक वृत्त केवल जुड़ा नहीं है, बल्कि एक डिस्क और एक रेखा है। वे स्थान जो जुड़ा हुआ स्थान हैं, लेकिन केवल कनेक्टेड नहीं हैं, नॉन-सिम्पली कनेक्टेड या मल्टीप्ल कनेक्टेड कहलाते हैं।

एक गोला बस जुड़ा हुआ है क्योंकि प्रत्येक लूप को एक बिंदु पर (सतह पर) अनुबंधित किया जा सकता है।

परिभाषा केवल अपघटन-आकार के छिद्रों को संभालती है। एक गोला (या, समतुल्य, एक खोखले केंद्र के साथ एक रबर की गेंद) बस जुड़ा हुआ है, क्योंकि गोले की सतह पर कोई भी लूप एक बिंदु तक सिकुड़ सकता है, भले ही उसके खोखले केंद्र में एक छेद हो। मजबूत स्थिति, कि वस्तु का कोई छेद नहीं है any आयाम, अनुबंधित स्थान कहा जाता है।

उदाहरण

एक टोरस केवल जुड़ी हुई सतह नहीं है। यहां दिखाए गए दो रंगीन लूपों में से किसी को भी सतह को छोड़े बिना एक बिंदु तक अनुबंधित नहीं किया जा सकता है। एक ठोस टोरस भी केवल जुड़ा नहीं है क्योंकि बैंगनी लूप ठोस को छोड़े बिना एक बिंदु तक अनुबंध नहीं कर सकता है।

* यूक्लिडियन अंतरिक्ष $\mathbb {R} ^{2}$ बस जुड़ा हुआ है, लेकिन $\mathbb {R} ^{2}$ माइनस द ओरिजिन $(0,0)$ नहीं है। यदि $n>2,$ फिर दोनों $\mathbb {R} ^{n}$ तथा $\mathbb {R} ^{n}$ माइनस द ओरिजिन बस जुड़े हुए हैं।

• अनुरूप: n-sphere|n-आयामी क्षेत्र $S^{n}$ बस अगर और केवल अगर जुड़ा हुआ है $n\geq 2.$
• का हर उत्तल उपसमुच्चय $\mathbb {R} ^{n}$ बस जुड़ा हुआ है।
• एक टोरस्र्स, (अण्डाकार) सिलेंडर (ज्यामिति), मोबियस स्ट्रिप, प्रक्षेपी विमान और क्लेन की बोतल केवल जुड़े नहीं हैं।
• हर टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस बस जुड़ा हुआ है; इसमें बनच स्थान और हिल्बर्ट अंतरिक्ष शामिल हैं।
• के लिये $n\geq 2,$ विशेष ऑर्थोगोनल समूह $\operatorname {SO} (n,\mathbb {R} )$ केवल जुड़ा नहीं है और विशेष एकात्मक समूह है $\operatorname {SU} (n)$ बस जुड़ा हुआ है।
• का एक बिंदु संघनन $\mathbb {R}$ बस जुड़ा नहीं है (भले ही $\mathbb {R}$ बस जुड़ा हुआ है)।
• लंबी लाइन (टोपोलॉजी) $L$ बस जुड़ा हुआ है, लेकिन इसकी कॉम्पैक्टीफिकेशन, विस्तारित लंबी लाइन $L^{*}$ नहीं है (चूंकि यह जुड़ा हुआ रास्ता भी नहीं है)।

गुण

एक सतह (द्वि-आयामी टोपोलॉजिकल विविध) बस जुड़ा हुआ है अगर और केवल अगर यह जुड़ा हुआ है और इसकी जीनस (गणित) (की संख्या) handles सतह का) 0 है।

किसी भी (उपयुक्त) स्थान का एक सार्वभौमिक आवरण $X$ एक साधारण रूप से जुड़ा हुआ स्थान है जो मैप करता है $X$ कवरिंग नक्शा के माध्यम से।

यदि $X$ तथा $Y$ होमोटॉपी समकक्ष हैं और $X$ बस जुड़ा हुआ है, तो ऐसा ही है $Y.$ एक निरंतर कार्य के तहत एक साधारण रूप से जुड़े सेट की छवि को केवल कनेक्ट करने की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए एक्सपोनेंशियल मैप के तहत जटिल विमान लें: छवि है $\mathbb {C} \setminus \{0\},$ जो कि जुड़ा ही नहीं है।

निम्नलिखित तथ्यों के कारण जटिल विश्लेषण में सरल जुड़ाव की धारणा महत्वपूर्ण है:

• कॉची का अभिन्न प्रमेय कहता है कि अगर $U$ सम्मिश्र संख्या का सरलता से जुड़ा हुआ खुला उपसमुच्चय है $\mathbb {C} ,$ तथा $f:U\to \mathbb {C}$ एक होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन है, फिर $f$ एक एंटीडेरिवेटिव (जटिल विश्लेषण) है $F$ पर $U,$ और प्रत्येक पंक्ति का मान अभिन्न है $U$ एकीकृत के साथ $f$ केवल अंत बिंदुओं पर निर्भर करता है $u$ तथा $v$ पथ के, और के रूप में गणना की जा सकती है $F(v)-F(u).$ इस प्रकार अभिन्न जोड़ने वाले विशेष पथ पर निर्भर नहीं करता है $u$ तथा $v,$ * रीमैन मानचित्रण प्रमेय कहता है कि कोई भी गैर-खाली खुला केवल जुड़ा हुआ उपसमुच्चय है $\mathbb {C}$ (के अलावा $\mathbb {C}$ ही) यूनिट डिस्क के अनुरूप नक्शा है।

पोंकारे अनुमान में सरल जुड़ाव की धारणा भी एक महत्वपूर्ण शर्त है।

यह भी देखें

• Fundamental group
• Deformation retract
• n-connected space
• Path-connected
• Unicoherent space

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• होमोटॉपी
• वृत्त
• अपघटन को संभालें
• सिकुड़ा हुआ स्थान
• जटिल संख्या
• रेखा अभिन्न
• रीमैन मैपिंग प्रमेय

संदर्भ

• Spanier, Edwin (December 1994). Algebraic Topology. Springer. ISBN 0-387-94426-5.
• Conway, John (1986). Functions of One Complex Variable I. Springer. ISBN 0-387-90328-3.
• Bourbaki, Nicolas (2005). Lie Groups and Lie Algebras. Springer. ISBN 3-540-43405-4.
• Gamelin, Theodore (January 2001). Complex Analysis. Springer. ISBN 0-387-95069-9.
• Joshi, Kapli (August 1983). Introduction to General Topology. New Age Publishers. ISBN 0-85226-444-5.