शून्य की घात शून्य: Difference between revisions

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इस प्रकार, दो-चर फलन  {{math|''x''{{i sup|''y''}}}}, चूंकि समुच्चय {{math|{(x, y) : x > 0<nowiki>}</nowiki>}} पर संतत है, {{math|{(x, y) : x > 0} ∪ {(0, 0)<nowiki>}</nowiki>}}, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कोई {{math|0<sup>0</sup>}} को कैसे परिभाषित करता है।.<ref name="Cbfum" />
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| last1      = Baxley
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'''सीमित रूप में'''


 
यूलर, जब {{math|1=0{{sup|0}} = 1}} सेट करते हैं, तो उल्लेख किया जाता है कि फलन, {{math|0{{sup|''x''}}}} के मान एक "बड़ी छलांग" लगाते हैं, x के लिए {{math|∞}} से {{math|''x'' < 0}}, प्रति {{math|1=''x'' = 0}} पर {{math|1}} से, {{math|''x'' > 0}} के लिये 0 से.<ref name="Euler" /> 1814 में, [[जोहान फ्रेडरिक फाफ]] ने [[निचोड़ प्रमेय|उद्धरण प्रमेय]] तर्क का उपयोग यह साबित करने के लिए किया कि {{math|''x''{{sup|''x''}} → 1}} जैसा {{math|''x'' → 0{{sup|+}}}} के रूप में है।.<ref name="Möbius1834" />
=== एक सीमित रूप === के रूप में
 
यूलर, जब {{math|1=0{{sup|0}} = 1}} सेट करते हैं, तो उल्लेख किया जाता है कि फलन, {{math|0{{sup|''x''}}}} के मान एक "बड़ी छलांग" लगाते हैं, x के लिए {{math|∞}} से {{math|''x'' < 0}}, प्रति {{math|1=''x'' = 0}} पर {{math|1}} से, {{math|''x'' > 0}} के लिये 0 से.<ref name="Euler" /> 1814 में, [[जोहान फ्रेडरिक फाफ]] ने [[निचोड़ प्रमेय]] तर्क का उपयोग यह साबित करने के लिए किया कि {{math|''x''{{sup|''x''}} → 1}} जैसा {{math|''x'' → 0{{sup|+}}}} के रूप में है।.<ref name="Möbius1834" />


दूसरी ओर, 1821 में [[कॉची]] <ref name="PwNOb" /> ने समझाया कि क्यों की सीमा {{math|''x''{{sup|''y''}}}} धनात्मक संख्या {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} दृष्टिकोण {{math|0}} के रूप में संबंध से विवश होने के कारण संबंध को उचित रूप से चुनकर {{math|0}} तथा {{math|∞}} के बीच किसी भी मान को ग्रहण करने के लिए बनाया जा सकता है। उन्होंने निष्कर्ष निकाला कि एक निर्दिष्ट बाधा के बिना पूर्ण दो-चर फलन {{math|''x''{{sup|''y''}}}} की सीमा "अनिश्चित" है। इस औचित्य के साथ, उन्होंने {{math|0<sup>0</sup>}} को भावों के साथ सूचीबद्ध किया {{math|{{sfrac|0|0}}}} अनिश्चित रूपों की एक तालिका के रूप में व्यक्त किया जा सकय है।
दूसरी ओर, 1821 में [[कॉची]] <ref name="PwNOb" /> ने समझाया कि क्यों की सीमा {{math|''x''{{sup|''y''}}}} धनात्मक संख्या {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} दृष्टिकोण {{math|0}} के रूप में संबंध से विवश होने के कारण संबंध को उचित रूप से चुनकर {{math|0}} तथा {{math|∞}} के बीच किसी भी मान को ग्रहण करने के लिए बनाया जा सकता है। उन्होंने निष्कर्ष निकाला कि एक निर्दिष्ट बाधा के बिना पूर्ण दो-चर फलन {{math|''x''{{sup|''y''}}}} की सीमा "अनिश्चित" है। इस औचित्य के साथ, उन्होंने {{math|0<sup>0</sup>}} को भावों के साथ सूचीबद्ध किया {{math|{{sfrac|0|0}}}} अनिश्चित रूपों की एक तालिका के रूप में व्यक्त किया जा सकय है।

Revision as of 20:38, 24 December 2022

शून्य से शून्य की घात, 00 द्वारा निरूपित, एक गणितीय अभिव्यक्ति है जिसे या तो 1 के रूप में परिभाषित किया गया है या संदर्भ के आधार पर अपरिभाषित (गणित) छोड़ दिया गया है।

बीजगणित और साहचर्य में, सामान्यतः 00 = 1को परिभाषित करता है। जबकि गणितीय विश्लेषण में, अभिव्यक्ति को कभी-कभी अपरिभाषित छोड़ दिया जाता है। संगणक कार्यरचना भाषा और प्रक्रिया सामग्री में भी इस अभिव्यक्ति को संभालने की अलग-अलग विधि हैं।

असतत घातांक

प्राकृतिक संख्या घातांक वाले कई व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले फ़ार्मुलों को 00 को 1 के रूप में परिभाषित करने की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, b0 की निम्नलिखित तीन व्याख्याएँ b = 0 के लिए उतनी ही समझ में आती हैं जितनी कि वे धनात्मक पूर्णांक b के लिए करती हैं।:

  • खाली उत्पाद के रूप में b0 की व्याख्या इसे मान 1 निर्दिष्ट करती है।
  • b0 की संयोजक व्याख्या एक b-तत्व सेट से तत्वों के 0-टुपल्स की संख्या है; ठीक एक 0-टपल है।
  • b0 खाली सेट सैद्धांतिक व्याख्या रिक्त समुच्चय से b-तत्व समुच्चय में कार्यों की संख्या है; ऐसा ही एक कार्य है, अर्थात् खाली कार्य।[1] ये तीनों 00 = 1देने मे विशेषज्ञ हैं.

बहुपद और घात श्रृंखला

बहुपदों का मूल्यांकन करते समय, 00 को 1 के रूप में परिभाषित करना सुविधाजनक होता है। A (वास्तविक) बहुपद a0x0 + ⋅⋅⋅ + anxn के रूप का एक व्यंजक है, जहाँ x एक अनिश्चित है, और गुणांक ai वास्तविक संख्याएँ हैं। बहुपदों को शब्दवार जोड़ा जाता है, और वितरण कानून और घातांक के सामान्य नियमों को लागू करके गुणा किया जाता है। इन संक्रियाओं के साथ, बहुपद एक बहुपद वलय R[x] बनाते हैं. R[x] की गुणनात्मक पहचान x0 बहुपद है; अर्थात्, किसी भी बहुपद p(x) का x0 गुना केवल p(x) होता है.[2] साथ ही, बहुपदों का मूल्यांकन x को वास्तविक संख्या में विशिष्ट करके किया जा सकता है। अधिक यथार्थता से, किसी दी गई वास्तविक संख्या r के लिए, एक अद्वितीय इकाई R-बीजगणित समरूपता evr : R[x] → R ऐसा है कि evr(x) = r है. इसलिये evr एकात्मक है, evr(x0) = 1. वह है, r0 = 1 प्रत्येक वास्तविक संख्या r,के लिए r0 = 1 जिसमे 0 भी सम्मिलित है। यही तर्क R किसी भी रिंग (गणित) द्वारा लागू होता है।[3]

कई बहुपद सर्वसमिकाओं के लिए 00 = 1 को परिभाषित करना आवश्यक है।। उदाहरण के लिए, द्विपद प्रमेय (1 + x)n = Σn
k=0 (n
k) xk के लिए रखता है x = 0 के लिए मान्य है यदि 00 = 1.[4]

इसी प्रकार, घात श्रृंखला के रिंग को x की सभी विशेषज्ञताओं के लिए 1 के रूप में परिभाषित करने के लिए x0 की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, पहचान जैसे 1/1−x = Σ∞
n=0 xn तथा ex = Σ∞
n=0 xn/n! के लिए पकड़े x = 0 केवल 00 = 1.[5]

एक सतत फलन R → R को परिभाषित करने के लिए बहुपद x0 के लिए, किसी को 00 = 1 को परिभाषित करना होगा।

अवकलन कलन में, घात नियम d/dxxn = nxn−1 केवल x = 0 पर n = 1 के लिये मान्य है यदि 00 = 1.

निरंतर घातांक

बीजगणितीय संक्रियाओं से जुड़ी सीमाओं का अक्सर उप-अभिव्यक्तियों को उनकी सीमाओं द्वारा प्रतिस्थापित करके मूल्यांकन किया जा सकता है; यदि परिणामी अभिव्यक्ति मूल सीमा निर्धारित नहीं करती है, तो अभिव्यक्ति को एक अनिश्चित रूप के रूप में जाना जाता है।[6] व्यंजक 00 एक अनिश्चित रूप है: वास्तविक मूल्यवान फलन f(t) और g(t) 0 की ओर बढ़ रहे हैं (चूंकि t एक वास्तविक संख्या या ±∞ तक पहुंचता है) f(t) > 0 के साथ, f(t)g(t) कोई भी गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या या +∞, हो सकता है, या यह f तथा g. के आधार पर विचलन कर सकता है। उदाहरण के लिए, नीचे दी गई प्रत्येक सीमा में एक फलन f(t)g(t) f(t), g(t) → 0 जैसा t → 0+ (एकतरफा सीमा) सम्मिलित है, लेकिन उनके मान भिन्न हैं:

इस प्रकार, दो-चर फलन xy, चूंकि समुच्चय {(x, y) : x > 0} पर संतत है, {(x, y) : x > 0} ∪ {(0, 0)}, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कोई 00 को कैसे परिभाषित करता है।.[7]

वहीं दूसरी ओर यदि f तथा g किसी संख्या c के खुले नेबरहुड पर विश्लेषणात्मक कार्य हैं, तो f(t)g(t) → 1 के रूप में t किसी भी तरफ से c तक पहुंचता है जिस पर f घनात्मक है।[8]यह और अधिक सामान्य परिणाम फलन ln(f(t)g(t)) = g(t) ln f(t) के सीमित व्यवहार का अध्ययन करके प्राप्त किए जा सकते हैं.[9][10]


जटिल घातांक

जटिल डोमेन में,फलन zw को गैर-शून्य z के लिए log z की एक शाखा का चयन करके और zw को ew log z के रूप में परिभाषित करके परिभाषित किया जा सकता है। यह 0w को परिभाषित नहीं करता है क्योंकि z = 0 पर परिभाषित log z की कोई शाखा नहीं है, अकेले 0 के निकट में रहने दें।.[11][12][13]


इतिहास

मूल्य के रूप में

1752 में, विश्लेषण में इनफिनिटोरम के परिचय में लियोनहार्ड यूलर ने लिखा था कि a0 = 1[14] और स्पष्ट रूप से उल्लेख किया कि 00 = 1.[15] यूलर की पुस्तकअंतर कलन के संस्थान [16] के 1787 के संस्करण में लोरेंजो माशेरोनी को जिम्मेदार ठहराया गया एक व्याख्या [17] ने "औचित्य" प्रस्तुत की

साथ ही एक और अधिक सम्मिलित औचित्य। 1830 के दशक में, सोमाजा से गुग्लिल्मो लिब्री कारुची [18][16] ने 00 = 1 दावे को सही ठहराने का प्रयास करते हुए कई और तर्क प्रकाशित किए, चूंकि ये उस समय की कठोरता के मानकों से भी बहुत दूर थे।[19]

सीमित रूप में

यूलर, जब 00 = 1 सेट करते हैं, तो उल्लेख किया जाता है कि फलन, 0x के मान एक "बड़ी छलांग" लगाते हैं, x के लिए ∞ से x < 0, प्रति x = 0 पर 1 से, x > 0 के लिये 0 से.[14] 1814 में, जोहान फ्रेडरिक फाफ ने उद्धरण प्रमेय तर्क का उपयोग यह साबित करने के लिए किया कि xx → 1 जैसा x → 0+ के रूप में है।.[8]

दूसरी ओर, 1821 में कॉची [20] ने समझाया कि क्यों की सीमा xy धनात्मक संख्या x तथा y दृष्टिकोण 0 के रूप में संबंध से विवश होने के कारण संबंध को उचित रूप से चुनकर 0 तथा ∞ के बीच किसी भी मान को ग्रहण करने के लिए बनाया जा सकता है। उन्होंने निष्कर्ष निकाला कि एक निर्दिष्ट बाधा के बिना पूर्ण दो-चर फलन xy की सीमा "अनिश्चित" है। इस औचित्य के साथ, उन्होंने 00 को भावों के साथ सूचीबद्ध किया 0/0 अनिश्चित रूपों की एक तालिका के रूप में व्यक्त किया जा सकय है।

स्पष्ट रूप से कॉची के काम से अनभिज्ञ, अगस्त फर्डिनेंड मोबियस [8]1834 में, फाफ के तर्क पर निर्माण करते हुए, गलत तरीके से दावा किया कि f(x)g(x) → 1 जब भी f(x),g(x) → 0 जैसा x एक संख्या c तक पहुँचता है (संभवतः f से धनात्मक माना जाता है c). मोबियस स्थिति में c = 0 कम हो गया, लेकिन फिर यह मानने की गलती की कि f तथा g में से प्रत्येक को Pxn के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, कुछ निरंतर फलन P के लिये जो 0 पर गायब नहीं होता है और कुछ गैर-नकारात्मक पूर्णांक n, जो विश्लेषणात्मक कार्यों के लिए सही है। , लेकिन सामान्य तौर पर नहीं। एक अनाम टिप्पणीकार ने अनुचित चरण की ओर इशारा किया;[21] फिर एक अन्य टिप्पणीकार जिसने अपने नाम पर S के रूप में हस्ताक्षर किए, स्पष्ट प्रति उदाहरण (e−1/x)x → e−1 तथा (e−1/x)2x → e−2 प्रदान किया जैसा x → 0+ के रूप में और यह लिखकर स्थिति व्यक्त की कि 00 के कई अलग-अलग मान हो सकते हैं।[21]


वर्तमान स्थिति

  • कुछ लेखक 00 को 1 के रूप में परिभाषित करते हैं क्योंकि यह कई प्रमेय कथनों को सरल करता है। बेंसन (1999) के अनुसार, 00 को परिभाषित करने का विकल्प सुविधा पर आधारित है, शुद्धता पर नहीं। यदि हम 00, को परिभाषित करने से बचते हैं, तो कुछ अभिकथन अनावश्यक रूप से विचित्र हो जाते हैं। ... सर्वसम्मत परिभाषा 00 = 1, का उपयोग करना है। चूंकि ऐसी पाठ्यपुस्तकें हैं जो 00.[22] को परिभाषित करने से परहेज करती हैं। डोनाल्ड नुथ (1992) इसका अधिक मजबूती से तर्क देता है कि; 00 "1 होना चाहिए"; वह मूल्य 00 के बीच एक अन्तर बनता है, जो 1 के बराबर होना चाहिए, और सीमित रूप 00 f(t)g(t) की सीमा के लिए एक संक्षिप्त नाम जहां f(t), g(t) → 0 जो एक अनिश्चित रूप है: "कॉची और लिब्री दोनों सही थे, लेकिन लिब्री और उनके रक्षकों को यह समझ में नहीं आया कि सच्चाई उनके पक्ष में क्यों थी[19]
  • अन्य लेखक 00 को अपरिभाषित छोड़ देते हैं क्योंकि 00 एक अनिश्चित रूप है:: f(t), g(t) → 0 का अर्थ f(t)g(t) → 1 नहीं है।[23][24]

ऐसा प्रतीत नहीं होता है कि कोई लेखक 00 को 1 के अतिरिक्त कोई विशिष्ट मान निर्दिष्ट कर रहा है।[22]


संगणक पर वाद-विवाद

आईईईई चल-बिंदु मानक

IEEE 754-2008 चल-बिंदु मानक का उपयोग अधिकांश चल-बिंदु पुस्तकालयों के अभिकल्पना में किया जाता है। यह घात की गणना के लिए कई परिचालनों की सिफारिश करता है:[25]

  • पीओडब्लूएन (जिसका घातांक एक पूर्णांक है) 00 को 1 के रूप में व्यवहार करता है; देखे § § असतत घातांक.
  • पीओडब्लू (जिसका अभिप्राय गैर-NaN परिणाम वापस करना है जब घातांक एक पूर्णांक है, जैसे पीओडब्लूएन) 00 को 1 के रूप में व्यवहार करता है.
  • पीओडब्लूआर अनिश्चित रूप के कारण 00 को NaN (नॉट-ए-नंबर) के रूप में व्यवहार करता है; देखें § § सतत घातांक.
  • मुख्य रूप से संगतता के लिएपीओडब्लू संस्करण C99 केपीओडब्लू फलन से प्रेरित है।[26] यह अधिकतर एकल घातांक फलन वाली भाषाओं के लिए उपयोगी है।
  • घातांक फलन के परस्पर विरोधी उपयोग और विभिन्न दृष्टिकोणों (जैसा कि ऊपर कहा गया है) के कारण पीओडब्लूएन और पीओडब्लूआर संस्करण प्रस्तुत किए गए हैं।[27]


प्रोग्रामिंग की भाषाएँ

C और C++ मानक 00 के परिणाम निर्दिष्ट नहीं करते हैं (एक डोमेन त्रुटि हो सकती है)। लेकिन C के लिए, C99 के रूप में, यदि मानक अनुलग्नक F समर्थित है, तो वास्तविक चल-बिंदु प्रकारों के लिए परिणाम 1 होना आवश्यक है क्योंकि ऐसे महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं जिनके लिए यह मान NaN से अधिक उपयोगी है[28] (उदाहरण के लिए, असतत घातांक के साथ); सूचनात्मक अनुलग्नक G समर्थित होने पर भी जटिल प्रकारों पर परिणाम निर्दिष्ट नहीं है। जावा (प्रोग्रामिंग भाषा) मानक,[29]. नेट फ्रेमवर्क विधि (संगणक विज्ञान) व्यवस्था.गणित.पीओडब्लू,[30]जूलिया (प्रोग्रामिंग भाषा), और पायथन (प्रोग्रामिंग भाषा)[31][32] भी 00 को 1 के रूप में व्यवहार करता है। कुछ भाषाएँ दस्तावेज करती हैं कि उनकी घातांक संक्रिया C गणितीय पुस्तकालय सेपीओडब्लू कार्य के अनुरूप है; यह लुआ (प्रोग्रामिंग भाषा)[33] और पर्ल ** संचालक [34] के स्थिति में है(जहां यह स्पष्ट रूप से उल्लेख किया गया है कि का परिणाम 0**0 प्लेटफ़ॉर्म-निर्भर है)।

गणितीय और वैज्ञानिक सॉफ्टवेयर

एपीएल (प्रोग्रामिंग भाषा),[citation needed] आर (प्रोग्रामिंग भाषा),[35] स्टाटा, सेजमैथ,[36] मैटलैब, मैग्मा (संगणक बीजगणित प्रणाली), GAP (संगणक बीजगणित प्रणाली), सिंगुलर (सॉफ्टवेयर), पीएआरआई/जीपी,[37] और जीएनयू ऑक्टेव x0 से 1 का मूल्यांकन करते हैं। मेथेमेटिका[38] और मैकसिमा x0 से 1 भले ही सरल करें, यदि x पर कोई प्रतिबंध न लगाया गया हो; चूंकि यदि 00 सीधे दर्ज किया जाता है तो इसे एक त्रुटि या अनिश्चित माना जाता है, सेजमैथ 0x को सरल नहीं करता है . मेपल (सॉफ्टवेयर), गणित[38] और पारी/जीपी[37][39] आगे पूर्णांक और चल-बिन्दु मानों के बीच अंतर करते हैं: यदि घातांक पूर्णांक शून्य प्रकार का है, तो वे आधार के प्रकार का 1 लौटाते हैं; मान शून्य के चल - बिन्दु घातांक के साथ घातांक को अपरिभाषित, अनिश्चित या त्रुटि के रूप में माना जाता है।

संदर्भ

  1. ↑ Bourbaki, Nicolas (2004). "III.§3.5". Elements of Mathematics, Theory of Sets. Springer-Verlag.
  2. ↑ Bourbaki, Nicolas (1970). "§III.2 No. 9". Algèbre. Springer. L'unique monôme de degré 0 est l'élément unité de A[(Xi)i∈I]; on l'identifie souvent à l'élément unité 1 de A
  3. ↑ Bourbaki, Nicolas (1970). "§IV.1 No. 3". Algèbre. Springer.
  4. ↑ Graham, Ronald; Knuth, Donald; Patashnik, Oren (1989-01-05). "Binomial coefficients". Concrete Mathematics (1st ed.). Addison-Wesley Longman Publishing Co. p. 162. ISBN 0-201-14236-8. Some textbooks leave the quantity 00 undefined, because the functions x0 and 0x have different limiting values when x decreases to 0. But this is a mistake. We must define x0 = 1, for all x, if the binomial theorem is to be valid when x = 0, y = 0, and/or x = −y. The binomial theorem is too important to be arbitrarily restricted! By contrast, the function 0x is quite unimportant.
  5. ↑ Vaughn, Herbert E. (1970). "The expression 00". The Mathematics Teacher. 63: 111–112.
  6. ↑ Malik, S. C.; Arora, Savita (1992). Mathematical Analysis. New York, USA: Wiley. p. 223. ISBN 978-81-224-0323-7. In general the limit of φ(x)/ψ(x) when x = a in case the limits of both the functions exist is equal to the limit of the numerator divided by the denominator. But what happens when both limits are zero? The division (0/0) then becomes meaningless. A case like this is known as an indeterminate form. Other such forms are ∞/∞, 0 × ∞, ∞ − ∞, 00, 1∞ and ∞0.
  7. ↑ Paige, L. J. (March 1954). "A note on indeterminate forms". American Mathematical Monthly. 61 (3): 189–190. doi:10.2307/2307224. JSTOR 2307224.
  8. ↑ 8.0 8.1 8.2 Möbius, A. F. (1834). "Beweis der Gleichung 00 = 1[[Category: Templates Vigyan Ready]], nach J. F. Pfaff" [Proof of the equation 00 = 1, according to J. F. Pfaff]. Journal für die reine und angewandte Mathematik (in Deutsch). 1834 (12): 134–136. doi:10.1515/crll.1834.12.134. S2CID 199547186. {{cite journal}}: URL–wikilink conflict (help)
  9. ↑ Baxley, John V.; Hayashi, Elmer K. (June 1978). "Indeterminate Forms of Exponential Type". The American Mathematical Monthly. 85 (6): 484–486. doi:10.2307/2320074. JSTOR 2320074. Retrieved 2021-11-23.
  10. ↑ Xiao, Jinsen; He, Jianxun (December 2017). "On Indeterminate Forms of Exponential Type". Mathematics Magazine. 90 (5): 371–374. doi:10.4169/math.mag.90.5.371. JSTOR 10.4169/math.mag.90.5.371. S2CID 125602000. Retrieved 2021-11-23.
  11. ↑ Carrier, George F.; Krook, Max; Pearson, Carl E. (2005). Functions of a Complex Variable: Theory and Technique. p. 15. ISBN 0-89871-595-4. Since log(0) does not exist, 0z is undefined. For Re(z) > 0, we define it arbitrarily as 0.
  12. ↑ Gonzalez, Mario (1991). Classical Complex Analysis. Chapman & Hall. p. 56. ISBN 0-8247-8415-4. For z = 0, w ≠ 0, we define 0w = 0, while 00 is not defined.
  13. ↑ Meyerson, Mark D. (June 1996). "The xx Spindle". Mathematics Magazine. Vol. 69, no. 3. pp. 198–206. doi:10.1080/0025570X.1996.11996428. ... Let's start at x = 0. Here xx is undefined.
  14. ↑ 14.0 14.1 Euler, Leonhard (1988). "Chapter 6, §97". Introduction to analysis of the infinite, Book 1. Translated by Blanton, J. D. Springer. p. 75. ISBN 978-0-387-96824-7.
  15. ↑ Euler, Leonhard (1988). "Chapter 6, §99". Introduction to analysis of the infinite, Book 1. Translated by Blanton, J. D. Springer. p. 76. ISBN 978-0-387-96824-7.
  16. ↑ 16.0 16.1 Libri, Guillaume (1833). "Mémoire sur les fonctions discontinues". Journal für die reine und angewandte Mathematik (in français). 1833 (10): 303–316. doi:10.1515/crll.1833.10.303. S2CID 121610886.
  17. ↑ Euler, Leonhard (1787). Institutiones calculi differentialis, Vol. 2. Ticini. ISBN 978-0-387-96824-7.
  18. ↑ Libri, Guillaume (1830). "Note sur les valeurs de la fonction 00x". Journal für die reine und angewandte Mathematik (in français). 1830 (6): 67–72. doi:10.1515/crll.1830.6.67. S2CID 121706970.
  19. ↑ 19.0 19.1 Knuth, Donald E. (1992). "Two Notes on Notation". The American Mathematical Monthly. 99 (5): 403–422. arXiv:math/9205211. Bibcode:1992math......5211K. doi:10.1080/00029890.1992.11995869.
  20. ↑ Cauchy, Augustin-Louis (1821), Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique, Oeuvres Complètes: 2 (in français), vol. 3, pp. 65–69
  21. ↑ 21.0 21.1 Anonymous (1834). "Bemerkungen zu dem Aufsatze überschrieben "Beweis der Gleichung 00 = 1[[Category: Templates Vigyan Ready]], nach J. F. Pfaff"" [Remarks on the essay "Proof of the equation 00 = 1, according to J. F. Pfaff"]. Journal für die reine und angewandte Mathematik (in Deutsch). 1834 (12): 292–294. doi:10.1515/crll.1834.12.292. {{cite journal}}: URL–wikilink conflict (help)
  22. ↑ 22.0 22.1 Benson, Donald C. (1999). Written at New York, USA. The Moment of Proof: Mathematical Epiphanies. Oxford, UK: Oxford University Press. p. 29. ISBN 978-0-19-511721-9.
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