संख्यात्मक रैखिक बीजगणित: Difference between revisions

Latest revision as of 10:27, 30 December 2022

संख्यात्मक रेखीय बीजगणित, जिसे कभी-कभी व्यावहारिक रेखीय बीजगणित भी कहा जाता है, यह अध्ययन है कि कंप्यूटर कलनविधि बनाने के लिए आव्यूह (मैट्रिक्स) संचालन का उपयोग कैसे किया जा सकता है, जो कुशलतापूर्वक गणित में प्रश्नों के अनुमानित उत्तर निरन्तर और सटीक रूप से प्रदान करते हैं। यह संख्यात्मक विश्लेषण का उपक्षेत्र है, और एक प्रकार का रेखीय बीजगणित है। जो कंप्यूटर चल बिन्दु (floating-point) परिकलन का उपयोग करते हैं और वास्तव में अपरिमेय संख्या आँकड़ा का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकते हैं, इसलिए जब एक कंप्यूटर कलनविधि को आँकड़ा के आव्यूह पर लागू किया जाता है, तो यह कभी-कभी कंप्यूटर में संग्रहीत संख्या और वास्तविक संख्या के बीच अंतर को बढ़ा सकता है, जिसका यह एक अनुमान है। कि संख्यात्मक रैखिक बीजगणित कंप्यूटर कलनविधि विकसित करने के लिए सदिश और आव्यूह के गुणों का उपयोग करता है, जो कंप्यूटर द्वारा प्रस्तुत की गई त्रुटि को कम करता है, और यह सुनिश्चित करने से भी संबंधित है कि कलनविधि जितना संभव हो उतना प्रभावशाली होती है।

संख्यात्मक रेखीय बीजगणित का उद्देश्य परिमित सटीक कंप्यूटरों का उपयोग करके निरंतर गणित की समस्याओं को हल करना है, इसलिए प्राकृतिक विज्ञान और सामाजिक विज्ञानों में इसके अनुप्रयोग उतने ही विशाल होते हैं जितने निरंतर गणित के अनुप्रयोग होते है। यह प्रायः अभियांत्रिकी और कम्प्यूटेशनल की समस्याओं का एक मूलभूत हिस्सा होता है, जैसे चित्र और संकेत प्रसंस्करण, दूरसंचार, कम्प्यूटेशनल पूँज़ी, पदार्थ विज्ञान अनुकरण, संरचनात्मक जीव विज्ञान, आँकड़ा खनन, जैव सूचना विज्ञान और द्रव गतिविज्ञान आव्यूह विधियों का विशेष रूप से परिमित तत्व (element) विधि, परिमित अवकलन विधि और अवकलन समीकरणों के प्ररूपों में उपयोग किया जाता है। संख्यात्मक रेखीय बीजगणित के व्यापक अनुप्रयोगों को ध्यान में रखते हुए, लॉयड एन. ट्रेफेथेन और डेविड बाऊ, III तर्क देते हैं कि यह गणितीय विज्ञान के लिए कैलकुलस (calculus) और अवकलन समीकरणों के रूप में अत्यन्त महत्वपूर्ण होते है,^[1]^: x यद्यपि यह एक तुलनात्मक रूप से छोटा क्षेत्र है।^[2] क्योंकि आव्यूह और सदिश के कई गुण, कारक और संचालको पर भी लागू होते हैं, संख्यात्मक रैखिक बीजगणित को एक प्रकार के कार्यात्मक विश्लेषण के रूप में भी देखा जा सकता है, जिसमें व्यावहारिक कलन विधि पर विशेष महत्व दिया जाता है।^[1]^: ix

संख्यात्मक रैखिक बीजगणित में सामान्य समस्याओं में आव्यूह अपघटन जैसे विलक्षण (singular) मान अपघटन, QR गुणन, LU गुणन, या आइगेन अपघटन प्राप्त करना सम्मिलित है, जिसका उपयोग सामान्य रैखिक बीजगणितीय समस्याओं का उत्तर देने के लिए किया जा सकता है जैसे समीकरणों की रैखिक प्रणाली को हल करना, आइगेन मान का पता लगाना, या कम से कम वर्ग अनुकूलन कलनविधि विकसित करने के साथ संख्यात्मक रैखिक बीजगणित की केंद्रीय महत्व जो परिमित सटीक कंप्यूटर मे वास्तविक आँकड़ा पर लागू होने पर त्रुटियों का परिचय नहीं देती है, प्रायः प्रत्यक्ष के अतिरिक्त पुनरावृत्त तरीकों से प्राप्त की जाती है।

इतिहास

जॉन वॉन न्यूमैन, एलन ट्यूरिंग, जेम्स एच विल्किंसन, एलस्टन स्कॉट हाउसहोल्डर, जॉर्ज फ़ोर्सिथ और हेंज रूटिशौसर जैसे कंप्यूटर खोज करने वालों द्वारा संख्यात्मक रैखिक बीजगणित विकसित किया गया था, ताकि प्रारम्भिक कंप्यूटरों को निरंतर गणित की समस्याओं, जैसे कि प्राक्षेपिकीय (ballistics) समस्याओं के लिए लागू किया जा सके। तथा आंशिक अवकल समीकरणों की प्रणालियों का समाधान ^[2] 1947 में जॉन वॉन न्यूमैन और हरमन गोल्डस्टाइन का कार्य वास्तविक आँकड़ा के लिए कलनविधि के अनुप्रयोग में कंप्यूटर त्रुटि को कम करने का पहला गंभीर प्रयास है।^[3] इस क्षेत्र का विकास हुआ है क्योंकि तकनीक ने अत्यधिक बड़े उच्च-परिशुद्धता आव्यूह पर जटिल समस्याओं को हल करने के लिए शोधकर्ताओं को तेजी से सक्षम किया है, और कुछ संख्यात्मक कलनविधि प्रमुखता से बढ़े ,हैं क्योंकि समानांतर कंप्यूटिंग जैसी तकनीकों ने उन्हें वैज्ञानिक समस्याओं के लिए व्यावहारिक दृष्टिकोण बना दिया है।^[2]

आव्यूह अपघटन

विभाजित आव्यूह

व्यावहारिक रेखीय बीजगणित में कई समस्याओं के लिए, स्तंभ (column) सदिशों के संयोजन के रूप में आव्यूह के परिप्रेक्ष्य को चुनना उपयोगी होता है।

उदाहरण के लिए, रैखिक प्रणाली को हल करते समय $x=A^{-1}b$ के उत्पाद के रूप में समझने के अतिरिक्त $A^{-1}$ b के साथ, A के स्तंभ द्वारा गठित आधार में b के रैखिक विस्तार में गुणांक के सदिश के रूप में x के बारे में सोचना सहायक होता है।^[1]^: 8 आव्यूह को स्तंभों के संयोजन के रूप में सोचना भी आव्यूह कलनविधि के प्रयोजनों के लिए एक व्यावहारिक दृष्टिकोण है एक आव्यूह A के कॉलम पर और दूसरा A की पंक्तियों पर उदाहरण के लिए, आव्यूह के लिए $A^{m\times n}$ और सदिश $x^{n\times 1}$ और $y^{m\times 1}$ , हम Ax + y की गणना करने के लिए कॉलम विभाजन परिप्रेक्ष्य का उपयोग कर सकते हैं।

for q = 1:n
 for p = 1:m
  y (p) = A (p,q)*x (q) + y (p)
 end
end

विलक्षण मान अपघटन

एक आव्यूह $A^{m\times n}$ का विलक्षण मान अपघटन $A=U\Sigma V^{\ast }$ है जहां U और V एकात्मक आव्यूह हैं, और $\Sigma$ विकर्ण आव्यूह है। तथा विकर्ण प्रविष्टियाँ $\Sigma$ A के विलक्षण मान कहलाती हैं। क्योंकि विलक्षण मान के अभिलक्षणिक (eigen) मान के वर्गमूल $AA^{\ast }$ हैं, विलक्षण मान अपघटन और अभिलक्षणिक मान अपघटन के बीच एक जटिल संबंध है। इसका अर्थ यह है कि विलक्षण मान अपघटन की गणना के लिए अधिकांश विधियाँ अभिलक्षणिक मान विधियों के समान होती हैं।^[1]^: 36 संभवतः सबसे सामान्य हाउसहोल्डर (Householder) प्रक्रिया विधि सम्मिलित है।^[1]^: 253

QR गुणनखण्ड

एक आव्यूह $A^{m\times n}$ का QR गुणनखण्ड आव्यूह $Q^{m\times m}$ और $R^{m\times n}$ है। इसलिए A = QR, जहाँ Q लंबकोणीय (orthogonal) आव्यूह है और R त्रिकोणीय (triangular) आव्यूह है।^[1]^: 50^[4]^: 223 QR गुणनखंडों की गणना के लिए दो मुख्य कलन विधि हाउसहोल्डर प्रक्रिया और ग्राम-श्मिट प्रक्रिया हैं। QR गुणनखण्ड का उपयोग प्रायः रैखिक न्यूनतम-वर्ग समस्याओं और अभिलक्षणिक मान समस्याओं (पुनरावृत्ति QR एल्गोरिथम के माध्यम से) को हल करने के लिए किया जाता है।

LU गुणनखण्ड

आव्यूह A के LU गुणनखण्ड में निम्न त्रिकोणीय आव्यूह L और एक ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह U होता है ताकि A = LU हो।। आव्यूह U एक ऊपरी त्रिकोणीयकरण प्रक्रिया द्वारा पाया जाता है जिसमें आव्यूह की एक श्रृंखला द्वारा बाएं-गुणा A सम्मिलित होता है $M_{1},\ldots ,M_{n-1}$ उत्पाद बनाने के लिए $M_{n-1}\cdots M_{1}A=U$ , जिससे कि समान रूप से $L=M_{1}^{-1}\cdots M_{n-1}^{-1}$ .^[1]^: 147^[4]^: 96

अभिलक्षणिक मान अपघटन

आव्यूह $A^{m\times m}$ का अभिलक्षणिक मान अपघटन $A=X\Lambda X^{-1}$ है , जहां X के कॉलम A का अभिलक्षणिक सदिश हैं, और $\Lambda$ एक विकर्ण आव्यूह है जिसकी विकर्ण प्रविष्टियाँ A के संगत अभिलक्षणिक मान हैं।^[1]^: 33 एक स्वेच्छ (arbitrary) आव्यूह के अभिलक्षणिक मान अपघटन को खोजने के लिए कोई प्रत्यक्ष तरीका नहीं होता है। क्योंकि एक प्रोग्राम लिखना संभव नहीं है, जो सीमित समय में एक यादृच्छिक बहुपद के सटीक वर्गो को ढूंढता है, किसी भी सामान्य अभिलक्षणिक मान समाधानकर्ता को आवश्यक रूप से पुनरावृत्तीय होना चाहिए।^[1]^: 192

कलनविधि (Algorithms)

गाऊसी विलोपन

संख्यात्मक रेखीय बीजगणित के दृष्टिकोण से गाउस विलोपन एक आव्यूह A को उसके LU गुणनखण्ड में कारक बनाने की एक प्रक्रिया है, जिसे गाउस विलोपन आव्यूह की कार्यप्रणाली द्वारा बाएं-गुणा A द्वारा $L_{m-1}\cdots L_{2}L_{1}A=U$ पूरा करता है। जब तक U ऊपरी त्रिकोणीय है और L निचला त्रिकोणीय है, जहां $L\equiv L_{1}^{-1}L_{2}^{-1}\cdots L_{m-1}^{-1}$ .^[1]^: 148 गाउस विलोपन के लिए सरल कार्यक्रम अत्यधिक अस्थिर हैं, और कई महत्वपूर्ण अंकों के साथ आव्यूह पर लागू होने पर बड़ी त्रुटियां उत्पन्न करते हैं।^[2] सबसे सरल समाधान धुरी तत्व को प्रस्तुत करना है, एक संशोधित गाउस विलोपन कलनविधि उत्पन्न करता है, जो स्थिर होता है।^[1]^: 151

रैखिक प्रणालियों के समाधान

संख्यात्मक रैखिक बीजगणित विशेष रूप से स्तंभ सदिश के संयोजन के रूप में आव्यूह तक पहुंचता है। रैखिक प्रणाली को हल करने के लिए $x=A^{-1}b$ , पारंपरिक बीजगणितीय दृष्टिकोण x को उत्पाद के रूप में $A^{-1}$ बी के साथ समझना है। संख्यात्मक रैखिक बीजगणित इसके अतिरिक्त A के स्तंभों द्वारा गठित आधार में b के रैखिक विस्तार के गुणांक के सदिश के रूप में x की व्याख्या करता है।^[1]^: 8

आव्यूह A और सदिश x और b की विशेषताओं के आधार पर, रैखिक समस्या को हल करने के लिए कई अलग-अलग अपघटन का उपयोग किया जा सकता है, जो दूसरों की तुलना में एक कारक को प्राप्त करना बहुत आसान बना सकता है। यदि A = QR, A का QR गुणनखंड है, तो समतुल्य $Rx=Q^{\ast }b$ . आव्यूह गुणनखण्ड के रूप में गणना करना आसान होता है।^[1]^: 54 यदि $A=X\Lambda X^{-1}$ एक अभिलक्षणिक A है, और हम b खोजने की कोशिश करते हैं ताकि b = Ax, के साथ $b'=X^{-1}b$ और $x'=X^{-1}x$ , तो हमारे पास $b'=\Lambda x'$ हैं .^[1]^: 33 यह विलक्षण मान अपघटन का उपयोग करते हुए रैखिक प्रणाली के समाधान से निकटता से संबंधित है, क्योंकि एक आव्यूह के विलक्षण मान इसके अभिलक्षणिक मान के वर्गमूल हैं। और यदि A = LU, A का LU गुणनखंड है, तो Ax = b को त्रिकोणीय आव्यूह Ly = b और Ux = y का उपयोग करके हल किया जा सकता है।^[1]^: 147^[4]^: 99

कम से कम वर्ग अनुकूलन

आव्यूह अपघटन रैखिक प्रणाली r = b - Ax को हल करने के कई तरीके हैं, जहाँ हम r को कम करना चाहते हैं, जैसा कि प्रतिगमन समस्या में है। QR कलनविधि पहले y = Ax को परिभाषित करके और फिर A के घटे हुए QR गुणनखंड की गणना करके और प्राप्त करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करके ${\widehat {R}}x={\widehat {Q}}^{\ast }b$ इस समस्या को हल करता है। यह ऊपरी त्रिकोणीय प्रणाली तब b के लिए हल की जा सकती है। SVD रैखिक कम से कम वर्ग प्राप्त करने के लिए एक कलनविधि भी सुझाव है। कम SVD अपघटन की गणना करके $A={\widehat {U}}{\widehat {\Sigma }}V^{\ast }$ और फिर सदिश की गणना करना ${\widehat {U}}^{\ast }b$ , हम कम से कम वर्ग समस्या को सरल विकर्ण प्रणाली में कम करते हैं।^[1]^: 84 तथ्य यह है कि QR और SVD गुणनखंडों द्वारा कम से कम वर्गों के समाधान का उत्पादन किया जा सकता है, इसका अर्थ है कि रैखिक कम से कम वर्गों के लिए शास्त्रीय (classical) संख्यात्मक तरीकों के अतिरिक्त # कम से कम वर्गों की समस्याओं को हल करने के लिए सामान्य समीकरणों के आव्यूह को उलट देना, इन समस्याओं को भी हल किया जा सकता है तथा उन विधियों द्वारा जिनमें ग्राम-श्मिट कलनविधि और हाउसहोल्डर विधियाँ सम्मिलित हैं।

अनुकूलन और स्थिरता (Conditioning and stability)

अनुमति दें कि एक समस्या एक कार्य $f:X\to Y$ है , जहां X आँकड़ा का एक मानक सदिश समष्टि है और Y समाधानों का भि एक मानक सदिश समष्टि है। कुछ आँकड़ा बिंदु के लिए $x\in X$ , समस्या को कुगठित (ill-conditioned) त्रिकोण स्थिति कहा जाता है। यदि x में एक अल्प क्षोभ (perturbation) f (x) के मान में एक बड़ा परिवर्तन उत्पन्न करता है। हम एक प्रतिबंधी संख्या को परिभाषित करके इसकी मात्रा निर्धारित कर सकते हैं जो दर्शाती है कि समस्या कितनी अच्छी तरह से वातानुकूलित है, जिसे परिभाषित किया गया है।

{\widehat {\kappa }}=\lim _{\delta \to 0}\sup _{\|\delta x\|\leq \delta }{\frac {\|\delta f\|}{\|\delta x\|}}.

अस्थिरता कंप्यूटर कलनविधि की प्रवृत्ति है, जो चल बिन्दु (floating-point) परिकलन पर निर्भर करती है, ऐसे परिणाम उत्पन्न करने के लिए जो किसी समस्या के सटीक गणितीय समाधान से प्रभावशाली तरीके से भिन्न होते हैं। जब एक आव्यूह में कई महत्वपूर्ण अंकों के साथ वास्तविक आँकड़ा होता है, तो समीकरणों की रैखिक प्रणाली या कम से कम वर्गों के अनुकूलन जैसी समस्याओं को हल करने के लिए कई कलनविधि अत्यधिक गलत परिणाम उत्पन्न कर सकते हैं। कुगठित स्थिति वाली समस्याओं के लिए स्थिर कलनविधि बनाना संख्यात्मक रेखीय बीजगणित में एक केंद्रीय सोचने का विषय है। एक उदाहरण यह है कि हाउसहोल्डर त्रिकोणीयकरण की स्थिरता इसे रैखिक प्रणालियों के लिए एक विशेष रूप से जटिल समाधान विधि बनाती है, जबकि कम से कम वर्गों की समस्याओं को हल करने के लिए सामान्य समीकरण पद्धति की अस्थिरता आव्यूह अपघटन विधियों का पक्ष लेने का एक कारण है, जैसे विलक्षण मान अपघटन का उपयोग करना, कुछ आव्यूह अपघटन विधियाँ अस्थिर हो सकती हैं, लेकिन उनमें सीधे संशोधन होते हैं, जो उन्हें स्थिर बनाते हैं। एक उदाहरण अस्थिर ग्राम-श्मिट है, जिसे स्थिर संशोधित ग्राम-श्मिट का उत्पादन करने के लिए आसानी से परिवर्तित किया जा सकता है।^[1]^: 140 संख्यात्मक रेखीय बीजगणित में एक और शास्त्रीय समस्या यह है कि गाउस विलोपन अस्थिर होता है, लेकिन धुरी के प्रारम्भ के साथ स्थिर हो जाता है।

पुनरावृत्ति के तरीके (Iterative methods)

दो कारण हैं कि पुनरावृत्ति कलनविधि संख्यात्मक रैखिक बीजगणित का एक महत्वपूर्ण भाग हैं। सबसे पहले, कई महत्वपूर्ण संख्यात्मक समस्याओं का कोई सीधा समाधान नहीं होता है। एक यादृच्छिक (arbitrary) आव्यूह के अभिलक्षणिक मान और अभिलक्षणिक सदिश को खोजने के लिए, हम केवल एक पुनरावृत्ति दृष्टिकोण को अपना सकते हैं। दूसरा, यादृच्छिक के लिए गैर-साहित्यिक कलनविधि $m\times m$ आव्यूह की आवश्यकता है $O(m^{3})$ समय, जो आश्चर्यजनक रूप से प्रखर है, यह देखते हुए कि आव्यूह में केवल $m^{2}$ संख्या सम्मिलित हैं। पुनरावृत्त दृष्टिकोण इस समय को कम करने के लिए कुछ आव्यूह की कई विशेषताओं का लाभ उठा सकते हैं। उदाहरण के लिए, जब एक आव्यूह विरल आव्यूह होता है, तो एक पुनरावृत्त कलनविधि के कई चरणों को छोड़ सकता है, तथा एक प्रत्यक्ष दृष्टिकोण का अनिवार्य रूप से पालन करेंगे, यद्यपि वे अत्यधिक संरचित आव्यूह दिए गए निरर्थक चरण हों।

संख्यात्मक रेखीय बीजगणित में कई पुनरावृत्त विधियों का मूल एक निम्न आयामी क्राइलोव उप-स्थान पर एक आव्यूह का प्रक्षेपण है, जो एक उच्च-आयामी आव्यूह की सुविधाओं को कम आयाम वाले स्थान में प्रारम्भ होने वाले समान आव्यूह की समतुल्य विशेषताओं की पुनरावृत्त रूप से गणना करके अनुमानित करने की अनुमति देता है। और क्रमिक रूप से उच्च आयामों की ओर बढ़ रहा है। जब A सममित होता है और हम रैखिक समस्या Ax = b को हल करना चाहते हैं, शास्त्रीय पुनरावृत्त दृष्टिकोण संयुग्मी प्रवणता विधि है। यदि A सममित नहीं है, तो रैखिक समस्या के पुनरावृत्त समाधान के उदाहरण सामान्यीकृत न्यूनतम अवशिष्ट विधि और सामान्य समीकरणों पर संयुग्मित प्रवणता विधि # संयुग्म प्रवणता हैं। यदि A सममित है, तो अभिलक्षणिक मान और अभिलक्षणिक सदिश समस्या को हल करने के लिए हम लैंक्ज़ोस (Lanczos) कलनविधि का उपयोग कर सकते हैं, और यदि A गैर-सममित है, तो हम अर्नोल्डी (Arnoldi) पुनरावृति का उपयोग कर सकते हैं।

सॉफ्टवेयर

कई प्रोग्रामिंग भाषाए संख्यात्मक रैखिक बीजगणित अनुकूलन तकनीकों का उपयोग करती हैं और संख्यात्मक रैखिक बीजगणित कलनविधि को लागू करने के लिए बनाई की गई हैं इन भाषाओं में MATLAB, Analytica (सॉफ़्टवेयर), Maple और Mathematica सम्मिलित हैं। अन्य प्रोग्रामिंग भाषाएं जो स्पष्ट रूप से संख्यात्मक रैखिक बीजगणित के लिए प्रारूपित नहीं की गई हैं, वे पुस्तकालय (लाइब्रेरी) मे जो संख्यात्मक रैखिक बीजगणित दिनचर्या और अनुकूलन प्रदान करते हैं। C (प्रोग्रामिंग भाषा) और फोरट्रान के पास प्रारम्भिक रेखीय बीजगणित उपप्रोग्राम और LAPACK जैसे पैकेज हैं, पायथन (python) में पुस्तकालय NumPy है, और पर्ल (Perl) के पास पर्ल डेटा भाषा है। R (प्रोग्रामिंग भाषा) में कई संख्यात्मक रैखिक बीजगणित तर्क LAPACK जैसे इन अधिक मुख्य पुस्तकालयों पर निर्भर करते हैं।^[5] अधिक पुस्तकालयों को संख्यात्मक पुस्तकालयों की सूची में प्राप्त किया जा सकता है।

संदर्भ

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↑ von Neumann, John; Goldstine, Herman H. (1947). "उच्च क्रम के मैट्रिसेस का न्यूमेरिकल इनवर्टिंग" (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. 53 (11): 1021–1099. doi:10.1090/s0002-9904-1947-08909-6. S2CID 16174165. Archived from the original (PDF) on 2019-02-18. Retrieved February 17, 2019.
↑ ^4.0 ^4.1 ^4.2 Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996). मैट्रिक्स संगणना (3rd ed.). Baltimore: The Johns Hopkins University Press. ISBN 0-8018-5413-X.
↑ Rickert, Joseph (August 29, 2013). "आर और रैखिक बीजगणित". R-bloggers. Retrieved February 17, 2019.

आगे की पढाई (Further reading)

Dongarra, Jack; Hammarling, Sven (1990). "Evolution of Numerical Software for Dense Linear Algebra". In Cox, M. G.; Hammarling, S. (eds.). Reliable Numerical Computation. Oxford: Clarendon Press. pp. 297–327. ISBN 0-19-853564-3.

बाहरी लिंक्ड (External links)

Freely available software for numerical algebra on the web, composed by Jack Dongarra and Hatem Ltaief, University of Tennessee
NAG Library of numerical linear algebra routines
Numerical Linear Algebra Group on Twitter (Research group in the United Kingdom)
siagla on Twitter (Activity group about numerical linear algebra in the Society for Industrial and Applied Mathematics)
The GAMM Activity Group on Applied and Numerical Linear Algebra

श्रेणी: अध्ययन के कम्प्यूटेशनल क्षेत्र

[tb397-1] 1.00 ^1.01 ^1.02 ^1.03 ^1.04 ^1.05 ^1.06 ^1.07 ^1.08 ^1.09 ^1.10 ^1.11 ^1.12 ^1.13 ^1.14 ^1.15 ^1.16 Trefethen, Lloyd; Bau III, David (1997). संख्यात्मक रैखिक बीजगणित (1st ed.). Philadelphia: SIAM. ISBN 978-0-89871-361-9.

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-'''संख्यात्मक रेखीय बीजगणित''', जिसे कभी-कभी व्यावहारिक रेखीय बीजगणित भी कहा जाता है, यह अध्ययन है कि कंप्यूटर [[एल्गोरिदम|कलनविधि]] बनाने के लिए आव्यूह(मैट्रिक्स) संचालन का उपयोग कैसे किया जा सकता है, जो [[निरंतर कार्य|कुशलतापूर्वक]] गणित में प्रश्नों के अनुमानित उत्तर [[एल्गोरिथम दक्षता|निरन्तर]] और सटीक रूप से प्रदान करते हैं। यह [[संख्यात्मक विश्लेषण]] का उपक्षेत्र है, और एक प्रकार का रेखीय बीजगणित है। जो [[कंप्यूटर]] चल बिन्दु(floating-point) परिकलन का उपयोग करते हैं और वास्तव में [[अपरिमेय संख्या]] आँकड़ा का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकते हैं, इसलिए जब एक कंप्यूटर कलनविधि को आँकड़ा के आव्यूह पर लागू किया जाता है, तो यह कभी-कभी कंप्यूटर में संग्रहीत संख्या और वास्तविक संख्या के बीच अंतर को बढ़ा सकता है, जिसका यह एक अनुमान है। कि संख्यात्मक रैखिक बीजगणित कंप्यूटर कलनविधि विकसित करने के लिए सदिश और आव्यूह के गुणों का उपयोग करता है, जो कंप्यूटर द्वारा प्रस्तुत की गई त्रुटि को कम करता है, और यह सुनिश्चित करने से भी संबंधित है कि कलनविधि जितना संभव हो उतना प्रभावशाली होती है।
+'''''संख्यात्मक रेखीय बीजगणित''''', जिसे कभी-कभी व्यावहारिक रेखीय बीजगणित भी कहा जाता है, यह अध्ययन है कि कंप्यूटर [[एल्गोरिदम|कलनविधि]] बनाने के लिए आव्यूह (मैट्रिक्स) संचालन का उपयोग कैसे किया जा सकता है, जो [[निरंतर कार्य|कुशलतापूर्वक]] गणित में प्रश्नों के अनुमानित उत्तर [[एल्गोरिथम दक्षता|निरन्तर]] और सटीक रूप से प्रदान करते हैं। यह [[संख्यात्मक विश्लेषण]] का उपक्षेत्र है, और एक प्रकार का रेखीय बीजगणित है। जो [[कंप्यूटर]] चल बिन्दु (floating-point) परिकलन का उपयोग करते हैं और वास्तव में [[अपरिमेय संख्या]] आँकड़ा का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकते हैं, इसलिए जब एक कंप्यूटर कलनविधि को आँकड़ा के आव्यूह पर लागू किया जाता है, तो यह कभी-कभी कंप्यूटर में संग्रहीत संख्या और वास्तविक संख्या के बीच अंतर को बढ़ा सकता है, जिसका यह एक अनुमान है। कि संख्यात्मक रैखिक बीजगणित कंप्यूटर कलनविधि विकसित करने के लिए सदिश और आव्यूह के गुणों का उपयोग करता है, जो कंप्यूटर द्वारा प्रस्तुत की गई त्रुटि को कम करता है, और यह सुनिश्चित करने से भी संबंधित है कि कलनविधि जितना संभव हो उतना प्रभावशाली होती है।
-संख्यात्मक रेखीय बीजगणित का उद्देश्य परिमित सटीक कंप्यूटरों का उपयोग करके निरंतर गणित की समस्याओं को हल करना है, इसलिए [[प्राकृतिक विज्ञान]] और [[सामाजिक विज्ञान|सामाजिक विज्ञानों]] में इसके अनुप्रयोग उतने ही विशाल होते हैं जितने निरंतर गणित के अनुप्रयोग होते है। यह प्रायः [[अभियांत्रिकी]] और [[कम्प्यूटेशनल विज्ञान|कम्प्यूटेशनल]] की समस्याओं का एक मूलभूत हिस्सा होता है, जैसे चित्र और [[संकेत प्रसंस्करण]], [[दूरसंचार]], [[कम्प्यूटेशनल वित्त|कम्प्यूटेशनल पूँज़ी]], पदार्थ विज्ञान अनुकरण, [[संरचनात्मक जीव विज्ञान]], [[डेटा खनन|आँकड़ा खनन]], जैव सूचना विज्ञान और द्रव गतिविज्ञान आव्यूह विधियों का विशेष रूप से परिमित तत्व(element) विधि, [[परिमित अंतर विधि|परिमित अवकलन विधि]] और अवकलन समीकरणों के प्ररूपों में उपयोग किया जाता है। संख्यात्मक रेखीय बीजगणित के व्यापक अनुप्रयोगों को ध्यान में रखते हुए, लॉयड एन. ट्रेफेथेन और डेविड बाऊ, III तर्क देते हैं कि यह गणितीय विज्ञान के लिए कैलकुलस(calculus) और अवकलन समीकरणों के रूप में अत्यन्त महत्वपूर्ण होते है,<ref name="tb397">{{cite book | last1 = Trefethen | first = Lloyd | last2 = Bau III | first2 = David | location=Philadelphia | isbn=978-0-89871-361-9 | year = 1997 | title = संख्यात्मक रैखिक बीजगणित| publisher = SIAM | edition =  1st}}</ref>{{rp|p=x}} यद्यपि यह एक तुलनात्मक रूप से छोटा क्षेत्र है।<ref name="golubhist">{{cite web |url=https://www.stat.uchicago.edu/~lekheng/courses/302/slides0.pdf |title=आधुनिक संख्यात्मक रैखिक बीजगणित का इतिहास|last=Golub |first=Gene H. |website=University of Chicago Statistics Department |access-date=February 17, 2019}}</ref> क्योंकि आव्यूह और सदिश के कई गुण, कारक और संचालको पर भी लागू होते हैं, संख्यात्मक रैखिक बीजगणित को एक प्रकार के [[कार्यात्मक विश्लेषण]] के रूप में भी देखा जा सकता है, जिसमें व्यावहारिक कलन विधि पर विशेष महत्व दिया जाता है।<ref name=tb397/>{{rp|p=ix}}
+संख्यात्मक रेखीय बीजगणित का उद्देश्य परिमित सटीक कंप्यूटरों का उपयोग करके निरंतर गणित की समस्याओं को हल करना है, इसलिए [[प्राकृतिक विज्ञान]] और [[सामाजिक विज्ञान|सामाजिक विज्ञानों]] में इसके अनुप्रयोग उतने ही विशाल होते हैं जितने निरंतर गणित के अनुप्रयोग होते है। यह प्रायः [[अभियांत्रिकी]] और [[कम्प्यूटेशनल विज्ञान|कम्प्यूटेशनल]] की समस्याओं का एक मूलभूत हिस्सा होता है, जैसे चित्र और [[संकेत प्रसंस्करण]], [[दूरसंचार]], [[कम्प्यूटेशनल वित्त|कम्प्यूटेशनल पूँज़ी]], पदार्थ विज्ञान अनुकरण, [[संरचनात्मक जीव विज्ञान]], [[डेटा खनन|आँकड़ा खनन]], जैव सूचना विज्ञान और द्रव गतिविज्ञान आव्यूह विधियों का विशेष रूप से परिमित तत्व (element) विधि, [[परिमित अंतर विधि|परिमित अवकलन विधि]] और अवकलन समीकरणों के प्ररूपों में उपयोग किया जाता है। संख्यात्मक रेखीय बीजगणित के व्यापक अनुप्रयोगों को ध्यान में रखते हुए, लॉयड एन. ट्रेफेथेन और डेविड बाऊ, III तर्क देते हैं कि यह गणितीय विज्ञान के लिए कैलकुलस (calculus) और अवकलन समीकरणों के रूप में अत्यन्त महत्वपूर्ण होते है,<ref name="tb397">{{cite book | last1 = Trefethen | first = Lloyd | last2 = Bau III | first2 = David | location=Philadelphia | isbn=978-0-89871-361-9 | year = 1997 | title = संख्यात्मक रैखिक बीजगणित| publisher = SIAM | edition =  1st}}</ref>{{rp|p=x}} यद्यपि यह एक तुलनात्मक रूप से छोटा क्षेत्र है।<ref name="golubhist">{{cite web |url=https://www.stat.uchicago.edu/~lekheng/courses/302/slides0.pdf |title=आधुनिक संख्यात्मक रैखिक बीजगणित का इतिहास|last=Golub |first=Gene H. |website=University of Chicago Statistics Department |access-date=February 17, 2019}}</ref> क्योंकि आव्यूह और सदिश के कई गुण, कारक और संचालको पर भी लागू होते हैं, संख्यात्मक रैखिक बीजगणित को एक प्रकार के [[कार्यात्मक विश्लेषण]] के रूप में भी देखा जा सकता है, जिसमें व्यावहारिक कलन विधि पर विशेष महत्व दिया जाता है।<ref name=tb397/>{{rp|p=ix}}
-संख्यात्मक रैखिक बीजगणित में सामान्य समस्याओं में आव्यूह अपघटन जैसे विलक्षण(singular) मान अपघटन, QR गुणन, LU गुणन, या [[eigendecomposition|आइगेन अपघटन]] प्राप्त करना सम्मिलित है, जिसका उपयोग सामान्य रैखिक बीजगणितीय समस्याओं का उत्तर देने के लिए किया जा सकता है जैसे समीकरणों की रैखिक प्रणाली को हल करना, आइगेन मान का पता लगाना, या कम से कम वर्ग अनुकूलन कलनविधि विकसित करने के साथ संख्यात्मक रैखिक बीजगणित की केंद्रीय महत्व जो परिमित सटीक कंप्यूटर मे वास्तविक आँकड़ा पर लागू होने पर त्रुटियों का परिचय नहीं देती है, प्रायः प्रत्यक्ष के अतिरिक्त पुनरावृत्त तरीकों से प्राप्त की जाती है।
+संख्यात्मक रैखिक बीजगणित में सामान्य समस्याओं में आव्यूह अपघटन जैसे विलक्षण (singular) मान अपघटन, QR गुणन, LU गुणन, या [[eigendecomposition|आइगेन अपघटन]] प्राप्त करना सम्मिलित है, जिसका उपयोग सामान्य रैखिक बीजगणितीय समस्याओं का उत्तर देने के लिए किया जा सकता है जैसे समीकरणों की रैखिक प्रणाली को हल करना, आइगेन मान का पता लगाना, या कम से कम वर्ग अनुकूलन कलनविधि विकसित करने के साथ संख्यात्मक रैखिक बीजगणित की केंद्रीय महत्व जो परिमित सटीक कंप्यूटर मे वास्तविक आँकड़ा पर लागू होने पर त्रुटियों का परिचय नहीं देती है, प्रायः प्रत्यक्ष के अतिरिक्त पुनरावृत्त तरीकों से प्राप्त की जाती है।
 == इतिहास ==
-[[जॉन वॉन न्यूमैन]]''',''' [[एलन ट्यूरिंग]], जेम्स एच विल्किंसन, [[एलस्टन स्कॉट हाउसहोल्डर]], [[जॉर्ज फ़ोर्सिथ]] और हेंज रूटिशौसर जैसे कंप्यूटर खोज करने वालों द्वारा संख्यात्मक रैखिक बीजगणित विकसित किया गया था, ताकि प्रारम्भिक कंप्यूटरों को निरंतर गणित की समस्याओं, जैसे कि प्राक्षेपिकीय(ballistics) समस्याओं के लिए लागू किया जा सके। तथा आंशिक अवकल समीकरणों की प्रणालियों का समाधान <ref name=golubhist/> 1947 में जॉन वॉन न्यूमैन और [[हरमन गोल्डस्टाइन]] का कार्य वास्तविक आँकड़ा के लिए कलनविधि के अनुप्रयोग में कंप्यूटर त्रुटि को कम करने का पहला गंभीर प्रयास है।<ref>{{cite journal |last1=von Neumann|first1=John |last2=Goldstine |first2=Herman H. |date=1947 |title=उच्च क्रम के मैट्रिसेस का न्यूमेरिकल इनवर्टिंग|url=https://pdfs.semanticscholar.org/503b/f08383134ce107d870982fc50f96b80881f7.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20190218081952/https://pdfs.semanticscholar.org/503b/f08383134ce107d870982fc50f96b80881f7.pdf|url-status=dead|archive-date=2019-02-18|journal=Bulletin of the American Mathematical Society |volume=53 |issue=11 |pages=1021–1099 |access-date=February 17, 2019 |doi=10.1090/s0002-9904-1947-08909-6|s2cid=16174165 |doi-access=free }}</ref> इस क्षेत्र का विकास हुआ है क्योंकि तकनीक ने अत्यधिक बड़े उच्च-परिशुद्धता आव्यूह पर जटिल समस्याओं को हल करने के लिए शोधकर्ताओं को तेजी से सक्षम किया है, और कुछ संख्यात्मक कलनविधि प्रमुखता से बढ़े ,हैं क्योंकि समानांतर कंप्यूटिंग जैसी तकनीकों ने उन्हें वैज्ञानिक समस्याओं के लिए व्यावहारिक दृष्टिकोण बना दिया है।<ref name=golubhist/>
+[[जॉन वॉन न्यूमैन]]''',''' [[एलन ट्यूरिंग]], जेम्स एच विल्किंसन, [[एलस्टन स्कॉट हाउसहोल्डर]], [[जॉर्ज फ़ोर्सिथ]] और हेंज रूटिशौसर जैसे कंप्यूटर खोज करने वालों द्वारा संख्यात्मक रैखिक बीजगणित विकसित किया गया था, ताकि प्रारम्भिक कंप्यूटरों को निरंतर गणित की समस्याओं, जैसे कि प्राक्षेपिकीय (ballistics) समस्याओं के लिए लागू किया जा सके। तथा आंशिक अवकल समीकरणों की प्रणालियों का समाधान <ref name=golubhist/> 1947 में जॉन वॉन न्यूमैन और [[हरमन गोल्डस्टाइन]] का कार्य वास्तविक आँकड़ा के लिए कलनविधि के अनुप्रयोग में कंप्यूटर त्रुटि को कम करने का पहला गंभीर प्रयास है।<ref>{{cite journal |last1=von Neumann|first1=John |last2=Goldstine |first2=Herman H. |date=1947 |title=उच्च क्रम के मैट्रिसेस का न्यूमेरिकल इनवर्टिंग|url=https://pdfs.semanticscholar.org/503b/f08383134ce107d870982fc50f96b80881f7.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20190218081952/https://pdfs.semanticscholar.org/503b/f08383134ce107d870982fc50f96b80881f7.pdf|url-status=dead|archive-date=2019-02-18|journal=Bulletin of the American Mathematical Society |volume=53 |issue=11 |pages=1021–1099 |access-date=February 17, 2019 |doi=10.1090/s0002-9904-1947-08909-6|s2cid=16174165 |doi-access=free }}</ref> इस क्षेत्र का विकास हुआ है क्योंकि तकनीक ने अत्यधिक बड़े उच्च-परिशुद्धता आव्यूह पर जटिल समस्याओं को हल करने के लिए शोधकर्ताओं को तेजी से सक्षम किया है, और कुछ संख्यात्मक कलनविधि प्रमुखता से बढ़े ,हैं क्योंकि समानांतर कंप्यूटिंग जैसी तकनीकों ने उन्हें वैज्ञानिक समस्याओं के लिए व्यावहारिक दृष्टिकोण बना दिया है।<ref name=golubhist/>
 == आव्यूह अपघटन ==
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 {{Main|ब्लॉक आव्यूह}}
-व्यावहारिक रेखीय बीजगणित में कई समस्याओं के लिए, स्तंभ(column) सदिशों के संयोजन के रूप में आव्यूह के परिप्रेक्ष्य को चुनना उपयोगी होता है
+व्यावहारिक रेखीय बीजगणित में कई समस्याओं के लिए, स्तंभ (column) सदिशों के संयोजन के रूप में आव्यूह के परिप्रेक्ष्य को चुनना उपयोगी होता है।
-उदाहरण के लिए, रैखिक प्रणाली को हल करते समय <math>x = A^{-1}b</math> के उत्पाद के रूप में समझने के अतिरिक्त <math>A^{-1}</math> b के साथ, A के स्तंभ द्वारा गठित आधार में b के रैखिक विस्तार में गुणांक के सदिश के रूप में x के बारे में सोचना सहायक होता है।<ref name="tb397" />{{rp|p=8}} आव्यूह को स्तंभों के संयोजन के रूप में सोचना भी आव्यूह कलनविधि के प्रयोजनों के लिए एक व्यावहारिक दृष्टिकोण है एक आव्यूह A के कॉलम पर और दूसरा A की पंक्तियों पर उदाहरण के लिए, आव्यूह के लिए <math>A^{m \times n}</math> और सदिश <math>x^{n \times 1}</math> और <math>y^{m \times 1}</math>, हम ''Ax'' + ''y''  की गणना करने के लिए कॉलम विभाजन परिप्रेक्ष्य का उपयोग कर सकते हैं।
+उदाहरण के लिए, रैखिक प्रणाली को हल करते समय <math>x = A^{-1}b</math> के उत्पाद के रूप में समझने के अतिरिक्त <math>A^{-1}</math> b के साथ, A के स्तंभ द्वारा गठित आधार में b के रैखिक विस्तार में गुणांक के सदिश के रूप में x के बारे में सोचना सहायक होता है।<ref name="tb397" />{{rp|p=8}} आव्यूह को स्तंभों के संयोजन के रूप में सोचना भी आव्यूह कलनविधि के प्रयोजनों के लिए एक व्यावहारिक दृष्टिकोण है एक आव्यूह A के कॉलम पर और दूसरा A की पंक्तियों पर उदाहरण के लिए, आव्यूह के लिए <math>A^{m \times n}</math> और सदिश <math>x^{n \times 1}</math> और <math>y^{m \times 1}</math>, हम ''Ax'' + ''y'' की गणना करने के लिए कॉलम विभाजन परिप्रेक्ष्य का उपयोग कर सकते हैं।
   for q = 1:n
-   for p = 1:m
+  for p = 1:m
-     y(p) = A(p,q)*x(q) + y(p)
+   y (p) = A (p,q)*x (q) + y (p)
-   end
+  end
   end
 === विलक्षण मान अपघटन ===
-{{Main|singular value decomposition}}
+{{Main|विलक्षण मान अपघटन}}
-'''एक आव्यूह का विल'''क्षण मूल्य अपघटन <math>A^{m \times n}</math> है <math>A = U \Sigma V^\ast</math> जहां U और V [[एकात्मक मैट्रिक्स|एकात्मक आव्यूह]] हैं, और <math>\Sigma</math> [[विकर्ण मैट्रिक्स|विकर्ण आव्यूह]] है। की विकर्ण प्रविष्टियाँ <math>\Sigma</math> A के एकवचन मान कहलाते हैं। क्योंकि एकवचन मान के [[eigenvalues]] के वर्गमूल हैं <math>AA^\ast</math>, एकवचन मूल्य अपघटन और आइगेनमूल्य अपघटन के बीच एक कड़ा संबंध है। इसका मतलब यह है कि एकवचन मूल्य अपघटन की गणना के लिए अधिकांश विधियाँ ईजेनवेल्यू विधियों के समान हैं;<ref name=tb397/>{{rp|p=36}} शायद सबसे आम तरीका [[गृहस्थ परिवर्तन]] शामिल है।<ref name=tb397/>{{rp|p=253}}
+एक आव्यूह <math>A^{m \times n}</math> का विलक्षण मान अपघटन <math>A = U \Sigma V^\ast</math> है जहां U और V [[एकात्मक मैट्रिक्स|एकात्मक आव्यूह]] हैं, और <math>\Sigma</math> [[विकर्ण मैट्रिक्स|विकर्ण आव्यूह]] है। तथा विकर्ण प्रविष्टियाँ <math>\Sigma</math> A के विलक्षण मान कहलाती हैं। क्योंकि विलक्षण मान के [[eigenvalues|अभिलक्षणिक (eigen) मान]] के वर्गमूल <math>AA^\ast</math> हैं, विलक्षण मान अपघटन और अभिलक्षणिक मान अपघटन के बीच एक जटिल संबंध है। इसका अर्थ यह है कि विलक्षण मान अपघटन की गणना के लिए अधिकांश विधियाँ अभिलक्षणिक मान विधियों के समान होती हैं।<ref name=tb397/>{{rp|p=36}} संभवतः सबसे सामान्य [[गृहस्थ परिवर्तन|हाउसहोल्डर (Householder) प्रक्रिया]] विधि सम्मिलित है।<ref name=tb397/>{{rp|p=253}}
+=== QR गुणनखण्ड ===
+{{Main|QR अपघटन}}
-=== क्यूआर गुणनखंड ===
+एक आव्यूह <math>A^{m \times n}</math> का QR गुणनखण्ड आव्यूह <math>Q^{m \times m}</math> और <math>R^{m \times n}</math> है। इसलिए A = QR, जहाँ Q [[ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स|लंबकोणीय (orthogonal) आव्यूह]] है और R [[त्रिकोणीय मैट्रिक्स|त्रिकोणीय (triangular) आव्यूह]] है।<ref name=tb397/>{{rp|p=50}}<ref name = "gvl96">{{cite book | last1 = Golub | first = Gene H. | last2 = Van Loan | first2 = Charles F. | location=Baltimore | isbn=0-8018-5413-X | year = 1996 | title = मैट्रिक्स संगणना| publisher = The Johns Hopkins University Press | edition =  3rd}}</ref>{{rp|p=223}} QR गुणनखंडों की गणना के लिए दो मुख्य कलन विधि हाउसहोल्डर प्रक्रिया और ग्राम-श्मिट प्रक्रिया हैं। QR गुणनखण्ड का उपयोग प्रायः रैखिक न्यूनतम-वर्ग समस्याओं और अभिलक्षणिक मान समस्याओं  (पुनरावृत्ति QR एल्गोरिथम के माध्यम से) को हल करने के लिए किया जाता है।
-{{Main|QR decomposition}}
-एक आव्यूह का क्यूआर गुणनखंड <math>A^{m \times n}</math> एक आव्यूह है <math>Q^{m \times m}</math> और एक आव्यूह <math>R^{m \times n}</math> ताकि A = QR, जहाँ Q [[ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स|ऑर्थोगोनल आव्यूह]] है और R [[त्रिकोणीय मैट्रिक्स|त्रिकोणीय आव्यूह]] है।<ref name=tb397/>{{rp|p=50}}<ref name = "gvl96">{{cite book | last1 = Golub | first = Gene H. | last2 = Van Loan | first2 = Charles F. | location=Baltimore | isbn=0-8018-5413-X | year = 1996 | title = मैट्रिक्स संगणना| publisher = The Johns Hopkins University Press | edition =  3rd}}</ref>{{rp|p=223}} क्यूआर गुणनखंडों की गणना के लिए दो मुख्य एल्गोरिदम ग्राम-श्मिट प्रक्रिया और हाउसहोल्डर ट्रांसफॉर्मेशन हैं। QR फ़ैक्टराइज़ेशन का उपयोग प्रायः रैखिक न्यूनतम-स्क्वायर समस्याओं और आइगेनवैल्यू समस्याओं (पुनरावृत्ति QR एल्गोरिथम के माध्यम से) को हल करने के लिए किया जाता है।
-=== लू गुणनखंड ===
+=== LU गुणनखण्ड ===
-{{Main|LU decomposition}}
+{{Main|LU अपघटन}}
-आव्यूह A के LU गुणनखंड में निम्न त्रिकोणीय आव्यूह L और एक ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह U होता है ताकि A = LU हो। आव्यूह यू एक ऊपरी त्रिकोणीयकरण प्रक्रिया द्वारा पाया जाता है जिसमें आव्यूह की एक श्रृंखला द्वारा बाएं-गुणा ए शामिल होता है <math>M_1,\ldots,M_{n-1}</math> उत्पाद बनाने के लिए <math>M_{n-1} \cdots M_1 A = U</math>, ताकि समान रूप से <math>L = M_1^{-1} \cdots M_{n-1}^{-1}</math>.<ref name=tb397/>{{rp|p=147}}<ref name=gvl96/>{{rp|p=96}}
+आव्यूह A के LU गुणनखण्ड में निम्न त्रिकोणीय आव्यूह L और एक ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह U होता है ताकि A = LU हो।। आव्यूह U एक ऊपरी त्रिकोणीयकरण प्रक्रिया द्वारा पाया जाता है जिसमें आव्यूह की एक श्रृंखला द्वारा बाएं-गुणा A सम्मिलित होता है <math>M_1,\ldots,M_{n-1}</math> उत्पाद बनाने के लिए <math>M_{n-1} \cdots M_1 A = U</math>, जिससे कि समान रूप से <math>L = M_1^{-1} \cdots M_{n-1}^{-1}</math>.<ref name=tb397/>{{rp|p=147}}<ref name=gvl96/>{{rp|p=96}}
+=== अभिलक्षणिक मान अपघटन ===
+{{Main|आव्यूह का अतिलक्षणिक अपघटन}}
-=== ईजेनवैल्यू अपघटन ===
+आव्यूह <math>A^{m \times m}</math> का अभिलक्षणिक मान अपघटन <math>A = X \Lambda X^{-1}</math> है , जहां X के कॉलम A का अभिलक्षणिक सदिश हैं, और <math>\Lambda</math> एक विकर्ण आव्यूह है जिसकी विकर्ण प्रविष्टियाँ A के संगत अभिलक्षणिक मान हैं।<ref name=tb397/>{{rp|p=33}} एक स्वेच्छ (arbitrary) आव्यूह के अभिलक्षणिक मान अपघटन को खोजने के लिए कोई प्रत्यक्ष तरीका नहीं होता है। क्योंकि एक प्रोग्राम लिखना संभव नहीं है, जो सीमित समय में एक यादृच्छिक बहुपद के सटीक वर्गो को ढूंढता है, किसी भी सामान्य अभिलक्षणिक मान समाधानकर्ता को आवश्यक रूप से पुनरावृत्तीय होना चाहिए।<ref name=tb397/>{{rp|p=192}}
-{{Main|Eigendecomposition of a matrix}}
+== कलनविधि  (Algorithms) ==
-आव्यूह का आइगेनवैल्यू अपघटन <math>A^{m \times m}</math> है <math>A = X \Lambda X^{-1}</math>, जहां X के कॉलम A के आइजनवेक्टर हैं, और <math>\Lambda</math> एक विकर्ण आव्यूह है जिसकी विकर्ण प्रविष्टियाँ A के संगत आइगेनमान हैं।<ref name=tb397/>{{rp|p=33}} एक मनमाना आव्यूह के आइजनवेल्यू अपघटन को खोजने के लिए कोई सीधा तरीका नहीं है। क्योंकि एक प्रोग्राम लिखना संभव नहीं है जो परिमित समय में एक मनमाना बहुपद की सटीक जड़ों को ढूंढता है, किसी भी सामान्य आइगेनवैल्यू सॉल्वर को आवश्यक रूप से पुनरावृत्त होना चाहिए।<ref name=tb397/>{{rp|p=192}}
+=== गाऊसी विलोपन ===
+{{Main|गाउस विलोपन}}
-== एल्गोरिदम ==
+संख्यात्मक रेखीय बीजगणित के दृष्टिकोण से गाउस विलोपन एक आव्यूह A को उसके LU गुणनखण्ड में कारक बनाने की एक प्रक्रिया है, जिसे गाउस विलोपन आव्यूह की कार्यप्रणाली द्वारा बाएं-गुणा A द्वारा <math>L_{m-1} \cdots L_2 L_1 A = U</math> पूरा करता है। जब तक U ऊपरी त्रिकोणीय है और L निचला त्रिकोणीय है, जहां <math>L \equiv L_1^{-1}L_2^{-1} \cdots L_{m-1}^{-1}</math>.<ref name=tb397/>{{rp|p=148}} गाउस विलोपन के लिए सरल कार्यक्रम अत्यधिक अस्थिर हैं, और कई महत्वपूर्ण अंकों के साथ आव्यूह पर लागू होने पर बड़ी त्रुटियां उत्पन्न करते हैं।<ref name=golubhist/> सबसे सरल समाधान [[धुरी तत्व]] को प्रस्तुत करना है, एक संशोधित गाउस विलोपन कलनविधि उत्पन्न करता है, जो स्थिर होता है।<ref name=tb397/>{{rp|p=151}}
+=== रैखिक प्रणालियों के समाधान ===
+{{Main|रैखिक समीकरणों की प्रणाली}}
-=== गाऊसी उन्मूलन ===
+संख्यात्मक रैखिक बीजगणित विशेष रूप से स्तंभ सदिश के संयोजन के रूप में आव्यूह तक पहुंचता है। रैखिक प्रणाली को हल करने के लिए <math>x = A^{-1}b</math>, पारंपरिक बीजगणितीय दृष्टिकोण x को उत्पाद के रूप में <math>A^{-1}</math> बी के साथ समझना है। संख्यात्मक रैखिक बीजगणित इसके अतिरिक्त A के स्तंभों द्वारा गठित आधार में b के रैखिक विस्तार के गुणांक के सदिश के रूप में x की व्याख्या करता है।<ref name=tb397/>{{rp|p=8}}
-{{Main|Gaussian elimination}}
-संख्यात्मक रेखीय बीजगणित के दृष्टिकोण से, गॉसियन उन्मूलन एक आव्यूह A को उसके LU गुणनखंड में कारक बनाने की एक प्रक्रिया है, जिसे गॉसियन उन्मूलन मेट्रिसेस के उत्तराधिकार द्वारा बाएं-गुणा A द्वारा पूरा करता है। <math>L_{m-1} \cdots L_2 L_1 A = U</math> जब तक यू ऊपरी त्रिकोणीय है और एल निचला त्रिकोणीय है, जहां <math>L \equiv L_1^{-1}L_2^{-1} \cdots L_{m-1}^{-1}</math>.<ref name=tb397/>{{rp|p=148}} गाऊसी उन्मूलन के लिए भोले-भाले कार्यक्रम बेहद अस्थिर हैं, और कई महत्वपूर्ण अंकों के साथ मैट्रिसेस पर लागू होने पर बड़ी त्रुटियां पैदा करते हैं।<ref name=golubhist/>सबसे आसान समाधान [[धुरी तत्व]] को पेश करना है, जो एक संशोधित गॉसियन उन्मूलन एल्गोरिदम उत्पन्न करता है जो स्थिर है।<ref name=tb397/>{{rp|p=151}}
+आव्यूह A और सदिश x और b की विशेषताओं के आधार पर, रैखिक समस्या को हल करने के लिए कई अलग-अलग अपघटन का उपयोग किया जा सकता है, जो दूसरों की तुलना में एक कारक को प्राप्त करना बहुत आसान बना सकता है। यदि A = QR, A का QR गुणनखंड है, तो समतुल्य <math>Rx = Q^\ast b</math>. आव्यूह गुणनखण्ड के रूप में गणना करना आसान होता है।<ref name="tb397" />{{rp|p=54}} यदि <math>A = X \Lambda X^{-1}</math> एक अभिलक्षणिक A है, और हम b खोजने की कोशिश करते हैं ताकि ''b'' = ''Ax'', के साथ <math>b' = X^{-1}b</math> और <math>x' = X^{-1}x</math>, तो हमारे पास <math>b' = \Lambda x'</math> हैं .<ref name="tb397" />{{rp|p=33}} यह विलक्षण मान अपघटन का उपयोग करते हुए रैखिक प्रणाली के समाधान से निकटता से संबंधित है, क्योंकि एक आव्यूह के विलक्षण मान इसके अभिलक्षणिक मान के वर्गमूल हैं। और यदि A = LU, A का LU गुणनखंड है, तो Ax = b को त्रिकोणीय आव्यूह Ly = b और Ux = y का उपयोग करके हल किया जा सकता है।<ref name="tb397" />{{rp|p=147}}<ref name="gvl96" />{{rp|p=99}}
+=== कम से कम वर्ग अनुकूलन ===
+{{Main|रैखिक कम से कम वर्गों के लिए संख्यात्मक तरीके}}
-=== रैखिक प्रणालियों के समाधान ===
+आव्यूह अपघटन रैखिक प्रणाली r = b - Ax को हल करने के कई तरीके हैं, जहाँ हम r को कम करना चाहते हैं, जैसा कि प्रतिगमन समस्या में है। QR कलनविधि पहले y = Ax को परिभाषित करके और फिर A के घटे हुए QR गुणनखंड की गणना करके और प्राप्त करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करके <math>\widehat{R}x = \widehat{Q}^\ast b</math> इस समस्या को हल करता है। यह ऊपरी त्रिकोणीय प्रणाली तब b के लिए हल की जा सकती है। SVD रैखिक कम से कम वर्ग प्राप्त करने के लिए एक कलनविधि भी सुझाव है। कम SVD अपघटन की गणना करके <math>A = \widehat{U}\widehat{\Sigma}V^\ast</math> और फिर सदिश की गणना करना <math>\widehat{U}^\ast b</math>, हम कम से कम वर्ग समस्या को सरल विकर्ण प्रणाली में कम करते हैं।<ref name=tb397/>{{rp|p=84}} तथ्य यह है कि QR और SVD गुणनखंडों द्वारा कम से कम वर्गों के समाधान का उत्पादन किया जा सकता है, इसका अर्थ है कि रैखिक कम से कम वर्गों के लिए शास्त्रीय (classical) संख्यात्मक तरीकों के अतिरिक्त # कम से कम वर्गों की समस्याओं को हल करने के लिए सामान्य समीकरणों के आव्यूह को उलट देना, इन समस्याओं को भी हल किया जा सकता है तथा उन विधियों द्वारा जिनमें ग्राम-श्मिट कलनविधि और हाउसहोल्डर विधियाँ सम्मिलित हैं।
-{{Main|System of linear equations}}
-संख्यात्मक रैखिक बीजगणित विशेष रूप से कॉलम वैक्टर के संयोजन के रूप में मैट्रिसेस तक पहुंचता है। रैखिक प्रणाली को हल करने के लिए <math>x = A^{-1}b</math>, पारंपरिक बीजगणितीय दृष्टिकोण x को उत्पाद के रूप में समझना है <math>A^{-1}</math> बी के साथ। संख्यात्मक रैखिक बीजगणित इसके बजाय ए के स्तंभों द्वारा गठित आधार में बी के रैखिक विस्तार के गुणांक के वेक्टर के रूप में एक्स की व्याख्या करता है।<ref name=tb397/>{{rp|p=8}}
-आव्यूह ए और वैक्टर एक्स और बी की विशेषताओं के आधार पर, रैखिक समस्या को हल करने के लिए कई अलग-अलग अपघटन का उपयोग किया जा सकता है, जो दूसरों की तुलना में एक कारक को प्राप्त करना बहुत आसान बना सकता है। यदि A = QR, A का QR गुणनखंड है, तो समतुल्य <math>Rx = Q^\ast b</math>. आव्यूह गुणनखंडन के रूप में गणना करना आसान है।<ref name=tb397/>{{rp|p=54}} यदि <math>A = X \Lambda X^{-1}</math> एक ईजेनडीकंपोजीशन ए है, और हम बी खोजने की कोशिश करते हैं ताकि बी = एक्स, के साथ <math>b' = X^{-1}b</math> और <math>x' = X^{-1}x</math>, तो हमारे पास हैं <math>b' = \Lambda x'</math>.<ref name=tb397/>{{rp|p=33}} यह एकवचन मूल्य अपघटन का उपयोग करते हुए रैखिक प्रणाली के समाधान से निकटता से संबंधित है, क्योंकि एक आव्यूह के एकवचन मान इसके आइगेनवैल्यू के वर्गमूल हैं। और अगर A = LU, A का LU गुणनखंड है, तो Ax = b को त्रिकोणीय मैट्रिसेस Ly = b और Ux = y का उपयोग करके हल किया जा सकता है।<ref name=tb397/>{{rp|p=147}}<ref name=gvl96/>{{rp|p=99}}
+== अनुकूलन और स्थिरता  (Conditioning and stability) ==
+{{Main|संख्यात्मक विश्लेषण#संख्यात्मक स्थिरता और अच्छी तरह से उत्पन्न समस्याएं}}
-=== कम से कम वर्ग अनुकूलन ===
+अनुमति दें कि एक समस्या एक कार्य <math>f: X \to Y</math> है , जहां X आँकड़ा का एक मानक सदिश समष्टि है और Y समाधानों का भि एक मानक सदिश समष्टि है। कुछ आँकड़ा बिंदु के लिए <math>x \in X</math>, समस्या को कुगठित (ill-conditioned) त्रिकोण स्थिति कहा जाता है। यदि x में एक अल्प क्षोभ (perturbation) f (x) के मान में एक बड़ा परिवर्तन उत्पन्न करता है। हम एक प्रतिबंधी संख्या को परिभाषित करके इसकी मात्रा निर्धारित कर सकते हैं जो दर्शाती है कि समस्या कितनी अच्छी तरह से वातानुकूलित है, जिसे परिभाषित किया गया है।<math display="block">\widehat{\kappa} = \lim_{\delta \to 0} \sup_{\| \delta x \| \leq \delta} \frac{\| \delta f \|}{\| \delta x \|}.</math> अस्थिरता कंप्यूटर कलनविधि की प्रवृत्ति है, जो चल बिन्दु (floating-point) परिकलन पर निर्भर करती है, ऐसे परिणाम उत्पन्न करने के लिए जो किसी समस्या के सटीक गणितीय समाधान से प्रभावशाली तरीके से भिन्न होते हैं। जब एक आव्यूह में कई [[महत्वपूर्ण अंक|महत्वपूर्ण अंकों]] के साथ वास्तविक आँकड़ा होता है, तो समीकरणों की रैखिक प्रणाली या कम से कम वर्गों के अनुकूलन जैसी समस्याओं को हल करने के लिए कई कलनविधि अत्यधिक गलत परिणाम उत्पन्न कर सकते हैं। कुगठित स्थिति वाली समस्याओं के लिए स्थिर कलनविधि बनाना संख्यात्मक रेखीय बीजगणित में एक केंद्रीय सोचने का विषय है। एक उदाहरण यह है कि हाउसहोल्डर त्रिकोणीयकरण की स्थिरता इसे रैखिक प्रणालियों के लिए एक विशेष रूप से जटिल समाधान विधि बनाती है, जबकि कम से कम वर्गों की समस्याओं को हल करने के लिए सामान्य समीकरण पद्धति की अस्थिरता आव्यूह अपघटन विधियों का पक्ष लेने का एक कारण है, जैसे विलक्षण मान अपघटन का उपयोग करना, कुछ आव्यूह अपघटन विधियाँ अस्थिर हो सकती हैं, लेकिन उनमें सीधे संशोधन होते हैं, जो उन्हें स्थिर बनाते हैं। एक उदाहरण अस्थिर ग्राम-श्मिट है, जिसे स्थिर संशोधित ग्राम-श्मिट का उत्पादन करने के लिए आसानी से परिवर्तित किया जा सकता है।<ref name="tb397" />{{rp|p=140}} संख्यात्मक रेखीय बीजगणित में एक और शास्त्रीय समस्या यह है कि गाउस विलोपन अस्थिर होता है, लेकिन धुरी के प्रारम्भ के साथ स्थिर हो जाता है।
-{{Main|Numerical methods for linear least squares}}
-आव्यूह अपघटन रैखिक प्रणाली r = b - Ax को हल करने के कई तरीके सुझाते हैं, जहाँ हम रैखिक प्रतिगमन के रूप में r को कम करना चाहते हैं। QR एल्गोरिथम पहले y = Ax को परिभाषित करके और फिर A के घटे हुए QR गुणनखंड की गणना करके और प्राप्त करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करके इस समस्या को हल करता है <math>\widehat{R}x = \widehat{Q}^\ast b</math>. यह ऊपरी त्रिकोणीय प्रणाली तब b के लिए हल की जा सकती है। एसवीडी रैखिक कम से कम वर्ग प्राप्त करने के लिए एक एल्गोरिदम भी सुझाता है। कम एसवीडी अपघटन की गणना करके <math>A = \widehat{U}\widehat{\Sigma}V^\ast</math> और फिर वेक्टर की गणना करना <math>\widehat{U}^\ast b</math>, हम कम से कम वर्ग समस्या को सरल विकर्ण प्रणाली में कम करते हैं।<ref name=tb397/>{{rp|p=84}} तथ्य यह है कि क्यूआर और एसवीडी गुणनखंडों द्वारा कम से कम वर्गों के समाधान का उत्पादन किया जा सकता है, इसका मतलब है कि रैखिक कम से कम वर्गों के लिए शास्त्रीय संख्यात्मक तरीकों के अलावा # कम से कम वर्गों की समस्याओं को हल करने के लिए सामान्य समीकरणों के आव्यूह को उलट देना, इन समस्याओं को भी हल किया जा सकता है उन विधियों द्वारा जिनमें ग्राम-श्मिट एल्गोरिथम और हाउसहोल्डर विधियाँ शामिल हैं।
-== कंडीशनिंग और स्थिरता ==
+== पुनरावृत्ति के तरीके  (Iterative methods) ==
-{{Main|Numerical analysis#Numerical stability and well-posed problems}}
+{{Main|पुनरावर्ती तरीके}}
-अनुमति दें कि एक समस्या एक कार्य है <math>f: X \to Y</math>, जहां X आँकड़ा का एक मानक वेक्टर स्थान है और Y समाधानों का एक मानक वेक्टर स्थान है। कुछ आँकड़ा बिंदु के लिए <math>x \in X</math>, समस्या को खराब स्थिति कहा जाता है यदि x में एक छोटा सा गड़बड़ी f(x) के मान में एक बड़ा परिवर्तन उत्पन्न करता है। हम एक शर्त संख्या को परिभाषित करके इसकी मात्रा निर्धारित कर सकते हैं जो दर्शाती है कि समस्या कितनी अच्छी तरह से वातानुकूलित है, जिसे परिभाषित किया गया है
-<math display="block">\widehat{\kappa} = \lim_{\delta \to 0} \sup_{\| \delta x \| \leq \delta} \frac{\| \delta f \|}{\| \delta x \|}.</math>
-अस्थिरता कंप्यूटर एल्गोरिदम की प्रवृत्ति है, जो फ्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित पर निर्भर करती है, ऐसे परिणाम उत्पन्न करने के लिए जो किसी समस्या के सटीक गणितीय समाधान से नाटकीय रूप से भिन्न होते हैं। जब एक आव्यूह में कई [[महत्वपूर्ण अंक]]ों के साथ वास्तविक आँकड़ा होता है, तो समीकरणों की रैखिक प्रणाली या कम से कम वर्गों के अनुकूलन जैसी समस्याओं को हल करने के लिए कई एल्गोरिदम अत्यधिक गलत परिणाम उत्पन्न कर सकते हैं। खराब स्थिति वाली समस्याओं के लिए स्थिर एल्गोरिदम बनाना संख्यात्मक रेखीय बीजगणित में एक केंद्रीय चिंता का विषय है। एक उदाहरण यह है कि गृहस्थ त्रिकोणीयकरण की स्थिरता इसे रैखिक प्रणालियों के लिए एक विशेष रूप से मजबूत समाधान विधि बनाती है, जबकि कम से कम वर्गों की समस्याओं को हल करने के लिए सामान्य समीकरण पद्धति की अस्थिरता आव्यूह अपघटन विधियों का पक्ष लेने का एक कारण है जैसे एकवचन मूल्य अपघटन का उपयोग करना। कुछ आव्यूह अपघटन विधियाँ अस्थिर हो सकती हैं, लेकिन उनमें सीधे संशोधन होते हैं जो उन्हें स्थिर बनाते हैं; एक उदाहरण अस्थिर ग्राम-श्मिट है, जिसे स्थिर ग्राम-श्मिट प्रक्रिया#संख्यात्मक स्थिरता|संशोधित ग्राम-श्मिट बनाने के लिए आसानी से बदला जा सकता है।<ref name=tb397/>{{rp|p=140}} संख्यात्मक रेखीय बीजगणित में एक और शास्त्रीय समस्या यह है कि गॉसियन उन्मूलन अस्थिर है, लेकिन धुरी की शुरूआत के साथ स्थिर हो जाता है।
-== पुनरावृत्ति के तरीके ==
+दो कारण हैं कि पुनरावृत्ति कलनविधि संख्यात्मक रैखिक बीजगणित का एक महत्वपूर्ण भाग हैं। सबसे पहले, कई महत्वपूर्ण संख्यात्मक समस्याओं का कोई सीधा समाधान नहीं होता है। एक यादृच्छिक (arbitrary) आव्यूह के अभिलक्षणिक मान और अभिलक्षणिक सदिश को खोजने के लिए, हम केवल एक पुनरावृत्ति दृष्टिकोण को अपना सकते हैं। दूसरा, यादृच्छिक के लिए गैर-साहित्यिक कलनविधि <math>m \times m</math> आव्यूह की आवश्यकता है <math>O(m^3)</math> समय, जो आश्चर्यजनक रूप से प्रखर है, यह देखते हुए कि आव्यूह में केवल <math>m^2</math> संख्या सम्मिलित हैं। पुनरावृत्त दृष्टिकोण इस समय को कम करने के लिए कुछ आव्यूह की कई विशेषताओं का लाभ उठा सकते हैं। उदाहरण के लिए, जब एक आव्यूह [[विरल मैट्रिक्स|विरल आव्यूह]] होता है, तो एक पुनरावृत्त कलनविधि के कई चरणों को छोड़ सकता है, तथा एक प्रत्यक्ष दृष्टिकोण का अनिवार्य रूप से पालन करेंगे, यद्यपि वे अत्यधिक संरचित आव्यूह दिए गए निरर्थक चरण हों।
-{{Main|Iterative methods}}
-दो कारण हैं कि पुनरावृत्त एल्गोरिदम संख्यात्मक रैखिक बीजगणित का एक महत्वपूर्ण हिस्सा हैं। सबसे पहले, कई महत्वपूर्ण संख्यात्मक समस्याओं का कोई सीधा समाधान नहीं होता है; एक मनमाना आव्यूह के eigenvalues और eigenvectors को खोजने के लिए, हम केवल एक पुनरावृत्त दृष्टिकोण अपना सकते हैं। दूसरा, मनमानी के लिए गैर-साहित्यिक एल्गोरिदम <math>m \times m</math> आव्यूह की आवश्यकता है <math>O(m^3)</math> समय, जो आश्चर्यजनक रूप से उच्च मंजिल है, यह देखते हुए कि मैट्रिसेस में केवल शामिल हैं <math>m^2</math> नंबर। पुनरावृत्त दृष्टिकोण इस समय को कम करने के लिए कुछ मैट्रिसेस की कई विशेषताओं का लाभ उठा सकते हैं। उदाहरण के लिए, जब एक आव्यूह [[विरल मैट्रिक्स|विरल आव्यूह]] होता है, तो एक पुनरावृत्त कलनविधि  कई चरणों को छोड़ सकता है, जो एक प्रत्यक्ष दृष्टिकोण का अनिवार्य रूप से पालन करेंगे, भले ही वे अत्यधिक संरचित आव्यूह दिए गए निरर्थक चरण हों।
-संख्यात्मक रेखीय बीजगणित में कई पुनरावृत्त विधियों का मूल एक निम्न आयामी क्रायलोव उप-स्थान पर एक आव्यूह का प्रक्षेपण है, जो एक उच्च-आयामी आव्यूह की सुविधाओं को कम आयाम वाले स्थान में शुरू होने वाले समान आव्यूह की समतुल्य विशेषताओं की पुनरावृत्त रूप से गणना करके अनुमानित करने की अनुमति देता है। और क्रमिक रूप से उच्च आयामों की ओर बढ़ रहा है। जब A सममित होता है और हम रैखिक समस्या Ax = b को हल करना चाहते हैं, शास्त्रीय पुनरावृत्त दृष्टिकोण [[संयुग्मी ढाल विधि]] है। यदि ए सममित नहीं है, तो रैखिक समस्या के पुनरावृत्त समाधान के उदाहरण [[सामान्यीकृत न्यूनतम अवशिष्ट विधि]] और सामान्य समीकरणों पर संयुग्मित ढाल विधि # संयुग्म ढाल हैं। यदि A सममित है, तो eigenvalue और eigenvector समस्या को हल करने के लिए हम Lanczos एल्गोरिथम का उपयोग कर सकते हैं, और यदि A गैर-सममित है, तो हम अर्नोल्डी पुनरावृति का उपयोग कर सकते हैं।
+संख्यात्मक रेखीय बीजगणित में कई पुनरावृत्त विधियों का मूल एक निम्न आयामी क्राइलोव उप-स्थान पर एक आव्यूह का प्रक्षेपण है, जो एक उच्च-आयामी आव्यूह की सुविधाओं को कम आयाम वाले स्थान में प्रारम्भ होने वाले समान आव्यूह की समतुल्य विशेषताओं की पुनरावृत्त रूप से गणना करके अनुमानित करने की अनुमति देता है। और क्रमिक रूप से उच्च आयामों की ओर बढ़ रहा है। जब A सममित होता है और हम रैखिक समस्या Ax = b को हल करना चाहते हैं, शास्त्रीय पुनरावृत्त दृष्टिकोण [[संयुग्मी ढाल विधि|संयुग्मी प्रवणता विधि]] है। यदि A सममित नहीं है, तो रैखिक समस्या के पुनरावृत्त समाधान के उदाहरण [[सामान्यीकृत न्यूनतम अवशिष्ट विधि]] और सामान्य समीकरणों पर संयुग्मित प्रवणता विधि # संयुग्म प्रवणता हैं। यदि A सममित है, तो अभिलक्षणिक मान और अभिलक्षणिक सदिश समस्या को हल करने के लिए हम लैंक्ज़ोस (Lanczos) कलनविधि का उपयोग कर सकते हैं, और यदि A गैर-सममित है, तो हम अर्नोल्डी (Arnoldi) पुनरावृति का उपयोग कर सकते हैं।
 == सॉफ्टवेयर ==
-{{Main|List of numerical analysis software}}
+{{Main|संख्यात्मक विश्लेषण सॉफ्टवेयर की सूची}}
-[[आर (प्रोग्रामिंग भाषा)]] संख्यात्मक रैखिक बीजगणित अनुकूलन तकनीकों का उपयोग करती हैं और संख्यात्मक रैखिक बीजगणित एल्गोरिदम को लागू करने के लिए डिज़ाइन की गई हैं। इन भाषाओं में [[MATLAB]], Analytica (सॉफ़्टवेयर), Maple (सॉफ़्टवेयर) और [[Mathematica]] शामिल हैं। अन्य प्रोग्रामिंग भाषाएं जो स्पष्ट रूप से संख्यात्मक रैखिक बीजगणित के लिए डिज़ाइन नहीं की गई हैं, उनके पुस्तकालय हैं जो संख्यात्मक रैखिक बीजगणित दिनचर्या और अनुकूलन प्रदान करते हैं; C (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज) और [[फोरट्रान]] के पास [[बुनियादी रेखीय बीजगणित उपप्रोग्राम]] और [[LAPACK]] जैसे पैकेज हैं, पायथन (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज) में लाइब्रेरी [[NumPy]] है, और [[पर्ल]] के पास [[पर्ल डेटा लैंग्वेज|पर्ल आँकड़ा लैंग्वेज]] है। R (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज) में कई संख्यात्मक रैखिक बीजगणित आदेश LAPACK जैसे इन अधिक मौलिक पुस्तकालयों पर निर्भर करते हैं।<ref>{{cite web |url=https://www.r-bloggers.com/r-and-linear-algebra/ |title=आर और रैखिक बीजगणित|last=Rickert |first=Joseph |website=R-bloggers |date=August 29, 2013 |access-date=February 17, 2019}}</ref> अधिक पुस्तकालयों को [[संख्यात्मक पुस्तकालयों की सूची]] में पाया जा सकता है।
+कई [[आर (प्रोग्रामिंग भाषा)|प्रोग्रामिंग भाषाए]] संख्यात्मक रैखिक बीजगणित अनुकूलन तकनीकों का उपयोग करती हैं और संख्यात्मक रैखिक बीजगणित कलनविधि को लागू करने के लिए बनाई की गई हैं इन भाषाओं में [[MATLAB]], Analytica  (सॉफ़्टवेयर), Maple और [[Mathematica]] सम्मिलित हैं। अन्य प्रोग्रामिंग भाषाएं जो स्पष्ट रूप से संख्यात्मक रैखिक बीजगणित के लिए प्रारूपित नहीं की गई हैं, वे पुस्तकालय (लाइब्रेरी) मे जो संख्यात्मक रैखिक बीजगणित दिनचर्या और अनुकूलन प्रदान करते हैं। C  (प्रोग्रामिंग भाषा) और [[फोरट्रान]] के पास [[बुनियादी रेखीय बीजगणित उपप्रोग्राम|प्रारम्भिक रेखीय बीजगणित उपप्रोग्राम]] और [[LAPACK]] जैसे पैकेज हैं, पायथन (python) में पुस्तकालय [[NumPy]] है, और [[पर्ल|पर्ल (Perl]]) के पास [[पर्ल डेटा लैंग्वेज|पर्ल डेटा भाषा]] है। R  (प्रोग्रामिंग भाषा) में कई संख्यात्मक रैखिक बीजगणित तर्क LAPACK जैसे इन अधिक मुख्य पुस्तकालयों पर निर्भर करते हैं।<ref>{{cite web |url=https://www.r-bloggers.com/r-and-linear-algebra/ |title=आर और रैखिक बीजगणित|last=Rickert |first=Joseph |website=R-bloggers |date=August 29, 2013 |access-date=February 17, 2019}}</ref> अधिक पुस्तकालयों को [[संख्यात्मक पुस्तकालयों की सूची]] में प्राप्त किया जा सकता है।
 == संदर्भ ==
 {{Reflist|30em}}
+== आगे की पढाई  (Further reading) ==
-== आगे की पढाई ==
 * {{cite book |first1=Jack |last1=Dongarra |author-link=Jack Dongarra |first2=Sven |last2=Hammarling |chapter=Evolution of Numerical Software for Dense Linear Algebra |pages=297–327 |title=Reliable Numerical Computation |editor-first=M. G. |editor-last=Cox |editor2-first=S. |editor2-last=Hammarling |location=Oxford |publisher=Clarendon Press |year=1990 |isbn=0-19-853564-3 }}
+==बाहरी लिंक्ड  (External links)==
-==इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची==
-*फ़्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित
-*अंक शास्त्र
-*पदार्थ विज्ञान
-*बायोइनफॉरमैटिक्स
-*सीमित तत्व विधि
-*अनिश्चितता का प्रसार
-*द्रव गतिविज्ञान
-*मूर्ति प्रोद्योगिकी
-*अंतर समीकरण
-*लीनियर अलजेब्रा
-*क्यूआर फैक्टराइजेशन
-*विलक्षण मान अपघटन
-*चलने का
-*लू गुणनखंडन
-*आंशिक विभेदक समीकरण
-*गुणक
-*आधार (रैखिक बीजगणित)
-*विलक्षण मूल्य
-*क्यूआर एल्गोरिदम
-*रैखिक न्यूनतम-वर्ग
-*रेखीय प्रतिगमन
-*हालत संख्या
-*लैंक्ज़ोस एल्गोरिथम
-*क्रायलोव सबस्पेस
-*अर्नोल्ड पुनरावृत्ति
-*मेपल (सॉफ्टवेयर)
-*पायथन (प्रोग्रामिंग भाषा)
-*एनालिटिका (सॉफ्टवेयर)
-*सी (प्रोग्रामिंग भाषा)
-==बाहरी कड़ियाँ==
 {{Commonscat}}
 *[http://www.netlib.org/utk/people/JackDongarra/la-sw.html Freely available software for numerical algebra on the web], composed by Jack Dongarra and Hatem Ltaief, University of Tennessee
 *[http://www.nag.co.uk/numeric/fl/nagdoc_fl24/html/F/fconts.html NAG Library of numerical linear algebra routines]
-*{{twitter|nla_grp|Numerical Linear Algebra Group}} (Research group in the United Kingdom)
+*{{twitter|nla_grp|Numerical Linear Algebra Group}}  (Research group in the United Kingdom)
-*{{twitter|siagla|siagla}} (Activity group about numerical linear algebra in the [[Society for Industrial and Applied Mathematics]])
+*{{twitter|siagla|siagla}}  (Activity group about numerical linear algebra in the [[Society for Industrial and Applied Mathematics]])
 *[https://gammanla.wordpress.com/ The GAMM Activity Group on Applied and Numerical Linear Algebra]
 {{Numerical linear algebra}}
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+[[Category:Wikipedia fully protected templates|Cite web]]
+[[Category:Wikipedia metatemplates]]

v t e Numerical linear algebra
Key concepts	Floating point Numerical stability
Problems	System of linear equations Matrix decompositions Matrix multiplication (algorithms) Matrix splitting Sparse problems
Hardware	CPU cache TLB Cache-oblivious algorithm SIMD Multiprocessing
Software	MATLAB Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS) LAPACK Specialized libraries General purpose software

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इतिहास

आव्यूह अपघटन

विभाजित आव्यूह

विलक्षण मान अपघटन

QR गुणनखण्ड

LU गुणनखण्ड

अभिलक्षणिक मान अपघटन

कलनविधि (Algorithms)

गाऊसी विलोपन

रैखिक प्रणालियों के समाधान

कम से कम वर्ग अनुकूलन

अनुकूलन और स्थिरता (Conditioning and stability)

पुनरावृत्ति के तरीके (Iterative methods)

सॉफ्टवेयर

संदर्भ

आगे की पढाई (Further reading)

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संख्यात्मक रैखिक बीजगणित: Difference between revisions

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इतिहास

आव्यूह अपघटन

विभाजित आव्यूह

विलक्षण मान अपघटन

QR गुणनखण्ड

LU गुणनखण्ड

अभिलक्षणिक मान अपघटन

कलनविधि (Algorithms)

गाऊसी विलोपन

रैखिक प्रणालियों के समाधान

कम से कम वर्ग अनुकूलन

अनुकूलन और स्थिरता (Conditioning and stability)

पुनरावृत्ति के तरीके (Iterative methods)

सॉफ्टवेयर

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