अभिन्न समीकरण

For पूर्णांक अज्ञात के समीकरण, see डायोफैंटाइन समीकरण.

गणित में, समाकल समीकरण वे समीकरण होते हैं जिनमें एक अज्ञात फलन एक समाकल चिन्ह के अंतर्गत होता है। गणितीय संकेतन में, समाकल समीकरणों को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

$$f(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n};u(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n});I^{1}(u),I^{2}(u),I^{3}(u),...,I^{m}(u))=0$$

जहाँ $I^{i}(u)$ एक समाकल संकारक है जो u पर फलन करता है। इसलिए, समाकल समीकरणों को अवकल समीकरणों के अनुरूप के रूप में देखा जा सकता है जहाँ अवकलज वाले समीकरण के बजाय, समीकरण में समाकल सम्मिलित होते हैं। उपरोक्त सामान्य समाकल समीकरण के गणितीय रूप के साथ एक प्रत्यक्ष तुलना को एक अवकल समीकरण के सामान्य रूप के साथ देखा जा सकता है जिसे निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:

$$f(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n};u(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n});D^{1}(u),D^{2}(u),D^{3}(u),...,D^{m}(u))=0$$

जहाँ $D^{i}(u)$ को कोटि i के अवकल संकारक के रूप में देखा जा सकता है। अवकल और समाकल समीकरणों के बीच इस घनिष्ठ संबंध के कारण, कोई भी प्रायः दोनों के बीच रूपांतरण कर सकता है। उदाहरण के लिए, परिसीमा मान समस्या को हल करने की एक विधि अवकल समीकरण को इसकी सीमा शर्तों के साथ किसी समाकल समीकरण में परिवर्तित करके और समाकल समीकरण को हल करना है। इसके अतिरिक्त, क्योंकि कोई भी दोनों के बीच रूपांतरण कर सकता है, मैक्सवेल के समीकरणों जैसे भौतिक विज्ञान में अवकल समीकरणों में प्रायः एक एनालॉग समाकल और अवकल प्ररूप होता है। यह भी देखें, उदाहरण के लिए, ग्रीन का फलन और फ्रेडहोम सिद्धांत।

वर्गीकरण और संक्षिप्त विवरण

समाकल समीकरणों के लिए विभिन्न वर्गीकरण पद्धतियां विद्यामन हैं। कुछ मानक वर्गीकरणों में रेखीय और अरैखिक के बीच अंतर सम्मिलित हैं; सजातीय और असमघाती; फ़्रेडहोल्म और वोल्टेरा; प्रथम कोटि, द्वितीय कोटि और तृतीय कोटि; और अव्युत्क्रमणीय और नियमित समाकल समीकरण। ये अंतर सामान्यतः कुछ मूल गुणधर्म पर आधारित होते हैं जैसे समीकरण की रैखिकता या समीकरण की सजातीयता पर विचार करना। इन टिप्पणियों को निम्नलिखित परिभाषाओं और उदाहरणों के माध्यम से ठोस बनाया गया है:

रैखिकता

रेखीय: एक समाकल समीकरण रेखीय होता है यदि अज्ञात फलन u(x) और इसके समाकल समीकरण में रैखिक दिखाई देते हैं। अतः एक रैखिक समीकरण का उदाहरण निम्नलिखित होगा है:

$$u(x)=f(x)+\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}K(x,t)\cdot u(t)dt$$

नामकरण परिपाटी पर एक नोट के रूप में: i) u(x) को अज्ञात फलन कहा जाता है, ii) f(x) को ज्ञात फलन कहा जाता है, iii) K(x,t) दो चरों का एक फलन है और इसे प्रायः कर्नल फलन कहा जाता है, और iv) λ एक अज्ञात कारक या प्राचल है, जो रैखिक बीजगणित में आइगेनमान के समान भूमिका निभाता है।

अरैखिक: एक समाकल समीकरण अरैखिक होता है यदि अज्ञात फलन u(x) या इसका कोई भी समाकल समीकरण में अरैखिक दिखाई देता है। इसलिए, यदि हम u(t) को $u^{2}(x),\,\,cos(u(x)),\,{\text{or }}\,e^{u(x)}$ से प्रतिस्थापित करते हैं, तो अरैखिक समीकरणों के उदाहरण ऊपर दिए गए समीकरण होंगे, जैसे:

$$u(x)=f(x)+\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}K(x,t)\cdot u^{2}(t)dt$$

कुछ प्रकार के अरैखिक समाकल समीकरणों के विशिष्ट नाम होते हैं। ऐसे समीकरणों का एक चयन है:

• दूसरे प्रकार के अरैखिक वोल्टेरा समाकल समीकरण जिनका सामान्य रूप है: $u(x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{x}K(x,t)\,F(x,t,u(t))\,dt,$ जहाँ F एक ज्ञात फलन है।
• दूसरे प्रकार के अरैखिक फ्रेडहोम समाकल समीकरण जिनका सामान्य रूप है: $f(x)=F(x,\int _{a}^{b}K(x,y,f(x),f(y))\,dy)$।
• दूसरे प्रकार के एक विशेष प्रकार के अरैखिक फ्रेडहोम समाकल समीकरणों को फॉर्म द्वारा दिया जाता है: $f(x)=g(x)+\int _{a}^{b}K(x,y,f(x),f(y))\,dy$, जिसमें दो विशेष उपवर्ग हैं:
  • उरीसोहन समीकरण: $f(x)=g(x)+\int _{a}^{b}k(x,y,f(y))\,dy$।
  • हैमरस्टीन समीकरण: $f(x)=g(x)+\int _{a}^{b}k(x,y)\,G(y,f(y))\,dy$।

हैमरस्टीन समीकरण के बारे में अधिक जानकारी और हैमरस्टीन समीकरण के विभिन्न संस्करणों को नीचे हैमरस्टीन अनुभाग में प्राप्त किया जा सकता है।

अज्ञात समीकरण का स्थान

प्रथम प्रकार: समाकल समीकरण प्रथम प्रकार का समाकल समीकरण कहलाता है यदि अज्ञात फलन केवल समाकल चिह्न के अंतर्गत प्रकट होता है। एक उदाहरण होगा: $f(x)=\int _{a}^{b}K(x,t)\,u(t)\,dt$.

दूसरा प्रकार: समाकल समीकरण को दूसरे प्रकार का समाकल समीकरण कहा जाता है यदि अज्ञात फलन समाकल के बाहर भी प्रकट होता है।

तीसरा प्रकार: समाकल समीकरण को तीसरे प्रकार का समाकल समीकरण कहा जाता है, यदि यह निम्नलिखित रूप का एक रैखिक समाकल समीकरण हो:

$$g(t)u(t)+\lambda \int _{a}^{b}K(t,x)u(x)\,dx=f(t)$$

जहाँ g(t) अंतराल में कम से कम एक बार समाप्त हो जाता है [a,b] या जहाँ g(t) (a,b) में बिंदुओं की एक सीमित संख्या में समाप्त हो जाता है।

समाकलन की सीमा

फ्रेडहोम: समाकल समीकरण को फ्रेडहोम समाकल समीकरण कहा जाता है यदि सभी समाकल में समाकलन की दोनों सीमाएं स्थिर और स्थिर हैं। एक उदाहरण यह होगा कि समाकल को $\mathbb {R} ^{n}$ के एक निश्चित उपसमुच्चय पर लिया जाता है। अतः, निम्नलिखित दो उदाहरण फ्रेडहोम समीकरण हैं:

• पहले प्रकार का फ्रेडहोम समीकरण: $f(x)=\int _{a}^{b}K(x,t)\,u(t)\,dt$
• दूसरे प्रकार का फ्रेडहोम समीकरण: $u(x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{b}K(x,t)\,u(t)\,dt.$

ध्यान दें कि हम समाकल समीकरणों को अभिव्यक्त कर सकते हैं जैसे कि ऊपर वाले भी समाकल संकारक संकेतन का उपयोग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, हम फ्रेडहोम समाकल संकारक को इस रूप में परिभाषित कर सकते हैं:

$$({\mathcal {F}}y)(t):=\int _{t_{0}}^{T}K(t,s)\,y(s)\,ds.$$

इसलिए, दूसरे प्रकार के उपरोक्त फ्रेडहोम समीकरण को संक्षिप्त रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$$y(t)=g(t)+\lambda ({\mathcal {F}}y)(t).$$

वोल्टेरा: एक समाकल समीकरण को वोल्टेरा समाकल समीकरण कहा जाता है, यदि समाकलन की कम से कम एक सीमा एक चर हो। इसलिए, समाकल को एक प्रान्त पर ले लिया जाता है जो समाकलन के चर के साथ बदलता रहता है। वोल्टेरा समीकरणों के उदाहरण होंगे:

• पहले प्रकार का वोल्टेरा समाकल समीकरण: $f(x)=\int _{a}^{x}K(x,t)\,u(t)\,dt$
• दूसरे प्रकार का वोल्टेरा समाकल समीकरण: $u(x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{x}K(x,t)\,u(t)\,dt.$

जैसा कि फ्रेडहोम समीकरणों के साथ होता है, हम फिर से संकारक संकेतन को अपना सकते हैं। इस प्रकार, हम रैखिक वोल्टेरा समाकल संकारक ${\mathcal {V}}:C(I)\to C(I)$ को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं:

$$({\mathcal {V}}\phi )(t):=\int _{t_{0}}^{t}K(t,s)\,\phi (s)\,ds$$

जहाँ $t\in I=[t_{0},T]$ और K(t, s) को कर्नल कहा जाता है और अंतराल $D:=\{(t,s):0\leq s\leq t\leq T\leq \infty \}$ पर निरंतर होना चाहिए। इसलिए, पहले प्रकार के वोल्टेरा समाकल समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$$({\mathcal {V}}y)(t)=g(t)$$

$g(0)=0$ के साथ। इसके अतिरिक्त, एक अज्ञात फलन $y(t)$ के लिए दूसरे प्रकार का एक रेखीय वोल्टेरा समाकल समीकरण और अंतराल $I$ पर दिए गए निरंतर फलन $g(t)$ जहाँ $t\in I$:

$$y(t)=g(t)+({\mathcal {V}}y)(t).$$

वोल्टेरा-फ्रेडहोल्म: उच्च विमाओं में, फ्रेडहोम-वोल्टेरा समाकल समीकरण (वीएफआईई) जैसे समाकल समीकरण विद्यमान हैं। एक वीएफआईई का फॉर्म है:

$$u(t,x)=g(t,x)+({\mathcal {T}}u)(t,x)$$

$x\in \Omega$ और $\Omega$ के साथ $\mathbb {R} ^{d}$ में एक संवृत परिबद्ध क्षेत्र होने के साथ टुकड़े की तरह चिकनी सीमा होती है। फ़्रेडहोल्म-वोल्टेरा समाकल संकारक ${\mathcal {T}}:C(I\times \Omega )\to C(I\times \Omega )$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$$({\mathcal {T}}u)(t,x):=\int _{0}^{t}\int _{\Omega }K(t,s,x,\xi )\,G(u(s,\xi ))\,d\xi \,ds.$$

ध्यान दें कि जबकि इस पूरे लेख में, समाकलन की सीमाएँ सामान्यतः अंतरालों के रूप में लिखी जाती हैं, यह मामला नहीं होना चाहिए। सामान्य तौर पर, समाकल समीकरणों को हमेशा एक अंतराल $[a,b]=I$ पर परिभाषित करने की आवश्यकता नहीं होती है, लेकिन एक वक्र या सतह पर भी परिभाषित किया जा सकता है।

सजातीयता

समरूप: एक समाकल समीकरण को समरूप कहा जाता है यदि ज्ञात फलन $f$ समान रूप से शून्य है।

असजतीय: एक समाकल समीकरण को सजातीय कहा जाता है यदि ज्ञात फलन $f$ शून्य नहीं है।

नियमितता

नियमित: एक समाकल समीकरण को नियमित कहा जाता है यदि उपयोग किए गए समाकल अंग सभी उचित समाकल हों।

अव्युत्क्रमणीय या अशक्त अव्युत्क्रमणीय: समाकल समीकरण को अव्युत्क्रमणीय या दुर्बल रूप से अव्युत्क्रमणीय कहा जाता है यदि समाकल एक अनुचित समाकल है। यह या तो इसलिए हो सकता है क्योंकि समाकलन की कम से कम एक सीमा अनंत है या कर्नल अबाधित हो जाता है, जिसका अर्थ है अनंत, अंतराल या प्रान्त में कम से कम एक बिंदु पर जिस पर एकीकृत किया जा रहा है।

उदाहरणों में सम्मिलित:

$$F(\lambda )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\lambda x}u(x)\,dx$$

$$L[u(x)]=\int _{0}^{\infty }e^{-\lambda x}u(x)\,dx$$

ये दो समाकल समीकरण क्रमशः u(x) के फोरियर रूपांतरण और लाप्लास रूपांतरण हैं, दोनों क्रमशः कर्नल $K(x,t)=e^{-i\lambda x}$ और $K(x,t)=e^{-\lambda x}$ के साथ पहले प्रकार के फ्रेडहोम समीकरण हैं। अव्युत्क्रमणीय समाकल समीकरण का एक अन्य उदाहरण जिसमें कर्नल असीमित हो जाता है:

$$x^{2}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {x-t}}}\,u(t)\,dt.$$

यह समीकरण पहले प्रकार के अधिक सामान्य कमजोर अव्युत्क्रमणीय वोल्टेरा समाकल समीकरण का एक विशेष रूप है, जिसे एबेल का समाकल समीकरण कहा जाता है:

$$g(x)=\int _{a}^{x}{\frac {f(y)}{\sqrt {x-y}}}\,dy$$

प्रबल अव्युत्क्रमणीय: एक समाकल समीकरण को प्रबल अव्युत्क्रमणीय कहा जाता है यदि समाकल को एक विशेष नियमितीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता है, उदाहरण के लिए, कौशी प्रमुख मान द्वारा।

इंटीग्रो-डिफरेंशियल समीकरण

इंटीग्रो-अवकल समीकरण, जैसा कि नाम से पता चलता है, अवकल और समाकल संकारकों को एक समीकरण में जोड़ता है। वोल्टेरा पूर्णांक-विभेदक समीकरण और विलंब प्रकार के समीकरण सहित कई संस्करण हैं, जैसा कि नीचे परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, वोल्टेरा संकारक का उपयोग करते हुए, वोल्टेरा इंटीग्रो-अवकल समीकरण को इस तरह लिखा जा सकता है:

$$y'(t)=f(t,y(t))+(V_{\alpha }y)(t)$$

स्थगितकरण समस्याओं के लिए, हम देरी समाकल संकारक $({\mathcal {W}}_{\theta ,\alpha }y)$ को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं:

$$({\mathcal {W}}_{\theta ,\alpha }y)(t):=\int _{\theta (t)}^{t}(t-s)^{-\alpha }\cdot k_{2}(t,s,y(s),y'(s))\,ds$$

जहाँ स्थगितकरण पूर्णांक-विभेदक समीकरण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$$y'(t)=f(t,y(t),y(\theta (t)))+({\mathcal {W}}_{\theta ,\alpha }y)(t).$$

वोल्टेरा समाकल समीकरण

1डी में विशिष्टता और अस्तित्व प्रमेय

समीकरण द्वारा दिए गए पहले प्रकार के एक रेखीय वोल्टेरा समाकल समीकरण का हल:

$$({\mathcal {V}}y)(t)=g(t)$$

निम्नलिखित विशिष्टता और अस्तित्व प्रमेय द्वारा वर्णित किया जा सकता है। याद रखें कि वोल्टेरा समाकल संकारक ${\mathcal {V}}:C(I)\to C(I)$, को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है:

$$({\mathcal {V}}\phi )(t):=\int _{t_{0}}^{t}K(t,s)\,\phi (s)\,ds$$

जहाँ $t\in I=[t_{0},T]$ और K(t, s) को कर्नल कहा जाता है और अंतराल $D:=\{(t,s):0\leq s\leq t\leq T\leq \infty \}$ पर निरंतर होना चाहिए।

Theorem — मान लें कि $K$ कुछ $t\in I.$ के लिए $K\in C(D),\,\partial K/\partial t\in C(D)$ और $\vert K(t,t)\vert \geq k_{0}>0$ को संतुष्ट करता है। फिर $g(0)=0$ के साथ किसी भी $g\in C^{1}(I)$ के लिए ऊपर दिए गए समाकल समीकरण का $y\in C(I)$ में एक विशिष्ट हल है।

समीकरण द्वारा दिए गए दूसरे प्रकार के रैखिक वोल्टेरा समाकल समीकरण का हल:

$$y(t)=g(t)+({\mathcal {V}}y)(t)$$

निम्नलिखित विशिष्टता और अस्तित्व प्रमेय द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

Theorem — मान लीजिए $K\in C(D)$ और $R$, $K$ के साथ जुड़े रिज़ॉल्वेंट कर्नल को दर्शाते हैं। फिर, किसी भी $g\in C(I)$ के लिए, दूसरी तरह के वोल्टेरा समाकल समीकरण का एक विशिष्ट हल $y\in C(I)$ है और यह हल $y(t)=g(t)+\int _{0}^{t}R(t,s)\,g(s)\,ds$ द्वारा दिया गया है।

$\mathbb {R} ^{2}$ में वोल्टेरा समाकल समीकरण

दूसरे प्रकार का वोल्टेरा समाकल समीकरण निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:

$$u(t,x)=g(t,x)+\int _{0}^{x}\int _{0}^{y}K(x,\xi ,y,\eta )\,u(\xi ,\eta )\,d\eta \,d\xi$$

जहाँ $(x,y)\in \Omega :=[0,X]\times [0,Y]$, $g\in C(\Omega )$, $K\in C(D_{2})$ और $D_{2}:=\{(x,\xi ,y,\eta ):0\leq \xi \leq x\leq X,0\leq \eta \leq y\leq Y\}$ हैं।इ स समाकल समीकरण का एक विशिष्ट हल $u\in C(\Omega )$ है जो इसके द्वारा दिया गया है:

$$u(t,x)=g(t,x)+\int _{0}^{x}\int _{0}^{y}R(x,\xi ,y,\eta )\,g(\xi ,\eta )\,d\eta \,d\xi$$

जहाँ $R$ K का रिज़ॉल्वेंट कर्नल है।

फ्रेडहोम-वोल्टेरा समीकरणों की विशिष्टता और अस्तित्व प्रमेय

जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, एक वीएफआईई का रूप है:

$$u(t,x)=g(t,x)+({\mathcal {T}}u)(t,x)$$

$x\in \Omega$ और $\Omega$ के साथ $\mathbb {R} ^{d}$ में एक संवृत परिबद्ध क्षेत्र होने के साथ खंडश: मसृण परिसीमा होती है। फ़्रेडहोल्म-वोल्टेरा समाकल संकारक ${\mathcal {T}}:C(I\times \Omega )\to C(I\times \Omega )$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$$({\mathcal {T}}u)(t,x):=\int _{0}^{t}\int _{\Omega }K(t,s,x,\xi )\,G(u(s,\xi ))\,d\xi \,ds.$$

ऐसी स्थितियां में जहां कर्नल K को $K(t,s,x,\xi )=k(t-s)H(x,\xi )$ के रूप में लिखा जा सकता है, K को धनात्मक मेमोरी कर्नल कहा जाता है। इस बात को ध्यान में रखते हुए, अब हम निम्नलिखित प्रमेय को प्रस्तुत कर सकते हैं:

Theorem — यदि रैखिक वीएफआईई इसके द्वारा दिया गया है: $u(t,x)=g(t,x)+\int _{0}^{t}\int _{\Omega }K(t,s,x,\xi )\,G(u(s,\xi ))\,d\xi \,ds$ साथ में $(t,x)\in I\times \Omega$ निम्नलिखित शर्तों को संतुष्ट करता है:

• $g\in C(I\times \Omega )$, और
• $K\in C(D\times \Omega ^{2})$ जहाँ $D:=\{(t,s):0\leq s\leq t\leq T\}$ और $\Omega ^{2}=\Omega \times \Omega$

फिर VFIE के पास $u(t,x)=g(t,x)+\int _{0}^{t}\int _{\Omega }R(t,s,x,\xi )\,G(u(s,\xi ))\,d\xi \,ds$ द्वारा दिया गया एक विशिष्ट हल $u\in C(I\times \Omega )$ है जहां $R\in C(D\times \Omega ^{2})$ को रिज़ॉल्वेंट कर्नेल कहा जाता है और कर्नल $K$ के लिए न्यूमैन श्रृंखला की सीमा द्वारा दिया जाता है और रिज़ॉल्वेंट समीकरण हल करता है: $R(t,s,x,\xi )=K(t,s,x,\xi )+\int _{0}^{t}\int _{\Omega }K(t,v,x,z)R(v,s,z,\xi )\,dz\,dv=K(t,s,x,\xi )+\int _{0}^{t}\int _{\Omega }R(t,v,x,z)K(v,s,z,\xi )\,dz\,dv$

विशेष वोल्टेरा समीकरण

विशेष प्रकार का वोल्टेरा समीकरण जो विभिन्न अनुप्रयोगों में उपयोग किया जाता है, उसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

$$y(t)=g(t)+(V_{\alpha }y)(t)$$

जहाँ $t\in I=[t_{0},T]$ फलन g(t) अंतराल पर सतत है $I$, और वोल्टेरा समाकल संकारक $(V_{\alpha }t)$ द्वारा दिया गया है:

$$(V_{\alpha }t)(t):=\int _{t_{0}}^{t}(t-s)^{-\alpha }\cdot k(t,s,y(s))\,ds$$

साथ $(0\leq \alpha <1)$।

आईवीपी को समाकल समीकरणों में परिवर्तित करना

निम्नलिखित खंड में, हम एक प्रारंभिक मूल्य समस्या (आईवीपी) को एक समाकल समीकरण में बदलने का उदाहरण देते हैं। ऐसा करने के लिए कई प्रेरणाएँ हैं, उनमें से यह है कि समाकल समीकरण प्रायः अधिक आसानी से हल करने योग्य हो सकते हैं और अस्तित्व और विशिष्टता प्रमेयों को साबित करने के लिए अधिक उपयुक्त हैं।

निम्नलिखित उदाहरण वाज़वाज़ ने अपनी पुस्तक के पृष्ठ 1 और 2 पर प्रदान किया था।हम समीकरण द्वारा दिए गए आईवीपी की जांच करते हैं:

$$u'(t)=2tu(t),\,\,\,\,\,\,\,x\geq 0$$

और प्रारंभिक स्थिति:

$$u(0)=1$$

यदि हम समीकरण के दोनों पक्षों को एकीकृत करते हैं, तो हम पाते हैं:

$$\int _{0}^{x}u'(t)dt=\int _{0}^{x}2tu(t)dt$$

और कलन के मौलिक प्रमेय से, हम प्राप्त करते हैं:

$$u(x)-u(1)=\int _{0}^{x}2tu(t)dt$$

उपरोक्त समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें समाकल समीकरण मिलता है:

$$u(x)=1+\int _{0}^{x}2tu(t)dt$$

जो फॉर्म का वोल्टेरा समाकल समीकरण है:

$$u(x)=f(x)+\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}K(x,t)\cdot u(t)dt$$

जहाँ K(x,t) को कर्नल कहा जाता है और 2t के बराबर है, और f(x)=1।

समाकल समीकरणों के लिए पावर श्रेणी हल

See also: लिउविल-न्यूमैन श्रेणी

कई मामलों में, यदि समाकल समीकरण का कर्नल रूप का है K(xt) और मेलिन का परिवर्तन K(t) विद्यामन है, हम समाकल समीकरण का हल प्राप्त कर सकते है

$g(s)=s\int _{0}^{\infty }K(st)\,f(t)\,dt$

एक पावर श्रेणी के रूप में

$f(t)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{M(n+1)}}t^{n}$

जहाँ

$g(s)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}s^{-n},\qquad M(n+1)=\int _{0}^{\infty }K(t)\,t^{n}\,dt$

हैं Z- फलन का परिवर्तन g(s), और M(n + 1) कर्नल का मेलिन रूपांतरण है।

संख्यात्मक हल

यह ध्यान देने योग्य है कि समाकल समीकरणों का प्रायः विश्लेषणात्मक हल नहीं होता है, और उन्हें संख्यात्मक रूप से हल किया जाना चाहिए। इसका एक उदाहरण विद्युत चुम्बकीय प्रकीर्णन समस्या में मनमाने आकार की वस्तु पर विद्युत-क्षेत्र समाकल समीकरण (ईएफआईई) या चुंबकीय-क्षेत्र समाकल समीकरण (एमएफआईई) का मूल्यांकन करना है।

संख्यात्मक रूप से हल करने के लिए एक विधि के लिए आवश्यक है कि चरों का विवेचन किया जाए और एक चतुर्भुज नियम द्वारा समाकल को प्रतिस्थापित किया जाए

$\sum _{j=1}^{n}w_{j}K\left(s_{i},t_{j}\right)u(t_{j})=f(s_{i}),\qquad i=0,1,\dots ,n.$

फिर हमारे पास एक सिस्टम है n समीकरण और n चर। इसे हल करने पर हमें का मान प्राप्त होता है n चर

$u(t_{0}),u(t_{1}),\dots ,u(t_{n}).$

आइगेनमान समीकरणों के सामान्यीकरण के रूप में समाकल समीकरण

Further information: फ्रेडहोम सिद्धांत

कुछ सजातीय रैखिक समाकल समीकरणों को आइगेनमान, आइगेनसदिश और आइगेनसमष्टि की सातत्य सीमा के रूप में देखा जा सकता है। सूचकांक अंकन का उपयोग करते हुए, एक आइगेनमान समीकरण को इस रूप में लिखा जा सकता है

$\sum _{j}M_{i,j}v_{j}=\lambda v_{i}$

जहाँM = [M_i,j] एक आव्यूह है, v इसका एक आइगेनसदिश है, और λ संबंधित आइगेनमान है।

सातत्य सीमा लेते हुए, अर्थात असतत सूचकांकों i और j को निरंतर चर x और y से प्रतिस्थापित करने पर, प्राप्त होता है

$\int K(x,y)\,\varphi (y)\,dy=\lambda \,\varphi (x),$

जहाँ j पर योग को y पर एक समाकलन द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है और आव्यूह M और सदिश v को कर्नल K(x, y) और आइगेनफलन φ(y) द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है। (समाकल पर सीमाएं j से अधिक योग की सीमाओं के अनुरूप तय की जाती हैं।) यह दूसरे प्रकार का एक रैखिक सजातीय फ्रेडहोम समीकरण देता है।

सामान्य तौर पर, K(x, y) सख्त अर्थों में एक फलन के बजाय वितरण हो सकता है। यदि बंटन K को केवल बिंदु x = y पर समर्थन प्राप्त है, तो समाकल समीकरण एक विभेदक ईजेनफंक्शन समीकरण में बदल जाता है।

सामान्य तौर पर, वोल्टेरा और फ्रेडहोम समाकल समीकरण एकल अवकल समीकरण से उत्पन्न हो सकते हैं, जो इस बात पर निर्भर करता है कि इसके हल के प्रान्त की सीमा पर किस प्रकार की शर्तें लागू होती हैं।

वीनर-हॉप समाकल समीकरण

Main article: वीनर-हॉप विधि

$$y(t)=\lambda x(t)+\int _{0}^{\infty }k(t-s)\,x(s)\,ds,\qquad 0\leq t<\infty .$$

मूल रूप से, इस तरह के समीकरणों का अध्ययन रेडिएटिव ट्रांसफर में समस्याओं के संबंध में किया गया था, और हाल ही में, वे प्लानर समस्याओं के लिए सीमा समाकल समीकरणों के हल से संबंधित हैं, जिसमें सीमा केवल टुकड़े-टुकड़े चिकनी है।

हैमरस्टीन समीकरण

एक हैमरस्टीन समीकरण फॉर्म का एक अरैखिक प्रथम प्रकार का वोल्टेरा समाकल समीकरण है:

$$g(t)=\int _{0}^{t}K(t,s)\,G(s,y(s))\,ds.$$

कुछ निश्चित नियमितता शर्तों के तहत, समीकरण दूसरे प्रकार के अंतर्निहित वोल्टेरा समाकल समीकरण के बराबर है:

$$G(t,y(t))=g_{1}(t)-\int _{0}^{t}K_{1}(t,s)\,G(s,y(s))\,ds$$

जहाँ:

$$g_{1}(t):={\frac {g'(t)}{K(t,t)}}\,\,\,\,\,\,\,{\text{and}}\,\,\,\,\,\,\,K_{1}(t,s):=-{\frac {1}{K(t,t)}}{\frac {\partial K(t,s)}{\partial t}}.$$

हालांकि समीकरण को संकारक के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है जो निम्नलिखित संकारक की परिभाषा को प्रेरित करता है जिसे अरैखिक वोल्टेरा-हैमरस्टीन संकारक कहा जाता है:

$$({\mathcal {H}}y)(t):=\int _{0}^{t}K(t,s)\,G(s,y(s))\,ds$$

यहाँ $G:I\times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ एक सहज फलन है जबकि कर्नल K निरंतर हो सकता है, अर्थात बंधा हुआ, या कमजोर रूप से अव्युत्क्रमणीय। संबंधित दूसरे प्रकार के वोल्टेरा समाकल समीकरण को दूसरे प्रकार का वोल्टेरा-हैमरस्टीन समाकल समीकरण कहा जाता है, या संक्षेप में हैमरस्टीन समीकरण को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

$$y(t)=g(t)+({\mathcal {H}}y)(t)$$

कुछ अनुप्रयोगों में, फलन G की अरैखिकता को केवल अर्ध-रैखिक के रूप में माना जा सकता है:

$$G(s,y)=y+H(s,y)$$

इस स्थिति में, हम निम्नलिखित अर्ध-रैखिक वोल्टेरा समाकल समीकरण:

$$y(t)=g(t)+({\mathcal {H}}y)(t)=g(t)+\int _{0}^{t}K(t,s)[y(s)+H(s,y(s))]\,ds$$

इस रूप में, हम अर्ध-रैखिक हैमरस्टीन अभिन्न समीकरण के लिए एक अस्तित्व और विशिष्टता प्रमेय बता सकते हैं।

Theorem — मान लीजिए कि अर्ध-रैखिक हैमरस्टीन समीकरण का एक विशिष्ट हल है $y\in C(I)$ और $H:I\times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ एक लिपशिट्ज सतत फलन है। तब इस समीकरण का हल इस रूप में लिखा जा सकता है: $y(t)=y_{l}(t)+\int _{0}^{t}R(t,s)\,H(s,y(s))\,ds$ जहां $y_{l}(t)$ उपरोक्त समीकरण के रैखिक भाग के विशिष्ट हल को दर्शाता है और इसके द्वारा दिया जाता है: $y_{l}(t)=g(t)+\int _{0}^{t}R(t,s)\,g(s)\,ds$ with $R(t,s)$ विलायक कर्नल को दर्शाता है।

हम हैमरस्टीन समीकरण को एक अलग संकारक का उपयोग करके भी लिख सकते हैं जिसे निएमित्ज़की संकारक कहा जाता है, या प्रतिस्थापन संकारक, ${\mathcal {N}}$ को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

$$({\mathcal {N}}\phi )(t):=G(t,\phi (t))$$

इसके बारे में अधिक जानकारी इस पुस्तक के पृष्ठ 75 पर प्राप्त की जा सकती है।

अनुप्रयोग

कई अनुप्रयोगों में समाकल समीकरण महत्वपूर्ण हैं। जिन समस्याओं में समाकल समीकरणों का सामना करना पड़ता है उनमें रेडियेटिव ट्रांसफर, और एक स्ट्रिंग, झिल्ली, या एक्सल का दोलन सम्मिलित है। अवकलन समस्याओं को अवकल समीकरणों के रूप में भी हल किया जा सकता है।

• बीमांकिक विज्ञान (रीऊन सिद्धांत )
• अभिकलनात्मक विद्युतचुंबकीय
  • सीमा तत्व विधि
• व्युत्क्रम समस्या
  • मार्चेंको समीकरण (व्युत्क्रम प्रकीर्णन रूपांतरण)
• जम्प विसरण के तहत विकल्प प्राइसिंग
• रेडिएटिव ट्रांसफर
• श्यानप्रत्यास्थता
• तरल यांत्रिकी

यह भी देखें

• अवकल समीकरण
• इंटीग्रो-अवकल समीकरण
• रीऊन सिद्धांत
• वोल्टेरा समाकल समीकरण

ग्रन्थसूची

• Agarwal, Ravi P., and Donal O'Regan. Integral and Integrodifferential Equations: Theory, Method and Applications. Gordon and Breach Science Publishers, 2000.
• Brunner, Hermann. Collocation Methods for वोल्टेरा Integral and Related Functional Differential Equations. Cambridge University Press, 2004.
• Burton, T. A. वोल्टेरा Integral and Differential Equations. Elsevier, 2005.
• Chapter 7 It Mod 02-14-05 - Ira A. Fulton College of Engineering. https://www.et.byu.edu/~vps/ET502WWW/NOTES/CH7m.pdf.
• Corduneanu, C. Integral Equations and Applications. Cambridge University Press, 2008.
• Hackbusch, Wolfgang. Integral Equations Theory and Numerical Treatment. Birkhäuser, 1995.
• Hochstadt, Harry. Integral Equations. Wiley-Interscience/John Wiley & Sons, 1989.
• “Integral Equation.” From Wolfram MathWorld, https://mathworld.wolfram.com/IntegralEquation.html.
• “Integral Equation.” Integral Equation - Encyclopedia of Mathematics, https://encyclopediaofmath.org/wiki/Integral_equation.
• Jerri, Abdul J. Introduction to Integral Equations with Applications. Sampling Publishing, 2007.
• Pipkin, A. C. A Course on Integral Equations. Springer-Verlag, 1991.
• Polëiìanin A. D., and Alexander V. Manzhirov. Handbook of Integral Equations. Chapman & Hall/CRC, 2008.
• Wazwaz, Abdul-Majid. A First Course in Integral Equations. World Scientific, 2015.

आगे की पढाई

• Kendall E. Atkinson The Numerical Solution of Integral Equations of the Second Kind. Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics, 1997.
• George Arfken and Hans Weber. Mathematical Methods for Physicists. Harcourt/Academic Press, 2000.
• Harry Bateman (1910) History and Present State of the Theory of Integral Equations, Report of the British Association.
• Andrei D. Polyanin and Alexander V. Manzhirov Handbook of Integral Equations. CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4.
• E. T. Whittaker and G. N. Watson. A Course of Modern Analysis Cambridge Mathematical Library.
• M. Krasnov, A. Kiselev, G. Makarenko, Problems and Exercises in Integral Equations, Mir Publishers, Moscow, 1971
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Chapter 19. Integral Equations and Inverse Theory". Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.

बाहरी कड़ियाँ

• Integral Equations: Exact Solutions at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Integral Equations: Index at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• "Integral equation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Integral Equations (MIT OpenCourseWare)