हाइपरऑपरेशन

This article is about the arithmetic concept. For the group theory hyperoperation concept, see Hyperstructure.

गणित में, हाइपर संक्रिया अनुक्रम अंकगणितीय संक्रियाओं का एक अनंत क्रम है (इस संदर्भ में हाइपर संक्रिया कहा जाता है) | यह एक एकात्मक संक्रिया (एन = 0 के साथ आनुक्रमिक फलन) से शुरू होता है। अनुक्रम जोड़ (n = 1), गुणन (n = 2), और घातांक (n = 3) के द्विआधारी संचालन के साथ जारी है।

उसके बाद संचालक सहयोगीता | सही-सहयोगीता का उपयोग करते हुए अनुक्रम आगे द्विआधारी संचालन के साथ आगे बढ़ता है, घातांक से आगे बढ़ता है। घातांक के बाहर के संचालन के लिए, इस क्रम के n वें सदस्य का नाम रूबेन गुडस्टीन द्वारा n के संख्यात्मक उपसर्ग के बाद -ation के साथ दिया गया है (जैसे कि टेट्रेशन (n = 4), pentation (n = 5), हेक्सेशन (n = 6) , आदि।) और नुथ के ऊपर(अप) - तीर संकेत पद्धति में n − 2 तीरों का उपयोग करके लिखा जा सकता है।

प्रत्येक हाइपरसंक्रिया को पिछले एक के संदर्भ में पुनरावर्तन (कंप्यूटर विज्ञान) समझा जा सकता है:

$a[n]b=\underbrace {a[n-1](a[n-1](a[n-1](\cdots [n-1](a[n-1](a[n-1]a))\cdots )))} _{\displaystyle b{\mbox{ copies of }}a},\quad n\geq 2$

इसे परिभाषा के पुनरावर्तन नियम भाग के अनुसार भी परिभाषित किया जा सकता है, जैसा कि एकरमैन समारोह के नुथ के अप- तीर संस्करण में है:

$a[n]b=a[n-1]\left(a[n]\left(b-1\right)\right),\quad n\geq 1$

इसका उपयोग उन संख्याओं की तुलना में बड़ी संख्या को आसानी से दिखाने के लिए किया जा सकता है जो वैज्ञानिक संकेत कर सकते हैं, जैसे स्क्यूज़ संख्या और googleplexplex (उदा. $50[50]50$ Skewes की संख्या और googolplexplex से बहुत बड़ी है), लेकिन कुछ संख्याएँ ऐसी हैं जिन्हें वे भी आसानी से नहीं दिखा सकते हैं, जैसे ग्राहम की संख्या और TREE(3)।

यह पुनरावर्तन नियम हाइपर संक्रिया के कई प्रकारों के लिए सामान्य है।

परिभाषा

परिभाषा, सबसे आम

हाइपर संक्रिया अनुक्रम $H_{n}(a,b)\colon (\mathbb {N} _{0})^{3}\rightarrow \mathbb {N} _{0}$ द्विआधारी संक्रियाओं का क्रम है $H_{n}\colon (\mathbb {N} _{0})^{2}\rightarrow \mathbb {N} _{0}$, पुनरावर्तन इस प्रकार परिभाषित किया गया है :

$H_{n}(a,b)=a[n]b={\begin{cases}b+1&{\text{if }}n=0\\a&{\text{if }}n=1{\text{ and }}b=0\\0&{\text{if }}n=2{\text{ and }}b=0\\1&{\text{if }}n\geq 3{\text{ and }}b=0\\H_{n-1}(a,H_{n}(a,b-1))&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

(ध्यान दें कि n = 0 के लिए, द्विआधारी संक्रिया पहले तर्क को अनदेखा करके अनिवार्य रूप से एक एकाधारी संक्रिया (आनुक्रमिक फलन) को कम कर देता है।

n = 0, 1, 2, 3 के लिए, यह परिभाषा आनुक्रमिक फलन (जो कि एक एकल संक्रिया है), योग, गुणन और घातांक के मूल अंकगणितीय संक्रियाओं को क्रमशः पुन: प्रस्तुत करती है, जैसा कि

${\begin{aligned}H_{0}(a,b)&=b+1,\\H_{1}(a,b)&=a+b,\\H_{2}(a,b)&=a\times b,\\H_{3}(a,b)&=a\uparrow {b}=a^{b}.\end{aligned}}$

$H_{n}$संक्रियाएं, n ≥ 3 के लिए नुथ के अप- तीर संकेत पद्धति में लिखी जा सकती हैं।

इस प्रकार घातांक के बाद अगला संक्रिया क्या होगा?

हमने गुणन को परिभाषित किया जिससे

$H_{2}(a,3)=a[2]3=a\times 3=a+a+a,$ और घातांक परिभाषित किया जिससे $H_{3}(a,3)=a[3]3=a\uparrow 3=a^{3}=a\times a\times a,$ इसलिए अगले संक्रिया, टेट्रेशन को परिभाषित करना तर्कसंगत लगता है, इस प्रकार

$H_{4}(a,3)=a[4]3=a\uparrow \uparrow 3=\operatorname {tetration} (a,3)=a^{a^{a}},$ तीन 'ए' के ​​स्तंभ के साथ। समान रूप से, (ए, 3) का पेंटेशन टेट्रेशन (ए, टेट्रेशन (ए, ए)) होगा, जिसमें तीन ए होंगे।

${\begin{aligned}H_{4}(a,b)&=a\uparrow \uparrow {b},\\H_{5}(a,b)&=a\uparrow \uparrow \uparrow {b},\\\ldots &\\H_{n}(a,b)&=a\uparrow ^{n-2}b{\text{ for }}n\geq 3,\\\ldots &\\\end{aligned}}$

नुथ के अंकन को ऋणात्मक सूचकांकों ≥ -2 तक इस तरह बढ़ाया जा सकता है जैसे कि अनुक्रमण में अंतराल को छोड़कर पूरे हाइपर संक्रिया अनुक्रम से सहमत होना:

$H_{n}(a,b)=a\uparrow ^{n-2}b{\text{ for }}n\geq 0.$

हाइपर संक्रियाओं को इस प्रकार प्रश्न के उत्तर के रूप में देखा जा सकता है कि अनुक्रम में अगला क्या है: उत्तरवर्ती कार्य, जोड़, गुणन और घातांक इत्यादि। ध्यान देने योग्य बात यह है कि

${\begin{aligned}a+b&=(a+(b-1))+1\\a\cdot b&=a+(a\cdot (b-1))\\a^{b}&=a\cdot \left(a^{(b-1)}\right)\\a[4]b&=a^{a[4](b-1)}\end{aligned}}$

मूलभूत अंकगणितीय संचालन के बीच संबंध को चित्रित किया गया है, जिससे उच्च संचालन को ऊपर के रूप में स्वाभाविक रूप से परिभाषित किया जा सकता है। हाइपर संक्रिया पदानुक्रम के मापदंडों को कभी-कभी उनके अनुरूप घातांक शब्द द्वारा संदर्भित किया जाता है; इसलिए a आधार' ,और b 'घातांक' (या उच्चघातांक) है, और n 'क्रम ' (या श्रेणी) है, और इसके अलावा, $H_{n}(a,b)$ को a के bth n-ation के रूप में पढ़ा जाता है, उदहारण ; $H_{4}(7,9)$ 7 के 9वें टेट्रेशन के रूप में पढ़ा जाता है, और $H_{123}(456,789)$ 456 के 789वें 123-एशन के रूप में पढ़ा जाता है।

सामान्य शब्दों में, हाइपर संक्रिया समिश्र संख्याओं के तरीके हैं जो पिछले हाइपर संक्रिया के पुनरावृत्ति के आधार पर वृद्धि में वृद्धि करते हैं। आनुक्रमिक , जोड़, गुणा और घातांक की अवधारणाएं सभी हाइप रसंक्रिया हैं; आनुक्रमिक संक्रिया (x से x + 1 का उत्पादन) सबसे साधारण है, अतिरिक्त संचालक निर्दिष्ट करता है कि अंतिम मूल्य का उत्पादन करने के लिए 1 को कितनी बार जोड़ा जाना है, गुणन निर्दिष्ट करता है कि किसी संख्या को स्वयं कितनी बार जोड़ा जाना है, और घातांक उस संख्या को संदर्भित करता है जिसे किसी संख्या को स्वयं से गुणा किया जाना है।

परिभाषा, पुनरावृत्ति का प्रयोग

किसी फलन f के पुनरावृत्ति को दो चर के रूप में इस प्रकार परिभाषित किया जाता है,

$f^{x}(a,b)={\begin{cases}f(a,b)&{\text{if }}x=1\\f(a,f^{x-1}(a,b))&{\text{if }}x>1\end{cases}}$

हाइपर संक्रिया अनुक्रम को पुनरावृति के संदर्भ में निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है। सभी पूर्णांकों के लिए $x,n,a,b\geq 0,$ परिभाषित करना

${\begin{array}{lcl}H_{0}(a,b)&=&b+1\\H_{1}(a,0)&=&a\\H_{2}(a,0)&=&0\\H_{n+3}(a,0)&=&1\\H_{n+1}(a,b+1)&=&H_{n}^{b+1}(a,H_{n+1}(a,0))\\H_{n}^{x+2}(a,b)&=&H_{n}(a,H_{n}^{x+1}(a,b))\end{array}}$

जैसा कि पुनरावृत्ति साहचर्य है, अंतिम पंक्ति को इसके द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है

${\begin{array}{lcl}H_{n}^{x+2}(a,b)&=&H_{n}^{x+1}(a,H_{n}(a,b))\end{array}}$

संगणना

हाइपर संक्रिया अनुक्रम की परिभाषाएँ स्वाभाविक रूप से पुनर्लेखन टर्म रीराइटिंग सिस्टम (TRS) में स्थानांतरित की जा सकती हैं।

=== टीआरएस परिभाषा उप 1.1 === पर आधारित है|

हाइपर संक्रिया अनुक्रम की मूल परिभाषा निम्न नियमों से मिलती जुलती है

${\begin{array}{lll}{\text{(r1)}}&H(0,a,b)&\rightarrow &S(b)\\{\text{(r2)}}&H(S(0),a,0)&\rightarrow &a\\{\text{(r3)}}&H(S(S(0)),a,0)&\rightarrow &0\\{\text{(r4)}}&H(S(S(S(n))),a,0)&\rightarrow &S(0)\\{\text{(r5)}}&H(S(n),a,S(b))&\rightarrow &H(n,a,H(S(n),a,b))\end{array}}$

गणना करना $H_{n}(a,b)$ कोई स्टैक (अमूर्त डेटा प्रकार) का उपयोग कर सकता है, जिसमें प्रारंभ में तत्व होते हैं $\langle n,a,b\rangle$.

फिर, बार-बार जब तक संभव न हो, तीन तत्वों को पॉप किया जाता है और नियमों के अनुसार प्रतिस्थापित किया जाता है

${\begin{array}{lllllllll}{\text{(r1)}}&0&,&a&,&b&\rightarrow &(b+1)\\{\text{(r2)}}&1&,&a&,&0&\rightarrow &a\\{\text{(r3)}}&2&,&a&,&0&\rightarrow &0\\{\text{(r4)}}&(n+3)&,&a&,&0&\rightarrow &1\\{\text{(r5)}}&(n+1)&,&a&,&(b+1)&\rightarrow &n&,&a&,&(n+1)&,&a&,&b\end{array}}$

योजनाबद्ध रूप से, से शुरू $\langle n,a,b\rangle$:

जबकि ढेर की लंबाई <> 1
{
   पीओपी 3 तत्व;
   PUSH 1 या 5 तत्व नियमों के अनुसार r1, r2, r3, r4, r5;
}

उदाहरण

गणना करना $H_{2}(2,2)\rightarrow _{*}4$. घटाव क्रम है

${\underline {H(S(S(0)),S(S(0)),S(S(0)))}}$

$\rightarrow _{r5}H(S(0),S(S(0)),{\underline {H(S(S(0)),S(S(0)),S(0))}})$

$\rightarrow _{r5}H(S(0),S(S(0)),H(S(0),S(S(0)),{\underline {H(S(S(0)),S(S(0)),0)}}))$

$\rightarrow _{r3}H(S(0),S(S(0)),{\underline {H(S(0),S(S(0)),0)}})$

$\rightarrow _{r2}{\underline {H(S(0),S(S(0)),S(S(0)))}}$

$\rightarrow _{r5}H(0,S(S(0)),{\underline {H(S(0),S(S(0)),S(0))}})$

$\rightarrow _{r5}H(0,S(S(0)),H(0,S(S(0)),{\underline {H(S(0),S(S(0)),0)}}))$

$\rightarrow _{r2}H(0,S(S(0)),{\underline {H(0,S(S(0)),S(S(0)))}})$

$\rightarrow _{r1}{\underline {H(0,S(S(0)),S(S(S(0))))}}$

$\rightarrow _{r1}S(S(S(S(0))))$

इनपुट पर स्टैक का उपयोग करते समय लागू किया गया $\langle 2,2,2\rangle$

the stack configurations	represent the equations
${\underline {2,2,2}}$	$H_{2}(2,2)$
$\rightarrow _{r5}1,2,{\underline {2,2,1}}$	$=H_{1}(2,H_{2}(2,1))$
$\rightarrow _{r5}1,2,1,2,{\underline {2,2,0}}$	$=H_{1}(2,H_{1}(2,H_{2}(2,0)))$
$\rightarrow _{r3}1,2,{\underline {1,2,0}}$	$=H_{1}(2,H_{1}(2,0))$
$\rightarrow _{r2}{\underline {1,2,2}}$	$=H_{1}(2,2)$
$\rightarrow _{r5}0,2,{\underline {1,2,1}}$	$=H_{0}(2,H_{1}(2,1))$
$\rightarrow _{r5}0,2,0,2,{\underline {1,2,0}}$	$=H_{0}(2,H_{0}(2,H_{1}(2,0)))$
$\rightarrow _{r2}0,2,{\underline {0,2,2}}$	$=H_{0}(2,H_{0}(2,2))$
$\rightarrow _{r1}{\underline {0,2,3}}$	$=H_{0}(2,3)$
$\rightarrow _{r1}4$	$=4$

=== टीआरएस परिभाषा उप 1.2 === पर आधारित है पुनरावृत्ति का उपयोग करने वाली परिभाषा में कमी के नियमों का एक अलग सेट होता है

${\begin{array}{lll}{\text{(r6)}}&H(S(0),0,a,b)&\rightarrow &S(b)\\{\text{(r7)}}&H(S(0),S(0),a,0)&\rightarrow &a\\{\text{(r8)}}&H(S(0),S(S(0)),a,0)&\rightarrow &0\\{\text{(r9)}}&H(S(0),S(S(S(n))),a,0)&\rightarrow &S(0)\\{\text{(r10)}}&H(S(0),S(n),a,S(b))&\rightarrow &H(S(b),n,a,H(S(0),S(n),a,0))\\{\text{(r11)}}&H(S(S(x)),n,a,b)&\rightarrow &H(S(0),n,a,H(S(x),n,a,b))\end{array}}$

जैसा कि पुनरावृत्ति साहचर्य है, नियम r11 के बजाय परिभाषित किया जा सकता है

${\begin{array}{lll}{\text{(r12)}}&H(S(S(x)),n,a,b)&\rightarrow &H(S(x),n,a,H(S(0),n,a,b))\end{array}}$

पिछले खंड की तरह की गणना $H_{n}(a,b)=H_{n}^{1}(a,b)$ स्टैक का उपयोग करके कार्यान्वित किया जा सकता है।

प्रारंभ में ढेर में चार तत्व होते हैं $\langle 1,n,a,b\rangle$.

फिर, समाप्ति तक, चार तत्वों को पॉपअप किया जाता है और नियमों के अनुसार प्रतिस्थापित किया जाता है:${\begin{array}{lllllllll}{\text{(r6)}}&1&,0&,a&,b&\rightarrow &(b+1)\\{\text{(r7)}}&1&,1&,a&,0&\rightarrow &a\\{\text{(r8)}}&1&,2&,a&,0&\rightarrow &0\\{\text{(r9)}}&1&,(n+3)&,a&,0&\rightarrow &1\\{\text{(r10)}}&1&,(n+1)&,a&,(b+1)&\rightarrow &(b+1)&,n&,a&,1&,(n+1)&,a&,0\\{\text{(r11)}}&(x+2)&,n&,a&,b&\rightarrow &1&,n&,a&,(x+1)&,n&,a&,b\end{array}}$ योजनाबद्ध रूप से, से शुरू $\langle 1,n,a,b\rangle$:

जबकि ढेर की लंबाई <> 1
{
   पीओपी 4 तत्व;
   पुश 1 या 7 तत्व नियम r6, r7, r8, r9, r10, r11 के अनुसार;
}

उदाहरण

गणना करना $H_{3}(0,3)\rightarrow _{*}0$.

इनपुट पर $\langle 1,3,0,3\rangle$ क्रमिक ढेर विन्यास हैं

${\begin{aligned}&{\underline {1,3,0,3}}\rightarrow _{r10}3,2,0,{\underline {1,3,0,0}}\rightarrow _{r9}{\underline {3,2,0,1}}\rightarrow _{r11}1,2,0,{\underline {2,2,0,1}}\rightarrow _{r11}1,2,0,1,2,0,{\underline {1,2,0,1}}\\&\rightarrow _{r10}1,2,0,1,2,0,1,1,0,{\underline {1,2,0,0}}\rightarrow _{r8}1,2,0,1,2,0,{\underline {1,1,0,0}}\rightarrow _{r7}1,2,0,{\underline {1,2,0,0}}\rightarrow _{r8}{\underline {1,2,0,0}}\rightarrow _{r8}0.\end{aligned}}$

संगत समानताएं हैं

${\begin{aligned}&H_{3}(0,3)=H_{2}^{3}(0,H_{3}(0,0))=H_{2}^{3}(0,1)=H_{2}(0,H_{2}^{2}(0,1))=H_{2}(0,H_{2}(0,H_{2}(0,1))\\&=H_{2}(0,H_{2}(0,H_{1}(0,H_{2}(0,0))))=H_{2}(0,H_{2}(0,H_{1}(0,0)))=H_{2}(0,H_{2}(0,0))=H_{2}(0,0)=0.\end{aligned}}$

जब कमी नियम 11 को नियम r12 से बदल दिया जाता है, तो ढेर के अनुसार रूपांतरित हो जाता है

${\begin{array}{lllllllll}{\text{(r12)}}&(x+2)&,n&,a&,b&\rightarrow &(x+1)&,n&,a&,1&,n&,a&,b\end{array}}$

क्रमिक स्टैक कॉन्फ़िगरेशन तब होगा

${\begin{aligned}&{\underline {1,3,0,3}}\rightarrow _{r10}3,2,0,{\underline {1,3,0,0}}\rightarrow _{r9}{\underline {3,2,0,1}}\rightarrow _{r12}2,2,0,{\underline {1,2,0,1}}\rightarrow _{r10}2,2,0,1,1,0,{\underline {1,2,0,0}}\\&\rightarrow _{r8}2,2,0,{\underline {1,1,0,0}}\rightarrow _{r7}{\underline {2,2,0,0}}\rightarrow _{r12}1,2,0,{\underline {1,2,0,0}}\rightarrow _{r8}{\underline {1,2,0,0}}\rightarrow _{r8}0\end{aligned}}$

संगत समानताएं हैं

${\begin{aligned}&H_{3}(0,3)=H_{2}^{3}(0,H_{3}(0,0))=H_{2}^{3}(0,1)=H_{2}^{2}(0,H_{2}(0,1))=H_{2}^{2}(0,H_{1}(0,H_{2}(0,0)))\\&=H_{2}^{2}(0,H_{1}(0,0))=H_{2}^{2}(0,0)=H_{2}(0,H_{2}(0,0))=H_{2}(0,0)=0\end{aligned}}$

टिप्पणियां

• $H_{3}(0,3)=0$ एक विशेष मामला है। नीचे देखें।* की गणना $H_{n}(a,b)$ नियमों के मुताबिक {आर 6 - आर 10, आर 11} भारी रिकर्सिव है। अपराधी वह क्रम है जिसमें पुनरावृत्ति निष्पादित होती है: $H^{n}(a,b)=H(a,H^{n-1}(a,b))$. सबसे पहला $H$ पूरे क्रम के सामने आने के बाद ही गायब हो जाता है। उदाहरण के लिए, $H_{4}(2,4)$ 2863311767 चरणों में 65536 में परिवर्तित हो जाता है, पुनरावर्तन की अधिकतम गहराई 65534 है।
• नियमों के अनुसार गणना {r6 - r10, r12} उस संबंध में अधिक कुशल है। पुनरावृत्ति का कार्यान्वयन $H^{n}(a,b)$ जैसा $H^{n-1}(a,H(a,b))$ एक प्रक्रिया एच के बार-बार निष्पादन की नकल करता है। पुनरावर्तन की गहराई, (n+1), लूप नेस्टिंग से मेल खाती है। Meyer & Ritchie (1967) इस पत्राचार को औपचारिक रूप दिया। की गणना $H_{4}(2,4)$ नियमों के अनुसार {r6-r10, r12} को भी 65536 पर अभिसरण करने के लिए 2863311767 चरणों की आवश्यकता होती है, लेकिन पुनरावर्तन की अधिकतम गहराई केवल 5 है, क्योंकि हाइपरसंक्रिया अनुक्रम में टेट्रेशन 5वां संचालक है।
• उपरोक्त विचार केवल पुनरावर्ती गहराई से संबंधित हैं। पुनरावृति का कोई भी तरीका समान नियमों को शामिल करते हुए समान संख्या में कटौती चरणों की ओर ले जाता है (जब नियम r11 और r12 को समान माना जाता है)। जैसा कि उदाहरण की कमी दर्शाता है $H_{3}(0,3)$ 9 चरणों में परिवर्तित होता है: 1 X r7, 3 X r8, 1 X r9, 2 X r10, 2 X r11/r12। कार्यप्रणाली केवल उस क्रम को प्रभावित करती है जिसमें कटौती नियम लागू होते हैं।

उदाहरण

नीचे पहले सात (0वें से 6वें) हाइपरसंक्रिया की सूची दी गई है (0⁰ को 1 के रूप में परिभाषित किया गया है)।

n	Operation, Hn(a, b)	Definition	Names	Domain
0	$1+b$ or $a[0]b$	$1+\underbrace {1+1+1+\cdots +1+1+1} _{\displaystyle b{\mbox{ copies of 1}}}$	hyper0, increment, successor, zeration	Arbitrary
1	$a+b$ or $a[1]b$	$a+\underbrace {1+1+1+\cdots +1+1+1} _{\displaystyle b{\mbox{ copies of 1}}}$	hyper1, addition	Arbitrary
2	$a\cdot b$ or $a[2]b$	$\underbrace {a+a+a+\cdots +a+a+a} _{\displaystyle b{\mbox{ copies of }}a}$	hyper2, multiplication	Arbitrary
3	$a^{b}$ or $a[3]b$	$\underbrace {a\cdot a\cdot a\cdot \;\cdots \;\cdot a\cdot a\cdot a} _{\displaystyle b{\mbox{ copies of }}a}$	hyper3, exponentiation	b real, with some multivalued extensions to complex numbers
4	$^{b}a$ or $a[4]b$	$\underbrace {a[3](a[3](a[3](\cdots [3](a[3](a[3]a))\cdots )))} _{\displaystyle b{\mbox{ copies of }}a}$	hyper4, tetration	a ≥ 0 or an integer, b an integer ≥ −1 (with some proposed extensions)
5	$a[5]b$	$\underbrace {a[4](a[4](a[4](\cdots [4](a[4](a[4]a))\cdots )))} _{\displaystyle b{\mbox{ copies of }}a}$	hyper5, pentation	a, b integers ≥ −1
6	$a[6]b$	$\underbrace {a[5](a[5](a[5](\cdots [5](a[5](a[5]a))\cdots )))} _{\displaystyle b{\mbox{ copies of }}a}$	hyper6, hexation	a, b integers ≥ −1

विशेष मामले

एच_n(0, बी) =

बी + 1, जब एन = 0

बी, जब एन = 1

0, जब एन = 2

1, जब n = 3 और b = 0

0, जब n = 3 और b > 0 :1, जब n > 3 और b सम हैं (0 सहित)

0, जब n > 3 और b विषम है

एच_n(1, बी) =

बी, जब एन = 2

1, जब n ≥ 3

एच_n(ए, 0) =

0, जब एन = 2

1, जब n = 0, या n ≥ 3

ए, जब एन = 1

एच_n(ए, 1) =

ए, जब एन ≥ 2

एच_n(ए, ए) =

एच_n+1(ए, 2), जब एन ≥ 1

एच_n(ए, -1) =: 0, जब n = 0, या n ≥ 4

ए - 1, जब एन = 1

−a, जब n = 2

1/a , जब एन = 3

एच_n(2, 2) =

3, जब n = 0

4, जब n ≥ 1, पुनरावर्ती रूप से आसानी से प्रदर्शित होता है।

इतिहास

हाइपरसंक्रियाओं की शुरुआती चर्चाओं में से एक अल्बर्ट बेनेट की थी 1914 में, जिन्होंने कम्यूटेटिव हाइपरसंक्रियाओं के कुछ सिद्धांत विकसित किए (देखें #कम्यूटेटिव हाइपरसंक्रिया )। लगभग 12 साल बाद, विल्हेम एकरमैन ने समारोह को परिभाषित किया $\phi (a,b,n)$ जो कुछ हद तक हाइपरसंक्रिया सीक्वेंस जैसा दिखता है।

अपने 1947 के पेपर में, रूबेन गुडस्टीन ने संचालन के विशिष्ट अनुक्रम की शुरुआत की, जिसे अब हाइपरसंक्रिया कहा जाता है, और एक्सपोनेंटिएशन से परे विस्तारित संचालन के लिए ग्रीक नाम टेट्राटेशन, पेंटेशन आदि का भी सुझाव दिया (क्योंकि वे सूचकांक 4, 5, आदि के अनुरूप हैं)। तीन-तर्क फलन के रूप में, उदाहरण के लिए, $G(n,a,b)=H_{n}(a,b)$, संपूर्ण हाइपरसंक्रिया अनुक्रम को मूल एकरमैन फलन का एक संस्करण माना जाता है $\phi (a,b,n)$ - संगणनीय कार्य लेकिन आदिम पुनरावर्ती नहीं - जैसा कि गुडस्टीन द्वारा आदिम आनुक्रमिक कार्य को अंकगणित (अतिरिक्त, गुणन, घातांक) के अन्य तीन मूलभूत कार्यों के साथ शामिल करने के लिए संशोधित किया गया है, और घातांक से परे इनका अधिक सहज विस्तार करने के लिए।

मूल तीन-तर्क वाला एकरमैन फलन $\phi$ उसी पुनरावर्तन नियम का उपयोग करता है जैसा कि गुडस्टीन के संस्करण (यानी, हाइपरसंक्रिया अनुक्रम) करता है, लेकिन इससे दो तरह से भिन्न होता है। प्रथम, $\phi (a,b,n)$ उत्तरवर्ती फलन के बजाय जोड़ (n = 0) से शुरू होने वाले संचालन के अनुक्रम को परिभाषित करता है, फिर गुणन (n = 1), घातांक (n = 2), आदि। दूसरे, के लिए प्रारंभिक शर्तें $\phi$ परिणाम होना $\phi (a,b,3)=G(4,a,b+1)=a[4](b+1)$, इस प्रकार घातांक से परे हाइपरसंक्रिया से भिन्न। पिछले व्यंजक में b + 1 का महत्व यही है $\phi (a,b,3)$ = $a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}$, जहाँ b ऑपरेंड (a s) की संख्या की गणना करने के बजाय ऑपरेटर्स (घातांक) की संख्या की गणना करता है, जैसा कि b में होता है $a[4]b$, और इसी तरह उच्च-स्तरीय संचालन के लिए। (विवरण के लिए एकरमैन फलन आलेख देखें।)

नोटेशन

यह नोटेशन की एक सूची है जिसका उपयोग हाइपरसंक्रिया के लिए किया गया है।

Name	Notation equivalent to $H_{n}(a,b)$	Comment
Knuth's up-arrow notation	$a\uparrow ^{n-2}b$	Used by Knuth (for n ≥ 3), and found in several reference books.
Hilbert's notation	$\phi _{n}(a,b)$	Used by David Hilbert.
Goodstein's notation	$G(n,a,b)$	Used by Reuben Goodstein.
Original Ackermann function	${\begin{matrix}\phi (a,b,n-1)\ {\text{ for }}1\leq n\leq 3\\\phi (a,b-1,n-1)\ {\text{ for }}n\geq 4\end{matrix}}$	Used by Wilhelm Ackermann (for n ≥ 1)
Ackermann–Péter function	$A(n,b-3)+3\ {\text{for }}a=2$	This corresponds to hyperoperations for base 2 (a = 2)
Nambiar's notation	$a\otimes ^{n-1}b$	Used by Nambiar (for n ≥ 1)
Superscript notation	$a{}^{(n)}b$	Used by Robert Munafo.
Subscript notation (for lower hyperoperations)	$a{}_{(n)}b$	Used for lower hyperoperations by Robert Munafo.
Operator notation (for "extended operations")	$aO_{n-1}b$	Used for lower hyperoperations by John Doner and Alfred Tarski (for n ≥ 1).
Square bracket notation	$a[n]b$	Used in many online forums; convenient for ASCII.
Conway chained arrow notation	$a\to b\to (n-2)$	Used by John Horton Conway (for n ≥ 3)

=== एक === से शुरू होने वाला संस्करण

Main article: Ackermann function

1928 में, विल्हेम एकरमैन ने एक 3-तर्क फलन को परिभाषित किया $\phi (a,b,n)$ जो धीरे-धीरे एक 2-तर्क फलन में विकसित हुआ जिसे एकरमैन फलन के रूप में जाना जाता है। मूल एकरमैन फलन $\phi$ आधुनिक हाइपरसंक्रियाओं के समान कम था, क्योंकि उसकी शुरुआती स्थितियां शुरू होती हैं $\phi (a,0,n)=a$ सभी n > 2 के लिए। साथ ही उन्होंने n = 0, गुणा को n = 1 और घातांक को n = 2 के लिए जोड़ दिया, इसलिए प्रारंभिक स्थितियां टेट्राटेशन और उससे आगे के लिए बहुत अलग संचालन उत्पन्न करती हैं।

n	Operation	Comment
0	$F_{0}(a,b)=a+b$
1	$F_{1}(a,b)=a\cdot b$
2	$F_{2}(a,b)=a^{b}$
3	$F_{3}(a,b)=a[4](b+1)$	An offset form of tetration. The iteration of this operation is different than the iteration of tetration.
4	$F_{4}(a,b)=(x\mapsto a[4](x+1))^{b}(a)$	Not to be confused with pentation.

एक और प्रारंभिक स्थिति जिसका उपयोग किया गया है $A(0,b)=2b+1$ (जहां आधार स्थिर है $a=2$), Rózsa Péter के कारण, जो हाइपरसंक्रिया पदानुक्रम नहीं बनाता है।

=== 0 === से शुरू होने वाला संस्करण 1984 में, C. W. Clenshaw और F. W. J. Olver ने कंप्यूटर तैरनेवाला स्थल | फ़्लोटिंग-पॉइंट ओवरफ़्लो को रोकने के लिए हाइपरसंक्रिया का उपयोग करने की चर्चा शुरू की। तब से, कई अन्य लेखक फ़्लोटिंग पॉइंट | फ़्लोटिंग-पॉइंट प्रतिनिधित्व के लिए हाइपरसंक्रिया के अनुप्रयोग में नए सिरे से रुचि है। (चूंकि एच_n(ए, बी) सभी बी = -1 के लिए परिभाषित हैं।) टेट्रेशन पर चर्चा करते समय, क्लेंशॉ एट अल। प्रारंभिक स्थिति मान ली $F_{n}(a,0)=0$, जो एक और हाइपरसंक्रिया पदानुक्रम बनाता है। पिछले संस्करण की तरह, चौथा संक्रिया टेट्रेशन के समान ही है, लेकिन एक से ऑफसेट होता है।

n	Operation	Comment
0	$F_{0}(a,b)=b+1$
1	$F_{1}(a,b)=a+b$
2	$F_{2}(a,b)=a\cdot b=e^{\ln(a)+\ln(b)}$
3	$F_{3}(a,b)=a^{b}$
4	$F_{4}(a,b)=a[4](b-1)$	An offset form of tetration. The iteration of this operation is much different than the iteration of tetration.
5	$F_{5}(a,b)=\left(x\mapsto a[4](x-1)\right)^{b}(0)=0{\text{ if }}a>0$	Not to be confused with pentation.

कम हाइपरसंक्रिया

इन हाइपरसंक्रिया के लिए एक विकल्प बाएं से दाएं मूल्यांकन द्वारा प्राप्त किया जाता है। तब से

${\begin{aligned}a+b&=(a+(b-1))+1\\a\cdot b&=(a\cdot (b-1))+a\\a^{b}&=\left(a^{(b-1)}\right)\cdot a\end{aligned}}$

परिभाषित करें (° या सबस्क्रिप्ट के साथ)

$a_{(n+1)}b=\left(a_{(n+1)}(b-1)\right)_{(n)}a$

साथ

${\begin{aligned}a_{(1)}b&=a+b\\a_{(2)}0&=0\\a_{(n)}1&=a&{\text{for }}n>2\\\end{aligned}}$

इसे डोनर और टार्स्की द्वारा क्रमिक संख्याओं तक बढ़ाया गया था, द्वारा :

${\begin{aligned}\alpha O_{0}\beta &=\alpha +\beta \\\alpha O_{\gamma }\beta &=\sup \limits _{\eta <\beta ,\xi <\gamma }(\alpha O_{\gamma }\eta )O_{\xi }\alpha \end{aligned}}$

परिभाषा 1(i), उपप्रमेय 2(ii), और प्रमेय 9 से यह पता चलता है कि, a ≥ 2 और b ≥ 1 के लिए, कि

$aO_{n}b=a_{(n+1)}b$

लेकिन यह एक प्रकार के पतन से ग्रस्त है, पारंपरिक रूप से हाइपरऑपरेटर्स से अपेक्षित पावर टावर बनाने में विफल:

$\alpha _{(4)}(1+\beta )=\alpha ^{\left(\alpha ^{\beta }\right)}.$

यदि α ≥ 2 और γ ≥ 2,^{[परिणाम 33(i)]}:$\alpha _{(1+2\gamma +1)}\beta \leq \alpha _{(1+2\gamma )}(1+3\alpha \beta ).$

n	Operation	Comment
0	$F_{0}(a,b)=a+1$	increment, successor, zeration
1	$F_{1}(a,b)=a+b$
2	$F_{2}(a,b)=a\cdot b$
3	$F_{3}(a,b)=a^{b}$
4	$F_{4}(a,b)=a^{\left(a^{(b-1)}\right)}$	Not to be confused with tetration.
5	$F_{5}(a,b)=\left(x\mapsto x^{x^{(a-1)}}\right)^{b-1}(a)$	Not to be confused with pentation. Similar to tetration.

कम्यूटेटिव हाइपरसंक्रिया

1914 की शुरुआत में अल्बर्ट बेनेट द्वारा कम्यूटेटिव हाइपरसंक्रियाओं पर विचार किया गया था, जो संभवतः किसी भी हाइपरसंक्रिया सीक्वेंस के बारे में सबसे पहली टिप्पणी है। कम्यूटेटिव हाइपरसंक्रिया को पुनरावर्तन नियम द्वारा परिभाषित किया गया है

$F_{n+1}(a,b)=\exp(F_{n}(\ln(a),\ln(b)))$

जो ए और बी में सममित है, जिसका अर्थ है कि सभी हाइपरसंक्रिया कम्यूटिव हैं। इस क्रम में घातांक शामिल नहीं है, और इसलिए यह हाइपरसंक्रिया पदानुक्रम नहीं बनाता है।

n	Operation	Comment
0	$F_{0}(a,b)=\ln \left(e^{a}+e^{b}\right)$	Smooth maximum
1	$F_{1}(a,b)=a+b$
2	$F_{2}(a,b)=a\cdot b=e^{\ln(a)+\ln(b)}$	This is due to the properties of the logarithm.
3	$F_{3}(a,b)=a^{\ln(b)}=e^{\ln(a)\ln(b)}$
4	$F_{4}(a,b)=e^{e^{\ln(\ln(a))\ln(\ln(b))}}$	Not to be confused with tetration.

== संख्या प्रणाली हाइपरसंक्रिया अनुक्रम == पर आधारित है

रूबेन गुडस्टीन|आर. एल गुडस्टीन गैर-नकारात्मक पूर्णांकों के लिए अंकन की प्रणाली बनाने के लिए हाइपरऑपरेटर्स के अनुक्रम का उपयोग किया। स्तर k और बेस b पर पूर्णांक n का तथाकथित पूर्ण वंशानुगत प्रतिनिधित्व, केवल पहले k हाइपरऑपरेटर्स का उपयोग करके और आधार के साथ केवल 0, 1, ..., b - 1 अंकों के रूप में उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है। बी ही:

• 0 ≤ n ≤ b − 1 के लिए, n को केवल संबंधित अंक द्वारा दर्शाया जाता है।
• n > b − 1 के लिए, n का निरूपण पुनरावर्ती रूप से पाया जाता है, पहले रूप में n का प्रतिनिधित्व करता है

बी [के] एक्स_k [के - 1] एक्स_{k − 1} [के - 2] ... [2] एक्स₂ [1] एक्स₁

जहां एक्स_k, ..., एक्स₁ संतोषजनक सबसे बड़े पूर्णांक हैं (बदले में)

बी [के] एक्स_k ≤ एन

बी [के] एक्स_k [के - 1] एक्स_{k − 1} ≤ एन

...

बी [के] एक्स_k [के - 1] एक्स_{k − 1} [के - 2] ... [2] एक्स₂ [1] एक्स₁ ≤ एन

कोई एक्स_i b − 1 से अधिक होने पर उसी तरीके से फिर से व्यक्त किया जाता है, और इसी तरह, इस प्रक्रिया को तब तक दोहराया जाता है जब तक परिणामी रूप में केवल अंक 0, 1, ..., b − 1, आधार b के साथ न हो।

मूल्यांकन के क्रम में उच्च स्तरीय ऑपरेटरों को उच्च प्राथमिकता देकर अनावश्यक कोष्ठकों से बचा जा सकता है; इस प्रकार,

स्तर -1 अभ्यावेदन का रूप b [1] X है, जिसमें X भी इसी रूप का है;

स्तर -2 अभ्यावेदन का रूप b [2] X [1] Y है, जिसमें X, Y भी इसी रूप का है;

स्तर -3 अभ्यावेदन का रूप b [3] X [2] Y [1] Z है, जिसमें X, Y, Z भी इसी रूप का है;

स्तर -4 अभ्यावेदन का रूप b [4] X [3] Y [2] Z [1] W है, जिसमें X,Y,Z,W भी इसी रूप का है;

और इसी तरह।

इस प्रकार के आधार-बी वंशानुगत प्रतिनिधित्व में, आधार स्वयं अभिव्यक्तियों में प्रकट होता है, साथ ही सेट {0, 1, ..., बी - 1} से अंक भी प्रकट होता है। यह सामान्य आधार-2 प्रतिनिधित्व की तुलना करता है जब उत्तरार्द्ध आधार बी के संदर्भ में लिखा जाता है; उदाहरण के लिए, सामान्य आधार-2 अंकन में, 6 = (110)₂ = 2 [3] 2 [2] 1 [1] 2 [3] 1 [2] 1 [1] 2 [3] 0 [2] 0, जबकि स्तर-3 आधार-2 वंशानुगत प्रतिनिधित्व 6 = 2 है [ 3] (2 [3] 1 [2] 1 [1] 0) [2] 1 [1] (2 [3] 1 [2] 1 [1] 0)। [1] 0, [2] 1, [3] 1, [4] 1, आदि के किसी भी उदाहरण को छोड़ कर वंशानुगत अभ्यावेदन को संक्षिप्त किया जा सकता है; उदाहरण के लिए, उपरोक्त स्तर -3 आधार -2 6 का प्रतिनिधित्व 2 [3] 2 [1] 2 को संक्षिप्त करता है।

उदाहरण: 1, 2, 3, 4 और 5 के स्तर पर संख्या 266 (संख्या) का अद्वितीय आधार-2 निरूपण इस प्रकार है:

स्तर 1: 266 = 2 [1] 2 [1] 2 [1] ... [1] 2 (133 2s के साथ)

स्तर 2: 266 = 2 [2] (2 [2] (2 [2] (2 [2] 2 [2] 2 [2] 2 [2] 2 [1] 1)) [1] 1)

स्तर 3: 266 = 2 [3] 2 [3] (2 [1] 1) [1] 2 [3] (2 [1] 1) [1] 2

स्तर 4: 266 = 2 [4] (2 [1] 1) [3] 2 [1] 2 [4] 2 [2] 2 [1] 2

स्तर 5: 266 = 2 [5] 2 [4] 2 [1] 2 [5] 2 [2] 2 [1] 2

यह भी देखें

• बड़ी संख्या

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• अंक शास्त्र
• संचालक साहचर्य
• गुणा
• द्विआधारी संक्रिया
• आनुक्रमिक समारोह
• रिकर्सन (कंप्यूटर विज्ञान)
• प्रत्यावर्तन
• जोड़नेवाला
• ढेर (सार डेटा प्रकार)
• गणना योग्य समारोह

ग्रन्थसूची

• Ackermann, Wilhelm (1928). "Zum Hilbertschen Aufbau der reellen Zahlen". Mathematische Annalen. 99: 118–133. doi:10.1007/BF01459088. S2CID 123431274.

• Bennett, Albert A. (Dec 1915). "Note on an Operation of the Third Grade". Annals of Mathematics. Second Series. 17 (2): 74–75. doi:10.2307/2007124. JSTOR 2007124.

• Bezem, Marc; Klop, Jan Willem; De Vrijer, Roel (2003). "First-order term rewriting systems". Term Rewriting Systems by "Terese". Cambridge University Press. pp. 38–39. ISBN 0-521-39115-6.

• Black, Paul E. (2009-03-16). "Ackermann's function". Dictionary of Algorithms and Data Structures. U.S. National Institute of Standards and Technology (NIST). Retrieved 2021-08-29.

• Campagnola, Manuel Lameiras; Moore, Cristopher; Félix Costa, José (Dec 2002). "Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory". Journal of Complexity. 18 (4): 977–1000. doi:10.1006/jcom.2002.0655.

• Clenshaw, C.W.; Olver, F.W.J. (Apr 1984). "Beyond floating point". Journal of the ACM. 31 (2): 319–328. doi:10.1145/62.322429. S2CID 5132225.

• Cornelius, B.J.; Kirby, G.H. (1975). "Depth of recursion and the ackermann function". BIT Numerical Mathematics. 15 (2): 144–150. doi:10.1007/BF01932687. S2CID 120532578.

• Cowles, J.; Bailey, T. (1988-09-30). "Several Versions of Ackermann's Function". Dept. of Computer Science, University of Wyoming, Laramie, WY. Retrieved 2021-08-29.

• Doner, John; Tarski, Alfred (1969). "An extended arithmetic of ordinal numbers". Fundamenta Mathematicae. 65: 95–127. doi:10.4064/fm-65-1-95-127.

• Friedman, Harvey M. (Jul 2001). "Long Finite Sequences". Journal of Combinatorial Theory. Series A. 95 (1): 102–144. doi:10.1006/jcta.2000.3154.

• Galidakis, I. N. (2003). "Mathematics". Archived from the original on April 20, 2009. Retrieved 2009-04-17.

• Geisler, Daniel (2003). "What lies beyond exponentiation?". Retrieved 2009-04-17.

• Goodstein, Reuben Louis (Dec 1947). "Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory". Journal of Symbolic Logic. 12 (4): 123–129. doi:10.2307/2266486. JSTOR 2266486. S2CID 1318943.

• Hilbert, David (1926). "Über das Unendliche". Mathematische Annalen. 95: 161–190. doi:10.1007/BF01206605. S2CID 121888793.

• Holmes, W. N. (Mar 1997). "Composite Arithmetic: Proposal for a New Standard". Computer. 30 (3): 65–73. doi:10.1109/2.573666. Retrieved 2009-04-21.

• Knuth, Donald Ervin (Dec 1976). "Mathematics and Computer Science: Coping with Finiteness". Science. 194 (4271): 1235–1242. Bibcode:1976Sci...194.1235K. doi:10.1126/science.194.4271.1235. PMID 17797067. S2CID 1690489. Retrieved 2009-04-21.

• Littlewood, J. E. (Jul 1948). "Large Numbers". Mathematical Gazette. 32 (300): 163–171. doi:10.2307/3609933. JSTOR 3609933. S2CID 250442130.

• Meyer, Albert R.; Ritchie, Dennis MacAlistair (1967). The complexity of loop programs. ACM '67: Proceedings of the 1967 22nd national conference. doi:10.1145/800196.806014.

• Müller, Markus (1993). "Reihenalgebra" (PDF). Retrieved 2021-11-06.

• Munafo, Robert (1999a). "Versions of Ackermann's Function". Large Numbers at MROB. Retrieved 2021-08-28.

• Munafo, Robert (1999b). "Inventing New Operators and Functions". Large Numbers at MROB. Retrieved 2021-08-28.

• Nambiar, K. K. (1995). "Ackermann Functions and Transfinite Ordinals". Applied Mathematics Letters. 8 (6): 51–53. doi:10.1016/0893-9659(95)00084-4.

• Pinkiewicz, T.; Holmes, N.; Jamil, T. (2000). "Design of a composite arithmetic unit for rational numbers". Proceedings of the IEEE Southeast Con 2000. 'Preparing for the New Millennium' (Cat. No.00CH37105). Proceedings of the IEEE. pp. 245–252. doi:10.1109/SECON.2000.845571. ISBN 0-7803-6312-4. S2CID 7738926.

• Robbins, A. J. (November 2005). "Home of Tetration". Archived from the original on 13 June 2015. Retrieved 2009-04-17.

• Romerio, G. F. (2008-01-21). "Hyperoperations Terminology". Tetration Forum. Retrieved 2009-04-21.

• Rubtsov, C. A.; Romerio, G. F. (December 2005). "Ackermann's Function and New Arithmetical Operation". Retrieved 2009-04-17.

• Weisstein, Eric W. (2003). CRC concise encyclopedia of mathematics, 2nd Edition. CRC Press. pp. 127–128. ISBN 1-58488-347-2.

• Wirz, Marc (1999). "Characterizing the Grzegorczyk hierarchy by safe recursion". CiteSeer. CiteSeerX 10.1.1.42.3374. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)

• Zimmermann, R. (1997). "Computer Arithmetic: Principles, Architectures, and VLSI Design" (PDF). Lecture notes, Integrated Systems Laboratory, ETH Zürich. Archived from the original (PDF) on 2013-08-17. Retrieved 2009-04-17.

• Zwillinger, Daniel (2002). CRC standard mathematical tables and formulae, 31st Edition. CRC Press. p. 4. ISBN 1-58488-291-3.