प्रतिबंध (गणित)

कार्यक्रम $x^{2}$ डोमेन के साथ $\mathbb {R}$ कोई उलटा कार्य नहीं है। अगर हम प्रतिबंधित करते हैं $x^{2}$ गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए, तो इसका एक व्युत्क्रम फलन होता है, जिसे का वर्गमूल कहा जाता है $x.$

गणित में, एक समारोह का प्रतिबंध (गणित) $f$ एक नया कार्य है, निरूपित $f\vert _{A}$ या $f{\upharpoonright _{A}},$ किसी फ़ंक्शन का एक छोटा डोमेन चुनकर प्राप्त किया गया $A$ मूल समारोह के लिए $f.$ कार्यक्रम $f$ फिर विस्तार कहा जाता है $f\vert _{A}.$

औपचारिक परिभाषा

होने देना $f:E\to F$ एक सेट (गणित) से एक कार्य बनें $E$ एक सेट के लिए $F.$ अगर एक सेट $A$ का उपसमुच्चय है $E,$ फिर का प्रतिबंध$f$ को$A$ कार्य है

$${f|}_{A}:A\to F$$

द्वारा दिए गए ${f|}_{A}(x)=f(x)$ के लिए $x\in A.$ अनौपचारिक रूप से, का प्रतिबंध $f$ को $A$ के समान कार्य है $f,$ लेकिन केवल परिभाषित किया गया है $A$.

यदि समारोह $f$ संबंध (गणित) के रूप में माना जाता है $(x,f(x))$ कार्टेशियन उत्पाद पर $E\times F,$ फिर का प्रतिबंध $f$ को $A$ किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है $G({f|}_{A})=\{(x,f(x))\in G(f):x\in A\}=G(f)\cap (A\times F),$ जहां जोड़े $(x,f(x))$ ग्राफ में आदेशित जोड़े का प्रतिनिधित्व करें $G.$

एक्सटेंशन

एक समारोह $F$ एक कहा जाता हैextensionदूसरे समारोह का $f$ अगर जब भी $x$ के अधिकार क्षेत्र में है $f$ तब $x$ के दायरे में भी है $F$ और $f(x)=F(x).$ यानी अगर $\operatorname {domain} f\subseteq \operatorname {domain} F$ और $F{\big \vert }_{\operatorname {domain} f}=f.$ एक समारोह का एक रेखीय विस्तार |linear extension(क्रमशः, सतत विस्तार|continuous extension, आदि) एक समारोह के $f$ का विस्तार है $f$ वह भी एक रेखीय नक्शा है (क्रमशः, एक सतत कार्य, आदि)।

उदाहरण

1. इंजेक्शन समारोह का प्रतिबंध | गैर-इंजेक्शन फ़ंक्शन$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}$ डोमेन के लिए $\mathbb {R} _{+}=[0,\infty )$ इंजेक्शन है$f:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}.$
2. कारख़ाने का फ़ंक्शन गामा समारोह का सकारात्मक पूर्णांकों तक प्रतिबंध है, जिसमें तर्क एक द्वारा स्थानांतरित किया गया है: ${\Gamma |}_{\mathbb {Z} ^{+}}\!(n)=(n-1)!$

प्रतिबंधों के गुण

• किसी फ़ंक्शन को प्रतिबंधित करना $f:X\rightarrow Y$ इसके पूरे डोमेन के लिए $X$ मूल कार्य को वापस देता है, अर्थात $f|_{X}=f.$
• किसी फ़ंक्शन को दो बार प्रतिबंधित करना उसे एक बार प्रतिबंधित करने के समान है, अर्थात यदि $A\subseteq B\subseteq \operatorname {dom} f,$ तब $\left(f|_{B}\right)|_{A}=f|_{A}.$
• एक सेट पर पहचान समारोह का प्रतिबंध $X$ एक उपसमुच्चय के लिए $A$ का $X$ से केवल समावेशन मानचित्र है $A$ में $X.$
• एक सतत कार्य का प्रतिबंध निरंतर है।

अनुप्रयोग

उलटा कार्य

Main article: Inverse function

किसी फलन का व्युत्क्रम होने के लिए, उसे अंतःक्षेपी फलन|एक-से-एक होना चाहिए। यदि कोई समारोह $f$ एक-से-एक नहीं है, इसका आंशिक व्युत्क्रम परिभाषित करना संभव हो सकता है $f$ डोमेन को प्रतिबंधित करके। उदाहरण के लिए, समारोह

$$f(x)=x^{2}$$

समग्र रूप से परिभाषित $\mathbb {R}$ तब से एक-से-एक नहीं है $x^{2}=(-x)^{2}$ किसी के लिए $x\in \mathbb {R} .$ हालाँकि, यदि हम डोमेन तक सीमित हैं तो फ़ंक्शन एक-से-एक हो जाता है $\mathbb {R} _{\geq 0}=[0,\infty ),$ किस स्थिति में

$$f^{-1}(y)={\sqrt {y}}.$$

(यदि हम इसके बजाय डोमेन तक सीमित हैं $(-\infty ,0],$ तो व्युत्क्रम के वर्गमूल का ऋणात्मक है $y.$) वैकल्पिक रूप से, यदि हम प्रतिलोम को एक बहुमूल्यवान फलन होने देते हैं तो प्रांत को प्रतिबंधित करने की कोई आवश्यकता नहीं है।

चयन ऑपरेटर

Main article: Selection (relational algebra)

संबंधपरक बीजगणित में, एक चयन (संबंधपरक बीजगणित) (कभी-कभी एसक्यूएल के चयन के उपयोग के साथ भ्रम से बचने के लिए प्रतिबंध कहा जाता है) एक एकात्मक ऑपरेशन है जिसे लिखा गया है $\sigma _{a\theta b}(R)$ या $\sigma _{a\theta v}(R)$ कहाँ:

• $a$ और $b$ विशेषता नाम हैं,
• $\theta$ सेट में एक बाइनरी ऑपरेशन है $\{<,\leq ,=,\neq ,\geq ,>\},$
• $v$ एक मान स्थिरांक है,
• $R$ एक संबंध (डेटाबेस) है।

चयन $\sigma _{a\theta b}(R)$ उन सभी टुपल्स का चयन करता है $R$ जिसके लिए $\theta$ के बीच रखता है $a$ और यह $b$ गुण।

चयन $\sigma _{a\theta v}(R)$ उन सभी टुपल्स का चयन करता है $R$ जिसके लिए $\theta$ के बीच रखता है $a$ विशेषता और मूल्य $v.$ इस प्रकार, चयन ऑपरेटर संपूर्ण डेटाबेस के सबसेट तक सीमित रहता है।

पेस्टिंग लेम्मा

Main article: Pasting lemma

पेस्टिंग लेम्मा टोपोलॉजी में एक परिणाम है जो किसी फ़ंक्शन की निरंतरता को सबसेट के प्रतिबंधों की निरंतरता से संबंधित करता है।

होने देना $X,Y$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस के दो बंद उपसमुच्चय (या दो खुले उपसमुच्चय) हों $A$ ऐसा है कि $A=X\cup Y,$ और जाने $B$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस भी हो। अगर $f:A\to B$ दोनों के लिए प्रतिबंधित होने पर निरंतर है $X$ और $Y,$ तब $f$ निरंतर है।

यह परिणाम एक टोपोलॉजिकल स्पेस के बंद (या खुले) सबसेट पर परिभाषित दो निरंतर कार्यों को लेने और एक नया बनाने की अनुमति देता है।

शीश

Main article: Sheaf theory

शीफ सिद्धांत कार्यों के अलावा वस्तुओं पर प्रतिबंधों को सामान्यीकृत करने का एक तरीका प्रदान करता है।

शीफ थ्योरी में, कोई एक ऑब्जेक्ट असाइन करता है $F(U)$ प्रत्येक खुले सेट के लिए एक श्रेणी (श्रेणी सिद्धांत) में $U$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस, और यह आवश्यक है कि ऑब्जेक्ट कुछ शर्तों को पूरा करें। सबसे महत्वपूर्ण शर्त यह है कि नेस्टेड ओपन सेट से जुड़ी वस्तुओं की हर जोड़ी के बीच प्रतिबंध आकारिकी है; वह है, अगर $V\subseteq U,$ फिर एक रूपवाद है $\operatorname {res} _{V,U}:F(U)\to F(V)$ निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करना, जो किसी फ़ंक्शन के प्रतिबंध की नकल करने के लिए डिज़ाइन किए गए हैं:

• हर खुले सेट के लिए $U$ का $X,$ प्रतिबंध रूपवाद $\operatorname {res} _{U,U}:F(U)\to F(U)$ पहचान रूपवाद चालू है $F(U).$
• अगर हमारे पास तीन खुले सेट हैं $W\subseteq V\subseteq U,$ फिर फंक्शन रचना $\operatorname {res} _{W,V}\circ \operatorname {res} _{V,U}=\operatorname {res} _{W,U}.$
• (इलाका) अगर $\left(U_{i}\right)$ एक खुले सेट का एक खुला आवरण (टोपोलॉजी) है $U,$ और अगर $s,t\in F(U)$ ऐसे हैं $s{\big \vert }_{U_{i}}=t{\big \vert }_{U_{i}}$<अवधि वर्ग = टेक्सएचटीएमएल> एस |_{Ui</ उप> = टी | उप> यूi} प्रत्येक सेट के लिए $U_{i}$ आवरण का, तब $s=t$; और
• (ग्लूइंग) अगर $\left(U_{i}\right)$ एक खुले सेट का एक खुला आवरण है $U,$ और यदि प्रत्येक के लिए $i$ अनुभाग $x_{i}\in F\left(U_{i}\right)$ ऐसा दिया जाता है कि प्रत्येक जोड़ी के लिए $U_{i},U_{j}$ कवरिंग के प्रतिबंध सेट करता है $s_{i}$ और $s_{j}$ ओवरलैप पर सहमत: $s_{i}{\big \vert }_{U_{i}\cap U_{j}}=s_{j}{\big \vert }_{U_{i}\cap U_{j}},$ फिर एक खंड है $s\in F(U)$ ऐसा है कि $s{\big \vert }_{U_{i}}=s_{i}$ प्रत्येक के लिए $i.$

ऐसी सभी वस्तुओं के संग्रह को पुलिया कहते हैं। यदि केवल पहले दो गुण संतुष्ट होते हैं, तो यह प्री-शेफ है।

वाम- और दाएँ-प्रतिबंध

अधिक सामान्यतः, प्रतिबंध (या डोमेन प्रतिबंध या वाम-प्रतिबंध) $A\triangleleft R$ एक द्विआधारी संबंध का $R$ बीच में $E$ और $F$ डोमेन वाले संबंध के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $A,$ कोडोमेन $F$ और ग्राफ $G(A\triangleleft R)=\{(x,y)\in F(R):x\in A\}.$ इसी तरह, कोई सही-प्रतिबंध या सीमा प्रतिबंध को परिभाषित कर सकता है $R\triangleright B.$ दरअसल, कोई भी प्रतिबंध को परिभाषित कर सकता है$n$-आर्य संबंध, साथ ही उपसमुच्चय को संबंधों के रूप में समझा जाता है, जैसे कि कार्तीय उत्पाद के संबंध $E\times F$ द्विआधारी संबंधों के लिए। ये मामले शेफ (गणित) की योजना में फिट नहीं होते हैं।

विरोधी प्रतिबंध

किसी फ़ंक्शन या बाइनरी संबंध का डोमेन विरोधी प्रतिबंध (या डोमेन घटाव)। $R$ (डोमेन के साथ $E$ और कोडोमेन $F$) एक सेट द्वारा $A$ रूप में परिभाषित किया जा सकता है $(E\setminus A)\triangleleft R$; के सभी तत्वों को हटा देता है $A$ डोमेन से $E.$ इसे कभी-कभी निरूपित किया जाता है $A$ ⩤ $R.$ इसी तरह, किसी फ़ंक्शन या बाइनरी रिलेशन की श्रेणी विरोधी प्रतिबंध (या श्रेणी घटाव)। $R$ एक सेट द्वारा $B$ परिभाषित किया जाता है $R\triangleright (F\setminus B)$; के सभी तत्वों को हटा देता है $B$ कोडोमेन से $F.$ इसे कभी-कभी निरूपित किया जाता है $R$ ⩥ $B.$

यह भी देखें

• Constraint
• Deformation retract
• Local property
• Function (mathematics) § Restriction and extension
• Binary relation § Restriction
• Relational algebra § Selection (σ)