उष्णकटिबंधीय ज्यामिति

गणित में, उष्णकटिबंधीय ज्यामिति बहुपदों और उनके बीजगणितीय ज्यामिति गुणों का अध्ययन है जब जोड़ को न्यूनीकरण से बदल दिया जाता है और गुणन को साधारण जोड़ से बदल दिया जाता है:

$x\oplus y=\min\{x,y\},$

$x\otimes y=x+y.$

उदाहरण के लिए, क्लासिकल बहुपद $x^{3}+2xy+y^{4}$ बन जाएगा $\min\{x+x+x,\;2+x+y,\;y+y+y+y\}$. इस तरह के बहुपद और उनके समाधान में अनुकूलन समस्याओं में महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं, उदाहरण के लिए, ट्रेनों के नेटवर्क के लिए प्रस्थान समय को अनुकूलित करने की समस्या।

उष्णकटिबंधीय ज्यामिति एक प्रकार की बीजगणितीय ज्यामिति है जिसमें बहुपद रेखांकन टुकड़े-टुकड़े रेखीय जाल के समान होते हैं, और जिसमें संख्याएँ एक क्षेत्र के बजाय उष्णकटिबंधीय सेमिरिंग से संबंधित होती हैं। क्योंकि शास्त्रीय और उष्णकटिबंधीय ज्यामिति निकट से संबंधित हैं, परिणाम और विधियों को उनके बीच परिवर्तित किया जा सकता है। बीजगणितीय किस्मों को एक उष्णकटिबंधीय समकक्ष के लिए मैप किया जा सकता है और, चूंकि यह प्रक्रिया अभी भी मूल विविधता के बारे में कुछ ज्यामितीय जानकारी को बरकरार रखती है, इसका उपयोग बीजगणितीय ज्यामिति से शास्त्रीय परिणामों को साबित करने और सामान्य बनाने में मदद के लिए किया जा सकता है, जैसे ब्रिल-नोथेर प्रमेय, उष्णकटिबंधीय ज्यामिति से उपकरण का उपयोग करना है।

इतिहास

विभिन्न क्षेत्रों में काम कर रहे गणितज्ञों द्वारा एक ही अंकन का उपयोग करके उष्णकटिबंधीय विश्लेषण के मूल विचारों को स्वतंत्र रूप से विकसित किया गया था। उष्णकटिबंधीय ज्यामिति के केंद्रीय विचार पहले के कई कार्यों में विभिन्न रूपों में प्रकट हुए। उदाहरण के लिए, विक्टर पावलोविच मैस्लोव ने एकीकरण की प्रक्रिया का एक उष्णकटिबंधीय संस्करण पेश किया। उन्होंने यह भी देखा कि लीजेंड्रे परिवर्तन और हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण के समाधान उष्णकटिबंधीय अर्थों में रैखिक संचालन हैं। हालाँकि, 1990 के दशक के उत्तरार्ध से ही सिद्धांत की मूल परिभाषाओं को समेकित करने का प्रयास किया गया है। यह गणितीय गणनात्मक ज्यामिति के लिए अपने आवेदन से प्रेरित था, जिसमें मैक्सिम कोंटेसेविच के विचार और ग्रिगोरी मिखाल्किन के काम सम्मिलित थे।

विशेषण उष्णकटिबंधीय फ्रांसीसी गणितज्ञों द्वारा हंगरी में जन्मे ब्राज़िल के कंप्यूटर वैज्ञानिक इमरे साइमन के सम्मान में गढ़ा गया था, जिन्होंने मैदान पर लिखा था। जीन-एरिक पिन सिक्के का श्रेय डोमिनिक पेरिन को देते हैं, जबकि साइमन स्वयं इस शब्द का श्रेय क्रिश्चियन चोफ्रूट को देते हैं।

बीजगणित पृष्ठभूमि

Further information: उष्णकटिबंधीय सेमिरिंग

उष्णकटिबंधीय ज्यामिति उष्णकटिबंधीय सेमिरिंग पर आधारित है। अधिकतम या न्यूनतम सम्मेलन के आधार पर इसे दो तरीकों से परिभाषित किया गया है।

मिनि ट्रॉपिकल सेमीरिंग सेमीरिंग है $(\mathbb {R} \cup \{+\infty \},\oplus ,\otimes )$, संचालन के साथ:

$x\oplus y=\min\{x,y\},$

$x\otimes y=x+y.$

संचालन $\oplus$ तथा $\otimes$ क्रमशः उष्णकटिबंधीय जोड़ और उष्णकटिबंधीय गुणन के रूप में जाना जाता है। के लिए पहचान तत्व $\oplus$ है $+\infty$, और पहचान तत्व के लिए $\otimes$ 0 है।

इसी प्रकार, अधिकतम उष्णकटिबंधीय सेमिरिंग सेमिरिंग है $(\mathbb {R} \cup \{-\infty \},\oplus ,\otimes )$, संचालन के साथ:

$x\oplus y=\max\{x,y\},$

$x\otimes y=x+y.$

के लिए पहचान तत्व $\oplus$ है $-\infty$, और पहचान तत्व के लिए $\otimes$ 0 है।

ये सेमी-रिंग्स आइसोमॉर्फिक हैं, निषेध के तहत $x\mapsto -x$, और सामान्य तौर पर उनमें से एक को चुना जाता है और इसे केवल एक ट्रॉपिकल सेमी-रिंग कहा जाता है। सम्मेलन लेखकों और उपक्षेत्रों के बीच भिन्न होते हैं: कुछ न्यूनतम सम्मेलन का उपयोग करते हैं और अन्य अधिकतम सम्मेलन का उपयोग करते हैं।

ट्रॉपिकल सेमिरिंग ऑपरेशंस मॉडल यह है कि कैसेमूल्यांकन (बीजगणित) एक मूल्यवान क्षेत्र में जोड़ और गुणा के तहत व्यवहार करता है।

उष्णकटिबंधीय ज्यामिति (न्यूनतम सम्मेलन के साथ) में आने वाले कुछ सामान्य मूल्यवान क्षेत्र हैं:

• $\mathbb {Q}$ या $\mathbb {C}$ तुच्छ मूल्यांकन के साथ, $v(a)=0$ सभी के लिए $a\neq 0$.
• $\mathbb {Q}$ या p-adic मूल्यांकन के साथ इसका विस्तार, $v_{p}(p^{n}a/b)=n$ a और b कोप्राइम से p के लिए।
• लॉरेंट श्रृंखला का क्षेत्र $\mathbb {C} (\!(t)\!)$ (पूर्णांक शक्तियाँ), या (जटिल) प्यूसेक्स श्रृंखला का क्षेत्र $\mathbb {C} \{\!\{t\}\!\}$, श्रृंखला में प्रदर्शित होने वाले t के सबसे छोटे घातांक के मूल्यांकन के साथ।

उष्णकटिबंधीय बहुपद

उष्ण कटिबंधीय बहुपद एक फलन है $F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ इसे मोनोमियल की परिमित संख्या के उष्णकटिबंधीय योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। एक मोनोमियल शब्द एक स्थिर और चर का एक उष्णकटिबंधीय उत्पाद (और/या भागफल) है $X_{1},\ldots ,X_{n}$. इस प्रकार एक उष्णकटिबंधीय बहुपद F, आफिन परिवर्तन के परिमित संग्रह का न्यूनतम है | आफिन -रैखिक कार्य जिसमें चर में पूर्णांक गुणांक होते हैं, इसलिए यह अवतल कार्य, निरंतर कार्य और टुकड़ों में रेखीय है।

${\begin{aligned}F(X_{1},\ldots ,X_{n})&=\left(C_{1}\otimes X_{1}^{\otimes a_{11}}\otimes \cdots \otimes X_{n}^{\otimes a_{n1}}\right)\oplus \cdots \oplus \left(C_{s}\otimes X_{1}^{\otimes a_{1s}}\otimes \cdots \otimes X_{n}^{\otimes a_{ns}}\right)\\&=\min\{C_{1}+a_{11}X_{1}+\cdots +a_{n1}X_{n},\;\ldots ,\;C_{s}+a_{1s}X_{1}+\cdots +a_{ns}X_{n}\}.\end{aligned}}$

लॉरेंट बहुपद में एक बहुपद f दिया गया है $K[x_{1}^{\pm 1},\ldots ,x_{n}^{\pm 1}]$ जहाँ K एक महत्वपूर्ण क्षेत्र है, f का उष्णकटिबंधीयकरण, निरूपित $\operatorname {Trop} (f)$, उनके उष्णकटिबंधीय समकक्षों द्वारा गुणन और योग को प्रतिस्थापित करके f से प्राप्त उष्णकटिबंधीय बहुपद है और K में प्रत्येक स्थिरांक के मूल्यांकन से प्राप्त होता है। यानी यदि

$f=\sum _{i=1}^{s}c_{i}x^{A_{i}}\quad {\text{ with }}A_{1},\ldots ,A_{s}\in \mathbb {Z} ^{n},$

फिर

$\operatorname {Trop} (f)=\bigoplus _{i=1}^{s}v(c_{i})\otimes X^{\otimes A_{i}}.$

बिंदुओं का वह समुच्चय जहां एक उष्णकटिबंधीय बहुपद F अविभेद्य है, उससे संबंधित उष्णकटिबंधीय अतिसतह कहलाता है, जिसे निरूपित किया जाता है $\mathrm {V} (F)$ (बहुपद के बीजगणितीय प्रकार के अनुरूप)। समान रूप से, $\mathrm {V} (F)$ बिंदुओं का वह समूह है जहां F की शर्तों में न्यूनतम को कम से कम दो बार प्राप्त किया जाता है। कब $F=\operatorname {Trop} (f)$ एक लॉरेंट बहुपद f के लिए, यह बाद का लक्षण वर्णन $\mathrm {V} (F)$ इस तथ्य को दर्शाता है कि किसी भी समाधान पर $f=0$, उन सभी को रद्द करने के लिए f की शर्तों का न्यूनतम मूल्यांकन कम से कम दो बार हासिल किया जाना चाहिए

उष्णकटिबंधीय किस्में

परिभाषाएँ

X के लिए बीजगणितीय टोरस में एक बीजगणितीय विविधता $(K^{\times })^{n}$, X की उष्णकटिबंधीय किस्म या X का उष्णकटिबंधीयकरण, निरूपित $\operatorname {Trop} (X)$, का एक उपसमुच्चय है $\mathbb {R} ^{n}$ जिसे कई तरह से परिभाषित किया जा सकता है। इन परिभाषाओं की तुल्यता को उष्णकटिबंधीय ज्यामिति के मौलिक प्रमेय के रूप में संदर्भित किया जाता है।

उष्णकटिबंधीय हाइपरसर्फ्स का प्रतिच्छेदन

होने देना $\mathrm {I} (X)$ लॉरेंट बहुपदों का आदर्श बनें जो एक्स में गायब हो जाते हैं $K[x_{1}^{\pm 1},\ldots ,x_{n}^{\pm 1}]$. परिभाषित करना

$\operatorname {Trop} (X)=\bigcap _{f\in \mathrm {I} (X)}\mathrm {V} (\operatorname {Trop} (f))\subseteq \mathbb {R} ^{n}.$

जब X एक हाइपरसफेस है, तो इसका गायब होने वाला आदर्श $\mathrm {I} (X)$ एक लॉरेंट बहुपद एफ और उष्णकटिबंधीय विविधता द्वारा उत्पन्न एक प्रमुख आदर्श है $\operatorname {Trop} (X)$ ठीक उष्णकटिबंधीय हाइपरसफेस है $\mathrm {V} (\operatorname {Trop} (f))$.

प्रत्येक उष्णकटिबंधीय किस्म उष्णकटिबंधीय हाइपरसर्फ्स की एक सीमित संख्या का प्रतिच्छेदन है। बहुपदों का परिमित समुच्चय $\{f_{1},\ldots ,f_{r}\}\subseteq \mathrm {I} (X)$ X के लिए उष्णकटिबंधीय आधार कहा जाता है यदि $\operatorname {Trop} (X)$ की उष्णकटिबंधीय हाइपरसर्फफेस का प्रतिच्छेदन है $\operatorname {Trop} (f_{1}),\ldots ,\operatorname {Trop} (f_{r})$. सामान्य तौर पर, का एक जनरेटिंग सेट $\mathrm {I} (X)$ उष्णकटिबंधीय आधार बनाने के लिए पर्याप्त नहीं है। एक उष्णकटिबंधीय हाइपरसर्फ्स की एक परिमित संख्या के प्रतिच्छेदन को एक उष्णकटिबंधीय विविधता कहा जाता है और सामान्य तौर पर एक उष्णकटिबंधीय किस्म नहीं है।

प्रारंभिक मॉडल

एक वेक्टर $\mathbf {w}$ में $\mathbb {R} ^{n}$ के एकपदीय शब्दों से एक मानचित्र को परिभाषित करता है $K[x_{1}^{\pm 1},\ldots ,x_{n}^{\pm 1}]$ प्रति $\mathbb {R}$ m को अवधि भेजकर $\operatorname {Trop} (m)(\mathbf {w} )$. एक लॉरेंट बहुपद के लिए $f=m_{1}+\cdots +m_{s}$, शब्दों के योग के रूप में f के प्रारंभिक रूप को परिभाषित करें $m_{i}$ जिसके लिए $\operatorname {Trop} (m_{i})(\mathbf {w} )$ न्यूनतम है। मॉडल के लिए $\mathrm {I} (X)$, इसके संबंध में इसके प्रारंभिक मॉडल को परिभाषित करें $\mathbf {w}$ होना

$\operatorname {in} _{\mathbf {w} }\mathrm {I} (X)=(\operatorname {in} _{\mathbf {w} }(f):f\in \mathrm {I} (X)).$

फिर परिभाषित करें

$\operatorname {Trop} (X)=\{\mathbf {w} \in \mathbb {R} ^{n}:\operatorname {in} _{\mathbf {w} }\mathrm {I} (X)\neq (1)\}.$

चूंकि हम लॉरेंट रिंग में काम कर रहे हैं, यह वज़न वैक्टर के सेट के समान है जिसके लिए $\operatorname {in} _{\mathbf {w} }\mathrm {I} (X)$ एक एकपदीय सम्मिलित नहीं है।

जब K का छोटा मूल्यांकन होता है, $\operatorname {in} _{\mathbf {w} }\mathrm {I} (X)$ का प्रारंभिक मॉडल है $\mathrm {I} (X)$ एकपद क्रम भार क्रम के संबंध में भार सदिश द्वारा दिया गया $\mathbf {w}$. यह इस प्रकार है कि $\operatorname {Trop} (X)$ ग्रोबनेर के प्रशंसक का उपप्रशंसक है $\mathrm {I} (X)$.

मूल्यांकन मानचित्र की छवि

मान लीजिए कि X एक फ़ील्ड K पर वैल्यूएशन v के साथ एक विविधता है जिसकी छवि सघन है $\mathbb {R}$ (उदाहरण के लिए प्यूसेक्स श्रृंखला का एक क्षेत्र)। समन्वय-वार कार्य करके, वी बीजगणितीय टोरस से मानचित्र को परिभाषित करता है $(K^{\times })^{n}$ प्रति $\mathbb {R} ^{n}$. फिर परिभाषित करें

$\operatorname {Trop} (X)={\overline {\{(v(x_{1}),\ldots ,v(x_{n})):(x_{1},\ldots ,x_{n})\in X\}}},$

जहां ओवरलाइन यूक्लिडियन टोपोलॉजी में क्लोजर होने का संकेत देता है। यदि K का मूल्यांकन $\mathbb {R}$ में सघन नहीं है, तो उपरोक्त परिभाषा को स्केलर्स के एक बड़े क्षेत्र में विस्तारित करके अनुकूलित किया जा सकता है, जिसका सघन मूल्यांकन है।

यह परिभाषा दर्शाती है $\operatorname {Trop} (X)$ गैर-आर्किमिडीयन अमीबा (गणित) एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र गैर-आर्किमिडीयन क्षेत्र K पर है।

यदि X एक किस्म से अधिक है $\mathbb {C}$, $\operatorname {Trop} (X)$ अमीबा की सीमित वस्तु के रूप में माना जा सकता है $\operatorname {Log} _{t}(X)$ क्योंकि लघुगणक मानचित्र का आधार t अनंत तक जाता है।

बहुफलकीय जटिल

निम्नलिखित लक्षण वर्णन उष्णकटिबंधीय किस्मों का आंतरिक रूप से बीजीय किस्मों और उष्णकटिबंधीयकरण के संदर्भ के बिना वर्णन करता है।

$\mathbb {R} ^{n}$ एक सेट V एक अलघुकरणीय उष्णकटिबंधीय विविधता है यदि यह शुद्ध आयाम d के भारित बहुफलकीय परिसर का समर्थन है जो शून्य को संतुष्ट करता है- तनाव की स्थिति और कोडिमेंशन वन में जुड़ा हुआ है। जब d एक होता है, तो शून्य-तनाव की स्थिति का अर्थ है कि प्रत्येक शीर्ष के चारों ओर, किनारों के बाहर जाने वाली दिशाओं का भारित-योग शून्य के बराबर होता है। उच्च आयाम के लिए, इसके बजाय आयाम $d-1$के प्रत्येक सेल के चारों ओर योग लिया जाता है, इसके बजाय सेल के एफ़िन स्पैन को उद्धृत किया जाता है।

गुण जो V कोडिमेंशन one में जुड़ा हुआ है, इसका मतलब है कि आयाम d कोशिकाओं पर स्थित किन्हीं दो बिंदुओं के लिए, उन्हें जोड़ने वाला एक पथ है जो $d-1$ से कम आयाम वाले किसी भी सेल से नहीं गुजरता है।

उष्णकटिबंधीय वक्र

उष्णकटिबंधीय वक्रों (आयाम एक की उष्णकटिबंधीय किस्में) का अध्ययन विशेष रूप से अच्छी तरह से विकसित है और ग्राफ सिद्धांत से दृढ़ता से संबंधित है। उदाहरण के लिए, उष्णकटिबंधीय वक्रों के विभाजक का सिद्धांत उष्णकटिबंधीय वक्रों से जुड़े रेखांकन पर चिप फायरिंग गेम से संबंधित है।

बीजगणितीय ज्यामिति के कई चिरसम्मत प्रमेयों में उष्णकटिबंधीय ज्यामिति में समकक्ष हैं, जिनमें निम्न सम्मिलित हैं:

• पप्पस की षट्भुज प्रमेय।
• बेजाउट की प्रमेय।
• डिग्री-जीनस सूत्र
• रीमैन-रोच प्रमेय।
• घन का समूह नियम।

ओलेग विरो ने समस्थानिक तक तल में 7 डिग्री के वास्तविक वक्रों को वर्गीकृत करने के लिए उष्णकटिबंधीय वक्रों का उपयोग किया। पैचवर्किंग की उनकी विधि किसी दिए गए समस्थानिक वर्ग के उष्णकटिबंधीय वक्र से वास्तविक वक्र बनाने की प्रक्रिया प्रदान करती है।

अनुप्रयोग

2007 में वित्तीय संकट के दौरान बैंक ऑफ इंग्लैंड द्वारा उपयोग की जाने वाली नीलामियों के पॉल क्लेम्परर के डिजाइन में एक उष्णकटिबंधीय रेखा दिखाई दी। योशिनोरी शियोज़ावा ने उपोष्णकटिबंधीय बीजगणित को अधिकतम-समय या न्यूनतम-समय के सेमीरिंग के रूप में परिभाषित किया (अधिकतम-प्लस और न्यूनतम-के बजाय) प्लस)। उन्होंने पाया कि रिकार्डियन व्यापार सिद्धांत (इनपुट व्यापार के बिना अंतर्राष्ट्रीय व्यापार) को एक उपोष्णकटिबंधीय उत्तल बीजगणित के रूप में व्याख्या किया जा सकता है। उष्णकटिबंधीय ज्यामिति का उपयोग आरईएलयू सक्रियण के साथ फीडफॉरवर्ड न्यूरल नेटवर्क की जटिलता का विश्लेषण करने के लिए भी किया गया है।

इसके अलावा, कार्य निर्धारण, स्थान विश्लेषण, परिवहन नेटवर्क, निर्णय लेने और असतत घटना गतिशील प्रणालियों में उदाहरण के लिए उत्पन्न होने वाली कई अनुकूलन समस्याएं उष्णकटिबंधीय ज्यामिति के ढांचे में तैयार और हल की जा सकती हैं। एबेल-जैकोबी मानचित्र के उष्णकटिबंधीय समतुल्य को क्रिस्टल डिजाइन पर लागू किया जा सकता है। एक भारित परिमित-राज्य ट्रांसड्यूसर में वजन अक्सर एक उष्णकटिबंधीय सेमिरिंग के लिए आवश्यक होता है। उष्णकटिबंधीय ज्यामिति स्व-संगठित गंभीरता दिखा सकती है।

यह भी देखें

• उष्णकटिबंधीय विश्लेषण
• उष्णकटिबंधीय संघनन

संदर्भ

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अग्रिम पठन

• Amini, Omid; Baker, Matthew; Faber, Xander, eds. (2013). Tropical and non-Archimedean geometry. Bellairs workshop in number theory, tropical and non-Archimedean geometry, Bellairs Research Institute, Holetown, Barbados, USA, May 6–13, 2011. Contemporary Mathematics. Vol. 605. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-1-4704-1021-6. Zbl 1281.14002.
• Tropical geometry and mirror symmetry

बाहरी संबंध

• Tropical Geometry, I