शेषफल: Difference between revisions
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[[गणित]] में, | [[गणित]] में, शेषफल फल वह राशि है जो कुछ संगणना करने के बाद बची रहती है। [[अंकगणित]] में, पूर्णांक भागफल ([[यूक्लिडियन विभाजन]]) उत्पन्न करने के लिए एक पूर्णांक को दूसरे से विभाजित करने के बाद शेषफल फल "बचा हुआ" [[पूर्णांक]] होता है। बहुपदों के [[बीजगणित]] में, एक बहुपद को दूसरे बहुपद से भाग देने पर बचा हुआ बहुपद शेषफल फल होता है। '[[मॉड्यूल ऑपरेशन]]' वह संक्रिया है जो लाभांश और भाजक दिए जाने पर ऐसा शेषफल फल उत्पन्न करता है। | ||
वैकल्पिक रूप से, एक | वैकल्पिक रूप से, एक शेषफल फल वह भी होता है जो एक संख्या को दूसरे से घटाने के बाद शेषफल रह जाता है, हालाँकि इसे अधिक सटीक रूप से ''अंतर'' कहा जाता है। यह प्रयोग कुछ प्रारंभिक पाठ्यपुस्तकों में पाया जा सकता है; बोलचाल की भाषा में इसे "बाकी" की अभिव्यक्ति से बदल दिया जाता है जैसे "मुझे दो डॉलर वापस दें और बाकी को रखें।" <ref>{{harvnb|Smith|1958|loc=p. 97}}</ref> हालांकि, शब्द शेषफल फल अभी भी इस अर्थ में प्रयोग किया जाता है जब एक फ़ंक्शन (गणित) को [[श्रृंखला विस्तार]] द्वारा अनुमानित किया जाता है, जहां त्रुटि अभिव्यक्ति (शेषफल ) को शेषफल फल शब्द के रूप में संदर्भित किया जाता है। | ||
== पूर्णांक विभाजन == | == पूर्णांक विभाजन == | ||
एक पूर्णांक a और एक गैर-शून्य पूर्णांक d दिया गया है, यह दिखाया जा सकता है कि अद्वितीय पूर्णांक q और r | एक पूर्णांक a और एक गैर-शून्य पूर्णांक d दिया गया है, यह दिखाया जा सकता है कि अद्वितीय पूर्णांक q और r उपस्थित हैं, जैसे कि {{math|1=''a'' = ''qd'' + ''r''}} और {{math|1=0 ≤ ''r'' < {{mabs|''d''}}}}. संख्या q को भागफल कहा जाता है, जबकि r को शेषफल फल कहा जाता है। | ||
(इस परिणाम के प्रमाण के लिए, यूक्लिडियन | (इस परिणाम के प्रमाण के लिए, यूक्लिडियन विभाजन देखें। शेषफल फल की गणना करने के तरीके का वर्णन करने वाले एल्गोरिदम के लिए, [[विभाजन एल्गोरिथ्म]] देखें।) | ||
शेषफल , जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, को सबसे कम धनात्मक शेषफल फल या केवल शेषफल फल कहा जाता है।<ref>{{harvnb|Ore|1988|loc=p. 30}}. But if the remainder is 0, it is not positive, even though it is called a "positive remainder".</ref> पूर्णांक a या तो d का गुणज है, या d के क्रमागत गुणकों के बीच अंतराल में स्थित है, अर्थात्, q⋅d और (q + 1)d (सकारात्मक q के लिए)। | |||
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:a = k⋅d + s, |s| के साथ ≤ |डी/2| किसी पूर्णांक k के लिए। | :a = k⋅d + s, |s| के साथ ≤ |डी/2| किसी पूर्णांक k के लिए। | ||
इस स्थिति में, s को लघुत्तम | इस स्थिति में, s को लघुत्तम न्यूनतम पूर्ण शेषफल फल कहा जाता है।<ref>{{harvnb|Ore|1988|loc=p. 32}}</ref> जैसा कि भागफल और शेषफल फल के साथ होता है, k और s विशिष्ट रूप से निर्धारित होते हैं, उस स्थिति को छोड़कर जहाँ d = 2n और s = ± n। इस अपवाद के लिए, हमारे पास है: | ||
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ये परिभाषाएँ तब भी मान्य होती हैं जब d ऋणात्मक हो, उदाहरण के लिए, 43 को -5 से विभाजित करने पर, | ये परिभाषाएँ तब भी मान्य होती हैं जब d ऋणात्मक हो, उदाहरण के लिए, 43 को -5 से विभाजित करने पर, | ||
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और चूँकि 2 < 5/2, 2 न्यूनतम धनात्मक शेषफल और न्यूनतम निरपेक्ष शेषफल दोनों है। | और चूँकि 2 < 5/2, 2 न्यूनतम धनात्मक शेषफल फल और न्यूनतम निरपेक्ष शेषफल फल दोनों है। | ||
इन उदाहरणों में, (नकारात्मक) कम से कम निरपेक्ष शेषफल 5 घटाकर प्राप्त किया जाता है, जो कि d है। यह सामान्य रूप से रहता है। डी से विभाजित करते समय, या तो दोनों | इन उदाहरणों में, (नकारात्मक) कम से कम निरपेक्ष शेषफल फल 5 घटाकर प्राप्त किया जाता है, जो कि d है। यह सामान्य रूप से रहता है। डी से विभाजित करते समय, या तो दोनों अवशेषफल फल सकारात्मक होते हैं और इसलिए बराबर होते हैं, या उनके विपरीत संकेत होते हैं। यदि धनात्मक शेषफल r1 है, और नकारात्मक शेषफल r2 है, तो | ||
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== फ़्लोटिंग-पॉइंट | == फ़्लोटिंग-पॉइंट संख्या के लिए == | ||
जब ए और डी फ़्लोटिंग-पॉइंट | जब ए और डी फ़्लोटिंग-पॉइंट संख्या होते हैं, डी गैर-शून्य के साथ, ए को शेषफल फल के बिना डी द्वारा विभाजित किया जा सकता है, भागफल एक और फ़्लोटिंग-पॉइंट संख्या होता है। यदि भागफल एक पूर्णांक होने के लिए विवश है, तथापि, शेषफल फल की अवधारणा अभी भी आवश्यक है। यह साबित किया जा सकता है कि एक अद्वितीय पूर्णांक भागफल q और एक अद्वितीय फ़्लोटिंग-पॉइंट शेषफल फल r उपस्थित है जैसे a = qd + r 0 ≤ r < |d| के साथ। | ||
[[चल बिन्दु संख्या]]ों के लिए | [[चल बिन्दु संख्या]]ों के लिए शेषफल फल की परिभाषा का विस्तार, जैसा कि ऊपर वर्णित है, गणित में सैद्धांतिक महत्व का नहीं है; हालाँकि, कई [[प्रोग्रामिंग भाषा]]एँ इस परिभाषा को लागू करती हैं (मॉड्यूलो संक्रिया देखें)। | ||
== प्रोग्रामिंग भाषाओं में == | == प्रोग्रामिंग भाषाओं में == | ||
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* [[पास्कल (प्रोग्रामिंग भाषा)]] मॉड | जबकि परिभाषाओं में निहित कोई कठिनाइयां नहीं हैं, कार्यान्वयन के मुद्दे हैं जो तब उत्पन्न होते हैं जब शेषफल फलों की गणना में ऋणात्मक संख्याएं शामिल होती हैं। विभिन्न प्रोग्रामिंग भाषाओं ने अलग-अलग परंपराओं को अपनाया है। उदाहरण के लिए: | ||
* [[C99]] लाभांश के समान चिन्ह के साथ | |||
* [[पास्कल (प्रोग्रामिंग भाषा)]] मॉड संक्रिया के परिणाम को सकारात्मक चुनता है, लेकिन d को नकारात्मक या शून्य होने की अनुमति नहीं देता है (इसलिए, {{nowrap|1=''a'' = (''a div d'' ) × ''d'' + ''a mod d''}} हमेशा मान्य नहीं होता है)। | |||
* [[C99]] लाभांश के समान चिन्ह के साथ शेषफल फल को चुनता है। | |||
रेफरी>{{cite web |title=C99 विनिर्देश (ISO/IEC 9899:TC2)|url=http://www.open-std.org/jtc1/sc22/wg14/www/docs/n1124.pdf |access-date=16 August 2018 |location=6.5.5 Multiplicative operators |date=2005-05-06}}</ref> (C99 से पहले, C भाषा अन्य विकल्पों की अनुमति देती थी।) | रेफरी>{{cite web |title=C99 विनिर्देश (ISO/IEC 9899:TC2)|url=http://www.open-std.org/jtc1/sc22/wg14/www/docs/n1124.pdf |access-date=16 August 2018 |location=6.5.5 Multiplicative operators |date=2005-05-06}}</ref> (C99 से पहले, C भाषा अन्य विकल्पों की अनुमति देती थी।) | ||
* [[पर्ल]], [[पायथन (प्रोग्रामिंग भाषा)]] (केवल आधुनिक संस्करण) भाजक डी के समान चिह्न के साथ | * [[पर्ल]], [[पायथन (प्रोग्रामिंग भाषा)]] (केवल आधुनिक संस्करण) भाजक डी के समान चिह्न के साथ शेषफल फल का चयन करें। रेफरी>{{cite web |title=बिल्ट-इन फ़ंक्शंस - पायथन 3.10.7 प्रलेखन|url=https://docs.python.org/3.10/library/functions.html#divmod |access-date=10 September 2022 |date=2022-09-09}}</रेफरी> | ||
* [[हास्केल (प्रोग्रामिंग भाषा)]] और स्कीम (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज) दो कार्यों की पेशकश करते हैं, | * [[हास्केल (प्रोग्रामिंग भाषा)]] और स्कीम (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज) दो कार्यों की पेशकश करते हैं, शेषफल फल और मोडुलो - एडा (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज), [[सामान्य लिस्प]] और पीएल / आई में मॉड और रेम है, जबकि [[फोरट्रान]] में मॉड और मोडुलो है; प्रत्येक स्थिति में, पूर्व लाभांश के साथ हस्ताक्षर करता है, और बाद वाला भाजक के साथ। | ||
== बहुपद विभाजन == | == बहुपद विभाजन == | ||
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बहुपदों का यूक्लिडियन विभाजन पूर्णांकों के यूक्लिडियन विभाजन के समान है और बहुपद | |||
बहुपदों का यूक्लिडियन विभाजन पूर्णांकों के यूक्लिडियन विभाजन के समान है और बहुपद अवशेषफल ों की ओर जाता है। इसका अस्तित्व निम्नलिखित प्रमेय पर आधारित है: दिए गए दो अविभाजित बहुपद a(x) और b(x) (जहाँ b(x) एक गैर-शून्य बहुपद है) एक क्षेत्र पर परिभाषित (विशेषफल फल रूप से, [[वास्तविक संख्या]] या [[जटिल संख्या]]एँ) , दो बहुपद q(x) (भागफल) और r(x) (शेषफल ) उपस्थित हैं जो संतुष्ट करते हैं:<ref>{{harvnb|Larson|Hostetler|2007|loc=p. 154}}</ref> | |||
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जहाँ deg(...) बहुपद की डिग्री को दर्शाता है (स्थिर बहुपद की डिग्री जिसका मान हमेशा 0 होता है, को ऋणात्मक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, ताकि यह डिग्री स्थिति हमेशा मान्य रहे जब यह शेषफल हो)। इसके अलावा, q(x) और r(x) इन संबंधों द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित होते हैं। | जहाँ deg(...) बहुपद की डिग्री को दर्शाता है (स्थिर बहुपद की डिग्री जिसका मान हमेशा 0 होता है, को ऋणात्मक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, ताकि यह डिग्री स्थिति हमेशा मान्य रहे जब यह शेषफल फल हो)। इसके अलावा, q(x) और r(x) इन संबंधों द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित होते हैं। | ||
यह पूर्णांकों के यूक्लिडियन विभाजन से भिन्न है, पूर्णांकों के लिए, डिग्री की स्थिति को शेषफल फल r पर सीमा द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है (गैर-ऋणात्मक और भाजक से कम, जो यह सुनिश्चित करता है कि r अद्वितीय है।) यूक्लिडियन विभाजन के बीच समानता पूर्णांकों के लिए और बहुपदों के लिए सबसे सामान्य बीजगणितीय सेटिंग की खोज को प्रेरित करता है जिसमें यूक्लिडियन विभाजन मान्य है। जिन वलय के लिए ऐसी प्रमेय उपस्थित है उन्हें [[यूक्लिडियन डोमेन]] कहा जाता है, लेकिन इस व्यापकता में भागफल और शेषफल फल की विशिष्टता की गारंटी नहीं है।<ref>{{harvnb|Rotman|2006|loc=p. 267}}</ref> | |||
बहुपद विभाजन [[बहुपद शेष प्रमेय|बहुपद शेषफल फल प्रमेय]] के रूप में ज्ञात परिणाम की ओर ले जाता है: यदि एक बहुपद f(x) को x - k से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल फल अचर r = f(k) होता है।<ref>{{harvnb|Larson|Hostetler|2007|loc=p. 157}}</ref><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Polynomial Remainder Theorem|url=https://mathworld.wolfram.com/PolynomialRemainderTheorem.html|access-date=2020-08-27|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> | |||
Revision as of 00:35, 8 February 2023
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गणित में, शेषफल फल वह राशि है जो कुछ संगणना करने के बाद बची रहती है। अंकगणित में, पूर्णांक भागफल (यूक्लिडियन विभाजन) उत्पन्न करने के लिए एक पूर्णांक को दूसरे से विभाजित करने के बाद शेषफल फल "बचा हुआ" पूर्णांक होता है। बहुपदों के बीजगणित में, एक बहुपद को दूसरे बहुपद से भाग देने पर बचा हुआ बहुपद शेषफल फल होता है। 'मॉड्यूल ऑपरेशन' वह संक्रिया है जो लाभांश और भाजक दिए जाने पर ऐसा शेषफल फल उत्पन्न करता है।
वैकल्पिक रूप से, एक शेषफल फल वह भी होता है जो एक संख्या को दूसरे से घटाने के बाद शेषफल रह जाता है, हालाँकि इसे अधिक सटीक रूप से अंतर कहा जाता है। यह प्रयोग कुछ प्रारंभिक पाठ्यपुस्तकों में पाया जा सकता है; बोलचाल की भाषा में इसे "बाकी" की अभिव्यक्ति से बदल दिया जाता है जैसे "मुझे दो डॉलर वापस दें और बाकी को रखें।" [1] हालांकि, शब्द शेषफल फल अभी भी इस अर्थ में प्रयोग किया जाता है जब एक फ़ंक्शन (गणित) को श्रृंखला विस्तार द्वारा अनुमानित किया जाता है, जहां त्रुटि अभिव्यक्ति (शेषफल ) को शेषफल फल शब्द के रूप में संदर्भित किया जाता है।
पूर्णांक विभाजन
एक पूर्णांक a और एक गैर-शून्य पूर्णांक d दिया गया है, यह दिखाया जा सकता है कि अद्वितीय पूर्णांक q और r उपस्थित हैं, जैसे कि a = qd + r और 0 ≤ r < |d|. संख्या q को भागफल कहा जाता है, जबकि r को शेषफल फल कहा जाता है।
(इस परिणाम के प्रमाण के लिए, यूक्लिडियन विभाजन देखें। शेषफल फल की गणना करने के तरीके का वर्णन करने वाले एल्गोरिदम के लिए, विभाजन एल्गोरिथ्म देखें।)
शेषफल , जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, को सबसे कम धनात्मक शेषफल फल या केवल शेषफल फल कहा जाता है।[2] पूर्णांक a या तो d का गुणज है, या d के क्रमागत गुणकों के बीच अंतराल में स्थित है, अर्थात्, q⋅d और (q + 1)d (सकारात्मक q के लिए)।
कुछ अवसर पर, विभाजन करना सुविधाजनक होता है ताकि a जितना संभव हो सके d के अभिन्न गुणक के करीब हो, अर्थात् हम लिख सकते हैं
- a = k⋅d + s, |s| के साथ ≤ |डी/2| किसी पूर्णांक k के लिए।
इस स्थिति में, s को लघुत्तम न्यूनतम पूर्ण शेषफल फल कहा जाता है।[3] जैसा कि भागफल और शेषफल फल के साथ होता है, k और s विशिष्ट रूप से निर्धारित होते हैं, उस स्थिति को छोड़कर जहाँ d = 2n और s = ± n। इस अपवाद के लिए, हमारे पास है:
- ए = के⋅डी + एन = (के + 1) डी - एन।
इस स्थिति में कुछ परिपाटी द्वारा अद्वितीय शेषफल फल प्राप्त किया जा सकता है - जैसे हमेशा s का धनात्मक मान लेना।
उदाहरण
43 बटा 5 के विभाजन में, हमारे पास:
- 43 = 8 × 5 + 3,
इसलिए 3 सबसे कम धनात्मक शेषफल फल है। हमारे पास वह भी है:
- 43 = 9 × 5 - 2,
और -2 न्यूनतम पूर्ण शेषफल फल है।
ये परिभाषाएँ तब भी मान्य होती हैं जब d ऋणात्मक हो, उदाहरण के लिए, 43 को -5 से विभाजित करने पर,
- 43 = (−8) × (−5) + 3,
और 3 सबसे कम धनात्मक शेषफल फल है, जबकि,
- 43 = (−9) × (−5) + (−2)
और -2 न्यूनतम पूर्ण शेषफल फल है।
42 से 5 के विभाजन में, हमारे पास है:
- 42 = 8 × 5 + 2,
और चूँकि 2 < 5/2, 2 न्यूनतम धनात्मक शेषफल फल और न्यूनतम निरपेक्ष शेषफल फल दोनों है।
इन उदाहरणों में, (नकारात्मक) कम से कम निरपेक्ष शेषफल फल 5 घटाकर प्राप्त किया जाता है, जो कि d है। यह सामान्य रूप से रहता है। डी से विभाजित करते समय, या तो दोनों अवशेषफल फल सकारात्मक होते हैं और इसलिए बराबर होते हैं, या उनके विपरीत संकेत होते हैं। यदि धनात्मक शेषफल r1 है, और नकारात्मक शेषफल r2 है, तो
- r1 = r2 + d
फ़्लोटिंग-पॉइंट संख्या के लिए
जब ए और डी फ़्लोटिंग-पॉइंट संख्या होते हैं, डी गैर-शून्य के साथ, ए को शेषफल फल के बिना डी द्वारा विभाजित किया जा सकता है, भागफल एक और फ़्लोटिंग-पॉइंट संख्या होता है। यदि भागफल एक पूर्णांक होने के लिए विवश है, तथापि, शेषफल फल की अवधारणा अभी भी आवश्यक है। यह साबित किया जा सकता है कि एक अद्वितीय पूर्णांक भागफल q और एक अद्वितीय फ़्लोटिंग-पॉइंट शेषफल फल r उपस्थित है जैसे a = qd + r 0 ≤ r < |d| के साथ।
चल बिन्दु संख्याों के लिए शेषफल फल की परिभाषा का विस्तार, जैसा कि ऊपर वर्णित है, गणित में सैद्धांतिक महत्व का नहीं है; हालाँकि, कई प्रोग्रामिंग भाषाएँ इस परिभाषा को लागू करती हैं (मॉड्यूलो संक्रिया देखें)।
प्रोग्रामिंग भाषाओं में
जबकि परिभाषाओं में निहित कोई कठिनाइयां नहीं हैं, कार्यान्वयन के मुद्दे हैं जो तब उत्पन्न होते हैं जब शेषफल फलों की गणना में ऋणात्मक संख्याएं शामिल होती हैं। विभिन्न प्रोग्रामिंग भाषाओं ने अलग-अलग परंपराओं को अपनाया है। उदाहरण के लिए:
- पास्कल (प्रोग्रामिंग भाषा) मॉड संक्रिया के परिणाम को सकारात्मक चुनता है, लेकिन d को नकारात्मक या शून्य होने की अनुमति नहीं देता है (इसलिए, a = (a div d ) × d + a mod d हमेशा मान्य नहीं होता है)।
- C99 लाभांश के समान चिन्ह के साथ शेषफल फल को चुनता है।
रेफरी>"C99 विनिर्देश (ISO/IEC 9899:TC2)" (PDF). 6.5.5 Multiplicative operators. 2005-05-06. Retrieved 16 August 2018.{{cite web}}: CS1 maint: location (link)</ref> (C99 से पहले, C भाषा अन्य विकल्पों की अनुमति देती थी।)
- पर्ल, पायथन (प्रोग्रामिंग भाषा) (केवल आधुनिक संस्करण) भाजक डी के समान चिह्न के साथ शेषफल फल का चयन करें। रेफरी>"बिल्ट-इन फ़ंक्शंस - पायथन 3.10.7 प्रलेखन". 2022-09-09. Retrieved 10 September 2022.</रेफरी>
- हास्केल (प्रोग्रामिंग भाषा) और स्कीम (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज) दो कार्यों की पेशकश करते हैं, शेषफल फल और मोडुलो - एडा (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज), सामान्य लिस्प और पीएल / आई में मॉड और रेम है, जबकि फोरट्रान में मॉड और मोडुलो है; प्रत्येक स्थिति में, पूर्व लाभांश के साथ हस्ताक्षर करता है, और बाद वाला भाजक के साथ।
बहुपद विभाजन
बहुपदों का यूक्लिडियन विभाजन पूर्णांकों के यूक्लिडियन विभाजन के समान है और बहुपद अवशेषफल ों की ओर जाता है। इसका अस्तित्व निम्नलिखित प्रमेय पर आधारित है: दिए गए दो अविभाजित बहुपद a(x) और b(x) (जहाँ b(x) एक गैर-शून्य बहुपद है) एक क्षेत्र पर परिभाषित (विशेषफल फल रूप से, वास्तविक संख्या या जटिल संख्याएँ) , दो बहुपद q(x) (भागफल) और r(x) (शेषफल ) उपस्थित हैं जो संतुष्ट करते हैं:[4]
कहाँ पे
जहाँ deg(...) बहुपद की डिग्री को दर्शाता है (स्थिर बहुपद की डिग्री जिसका मान हमेशा 0 होता है, को ऋणात्मक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, ताकि यह डिग्री स्थिति हमेशा मान्य रहे जब यह शेषफल फल हो)। इसके अलावा, q(x) और r(x) इन संबंधों द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित होते हैं।
यह पूर्णांकों के यूक्लिडियन विभाजन से भिन्न है, पूर्णांकों के लिए, डिग्री की स्थिति को शेषफल फल r पर सीमा द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है (गैर-ऋणात्मक और भाजक से कम, जो यह सुनिश्चित करता है कि r अद्वितीय है।) यूक्लिडियन विभाजन के बीच समानता पूर्णांकों के लिए और बहुपदों के लिए सबसे सामान्य बीजगणितीय सेटिंग की खोज को प्रेरित करता है जिसमें यूक्लिडियन विभाजन मान्य है। जिन वलय के लिए ऐसी प्रमेय उपस्थित है उन्हें यूक्लिडियन डोमेन कहा जाता है, लेकिन इस व्यापकता में भागफल और शेषफल फल की विशिष्टता की गारंटी नहीं है।[5]
बहुपद विभाजन बहुपद शेषफल फल प्रमेय के रूप में ज्ञात परिणाम की ओर ले जाता है: यदि एक बहुपद f(x) को x - k से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल फल अचर r = f(k) होता है।[6][7]
यह भी देखें
- चीनी शेष प्रमेय
- विभाज्यता नियम
- मिस्र गुणा और भाग
- यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म
- लम्बा विभाजन
- मॉड्यूलर अंकगणित
- बहुपद लंबा विभाजन
- सिंथेटिक विभाजन
- रफ़िनी का नियम, संश्लिष्ट विभाजन का एक विशेष मामला
- टेलर की प्रमेय
टिप्पणियाँ
- ↑ Smith 1958, p. 97
- ↑ Ore 1988, p. 30. But if the remainder is 0, it is not positive, even though it is called a "positive remainder".
- ↑ Ore 1988, p. 32
- ↑ Larson & Hostetler 2007, p. 154
- ↑ Rotman 2006, p. 267
- ↑ Larson & Hostetler 2007, p. 157
- ↑ Weisstein, Eric W. "Polynomial Remainder Theorem". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-08-27.
संदर्भ
- Larson, Ron; Hostetler, Robert (2007), Precalculus:A Concise Course, Houghton Mifflin, ISBN 978-0-618-62719-6
- Ore, Oystein (1988) [1948], Number Theory and Its History, Dover, ISBN 978-0-486-65620-5
- Rotman, Joseph J. (2006), A First Course in Abstract Algebra with Applications (3rd ed.), Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-186267-8
- Smith, David Eugene (1958) [1925], History of Mathematics, Volume 2, New York: Dover, ISBN 0486204308
अग्रिम पठन
- Davenport, Harold (1999). The higher arithmetic: an introduction to the theory of numbers. Cambridge, UK: Cambridge University Press. p. 25. ISBN 0-521-63446-6.
- Katz, Victor, ed. (2007). The mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam : a sourcebook. Princeton: Princeton University Press. ISBN 9780691114859.
- Schwartzman, Steven (1994). "remainder (noun)". The words of mathematics : an etymological dictionary of mathematical terms used in english. Washington: Mathematical Association of America. ISBN 9780883855119.
- Zuckerman, Martin M. Arithmetic: A Straightforward Approach. Lanham, Md: Rowman & Littlefield Publishers, Inc. ISBN 0-912675-07-1.
