विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा

This article is about the extension of the reals by +∞ and −∞. For the extension by a single point at infinity, see Projectively extended real line.

गणित में, वास्तविक रूप से विस्तारित वास्तविक संख्या प्रणाली वास्तविक संख्या प्रणाली से प्राप्त की जाती है $\mathbb {R}$ दो अनंत तत्वों को जोड़कर: $+\infty$ तथा $-\infty ,$ जहां अनंत को वास्तविक संख्या के रूप में माना जाता है। यह विशेष रूप से माप (गणित) और अभिन्न के सिद्धांत में अनंतता पर बीजगणित और गणना और गणितीय विश्लेषण में कार्यों की विभिन्न सीमाओं का वर्णन करने में उपयोगी है। आत्मीयता से विस्तारित वास्तविक संख्या प्रणाली को निरूपित किया जाता है ${\overline {\mathbb {R} }}$ या $[-\infty ,+\infty ]$ या $\mathbb {R} \cup \left\{-\infty ,+\infty \right\}.$ यह वास्तविक संख्याओं का डेडेकाइंड-मैकनील पूर्णता है।

जब संदर्भ से अर्थ स्पष्ट होता है, तो प्रतीक $+\infty$ अक्सर बस के रूप में लिखा जाता है $\infty .$

प्रेरणा

सीमाएं

किसी फ़ंक्शन के व्यवहार का वर्णन करना अक्सर उपयोगी होता है $f$, या तो तर्क के रूप में $x$ या फ़ंक्शन मान $f$ किसी अर्थ में असीम रूप से बड़ा हो जाता है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन पर विचार करें $f$ द्वारा परिभाषित

$f(x)={\frac {1}{x^{2}}}.$

इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ में एक क्षैतिज स्पर्शोन्मुख है $y=0.$ ज्यामितीय रूप से, जब तेजी से दाहिनी ओर बढ़ते हैं $x$-अक्ष, का मान ${\textstyle {1}/{x^{2}}}$ दृष्टिकोण 0. यह सीमित व्यवहार किसी फ़ंक्शन की सीमा के समान है ${\textstyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)}$ जिसमें वास्तविक संख्या है $x$ दृष्टिकोण $x_{0},$ सिवाय इसके कि कोई वास्तविक संख्या नहीं है $x$ दृष्टिकोण।

तत्वों को जोड़कर $+\infty$ तथा $-\infty$ प्रति $\mathbb {R} ,$ यह अनंत पर एक सीमा के सूत्रीकरण को सक्षम बनाता है, जिसमें टोपोलॉजी के समान गुण होते हैं $\mathbb {R} .$ चीजों को पूरी तरह से औपचारिक बनाने के लिए, वास्तविक संख्याओं का निर्माण # के कौशी अनुक्रमों से निर्माण $\mathbb {R}$ परिभाषित करने की अनुमति देता है $+\infty$ सभी अनुक्रमों के सेट के रूप में $\left\{a_{n}\right\}$ परिमेय संख्याओं की, जैसे कि हर $M\in \mathbb {R}$ संगत से जुड़ा है $N\in \mathbb {N}$ जिसके लिए $a_{n}>M$ सभी के लिए $n>N.$ की परिभाषा $-\infty$ समान बनाया जा सकता है।

माप और एकीकरण

माप सिद्धांत में, यह अक्सर उन सेटों को अनुमति देने के लिए उपयोगी होता है जिनमें अनंत माप और इंटीग्रल होते हैं जिनका मूल्य अनंत हो सकता है।

ऐसे उपाय स्वाभाविक रूप से कलन से उत्पन्न होते हैं। उदाहरण के लिए, एक माप (गणित) निर्दिष्ट करने में $\mathbb {R}$ जो अंतरालों की सामान्य लंबाई से सहमत है, यह माप किसी परिमित वास्तविक संख्या से बड़ा होना चाहिए। साथ ही, अनुचित इंटीग्रल पर विचार करते समय, जैसे

$\int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x}}$

मूल्य अनंत उत्पन्न होता है। अंत में, अक्सर कार्यों के अनुक्रम की सीमा पर विचार करना उपयोगी होता है, जैसे

$f_{n}(x)={\begin{cases}2n\left(1-nx\right),&{\mbox{if }}0\leq x\leq {\frac {1}{n}}\\0,&{\mbox{if }}{\frac {1}{n}}<x\leq 1\end{cases}}$

कार्यों को अनंत मूल्यों पर लेने की अनुमति के बिना, मोनोटोन अभिसरण प्रमेय और वर्चस्व वाले अभिसरण प्रमेय जैसे आवश्यक परिणाम समझ में नहीं आएंगे।

ऑर्डर और टोपोलॉजिकल गुण

परिभाषित करके, विस्तृत रूप से विस्तारित वास्तविक संख्या प्रणाली को पूरी तरह से आदेशित सेट में बदल दिया जा सकता है $-\infty \leq a\leq +\infty$ सभी के लिए $a.$ इस आदेश टोपोलॉजी के साथ, ${\overline {\mathbb {R} }}$ कॉम्पैक्ट जगह की वांछनीय संपत्ति है: का प्रत्येक सबसेट ${\overline {\mathbb {R} }}$ उच्चतम और निम्नतम है (खाली सेट का infumum है $+\infty$, और इसकी सर्वोच्चता है $-\infty$). इसके अलावा, इस टोपोलॉजी के साथ, ${\overline {\mathbb {R} }}$ इकाई अंतराल के लिए होमोमोर्फिज्म है $[0,1].$ इस प्रकार टोपोलॉजी इस अंतराल पर साधारण मीट्रिक के अनुरूप (दिए गए होमोमोर्फिज्म के लिए) metrizable है। हालाँकि, कोई मीट्रिक नहीं है, जो सामान्य मीट्रिक का विस्तार है $\mathbb {R} .$ इस टोपोलॉजी में, एक सेट $U$ का नेबरहुड (टोपोलॉजी) है $+\infty$, अगर और केवल अगर इसमें एक सेट है $\{x:x>a\}$ कुछ वास्तविक संख्या के लिए $a.$ के पड़ोस की धारणा $-\infty$ इसी प्रकार परिभाषित किया जा सकता है। विस्तारित-वास्तविक पड़ोस के इस लक्षण वर्णन का उपयोग करते हुए, फ़ंक्शन की सीमा के साथ $x$ के लिए उन्मुख $+\infty$ या $-\infty$, और सीमा के बराबर $+\infty$ तथा $-\infty$वास्तविक संख्या प्रणाली में एक विशेष परिभाषा होने के बजाय सीमा की सामान्य सामयिक परिभाषा को कम करें।

अंकगणितीय संचालन

के अंकगणितीय संचालन $\mathbb {R}$ तक आंशिक रूप से बढ़ाया जा सकता है ${\overline {\mathbb {R} }}$ निम्नलिखित नुसार:

${\begin{aligned}a+\infty =+\infty +a&=+\infty ,&a&\neq -\infty \\a-\infty =-\infty +a&=-\infty ,&a&\neq +\infty \\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\pm \infty ,&a&\in (0,+\infty ]\\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\mp \infty ,&a&\in [-\infty ,0)\\{\frac {a}{\pm \infty }}&=0,&a&\in \mathbb {R} \\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\pm \infty ,&a&\in (0,+\infty )\\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\mp \infty ,&a&\in (-\infty ,0)\end{aligned}}$

घातांक के लिए, देखें Exponentiation § Limits of powers. यहां, $a+\infty$ मतलब दोनों $a+(+\infty )$ तथा $a-(-\infty ),$ जबकि $a-\infty$ मतलब दोनों $a-(+\infty )$ तथा $a+(-\infty ).$ भाव $\infty -\infty ,0\times (\pm \infty )$ तथा $\pm \infty /\pm \infty$ (अनिश्चित रूप कहा जाता है) आमतौर पर परिभाषित और अपरिभाषित छोड़ दिया जाता है। ये नियम Limit_of_a_function#Limits_involving_infinity के कानूनों पर आधारित हैं। हालांकि, संभाव्यता या माप सिद्धांत के संदर्भ में, $0\times \pm \infty$ अक्सर परिभाषित किया जाता है $0.$ धनात्मक और ऋणात्मक दोनों विस्तारित वास्तविक संख्याओं के साथ व्यवहार करते समय, व्यंजक $1/0$ आमतौर पर अपरिभाषित छोड़ दिया जाता है, क्योंकि, हालांकि यह सच है कि प्रत्येक वास्तविक गैर-शून्य अनुक्रम के लिए $f$ जो अभिसरण करता है $0,$ पारस्परिक अनुक्रम $1/f$ अंततः के हर पड़ोस में समाहित है $\{\infty ,-\infty \},$ यह सच नहीं है कि क्रम $1/f$ खुद को या तो अभिसरण करना चाहिए $-\infty$ या $\infty .$ दूसरे तरीके से कहा, अगर एक सतत कार्य $f$ एक निश्चित मूल्य पर शून्य प्राप्त करता है $x_{0},$ तो ऐसा नहीं होना चाहिए $1/f$ या तो जाता है $-\infty$ या $\infty$ के रूप में सीमा में $x$ आदत है $x_{0}.$ यह पहचान समारोह की सीमा के मामले में है $f(x)=x$ जब $x$ आदत है $0,$ और का $f(x)=x^{2}\sin \left(1/x\right)$ (बाद के समारोह के लिए, न तो $-\infty$ न $\infty$ की सीमा है $1/f(x),$ भले ही केवल सकारात्मक मूल्य $x$ माना जाता है)।

हालांकि, ऐसे संदर्भों में जहां केवल गैर-नकारात्मक मूल्यों पर विचार किया जाता है, अक्सर इसे परिभाषित करना सुविधाजनक होता है $1/0=+\infty .$ उदाहरण के लिए, शक्ति श्रृंखला के साथ काम करते समय, गुणांक के साथ एक शक्ति श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या $a_{n}$ अक्सर अनुक्रम की सीमा-सर्वोच्चता के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है $\left\{|a_{n}|^{1/n}\right\}.$ इस प्रकार, अगर कोई अनुमति देता है $1/0$ मूल्य लेने के लिए $+\infty ,$ तो कोई इस सूत्र का उपयोग कर सकता है चाहे सीमा-सर्वोच्च हो $0$ या नहीं।

बीजगणितीय गुण

इन परिभाषाओं के साथ, ${\overline {\mathbb {R} }}$ समूह (गणित), वलय (गणित) या क्षेत्र (गणित) की तो बात ही छोड़ दें, एक अर्धसमूह भी नहीं है, जैसा कि के मामले में है $\mathbb {R} .$ हालाँकि, इसमें कई सुविधाजनक गुण हैं:

• $a+(b+c)$ तथा $(a+b)+c$ या तो बराबर हैं या दोनों अपरिभाषित हैं।
• $a+b$ तथा $b+a$ या तो बराबर हैं या दोनों अपरिभाषित हैं।
• $a\cdot (b\cdot c)$ तथा $(a\cdot b)\cdot c$ या तो बराबर हैं या दोनों अपरिभाषित हैं।
• $a\cdot b$ तथा $b\cdot a$ या तो बराबर हैं या दोनों अपरिभाषित हैं
• $a\cdot (b+c)$ तथा $(a\cdot b)+(a\cdot c)$ समान हैं यदि दोनों परिभाषित हैं।
• यदि $a\leq b$ और यदि दोनों $a+c$ तथा $b+c$ परिभाषित हैं, तो $a+c\leq b+c.$
• यदि $a\leq b$ तथा $c>0$ और यदि दोनों $a\cdot c$ तथा $b\cdot c$ परिभाषित हैं, तो $a\cdot c\leq b\cdot c.$

सामान्यतः अंकगणित के सभी नियम मान्य होते हैं ${\overline {\mathbb {R} }}$—जब तक कि सभी घटित होने वाले भाव परिभाषित हैं।

विविध

कई कार्यों (गणित) को निरंतरता (टोपोलॉजी) तक बढ़ाया जा सकता है ${\overline {\mathbb {R} }}$ मर्यादा लेकर। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित कार्यों के चरम बिंदुओं को परिभाषित किया जा सकता है:

$\exp(-\infty )=0,$ :$\ln(0)=-\infty ,$

$\tanh(\pm \infty )=\pm 1,$

$\arctan(\pm \infty )=\pm {\frac {\pi }{2}}.$

कुछ विलक्षणता (गणित) को अतिरिक्त रूप से हटाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, समारोह $1/x^{2}$ तक लगातार बढ़ाया जा सकता है ${\overline {\mathbb {R} }}$ (निरंतरता की कुछ परिभाषाओं के तहत), मान को सेट करके $+\infty$ के लिये $x=0,$ तथा $0$ के लिये $x=+\infty$ तथा $x=-\infty .$ दूसरी ओर, समारोह $1/x$ लगातार विस्तारित नहीं किया जा सकता, क्योंकि फ़ंक्शन निकट आता है $-\infty$ जैसा $x$ दृष्टिकोण $0$ नीचे से, और $+\infty$ जैसा $x$ दृष्टिकोण $0$ ऊपर से।

एक समान लेकिन भिन्न वास्तविक-रेखा प्रणाली, अनुमानित रूप से विस्तारित वास्तविक रेखा, के बीच अंतर नहीं करती है $+\infty$ तथा $-\infty$ (अर्थात अनंत अहस्ताक्षरित है)। नतीजतन, एक फ़ंक्शन की सीमा हो सकती है $\infty$ प्रक्षेप्य रूप से विस्तारित वास्तविक रेखा पर, जबकि सजातीय रूप से विस्तारित वास्तविक संख्या प्रणाली में, केवल फलन के निरपेक्ष मान की एक सीमा होती है, उदा. समारोह के मामले में $1/x$ पर $x=0.$ दूसरी ओर, $\lim _{x\to -\infty }{f(x)}$ तथा $\lim _{x\to +\infty }{f(x)}$ प्रक्षेप्य रूप से विस्तारित वास्तविक रेखा पर क्रमशः दाईं ओर से केवल एक सीमा तक और बाईं ओर से एक सीमा तक, पूर्ण सीमा के साथ केवल तभी मौजूद होता है जब दोनों बराबर होते हैं। इस प्रकार, कार्य $e^{x}$ तथा $\arctan(x)$ पर निरंतर नहीं बनाया जा सकता है $x=\infty$ अनुमानित रूप से विस्तारित वास्तविक रेखा पर।

यह भी देखें

• शून्य से विभाजन
• विस्तारित जटिल विमान
• विस्तारित प्राकृतिक संख्या
• अभिन्न अनुचित
• अनंतता
• सेमीरिंग लॉग करें
• सीरीज (गणित)
• अनुमानित रूप से विस्तारित वास्तविक रेखा
• विस्तारित वास्तविक संख्याओं का कंप्यूटर निरूपण, देखें Floating-point arithmetic § Infinities और IEEE फ़्लोटिंग पॉइंट

अग्रिम पठन

• Aliprantis, Charalambos D.; Burkinshaw, Owen (1998), Principles of Real Analysis (3rd ed.), San Diego, CA: Academic Press, Inc., p. 29, ISBN 0-12-050257-7, MR 1669668
• David W. Cantrell. "Affinely Extended Real Numbers". MathWorld.