स्पर्शोन्मुख विस्तार

गणित में, एक स्पर्शोन्मुख विस्तार, स्पर्शोन्मुख श्रृंखला या पोनकारे विस्तार (हेनरी पॉइनकेयर के बाद) कार्यों की एक औपचारिक श्रृंखला है, जिसमें संपत्ति है जो शब्दों की एक सीमित संख्या के बाद श्रृंखला को छोटा करती है, फ़ंक्शन के तर्क के रूप में दिए गए फ़ंक्शन के लिए एक सन्निकटन प्रदान करती है। एक विशेष, अक्सर अनंत, बिंदु की ओर जाता है। द्वारा जांच Dingle (1973) पता चला कि एक स्पर्शोन्मुख विस्तार का भिन्न भाग हाल ही में अर्थपूर्ण है, अर्थात विस्तारित फ़ंक्शन के सटीक मूल्य के बारे में जानकारी शामिल है।

स्पर्शोन्मुख विस्तार का सबसे आम प्रकार सकारात्मक या नकारात्मक शक्तियों में एक शक्ति श्रृंखला है। इस तरह के विस्तार को उत्पन्न करने के तरीके में यूलर-मैकलॉरिन योग सूत्र और इंटीग्रल ट्रांसफॉर्म जैसे लाप्लास रूपांतरण और मध्य परिवर्तन ट्रांसफॉर्म शामिल हैं। भागों द्वारा बार-बार एकीकरण अक्सर एक स्पर्शोन्मुख विस्तार को जन्म देगा।

चूंकि एक अभिसरण (गणित) टेलर श्रृंखला स्पर्शोन्मुख विस्तार की परिभाषा के साथ-साथ फिट बैठती है, इसलिए स्पर्शोन्मुख श्रृंखला का वाक्यांश आमतौर पर एक गैर-अभिसरण श्रृंखला का अर्थ है। गैर-अभिसरण के बावजूद, स्पर्शोन्मुख विस्तार तब उपयोगी होता है जब शब्दों की एक सीमित संख्या में काट दिया जाता है। सन्निकटन विस्तारित किए जा रहे फ़ंक्शन की तुलना में अधिक गणितीय रूप से ट्रैक्टेबल होने या विस्तारित फ़ंक्शन की गणना की गति में वृद्धि के द्वारा लाभ प्रदान कर सकता है। आमतौर पर, सबसे अच्छा सन्निकटन तब दिया जाता है जब श्रृंखला को सबसे छोटे पद पर छोटा किया जाता है। एक एसिम्प्टोटिक विस्तार को इष्टतम रूप से छोटा करने का यह तरीका 'सुपरएसिम्प्टोटिक्स' के रूप में जाना जाता है। त्रुटि तब आम तौर पर रूप की होती है ~ exp(−c/ε) कहाँ पे ε विस्तार पैरामीटर है। त्रुटि इस प्रकार विस्तार पैरामीटर में सभी आदेशों से परे है। सुपरएसिम्प्टोटिक त्रुटि में सुधार संभव है, उदा। डायवर्जेंट टेल के लिए बोरेल पुनर्जीवन जैसे रिज्यूमेशन मेथड्स को नियोजित करके। इस तरह के तरीकों को अक्सर हाइपरएसिम्प्टोटिक सन्निकटन के रूप में जाना जाता है।

इस आलेख में प्रयुक्त अंकन के लिए स्पर्शोन्मुख विश्लेषण और बिग ओ नोटेशन देखें।

औपचारिक परिभाषा

पहले हम एक स्पर्शोन्मुख पैमाने को परिभाषित करते हैं, और फिर एक स्पर्शोन्मुख विस्तार की औपचारिक परिभाषा देते हैं।

यदि $\ \varphi _{n}\$ किसी डोमेन पर निरंतर कार्यों का अनुक्रम है, और यदि $\ L\$ डोमेन का एक सीमा बिंदु है, तो अनुक्रम प्रत्येक के लिए एक स्पर्शोन्मुख पैमाने का गठन करता है n,

$\varphi _{n+1}(x)=o(\varphi _{n}(x))\ (x\to L)\ .$ ($\ L\$ अनंत के रूप में लिया जा सकता है।) दूसरे शब्दों में, कार्यों का एक क्रम एक स्पर्शोन्मुख पैमाना है यदि अनुक्रम में प्रत्येक कार्य सख्ती से धीमा (सीमा में) बढ़ता है $\ x\to L\$) पिछले समारोह की तुलना में।

यदि $\ f\$ स्पर्शोन्मुख पैमाने के डोमेन पर एक निरंतर कार्य है, तब f आदेश का एक स्पर्शोन्मुख विस्तार है $\ N\$ एक औपचारिक श्रृंखला के रूप में पैमाने के संबंध में

$\sum _{n=0}^{N}a_{n}\varphi _{n}(x)$ यदि

$f(x)-\sum _{n=0}^{N-1}a_{n}\varphi _{n}(x)=O(\varphi _{N}(x))\ (x\to L)$

या

$f(x)-\sum _{n=0}^{N-1}a_{n}\varphi _{n}(x)=o(\varphi _{N-1}(x))\ (x\to L)\ .$

अगर एक या दूसरा सभी के लिए है $\ N\$, फिर हम लिखते हैं

$f(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\varphi _{n}(x)\ (x\to L)\ .$

के लिए एक अभिसरण श्रृंखला के विपरीत $\ f\$, जिसमें श्रृंखला किसी निश्चित के लिए अभिसरण करती है $\ x\$ सीमा में $N\to \infty$, एक स्पर्शोन्मुख श्रृंखला को निश्चित के लिए अभिसरण के रूप में सोच सकता है $\ N\$ सीमा में $\ x\to L\$ (साथ $\ L\$ संभवतः अनंत)।

उदाहरण

गामा फ़ंक्शन (बाएं) के स्पर्शोन्मुख विस्तार में भिन्नात्मक त्रुटि के निरपेक्ष मान के प्लॉट। क्षैतिज अक्ष स्पर्शोन्मुख विस्तार में शब्दों की संख्या है। नीले बिंदु के लिए हैं x = 2 और लाल बिंदु के लिए हैं x = 3. यह देखा जा सकता है कि कम से कम त्रुटि तब सामने आती है जब के लिए 14 शब्द होते हैं x = 2, और 20 शर्तों के लिए x = 3, जिसके परे त्रुटि विचलन करती है।

* गामा समारोह (स्टर्लिंग का सन्निकटन)

$${\frac {e^{x}}{x^{x}{\sqrt {2\pi x}}}}\Gamma (x+1)\sim 1+{\frac {1}{12x}}+{\frac {1}{288x^{2}}}-{\frac {139}{51840x^{3}}}-\cdots \ (x\to \infty )$$

• घातीय अभिन्न
  $$xe^{x}E_{1}(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{x^{n}}}\ (x\to \infty )$$
• लॉगरिदमिक इंटीग्रल
  $$\operatorname {li} (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(\ln x)^{k}}}$$
• रीमैन जीटा फ़ंक्शन
  $$\zeta (s)\sim \sum _{n=1}^{N}n^{-s}-{\frac {N^{1-s}}{s-1}}-{\frac {N^{-s}}{2}}+N^{-s}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {B_{2m}s^{\overline {2m-1}}}{(2m)!N^{2m-1}}}$$
  कहाँ पे $B_{2m}$ बर्नौली नंबर हैं और $s^{\overline {2m-1}}$ एक उभरता हुआ भाज्य है। यह विस्तार सभी जटिल एस के लिए मान्य है और अक्सर एन के बड़े पर्याप्त मूल्य का उपयोग करके जीटा फ़ंक्शन की गणना करने के लिए प्रयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए $N>|s|$.
• त्रुटि समारोह
  $${\sqrt {\pi }}xe^{x^{2}}{\rm {erfc}}(x)\sim 1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{(2x^{2})^{n}}}\ (x\to \infty )$$
  कहाँ पे (2n − 1)!! डबल फैक्टोरियल है।

काम किया उदाहरण

स्पर्शोन्मुख विस्तार अक्सर तब होता है जब एक औपचारिक अभिव्यक्ति में एक साधारण श्रृंखला का उपयोग किया जाता है जो अभिसरण के अपने डोमेन के बाहर मूल्यों को लेने के लिए मजबूर करता है। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, कोई साधारण श्रृंखला से शुरू कर सकता है

${\frac {1}{1-w}}=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}.$

बाईं ओर की अभिव्यक्ति पूरे जटिल तल पर मान्य है $w\neq 1$, जबकि दाहिनी ओर केवल के लिए अभिसरित होता है $|w|<1$. से गुणा करना $e^{-w/t}$ और दोनों पक्षों को एकीकृत करने से प्रतिफल प्राप्त होता है

$\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {w}{t}}}}{1-w}}\,dw=\sum _{n=0}^{\infty }t^{n+1}\int _{0}^{\infty }e^{-u}u^{n}\,du,$

प्रतिस्थापन के बाद $u=w/t$ दाहिने हाथ की ओर। बायीं ओर समाकल, जिसे कौशी प्रमुख मूल्य के रूप में समझा जाता है, को चरघातांकी समाकलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। दाहिनी ओर के समाकल को गामा फलन के रूप में पहचाना जा सकता है। दोनों का मूल्यांकन करने पर, व्यक्ति स्पर्शोन्मुख विस्तार प्राप्त करता है

$e^{-{\frac {1}{t}}}\operatorname {Ei} \left({\frac {1}{t}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }n!t^{n+1}.$

यहाँ, t के किसी भी गैर-शून्य मान के लिए दाहिनी ओर स्पष्ट रूप से अभिसारी नहीं है। हालाँकि, शृंखला को शब्दों की एक सीमित संख्या के दाईं ओर छोटा करके, एक व्यक्ति के मूल्य के लिए काफी अच्छा सन्निकटन प्राप्त कर सकता है $\operatorname {Ei} \left({\tfrac {1}{t}}\right)$ पर्याप्त छोटे टी के लिए। स्थानापन्न $x=-{\tfrac {1}{t}}$ और यह ध्यान में रखते हुए $\operatorname {Ei} (x)=-E_{1}(-x)$ परिणाम इस लेख में पहले दिए गए स्पर्शोन्मुख विस्तार में हैं।

गुण

किसी दिए गए स्पर्शोन्मुख पैमाने के लिए विशिष्टता

किसी दिए गए स्पर्शोन्मुख पैमाने के लिए $\{\varphi _{n}(x)\}$ समारोह का स्पर्शोन्मुख विस्तार $f(x)$ अनोखा है। वह गुणांक है $\{a_{n}\}$ निम्नलिखित तरीके से विशिष्ट रूप से निर्धारित हैं:

$${\begin{aligned}a_{0}&=\lim _{x\to L}{\frac {f(x)}{\varphi _{0}(x)}}\\a_{1}&=\lim _{x\to L}{\frac {f(x)-a_{0}\varphi _{0}(x)}{\varphi _{1}(x)}}\\&\;\;\vdots \\a_{N}&=\lim _{x\to L}{\frac {f(x)-\sum _{n=0}^{N-1}a_{n}\varphi _{n}(x)}{\varphi _{N}(x)}}\end{aligned}}$$

कहाँ पे $L$ इस स्पर्शोन्मुख विस्तार का सीमा बिंदु है (हो सकता है $\pm \infty$).

किसी दिए गए फ़ंक्शन के लिए गैर-विशिष्टता

एक दिया गया कार्य $f(x)$ कई स्पर्शोन्मुख विस्तार हो सकते हैं (प्रत्येक एक अलग स्पर्शोन्मुख पैमाने के साथ)।

अधीनता

एक स्पर्शोन्मुख विस्तार एक से अधिक कार्यों के लिए स्पर्शोन्मुख विस्तार हो सकता है।

यह भी देखें

संबंधित क्षेत्र

• स्पर्शोन्मुख विश्लेषण
• विलक्षण गड़बड़ी

स्पर्शोन्मुख तरीके

• वाटसन की लेम्मा
• मेलिन ट्रांसफॉर्म
• लाप्लास की विधि
• स्थिर चरण सन्निकटन
• सबसे तेज अवरोहण की विधि

संदर्भ

• Ablowitz, M. J., & Fokas, A. S. (2003). Complex variables: introduction and applications. Cambridge University Press.
• Bender, C. M., & Orszag, S. A. (2013). Advanced mathematical methods for scientists and engineers I: Asymptotic methods and perturbation theory. Springer Science & Business Media.
• Bleistein, N., Handelsman, R. (1975), Asymptotic Expansions of Integrals, Dover Publications.
• Carrier, G. F., Krook, M., & Pearson, C. E. (2005). Functions of a complex variable: Theory and technique. Society for Industrial and Applied Mathematics.
• Copson, E. T. (1965), Asymptotic Expansions, Cambridge University Press.
• Dingle, R. B. (1973), Asymptotic Expansions: Their Derivation and Interpretation, Academic Press.
• Erdélyi, A. (1955), Asymptotic Expansions, Dover Publications.
• Fruchard, A., Schäfke, R. (2013), Composite Asymptotic Expansions, Springer.
• Hardy, G. H. (1949), Divergent Series, Oxford University Press.
• Olver, F. (1997). Asymptotics and Special functions. AK Peters/CRC Press.
• Paris, R. B., Kaminsky, D. (2001), Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals, Cambridge University Press.
• Whittaker, E. T., Watson, G. N. (1963), A Course of Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press.

बाहरी संबंध

• "Asymptotic expansion", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Wolfram Mathworld: Asymptotic Series