प्रोजेक्टिव मॉड्यूल

गणित में, विशेष रूप से बीजगणित में, प्रक्षेपी मॉड्यूल का वर्ग (समूह सिद्धांत) मुक्त मॉड्यूल के कुछ मुख्य गुणों को ध्यान में रखते हुए, छल्ला (गणित) के साथ मुक्त मॉड्यूल (अर्थात,मॉड्यूल (गणित) के आधार पर) के वर्ग को बढ़ाता है। नि: शुल्क मॉड्यूल।इन मॉड्यूल के विभिन्न समकक्ष लक्षण नीचे दिखाई देते हैं।

प्रत्येक मुक्त मॉड्यूल प्रक्षेपी मॉड्यूल है, लेकिन कॉनवर्स (लॉजिक) कुछ छल्लों को पकड़ने में विफल रहता है, जैसे कि डेडेकिंड छल्ले जो प्रमुख आदर्श डोमेन नहीं हैं।चूंकि, प्रत्येक प्रक्षेपी मॉड्यूल एक मुक्त मॉड्यूल है यदि छल्ला एक प्रमुख आदर्श डोमेन है जैसे कि पूर्णांक, या एक बहुपद छल्ला (यह क्विलन -सुस्लिन प्रमेय है)।

प्रक्षेपी मॉड्यूल को पहली बार 1956 मेंहेनरी कार्टन और सैमुअल एलेनबर्ग द्वारा प्रभावशाली पुस्तक 'होमोलॉजिकल बीजगणित' 'में प्रस्तुत किया गया था।

परिभाषाएँ

उठाना संपत्ति

सामान्य श्रेणी के सिद्धांत की परिभाषा उठाने की संपत्ति के संदर्भ में है जो मुक्त से सघन मॉड्यूल तक ले जाती है: एक मॉड्यूल पी प्रक्षेपी है यदि और केवल अगर प्रत्येक सर्जिकलमॉड्यूल समरूपता के लिए f : N ↠ M और हर मॉड्यूल समरूपता g : P → M, एक मॉड्यूल समरूपता उपस्थित है h : P → N ऐसा है कि f h = g।(हमें लिफ्टिंग होमोमोर्फिज्म एच को अद्वितीय होने की आवश्यकता नहीं है; यह एक सार्वभौमिक संपत्ति नहीं है।)

प्रक्षेपी की इस परिभाषा का लाभ यह है कि इसे मॉड्यूल श्रेणियों की तुलना में अधिक सामान्य श्रेणी (गणित) में किया जा सकता है: हमें मुक्त वस्तु की धारणा की आवश्यकता नहीं है।यह दोहरी (श्रेणी सिद्धांत) भी हो सकता है, जिससे इंजेक्टिव मॉड्यूल हो सकते हैं।उठाने वाली संपत्ति को हर रूप से हर रूप से फिर से तैयार किया जा सकता है $P$ को $M$ हर एपिमोर्फिज्म के माध्यम से कारक $M$।इस प्रकार, परिभाषा के अनुसार, प्रक्षेपी मॉड्यूल ठीक से मॉड्यूल की श्रेणी में प्रक्षेप्य वस्तु हैं। आर-मॉड्यूल की श्रेणी।

स्प्लिट-सटीक अनुक्रम

एक मॉड्यूल पी प्रक्षेपी है यदि और केवल यदि फॉर्म के मॉड्यूल के प्रत्येक छोटे सटीक अनुक्रम

$0\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow P\rightarrow 0$

एक विभाजित सटीक अनुक्रम है।अर्थात, हर सर्जिकल मॉड्यूल होमोमोर्फिज्म के लिए f : B ↠ P वहाँ एक खंड मानचित्र उपस्थित है, अर्थात, एक मॉड्यूल समरूपतावाद h : P → B ऐसा कि f & hairsp; h = id_P& hairsp ;;उस स्थिति में, h(P) बी का एक सीधा सारांश है, एच पी से एकसमाकृतिकता है h(P), और h f सारांश पर एक प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित) है h(P)।समान रूप से,

$B=\operatorname {Im} (h)\oplus \operatorname {Ker} (f)\ \ {\text{ where }}\operatorname {Ker} (f)\cong A\ {\text{ and }}\operatorname {Im} (h)\cong P.$

मुक्त मॉड्यूल के प्रत्यक्ष सारांश

एक मॉड्यूल पी प्रक्षेपी है यदि और केवल यदि कोई अन्य मॉड्यूल क्यू है जैसे कि पी और क्यू के मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग एक मुक्त मॉड्यूल है।

सटीकता

एक आर-मॉड्यूल पी प्रक्षेपी है यदि और केवल यदि सहसंयोजक फंक्टर Hom(P, -): R-Mod → Ab एकसटीक फंक्टर है, जहां R-Mod बाएं आर-मॉड्यूल की श्रेणी है और 'एबी' एबेलियन समूहों की श्रेणी है।जब रिंग आर कम्यूटेटिव रिंग है, तो 'एबी' को लाभप्रद रूप से प्रतिस्थापित किया जाता है R-Mod पूर्ववर्ती लक्षण वर्णन में।यह फ़ंक्टर हमेशा सटीक फंक्शनर छोड़ दिया जाता है, लेकिन, जब P प्रक्षेपी होता है, तो यह भी सही सटीक होता है।इसका अर्थ यह है कि पी प्रक्षेपी है यदि और केवल यदि यह फंक्शनर उपदेशता (सर्जिकल होमोमोर्फिज्म) को संरक्षित करता है, या यदि यह परिमित कोलिमिट ्स को संरक्षित करता है।

दोहरी आधार

एक मॉड्यूल पी प्रक्षेपी है यदि और केवल यदि कोई समुच्चय उपस्थित है $\{a_{i}\in P\mid i\in I\}$ और एक समुच्चय $\{f_{i}\in \mathrm {Hom} (P,R)\mid i\in I\}$ जैसे कि पी, एफ में हर एक्स के लिए_i(x) केवल कई के लिए नॉनज़ेरो है, और $x=\sum f_{i}(x)a_{i}$।

प्राथमिक उदाहरण और गुण

प्रक्षेपी मॉड्यूल के निम्नलिखित गुणों को जल्दी से किसी भी (समतुल्य) प्रक्षेपी मॉड्यूल की परिभाषाओं में से किसी भी से घटाया जाता है:

• प्रक्षेपी मॉड्यूल के प्रत्यक्ष रकम और प्रत्यक्ष सारांश प्रोजेक्टिव हैं।
• यदि e = e² रिंग आर में एक idempotent (रिंग थ्योरी) है, तो आर। आर। पर एक प्रक्षेपी लेफ्ट मॉड्यूल है।

अन्य मॉड्यूल-सिद्धांत गुणों से संबंध

मुक्त औरफ्लैट मॉड्यूल मॉड्यूल के लिए प्रक्षेपी मॉड्यूल का संबंध मॉड्यूल गुणों के निम्नलिखित आरेख में प्रस्तुत किया गया है:

बाएं-से-दाएं निहितार्थ किसी भी अंगूठी पर सच हैं, चूंकि कुछ लेखक केवल एक डोमेन (रिंग सिद्धांत) पर मरोड़-मुक्त मॉड्यूल को परिभाषित करते हैं।राइट-टू-लेफ्ट के निहितार्थ उन्हें लेबल करने वाले छल्ले पर सही हैं।ऐसे अन्य छल्ले हो सकते हैं जिन पर वे सच हैं।उदाहरण के लिए, स्थानीय रिंग या पीआईडी लेबल किए गए निहितार्थ एक क्षेत्र (गणित) पर बहुपद के छल्ले के लिए भी सही है: यह क्विलन -सुस्लिन प्रमेय है।

प्रक्षेपी बनाम फ्री मॉड्यूल

कोई भी मुफ्त मॉड्यूल प्रक्षेपी है।निम्नलिखित स्थितियों में यह सच है:

• यदि आर एक क्षेत्र यातिरछा क्षेत्र है: इस स्थिति में कोई भी मॉड्यूल मुक्त है।
• यदि रिंग आर एक प्रमुख आदर्श डोमेन है।उदाहरण के लिए, यह लागू होता है R = Z (पूर्णांक), इसलिए एक एबेलियन समूह अनुमानित है यदि और केवल अगर यह एक मुक्त एबेलियन समूह है।कारण यह है कि एक प्रमुख आदर्श डोमेन पर एक मुक्त मॉड्यूल का कोई भी सबल मुक्त है।
• यदि रिंग आर एक स्थानीय अंगूठी है।यह तथ्य स्थानीय रूप से मुक्त = प्रक्षेप्य के अंतर्ज्ञान का आधार है।यह तथ्य बारीक रूप से उत्पन्न मॉड्यूल प्रक्षेपी मॉड्यूल के लिए गणितीय प्रमाण के लिए आसान है।सामान्यतः, यह होने के कारण है कपलान्स्की (1958);प्रक्षेपी मॉड्यूल पर कप्लांस्की के प्रमेय को देखें।

सामान्यतः, प्रक्षेपी मॉड्यूल को मुक्त होने की आवश्यकता नहीं है:

• छल्ले के प्रत्यक्ष उत्पाद पर R × S जहां आर और एस शून्य रिंग रिंग हैं, दोनों R × 0 और 0 × S गैर-मुक्त प्रक्षेपी मॉड्यूल हैं।
• एक डेडेकिंड डोमेन पर एक गैर-प्रासीपल आदर्श आदर्श (रिंग थ्योरी) हमेशा एक प्रक्षेपी मॉड्यूल है जो एक मुक्त मॉड्यूल नहीं है।
• एक मैट्रिक्स रिंग एम पर_n(आर), प्राकृतिक मॉड्यूल आर^{& hairsp; n} प्रक्षेपी है लेकिन मुक्त नहीं है। सामान्यतः, किसी भी सेमीसिम्पल रिंग पर, प्रत्येक मॉड्यूल प्रक्षेपी होता है, लेकिनशून्य आदर्श और रिंग ही एकमात्र मुक्त आदर्श हैं।

मुक्त और प्रक्षेप्य मॉड्यूल के बीच का अंतर, एक अर्थ में, बीजगणितीय K-Therory द्वारा मापा जाता है। बीजगणितीय K-Therory Group (गणित) k₀(आर);नीचे देखें।

प्रक्षेपी बनाम फ्लैट मॉड्यूल

प्रत्येक प्रक्षेपी मॉड्यूल फ्लैट मॉड्यूल है। यह सामान्य रूप से सच नहीं है: एबेलियन समूह क्यू एक जेड-मॉड्यूल है जो सपाट है, लेकिन अनुमानित नहीं है। इसके विपरीत, एक बारीक संबंधित मॉड्यूल फ्लैट मॉड्यूल प्रक्षेपी है।

गोवरोव (1965) और लाजार्ड (1969) यह साबित हुआ कि एक मॉड्यूल एम सपाट है यदि और केवल अगर यह बारीक रूप से उत्पन्न मॉड्यूल की एक सीधी सीमा है।

सामान्यतः, सपाटता और प्रोजेक्टिविटी के बीच सटीक संबंध स्थापित किया गया था रेनॉड & ग्रुसन (1971) (यह सभी देखें ड्रिनफेल्ड (2006) और ब्रौनलिंग, ग्रोचेनिग & वोल्फसन (2016)) किसने दिखाया कि एक मॉड्यूल एम प्रक्षेपी है यदि और केवल अगर यह निम्नलिखित शर्तों को संतुष्ट करता है:

• एम सपाट है,
• एम गिनती योग्य सेट उत्पन्न मॉड्यूल का एक सीधा योग है,
• एम एक निश्चित मितग-लेफलर प्रकार की स्थिति को संतुष्ट करता है।

इस लक्षण वर्णन का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि अगर $R\to S$ कम्यूटेटिव रिंग्स का एक ईमानदारी से सपाट रूपांतरण मानचित्र है और $M$ एक $R$-Module, फिर $M$ यदि और केवल यदि और केवल यदि $M\otimes _{R}S$ प्रक्षेपी है। दूसरे शब्दों में, प्रक्षेपी होने की संपत्ति ईमानदारी से सपाट वंश को संतुष्ट करती है।

प्रक्षेपी मॉड्यूल की श्रेणी

प्रक्षेपी मॉड्यूल के सबमॉड्यूल्स को प्रक्षेपी नहीं होना चाहिए;एक रिंग आर जिसके लिए एक प्रक्षेपी लेफ्ट मॉड्यूल के प्रत्येक सबमॉड्यूल को प्रक्षेपी होता है, उसे वंशानुगत रिंग कहा जाता है।

प्रक्षेपी मॉड्यूल के भागफल मॉड्यूल को भी प्रक्षेपी होने की आवश्यकता नहीं है, उदाहरण के लिए 'z'/n 'z' का एक भागफल है, लेकिन मरोड़-मुक्त मॉड्यूल नहीं है। मरोड़-मुक्त, इसलिए सपाट नहीं है, और इसलिए प्रक्षेपी नहीं है।

एक अंगूठी पर बारीक रूप से उत्पन्न प्रक्षेपी मॉड्यूल की श्रेणी एक सटीक श्रेणी है।(बीजगणितीय के-थ्योरी भी देखें)।

प्रक्षेपी संकल्प

Main article: प्रक्षेपी संकल्प

एक मॉड्यूल को देखते हुए, एम, एम का एक 'प्रोजेक्टिव रिज़ॉल्यूशन (बीजगणित)' मॉड्यूल का एक अनंत सटीक अनुक्रम है

& middot; & middot; & middot;→ पी_n → & middot; & middot; & middot;→ पी₂ → पी₁ → पी₀ → एम → 0,

सभी पी के साथ_i& thinsp; प्रोजेक्टिव।प्रत्येक मॉड्यूल में एक अनुमानित संकल्प होता है।वास्तव में एक मुक्त संकल्प (मुक्त मॉड्यूल द्वारा संकल्प) मौजूद है।प्रोजेक्टिव मॉड्यूल के सटीक अनुक्रम को कभी -कभी संक्षिप्त किया जा सकता है P(M) → M → 0 या P_• → M → 0।एक नियमित अनुक्रम के जटिल शर्ट द्वारा एक प्रोजेक्टिव रिज़ॉल्यूशन का एक क्लासिक उदाहरण दिया गया है, जो अनुक्रम द्वारा उत्पन्न आदर्श (रिंग थ्योरी) का एक मुक्त संकल्प है।

एक परिमित संकल्प की लंबाई सूचकांक n है जैसे कि पी_n शून्य मॉड्यूल है और P_i = 0 के लिए मैं n से बड़ा।यदि M एक परिमित प्रोजेक्टिव रिज़ॉल्यूशन को स्वीकार करता है, तो M के सभी परिमित प्रोजेक्टिव रिज़ॉल्यूशन के बीच न्यूनतम लंबाई को इसका 'प्रोजेक्टिव डाइमेंशन' कहा जाता है और पीडी (एम) को निरूपित किया जाता है।यदि M एक परिमित प्रोजेक्टिव रिज़ॉल्यूशन को स्वीकार नहीं करता है, तो कन्वेंशन द्वारा प्रक्षेप्य आयाम को अनंत कहा जाता है।एक उदाहरण के रूप में, एक मॉड्यूल एम पर विचार करें जैसे कि pd(M) = 0।इस स्थिति में, अनुक्रम की सटीकता 0 → पी₀ → एम → 0 इंगित करता है कि केंद्र में तीर एक आइसोमोर्फिज्म है, और इसलिए एम स्वयं प्रोजेक्टिव है।

कम्यूटेटिव रिंग्स पर प्रोजेक्टिव मॉड्यूल

कम्यूटेटिव रिंग्स पर प्रोजेक्टिव मॉड्यूल में अच्छे गुण होते हैं।

एक प्रोजेक्टिव मॉड्यूल का स्थानीयकरण (कम्यूटेटिव बीजगणित) स्थानीयकृत रिंग पर एक अनुमानित मॉड्यूल है। एक स्थानीय रिंग पर एक प्रोजेक्टिव मॉड्यूल मुफ्त है।इस प्रकार एक प्रोजेक्टिव मॉड्यूल स्थानीय रूप से मुक्त है (इस अर्थ में कि प्रत्येक प्रमुख आदर्श पर इसका स्थानीयकरण रिंग के संबंधित स्थानीयकरण पर मुक्त है)।

Noetherian Rings पर बारीक रूप से उत्पन्न मॉड्यूल के लिए यह सच है: एक कम्यूटेटिव Noetherian रिंग पर एक बारीक रूप से उत्पन्न मॉड्यूल स्थानीय रूप से मुक्त है यदि और केवल अगर यह अनुमानित है।

हालांकि, एक नथियन रिंग पर बारीक रूप से उत्पन्न मॉड्यूल के उदाहरण हैं जो स्थानीय रूप से स्वतंत्र हैं और अनुमानित नहीं हैं।उदाहरण के लिए, एक बूलियन रिंग में इसके सभी स्थानीयकरण isomorphic हैं 'f'₂, दो तत्वों का क्षेत्र, इसलिए एक बूलियन रिंग पर कोई भी मॉड्यूल स्थानीय रूप से मुक्त है, लेकिन बूलियन के छल्ले पर कुछ गैर-प्रक्षेप्य मॉड्यूल हैं।एक उदाहरण आर/आई है जहां आर 'एफ' की कई प्रतियों का एक प्रत्यक्ष उत्पाद है₂ और मैं 'एफ' की कई प्रतियों का सीधा योग है₂ आर के अंदर आर। आर-मॉड्यूल आर/आई स्थानीय रूप से मुक्त है क्योंकि आर बूलियन है (और यह आर-मॉड्यूल के रूप में भी बारीक रूप से उत्पन्न होता है, आकार 1 के एक फैले हुए सेट के साथ), लेकिन आर/आई प्रोजेक्टिव नहीं है क्योंकि मैं एक प्रमुख आदर्श नहीं है।(यदि एक भागफल मॉड्यूल r/i, किसी भी कम्यूटेटिव रिंग R और आदर्श I के लिए, एक अनुमानित R- मॉड्यूल है तो मैं प्रिंसिपल है।)

हालांकि, यह सच है कि एक कम्यूटेटिव रिंग आर (विशेष रूप से यदि एम एक बारीक रूप से उत्पन्न आर-मॉड्यूल है और आर नूथेरियन है) पर बारीक रूप से प्रस्तुत मॉड्यूल के लिए, निम्नलिखित समतुल्य हैं।

1. $M$ सपाट है।
2. $M$ प्रोजेक्टिव है।
3. $M_{\mathfrak {m}}$ के रूप में स्वतंत्र है $R_{\mathfrak {m}}$प्रत्येक अधिकतम आदर्श के लिए -मॉड्यूल ${\mathfrak {m}}$ आर।
4. $M_{\mathfrak {p}}$ के रूप में स्वतंत्र है $R_{\mathfrak {p}}$-मिड्यूल हर प्राइम आइडियल के लिए ${\mathfrak {p}}$ आर।
5. वहां है $f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$ यूनिट आदर्श को उत्पन्न करना जैसे कि $M[f_{i}^{-1}]$ के रूप में स्वतंत्र है $R[f_{i}^{-1}]$प्रत्येक के लिए -मॉड्यूल।
6. ${\widetilde {M}}$ एक स्थानीय रूप से मुक्त शीफ है $\operatorname {Spec} R$ (कहां ${\widetilde {M}}$ एक मॉड्यूल एम से जुड़ा शीफ है)

इसके अलावा, यदि आर एक नॉटेथियन अभिन्न डोमेन है, तो, नाकायमा के लेम्मा द्वारा, ये शर्तें बराबर हैं

• का आयाम (वेक्टर स्पेस) $k({\mathfrak {p}})$-सदिश स्थल $M\otimes _{R}k({\mathfrak {p}})$ सभी प्रमुख आदर्शों के लिए समान है ${\mathfrak {p}}$ आर, जहां $k({\mathfrak {p}})$ पर अवशेष क्षेत्र है ${\mathfrak {p}}$. यह कहना है, एम में निरंतर रैंक है (जैसा कि नीचे परिभाषित किया गया है)।

एक कम्यूटेटिव रिंग होने दें।यदि B एक रिंग पर एक (संभवतः गैर-कम्यूटेटिव) ए-बीजगणित है, जो एक सबरिंग के रूप में एक बारीक रूप से उत्पन्न प्रक्षेप्य ए-मॉड्यूल है, तो ए बी का एक सीधा कारक है। बी।

रैंक

चलो एक कम्यूटेटिव रिंग आर और एक्स पर एक बारीक रूप से उत्पन्न प्रोजेक्टिव मॉड्यूल हो। आर। की एक रिंग का स्पेक्ट्रम हो। एक प्रमुख आदर्श पर पी का रैंक ${\mathfrak {p}}$ एक्स में फ्री का रैंक है $R_{\mathfrak {p}}$-मापांक $P_{\mathfrak {p}}$।यह X पर एक स्थानीय रूप से निरंतर कार्य है। विशेष रूप से, यदि X जुड़ा हुआ है (अर्थात अगर R में 0 और 1 से कोई अन्य idempotent नहीं है), तो P में निरंतर रैंक है।

वेक्टर बंडलों और स्थानीय रूप से मुक्त मॉड्यूल

सिद्धांत की एक बुनियादी प्रेरणा यह है कि प्रोजेक्टिव मॉड्यूल (कम से कम कुछ कम्यूटेटिव रिंग्स से अधिक) वेक्टर बंडल ों के एनालॉग हैं।यह एक कॉम्पैक्ट स्पेस हौसडॉर्फ स्पेस पर रिंग ऑफ सतत कार्य (टोपोलॉजी) रिंग ऑफ़ कंटीन्यूअस फंक्शन (टोपोलॉजी) के लिए सटीक बनाया जा सकता है, साथ ही साथ एक गुना पर चिकनी कार्यों की अंगूठी के लिए (सेर्रे-वैन प्रमेय देखें जो एक बारीक रूप से उत्पन्न प्रक्षेप्य कहता हैएक कॉम्पैक्ट विविध पर चिकनी कार्यों के स्थान पर मॉड्यूल एक चिकनी वेक्टर बंडल के चिकनी वर्गों का स्थान है)।

वेक्टर बंडल स्थानीय रूप से मुक्त हैं।यदि स्थानीयकरण की कुछ धारणा है, जिसे मॉड्यूल पर ले जाया जा सकता है, जैसे कि एक रिंग के सामान्य स्थानीयकरण, कोई स्थानीय रूप से मुक्त मॉड्यूल को परिभाषित कर सकता है, और प्रक्षेप्य मॉड्यूल तब आमतौर पर स्थानीय रूप से मुक्त मॉड्यूल के साथ मेल खाते हैं।

एक बहुपद छल्ले पर प्रक्षेपी मॉड्यूल

क्विलन -सुस्लिन प्रमेय, जो सेरे की समस्या को हल करता है, एक और गहरा परिणाम है: यदि k एक क्षेत्र है, या सामान्यतः एक प्रमुख आदर्श डोमेन है, और R = K[X₁,...,X_n] K के ऊपर एक बहुपद छल्ला है, तब R पर प्रत्येक प्रक्षेपी मॉड्यूल मुक्त है। इस समस्या को पहले सेरे द्वारा K A FIELD (और मॉड्यूल को बारीक रूप से उत्पन्न किया जा रहा है) के साथ उठाया गया था।बास ने इसे गैर-फिनती उत्पन्न मॉड्यूल के लिए बसाया, और क्विलन और सुज़लिन ने स्वतंत्र रूप से और साथ ही साथ बारीक रूप से उत्पन्न मॉड्यूल की स्थिति का इलाज किया।

चूंकि एक प्रमुख आदर्श डोमेन पर प्रत्येक प्रक्षेपी मॉड्यूल स्वतंत्र है, कोई भी यह सवाल पूछ सकता है: यदि आर एक कम्यूटेटिव रिंग है जैसे कि हर (बारीक रूप से उत्पन्न) प्रक्षेपी आर-मॉड्यूल स्वतंत्र है, तो हर (बारीक रूप से उत्पन्न) प्रक्षेपी आर [एक्स] है।-मॉड्यूल मुक्त?जवाब न है।वक्र के स्थानीय रिंग के बराबर आर के साथ एक प्रतिवाद होता है y² = x³ मूल में।इस प्रकार क्विलन-सुस्लिन प्रमेय कभी भी चर की संख्या पर एक साधारण गणितीय प्रेरण द्वारा साबित नहीं किया जा सकता है।

यह भी देखें

• प्रोजेक्टिव कवर
• शानुएल का लेम्मा
• बास रद्दीकरण प्रमेय
• मॉड्यूलर प्रतिनिधित्व सिद्धांत

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श्रेणी: होमोलॉजिकल बीजगणित श्रेणी: मॉड्यूल सिद्धांत]